tong hop cac bai tap ve phuong trinh lương giac lớp 11

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: CƠ BẢN- ĐƠN GIẢN
I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
A. NHẬN DẠNG :
* Là phương trình có dạng : a.sinx+b.cosx=c
B. CÁCH GIẢI
1. Chia hai vế phương trình cho :
2 2
0a b+ >
2. Phương trình có dạng :
2 2 2 2 2 2
sinx+ osx=
a b c
c
a b a b a b+ + +
3. Đặt :
2 2 2
2 2 2 2 2 2
sin ; os = ; os = ;d/k:c
a b c
c c a b
a b a b a b
ϕ ϕ α
= ≤ +
+ + +
.
4. Khi đó phương trình trở thành :
( )
sinx.sin +cosx.cos =cos cos x- osc
ϕ ϕ α ϕ α
⇔ =
5. Giải :

( )
2 2
2 2
x k x k
k Z
x k x k
ϕ α π ϕ α π
ϕ α π ϕ α π
− = + = + +
 
⇔ ⇔ ∈
 
− = − + = − +
 
C. MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Giải các phương trình sau :
a.
2
sin os 3 osx=2
2 2
x x
c c
 
+ +
 ÷
 
b.
( )
( ) ( )
1 2sin osx

3
1 2sin 1 sinx
x c
x
−
=
+ −
c.
( )
3
sinx+cosxsin2x+ 3 os3x=2 cos4x+sinc x
d.
3 os5x-2sin3xcos2x-sinx=0c
Bài 2. Giải các phương trình sau :
a.
( )
4 4
4 sin os 3 sin 4 2x c x x+ + =
b.
( )
2 2 sinx+cosx osx=3+cos2xc
c.
( )
cos2 3 sin 2 2 sinx+cosxx x= +
d.
4 4
sin os 2 3sinxcosx+1x c x− =
Bài 3. Giải các phương trình sau :
a.
2 4

4sin sin sin 4 3 osx.cos os 2
3 3 3 3
x x x c x c x
π π π π
       
+ − + + + =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
b.
3
2sin 4 16sin . osx 3cos2 5x x c x+ + =
c.
6 6
3
1 sin 4 os sin
8
x c x x+ = +
Bài 4. Giải các phương trình sau :
a.
( )
sin8 os6x= 3 sin 6 os8xx c x c− +
b.
( )
os7x-sin5x= 3 os5x-sin7xc c
c.
3
3sin 3 3 os9x=1+4sin 3x c x−
d.
3 os5x+sin5x-2cos2x=0c
II. PHƯƠNG TRÌNH : BẬC NHẤT - BẬC HAI

ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. ĐỊNH NGHĨA :
*Là phương trình có dạng :
2
2
2
2
.sin sin 0
. os sin 0
.tan tan 0
.cot .cot 0
a u b u c
a c u b u c
a u b u c
a u b u c
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
. (1). Với u=u(x)
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 7 năm 2011
Trang 1
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: CƠ BẢN- ĐƠN GIẢN
II. CÁCH GIẢI :
- Đặt :
( )
2
sin 1
osu=t t 1
0 2

tan
cot
u t t
c
at bt c
u t t R
u t t R
 = → ≤

→ ≤

⇒ + + =

= → ∈

 = → ∈

- Giải phương trình (2) để tìm t
- Kiểm tra điều kiện đối với t , để chọn t phù hợp .
- Sau đó giải phương trình : u=u(x)=t .
III. MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG .
Bài 1. Giải các phương trình sau :
a.
cos3x+sin3x
5 sinx+ 3 os2x
1 2sin 2
c
x
 
= +

 ÷
+
 
b.
2 2
cos 3 . os2x-cos 0x c x =
b.
4 4
3
cos sin os x- .sin 3 0
4 4 2
x x c x
π π
   
+ + − − =
 ÷  ÷
   
d.
2
4.sinxcosx+3sin 6sinx x=
Bài 2. Giải các phương trình sau
a.
2 2 2 2
sin 3 os 4 sin 5 os 6x c x x c x− = −
b.
2 2 2
sin tan os 0
2 4 2
x x
x c

π
 
− − =
 ÷
 
c.
tan 2 tan 2 2
2 2
x x
π π
   
+ + =
 ÷  ÷
   
d.
( )
2
5.sinx-2=3 1-sinx .tan x
Bài 3. Giải các phương trình sau :
a.
1 1
2sin3 2cos3
sinx osx
x x
c
− = +
b.
( )
2
osx 2sinx+3 2 2cos 1

1
1 sin 2
c x
x
− −
=
+
c.
x 3x x 3 1
cos . os . os sinx.sin .sin
2 2 2 2 2
x
x c c − =
d.
3
4cos 3 2 sin 2 8cosx x x+ =
Bài 4. Giải các phương trình sau :
a.
( )
cos 2 os 2x- 4sin 2 2 1 sinx
4 4
x c x
π π
   
