Phân tích cartan trong đại số lie và cài đặt một số thuật toán lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐẶNG ĐÌNH SƠN
PHÂN TÍCH CARTAN TRONG ĐẠI SỐ LIE
VÀ CÀI ĐẶT MỘT SỐ THUẬT TOÁN LƯỢNG TỬ
Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số
Mã số: 60.46.01.04
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH ĐỖ NGỌC DIỆP
Hà Nội - 2014
LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc tới
GS. TSKH. Đỗ Ngọc Diệp,
Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam
Người thầy đáng kính, đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ, dày công hướng dẫn
để tác giả hoàn thành luận văn này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Tin - Cơ học,
trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội nói chung và các thầy cô trong
bộ môn Đại số - Hình học - Tô Pô. Các thầy cô đã truyền đạt cho chúng tôi
nhiều kiến thức khoa học mới bổ ích và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho chúng
tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp, những người thân đã động
viên giúp đỡ trong suốt quá trình học tập thực hiện luận văn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2014
Đặng Đình Sơn
1
MỤC LỤC
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
Chương 1 - TỔNG QUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1. Tổng quan về thuật toán lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
1.1. Các khái niệm cơ bản của tính toán lượng tử. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1. Thanh ghi lượng tử. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2. Đo lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
1.1.3. Cổng lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1.2. Thuật toán lượng tử. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
1.2.1 Thuật toán lượng tử mức tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2. Mô hình dây. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
2. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
2.1. Giới thiệu về nhóm Lie và Đại số Lie của một nhóm Lie. . . . . . . . . 21
2.2. Cấu trúc của su(N) và so(N). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
2.2.1. Hệ nghiệm của nhóm Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
2.2.2. Cấu trúc của su(N). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
2.2.3. Cấu trúc của so(2N). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
3. Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
2
Chương 2 - PHÂN TÍCH CARTAN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
1. Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
2. Phân tích Cartan chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1. Phân tích không gian nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2. Phân tích Cartan chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3. Phân tích su(N). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4. Phân tích so(2N). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5. Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Chương 3 - CÀI ĐẶT MỘT SỐ THUẬT TOÁN LƯỢNG TỬ . . . . . . . 51
1. Phép biến đổi hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2. Cài đặt phép chuyển đổi dịch bít . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3. Cài đặt phép biến đổi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

4. Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
KẾT LUẬN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
TÀI LIỆU THAM KHẢO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60
3
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt
Trong luận văn này, chúng tôi dùng thống nhất sử dụng các kí
hiệu và viết tắt sau:
Ký hiệu
U(n): nhóm unita cấp n;
SU(n): nhóm unita cấp n có định thức bằng đơn vị;
SO(n): nhóm trực giao cấp n có định thức bằng đơn vị;
u(n): đại số Lie của U(n);
su(n): đại số Lie của SU(n);
so(n): đại số Lie của SO(n) ;
P r(A): xác suất xảy ra biến cố A;
G và g : nhóm Lie và đại số Lie tương ứng;
T và t : xuyến tối đại chuẩn và đại số Lie tương ứng;
H :phép biến đổi Hadamard;
F : phép biến đổi Fourier lượng tử ;
U
f
: hộp đen lượng giá hàm mẫu f;
Viết tắt
Qubit: Bit lượng tử.
4
MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài.
Lí thuyết Lie ra đời như một tương tự liên tục cho lí thuyết nhóm Galois.
Nó được ứng dụng trước hết vào lí thuyết phương trình vi phân. Mỗi biểu
thức bất biến dưới tác động của nhóm Lie cho một tích phân đầu của hệ

