bài tập lượng giác lớp 11 hay

CHƯƠNG XI:
NHẬN DẠNG TAM GIÁC
I. TÍNH CÁC GÓC CỦA TAM GIÁC
Bài 201: Tính các góc của
A
BCΔ
nếu :

()()()()
3
sin B C sin C A cos A B *
2
++ ++ +=

Do
A
BC
+
+=π

Nên:
()
3
* sin A sin B cosC
2
⇔
+−=

+−
⎛⎞
⇔−

⎜⎟
⎝⎠
−
⇔−=
−
⇔− +=
−−
⎛⎞
−=
⇔
−+−
⎜⎟
⎝⎠
−−
⎛⎞
⇔− + =
⎜⎟
⎝⎠
−
⎧
=
⎪⎪⎪
⇔
⎨
−
⎪
=
⎪
⎩
==

⇔
2
2
2
2
2
2
2
=
A
BAB C 3
2 sin cos 2 cos 1
22 2
CAB C1
2 cos cos 2cos
22 22
CCAB
4 cos 4 cos cos 1 0
222
C AB AB
2 cos cos 1 cos 0
22 2
C AB AB
2 cos cos sin 0
22 2
CAB
2 cos cos
22
AB
sin 0

2
C
2 cos cos 0 1
2
A
2
⎧
π
⎧
⎪⎪⎪
=
⎪
⇔
⎨⎨
−
⎪⎪
==
⎩
⎪
⎩
π
⎧
==
⎪
⎪
⇔
⎨
π
⎪
=

⎪
⎩
C
23
B
AB0
2
AB
6
2
C
3

Bài 202: Tính các góc của
A
BC
Δ
biết:
()
5
cos2A 3 cos 2B cos2C 0 (*)
2
+++=

Ta có:
() ()()
2
5
* 2 cos A 1 2 3 cos B C cos B C
2

0
⇔
−+ + − + =⎡ ⎤
⎣⎦

MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Onlinev
Vuihoc24h.vn
(
)
() ()
() ()
()
()
⇔− −+=
⎡⎤
⇔
−−+−−
⎣⎦
⎡⎤
⇔− −+ −=
⎣⎦
−=⎧ −=
⎧
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
=
=−

⎪⎪
⎩
⎩
⎧
=
⎪
⇔
⎨
==
⎪
⎩
2
2
2
2
2
0
0
4 cos A 4 3 cos A. cos B C 3 0
2 cos A 3 cos B C 3 3 cos B C 0
2 cos A 3 cos B C 3sin B C 0
sin B C 0 B C 0
3
3
cos A
cos A cos B C
2
2
A30
BC75

=
Bài 203: Chứng minh
A
BCΔ
có nếu :
0
C 120=
A
BC
sin A sin B sin C 2sin sin 2sin (*)
22 2
++− ⋅ =

Ta có
A
BABCC ABC
(*) 2sin cos 2sin cos 2sin sin 2sin
22 2222
CAB CC AB A
2cos cos 2sin cos 2cos 2sin sin
22 22 2 2
CAB C AB
cos cos sin cos cos
22 2 22
CAB AB AB
cos cos cos cos cos
22 2 22
CAB AB
2cos cos cos cos cos
222 22

+−
⇔+=
−+
⇔+=+
−
⎛⎞
⇔+=⋅
⎜⎟
⎝⎠
−+
⎡⎤
⇔+=
⎢⎥
⎣⎦
⇔=
2
B
2
+
C1
cos
22
⇔=
(do
A
cos 0
2
>
và
B

cos 0
2
>
vì
A
B
0;
22 2
π
<
<
)
⇔=
0
C 120

Bài 204: Tính các góc của
C
Δ
ΑΒ
biết số đo 3 góc tạo cấp số cộng và
33
sin A sin B sin C
2
+
++=

Không làm mất tính chất tổng quát của bài toán giả sử
A
BC<<

Ta có: A, B, C tạo 1 cấp số cộng nên A + C = 2B
Mà
A
BC++=π
nên
B
3
π
=
Lúc đó:
33
sin A sin B sin C
2
+
++=

MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Onlinev
Vuihoc24h.vn

33
sin A sin sin C
32
3
sin A sin C
2
AC AC 3
2sin cos

222
BAC3
2cos cos
222
3AC3
2. cos
222
CA 3
cos cos
22 6
π+
⇔++=
⇔+=
+−
⇔=
−
⇔=
⎛⎞
−
⇔=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
−π
⇔==

