SKKN Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS

Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t trong trng ph thụng cp THCS
mục lục
a . mở đầu
Trang 2
1/ Lí do chọn đề tài
Trang 2
2/ Mục đích nghiên cứu đề tài
Trang 2
3/ Phạm vi nghiên cứu
Trang 3
4/ Phơng pháp nghiên cứu
Trang 3
b . Nội dung đề tài
Trang 4
1/ Cơ sở lý luận
Trang 4
2/ Tình hình thực tiễn
Trang 4
3/ Nội dung và phơng pháp tiến hành
Trang 5
3.1 Khái niệm phơng trình vô tỉ
Trang 5
3.2 Phơng pháp chung
Trang 5
3.3 phơng pháp giải phơng trình vô tỉ cơ bản
Trang 5
a. Phơng pháp nâng lên luỹ thừa
Trang 5
b. Phơng pháp đa về pt chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Trang 8
c. Phơng pháp đặt ẩn phụ

Trang 10
d. Phơng pháp đa về phơng trình tích
Trang 13
e. Phơng pháp đa về hệ phơng trình
Trang 16
g. Phơng pháp bất đẳng thức
Trang 18
h.Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Trang 20
i. Phơng pháp sử dụng dấu = ở BĐTkhông chặt
Trang 21
k. Một số PP khác
Trang 23
4/ Kết quả
Trang 24
c . kết luận
Trang 26
d - tài liệu tham khảo
Trang 27
a. mở đầu .
1. Lí do chọn đề tài :
Toán học là môn học có ứng dụng trong hầu hết trong tất cả các ngành
khoa học tự nhiên cũng nh trong các lĩnh vực khác của đời sống xã hội.
Vì vậy toán học có vị trí đặc biệt trong việc phát triển và nâng cao dân
trí .Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh (ngời học )những kiến thức cơ
bản,những kĩ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện kĩ
năng t duy logic,một phơng pháp luận khoa học .
Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra phơng pháp dạy học và giải bài tập
toán đòi hỏi ngời giáo viên phải chọn lọc hệ thống, sử dụng đúng phơng pháp dạy
học góp phần hình thành và và phát triển t duy của học sinh .Đồng thời thông qua

việc học toán học sinh đợc bồi dỡng và rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao
tác t duy để giải bài tập toán , đặc biệt là giải phơng trình vô tỉ .
Hiện nay ngay từ lớp 7 học sinh đợc hoàn thiện việc mở rộng tập số hữu tỉ
Q thành tập số thực R .Trong khi đó giáo viên khi dạy phơng trình vô tỉ thì ít khai
thác phân tích đề bài , mở rộng bài toán mới, dẫn đến học sinh khi gặp bài toán
về giải phơng trình vô tỉ là lúng túng hoặc cha biết cách giải hoặc giải đợc nhng
cha chặt chẽ mà còn mắc nhiều sai lầm về tìm tập xác định, khi nâng lên luỹ
thừa, đa biểu thức ra ngoài dấu giá trị tuyệt đối .
Vì vậy phát triển năng lực t duy cho học sinh thông qua việc giải phơng
trình vô tỉ là cần thiết cho nên tôi xin đợc trình bày một phần nhỏ để khắc phục
tình trạng trên về giải phơng trình vô tỉ góp phần nâng cao chất lợng học môn
toán của học sinh ở trờng THCS.
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
1
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t trong trng ph thụng cp THCS
- Trang bị cho học sinh một số kiến thức về giải phơng trình vô tỉ nhằm nâng cao
năng lực học môn toán,giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động sáng tạo và là
công cụ giải quyết những bài tập có liên quan đến phơng trình vô tỉ.
- Gây đợc hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK , sách tham khảo
giúp học sinh giải đợc một số bài tập .
- Giải đáp đợc những thắc mắc, sữa chữa đợc những sai lầm hay gặp khi giải ph-
ơng trình vô tỉ trong quá trình dạy học .
- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phơng pháp cơ bản và áp
dụng thành thạo các phơng pháp đó để giải bài tập .
- Thông qua việc giải phơng trình vô tỉ giúp học sinh thấy rõ mục đích của
việc học toán và học tốt hơn các bài tập về phơng trình vô tỉ .Đồng thời góp phần
nâng cao chất lợng giáo dục .
3. Phạm vi nghiên cứu- Đối t ợng nghiên cứu :
Phát triển năng lực, t duy của học sinh thông qua các bài toán giải phơng

trình vô tỉ đối với học sinh THCS.
Đề tài áp dụng đối với học sinh THCS chủ yếu là học sinh khối 9 trong các
giờ luyện tập ,ôn tập cuối kì ,cuối năm và cho các kì thi ở trờng ,thi vào cấp 3.
4. Các ph ơng pháp nghiên cứu và tiến hành :
4.1. Ph ơng pháp nghiên cứu :
Tham khảo thu thập tài liệu
Phân tích,tổng kết kinh nghiệm .
Kiểm tra kết quả chất lợng học sinh .
4.2.Ph ơng pháp tiến hành :
Thông qua các dạng phơng trình vô tỉ cơ bản đa ra phơng pháp giải và khắc
phục những sai lầm hay gặp , các dạng bài tập tự giải .
b- nội dung đề tài
1/ Cơ sở lý luận:
Trong đề tài đợc đa ra một số phơng trình vô tỉ cơ bản phù hợp với trình độ
của học sinh THCS.
Trang bị cho học sinh một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ cơ bản áp dụng
để làm bài tập .
Rút ra một số chú ý khi làm từngphơng pháp .
Chọn lọc một số bài tập hay gặp phù hợp cho từng phơng pháp giải , cách
biến đổi.
Vận dụng giải các bài toán có liên quan đến phơng trình vô tỉ .
Tôi hi vọng đề tài này sẽ giúp ích cho học sinh ở trờng THCS trong việc
học và giải phơng trình vô tỉ. Qua đó các em có phơng pháp giải đúng, tránh đợc
tình trạng định hớng giải bài toán sai hoặc còn lúng túng trong việc trình bày lời
giải, giúp học sinh làm việc tích cực hơn đạt kết quả cao trong kiểm tra.
2/ Tình hình thực tế
2.1. Kết quả:
Qua kết quả khảo sát, kiểm tra trớc khi áp dụng đề tài với 40 học sinh tôi
thấy kết quả tiếp thu về giải phơng trình vô tỉ nh sau:
Điểm dới 5 Điểm 5 - 6 Điểm 7 - 8 Điểm 9 - 10