phương trình vi phân do vậy cho ta phép hạ bậc của hệ. Nói một cách khác
khi hệ mô tả chuyển động cơ học hay vật lí thì tích phân đầu cho ta các định
luật bảo toàn. Tìm được càng nhiều định luật như vậy hệ càng dễ dàng được
giải triệt để. Một ứng dụng khác của lí thuyết Lie là lí thuyết đối xứng trong
cơ học và vật lí. Các hệ cơ học và vật lí có đối xứng đóng vai trò quan trọng
trong việc nghiên cứu các hệ cơ học và vật lí nói chung. Mỗi hệ cơ học có
nhóm đối xứng tương ứng với một đa tạp symplectic có đối xứng, như không
gian thuần nhất. Mỗi hệ lượng tử có đối xứng, tương ứng với một biểu diễn
unita của nhóm đối xứng đó. Lí thuyết nhóm lượng tử ra đời như một ứng
dụng của nhóm Lie.
Năm 1982, Feynman đã khẳng định “một hệ cơ học lượng tử không thể
được mô hình bởi các hệ cổ điển, mà chỉ có thể được mô hình bởi một hệ cơ
học lượng tử khác” và lần đầu tiên đề xuất sử dụng hệ lượng tử thực hiện
5
việc tính toán, khai sinh ý tưởng sử dụng các hiệu ứng cơ học lượng tử để
làm tính toán. Khả năng lưu trữ theo cấp số nhân, kết hợp với một số hiệu
ứng như rối lượng tử (quantum entanglement), đã dẫn các nhà nghiên cứu
thăm dò sâu hơn vào sức mạnh của máy tính lượng tử.
Tính toán lượng tử có khả năng có khả năng cách mạng hóa lĩnh vực khoa
học máy tính tuy nhiên, tính toán lượng tử vẫn đang ở trong giai đoạn phôi
thai, khả năng của nó có thể đạt bao xa vẫn còn một câu hỏi mở. Có ba hoạt
động đang cùng diễn ra trên ba ngành khoa học khác nhau. Các nhà vật lý
tìm cách chế tạo ra máy tính lượng tử; các nhà toán học xây dựng các mô
hình tính toán lượng tử; và các nhà tin học tìm kiếm các thuật toán lượng
tử và xây dựng ngôn ngữ mô phỏng tính toán lượng tử. Trong lúc chờ đợi
các nhà vật lý khắc phục được các rào cản công nghệ để xây dựng máy tính
lượng tử, các nghiên cứu về thuật toán vẫn phải được tiến hành. Ở Việt Nam,
có thể xem việc nghiên cứu về tính toán lượng tử được khởi đầu vào năm
2004 với một số bài báo tổng quan trên Tạp chí Ứng dụng Toán học của Đỗ
Ngọc Diệp (2004), Cao Long Vân (2005, 2006); một số báo cáo hội thảo của

các thành viên nhóm Phan Trung Huy (2004, 2005, 2006); Luận văn Tiến sĩ
Công nghệ thông tin của Huỳnh Văn Đức (2012).
Như vậy, xây dựng thuật toán lượng tử là một lĩnh vực rất mới mẻ và có
sức hút, cơ hội và tầm quan trọng.
Mục đích nghiên cứu.
Từ cấu trúc của một số đại số Lie đặc biệt các nhóm biến đổi unita, phân
tích Cartan của đại số Lie nửa đơn, hữu hạn chiều xây dựng một số thuật
toán phân tích các phép biến đổi. Từ đó cài đặt một số thuật toán lượng tử
6
(Phần chính của một thuật toán lượng tử là các phép biến đổi unita).
Đối tượng, phạm vi nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu của luận văn là các phép biến đổi unita. Phạm vi
nghiên cứu của luận văn giới hạn trong hộp đen và phép biến đổi trực giao.
Phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu thông qua các tài liệu, sách báo, internet. Trình bày hệ thống
lại các kiến thức và tường minh các chứng minh. Trao đổi các nghiên cứu với
giáo viên hướng dẫn.
Ý nghĩa khoa học.
Áp dụng thành công công cụ lý thuyết nhóm cho thấy có thể sử dụng được
các kết quả của toán học hiện đại trong xây dựng thuật toán lượng tử.
Cấu trúc của luận văn.
Luận văn gồm 3 chương
- Chương 1. Tổng quan.
- Chương 2. Phân tích Cartan.
- Chương 3. Cài đặt một số thuật toán lượng tử.
7
CHƯƠNG 1 - TỔNG QUAN
Có thể xem khác biệt cơ bản của máy tính lượng tử so với máy tính cổ
điển nằm ở 2 điểm chính: qubit so với bit, và cổng lượng tử so với phép toán
logic. Trong lúc bit chỉ lưu một giá trị 0 hoặc 1, thì qubit lưu đồng thời hai