+ + + = + −
 ÷  ÷
   
b.
( )
2 2

3cot 2 2 sin 2 3 2 osxx x c+ = +
c.
2 2
4sin 2 6sin 9 3cos 2
0
osx
x x x
c
+ − −
=
c. Cho :
1 2
( ) sinx+ sin 3 sin5
3 5
f x x x= +
. Hãy giải phương trình : f'(x)=0.
Bài 5. Giải các phương trình sau :
a.
2
5
sin 5cos .sin
2 2
x x
x=
b.
( )
2
sin 2 cot tan 2 4cosx x x x+ =
c.
2

6
2cos 1 3cos
5 5
x x
+ =
d.
3
tan t anx-1
4
x
π
 
− =
 ÷
 
Bài 6. Giải các phương trình sau :
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 7 năm 2011
Trang 2
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: CƠ BẢN- ĐƠN GIẢN
a.
4 4
4
sin 2 os 2
os 4
tan tan
4 4
x c x
c x
x x
π π

+
=
   
− +
 ÷  ÷
   
b.
( )
4 2
1 2
48 1 cot 2 .cot 0
os sin
x x
c x x
− − + =
c.
( )
8 8 10 10
5
sin os 2 sin os os2x
4
x c x x c x c+ = + +
d.
2
os2x 1
cot 1 sin sin 2
1+tanx 2
c
x x x− = + −
Bài 7. Giải các phương trình sau :

a.
sin 2 2 tan 3x x+ =
b.
2
cot t anx+4sin2x=
sin2x
x −
c.
( ) ( )
1 t anx 1 sin 2 1 t anxx− + = +
d.
sin 4 t anxx =
Bài 8. Giải các phương trình sau :
a.
4 4 4
9
sin sin sin
4 4 8
x x x
π π
   
+ + + − =
 ÷  ÷
   
b.
( )
2
sinx 3 2 2cos 2sin 1
1
1 sin 2

x x
x
− − −
=
−
c.
4
4cos 3 2 sin 2 8cosx x x+ =
d.
2
4
cos os
3
x
c x=
Bài 9. Giải các phương trình sau :
a.
sin 2 2 sin 0
4
x x
π
 
+ − =
 ÷
 
b.
2
3 4
2cos 1 3cos
5 5

x x
+ =
c.
2
3cos 4 2cos 3 1x x− =
d. 3tan2x-4tan3x=
2
tan 3 .tan 2x x
Bài 10. Giải các phương trình sau :
a.
6 6 2
13
os sin os 2
8
c x x c x+ =
b.
3 1 3
sin sin
10 2 2 10 2
x x
π π
   
− = +
 ÷  ÷
   
c.
6 6
2 2
os sin 1
tan 2

os sin 4
c x x
x
c x x
+
=
−
d.
2 2 2 2
os os 2 os 3 os 4 2c x c x c x c x+ + + =
III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX
I. NHẬN DẠNG :
* Là phương trình có dạng : a( sinx+cosx)+bsinx.cosx=c .(1)
II. CÁCH GIẢI .
- Đặt t= sinx+cosx , điều kiện :
2t ≤
.
- Tính : sinxcosx=
2 2
2
1 1
. 2 2 0
2 2
t t
a t b c bt at b c
 
− −
⇒ + = ⇔ + − − =
 ÷
 

(2)
- Giải phương trình (2) tìm t . Sau đó kiểm tra điều kiện đối với t , chọn t thích hợp .
- Cuối cùng giải :
0
sin osx= 2 sin
4
x c x t
π
 
+ + =
 ÷
 
III. MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG :
Bài 1. Giải các phương trình sau :
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 7 năm 2011
Trang 3
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: CƠ BẢN- ĐƠN GIẢN
a.
2 3
sinx+sin os 0x c x+ =
b.
3 3
3
sin os 1 sin 2
2
x c x x+ − =
c.
( )
2 sinx+cosx t anx+cotx=
d.

( ) ( )
3 cot osx 5 t anx-sinx 2x c− − =
Bài 2. Giải các phương trình sau :
a.
( )
3 2
2
3 1+sinx
3tan t anx+ 8cos
os 4 2
x
x
c x
π
 
− = −
 ÷
 
b.
3 3
2sin sinx=2cos osx+cos2xx x c− −
c.
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin osx+cos os osx x x x c x c x c x+ + + = + +
Bài 3 . Giải các phương trình sau :
a.
( )
2 3 3
tan 1 sin os 1 0x x c x− + − =
b.

