Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong chương trình toán THPT

SKKN: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: ĐOÀN KHẮC QUỐC
2. Ngày tháng năm sinh: 26-08-1978
3. Nam,nữ : Nam
4. Địa chỉ: Xuân Đông-Cẩm Mỹ-Đồng nai
5. Điện thoại:0984347530
6. Chức vụ: Tổ trưởng
7. Đơn vị công tác:THPT Võ Trường Toản.
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị : Cử nhân
- Năm nhận bằng:2001
- Chuyên ngành đào tạo: Toán học
III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán học
Số năm có kinh nghiệm: 7
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: không
- 1 -
BM02-LLKHSKKN
SKKN: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Phương trình chứa căn (còn gọi là phương trình vô tỉ) là một trong
lớp các bài toán về phương trình và bất phương trình vô tỉ. Phương trình siêu
việt, cũng như phương trình lượng giác thường xuyên đưa về phương trình
vô tỉ. Chính vì thế việc khảo sát phương trình vô tỉ là rất cần thiết.
Trong những năm gần đây, phương trình vô tỉ thường xuất hiện trong
các đề thi Đại Học-Cao Đẳng và đề thi Học Sinh Giỏi. Do đó, việc biên soạn
một hệ thống các bài tập và phương giải cho dạng toán này sẽ giúp ích cho
học sinh khi ôn luyện.
II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI.

1. Thuận lợi:
Đa số học sinh đều thích học môn Toán, các em học Toán để chuẩn bị
cho các kì thi Tốt Nghiệp Phổ Thông, Đại học, Cao đẳng và thi Học Sinh
Giỏi. Ngoài ra, được sự động viên, quan tâm và giúp đỡ của Ban Giám Hiệu
cũng như của đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện đề tài
này.
2. Khó khăn:
Học sinh chủ yếu là con em nông thôn, gia đình ở xa trường, điều kiện
kinh tế khó khăn, ngoài thời gian học ở trường các em còn phải phụ giúp gia
đình. Đa số điểm đầu vào của học sinh còn thấp, vì thế cũng có phần khó
khăn cho việc lĩnh hội kiến thức.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI:
A) Cơ sở lí luận:
Một trong những trọng tâm của đổi mới chương trình và sách giáo
khoa giáo dục phổ thông là tập trung vào đổi mới phương pháp dạy học,
- 2 -
SKKN: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
thực hiện việc dạy học dựa vào hoạt động tích cực, chủ động của học sinh
với sự tổ chức và hướng dẫn của giáo viên nhằm phát triển tư duy độc lập,
sáng tạo, góp phần hình thành phương pháp và du cầu tự học, bồi dưỡng
hứng thú học tập, tạo niềm tin và niềm vui trong học tập cho học sinh.Tiếp
tục tận dụng các ưu điểm của phương pháp truyền thống và dần dần làm
quen với những phương pháp dạy học mới.
Khi giải một bài toán, học sinh thường cố gắng tìm ra một phương pháp
tối ưu, đẹp nhất, chặt chẽ, chính xác nhất trong nhiều cách giải bài toán đó.
Với cách học đó giúp các em tích lũy được nhiều kinh nghiệm giải toán và
giải toán sáng tạo. Để bổ sung cho học sinh phương pháp giải phương trình
vô tỉ tôi giới thiệu đề tài “Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ”
B) Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài:
Một số phương trình vô tỉ khi giải bằng phương pháp thông thường sẽ

gặp rất nhiều khó khăn, vì phương trình chứa nhiều dấu căn khá phức tạp.
Ở đây tôi nêu ra hai phương pháp để giải phương trình vô tỉ là đặt ẩn phụ và
phương pháp vectơ.
1) Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình.
Đối với phương pháp này ta có thể đưa về hệ hai ẩn khác ẩn của phương
trình hoặc có thể chỉ đặt một ẩn và ẩn còn lại của hệ là ẩn của phương trình
ban đầu.
a) Đặt một ẩn phụ.
Ta tìm phương pháp chung để giải các phương trình dạng