giá trị này ở dạng chồng chất trạng thái mà khi kết hợp lại thành một thanh
ghi, thanh ghi cổ điển vẫn chỉ lưu một giá trị còn thanh ghi lượng tử có khả
năng lưu tất cả các giá trị quan tâm, cũng dưới dạng chồng chất trạng thái.
Ngoài ra trong lúc các phép toán logic nhận các bit đầu vào và trả kết quả
cho bit đầu ra, thì các cổng lượng tử tác động lên qubit làm thay đổi chính
nó, nghĩa là xử lý đồng thời các giá trị nằm trong thạng thái chồng chất.
Như vậy máy tính lượng tử ưu việt hơn máy tính cổ điển ở chỗ nó có khả
năng lưu trữ và xử lý đồng thời các giá trị quan tâm. Một thuật toán lượng
tử bản chất là một phép biến đổi unita, cài đặt một thuật toán lượng tử là
phân tích phân tích các phép biến đổi unita thành các cổng lượng tử (là các
phép biến đổi unita cho trước). Đại số Lie so(n) và su(n) là các đại số các
phép biến đổi tuyến tính đặc biệt có vai trò rất quan trọng trong việc cài đặt
các thuật toán lượng tử. Trong chương này chúng tôi giới thiệu tổng quan về
8
thuật toán lượng tử và một số kiến thức cơ bản về đại số Lie so(n) và su(n).
1 Tổng quan về thuật toán lượng tử
1.1 Các khái niệm cơ bản của tính toán lượng tử
Các khái niệm cơ bản của tính toán lượng tử bao gồm: thanh ghi lượng tử,
đo lượng tử, cổng lượng tử. Trong mục này chúng tôi cũng giới thiệu một số
phép biến đổi unita quan trọng thường được dùng trong xây dựng các thuật
toán lượng tử.
1.1.1 Thanh ghi lượng tử
Tại một thời điểm, trong lúc bit cổ điển nhận một trong hai giá trị 0 hoặc
1, thì bit lượng tử (được gọi là qubit) lại nhận đồng thời cả hai giá trị này.
Dùng ký hiệu bra-ket (Paul Dirac, 1902-1984), một qubit là một hệ vật lý
gồm các trạng thái
|b = α
0
|0 + α
1

|1
với α
0
, α
1
là các số phức thỏa mãn |α
0
|
2
+ |α
1
|
2
= 1 và {|0, |1} là một cơ
sở chính tắc của C
2
.
Thanh ghi lượng tử lưu trữ đồng thời các giá trị tính toán hình thành một
phân bố xác suất xác định. Một thanh ghi n qubit là một hệ vật lý gồm các
trạng thái
|ψ =
2
n
−1

k=0
α
k
|k (1.1)
với các số phức α

k
thỏa mãn
2
n
−1

k=0
|α
k
|
2
= 1 và {|k}
2
n
−1
k=0
là một cơ sở chính
tắc trong (C
2
)
⊗n
. Trạng thái tổng quát (1.1) được gọi là trạng thái chồng chất
9
với phân bố xác suất bằng

|α
k
|
2


2
n
−1
k=0
.
Hai trạng thái |ψ
1
 và |ψ
2
 được xem là một nếu |ψ
1
 = e
iθ
|ψ
2
, θ ∈ R.
Trạng thái |k, k = 0, 1, , 2
n
− 1 được gọi là trạng thái thuần.
Định nghĩa 1.1
Các trạng thái |k, k = 1, 2, , 2
n
−1, được gọi là các trạng thái tính toán.
Ví dụ 1.1 Trạng thái chồng chất của một thanh ghi 2 qubit.
|ψ =
1
√
7
{i|0 + (1 −i)|1 + 2|3}
Xác suất k = 1 là P r(k = 1) =