2sin cot 2sin 2 1x x x
+ = +
c. Cho phương trình :
( )
sinx+cosx+1 1 sin 2m x= +
.
Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn
0;
2
π
 
 
 
Bài 4. Cho phương trình :
3 3
os sin sin cosc x x m x x+ =
a. Giải phương trình khi m=
2
b. Tìm m để phương trình có nghiệm .
Bài 5. Cho phương trình :
( )
1 1 1
sinx+cosx 1 t anx+cotx+ 0
2 sinx osx
m
c
 
+ + + =
 ÷
 

.
a. Giải phương trình với m=1/2
b. Tìm m để phương trình có nghiệm trên khoảng
0;
2
π
 
 ÷
 
Bài 6. Cho f(x)=
( )
3
2
os 2 2 sinx+cosx 3sin 2c x x m+ − +
.
a. Giải phương trình f(x)=0 khi m=-3
b. Tìm GTLN và GTNN của f(x) theo m . Tìm m để
[ ]
2
( ) 36f x x R≤ ∀ ∈
Bài 7. Giải các phương trình :
a.
( ) ( )
cos 2 5 2 2 osx sinx-cosxx c+ = −
b.
3 3
os sin os2xc x x c+ =
c.
2 2
3tan 4 tan 4cot 3cot 2 0x x x x+ + + + =

d.
2 2 3 3
tan cot tan cot tan cot 6x x x x x x+ + + + + =
Bài 8. Cho phương trình :
3 3
cos sinx x m− =
a. Giải phương trình với m=1
b. Tìm m sao cho phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn
;
4 4
π π
 
−
 
 
Bài 9. Cho phương trình :
( )
2 2
2cos 2 sin cos sinxcos sinx+cosxx x x x m+ + =
a. Giải phương trình với m=2
b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
0;
2
π
 
 
 
Bài 10. Cho phương trình :
( )
2

2
1
cot t anx+cotx 2 0
os
x m
c x
+ + + =
a. Giải phương trình với m=
5
2
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 7 năm 2011
Trang 4
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: CƠ BẢN- ĐƠN GIẢN
b. Tìm m để phương trình có nghiệm
Bài 11. Giải các phương trình sau :
a.
3 3
sin os sinx-cosxx c x− =
b.
sin 2 2 sin 1
4
x x
π
 
+ − =
 ÷
 
c. sin2x-12(sinx-cosx)+12=0 . d.
sinx+cosx
1

sin 2 1x
=
+
Bài 12. Giải các phương trình sau :
a.
3
3
1 os2x 1 os
1 os2x 1 sin
c c x
c x
− −
=
+ −
b.
( ) ( )
5 sinx+cosx sin3 os3x=2 2 2 sin 2x c x+ − +
c.
2 2
sin cos os2x+sinx=cos sin osxx x c x x c− +
d.
3
4sin 1 3sin 3 os3xx x c− = −
Bài 13. Cho phương trình :
( )
2
2
3
3tan t anx+cotx 1
sin

x m
x
+ = −
a. Giải phương trình với m=4
b. Tìm m để phương trình có nghiệm .
VI. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI -BẬC BA ĐỐI VỚI SINX,COSX
1. Nhận dạng :
* Là phương trình có dạng :
2 2
3 2 2 3
sin cos sin cos 0
a.sin sin cos sin cos cos 0
a x b x c x x d
x b x x c x x d x

+ + + =

+ + + =

2. Cách giải :
- Nhận xét : cosx=0 có là nghiệm hay không . Nếu là nghiệm , giải viết nghiệm .
- Khi cosx
≠
. Ta chia hai vế của phương trình cho cosx (với lũy thừa bạc cao nhất)
- Chuyển phương trình đã cho thành phương trình chứa một hàm số lượng giác tanx.
Sau đó đặt t=tanx
- Phương trình đã cho trở thành dạng f(t)=0 ( Bậc hai , bậc ba đối với t)
3. Một số bài tập áp dụng :
Bài 1. Giải các phương trình sau :
a.

3 3 2 2
sin 3 os sinxcos 3 sin cosx c x x x x− = −
b.
( ) ( )
2
sin t anx+1 3sin osx-sinx 3x x c= +
Bài 2. Giải các phương trình sau :
a.
3
8cos os3x
3
x c
π
 