SL % SL % SL % SL %
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
2
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t trong trng ph thụng cp THCS
20 50% 14 35% 5 12,5% 1 2,5%
2.2 . Nguyên nhân của thực tế trên:
Đây là dạng toán tơng đối mới lạ và khó với học sinh, học sinh cha đợc
trang bị các phơng pháp giải , nên việc suy luận còn hạn chế và nhiều khi không
có lối thoát dẫn đến kết quả rất thấp và đặc biệt đối với học sinh trung bình các
em càng khó giải quyết.
3/ Nội dung và ph ơng pháp tiến hành
3.1. Khái niệm ph ơng trình vô tỉ
3.1.1. Khái niệm: Phơng trình vô tỉ là phơng trình chứa ẩn trong dấu căn .
3.1.2. Các ví dụ :
a)
11 =x

b)
2173 =++ xx
c)
3+ xx
1
2
+ xx
=3
d)
4
1
1
1

1
3
3 2
3 2
3
=
+




x
x
x
xx
3. 2.Ph ơng pháp chung :
Để giải phơng trình chứa dấu căn ta tìm cách khử dấu căn .
Cụ thể : - Tìm ĐKXĐ của phơng trình .
- Biến đổi đa phơng trình về dạng đã học.
- Giải phơng trình vừa tìm đợc .
- So sánh kết quả với ĐKXĐ rồi kết luận nghiệm .
3.3. Một số ph ơng pháp giải ph ơng trình vô tỉ cơ bản:
a. Ph ơng pháp nâng lên luỹ thừa (Bình ph ơng hoặc lập ph ơng hai
vế ph ơng trình ):
a.1. Các ví dụ :
* Giải phơng trình dạng :
)()( xgxf =
Ví dụ 1: Giải phơng trình :
11 =+ xx
(1)

ĐKXĐ : x+1

0

x

-1
Với x

-1 thì vế trái của phơng trình không âm .Để phơng trình có nghiệm thì
x-1

0

x

1.Khi đó phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình :
x+1 = (x-1)
2


x
2
-3x= 0


x(x-3) = 0

=
=
3
0
x
x

Chỉ có nghiệm x =3 thoả mãn điều kiện x

1
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x =3 .
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
131 =+ xx


xx = 131
ĐKXĐ :





013
01
x
x

13
1
x
x


1

13

x
(2)
Bình phơng hai vế của (1) ta đợc :
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
3
(1)
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t trong trng ph thụng cp THCS

2
)13(1 xx =

017027
2
=+ xx
Phơng trình này có nghiệm
10
1

=x
và
17
2
=x
.Chỉ có
10
1
=x
thoã mãn (2) .
Vậy nghiệm của phơng trình là
10
=
x
* Giải phơng trình dạng :
)()()( xgxhxf =+
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
121 =+ xx

xx ++= 211
(1)
ĐKXĐ:
02
01
+

x
x

2
1


x
x


12

x
Bình phơng hai vế của phơng trình (1) ta đợc :

xxx ++++= 22211


01
2
=+ xx
Phơng trình này có nghiệm
2
51
=x
thoã mãn (2)
Vậy nghiệm của phơng trình là
2
51
=x
Ví dụ 4: Giải phơng trình:

3
1+x
27
3
=+ x
(1)
Lập phơng trình hai vế của (1) ta đợc:

82).7)(1(371
3
=++++ xxxx


(x-1) (7- x) = 0


x =-1
x =7 (đều thoả mãn (1 )).
Vậy
7;1 == xx
là nghiệm của phơng trình .
* Giải phơng trình dạng :
=+ )()( xhxf
)(xg
Ví dụ5: Giải phơng trình
1+x
-
7x
=
x12

1+x
=
x12
+
7x
(1)
ĐKXĐ:
121
7
12
1
07
012
01

+
x
x
x
x
x
x
x
Bình phơng hai vế ta đợc: x- 4 = 2
)7)(12( xx
(3)
Ta thấy hai vế của phơng trình (3) đều thoã mãn (2) vì vậy bình phơng 2 vế của
phơng trình (3) ta đợc :
(x - 4)
2
= 4(- x
2
+ 19x- 84)

5x
2
- 84x + 352 = 0
Phơng trình này có 2 nghiệm x
1
=
5

44
và x
2
= 8 đều thoả mãn (2) .
Vậy x
1
=
5
44
và x
2
= 8 là nghiệm của phơng trình.
* Giải phơng trình dạng :
=+ )()( xhxf
)(xg
+
)(xq
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
4
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t trong trng ph thụng cp THCS
Ví dụ 6: Giải phơng trình :
1+x
+
10+x
=
2+x
+
5+x
(1)
ĐKXĐ :