2
7
.
Hình 1.1 Trạng thái chồng chất của một thanh ghi 2 qubit
1.1.2 Đo lượng tử
Tính toán lượng tử làm việc trên nhiều qubit, trong đó một số qubit được
nhóm lại thành các thanh ghi để thuận tiện trong việc mô tả, xử lý. Muốn
xác định kết quả chúng ta phải thực hiện một phép đo trên một hoặc nhiều
thanh ghi này. Kết quả đo thu được một trạng thái thuần trên các thanh ghi
được đo trong lúc thay đổi trạng thái trên hệ con các thanh ghi còn lại.
10
Trong cơ học lượng tử, trạng thái của hạt (vi mô) được mô tả bởi hàm
sóng, là một véc tơ đơn vị trong không gian Hilbert phức, được gọi là không
gian Hilbert liên kết với hạt. Một đại lượng vật lý được mô tả bởi một toán
tử Hermite là toán tử tuyến tính tự liên hợp với các trị riêng là các giá trị đo
được của đại lượng này. Kết quả đo sẽ làm suy sụp hàm sóng, đưa trạng thái
của hạt về trạng thái riêng là véc tơ riêng đơn vị ứng với trị riêng vừa được
đo. Ký hiệu |ψ là trạng thái của hạt và |a là véctơ riêng đơn vị ứng với trị
riêng a, khi ấy xác suất đo được a là
p
a
= |a||ψ|
Xét đại lượng vật lý có hai giá trị, toán tử mô tả nó có 2 trị riêng ứng với 2
véc tơ riêng được chọn làm cơ sở chính tắc của không gian Hilbert liên kết
biểu diễn tất cả các trạng thái của hạt. Hai véc tơ riêng này được ký hiệu
là |0 và |1 . Để mã hóa dữ liệu cho tính toán lượng tử, chúng ta quy ước
trị riêng đo được ứng với chúng là 0 và 1 tương ứng. Nhờ đó chúng ta không
quan tâm đến hạt nào được chọn làm qubit và đại lượng nào được chọn để
đo. Kết quả ta có mô hình toán học thuần túy.
Xác suất đo được một trạng thái thuần được tính như sau. Trước hết, nếu

đo trên tất cả các qubit của hệ, ở trạng thái (1.1), như đã đề cập ở trên, ta
có
P r(k = j) = p
j
= |α
j
|
2
(1.2)
Nếu hệ phân tích thành 2 thanh ghi m và n qubit thì (1.1) được viết lại:
|ψ =
2
m
−1

x=0
2
n
−1

y=0
α
xy
|x|y,
11
kết quả đo trên thanh thứ nhất nhận được giá trị j:
Pr(x = j) =
2
n
−1


y=0
|α
jy
|
2
, ψ
j
=
2
n
−1

y=0
α
jy
|j|y (1.3)
Ví dụ 1.2 Xét hệ 3 qubit, phân tích thành 2 thanh ghi, thanh ghi thứ
nhất gồm 1 qubit đầu, thanh ghi thứ 2 gồm 2 qubit còn lại.
|ψ =
1
2
|0|1 +
1
2
|1|2 −
1
√
2
|1|3

Kết quả đo trên thanh ghi thứ nhất:
Giá trị đo được 0 1
Xác suất
1
4
1
4
Trạng thái sau đo
1
2
|0|1 |1(
1
2
|2 −
1
√
2
|3)
1.1.3. Cổng lượng tử
Trong tính toán lượng tử trạng thái hệ được thay đổi bằng các phép biến
đổi unita. Các phép biến đổi unita được phân tích thành tích của các phép
biến đổi tác động lên không quá 2 qubit, gọi là cổng lượng tử.
1. Cổng Hadamard, ký hiệu là H
H |k =
1
√
2
(|0 + (−1)
k
|1) (1.4)