+ =
 ÷
 
b.
3
sin osx-4sin 0x c x+ =
c.
2 2
cos 3 sin 2 1 sinx x x− = +
d.
3 3 2
cos 4sin 3cos sin sinx=0x x x x− − +
Bài 3. Giải các phương trình sau :
a.
4 2 2 4
3cos 4sin cos sin 0x x x x− + =

b.
3
sin sin 2 sin 3 6cosx x x x+ =
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 7 năm 2011
Trang 5
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: CƠ BẢN- ĐƠN GIẢN
c.
2
os2x 1
cot 1 sin sin 2
1+tanx 2
c
x x x− = + −
d. sin3x +cos3x +2cosx=0
Bài 4. Giải các phương trình sau :
a.
3
5sin 4 . osx
6sin 2cos
2cos 2
x c
x x
x
− =
b.
3
sinx-4sin osx=0x c+
c.
( )
2 2

tan sin 2sin 3 os2x+sinxcosxx x x c− =
Bài 5. Cho phương trình :
( ) ( ) ( ) ( )
3 2
4 6 sin 3 2 1 sinx+2 m-2 sin cos 4 3 osx=0m x m x x m c− + − − −
a. Giải phương trình với m=2
b. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất thuộc đoạn
0;
4
π
 
 
 
Bài 6. Giải các phương trình sau :
a.
3 2
os sinx-3sin cos 0c x x x+ =
b.
1 t anx=2 2 sinx+
Bài 7. Giải các phương trình sau :
a.
3 3
sin os sinx-cosxx c x+ =
b.
( )
[ ]
2
sin 1 t anx 3sin osx-sinx 3x x c+ = +
c.
3 2 2 3

sin sin cos 3sin cos 3cos 0x x x x x x− − + =
d.
2 2
3tan 4 tan 4cot 3cot 2 0x x x x+ + + + =
V. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC
A. TỔNG CÁC HẠNG TỬ KHÔNG ÂM
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
1 2
2 2
1
2 2 2
1 1 2 2
( ) 0
. ( ) . ( ) 0
( ) 0
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) 0
m m mn
n n
n
f x
a f x b g x
g x
f x
a f x a f x a f x
f x
 =


+ = ⇔


=



=



+ + + = ⇔




=


BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Giải các phương trình sau :
a.
2 2
4sin 2 3 t anx+3tan 4sin 2 0x x x− − + =
b.
2 2 2
tan tan 2 cot 3 1x x x+ + =
c.
2 2
4cos 3tan 4 3 osx+2 3 t anx+4=0x x c+ −

d.
( )
2 2 2
9
sin sin sin
4
x y x y+ + + =
Bài 2. Giải các phương trình sau :
a.
2 2 2
1
sin sin 3 sinx.sin 3
4
x x x+ =
b.
2 2
3cot 4cos 2 3 cot 4cos 2 0x x x x+ − − + =

c.
2
8cos 4 . os 2 1 os3x 1 0x c x c+ − + =
d.
( )
2
2 3 3 2
sin 3
sin os3xsin sin 3 cos sinxsin 3
3sin 4
x
x c x x x x

x
+ + =
B. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ HAI VẾ
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 7 năm 2011
Trang 6
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: CƠ BẢN- ĐƠN GIẢN
I.NHẬN DẠNG :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f x M g x f x M
f x g x x D g x M
≤ ≤ =
 
⇔ ⇒
 
= ∀ ∈ =
 
II. MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG :
1. Dạng 1.
Bài 1. Giải các phương trình sau :
a.
( )
2 2
os3x+ 2-cos 3 2 1 sin 2c x x= +
b.
3 3 4
sin os 2 sinx c x x+ = −
b.
3 osx osx+1 2c c− − =
d.

2 2 5
tan cot 2sin
4
x x x
π
 
+ = +
 ÷
 
Bài 2. Giải các phương trình sau :
a.
13 14
os sin 1c x x+ =
b.
2
2 2cos 2 sin 0x x x x− − + =
2. Dạng 2.
Bài 3. Giải các phương trình sau :
a.
4cos 2cos 2 os4x=1x x c− −
b.
1
tan 2 tan 3 0
sinxcos2xcos3x
x x+ + =
c.
2 2
cos 3 cos 2 os 0x x c x− =
d.
( )

2
os4x-cos2x 5 sin3c x= +
Bài 4. Giải các phương trình sau "
a.
( )
sin osx= 2 2 sin3x c x+ −
b. tanx+tan2x=-sin3xcos2x .
b. sin4xcos16x=1 d.
2sin t anx+cotx
4
x
π
 
+ =
 ÷
 

Bài 5. Giải các phương trình sau :
a.
2 2
2 2
2 2
1 1 1
os sin 12 sin
os sin 2
c x x y
c x x
   
+ + + = +
 ÷  ÷

   
b.
2 2
3 3 2
3 3
1 1 81
sin os os 4
2 2 4
sin os
2 2
x x
c c x
x x
c
   
 ÷  ÷
+ + + =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC
Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
02
4
3
cos2cos =−+
x
x
b)

)cot(tan
2
1
2sin
cossin
44
xx
x
xx
+=
+
c)
xxx cos2sin1sin1 =−++

Bài 2. Giải các phương trình sau
a)
2
7
24
sin42sin4cossin
22
−






−=−
x

xxx
π
b)
0
2
5
cos
2
tan
2
1
=+−
x
x
c)
0cos)34(cossin)2(2sin)12(3sin)64(
23
=−−−+−+− xmxxmxmxm
(Biện luận theo m).
Bài 3. Giải các phương trình sau
a)
xxx 2tantan2tan1
2
=−
b)
1cos24sin
2
−= xx
c)
14coscos8