Do C > A nên có:
CΔΑΒ
−π π
⎧ ⎧

= =
⎪ ⎪
⎪ ⎪
ππ
⎪⎪
+= ⇔ =
⎨⎨
⎪⎪
ππ⎪⎪
==
⎪⎪
⎩⎩
CA
C
26 2
2
CA A
36
BB
33
Bài 205: Tính các góc của
A
BCΔ
nếu
(
)
()
⎧
+≤
⎪

⎨
++=+
⎪
⎩
22 2
bca 1
sin A sin B sin C 1 2 2
Áp dụng đònh lý hàm cosin:
22
bca
cos A
2bc
+−
=
2
2
Do (1): nên
22
bca+≤
cos A 0
≤
Do đó:
A
A
242
ππ
≤<π⇔≤<
2
π

Vậy
()
A2
cos cos
242
π
≤
=∗

Mặt khác:
sin A sin B sin C++
BC BC
sin A 2sin cos
22
+
−
=+

A
BC
sin A 2cos cos
22
−
=+

2
12 1
2
⎛⎞
≤

+⋅
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

()
−
⎛⎞
≤
⎜⎟
⎝⎠
BC
do * và cos 1
2

Mà sin A sin B sin C 1 2 do (2)++=+
MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Online
Vuihoc24h.vn
Dấu “=” tại (2) xảy ra
⎧
=
⎪
⎪
⎪
⇔=
⎨
⎪
−

⎪
=
⎪
⎩
sin A 1
A
2
cos
22
BC
cos 1
2
π
⎧
=
⎪
⎪
⇔
⎨
π
⎪
=
=
⎪
⎩
A
2
BC
4

Bài 206: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2004)
Cho
A
BCΔ
không tù thỏa điều kiện

(
)
cos2A 2 2cosB 2 2cosC 3 *++=

Tính ba góc của
A
BCΔ


* Cách 1: Đặt M = cos2A 2 2cosB 2 2cosC 3
+
+−
Ta có: M =
2
BC BC
2cos A 4 2 cos cos 4
22
+
−
+−

⇔
M =

2
A
BC
2cos A 4 2sin cos 4
22
−
+−

Do
A
sin 0
2
>
và
B - C
cos 1
2
≤

Nên
2
A
M2cosA42sin 4
2
≤
+−

Mặt khác:
A
BCΔ

không tù nên
0A
2
π
<
≤


⇒≤ ≤
⇒≤
2
0cosA1
cos A cos A
Do đó:
A
M2cosA42sin 4
2
≤+ −


2
2
2
A
A
M12sin 42sin 4
22
AA
M4sin 42sin 2
22

A
M22sin 1 0
2
⎛⎞
⇔≤− + −
⎜⎟
⎝⎠
⇔≤− + −
⎛⎞
⇔≤− − ≤
⎜⎟
⎝⎠

Do giả thiết (*) ta có M=0
Vậy:
2
0
0
cos A cos A
A90
BC
cos 1
2
BC45
A1
sin
2
2
⎧
⎪

=
⎪
⎧
=
−
⎪⎪
=⇔
⎨⎨
==
⎪
⎩
⎪
⎪
=
⎪
⎩

* Cách 2:
()
* cos2A 22cosB 22cosC 3 0⇔+ + −=

MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Vuihoc24h.vn
()
()
()
()
2
2

2
2
2
2
2
BC BC
cos A 2 2 cos cos 2 0
22
ABC
cos A cosA cos A 2 2 sin cos 2 0
22
AABC
cos A cos A 1 1 2sin 2 2 sin cos 2 0
222
A BC BC
cos A cos A 1 2 sin cos 1 cos 0
22 2
ABC B
cos A cos A 1 2 sin cos sin
22
+−
⇔+ −=
−
⇔−++ −=
−
⎛⎞
⇔−+−+ −
⎜⎟
⎝⎠
−−

⎛⎞⎛
⇔−−−−−
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
−−
⎛⎞
⇔−−−−
⎜⎟
⎝⎠
=
⎞
=
⎟
⎠
C
0 (*)
2
=
Do
A
BCΔ
không tù nên và
cos A 0≥
cos A 1 0
−
<