2. Các cổng chuyển pha 1 và 2 qubit, ký hiệu là P
ϕ
P
ϕ
|k = e
iϕk
|k
P
ϕ
|x|y = e
iϕxy
|x|y
(1.5)
12
3. Các cổng Pauli, ký hiệu là σ
x
, σ
y
, σ
z
, trong đó σ
x
còn được gọi là cổng
XOR
σ
x
|k = |1 −k = |1 ⊕k = |1 + k,
σ
y
|k = (−1)

1−k
i |1 −k,
σ
z
|k = (−1)
k
|k
(1.6)
4. Cổng CNOT
CNOT |x|y = |x|x ⊕y (1.7)
5. Cổng SWAP
SWAP |x|y = |y|x (1.8)
6. Cổng Toffoli, ký hiệu là T
T |x|y|z = |x|y|z ⊕ xy (1.9)
Trong đó
H =
1
√
2


1 1
1 −1


, P
ϕ
=



1 0
0 e
iϕ


, σ
x
=


0 1
1 0


, σ
y
=


0 i
−i 0


,
σ
z
=


1 0

0 −1


, P
ϕ
=








1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 e
iϕ








, CNOT =









1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0








,
P
ϕ
=









1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1








, T =





I 0 0
0 I 0
0 0 σ
x





13
Một số phép biến đổi quan trọng
Một số phép biến đổi unita đóng vai trò quan trọng trong tính toán lượng

tử:
1. Phép biến đổi Hadamard, ký hiệu H
⊗n
, hoặc H (nếu không sợ nhầm
lẫn)
H |x =
2
n
−1

y=0
(−1)
x.y
|y (1.10)
trong đó x.y =
n−1

j=0
x
j
y
j
, (x
j
) và (y
j
) là các biểu diễn nhị phân của x và y.
2. Phép biến đổi Fourier, ký hiệu F
F |x =
2

n
−1

y=0
e
2πi
2
n
x.y
|y (1.11)
3. Phép biến đổi tách pha, ký hiệu U
ϕ
U
ϕ
|0 =
1
√
2
n
2
n
−1

k=0
e
kiϕ
|k (1.12)
4. Phép biến đổi điều khiển, ký hiệu Λ
U
Λ

U
|x|y =



|x|y, x = −1
|xU |y, x = −1
(1.13)
5. Phép biến đổi lượng giá hàm, còn gọi là hộp đen, ký hiệu U
f
U
f
|x|y = |x|y + f(x) (1.14)
Ở đây, phép biến đổi điều khiển đóng vai trò như cấu trúc rẽ nhánh trong
tính toán cổ điển, còn hộp đen thường dùng để biểu diễn dữ liệu bài toán.
Trong hầu hết tài liệu phép toán cộng ở (1.14) là phép XOR theo từng bit;
14
cũng có tài liệu coi đây là phép cộng mod 2
m
, với m là số qubit của thanh
ghi thứ 2.
1.2 Thuật toán lượng tử
Có thể xem sự khác biệt cơ bản giữa thuật toán lượng tử và thuật toán
cổ điển là ở cách quản lý và sử dụng biến để lưu trữ và xử lý dữ liệu. Qua
đó lập trình viên cũng thay đổi cách tư duy lập trình của họ. Trong thuật
toán cổ điển lập trình viên thoải mái sử dụng các biến mà khả năng lưu trữ
và xử lý dữ liệu của chúng được xác định qua các kiểu dữ liệu khác nhau
được xây dựng sẵn hoặc do họ tự định nghĩa lấy. Với phép gán và các cấu
trúc điều khiển tuần tự, lặp và rẽ nhánh, lập trình viên kiểm soát các biến
của chương trình mang ít nhiều trực giác. Ngược lại, trong thuật toán lượng