4
=− xx
d)
2
cos2sin2cos1
2
x
xx =++
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 7 năm 2011
Trang 7
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: CƠ BẢN- ĐƠN GIẢN
Bài 4. Giải các phương trình sau
a)
2
3
4sin2sin
22
=+ xx
b)
xxxx cos3sin2tantan =+
c)
)cos3(sin4cot3tan xxxx +=−
d)
xxx 2coscossin
33
=+
Bài 5. Giải các phương trình sau
a)
xx tan4sin
=

b)
1)cos44(cossin44sin =−−− xxxx

c)
2)sin(tan5)cos(cot3 =−−− xxxx
d)
27sin37cos −=− xx
Bài 6. Giải các phương trình sau
a)
1sin22tan =− xx
b)
xx 3sincos2
3
=
c)
x
x
x
sin1
cos1
tan
2
−
+
=
d)
)cos(sin
6
5
cossin

4466
xxxx +=+
Bài 7. Giải các phương trình sau
a)
x
xx
xx
4cos
4
tan
4
tan
2cos2sin
4
44
=






+






−

+
ππ
b)
4
1
4
tan
4
tan
cossin
66
−=






+






−
+
xx
xx
ππ

c)
01cos2sin2cos
2
=+++ xxx
Bài 8. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
x
x
x
2sin1
tan1
tan1
+=
+
−
b)
xx
x
sin
1
cos
1
4
sin22 +=







+
π
c)
82cos2sin3cos6sin9 =+−+ xxxx
d)
xxx 3sin26)4cos2(cos
2
+=−
Bài 9. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
1
sin5
5sin
=
x
x
c) Cho phương trình :
)105,10sin(6cos4sin
22
xxx +=−
π
.
Tìm các nghiệm thuộc khoảng






2

;0
π
Bài 10. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
xxxxx 2cos
4
5
)cos(sin2cossin
101088
++=+
b)
xxx 2cos222cos22sin3
2
+=−
c)
2
3
3sin2sinsin
222
=++ xxx
d)
x
xx
cos
1
cossin3 =+
Bài 11. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
1
2tan22tan2cot

+
+=
xxx
b)
xxxx sin28cos22310sin2cos2 +=+
c)
xxxx cos4sin12cos22sin −+=+
d)
3tan22sin =+ xx
Bài 12. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
xxxx 4sin
2
1
2cos)coscos1( =+−
b)
1cot
)sin(cos2
2cottan
1
−
−
=
+ x
xx
xx
c)
xx sin2
4
sin

3
=






+
π
d)
01cos263sinsin22cos28
436
=−−+ xxxx
Bài 13. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
xxxxx cossin2sinsincos
33
++=+
b)
)1sin2(sincos43
2
+=− xxx
c)
xxxx 8sin2coscossin34 =
d)
xxxxxx 3cot2cottan3cot2cottan
2222
+−=
Bài 14. Giải các phương trình lượng giác sau:

Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 7 năm 2011
Trang 8
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: CƠ BẢN- ĐƠN GIẢN
a)
0
tan1
cos
3
4
cos
2
2
=
−
−
x
x
x
b)






+=







− xxx
4
sin2sin
4
3sin
ππ
c)
xxx 2coscossin =+
Bài 15. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
0239
cotcot
=−+
xx
b)
01sincos
2
=++ xx
c)
022cos23sin =−+ xx
d)
02sinsin3sin =+− xxx
Bài 16. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
02cos32cos
=++
xx
b)

13cos24cos3
2
=− xx
c)
xxxxx 2sinsin23cos2coscos31 +=++
d)
xxxx 2cos3sin2tantan −=+
Bài 17. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
x
x
x
cos
cos1
tan
2
+
=
b)
xxx 4sin
2
3
2cos2sin1
33
=++
c)
)2cos2(sin2cottan xxxx +=+
d)
xxxx 2cos3cos)cos(sin22 +=+
Bài 18. Giải các phương trình lượng giác sau:

a)
8
9
)
4
(sin)
4
(sinsin
444
=++−+
ππ
xxx
b)
0cos2
sin1
2sin
=+
+
x
x
x
c)
0cossin3sincos
23
=−+ xxxx
d)
xxx sin2cossin2
3
=+
Bài 19. Giải các phương trình lượng giác sau:

a)
2cos1cos3 =+−− xx
b)
2cos2sin2cossin
=++
xxxx
c)
16
1
8cos4cos2coscos =xxxx
d)
xxxx 4cos2cos3sinsin
2222
+=+
Bài 20. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
0)3cos2sin1(3cos)3sin2(cos3sin =−++− xxxxxx
b)
0
24
cos8
cos
)sin1(3
tantan3
2
2
3
=