+
+
+
+
05
02
010
01
x
x
x
x

5
2
10
1
x
x
x
x
x -1 (2)
Bình phơng hai vế của (1) ta đợc :
x+1 + x+ 10 + 2
)10)(1( ++ xx
= x+2 + x+ 5 + 2
)5)(2( ++ xx

2+
)10)(1( ++ xx
=
)5)(2( ++ xx
(3)
Với x

-1 thì hai vế của (3) đều dơng nên bình phơng hai vế của (3) ta đợc
)10)(1( ++ xx
= 1- x
Điều kiện ở đây là x

-1 (4)
Ta chỉ việc kết hợp giữa (2) và (4)

1
1
x
x
x = 1 là nghiệm duy nhầt của phơng trình (1).
a.2. Nhận xét :
Phơng pháp nâng lên luỹ thừa đợc sử dụng vào giải một số dạng phơng
trình vô tỉ quen thuộc, song trong quá trình giảng dạy cần chú ý khi nâng lên luỹ
thừa bậc chẵn
Với hai số dơng a, b nếu a = b thì a
2n
= b
2n
và ngợc lại (n= 1,2,3 )
Từ đó mà chú ý điều kiện tồn tại của căn, điều kiện ở cả hai vế của phơng trình
đó là những vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan khi sử dụng phơng
pháp này.
Ngoài ra còn phải biết phối hợp vận dụng phơng pháp này với cùng nhiều
phơng pháp khác lại với nhau .
a.3. Bài tập áp dụng:
1.
4
2
x

= x- 2
2.
41
2
++ xx
= x+ 1
3.
x1
+
x+4
=3
4.
3
45+x
-
3
16x
=1
5.
x1
=
x6
-
)52( + x
6.
3
1x
+
3
2x

=
3
32 x
7.
x
+
yx +
=
1x
+
4+x
b. Ph ơng pháp đ a về ph ơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối :
b.1. Các ví dụ :
Ví dụ1: Giải phơng trình:
416249
2
+=+ xxx
(1)
ĐKXĐ:



+
+
04
016249
2
x
xx

4
0)43(
2
x
xx
x 4
Phơng trình (1)


43 x
= -x + 4






=
+=
443
443
xx
xx

=
=
0
2
x
x
Với x= 2 hoặc x = 0 đều là nghiệm của phơng trình (đều thoả mãn x

4 ).
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
5
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t trong trng ph thụng cp THCS
Ví dụ 2 : Giải phơng trình :
44
2
= xx
+
168
2
+ xx
= 5
ĐKXĐ:

x
R
Phơng trình tơng đơng :

2x
+
4x
= 5
Lập bảng xét dấu :
x 2 4
x- 2 - 0 + +
x- 4 - - 0 +
Ta xét các khoảng :
+ Khi x < 2 ta có (2)

6-2x =5


x = 0,5(thoả mãn x

2)
+ Khi 2

x

4 ta có (2)

0x + 2 =5 vô nghiệm
+ Khi x > 4 ta có (2)

2x 6 =5


x =5,5 (thoả mãn x > 4 )

Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0,5 và x = 5,5
Ví dụ 3 : Giải phơng trình:
314 + xx
+
816 + xx
= 1
ĐKXĐ: x

1
Phơng trình đợc viết lại là :

414)1( + xx
+
916)1( + xx
= 1

2
)21( x
+
2
)31( x
= 1



21 x
+
31 x
=1 (1)
- Nếu 1

x < 5 ta có (1)

2-
1x
+ 3 -
1x
= 1


1x
=2

x= 5 không thuộc khoảng đang xét
- Nếu 5

x

10 thì (1)

0x = 0 Phơng trình có vô số nghiệm
- Nếu x> 10 thì (1)

-5 = 1 phơng trinh vô nghiệm
Vậy phơng trình có vô số nghiệm : 5

x

10
b.2. Nhận xét :

Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối đợc sử
dụng giải một số dạng phơng trình vô tỉ quen thuộc nh trên song trong thực tế cần
lu ý cho học sinh :
-áp dụng hằng đẳng thức
2
A
=
A
- Học sinh thờng hay mắc sai lầm hoặc lúng túng khi xét các khoảng giá trị của
ẩn nên giáo viên cần lu ý để học sinh tránh sai lầm .
b.3. Bài tập áp dụng :
1.
96
2
+ xx
+
2510
2
++ xx
= 8
2.
12
2
++ xx
+
44
2
+ xx
=
44

2
++ xx
3.
143 ++ xx
+
168 + xx
= 5
4.
5233 ++ xx
+
522 xx
= 2
2
c.Ph ơng pháp đặt ẩn phụ:
c 1. Các ví dụ :
Ví dụ 1 : Giải phơng trình: 2x
2
+ 3x +
932
2
++ xx
=33
ĐKXĐ :

x

R
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
6
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t trong trng ph thụng cp THCS

