phương trình lượng giác nâng cao có đáp án

PTLG – Nâng cao - Tài liệu bổ trợ kiến thức cho học sinh 11B – Tặng miễn phí 9|2011

Tổng hợp & Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – 0939.239.628 – www.gvhieu.wordpress.com 1
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Tóm tắt lý thuyết cần ghi nhớ
 Các phương trình
sin xm
,
cosxm
có nghiệm khi
| | 1m 
và vô nghiệm khi
| | 1m 







 Phương trình
tanxm
Điều kiện:
2
xk



; đặt

tan m




 Phương trình
cot xm
Điều kiện
xk


; đặt
cot m





2. Bài tập có lời giải
1. Giải các phương trình sau:
a)
3
sin3
2
x 
b)
2cos(2 ) 2
6
x



c)
3tan( ) 3
6
x

  
d)
sin5 cos2xx

2. Giải phương trình:
2
tan tan tan3 2x x x
(2)
Điều kiện:
cos 0
cos3 0
x
x






(2)
sin( 3 ) sin2
tan (tan tan3 ) 2 tan 2 tan 2
cos cos3 cos cos3
x x x

x x x x x
x x x x

      

2
2
sin 2sin cos sin
2 1 sin cos cos3
cos cos cos3 cos cos3
x x x x
x x x
x x x x x


      



cos2 1 cos4 cos2 cos4 1 4 2 ( )
42
x x x x x k x k k


             

Ta thấy
42
xk



thỏa yêu cầu điều kiện bài toán.
Vậy nghiệm của phương trình là
42
xk


(
k 
)
3. Giải phương trình
cos3 tan5 sin7x x x
(3)
Điều kiện
cos5 0x 
(*)
(3)
sin5 1 1
cos3 sin7 cos3 sin5 sin7 cos5 (sin8 sin2 ) (sin12 sin2 )
cos5 2 2
x
x x x x x x x x x x
x
      

2
sin12 sin8 ( )
20 10
xk
x x k

xk





   






2
sin ( , sin )
2
xk
x m k m
xk


  


   

  


2

sin sin
2
u v k
u v k
u v k




  

  


2
cos ( , cos )
2
xk
x m k m
xk





   

  


2
cos cos
2
u v k
u v k
u v k




  

  


tan tan ( )x x k k
  
    

tan tanu v u v k k

    

cot cot ( )x x k k
  
    

cot cotu v u v k k

    

PTLG – Nâng cao - Tài liệu bổ trợ kiến thức cho học sinh 11B – Tặng miễn phí 9|2011

Tổng hợp & Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – 0939.239.628 – www.gvhieu.wordpress.com 2
Kiểm tra điều kiện:
 Với
2
xk


thay vào (*) ta có:
cos 5 0
2
kk





phải là số chẵn. Đặt
2 ( )k m m

2
22
x k m m


   

()m

 Với
20 10
xk


thay vào (*) ta có:
cos5 0 cos 0
20 10 4 2
kk
   
   
    
   
   

Nếu k là số chẵn k=2n
cos 0
4
n



  


luôn đúng.
Nếu k là số lẻ thì k=2n+1
3
cos (2 1) cos 0

4 2 4
nn
  

   
     
   
   
luôn đúng.
Vậy nghiệm của phương trình là
( , )
20 10
xm
km
xk










4. Giải phương trình
tan cot 4xx
(4)
Điều kiện:
sin 0

sin cos 0 sin2 0 ( )
cos 0
2
x
x x x x k k
x



      




(4)
sin cos 1 1 1
4 4 sin cos sin2
cos sin sin cos 4 2
xx
x x x
x x x x
        
12
()
5
12
xk
k
xk













5. Giải phương trình
 
2
2sin3 1 4sin 1xx
(5)
(5)
 
22
2sin3 1 4(1 cos ) 1 2sin3 (4cos 3) 1x x x x      

Ta dễ thấy cosx=0 không phải là nghiệm. Nên nhân 2 vế cho cosx ta có:
3
2sin3 (4cos 3cos ) cosx x x x