Vậy vế trái của (*) luôn
≤
0

Dấu “=” xảy ra
cos A 0
A
BC
2 sin cos
22
BC
sin 0
2
⎧
⎪ =
⎪
−
⎪
⇔=
⎨
⎪
−
⎪
=
⎪
⎩


⎧
=
⎪
⇔
⎨
==

⎪
⎩
0
0
A90
BC45
Bài 207: Chứng minh
A
BCΔ có ít nhất 1 góc 60
0
khi và chỉ khi
sin A sinB sin C
3(*)
cos A cosB cosC
+
+
=
++
Ta có:
()
(
)
(
)
(*) sin A 3 cos A sin B 3 cosB sin C 3 cosC 0⇔− +− +− =

sin A sin B sin C 0
333
AB AB
2sin cos sin C 0

23 2 3
πππ
⎛ ⎞⎛⎞⎛⎞
⇔ −+ −+ −=
⎜ ⎟⎜⎟⎜⎟
⎝ ⎠⎝⎠⎝⎠
+π − π
⎛⎞ ⎛⎞
⇔−+−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
=
CABCC
2sin cos 2sin cos 0
22 3 2 26 26
CABC
2sin cos cos 0
26 2 26
⎡π π⎤ − π π
⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞
⇔−− +− −
⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
π⎡ − π⎤
⎛⎞ ⎛⎞
⇔−− +−=
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥

⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦
=
π− ππ
⎛⎞ ⎛⎞⎛
⇔−=∨ =−=−
⎜⎟ ⎜⎟⎜
⎝⎠ ⎝⎠⎝
CABC
sin 0 cos cos cos
26 2 26 3 2
+
⎞
⎟
⎠
AB

π−π+−+π+
⇔ =∨ =− ∨ =−
CABABABA
26232 2 32
B

ππ
⇔=∨ =∨=CAB
33
π
3

MATHVN.COM

www.MATHVN.com
Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Online
Vuihoc24h.vn
Bài 208: Cho
A
BCΔ
và V = cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C – 1. Chứng minh:
a/ Nếu V = 0 thì
A
BCΔ
có một góc vuông
b/ Nếu V < 0 thì
A
BCΔ có ba góc nhọn
c/ Nếu V > 0 thì
A
BCΔ
có một góc tù
Ta có:
()()
2
11
V
1 cos2A 1 cos2B cos 1

22
=
++++−

()
()()
()
()(
2
2
2
1
V cos2A cos2B cos C
2
)
V
cos A B .cos A B cos C
V cosC.cos A B cos C
V
cosC cos A B cos A B
V
2cosCcos A cosB
⇔= + +
⇔= + −+
⇔=− −+
⇔=− −+ +⎡ ⎤
⎣⎦
⇔=−
Do đó:
a / V 0 cos A 0 cosB 0 cosC 0

=
⇔ =∨ =∨ =

⇔
A
BCΔ
⊥
tại A hay
A
BCΔ
⊥
tại B hay
A
BC
Δ
⊥
tại C
b / V 0 cos A.cosB.cosC 0
<
⇔>


⇔
A
BCΔ
có ba góc nhọn
( vì trong 1 tam giác không thể có nhiều hơn 1 góc tù nên
không có trường hợp có 2 cos cùng âm )
c / V 0 cos A.cosB.cosC 0>⇔ <

cos A 0 cos B 0 cosC 0⇔<∨<∨<
⇔
A
BCΔ
có 1 góc tù.
II. TAM GIÁC VUÔNG
Bài 209: Cho
A
BCΔ
có
+
=
Bac
cotg
2b

Chứng minh
A
BCΔ vuông
Ta có:
Bac
cotg
2b
+
=

++
⇔= =
B
cos

2R sin A 2R sin C sin A sin C
2
B
2R sin B sin B
sin
2
+−
⇔=
BACA
cos 2sin .cos
22
BB
sin 2sin .cos
22
C
2
B
2
−
⇔= >
2
BBAC B
cos cos .cos (do sin 0)
22 2 2

MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Online
Vuihoc24h.vn
−

⇔= >
BAC B
cos cos (do cos 0)
22 2

−−
⇔= ∨=
⇔=+∨=+
BACBCA
2222
A
BCCAB

ππ
⇔=∨=
⇔Δ Δ
AC
22
ABC vuông tại A hay ABC vuông tại C
Bài 210: Chứng minh
A
BCΔ
vuông tại A nếu

bc a
cos B cosC sin Bsin C
+=

Ta có:
bc a

cos B cosC sin Bsin C
+=

⇔+=
+
⇔=
2R sin B 2R sinC 2R sin A
cosB cosC sin Bsin C
sin Bcos C sin C cos B sin A
cos B.cosC sin BsinC
()
+
⇔=
⇔=
sin B C
sin A
cosB.cosC sin B sinC
cos BcosC sin BsinC (do sin A 0)
>
()
⇔−
⇔+=
π
⇔+=
⇔Δ
cos B.cos C sin B.sin C 0
cos B C 0
BC
2
ABC vuông tại A