tử lập trình viên chỉ dùng duy nhất một biến, là kết hợp của nhiều qubit lưu
trữ đồng thời các giá trị thuộc lĩnh vực bài toán cần giải, và xử lý nó bằng
cách áp dụng các cổng lượng tử hoặc các phép biến đổi unita được chấp nhận
lên các qubit thích hợp. Không có phép gán, chỉ có phép đo. Biến được khởi
tạo, được xử lý bởi các phép biến đổi unita, và được đo để rút ra giá trị giúp
tìm lời giải của bài toán. Cấu trúc rẽ nhánh cũng khác, dưới tác dụng của
các phép biến đổi được điều khiển, chỉ các giá trị của biến thuộc một không
gian con nào đó bị thay đổi. Để xây dựng thành công một thuật toán lượng
tử, lập trình viên lúc này cần có kiến thức về toán học và vật lý học hiện đại.
Như vậy thuật toán lượng tử chỉ ưu việt hơn thuật toán cổ điển khi nó được
hiện thực trên một máy tính lượng tử thật sự. Trong mục này chúng tôi giới
thiệu thuật toán lượng tử ở mức tổng quát, đơn giản nhất; giới thiệu mô hình
15
dây và minh họa một số thuật toán.
1.2.1 Thuật toán lượng tử mức tổng quát
Trong tính toán lượng tử bài toán chính là tìm một phép biến đổi unita
đưa hệ từ trạng thái |ψ
0
 về trạng thái |ψ , chứa nhiều thông tin cho phép
giải quyết một bài toán nào đó. Sau đó, chúng ta sẽ thực hiện một phép đo
trên trạng thái |ψ để có thông tin về lời giải. Kết quả đo sẽ nhận được một
giá trị nguyên và để lại hệ với trạng thái tương ứng; giá trị thu được là ngẫu
nhiên với phân bố xác suất xác định theo công thức đã biết (1.3).
Ví dụ 1.3 Xét hệ 3-qubit với trạng thái ban đầu là một trạng thái tính
toán |ψ
0
 = |011 . Tác động phép biến đổi Hadamard lên 2 qubit đầu:
|ψ =
1
√

2
(|0 + |1)
1
√
2
(|0 −|1) |1 =
1
2
(|1 −|3 + |5 −|7)
Đo trên 2 qubit cuối thu được các giá trị 1 hoặc 3 với xác suất bằng nhau và
để lại trạng thái của hệ tương ứng như sau
Giá trị đo được 1 3
Xác suất 0.5 0.5
Trạng thái sau đo
1
√
2
(|0 + |1) |1
−1
√
2
(|0 + |1) |3
Như vậy một thuật toán lượng tử sẽ gồm ba bước chính:
1. Chuẩn bị trạng thái đầu của thanh ghi |ψ
0
.
2. Thực hiện phép biến đổi unita |ψ = U(|ψ
0
).
3. Đo trên thanh ghi (con) để nhận giá trị tính toán.

16
Để có một thuật toán lượng tử cụ thể, phép biến đổi unita U sẽ phải được
tường minh bởi một dãy các cổng lượng tử; cũng cho phép dùng các phép đổi
được xây dựng trước, xem như các chương trình con.
1.2.2 Mô hình dây
Một mô hình trực quan, được giới thiệu bởi Deutsch, được gọi là mô hình
dây, là một mô hình máy tính lượng tử đơn giản tương đương với mô hình
máy Turing lượng tử. Trong mô hình này có nhiều dây đặt song song nhau,
mỗi dây biểu diễn một thanh ghi, trên đó phép biến đổi unita tác động lên
thanh ghi nào sẽ được gắn lên dây tương ứng. Như vậy, bằng cách gắn tuần
tự các cổng lượng tử lên các dây, chúng ta xây dựng các phép biến đổi unita
tác động trên nhiều qubit. Số cổng dùng để xây dựng một phép biến đổi được
gọi là độ phức tạp tính toán. Cũng vậy muốn đo thanh ghi nào chúng ta gắn
thiết bị đo lên dây tương ứng.
Hình 1.2 Minh họa thuật toán lượng tử tổng quát (bằng mô hình dây).
Sau đây là mô hình dây của một số cổng lượng tử
Hình 1.3 Cổng Hadamard.
17
Hình 1.4 Các cổng chuyển pha 1 và 2 qubit.
Hình 1.5 Các cổng Pauli.
Hình 1.6 Cổng CNOT.
Cài đặt các thuật toán lượng tử
Một trong những bài toán chính của tính toán lượng tử là phân tích phép
biến đổi unita U ở trên thành các cổng lượng tử, trong đó phép biến đổi unita
ứng với một cổng lượng tử được xây dựng nhờ vào tích tensor. Trong luận
văn này nghiên cứu về phân tích Cartan và ứng dụng cài đặt một số thuật
18
toán liên quan đến hộp đen.
Liên quan đến độ phức tạp của thuật toán ta có hai định nghĩa.
Định nghĩa 1.2