Áp dụng công thức nhân ba:
3
cos3 4cos 3cosa a a
ta được:
2

14 7
2sin3 cos3 cos sin6 cos cos 6 cos ( )
2
2
10 5
xk
x x x x x x x k
xk







       








6. Giải phương trình
1
cos cos2 cos4 cos8
16
x x x x 
(6)

Ta dễ thấy sinx=0 không là nghiệm của (6). Nhân 2 vế của (6) với 16sinx ta được:
(6)
2
sin 0 sin 0
( , )
15
16sin cos cos2 cos4 cos8 sin sin16 sin
2
17 17
xk
xx
xm
km
x x x x x x x x
xm












   
  













2 15
7
15 2 2
kk
m k m k


    

Vì
| 15
22
kk
m p p m p        

PTLG – Nâng cao - Tài liệu bổ trợ kiến thức cho học sinh 11B – Tặng miễn phí 9|2011

Tổng hợp & Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – 0939.239.628 – www.gvhieu.wordpress.com 3


21
8
17 17 2
k
m k m k



    

Vì
11
| 17 8
22
kk
m q q m q

         

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
2
, 15 ,
15
2
, 17 8,
17 17
x m m p p
x m m q q




  



    




7. Giải phương trình
44
sin cos 1
(tan cot )
sin2 2
xx
xx
x


(7)
Điều kiện
sin2 0x 

(7)
22
22
1 2sin cos 1 1
1 sin 2 1 sin 2 0 sin2 0
sin2 sin2 2

xx
x x x
xx

       
(vi phạm điều kiện)
Vậy phương trình vô nghiệm.
2.8 Giải phương trình
2
5 3sin 4cos 1 2cosx x x   
(8)
Điều kiện:
1
1 2cos 0 cos
2
xx   

(8)
2 2 2
5 3(1 cos ) 4cos 1 4cos 4cos cos 1 cos 1 2 ,x x x x x x x k k

               


BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Giải các phương trình sau:
1.1
tan cot 2(sin2 cos2 )x x x x  
ĐS:
;

8 2 4 2
x m x m
   
   

1.2
22
cot tan
16(1 cos4 )
cos2
xx
x
x


ĐS:
16 8
xk



1.3
23
cos10 2cos 4 6cos3 cos cos 8cos cos 3x x x x x x x   

Hd: đặt nhân tử chung, cung nhân ba, tích thành tổng, hạ bậc… ĐS:
2xk



1.4
33
1
sin cos cos sin
4
x x x x
ĐS:
82
xk

  

1.5
66
sin cos cos4x x x
ĐS:
2
xk



1.6
44
7
sin cos cot cot
8 3 6
x x x x

   
   

   
   
ĐS:
12 2
xk

  

1.7
sin cot5
1
cos9
xx
x

ĐS:
4
,;
4 5 20 10
k
x m m x m
  
   

1.8
3 3 3
sin cos3 cos sin3 sin 4x x x x x
ĐS:
12
xk




1.9
11
2sin3 2cos3
sin cos
xx
xx
  
ĐS:
;
4 2 12 3
x k x k
   
    

1.10
33
2
cos cos3 sin sin3
4
x x x x
ĐS:
8
xk


  

PTLG – Nâng cao - Tài liệu bổ trợ kiến thức cho học sinh 11B – Tặng miễn phí 9|2011

Tổng hợp & Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – 0939.239.628 – www.gvhieu.wordpress.com 4
1.11
1 tan 2 2sinxx
ĐS:
2
43
xk



1.12
cos sin 2 cos3x x x
ĐS: 
1.13
2
3sin2 2cos 2 2 2cos2x x x  
ĐS:
2
xk




1.14
33
(1 tan )cos (1 cot )sin 2sin2x x x x x   
ĐS:
4

xm




1.15
3 3 3 3
sin cos sin cot cos tan 2sin2x x x x x x x   

(Hd: Đặt nhân tử chung, BĐT Cauchy… ĐS:
2
4
xk




1.16
(2cos 1)(sin cos ) 1x x x  
ĐS:
2
2,
63
x k x k


  