+ = + +
2
ax b cx dx e
và
+ = + + +
3
3 2
ax b cx dx ex f
Dạng 1 :
+ = + + ≠ ≠ =
2
1
( 0, 0, )ax b mx cx d a m m
a
.
- 3 -
SKKN: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Xét hàm số
= + +
2

1
( )f x x cx d
a
.
Ta có
= +
2
'( )f x x c
a
,
= ⇔ = −'( ) 0
2
ac
f x x
.
Đặt
+ = +
2
ac
ax b y
, ta đưa phương trình dạng 1 về hệ đối xứng quen
thuộc.
Ví dụ 1: Giải phương trình
+ = −
2
5 5x x
.
Làm nháp: Xét hàm số
= −
2

( ) 5f x x
.
Ta có
= = ⇔ ='( ) 2 , '( ) 0 0f x x f x x
.
Giải
Đặt
+ = ≥5 ( 0)x y y
, ta được hệ phương trình

− =


− =


2
2
5
5
x y
y x
Hệ này là hệ đối xứng loại 2.
Giải hệ ta được

−
=




−

=


1 21
2
1 21
2
x
y
(loại) hoặc

+
=



+

=


1 21
2
1 21
2
x
y
hoặc


− −
=



− +

=


1 17
2
1 21
2
x
y
hoặc

− +
=



− −

=


1 17

2
1 21
2
x
y
(loại)
Vậy phương trình có hai nghiệm
+ − +
= =
1 21 1 17
,
2 2
x x
.
- 4 -
SKKN: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Ví dụ 2: Giải phương trình
+ = + −
2
1 61 29
3
3 36 6
x x x
.
Làm nháp: Xét hàm số
= + −
2
29
( ) 3
6

f x x x
.
Ta có
= + = ⇔ = −
1
'( ) 6 1, '( ) 0
6
f x x f x x
.
Giải
Đặt
+ = + ≥ −
1 61 1 1
( )
3 36 6 6
x y y
, ta được hệ phương trình

+ = +


+ = +


2
2
3 5
3 5
y y x
x x y

Suy ra
− + − = − ⇔ − + + = ⇔ =
2 2
3( ) ( ) ( )(3 3 2) 0y x y x x y x y y x y x

hoặc
+
= −
3 2
3
x
y
.
*Với
=
y x
, ta có
= ⇒ = =
2
5
3 5
3
y y x
.
*Với
+
= −
3 2
3
x

y
, ta có
+ − ±
+ = − + ⇔ + − = ⇔ =
2 2
3 2 3 1 26
3 5 9 6 13 0
3 9
x
x x x x x
.Từ đây ta
tìm được
y
và kết luận nghiệm của phương trình.
Dạng 2 :
+ = + + ≠ ≠ ≠
2
1
( 0, 0, )ax b cx dx e a c a
c
.
Xét hàm số
= + +
2
( )f x cx dx e
.
Ta có
= +'( ) 2f x cx d
,
= ⇔ = −'( ) 0

2
d
f x x
c
.
- 5 -
SKKN: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Đặt
+ = +2ax b cy d
, ta đưa phương trình dạng 2 về hệ đối xứng quen
thuộc.
Ví dụ 3: Giải phương trình
− = + +
2
9 5 3 2 3x x x
.
Làm nháp: Xét hàm số
= + +
2
( ) 3 2 3f x x x
.
Ta có
= + = ⇔ = −
1
'( ) 6 2, '( ) 0
3
f x x f x x
.
Giải
Đặt

− = + ≥ −
1
9 5 3 1( )
3
x y y
, ta được hệ phương trình

+ = −


+ = −


2
2
3 2 3 2
3 2 3 2
y y x
x x y
Từ đây ta có thể dễ dàng giải tiếp .
Dạng 3 :
+ = + + + ≠ ≠ =
3
3 2
1
( 0, 0, )ax b cx dx ex f a c a
c
.
Xét hàm số
= + + + ⇒ = + + ⇒ = +