Phơng trình đã cho tơng đơng với: 2x
2
+ 3x +9 +
932
2
++ xx
- 42= 0 (1)
Đặt 2x
2
+ 3x +9 = y > 0 (Chú ý rằng học sinh thờng mắc sai lầm không đặt
điều kiện bắt buộc cho ẩn phụ y)
Ta đợc phơng trình mới : y
2
+ y 42 = 0

y
1
= 6 , y
2
= -7 .Có nghiệm y =6 thoả mãn y> 0
Từ đó ta có
932
2
++ xx
=6

2x
2
+ 3x -27 = 0
Phơng trình có nghiệm x

1
= 3, x
2
= -
2
9
Cả hai nghiệm này chính là nghiệm của phơng trình đã cho.
Ví dụ 2 : Giải phơng trình:
x
+
4
x
= 12
ĐKXĐ : x

o
Đặt
4
x
= y

0

x
= y
2
ta có phơng trình mới
y
2
+ y -12 = 0 phơng trình có 2 nghiệm là y= 3 và y = - 4 (loại)

4
x
= 3

x = 81 là nghiệm của phơng trình đã cho.
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
1+x
+
x3
-
)3)(1( xx +
= 2 (1)
ĐKXĐ :




+
03
01
x
x






3

1
x
x
-1 x 3
Đặt
1+x
+
x3
= t

0

t
2
= 4 + 2
)3)(1( xx +


)3)(1( xx +
=
2
4
2
t
(2) .thay vào (2) ta đợc
t
2
2t = 0

t(t-2) = 0

=
=
2
0
t
t
+ Với t = 0 phơng trình vô nghiệm.
+Với t = 2 thay vào (2) ta có :
)3)(1( xx +
= 0

x
1
= -1; x
2
= 3 (thoả mãn)
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x
1
= -1và x
2
= 3
Ví dụ 4: Giải phơng trình : 5
1
3
+x
= 2( x
2

+ 2)
Ta có
1
3
+x
=
1+x
1
2
+ xx
Đặt
1+x
= a

0 ;
1
2
+ xx
= b

0 và a
2
+ b
2
= x
2
+ 2
Phơng trình đã cho đợc viết là
5ab = 2(a
2

+ b
2
)


(2a- b)( a -2b) = 0




=
=
02
02
ba
ba
+ Trờng hợp: 2a = b


2
1+x
=
1
2
+ xx


4x + 4 = x
2
x +1

x
2
5x -3 = 0
Phơng trình có nghiệm x
1
=
2
375
; x
2
=
2
375 +
+ Trờng hợp: a = 2b



1+x
= 2
1
2
+ xx
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
7
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t trong trng ph thụng cp THCS


x+ 1 = 4x

2
-4x + 3 = 0


4x
2
-5x + 3 = 0 phơng trình vô nghiệm.
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x=
2
375 +
và x=
2
375
Ví dụ 5: Giải phơng trình:
1+x
+ 2 (x+1) = x- 1 +
x1
+ 3
2
1 x
(1)
Đặt
1+x
= u

0 và
x1
= t

0

ĐKXĐ: -1

x

1 thì phơng trình (1) trở thành.
u + 2u
2
= -t
2
+ t +3ut


(u t )
2
+ u(u-t) + (u-t) = 0


(u-t)(2u t +1 ) = 0




=+
=
tu
tu
12

=++
=+
xx
xx
1112
11






=
=
25
24
0
x
x
thoả mãn điều kiện -1

x

1 là nghiệm của phơng trình đã cho.
Ví dụ 6: Giải phơng trình:

12 xx
+
12 + xx
=
2
3+x
ĐKXĐ : x

1
Đặt
1x
= t

0

x = t
2
+ 1 phơng trình đã cho trở thành
2
)1( +t
+
2
)1( t
=
2
4
2
+t

1+t
+
1t
=
2
4
2
+t






=
=+
0
044
2
2
t
tt
(t

1)



=
=

0
2
t
t




=
=
1
5
x
x


ĐkXĐ:
x 1
Vậy phuơng đã cho có nghiệm x= 1và x= 5
c.2 . Nhận xét :
Phơng pháp đặt ẩn nhằm làm cho phơng trình đợc chuyển về dạng hữu
tỉ .Song để vận dụng phơng pháp này phải có những nhận xét,đánh giá tìm tòi h-
ớng giải quyết cách đặt ẩn nh thế nào cho phù hợp nh :
Đặt ẩn phụ để đợc phơng trình mới chứa ẩn phụ (Vd 3-1,3-2,3-3)
Đặt ẩn phụ để đa về một biểu thức nhóm (VD 3-4; 3-5)
c.3. Bài tập áp dụng:
1/ x
2
5 +
6

2
x
= 7
2/ x
x
1
- 2x
3
x
= 20
3/
3
2
x
- 3
3
x
=20
4/
8
3
+x
= 2x
2
6x +4
5/
96 + xx
+
96 xx
=

6
23+x
d. Ph ơng pháp đ a về ph ơng trình tích :
d.1.Các ví dụ :
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
8
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t trong trng ph thụng cp THCS
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
2110 ++ xx
= 3
3+x
+ 2
7+x
- 6 (1)
ĐKXĐ : x

-3
Phơng trình (1) có dạng :
)7)(3( ++ xx
- 3
3+x
+ 2
7+x
+6 = 0



3+x
(
)37 +x

-2(
)37 +x
) =3


(
)37 +x
(
23 +x
) =0








=+
=+
023
037
x
x




=+
=+

43
97
x
x




=
=
1
2
x
x


ĐKXĐ.
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = 1; x = 2
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
3
1 x
+
2+x
=1
ĐKXĐ : x