1.17
2

2sin 3 1 8sin 2 cos 2
4
x x x


  


ĐS:
5
2 ; (2 1)
12 12
x k x k


    


II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Tóm tắt lý thuyết cần ghi nhớ
Phương trình bậc hai đối với một số lượng giác có dạng:
2
0 ( 0)at bt c a   

Trong đó
{sin ,cos ,tan ,cot }t u u u u

Cách giải: Đặt điều kiện (nếu có), đặt ẩn phụ, đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có). Giải pt bậc 2
2. Bài tập có lời giải
1. Giải phương trình

2
2sin 2 3sin2 1 0xx  
(1)
Đặt
sintx
điều kiện
1t 
.Ta có:
(1)
2
2 3 1 0tt   
22
6
12
11
sin 2
7
22
22
6 12
1 ( sin 2 1
22
4
2
(nhaän)
nhaän)
xk
xk
tx
x k x k

tx
xk
xk





  






  
  





   



        




   





  
  





2. Giải phương trình
22
4sin 2 6sin 3cos2 9 0x x x   
(2)
22
1 cos2
(2) 4(1 cos 2 ) 6 3cos2 9 0 2cos 2 3cos2 1 0
2
x
x x x x

         

22
cos2 1
2
2

1
22
cos2
3
2
3
xk
x
xk
xk
x
xk
















  




  


  





3. Giải phương trình
1 1 2
cos sin2 sin4x x x

(3)
Điều kiện
cos 0
sin2 0 sin 4 0
4
sin4 0
x
x x x k
x




    






PTLG – Nâng cao - Tài liệu bổ trợ kiến thức cho học sinh 11B – Tặng miễn phí 9|2011

Tổng hợp & Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – 0939.239.628 – www.gvhieu.wordpress.com 5
1 1 2 1 1
(3) 1
cos 2sin cos 4sin cos cos2 2sin 2sin cos2x x x x x x x x x
     


2
sin 1
2sin sin 1 0
1
sin
2
2
2
22
66
x
xx
x
xk
x k x k




  



     

  



      







4. Giải phương trình
3(tan cot ) 2(2 sin2 )x x x  
(4)
Điều kiện
cos 0
sin2 0
sin 0
x
x
x








Ta có
sin cos 1 2
tan cot
cos sin sin cos sin2
xx
xx
x x x x x
    
nên
2
sin2 1
2
(4) 3. 2(2 sin2 ) sin 2 2sin2 3 0
sin2 3 (
sin2
voâ nghieäm)
x
x x x
x
x


       





2 2 ( )
24
x k x k k


      


5. Giải phương trình
22
4sin 3tan 1xx
(5)
Điều kiện
2
xk




(5)
2 2 2 2 2 2 2
4sin cos 3sin cos sin 2 3(1 cos ) cos 0x x x x x x x       


2 2 2 2
1 cos2
sin 2 4cos 3 0 1 cos 2 4 3 0 cos 2 2cos2 2 0

2
x
x x x x x

            


cos2 1 3
1
arccos( 1 3) ( )
2
cos2 1 3(voâ nghieäm)
x
x k k
x


  
       

  




BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Giải các phương trình sau:
2.1
2
cos (2sin 3 2) 2cos 1

1
1 sin 2
x x x
x
  


ĐS:
2
4
xk




2.2
1
tan cot
cos
xx
x

ĐS:
7
2
6
xk




2.3
2 2 2 2
3
cos cos 2 cos 3 cos 4
2
x x x x   
ĐS:
1 1 5
arccos
8 4 2 2
k
x x k




     




2.4
3
5
sin 5cos sin
22
xx
x
ĐS:

1 21
2 arccos 2
10
x k x m



    




2.5
2
sin (3 2 2cos ) 2sin 1
1
1 sin2
x x x
x
  


ĐS:
3
44
x k x m


    

2.6
tan tan2 sinx x x
ĐS:
xk



2.7
2
cos2 sin 2cos 1 0x x x   
ĐS:
(2 1)xk



PTLG – Nâng cao - Tài liệu bổ trợ kiến thức cho học sinh 11B – Tặng miễn phí 9|2011