3 2 2
( ) '( ) 3 2 ''( ) 6 2f x cx dx ex f f x cx dx e f x cx d
.
= ⇔ = −
''( ) 0
3
d
f x x
c
.
Đặt
+ = +
3
3
d
ax b y
c
, ta đưa pt dạng 3 về hệ đối xứng quen thuộc.
Ví dụ 4: Giải phương trình
+ = −
3
3
1 2 2 1x x
.
Làm nháp: Xét hàm số
= +
3
1 1
( )
2 2

f x x
.
Ta có
= = = ⇔ =
2
3
'( ) , ''( ) 3 , ''( ) 0 0
2
f x x f x x f x x
.
- 6 -
SKKN: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Giải
Đặt
= −
3
2 1y x
, ta được hệ phương trình

+ =


+ =


3
3
1 2
1 2
x y

y x
Trừ hai phương trình của hệ vế theo vế, ta được :
− = −
3 3
2 2x y y x

=

⇔ − + + + = ⇔
+ + + =


2 2
2 2
( )( 2) 0
2 0( )
y x
y x y xy x
y xy x V N
Thay
=
x y
vào phương trình ban đầu ta được :
− + =
3
2 1 0x x
±
⇔ = =
1 5
1,

2
x x
.
Dạng 4 :
+ = + + + ≠ ≠ ≠
3
3 2
1
( 0, 0, )ax b cx dx ex f a c a
c
.
Xét hàm số
= + + + ⇒ = + + ⇒ = +
3 2 2
( ) '( ) 3 2 ''( ) 6 2f x cx dx ex f f x cx dx e f x cx d
.
= ⇔ = −''( ) 0
3
d
f x x
c
.
Đặt
+ = +
3
3ax b cy d
, ta đưa pt dạng 4 về hệ đối xứng quen thuộc.
Ví dụ 5: Giải phương trình
− = − + −
3

3 2
4
81 8 2 2
3
x x x x
.
Làm nháp: Xét hàm số
= − + −
3 2
4
( ) 2 2
3
f x x x x
.
- 7 -
SKKN: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Ta có
= − = = − = ⇔ =
2
4 2
'( ) 3 4 , ' '( ) 6 4, ''( ) 0
3 3
f x x x f x x f x x
.
Giải
Đặt
− = −
3
81 8 3 2x y
, ta được hệ phương trình


= − +




= − +


3 2
3 2
4
3 2
3
4
3 2
3
y x x x
x y y y
Đáp số :
±
= =
3 2 6
0;
3
x x
.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Giải các phương trình sau :
1)

= − +
2
2 2x x
; 2)
− − = +
2
4 3 5x x x
; 3)
+ = −
3
3
2 3 3 2x x
;
4)
+ = − + −
2
3 1 4 13 5x x x
; 5)
+ = + +
2
1 4 5x x x
; 6)
+ = +
2
1 9
7 7
7 28
x x x
.
b) Đặt hai ẩn phụ.

Khi biểu thức dưới dấu căn có mối liên hệ với nhau, ta đặt hai ẩn phụ để
đưa về hệ phương trình.
Ví dụ 6: Giải phương trình
− + − + − =
2 2
3 2 1x x x x
Giải
Đặt
= − +
2
3u x x
và
= + − ≥
2
2 ( , 0)v x x u v
, ta được hệ phương trình :
 
− = = +

=
  
⇔ ⇔
  
=
+ = + − =

 

 
2 2 2

1 1
2
1
5 2 0
u v u v
u
v
u v v v
hoặc

= −


= −


1
2
u
v
(loại)
- 8 -
SKKN: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Đáp số :
±
=
1 5
2
x
.