-2
Đặt
2+x
= t

0 Khi dó
3
1 x
=
3
2
3 t
Phơng trình (1)


3
2
3 t
+ t = 1


3
2
3 t
= 1- t

3- t
3
= (1-t)
3


t
3

- 4t
2
+ 3t + 2 =0

(t-2) ( t
2
-2t -1) = 0
Từ phơng trình này ta tìm đợc x=2 ; x= 1 + 2
2
là nghiệm của phơng trình (1)
Ví dụ3 : Giải phơng trình: (4x-1)
1
2
+x
= 2(x
2
+ 1) + 2x - 1 (1)
Đặt
1
2
+x
=y ; y

0
(1)

(4x-1) y = 2y
2
+ 2x -1

2y
2
- (4x -1) y + 2x 1= 0

( 2y
2
- 4xy + 2y) ( y- 2x+1) = 0

(y- 2x+1) (2y- 1) = 0
Giải phơng trình này ta tìm đợc x = 0 ; x =
3
4
là nghiệm của phơng trình (1)
Ví dụ 4: Giải phơng trình: (
11 + x
)(
11 + x
) = 2x
ĐKXĐ: -1

x

1 (1)
đặt
x+1
= u (0

u

2
)
suy ra x = u
2
-1 phơng trình (1) trở thành :
(u -1 ) (
)12
2
+ u
= 2 ( u
2
-1)

(u -1 ){ (
)12
2
+ u
- 2 (u+1)} = 0


(u-1) (
)122
2
uu
= 0

=
=
0122
01
2
uu
u
(+) u-1 = 0

u =1 ( thoả mãn u

0 ) suy ra x = 0 thoả mãn (1)
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
9
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t trong trng ph thụng cp THCS
(+)
122
2
uu
= 0


2
2 u
= 2u + 1

+=
+
)12(2
012
2
uu
u
(thoả mãn vì u

0 ) 5u
2
+ 4u - 1 = 0






=
<=
5
1
)(01
2
1
u
loaiu

nên có x = u
2

2
-1 = (
5
1
)
2
1 =
25
24
thoã mãn điều kiện (1)
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = 0 và x =
25
24
.
d.2.Nhận xét :
Khi sử dụng phơng pháp đa về phơng trình tích để giải phơng trình vô tỉ
ta cần chú ý các bớc sau .
+ Tìm tập xác định của phơng trình .
+ Dùng các phép biến đổi đại số , đa phơng trình về dạng f(x) g(x) .= 0 (gọi
là phơng trình tích) . Từ đó ta suy ra f(x) = 0 ; g( x) = 0 ; là những phơng
trình quen thuộc.
+ Nghiệm của phơng trình là tập hợp các nghiệm của các phơng trình f(x) = 0
g( x) = 0 ; thuộc tập xác định .
+ Biết vận dụng,phối hợp một cách linh hoạt với các phơng pháp khác nh nhóm
các số hạng,tách các số hạng hoặc đặt ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn
đa về phơng trình về dạng tích quen thuộc đã biết cách giải .
d.3.Bài tập áp dụng:
1.
67
3

xx
= 0
2.
2
2
xx
- 2
2
2
+ xx
=
1x
3. x(x+5) = 2
225
3
2
+ xx
4. 2( x
2
+ 2x + 3) = 5
233
23
+++ xxx
e. Ph ơng pháp đ a về hệ ph ơng trình :
e.1.Các ví dụ :
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
2
25 x
-
2

15 x
=2
ĐKXĐ: 0

x
2


15
Đặt:
2
25 x
= a (a

0) (* )

2
15 x
= b ( b

0) ( ** )
Từ phơng trình đã cho chuyển về hệ phơng trình :





+
+=+
=

0
)(2))((
2
ba
bababa
ba




=+
=
5
2
ba
ba








=
=
2
3
2
7

b
a
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
10
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t trong trng ph thụng cp THCS
Thay vào phơng trình (*) ta có 25 x
2
=
4
49


x
2
=
4
51


x =
2
51

(

ĐkXĐ ) . Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x =
2
51

.

Ví dụ 2: Giải phơng trình:
35
3)3(5)5(
+
+
xx
xxxx
= 2 (1)
ĐKXĐ : 3

x

5
Đặt





=
=
)0(3
)0(5
ttx
uux
Phơng trình (1 ) trở thành hệ phơng trình :

=+
=+
2
2
22
22
tutu
tu
ut = 0



=
=
0
0
t
u




=
=
5
3
x
x
(thõa mãn điều kiện )

Vậy phơng trình đẫ cho có nghiệm x =3 ; x= 5.
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
3
2 x
+
1

x
= 1
ĐKXĐ: x

1
Đặt





=
=
)0(1
2
3
ttx
ux
Khi đó ta có u
3
= 2 x ; t
2
= x- 1 nên u

3
+ t
3
= 1
Phơng trình đã cho đợc đa về hệ:



=+
=+
)2(1
)1(1
33
tu
tu
Từ phơng trình (1)

u = 1 t .Thay vào phơng trình (2) ta có :
( 1 t )
3
+ t
2
= 1

t( t
2
- 4t + 3 = 0

=+
=
034
0
2
tt
t









=
=
=
3
1
0
t
t
t
Từ đó ta đợc x= 3; x =2 ; x = 10 (ĐKXĐ x

1 ) là nghiệm của phơng trình đã

cho .
Ví dụ 4: Giải phơng trình:
3
2
)1(
+
x
+
3
2
)1(

x
+
3 2
1

x
= 1
Đặt:
3
1
+
x
= a ;
3
1

x
= b nên ta có:

a
2
=
3
2
)1(
+
x
b
2
=
3
2
)1(

x
ab =
3
2
1

x
. Ta đợc phơng trình : a
2
+ b
2
+ ab = 1 ( 1)