=
Bài 211: Cho
A
BCΔ
có:
A
BC ABC1
cos cos cos sin sin sin (*)
222 2222
⋅⋅−⋅⋅=

Chứng minh
A
BCΔ
vuông
Ta có:
⇔=+
+− +−
⎡⎤⎡
⇔+ =−−
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣
⎤
⎥
⎦
A
BC1 ABC
(*) cos cos cos sin sin sin
2222 222
1AB ABC11AB AB

cos cos cos cos cos sin
22 22222 2
C
2
−−
⎡⎤⎡⎤
⇔+ =−−
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
−−
⇔+ =−+=−+
22
CABC CABC
sin cos cos 1 sin cos sin
222 222
C C AB C C C C AB C
sin cos cos cos 1 sin cos 1 sin cos sin
2222 22 22
2
MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Online
Vuihoc24h.vn
−−
⇔+ =+
2
C C AB C C AB C
sin cos cos cos cos cos sin
22 2 2 2 2
2

−
⎡⎤⎡⎤
⇔−= −
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
−
⎡⎤⎡ ⎤
⇔− − =
⎢⎥⎢ ⎥
⎣⎦⎣ ⎦
CC C ABC C
cos sin cos cos sin cos
22 2 2 2 2
CCCAB
sin cos cos cos 0
222 2

−
⇔=∨=
−−
⇔ =∨= ∨=
π
⇔=∨=+∨=+
πππ
⇔=∨=∨=
CCCA
sin cos cos cos
222 2
CCABCB

tg 1
22222
C
ABCBAC
24
CAB
222
B
A

Bài 212: Chứng minh
A
BCΔ vuông nếu:
3(cos B 2 sin C) 4(sin B 2cos C) 15+++=
Do bất đẳng thức Bunhiacốpki ta có:

22
3cos B 4 sin B 9 16 cos B sin B 15+≤+ +=
và
22
6sin C 8cos C 36 64 sin C cos C 10+≤+ +=
nên: 3(cos B 2 sin C) 4(sin B 2cos C) 15+++≤
Dấu “=” xảy ra
cosB sin B 4
tgB
34
sin C cosC 4
cotgC=
68
⎧⎧

==
⎪⎪
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎪⎪
=
⎪⎪
⎩⎩
3
3


⇔=
π
⇔+=
tgB cotgC
BC
2


A
BC⇔Δ
vuông tại A.

Bài 213: Cho
A
BCΔ
có:
sin 2A sin 2B 4sin A.sin B

+
=

Chứng minh
A
BCΔ
vuông.
Ta có: +=sin 2A sin 2B 4 sin A.sin B
[
]
[]
⇔+ −=−+−−
⇔+=−+ −
2 sin(A B) cos(A B) 2 cos(A B) cos(A B)
cos(AB) 1sin(AB)cos(AB)

[
]
⇔− = − −cos C 1 sin C cos(A B)
⇔− + = − −
2
cos C(1 sin C) (1 sin C).cos(A B)

⇔− + = −
2
cos C(1 sin C) cos C.cos(A B)

⇔= −+ = −cos C 0hay (1 sin C) cos C.cos(A B) (*)

⇔=cos C 0

( Do nên
sin C 0>
(1 sin C) 1−+ <−
Mà co .Vậy (*) vô nghiệm.) sC.cos(A B) 1−≥−
MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Vuihoc24h.vn
Do đó
A
BCΔ
vuông tại C
III. TAM GIÁC CÂN
Bài 214:Chứng minh nếu
A
BCΔ
có
C
tgA tgB 2cotg
2
+=

thì là tam giác cân.
Ta có:
C
tgA tgB 2cotg
2
+=

C

2cos
sin(A B)
2
C
cos A.cos B
sin
2
C
2cos
sin C
2
C
cos A.cos B
sin
2
CC C
2sin cos 2cos
22
C
cos A cos B
sin
2
+
⇔=
⇔=
⇔=
2
⇔
2
CC

sin cos A.cos B do cos 0
22
⎛⎞
=>
⎜⎟
⎝⎠

()()(
()
()
⇔− = ++ −⎡ ⎤
⎣⎦
⇔− =− + −
⇔−=
⇔=
11
1 cosC cos A B cos A B
22
1 cos C cosC cos A B
cos A B 1
)
A
B

A
BC⇔Δ cân tại C.
Bài 215: Chứng minh
A
BCΔ cân nếu:

33
A
BB
sin .cos sin .cos
22 22
=
A

Ta có:
33
A
BB
sin .cos sin .cos
22 22
=
A


22
A
B
sin sin
11
22
AA BB
cos cos cos cos
22 22
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⇔=

⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
(do
A
cos
2
>
0 và
B
cos
2
>
0 )
MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Online
Vuihoc24h.vn

22
33
22
A
AB B
tg 1 tg tg 1 tg
2222
ABAB
tg tg tg tg 0
2222
AB A BAB

tg tg 1 tg tg tg .tg 0 (*)
22 2 222
⎛⎞⎛⎞
⇔+=+
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⇔−+−=
⎛⎞⎡ ⎤
⇔− +++ =
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠⎣ ⎦

⇔=
A
B
tg tg
22
( vì
22
A
BAB
1 tg tg tg tg 0
2222
+
++ >
)

⇔=
A

B


A
BC⇔Δ cân tại C

Bài 216: Chứng minh
A
BCΔ cân nếu:

()
22
22
22
cos A cos B 1
cotg A cotg B (*)
sin A sin B 2
+
=+
+
Ta có:
(*)
22
22 2 2
cos A cos B 1 1 1
2
sin A sin B 2 sin A sin B
+
⎛⎞
⇔=+

⎜⎟
+
⎝⎠
−

22
22 2 2
cos A cos B 1 1 1
1
sin A sin B 2 sin A sin B
+
⎛⎞
⇔+=+
⎜⎟
+
⎝⎠

⎛⎞
⇔=+
⎜⎟
+
⎝⎠
22 2 2
2111
2sin A sin B sin A sin B

()
⇔=+
2
22 2 2

4 sin A sin B sin A sin B

()
22
0 sin A sin B
sin A sin B
⇔= −
⇔=
Vậy
A
BCΔ
cân tại C
Bài 217: Chứng minh
A
BCΔ
cân nếu:

()
C
a b tg atgA btgB (*)
2
+= +

Ta có:
()
C
a b tg atgA btgB
2
+= +

()
⇔+ = +
C
a b cotg atgA btgB
2
⎡⎤⎡
⇔− +−
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣
CC
a tgA cotg b tgB cotg 0
22
⎤
=
⎥
⎦

++
⎡⎤⎡
⇔− +−
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣
⎤
=
⎥
⎦
A
BA
a tgA tg b tgB tg 0
22

B

−−
⇔+
++
=
A
BBA
a sin b sin
22
0
AB AB
cos A.cos cos B.cos
22
MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Online
Vuihoc24h.vn
−
⇔= −=
A
Bab
sin 0 hay 0
2 cos A cos B

⇔= =
2R sin A 2R sin B
ABhay
cos A cos B

⇔= = ⇔Δ
A
B hay tgA tgB ABC
cân tại C
IV. NHẬN DẠNG TAM GIÁC
Bài 218: Cho
A
BCΔ
thỏa:
a cosB bcos A asin A bsinB (*)
−
=−

Chứng minh
A
BCΔ vuông hay cân
Do đònh lý hàm sin:
a 2R sin A, b 2Rsin B
=
=

Nên (*)
(
)
22
2R sin A cos B 2R sin B cos A 2R sin A sin B⇔−=−

()()()
()
[]

() ()()
() ()
() ()
22
sin A cosB sin B cos A sin A sin B
11
sin A B 1 cos2A 1 cos 2B
22
1
sin A B cos 2B cos 2A
2
sin A B sin A B sin B A
sinA B 1 sinA B 0
sinA B 0 sinA B 1
ABAB
2
⇔−=−
⇔−=− −−
⇔−= −
⇔−=− + −⎡ ⎤
⎣⎦
⇔−−+=⎡ ⎤
⎣⎦
⇔−=∨+=
π
⇔=∨+=
vậy
A
BCΔ
vuông hay cân tại C

Cách khác
()
−=−
⇔−=+ −
22
sin A cos B sin B cos A sin A sin B
sin A B (sin A sin B) ( sin A sin B)

()
+− +−
⇔−=
A
BAB ABAB
sin A B ( 2 sin cos ) (2 cos sin )
22 22

()()
(
)
() ()
⇔−=+ −
⇔−=∨+=
π
⇔=∨+=
sin A B sin A B sin A B
sin A B 0 sin A B 1
ABAB
2
Bài 219
A