Ví dụ 7: Giải phương trình
+ − − =
3 3
34 3 1x x
Giải
Đặt
= +
3
34u x
và
= −
3
3v x
, ta được hệ phương trình :
  
− = − = = +
  
⇔ ⇔
  
− = − + + = + + + + =
  
  
3 3 2 2 2 2
1 1 1
37 ( )( ) 37 ( 1) ( 1) 37
u v u v u v
u v u v u uv v v v v v
2
1
4

3
12 0
u v
u
v
v v

= +

=
 
⇔ ⇔
 
=
+ − =




hoặc

= −


= −


3
4
u

v
.
Khi đó

+ =


− =


3
3
34 3
3 4
x
x
hoặc

+ =


− =


3
3
34 3
3 4
x
x

Giải ra được
= = −
30, 61x x
.
Ví dụ 8:Giải phương trình
− + − − =
3
2 3 2 3 6 5 8 0x x
(ĐH Khối A- 2009)
Giải
Đặt
= −
3
3 2u x
và
= − ≥6 5( 0)v x v
, ta được hệ phương trình :
 
− −

+ =
= =
  
⇔ ⇔
  
+ =
  
+ − + = + − + =

 

3 2
3 2 2
8 2 8 2
2 3 8
3 3
5 3 8
15 4 32 40 0 ( 2)(15 26 20) 0
u u
u v
v v
u v
u u u u u u

= −


=


2
4
u
v
.Giải hệ

− = −


− =



3
3 2 2
6 5 4
x
x
ta được
= −2x
.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
- 9 -
SKKN: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Giải các phương trình
Bài 1: Giải các phương trình
+
+ = >
2
4 9
7 7 ( 0)
28
x
x x x
.ĐS:
−
=
5 2 6
4
x
Bài 2: Giải các phương trình
− + + =

4
4
47 2 35 2 4x x
.ĐS:
= − =17; 23x x
.
Bài 3: Giải các phương trình
+ − =
3
3 1x x
.ĐS:
= =1; 2 2x x
.
Bài 4: Giải các phương trình
+ = +
2
6 4x x x
.ĐS:
− + − +
= =
3 17 5 13
;
2 2
x x
Bài 5: Giải các phương trình
− + − =
3
2 1 1x x
.ĐS:
= = =1; 2; 10.x x x

Bài 6: Giải các phương trình
+ = +
3 2
5 1 2( 2)x x
.ĐS:
±
=
5 37
2
x
.
2) Vận dụng kiến thức vectơ để giải phương trình.
Một số kiến thức vận dụng :
●
+ ≤ +
r r r r
u v u v
●
+ = + ⇔ = >
r r r r r r
( 0)u v u v u kv k

●
− ≥ −
r r r r
u v u v

●
( 0)u v u v u kv k− = − ⇔ = >
r r r r r r

●
= ⇔ = >
r r r r r r
. . ( 0)u v u v u kv k
Ví dụ 9: Giải phương trình
− + − − + =
2 2
2 5 6 10 5x x x x
Giải
Phương trình
⇔ − + − − + =
2 2
( 1) 4 ( 3) 1 5x x
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
,chọn các vectơ có tọa độ như sau :
= −
r
( 1;2)u x
- 10 -
SKKN: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
= −
r
( 3;1)v x
Ta có :
− =
r r
(2;1)u v
− =

r r
5u v
− = − + − − +
r r
2 2
( 1) 4 ( 3) 1u v x x
Vì
− = − ⇔ = >
r r r r r r
( 0)u v u v u kv k
nên
−
= ⇔ =
−
1
2 5
3
x
x
x
.
Vậy nghiệm của phương trình là
= 5x
.
Ví dụ 10: Giải phương trình
+ + + − + =
2 2
2 10 6 13 41x x x x
Giải
PT

⇔ + + + − + =
2 2
( 1) 9 (3 ) 4 41x x
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
,chọn các vectơ có tọa độ như sau :
= +
r
( 1;3)u x
= −
r
(3 ;2)v x
Ta có :
+ =
r r
(4;5)u v
+ =
r r
41u v
+ = + + + − +
r r
2 2
( 1) 9 (3 ) 4u v x x
Vì
+ = + ⇔ = >
r r r r r r
( 0)u v u v u kv k
nên
+
= ⇔ =