Tổng hợp & Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – 0939.239.628 – www.gvhieu.wordpress.com 6
2.8
5cos cos2 2sin 0x x x  
ĐS:
3
xk


  

2.9
sin3 2cos2 2 0xx  
ĐS:

5
22
66
x k x k x k

  
      

2.10
2
3cos4 2cos 3 1xx
ĐS:
1 1 21
arccos
24
x k x m


    

2.11
32
cos sin 3sin cos 0x x x x  
ĐS:
arctan(1 2)
4
x k x m


     

2.12
2
3
2cos 1 3cos2
2
x
x
ĐS:
1 21
2 arccos 2
4
x k x k


    

2.13
cos cos4 cos2 cos3 0x x x x
ĐS:
1 1 17
arccos
2 2 8
x k x m



     

2.14

3
4cos 3 2sin2 8cosx x x
ĐS:
3
; 2 ; 2
2 4 4
k m l
  
  
  

2.15
1 sin2 1 sin2
4cos
sin
xx
x
x
  

ĐS:
;
63
km





III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

sin cosa x b x c

1. Tóm tắt lý thuyết cần ghi nhớ
Phương trình có dạng
22
sin cos (1) ( 0)a x b x c a b   

(Điều kiện để phương trình có nghiệm:
2 2 2
a b c
)
CÁCH GIẢI:
Cách 1:
Biến đổi biểu thức
sin cosa x b x
về dạng
sin( )Cx


hoặc
cos( )Cx


trong đó:
2 2 2 2
22
2 2 2 2
cos sin
sin cos
aa

a b a b
C a b
bb
a b a b















Khi đó ta có (1)
sin( )C x c

  
hoặc
cos( )C x c


. Đây là phương trình lượng giác cơ bản.
Cách 2:
sin cos sin cos

bc
a x b x c x x
aa
    
( chia 2 vế cho a)
Đặt
tan
b
a


, khi đó ta có:
sin cos sin tan .cos
b c c
x x x x
a a a

    

 
sin cos cos sin cos sin cos
cc
x x x
aa
    
     
(PT cơ bản)
2. Bài tập có lời giải
1. Giải phương trình
3sin 3cos 3xx

(1)
(1)
3 1 3 3
3sin cos 3 sin cos sin sin cos cos
2 2 2 3 3 2
x x x x x x

        

PTLG – Nâng cao - Tài liệu bổ trợ kiến thức cho học sinh 11B – Tặng miễn phí 9|2011

Tổng hợp & Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – 0939.239.628 – www.gvhieu.wordpress.com 7
2
2
3
36
2
cos cos ( )
3 2 6
2
2
6
36
xk
xk
xk
xk
xk

















      







   





2. Giải phương trình
3cos2 sin2 2xx

(2)
3 1 2
(2) cos2 sin2 cos cos2 sin sin2 cos
2 2 2 6 6 4
x x x x
  
     

22
64
24
cos 2 cos
5
64
22
6 4 24
xk
xk
x
x k x k





  



  





    






      





3. Giải phương trình
2 2(sin cos )cos 3 cos2x x x x  
(3)
2
1 cos2
(3) 2 2sin cos 2 2cos 3 cos2 2sin2 2 2 3 cos2
2
x
x x x x x x

       

2sin2 ( 2 1)cos2 3 2xx    

Ta thấy:
2 2 2 2
2 2 2
22
( 2) ( 2 1) 5 2 2
(3 2) 11 6 2
ab
a b c
c

     

  

   



Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Giải các phương trình sau:
3.1
4sin2 3cos2 12sin 3x x x  
ĐS:
k


3.2

22
cos sin 3sin2 1x x x  
ĐS:
;
3
kk




3.3
 
44
4 cos sin 3sin4 2x x x  
ĐS:
;
4 2 12 2
kk
   



3.4
3
3sin3 4sin 3 3cos9 1x x x  
ĐS:
2 7 2
;
18 9 54 9
kk

   


3.5
44
1
sin cos
44
xx


  