=
+=
1
1
3
3
xb
xa
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
11
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t trong trng ph thụng cp THCS
Ta đợc phơng trình : a
3
b
3
= 2 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình :





=
=++
2
1
33
22

ba
abba
Từ hệ phơng trình ta suy ra a b = 2

b = a 2
Thay vào hệ phơng trình (1) ta đợc : (a -1 )
2
= 0

a =1
Từ đó ta đợc x = 0
Vậy nghiệm của phơng trình là : x = 0
e.2.Nhận xét :
Qua 4 ví dụ trên cho ta thấy phơng pháp hệ phơng trình có những điểm
sáng tạo và đặc thù riêng, nó đòi hỏi học sinh phải t duy hơn do đó phơng pháp
này đợc áp dụng cho học sinh khá , giỏi .Ta cần chú ýmột số điểm sau:
+ Tìm điều kiện tồn tại của phơng trình
+ Biến đổi phơng trình để xuất hiện nhân tử chung .
+ Đặt ẩn phụ thích hợp để đa việc giải phơng trình về việc giải hệ phơng trình
quen thuộc .
Ngoài ra ngời học còn biết kết hợp phơng pháp này với phơng pháp khác
nh phơng pháp đặt ẩn phụ , phơng pháp sử dụng hằng đẳng thức.
e.3.Bài tập áp dụng :
Giải các phơng trình sau :
1.
x
1
+
2
2

1
x
= 2
2. 2
3
12

x
= x
3
+ 1
3.
3
1 x

+
3
1 x
+
=1
4.
3
1

x
+
3
21

x

=
3
32 x
5.
x
+
44
= x
g. Ph ơng pháp bất đẳng thức :
g.1. Ph ơng pháp chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau , khi đó ph ơng
trình vô nghiệm .
g.1.1.Các ví dụ :
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
1

x
-
15

x
=
23 x
(1)
ĐKXĐ:

023
015
01
x
x
x













3
2
5
1
1
x
x
x

Với x

1 thì x < 5x do đó
1

x
<
15

x
Suy ra vế trái của (1) là số âm , còn vế phải là số không âm .
Vậy phơng trình vô nghiệm .
Ví dụ 2: Giải phơng trình:

116
2
+
xx
+
136
2
+
xx
+
4
2
54
+
xx
= 3 +

2




2)3(
2
+
x
+
4)3(
2
+
x
+
4
2
1)2(
+
x
= 3 +
2
(*)
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
12
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t trong trng ph thụng cp THCS
Mà
2)3(
2
+

x
+
4)3(
2
+
x
+
4
2
1)2(
+
x


2
+
4
+ 1 = 3 +
2


Vế phải của phơng trình đã cho lớn hơn vế trái .
Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm .
g.1.2.Bài tập áp dụng:
1.
1

x
-
1

+
x
= 2
2.
6
2
+
x
= x - 2
1
2

x
3.
x6
+
2+x
= x
2
- 6x +13
g.2. Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế :
g.2.1.Các ví dụ :
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
763
2
++
xx
+
14105
2

++
xx
= 4 2x x
2
(1)
Ta có vế trái của (1)
763
2
++
xx
+
14105
2
++
xx
=
4)1(3
2
++
x
+
9)1(5
++
x



4
+
9

= 5
Vế phải của (1) : 4 -2x x
2
= 5 (x + 1)
2


5
Vậy hai vế đều bằng 5 khi x = -1 .Do đó phơng trình (1) có nghiệm là x = -1
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
4x
+
x6
= x
2
-10x + 27 (1)
ĐKXĐ: 4

x

6
Xét vế phải của (1) ta có :
x
2
10x + 27 = ( x-5)
2
+ 2

2 với mọi x và vế trái của (1)
(

2
64 xx
)
2



2
)46()1((
22
+
x
=1 hay
4x
+
x6


2
Vì vậy phơng trình (1) có nghiệm là :





=+
=+
(**)264
(*)22710
2

xx
xx
Giải phơng trình (*) ta dợc x = 5 giá trị này thoả mãn (**)
Vậy x =5 là nghiệm của phơng trình (1)
g.2.2. Bài tập áp dụng :
1.
16123
2
+
xx
+
134
2
+
yy
= 5
2.
1263
2
++
xx
+
9105
2
+
xx
= 3-4x -2x
2

3.

5,33
2
+
xx
=
)44)(22(
22
++
xxxx
h. Ph ơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số :
h.1.Các ví dụ :
Ví dụ1: Giải phơng trình :
3
2x
+
1
+
x
= 3 (1)
ĐKXĐ: x

1
Ta thấy x =3 là nghiệm đúng với phơng trình (1)
Với x > 3 thì
3
2x
> 1 ,
1
+
x

> 2 nên vế trái của (1) lớn hơn 3.
Với x< 3 và x

-1

-1

x

3 thì
3
2x
< 1,
1
+
x
< 2 nên vế trái của (1)
nhỏ hơn 3.
Vậy x= 3 là nghiệm duy nhất của phơng trình (1)
Ví dụ 2: Giải phơng trình :

5 2
28
+
x
+ 2
3 2
23
+
x

+
1

x
+
x
=
2
+ 9 (1)
ĐKXĐ:
1
0
01






x
x
x
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
13
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t trong trng ph thụng cp THCS
Ta thấy x =2 là nghiệm của (1)
h2.Nhận xét :
Khi giải các phơng trình vô tỉ mà ta cha biết cách giải thờng ta sử dụng
phơng pháp nhẩm nghiệm ,thử trực tiếp để thấy nghiệm của chúng .Rồi tìm cách
chứng minh rằng ngoài nghiệm này ra không còn nghiệm nào khác .