−−
+
+−
x
x
x
xx
π
Bài 21. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
xx 3sincos2
3
=
b)
04cossin32sin32cos =+−−− xxxx
c)
xxx tan1cos2cos
2
+=
d)
xxx cos)232(sin22cot3
22
+=+
Bài 22. . Giải các phương trình sau:
a)
0

cos
1
cos222cos2sintan =






−+−−
x
xxxx
b)
)1(sin5)2cos3(sin4 −=− xxx
c)
)cos(sin2cossincossin2cos2
22
xxxxxxx +=++
Bài 23. . Giải các phương trình sau:
a)
)cossin2(cos3sin2sintan
22
xxxxxx +=−
b)
xxxx
2
cos4)2tan(cot2sin =+
f)
0)cot2cot1(
sin

2
cos
1
48
24
=+−− xx
xx
g)
xxx 4coscossin
66
=+
c)
02sin2coscos
23
=−++ xxx
d)
2
tan2cos2
x
x =+
Bài 24. . Giải các phương trình sau:
a)
)2sin1(23cos23cos
22
xxx +=−+
b)
03sin2sinsin =++ xxx
c)
xxxx cossintancot
+=−

d)
xxxx 2cossin212cos3sin
+=+
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 7 năm 2011
Trang 9
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: CƠ BẢN- ĐƠN GIẢN
Bài 25. . Giải các phương trình sau:
a)
x
xx
cos
1
7cos82cos2 =+−
b)
4
1
4cossin3sincos3cos
333
+=− xxxxx
c)
82cos2sin3cos6sin9 =+−+ xxxx
d)
xxxxx 4sin3sincos3cossin
333
=+
Bài 26. . Giải các phương trình sau:
a)
xxxxxxxx
432432
coscoscoscossinsinsinsin +++=+++

b)
1coscossinsin2
22
−=−− xxxx
c)
0
cossin
12cos2sin
42
=
−+
xx
xx
Bài 27. . Giải các phương trình sau:
a)
0cos2cossin2
3
=+− xxx
b)
xxx 2sinsincos1
33
=−+
c)
03cos2coscos1
=+++
xxx
d)
04cos3cos2coscos
=+++
xxxx

e)
0cossincos
32
=++ xxx
f)
1|sincos|sincos =++ xxxx
Bài 28. Giải các phương trình sau:
a)
xx sin52cos2 −=+
b)
)cos(sin2cossin
5533
xxxx +=+
c)
xxx 3cos2cossin
222
+=
d)
xx 3cos
3
cos8
3
=






+

π

Bài 29. Giải các phương trình sau:
a)
2|cossin||cossin| =++− xxxx
b)
12sin2cotsin2
+=+
xxx

c)
xxx 2cos
8
13
sincos
266
=−
d)
xx 2sin2tan31
=+

Bài 30. Giải các phương trình sau:
a)
)2tan(tan2coscos3sin
2
xxxxx +=
b)
1099
22
cossin

=+
xx

c)
xxx cos82sin23cos4
3
=+
d)
x
x
cos
2
1
2
=−

e)
xx sin2
4
sin
3
=






+
π

f )
5
5sin
3
3sin xx
=
HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1. Giải các hệ phương trình lượng giác sau:
a)
3
3
1
tantan
π
=+
=
yx
yx
b)
yx
yx
tantan3
4
1
cossin
=
=
c)
6tantan
3tantan

=
=
=++
zy
yx
zyx
π
d)
2coscos
2sinsin
=+
=+
yx
yx
e)
yxx
yxx
sinsincos
coscossin
2
2
=
=
f)
12cos32cos
1tantantantan
−=+
=−−
xy
yxxy

g)






−=+






+=+
4
sin2cottan
4
sin2cottan
π
π
xyy
yxx
h)
4
5
sincos
2
3
cossin

22
=+
=+
yx
yx
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP KHÁC
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 7 năm 2011
Trang 10
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: CƠ BẢN- ĐƠN GIẢN
Bài 1. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
0cos2sin51
2
=+− xx
thoả mãn
0cos
≥
x
.
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
xxxxy sincoscossin +=
.
Bài 3. Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc thoả mãn:
mCBA =++
222
sinsinsin
. Nếu m =
2 thì tam giác ABC vuông, m > thì ba góc A, B, C đều nhọn và nếu m < 2 thì tam giác có góc tù.
Bài 4. Cho các góc của tam giác ABC thoả mãn:
2
sin2

