Tài liệu ôn thi học sinh giỏi nội dung toán hình tham khảo (6)

HÌNH THANG
1/ Qua giao điểm O của 2 đường chéo của hình thang ABCD ( đáy AB , CD ) vẽ các đường
thẳng song song với 2 đáy cắt cạnh bên tại M , N .
a/Chứng minh : OM = ON .
b/Chứng minh :
CDABON
111
+=

2/ Từø hai điểm A và B của một đường thẳng , về cùng một phía ta dựng hai đoạn thẳng AA
1
= a
, BB
1
= b cùng vuông góc với AB . Chứng minh rằng khi giữ nguyên các đại lượng a và b thì
khoảng cách từ giao điểm của AB
1
và A
1
B không phụ thuộc vào vò trí của A và B .
4/ Cho hình thang ABCD ( AB // CD và AB ≠ CD ) . M và N là trung điểm của các đường chéo
AC và BD . Kẻ NH ⊥ AD ; MH’ ⊥ BC . Gọi I là giao điểm của MH’ và NH . Chứng minh rằng
I cách đều hai điểm C và D .

5/ Trong hình thang ABCD ( AD // BC ) các đường phân giác trong của các góc A và B cắt nhau
tại M , các đường phân giác trong của các góc C và D cắt nhau tại N . Chứng minh rằng độ dài
đoạn MN bằng nửa hiệu của tổng độ dài hai đáy với tổng độ dài hai cạnh bên .
6/ Các đường chéo của hình thang ngoại tiếp ABCD ( AD // BC ) cắt nhau tại O . Bán kính
đường tròn nội tiếp các ∆ AOD ; ∆ AOB ; ∆ BOC ; ∆ COD lần lượt là r
1
, r

2
, r
3
, r
4
. Chứng minh
rằng :
4231
1111
rrrr
+=+
.
HƯỚNG DẪN
Giả sử ∆ AOD ; ∆ AOB ; ∆ BOC ; ∆ COD có diện tích và nửa chu vi lần lượt là S
1
, P
1
, S
2
, P
2
,
S
3
, P
3
, S
4
, P
4

. Vì S
ABC
= S
BCD
; S
BOC
chung nên ta có : S
2
= S
4
(1) .
3
2
4
1
.
2
1
.
2
1
.
2
1
.
2
1
S
S
BKOC

BKOA
OC
OA
DHOC
DHOA
S
S
====
⇒
)2(
3
2
4
1
S
S
S
S
=
;
P
1
+ P
3
= P
2
+ P
4
(3) ( Vì ABCD là tứ giác ngoại tiếp )
Từ (1) và ( 2 ) : S

1
.S
3
= S
2
2
= S
4
2
⇒
314
.SSS
=
Do : S = Pr , nên ta có :
4
4
4
2
2
2
3
3
3
1
1
1
;;;
r
S
p

r
S
p
r
S
p
r
S
p ====
Từ :
4231
1111
rrrr
+=+
⇔
4
4
2
2
3
3
1
1
S
P
S
P
S
P
S

P
+=+
⇔
4
31
3
3
1
1
S
PP
S
P
S
P
+
=+

A
D
C
B
O
S
1
S
4
S
3
S

2
K
H
⇔
)4(
.
31
31
3
3
1
1
SS
PP
S
P
S
P
+
=+

Mặt khác ∆ OAD ~ ∆ OCD nên :
2
3
2
1
3
1
P
P

S
S
=
hay
2
3
2
13
1
P
PS
S
=

Vì vậy (4)
⇔


3
2
3
2
13
31
3
3
2
3
2
1

3
1
.
.
.
S
P
PS
PP
S
P
P
PS
P
+
=+
⇔
3
1
3
31
13
2
3
.
P
P
S
PP
PS

P
+
=
+
⇔
1
331
3
1
2
3
)(
P
PPP
P
P
P
+
=+
⇔
1
2
3
33
1
2
3
P
P
PP

P
P
+=+
( Đúng )
Vậy ( 4 ) đúng do đó :
4231
1111
rrrr
+=+
HÌNH THANG – CỰC TRỊ
1/ a/ Cho AB = 2a . Vẽ về một phía của AB các tia Ax , By vuông góc với AB . Qua trung điểm
M của AB vẽ hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax , By theo thứ tự tại
C , D . Xác đònh vò trí của các điểm C , D sao cho ∆ MCD có diện tích nhỏ nhất và tính diện tích
nhỏ nhất đó theo a .
HÌNH THANG VUÔNG - DIỆN TÍCH
/Cho hình thang vuông ABCD có AB là cạnh đáy nhỏ , CD là cạnh đáy lớn , M là giao
điểm của hai đường chéo AC và BD . Biết rằng thang ABCD ngoại tiếp đường tròn bán kính R .
Hãy tính diện tích ∆ ADM .
HƯỚNG DẪN
A E B
H
M
G O
D F C
Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp hình thang ABCD . Giả sử các góc tại đỉnh A và D vuông .
BO , CO là phân giác của góc ABC , BCD ⇒ OB ⊥ OC ⇒ ∆ BOC vuông tại O . Gọi E , F ,
G , H lần lượt là các điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp với các cạnh AB , CD , DA , BC của
hình thang .
Ta có : OH
2

= BH.CH ⇒
FC
AE
DF
EB
=
. Do đó M nằm trên đoạn EF .
Đường cao ứng với đỉnh M của ∆ ADM có độ dài là R và cạnh đáy là 2R , suy ra diện
tích tam giác này là R
2
. Do diện tích các ∆ ADM , BCM bằng nhau nên trong trường hợp các góc
B , C vuông ta cũng có kết quả tương tự .