h.3.Bài tập áp dụng :
1.
3 2
26
+
x
+ 3
x
+
3+x
= 8
2.
12
2

x
+
23
2

xx
=
322
2
++
xx
+
1
2
+

xx
i. Ph ơng pháp sử dụng điều kiện xảy ra dấu = ở bất đẳng thức không
chặt
i.1.Các ví dụ :
Ví dụ1: Giải phơng trình

2x
+
1995
+
y
+
1996z
=
2
1
(x+y+z)
ĐKXĐ : x

2; y

-1995; z

1996
Phơng trình (1)

x+y+z = 2
2x
+ 2
1995

+
y
+ 2
1996

z


2
)12(

x
+
2
)11995(
+
y
+
2
)11996(

z
= 0

=
=+
=
11996
11995
12
z
y
x






=
=
=
1997
1994
3
z
y
x
( thoã mãn ĐKXĐ ).
Là nghiệm của phơng trình (1)
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
763
2

++
xx
+
14105
2
++
xx
= 4 2x x
2


4)1(3
2
++
x
+
9)1(5
2
++
x
= 5 (x+1)
2
(*)
Vế trái của (*)
4)1(3
2
++
x
+
9)1(5

2
++
x


2 + 3 = 5
Vế phải của (*) 5 (x+1)
2


5
Vì thế phơng trình (*) chỉ có nghiệm khi và chỉ khi hai vế của
phơng trình (*) bằng nhau và bằng 5

x+ 1 = 0

x = -1
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x =-1
Ví dụ3: Giải phơng trình:
14 x
x
+
x
x 14

=2 (1)
ĐKXĐ: x>
4
1
áp dụng bất đẳng thức

a
b
b
a
+


2 với a,b > 0
xảy ra dấu = khi và chỉ khi a =b
Dấu = của (1) xảy ra khi x=
14

x


x
2
- 4x +1 = 0 (do x>
4
1
)
Giải phơng trình này ta tìm đợc x=
32
(thoả mãn ĐKXĐ).
Vậy x=
32
là nghiệm của phơng trình.
i.2. Nhận xét :
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
14

Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t trong trng ph thụng cp THCS
Khi sử dụng phơng pháp bất đẳng thức để giải phơng trình vô tỉ ta cần chú
ý các bớc sau :
+ Biến đổi phơng trình về dạng f(x) = g(x) mà f(x)

a , g(x)

a
(a là hằng số )
Nghiệm của phơng trình là các giá trị của x thoả mãn đồng thời
f(x) =a và g(x) = a
+ Biến đổi phơng trình về dạng h(x) = m (m là hằng số ) mà ta luôn có h(x)


m hoặc h (x)

m thì nghiệm của phơng trình là các giá trị của x làm cho dấu
đẳng thức xảy ra.
+ áp dụng các bất đẳng thức : Côsi, Bunhiacopxki
i.3. Bài tập áp dụng:
1.
1282
2
+
xx
= 3 -
4
2
13123
+

xx
2.
2x
+
x

10
= x
2
-12x + 40
3.
1
19
x
+
4
2
1
5

x
+
6
2
23
95
+
xx
= 3
4.

116
156
2
2
+
+
xx
xx
=
186
2
+
xx
k. Một số ph ơng pháp khác :
k.1.Ph ơng pháp miền giá trị :
Ví dụ1: Giải phơng trình:
1
+
x
+
931851 =+ xxx
(1)
Ta tìm miền giá trị của hàm số :
y =
1

x
+
931851 =+ xxx
trên tập xác định

[ ]
5;1
ta có:
y
,
=
xxxx 3182
3
52
1
12
1
12
1

+

+

+
+
> 0 với mọi x
[ ]
5;1

Do hàm số y liên tục và đồng biến trên
[ ]
5;1
nên miền giá trị của hàm số là
[ ]

)5();1( yy
hay
[ ]
`362;1522
+
. Suy ra y
min
=
1522

và
y
max
= 2 +
36

với mọi x
[ ]
5;1

Để phơng trình (1) có nghiệm thì y
min


9

y
max
nhng điều này không xảy ra vì
y

min
=
1522

< 9 và y
max
= 2 +
36

< 9
Do đó phơng trình (1) vô nghiệm vì không tồn tại giá trị x
[ ]
5;1

để y(x
i
) = 9
k.2.Ph ơng pháp hàm số:
Ví dụ 2: Giải phơng trình: x
3
+1 = 2
3
12

x
(1)
Ta có: (1)


3

3
12
2
1
=
+
x
x
Đặt y =
2
1
3
+x
hàm số có đạo hàm y
,
=
2
3
2
x


0 với mọi x nên đơn điệu tăng
và liên tục trong R.
y =
2
1
3
+x
có hàm ngợc y =

3
12

x
(vì y =
2
1
3
+x


x =
3
12

x
)
Do đó nghiệm của phơng trình là
3
3
12
2
1
=
+
x
x
cũng là nghiệm của phơng
trình
2

1
3
+x
= x

x
3
-2x + 1 = 0

x = 1 hoặc x =
2
51
+

.
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
15
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t trong trng ph thụng cp THCS
Vậy nghiệm của phơng trình là x= 1 và x =
2
51
+