2
sin
2
sin2sinsinsin
CBA
CBA =−++
.
Chứng minh rằng số đo của góc C là 120
o
.
Bài 5. Hai góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện:
1
2
tan
2
A
tan =+
B
. Chứng minh rằng:
1
2
tan
4
3
<≤
C
.
Bài 6. Biện luận theo tham số a về số nghiệm của PT:
|1||1|cos2sin2
22

−++=++− aaxxxx
.
Bài 7. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức:
3)cotcot(cot
sin
1
sin
1
sin
1
=++−++ CBA
CBA
Bài 8. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện:
012cos2cos2cos =+++ CBA
thì
tam giác đó là tam giác vuông.
Bài 9. Chứng minh rằng trong tam giác có:
)sin()()sin()(
2222
BCbcBCcb +−=−+
thì tam giác
đó vuông hoặc cân.
Bài 10. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
xxy 5coscos5 −=
trên







−
4
;
4
ππ
.
Bài 11. Cho phương trình:
xm
xm
xm
xm
sin2
2cos
cos2
2sin
−
−
=
−
−
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Khi
0
≠
m
và
2±≠m
, phương trình có bao nhiêu nghiệm nằm trong đoạn
]30,20[

ππ
.
Bài 12. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
3
2
cot
2
cot2 =⇔+=
CA
cab
.
Bài 13. Cho tam giác ABC có:
1
2
tan
2
A
tan5 =
B
. Chứng minh rằng:
)(23 bac +=
.
Bài 14. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
5cossin4sin2)(
2
++= xxxxf
.
Bài 15. Tìm các giá trị
)2,0(
π

∈x
sao cho
02cossincos
>−−
xxx
.
Bài 16. Tìm t để phương trình sau có đúng 2 nghiệm
],0[
π
∈x
:
t
x
x
=
+
+
2sin
1sin2
.
Bài 17. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
S
cba
CBA
4
cotcotcot
222
++
=++
.

Bài 18. Chứng minh với
2
0
π
<< x
thì:
1
2
3
tansin2
222
+
>+
x
xx
.
Bài 19. Cho tam giác ABC thoả mãn:
2
1coscoscos
=
++
++
cba
CcBbAa
. Chứng minh tam giác ABC
đều.
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 7 năm 2011
Trang 11
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: CƠ BẢN- ĐƠN GIẢN
Bài 20. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

)8cos4(cos
2
1
)4cos2sin1(2 xxxxy −−+=
.
Bài 21. Giải phương trình sau:
0239
cotcot
=−+
xx
.
Bài 22. Cho tam giác ABC thoả mãn:
CB
a
C
c
B
b
sinsincoscos
=+
. Chứng minh tam giác ABC
vuông.
Bài 23. Cho tam giác ABC, chứng minh ta luôn luôn có:
1coscoscos
>++
CBA
.
Bài 24. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông hoặc cân khi và chỉ khi
BbAaAbBa sinsincoscos
−=−

.
Bài 25. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có:
2
cot2tantan
C
BA =+
thì tam giác ABC cân.
Bài 26. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số trên đoạn:
2
1
cossin
2
+−= xxy
.
Bài 27. Cho
xy 5sin
2
=
. Tính
)(n
y
.
Bài 28. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
x
x
y
cos2
sin3
1
+

+=
.
Bài 29. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số:
1
1
4
cos
1
2
sin
22
+
+
+
+
=
x
x
x
x
y
.
Bài 30. Xác định m để phương trình sau có nghiệm trong






4

;0
π
:
02cossin42cos
2
=−+− mxxxm
.
Bài 31. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2tantan2cotcot
2244
+++= babaP
.
Bài 32. Với giá trị nào của a thì phương trình:
xna cossin1
2
=+
có nghiệm duy nhất.
Bài 33. Tìm m để bất phương trình:
03cossin2
2
≤−− xmx
nghiệm đúng






∈∀
2

;0
π
x
.
Bài 34. Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc thoả mãn:
0
2
5
)2cos2(cos32cos =+++ CBA
.
Bài 35. Cho tam giác ABC thoả mãn:
2
BA
b)tan(abtanBAtan
+
+=+a
. Chứng minh tam giác
ABC cân.
Bài 36. Chứng minh rằng tam giác ABC tù khi và chỉ khi
1coscoscos
222
>++ CBA
.
Bài 37. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn
a
cb
CB
+
=+ coscos
thì tam giác ABC

vuông.
Bài 38. Cho phương trình:
xxkxx cossinsincos
33
=+
.
a) Giải phương trình với
2=k
.
b) Với giá trị nào của k thì phương trình có nghiệm.
Bài 39. Giải và biện luận phương trình:
2
3
sincos2)sin(cos2
2
+−+=+ xxmxxm
.
Bài 40. Cho phương trình:
xxmx tan1)(cos2cos
2
+=
.
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm trong đoạn.
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 7 năm 2011
Trang 12
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: CƠ BẢN- ĐƠN GIẢN
Bài 41. Chứng minh rằng
)
2