ĐS:
( 1) 1
82
k
k





3.6
sin 3cos sin 3cos 2x x x x   
ĐS:
2 ; 2
62
kk



  

3.7 Cho phương trình
cos 2 2sin 1x x m  

a) Định m để phương trình có nghiệm
b) Định m để phương trình có nghiệm thuộc
0;
3





3.8 Cho phương trình
sin cos 1x m x

a) Giải phương trình khi
3m 

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
3.9 Tìm m để phương trình
22
2sin sin2 2(2 )cos 4x m x m x   
có nghiệm thuộc
;
42






PTLG – Nâng cao - Tài liệu bổ trợ kiến thức cho học sinh 11B – Tặng miễn phí 9|2011

Tổng hợp & Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – 0939.239.628 – www.gvhieu.wordpress.com 8
IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
2 2 2 2 2
sin sin cos cos ( 0)a x b x x c x d a b c     

Cách giải 1:
Kiểm tra xem
cos 0x 
có phải là nghiệm hay không. Nếu phải thì
2
xk



là họ nghiệm.
Với
cos 0x 
, chia hai vế phương trình đã cho ta được phưng trình bậc hai theo tanx:
22
tan tan (1 tan )a x b x c d x   

Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc để đưa về dạng bậc nhất theo sinx, cosx

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Giải các phương trình sau:
4.1
22
4sin 3 3sin2 2cos 4x x x  

4.2
22
2sin 3sin2 4cos 3 2x x x   

4.3
3 2 3
sin 2sin cos 3cos 0x x x x  

4.4
22
3cos 2sin2 sin 2 3x x x   

Tìm điều kiện của m để các phương trình sau có nghiệm
4.5
22
sin sin2 3 cos 1m x x m x  

4.6
2 2 2
( 2)cos 4 sin cos 3m x m x x m   

4.7
22
cos sin cos 2sinx x x x m  

V. PHƯƠNG TRÌNH
(sin cos ) sin cosa x x b x x c  

Cách giải:
Đặt
sin cos 2 sin( )
4
t x x x

   
đk:
2t 

2
2
1
1 2sin cos sin cos
2
t
t x x x x

    

Thay vào phương trình đã cho, ta được:

2
2
1
2 2 1 0
2

t
at b c bt at c

      

Ví dụ 1: Giải phương trình
3(sin cos ) 2sin2 3 0 (1)x x x   

a)
sin cos 2sin( )
4
t x x x

   
. Điều kiện
| | 2t 

Ta có:
2
2
1
sin2 2sin cos 2 1
2
t
x x x t

   

22
2

2
2
1
2 sin( ) 1
4
(1) 3 2( 1) 3 0 2 3 1 0
1
1
arcsin( ) 2
1
2 sin( )
4
22
2
42
1
arcsin( ) 2
4
22
xk
xk
t
x
t t t t
xk
t
x
xk











  





  





           

   




  






    




PTLG – Nâng cao - Tài liệu bổ trợ kiến thức cho học sinh 11B – Tặng miễn phí 9|2011

Tổng hợp & Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – 0939.239.628 – www.gvhieu.wordpress.com 9
Ví dụ 2: Giải phương trình
sin cos 4sin cos 1 0 (2)x x x x   

a)
sin cos 2sin( ), | | 2
4
t x x x t

    

2
22
1
(sin cos ) 1 2sin cos sin cos
2
t
t x x x x x x

      

2
2
1
(2) 4 1 0 2 3 0
2
t
t t t

        
1
2 sin( ) 1
3
4
(
2
loaïi)
t
x
t




    




2

2
sin( )
3
42
2
2
xk
x
xk







    






VI MỘT SỐ CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC
Những phương trình lượng giác cơ bản, những phương trình lượng giác mẫu mực được
trình bày trong mục 5. đã có phương pháp giải rõ ràng và cụ thể. Tuy nhiên, trong thực tế giải
toán chúng ta còn gặp rất nhiều phương trình lượng giác khác không nằm trong những dạng trên
và không có phương pháp vạn năng nào chung cho mọi trường hợp. Dù vậy, chúng ta có thể nêu
ra một vài phương pháp chung cho việc giải những phương trình lượng giác.
a) Biến đổi phương trình đã cho về những phương trình lượng giác cơ bản, mẫu mực mà

ta đã biết cách giải. (quy lạ về quen)
Ví dụ: Giải phương trình
cos5 sin4 cos3 sin2x x x x