BCΔ là tam giác gì nếu

()
()
(
)
(
)
22 22
a b sin A B a b sin A B (*)+−=−+
Ta có: (*)
()
(
)
(
)
()
22 22 2 2 2
4R sin A 4R sin B sin A B 4R sin A sin B sin A B⇔+ −=− +
()()
(
)()
22
sin A sin A B sin A B sin B sin A B sin A B 0⇔−−++−++⎡ ⎤⎡
⎣⎦⎣
=⎤
⎦
=
()
22

2sin A cos A sin B 2sin B sin A cos B 0⇔−+
MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Online
Vuihoc24h.vn
sin A cos A sin Bcos B 0⇔− + =
(do
sin
và
sin
)
A 0> B 0>
sin 2A sin 2B
2A 2B 2A 2B
ABAB
2
⇔=
⇔=∨=π−
π
⇔=∨+=
Vậy
A
BCΔ
cân tại C hay
A
BCΔ
vuông tại C.
Bài 220:
A
BCΔ

là tam giác gì nếu:

22
a sin 2B b sin 2A 4ab cos A sin B (1)
sin 2A sin 2B 4sin A sin B (2)
⎧
+=
⎨
+=
⎩
Ta có:
(1)
22 22 2 2
4R sin A sin 2B 4R sin Bsin 2A 16R sin A sin Bcos A⇔+=
()
22 2
22
sin A sin 2B sin Bsin 2A 4sin A sin B cos A
2sin A sin B cos B 2sin A cos A sin B 4sin A sin Bcos A
sin A cosB sin B cos A 2sin B cos A (dosin A 0,sin B 0)
sin A cosB sin B cos A 0
sin A B 0
AB
⇔+=
⇔+=
⇔+= >
⇔−=
⇔−=
⇔=
2

>
Thay vào (2) ta được

2
sin 2A 2sin A=
()
2
2sinAcosA 2sin A
cos A sin A dosin A 0
tgA 1
A
4
⇔=
⇔= >
⇔=
π
⇔=
Do đó
A
BCΔ
vuông cân tại C
V. TAM GIÁC ĐỀU
Bài 221: Chứng minh
A
BCΔ đều nếu:

(
)
bc 3 R 2 b c a (*)=+−⎡ ⎤
⎣⎦

Ta có:(*)
()()
(
)
2R sin B 2R sin C 3 R 2 2R sin B 2R sin C 2R sin A⇔=+−
⎡
⎤
⎣
⎦

()
(
)
⇔=+−2 3 sin B sin C 2 sin B sin C sin B C+

()
⇔=+−−2 3 sin B sin C 2 sin B sin C sin B cos C sin C cos B

⎡⎤⎡
⇔−− +−−
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣
13 13
2sin B 1 cos C sin C 2 sin C 1 cos B sin B 0
22 22
⎤
=
⎥
⎦

⎡ π⎤ ⎡ π⎤
⎛⎞ ⎛⎞
⇔−−+−−=
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦⎣⎦
sin B 1 cos C sin C 1 cos B 0 (1)
33

MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Online
Vuihoc24h.vn
Do
sin
và
B 0> 1cosC 0
3
π
⎛⎞
−−
⎜⎟
⎝⎠
≥


sin
và
C 0>

1cosB 0
3
π
⎛⎞
−−
⎜⎟
⎝⎠
≥

Nên vế trái của (1) luôn
0≥
Do đó, (1)
cos C 1
3
cos B 1
3
⎧π
⎛⎞
−
=
⎜⎟
⎪
⎪⎝ ⎠
⇔
⎨
π
⎛⎞
⎪
−
=

⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩

CB
3
π
⇔==

⇔
A
BC
Δ
đều.
Bài 222: Chứng minh
A
BCΔ
đều nếu
333
2
3
sin Bsin C (1)
4
abc
a(
abc
⎧
=
⎪

⎪
⎨
−−
⎪
=
⎪
−−⎩
2)
Ta có: (2)
32233
aabacabc⇔− − =−−
3

(
)
23
abc b c⇔+=+
3


(
)( )
(
)
22
22 2
abc bcb bcc
abbcc
⇔+=+ −+
⇔=−+

2
c
(do đl hàm cosin)
22 22
bc2bccosAbcb⇔+− =+−

⇔=
π
⇔=⇔=
2bc cos A bc
1
cos A A
23
Ta có: (1) 4sinBsinC 3⇔=
()()
⇔−−+⎡ ⎤
⎣⎦
2cosB C cosB C 3=
=
()
⇔−+⎡ ⎤
⎣⎦
2cosB C cosA 3
()
π
⎛⎞ ⎛ ⎞
⇔−+= =
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
1