Số lượng các cổng lượng tử được dùng trong thuật toán được gọi là độ
phức tạp tính toán.
Hầu hết thuật toán có dùng hộp đen. Với các hộp đen cho trước, ví dụ
các hộp đen biểu diễn dữ liệu bài toán, chúng ta cũng muốn biết chúng được
dùng bao nhiêu lần.
Định nghĩa 1.3
Số lượng các hộp đen được dùng trong thuật toán được gọi là độ phức tạp
truy vấn.
Thuật ngữ độ phức tạp tính toán cũng được dùng khi phân tích một phép
biến đổi unita thành các cổng lượng tử.
Ví dụ 1.4
Phép biến đổi Hadamard trên n qubit được tạo bởi n cổng Hadamard, nên
có độ phức tạp tính toán là tuyến tính.
H
⊗n
= H ⊗H ⊗ ⊗H
19
Minh hoạ cài đặt một số thuật toán bằng mô hình dây
Hình 1.7: Thuật toán Deutsch – Jozsa.
Hình 1.8 Phần chính của thuật toán tìm kiếm Grover.
Hình 1.9 Thuật toán xấp xỉ pha.
20
2. Một số kiến thức chuẩn bị
2.1. Giới thiệu về nhóm Lie và Đại số Lie của một nhóm Lie
Định nghĩa 1.4
Không gian véctơ L với một tích nội (gọi là tích Lie) L × L → L phản
xứng, song tuyến tính, (không kết hợp nhưng) thỏa mãn hệ thức Jacobi được
gọi là một đại số Lie.
Không gian véctơ thực một chiều R là một đại số Lie với tích Lie tầm
thường [a, b] = 0, không gian véctơ 3 chiều R

3
là một đại số Lie với tích là
tích véctơ trong R
3
. Không gian véctơ End(R
n
) là một đại số Lie với tích Lie
[f, g] = fog −gof. Không gian véctơ sl
n
(R) = {Mat
n
(R); T rA = 0} là một
đại số Lie với tích Lie [A, B] = AB − BA. Không gian véctơ các ma trận
thực phản đối xứng, so(n) = {Mat
n
(R); A + A
t
= 0} là một đại số Lie với
tích Lie [A, B] = AB − BA. Không gian véctơ u(n) = {Mat
n
(C); A + A
∗
=
0} là một đại số Lie với tích Lie [A, B] = A
∗
B − B
∗
A. Không gian véctơ
su(n) = {Mat
n

(C); A + A
∗
= 0; T r(A) = 0} là một đại số Lie.
Định nghĩa 1.5
Nhóm Lie G là một đa tạp đồng thời là một nhóm mà các ánh xạ lấy tích
hai phần tử và ánh xạ lấy phần tử ngược là ánh xạ trơn.
Tập R các số thực với phép cộng là một nhóm Lie (cộng tính).Tập R
∗
tập
các số thực khác 0 với phép nhân là một nhóm Lie (nhân tính). Đường tròn
đơn vị S
1
= {z ∈ C; |z| = 1} với phép nhân hai số phức là một nhóm Lie.
Tích Descartes của hai nhóm Lie là một nhóm Lie, do đó không gian véc
21
tơ R
n
, nhóm xuyến xòe (R
×
+
)
n
, và xuyến n chiều T
n
là các nhóm Lie. Nhóm
tuyến tính tổng quát GL
n
(K) = {A ∈ Mat
n
(K); detA = 0} và nhóm tuyến