   
11
sin(4 5 ) sin(4 5 ) sin(3 2 ) sin(2 3 )
22
sin9 sin sin5 sin
9 5 2
2
sin9 sin5
9 5 2
14 7
x x x x x x x x
x x x x
xk
x x k
xx
x x k
xk




       
   






   


  






b) Tìm cách biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích (rất thường sử dụng)
Tìm cách biến đổi phương trình đã cho về dạng tích
( ) 0
( ). ( ) 0
( ) 0
fx
f x g x
gx







Ví dụ: Giải phương trình
sin sin2 sin3 cos cos2 cos3x x x x x x    

sin 2 2sin 2 cos cos2 2cos2 cos
sin 2 (1 2cos ) cos2 (1 2cos )
(sin2 cos2 )(1 2cos ) 0
sin 2 cos2
cos( 2 ) cos2
sin 2 cos2 0
82
2
1
1 2cos 0 1 2
cos
cos 2
2
23
x x x x x x
x x x x
x x x
xx
xk
xx
xx
x
x
x x k




   
   

   











   









    






Phương trình cơ bản

PTLG – Nâng cao - Tài liệu bổ trợ kiến thức cho học sinh 11B – Tặng miễn phí 9|2011

Tổng hợp & Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – 0939.239.628 – www.gvhieu.wordpress.com 10
c) Đưa về cùng hàm lượng giác: Nếu phương trình đã cho có nhiều hàm lượng giác khác
nhau (
sin ,cos xx
) thì biến đổi phương trình về phương trình mới mà trong đó chỉ còn lại
một hàm lượng giác. Lúc đó, có thể đặt ẩn phụ là hàm lượng giác đó.
Ví dụ: Giải phương trình
2
31
tan2 1 (1)
cot2 cos 2
x
xx
  

Điều kiện:
sin 2 0
2
cos2 0
42
xk
x
x
xk


















22
(1) 3tan2 1 tan 2 tan2 6 tan 2 4tan2 5 0 (2)x x x x x        

Đặt
tan2tx

2
1 tan2 1
82
(2) 4 5 0
5 tan 2 5
arctan5
22
xk
tx
tt
tx

xk







      









d) Đưa về cùng một cung lượng giác: Nếu phương trình đã cho có nhiều cung lượng giác
khác nhau (
,2 ,3 x x x
) thì biến đổi phương trình đã cho về phương trình mới mà tại đó chỉ
còn lại một cung lượng giác. Sau đó có thể dùng các công thức biến đổi lượng giác để đưa
về phương trình tích hay tìm cách đặt ẩn phụ…
Ví dụ: Giải phương trình
2
4cos sin4 4cos2 2x x x  

1 cos2
4 2sin 2 cos2 4cos2 2

2
2 2cos2 2sin 2 cos2 4cos2 2
2sin 2 cos2 2cos2 0
cos2 0
42
2cos2 (sin 2 1) 0
sin 2 1
4
x
x x x
x x x x
x x x
xk
x
xx
x
xk




   
    
   





     






  




e) Tìm cách biến đổi phương trình đã cho về dạng:
22
0
0
0
A
AB
B


  




Ví dụ: Giải phương trình
2
2
1
sin 2 2sin2 2tan 1 0

cos
x x x
x
    

Điều kiện:
cos 0
2
x x k


   

PTLG – Nâng cao - Tài liệu bổ trợ kiến thức cho học sinh 11B – Tặng miễn phí 9|2011

Tổng hợp & Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – 0939.239.628 – www.gvhieu.wordpress.com 11
2
2
22
22
1
sin 2 2sin 2 2tan 1 0
cos
sin 2 2sin 2 1 tan 2tan 1 0
(sin2 1) (tan 1) 0
sin 2 1 0 sin 2 1
tan 1 0 tan 1
4
x x x
x

x x x x
xx
xx
xk
xx


    
      