2 cos B C 2 3 do (1) ta có A
23

()
⇔−=⇔=cos B C 1 B C
Vậy từ (1), (2) ta có
A
BCΔ
đều
Bài 223: Chứng minh
A
BCΔ
đều nếu:
sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C++= + +

Ta có:
(
)
(
)
sin 2A sin 2B 2sin A B cos A B+= + −


(
)
2sinCcos A B 2sinC (1)=−≤
Dấu “=” xảy ra khi:
(
)
cos A B 1

−
=
Tương tự:
sin 2A sin 2C 2 sin B
+
≤
(2)
MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Online
Vuihoc24h.vn
Dấu “=” xảy ra khi:
(
)
cos A C 1
−
=
Tương tự:
sin 2B sin 2C 2sin A
+
≤
(3)
Dấu “=” xảy ra khi:
(
)
cos B C 1
−
=
Từ (1) (2) (3) ta có:
(

)
(
)
2 sin2A sin2B sin 2C 2 sinC sinB sin A++ ≤ ++

Dấu “=” xảy ra
(
)
()
()
−
=⎧
⎪
⇔−
=
⎨
⎪
−
=
⎩
cos A B 1
cos A C 1
cos B C 1

⇔
A
==BC


⇔

A
BCΔ
đều
Bài 224: Cho
A
BCΔ
có:

222
111 1
(*)
sin 2A sin 2B sin C 2cos A cosBcosC
++=
Chứng minh
A
BCΔ
đều
Ta có: (*)
⇔++
2 2 22 22
sin 2B.sin 2C sin 2A sin 2C sin 2A sin 2B

()
()
sin 2A.sin 2B.sin 2C
sin 2A sin 2Bsin 2C
2cos A cos B cosC
4 sin A sin BsinC sin 2A sin 2Bsin 2C
=⋅
=

Mà:
(
)
(
)(
=−−+⎡ ⎤
⎣⎦
4 sin A sin B sin C 2 cos A B cos A B sin A B
)
+
)
+

()
()(
=−+⎡ ⎤
⎣⎦
=+−
=++
2cosA B cosCsinC
2 sin C cos C 2 cos A B sin A B
sin 2C sin 2A sin 2B
Do đó,với điều kiện
A
BCΔ
không vuông ta có
(*)
222222
sin 2Bsin 2C sin 2A sin 2C sin 2A sin 2B⇔++
(

)
()()
=++
=++
⇔−+−
222
22
sin 2A. sin 2B.sin 2C sin 2A sin 2B sin 2C
sin 2A sin 2Bsin 2C sin 2B sin 2A sin 2C sin 2C sin 2A sin 2B
11
sin 2B sin 2A sin 2B sin 2C sin 2A sin 2B sin 2A sin 2C
22
()
2
1
sin 2Csin 2A sin 2Csin 2B 0
2
+−=

sin 2Bsin 2A sin 2Bsin 2C
sin 2A sin 2B sin 2A sin 2C
sin 2A sin 2C sin 2Csin 2B
=
⎧
⎪
⇔=
⎨
⎪
=
⎩

=
⎧
⇔
⎨
=
⎩
sin 2A sin 2B
sin 2B sin 2C
A
BC⇔==
A
BC
⇔
đều
Bài 225: Chứng minh
A
BCΔ
đều nếu:
a cos A bcosB c cos C 2p
(*)
a sin B bsinC c sin A 9R
+
+
=
++
MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Online
Vuihoc24h.vn
Ta có:

a cos A b cos B c cosC++
()
()()
()()
2R sin A cos A 2R sin BcosB 2R sinCcosC
R sin 2A sin 2B sin 2C
R 2sin A B cos A B 2sin CcosC
2R sin C cos A B cos A B 4R sin Csin A sin B
=
++
=++
⎡⎤=+−+
⎣⎦
⎡⎤=−−+=
⎣⎦
Cách 1:
a sin B bsin C c sin A
+
+

()
()
2223
2R sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2R sin A sin B sin C do bđt Cauchy
=++
≥
Do đó vế trái :
3
a cos A bcosB c cos C 2

sin A sin BsinC
a sin B bsinC c sin A 3
+
+
≤
++
(1)
Mà vế phải:
()
++
==++
2p a b c 2
sin A sin B sin C
9R 9R 9

3
2
sin A sin Bsin C
3
≥
(2)
Từ (1) và (2) ta có
( * ) đều sin A sin B sin C ABC⇔==⇔Δ
Cách 2: Ta có: (*)
4R sin A sin Bsin C a b c
a sin B bsin C c sin A 9R
+
+
⇔=
++

abc
4R
abc
2R 2R 2R
bcca
9R
ab
2R 2R 2R
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
+
+
⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
⇔=
⎛⎞⎛⎞
++
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
(
)
(
)
9abc a b c ab bc ca⇔=++ ++
Do bất đẳng thức Cauchy ta có
3
2223
abc abc
ab bc ca a b c
++≥
++≥

Do đó:
()( )
a b c ab bc ca 9abc++ + + ≥
Dấu = xảy ra abc⇔==
A
BC
⇔
Δ đều.