;0(
π
∈∀x
ta có:
6
cos
1
sin
1
cottansincos >+++++
xx
xxxx
Bài 42. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
xxy
2020
cossin +=
.
Bài 43. Chứng minh rằng nếu
2
cot,
2
cot,
2
cot
CBA
theo thứ tự lập thành 1cấp số cộng thì
3
2
cot.
2

cot =
CA
.
Bài 44. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
xx
y
cos
1
sin
1
+=
với






∈
2
;0
π
x
.
Bài 45. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn
)tantan(
2
tan BbAa
C
ba +=+

thì nó cân.
Bài 46. Tìm m để hàm số sau xác định với mọi x:
xxmxxxf cossin2cossin)(
44
−+=
.
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCTRONG CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC
KD-2002: Tìm
[ ]
0;14x∈
nghiệm đúng pt:
os3 4 os2 3cos 4 0c x c x x− + − =
KB-2002:
2 2 2 2
sin 3 os 4 sin 5 os 6x c x x c x− = −
KA-2002: Tìm nghiệm thuộc
( )
0;2
π
của pt:
os3 sin3
5 sinx os2 3
1 2sin 2
c x x
c x
x
+
 
+ = +
 ÷

+
 
KD-2003:
2 2 2
sin tan os 0
2 4 2
x x
x c
π
 
− − =
 ÷
 
KB-2003:
2
cotx t anx 4sin 2
sin 2
x
x
− + =
KA-2003:
2
os2 1
cotx 1 sin sin 2
1 tanx 2
c x
x x− = + −
+
KD-2004:
( ) ( )

2cos 1 2sinx cos sin 2 sinxx x x− + = −
KB-2004:
( )
2
5sin 2 3 1 sinx tanx x− = −
KA-2004: Không hỏi về giải pt LG (thay bởi bài hệ thức lượng trong tam giác)
KD-2005:
4 4
3
os sin os .sin 3 0
4 4 2
c x x c x x
π π
   
+ + − − − =
 ÷  ÷
   
KB-2005:
1 sinx cos sin 2 os2 0x x c x+ + + + =
KA-2005:
2 2
os 3 . os2 os 0c x c x c x− =
KD-2006:
os3 os2 cos 1 0c x c x x+ − − =
KB-2006:
cotx sinx 1 tanx.tan 4
2
x
 
+ + =

 ÷
 
KA-2006:
( )
6 6
2 os sin sin xcos
0
2 2sinx
c x x x+ −
=
−
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 7 năm 2011
Trang 13
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: CƠ BẢN- ĐƠN GIẢN
KD-2007:
2
sin cos 3cos 2
2 2
x x
x
 
+ + =
 ÷
 
KB-2007:
2
2sin 2 sin 7 1 sinx x x+ − =
KA-2007:
( ) ( )
2 2

1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x+ + + = +
CĐ-2008:
cos3 3 cos3 2sin 2x x x− =
KD-2008:
( )
2sin 1 cos2 sin 2 1 2cosx x x+ + = +
KB-2008:
3 3 2 2
sin 3cos sin .cos 3sin .cosx x x x x x− = −
KA-2008:
1 1 7
4sin 4
3
sin 4
sin
2
x
x
π
π
 
+ = −
 ÷
 
 
−
 ÷
 
CĐ-2009:
( )

2
1 2sin cos 1 sin cosx x x x+ = + +
KD-2009:
3cos5 2sin3 .cos2 sin 0x x x x− − =
KB-2009:
( )
3
sin cos .sin 2 3cos3 2 cos4 sinx x x x x x
+ + = +
KA-2009:
( )
( ) ( )
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x
−
=
+ −
KD-2010:
sin 2 cos2 3sin cos 1 0x x x x− + − − =
KB-2010:
( )
sin 2 cos2 cos 2cos2 sin 0x x x x x+ + − =
KA-2010:
( )
1 sin cos2 sin
1
4

cos
1 tan
2
x x x
x
x
π
 
+ + +
 ÷
 
=
+
KD-2011:
sin 2 2cos sin 1
0
tan 3
x x x
x
+ − −
=
+
KB-2011:
sin 2 .cos sin .cos cos2 sin cosx x x x x x x+ = + +
KA-2011:
2
1 sin 2 cos2
2 sin .sin2
1 cot
x x

x x
x
+ +
=
+
KD-2012:
sin3 cos3 sin cos 2 cos2x x x x x+ − + =
KB-2012:
( )
2 cos 3sin cos cos 3sin 1x x x x x+ = − +
KA-2012:
3sin2 cos2 2cos 1x x x+ = −
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 7 năm 2011
Trang 14