    
   

     

   


f) Đánh giá các hàm hay biểu thức của phương trình:
2A B m
Am
Am
Bm
Bm














Ví dụ: Giải phương trình
sin( ) cos( ) 2x y x y   

Ta có:
sin( ) 1, ,
sin( ) cos( ) 2 ,
cos( ) 1, ,
x y x y
x y x y x y
x y x y
  

     

  


Do đó:
sin( ) cos( ) 2x y x y   

2
sin( ) 1
2
42

,
2
cos( ) 1
2
2
42
kl
x
xy
x y k
kl
x y k l
x y l
y













  



   
  
  









BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1. Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để giải các phương trình sau:
a)
sin sin7 sin3 sin5x x x x
b)
sin5 cos3 sin9 cos7x x x x

c)
cos cos3 sin2 sin6 sin4 sin6 0x x x x x x  
d)
sin4 sin5 sin4 sin3 sin2 sin 0x x x x x x  

2. Dùng công thức biến đổi tổng thành tích để giải các phương trình sau:
a)
sin5 sin3 sin4x x x
b)
sin sin2 sin3 0x x x

c)
cos cos3 2cos5 0x x x  
d)
cos22 3cos18 3cos14 cos10 0x x x x   

3. Dùng công thức hạ bậc để giải các phương trình sau:
a)
2 2 2
3
sin sin 2 sin 3
2
x x x
b)
2 2 2 2
sin 3 sin 4 sin 5 sin 6x x x x  

c)
2 2 2
sin 2 sin 4 sin 6x x x
d)
2 2 2 2
cos cos 2 cos 3 cos 4 2x x x x   

e)
2 2 2
3
cos 3 cos 4 cos 5
2
x x x  

f)
4
8cos 1 cos4xx

g)
44
sin cos cos4x x x
h)
2 2 2
3cos 2 3sin cos 0x x x  

4. Giải các phương trình sau:
a)
tan cot 3 0
36
xx

   
   
   
   
b)
37
tan 2 cot 4 0
48
xx

   
   
   

   

PTLG – Nâng cao - Tài liệu bổ trợ kiến thức cho học sinh 11B – Tặng miễn phí 9|2011

Tổng hợp & Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – 0939.239.628 – www.gvhieu.wordpress.com 12
c)
tan 2 tan 1
32
x
x


   
  
   
   
d)
sin2 2cot 3xx

5. Giải các phương trình sau:
a)
tan 1 cos2xx
b)
00
1
tan( 15 )cot( 15 )
3
xx  

c)

sin2 2cos2 1 sin 4cosx x x x   
d)
44
3sin 5cos 3 0xx  

e)
2
(2sin cos )(1 cos ) sinx x x x  
f)
1 sin cos2 sin cos2x x x x  

6. Giải các phương trình sau:
a)
tan cos sin2 0
2
x
xx
b)
6 2 6
sin 3sin cos cos 1x x x x  

c)
33
2
sin cos sin cos
8
x x x x
d)
22
3

sin sin cos4 cos 4
4
x x x x  

7. Biết rằng các số đo radian của ba góc của tam giác ABC là nghiệm của phương trình
23
tan tan 0
23
x
x   
. CMR tam giác ABC là tam giác đều.
8. Cho phương trình
cos2 (2 1)cos 1 0x m x m    

a) Giải phương trình với
3
2
m 

b) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm
3
;
22
x






9. Giải phương trình
2
(2sin 1)(2sin2 1) 3 4cosx x x   

10. Giải các phương trình:
a)
sin2 12(sin cos ) 12 0x x x   
b)
33
sin cos 1xx

11. Giải phương trình:
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x



  








12. Giải phương trình:
3 3 2 2
sin 3cos sin cos 3sin cosx x x x x x  

13. Giải phương trình:
2sin (1 cos2 ) sin2 1 2cosx x x x   

14. Giải các bất phương trình sau:
a)
1
sin2
2
x 
b)
sin cos 1xx