−
1 3 7
3 2 5
x
x
x
.
Vậy nghiệm của phương trình là
=
7
5
x
.
Ví dụ 11: Giải phương trình
− − + − = − + −
2 3
(3 ) 1 5 2 40 34 10x x x x x x
- 11 -
SKKN: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Giải
Điều kiện:
≤ ≤
5
1
2
x
.
PT
⇔ − − + − = − + −
2 3

(3 ) 1 5 2 40 34 10x x x x x x


⇔ − − + − = − + −
2
(3 ) 1 5 2 [(3 ) 1](4 )x x x x x
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
,chọn các vectơ có tọa độ như sau :
= −
r
(3 ;1)u x
= − −
r
( 1; 5 2 )v x x
Ta có :
= − − + −
r r
. (3 ) 1 5 2u v x x x
= − + − = − + −
r r
2 2 3
. (3 ) 1. 4 40 34 10u v x x x x x
Vì
= ⇔ = >
r r r r r r
. . ( 0)u v u v u kv k
nên
−
= ⇔ − + − = ⇔ =

− −
3 2
3 1
2 17 49 46 0 2
1 5 2
x
x x x x
x x
.
Vậy nghiệm của phương trình là
= 2x
.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Giải các phương trình
+ − − + − − − =3 4 8 6 1 1x x x x
.
ĐS:
≤ ≤5 10x
Bài 2: Giải các phương trình
− + + + + =
2 2
8 816 10 267 2003x x x x
.
ĐS:
= −
56
31
x
Bài 3: Giải các phương trình
− + − = − +

2
2 4 6 11x x x x
.ĐS:
= 3x
- 12 -
SKKN: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Bài 4: Giải các phương trình
− + + + + =
2 2
2 5 2 10 29x x x x
.ĐS:
=
1
5
x
Bài 5: Giải các phương trình
+ − + − − =2 1 2 1 2x x x x
.
Bài 6: Giải các phương trình
+ + + − + =
2 2
2 2 2 2 2 2x x x x
.ĐS:
= 0x
IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI:
- Qua thưc tế giảng dạy, nếu học sinh nắm được những vấn đề lý
thuyết cơ bản về hình học và đại số –nhận dạng được các loại bài tập –
phương pháp giải từng loại bài tập có hệ thống như trên thì sẽ giúp cho các
em giải quyết đươc bài toán giải phương trình vô tỉ trong các đề thi Đại học-
Cao đẳng một cách nhanh chóng.

- Kết quả cho thấy: đa số HS biết ứng dụng và thấy có hiệu quả.
V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
Sáng kiến kinh nghiệm góp thêm một phần thiết thực vào việc ôn thi
đại học của học sinh. Nó giúp học sinh thấy được cách giải quyết vấn đề
nhanh chóng và hiệu quả khi nắm vững phương pháp.
Tôi rất mong được hội đồng chuyên môn nhà trường góp ý, bổ sung để
đề tài được hoàn thiện hơn và có thể triển khai áp dung rộng rãi để giảng dạy
cho học sinh lớp 12 chuẩn bị thi Đại học-Cao đẳng.
Trong quá trình biên soạn đề tài tôi đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên
cũng không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý chân
thành của đồng nghiệp và hội đồng chuyên môn nhà trường để đề tài hoàn
thiện hơn.
VI.TÀI LIỆU THAM KHẢO.
1.Sách giáo khoa: Đại số 10
2.Sách giáo khoa: Hình hoc 10 nâng cao.
- 13 -
SKKN: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
3.Phương trình và bất phương trình –Phan Huy Khải
4.Một số tài liệu trên mạng.

NGƯỜI THỰC HIỆN
Đoàn Khắc Quốc
- 14 -