tính đặc biệt SL
n
(K) = {A ∈ Mat
n
(K); detA = 1} là các nhóm Lie (với K
là R, C)
Nhóm các ma trận trực giao, O(n) = {A ∈ Mat
n
(R); A
t
IA = I} và
nhóm các ma trận trực giao đặc biệt (có định thức bằng 1), SO(n) = {A ∈
Mat
n
(R); A
t
IA = I; det(A) = 1} là các nhóm Lie.
Nhóm các ma trận unita, U(n) = {A ∈ Mat
n
(C); A
∗
A = AA
∗
= I} và
nhóm các ma trận unita đặc biệt (có định thức bằng 1), SU(n) = {A ∈
Mat
n
(C); A
∗
A = AA

∗
= I; det(A) = 1} là các nhóm Lie.
Định nghĩa 1.6
Giả sử G là một nhóm Lie, phần tử đơn vị e. Khi đó không gian tiếp xúc
T
e
G của G tại e với một tích Lie được gọi là đại số Lie của nhóm Lie G và
được kí hiệu là g = LieG.
Đại số Lie của một số nhóm Lie.
LieR
∼
=
R
LieS
1
∼
=
R
LieGL
n
(K) = gl
n
(K)
∼
=
Mat
n
(K)
LieSL
n

(K) = sl
n
(K)
∼
=
{A ∈ Mat
n
(K); T rA = 0}
LieO(n)
∼
=
LieSO(n)
∼
=
so(n)
LieU(n)
∼
=
u(n)
LieSU(n)
∼
=
su(n)
22
Nhận xét:
u(n)
∼
=
u(1) ⊕su(n) (1.15)
Định nghĩa 1.7

Nhóm Lie H được gọi là nhóm Lie con của nhóm Lie G nếu H là nhóm con
của G và ánh xạ nhúng tự nhiên H vào G là ánh xạ chính quy.
su(n) là một đại số Lie con của u(n)
Định nghĩa 1.8
Đại số Lie g gọi là nửa đơn nếu nó không chứa một ideal Abel nào khác
(0).
su(n) là một đại số Lie nửa đơn.
Quan hệ giữa g và G được cho bởi các ánh xạ:
Ánh xạ mũ: Theo định lí Ado: Mọi đại số Lie đều là đại số Lie (con) các
matrận. Do đó ánh xạ mũ được định nghĩa như sau (trong khuôn khổ luận
văn này chúng ta chỉ chỉ xét các đại số Lie so(N), u(N), su(N) đều là đại số
các ma trận).
exp : g → G
A → e
A
=
∞

k=0
A
k
k!
(1.16)
Biểu diễn liên hợp của G.
Ad : G → Aut(g)
Ad(g) = Ad
g
: x → gxg
−1
(1.17)

23
Biểu diễn liên hợp của g
ad : g → End(g)
ad(x) = ad
x
: y → [x,y] = xy − yx
(1.18)
ta có:
Ad
e
x
= e
ad
x
, ∀x ∈ g (1.19)
Ad
αU
= Ad
U
với U là một phép biến đổi unita và α là một số phức có
modul bằng 1.
Ví dụ 1.5
Với phép biến đổi unita U ∈ U(n) đặt H =


U
∗
U



ta có: e
itH
=
costI + isintH. Suy ra
e
πi
2
H
|0|ψ = i |1U |ψ
Tương tự với A ∈ SO(2N), đặt H =


−A
T
A


ta có
e
πi
2
H
|0|ψ = |1A |ψ
Tổng quát, hai kết quả được chuẩn bị sau đây cung cấp một khả năng áp
dụng trực tiếp trên nhóm, trong một số trường hợp đặc biệt.
Mệnh đề 1.1
Nếu D
2
= I thì e
itD

= costI + isintD (1.20)
24