.
k.3. Nhận xét:
Phơng pháp miền giá trị và phơng pháp hàm số ở trên mang nội dung kiến
thức ở bậc phổ thông trung học nên không áp dụng vào việc giảng dạy ở bậc
THCS mà chỉ dành cho giáo viên dạy ở bậc THCS tham khảo thêm mà nên tìm
cách đa về những phơng pháp quen thuộc để dạy học sinh THCS .
Chẳng hạn nh ví dụ 2 ta có thể đa về hệ phơng trình nh sau:

x
3
+ 1 = 2
3
12

x
Đặt t =
3
12

x


2x -1 = t
3

Ta có hệ: x
3
+ 1 = 3t
2x -1 = t
3
x
3
t
3
+ 2 (x-t) = 0
x
1
=1 ; x

2,3
=
2
51
+

.
4/ Kết quả.
4.1/ Nhận xét:
Trên đây tôi giới thiệu với các bạn một số phơng pháp giải phơng trình vô
tỉ, kết quả thu đợc rõ ràng đã có thể vận trong nhiều dạng toán, và ứng dụng của
các bài toán này không phải là ít. Nếu nh rèn luyện cho học sinh dạng toán này
thì chúng ta đã trang bị cho các em lợng kiến thức không phải là nhỏ. Trong ch-
ơng trình toán phổ thông của chúng ta còn rất nhiều phơng pháp nữa. Trên đây tôi
chỉ trình bày một số phơng pháp thông dụng trong chơng trình trung học cơ sở.
Tuy nhiên với dạng toán này thì không phải đối tợng nào cũng tiếp thu một cách
dễ dàng, vì vậy giáo viên phải khéo léo lồng vào các tiết dạy nhằm thu hút và
phát huy sự sáng tạo cho học sinh. Đây là một vấn đề hoàn toàn mới mẻ và hết
sức khó khăn cho học sinh ở mức trung bình, giáo viên nên cho các em làm quen
dần. Dạng toán này có tác dụng tơng hỗ, cao dần từ những kiến thức rất cơ bản
trong sách giáo khoa, giúp học sinh khắc sâu kiến thức biết t duy sáng tạo, biết
tìm cách giải dạng toán mới, tập trung Sáng tạo ra các vấn đề mới.
4.2. Kết quả sau khi áp dụng đề tài
Sau khi áp dụng đề tài tôi thấy rằng chất lợng qua kiểm tra đã đợc nâng lên
đáng kể, đặc biệt là đối tợng HS trung bình chất lợng đợc nâng lên rõ rệt.
Điểm dới 5 Điểm 5 - 6 Điểm 7 - 8 Điểm 9 - 10
SL % SL % SL % SL %
5 12,5% 20 50% 10 25% 5 12,5%
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
16

Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t trong trng ph thụng cp THCS
c - kết luận :
Trên đây là một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ mà tôi đã áp dụng
giảng dạy trên thực tế hiện nay ở trờng THCS cho học sinh đại trà cũng nh trong
quá trình ôn luyện , bồi dỡng học sinh giỏi .Tôi cùng các đồng nghiệp đã thu đợc
kết quả sau :
+ Học sinh tiếp thu bài nhanh dễ hiểu hơn, hứng thú tích cực trong học tập và
yêu thích bộ môn toán .
+ Học sinh tránh đợc những sai sót cơ bản, và có kĩ năng vận dụng thành thạo
cũng nh phát huy đợc tính tích cực của học sinh .
Tuy nhiên để đạt đợc kết quả nh mong muốn , đòi hỏi ngời giáo viên cần
hệ thống, phân loại bài tập thành từng dạng, giáo viên xây dựng từ kiến thức cũ
đến kiến thức mới từ cụ thể đến tổng quát, từ dễ đến khó và phức tạp ,phù hợp với
trình độ nhận thức của học sinh .
Ngời thầy cần phát huy chú trọng tính chủ động tích cực và sáng tạo của
học sinh từ đó các em có nhìn nhận bao quát, toàn diện và định hớng giải toán
đúng đắn. Làm đợc nh vậy là chúng ta đã góp phần nâng cao chất lợng giáo dục
trong nhà trờng.
Trong đề tài này chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế nhất định
.Vậy tôi rất mong đợc sự giúp đỡ cũng nh những góp ý của các thầy ,cô giáo cho
tôi để tôi rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy những năm học sau.
Để hoàn thành đề tài này ngoài việc tự nghiên cứu tài liệu, qua thực tế
giảng dạy tôi còn nhận đợc sự giúp đỡ của các đồng nghiệp ,các thầy cô giáo
trong tổ toán trờng ĐHSP Hà Nội I ,đặc biệt là sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo
Lê Anh Dũng trực tiếp hớng dẫn tôi hoàn thành đề tài này.
Tôi xin chân thành cảm ơn !

Ngời thực hiện:
Phạm Đình Sơn
D. tài liệu tham khảo

- SGK Toán 7-Nhà xuất bản GD 2003
- SGK Đại số 9-Nhà xuất bản GD
- Một số vấn đề phát triển Đại số 9-Nhà xuất bản GD 2001
- Toán bồi dỡng Đại số 9 - Nhà xuất bản GD 2002
- Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 9- Nhà xuất bản GD 1995
- Để học tốt Đại số 9 - Nhà xuất bản GD 1999
- Phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực - Nhà xuất bản GD 2002.
- 23 chuyên đề bài toán sơ cấp - Nhà xuất bản trẻ 2000.
- Những đề thi và những tài liệu khác có liên quan .
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
17