Bài 226: Chứng minh
A
BCΔ
đều nếu
A
()
BC
cot gA cot gB cot gC tg tg tg *
222
++=++

Ta có:
(
)
sin A B
sin C
cot gA cot gB
sin A sin B sin A sin B
+
+= =

2
sin C
sin A sin B
2
≥
+
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
(do bđt Cauchy)
MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Online
Vuihoc24h.vn
22 2
CC C
2sin cos 2sin
22 2
A
BAB CA
sin .cos cos cos
222
==
B
2
+
−−

C
2tg

2
≥
(1)
Tương tự:
B
cot gA cot gC 2tg
2
+≥
(2)

A
cot gB cot gC 2tg
2
+≥
(3)
Từ (1) (2) (3) ta có
()
A
BC
2 cot gA cot gB cot gC 2 tg tg tg
222
⎛⎞
++ ≥ ++
⎜⎟
⎝⎠

Do đó dấu “=” tại (*) xảy ra
−−−
⎧
==

⎪
⇔
⎨
⎪
==
⎩
=
A
BACBC
cos cos cos 1
222
sin A sin B sin C
A
BC
A
BC đều.
⇔==
⇔Δ

BÀI TẬP
1. Tính các góc của
A
BCΔ
biết:
a/
=+−
3
cos A sin B sin C
2
(ĐS:

2
BC ,A
63
π
π
== =
)
b/
sin 6
(ĐS:
A sin 6B sin 6C 0++=
ABC
3
π
=
==
)
c/
sin 5A sin 5B sin 5C 0++=
2. Tính góc C của
A
BCΔ
biết:
a/
()()
1 cot gA 1 cot gB 2++=
b/
22
9
A

,Bnhọn
sin A sin B sin C
⎧
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
3. Cho
A
BCΔ
có:
⎧
+
+<
⎨
+
+=
⎩
222
cos A cos B cos C 1
sin 5A sin 5B sin 5C 0

Chứng minh
Δ
có ít nhất một góc 36
0
.
4. Biết . Chứng minh
222

sin A sin B sin C m++=
a/
m
thì
2=
A
BCΔ
vuông
b/
m
thì
2>
A
BCΔ
nhọn
c/
m
thì
2<
A
BCΔ
tù.
5. Chứng minh
A
BCΔ vuông nếu:
a/
bc
cos B cosC
a
+

+=

b/
bc a
cos B cosC sin B sin C
+=

MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Online
Vuihoc24h.vn
c/
sin A sin B sin C 1 cos A cos B cosC++=−++
d/
()
()
2
2
21 cosB C
bc
b1cos2B
⎡⎤−−
−
⎣⎦
=
−

6. Chứng minh
A
BCΔ

cân nếu:
a/
22
1cosB 2ac
sin B
ac
++
=
−
b/
++
=
+−
sin A sin B sin C A B
cot g .cot g
sin A sin B sin C 2 2

c/
2
tgA 2tgB tgA.tg B+=
d/
CC
a cot g tgA b tgB cot g
22
⎛⎞⎛
−= −
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
⎞
⎟

⎠

e/
()
CB
p b cot g ptg
22
−=

f/
()
C
a b tg atgA btgB
2
+= +

7.
A
BCΔ là
Δ
gì nếu:
a/
()
A
B
atgB btgA a b tg
2
+
+=+

b/
cccos 2B b sin 2B=+
c/
++sin 3A sin 3B sin 3C 0=
d/
()()
4S abcacb=+− +−
8. Chứng minh
A
BCΔ đều nếu
a/
()
2 a cos A bcosB c cosC a b c++ =++
b/
()
=++
23 3 3
3S 2R sin A sin B sin C
c/
sin A sin B sin C 4 sin A sin Bsin C++=
d/
abc
9R
mmm
2
++=
với là 3 đường trung tuyến
ab
m ,m ,m
c

MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Online
Vuihoc24h.vn