Tổng hợp các bài toán hay về dãy số

Dạng 1: Dãy số mà các số hạng cách đều.
Bài 1: Tính B = 1 + 2 + 3 + + 98 + 99
Bài 2: Tính C = 1 + 3 + 5 + + 997 + 999
Bài 3. Tính D = 10 + 12 + 14 + + 994 + 996 + 998
Bài 4. Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + + 98,99 + 99,10
Bài 5. Phân tích số 8030028 thành tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp.
Dạng 2: Dãy số mà các số hạng không cách đều.
Bài 1. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n + 1)
Bài 2. Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + + (n - 1)n(n + 1)
Bài 3. Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + + n(n + 3)
Bài 4. Tính D = 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ + n
2
Bài 5. Tính E = 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ + n
3
Bài 6. Biết rằng 1
2
+ 2
2
+ 3

2
+ + 10
2
= 385, đố em tính nhanh đợc tổng
S = 2
2
+ 4
2
+ 6
2
+ + 20
2
Bài 7. a) Tính A = 1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ + (2n -1)
2
b) Tính B = 1
3
+ 3
3
+ 5
3
+ + (2n-1)
3
Một số bài tập dạng khác
Bài 1. Tính S

1
= 1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ + 2
63
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức S = 1 +3 + 3
2
+ 3
3
+ + 3
2000
Bài 3. Cho A = 1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ + 2
9
; B = 5.2
8
. Hãy so sánh A và B
Bài 4. Tính giá trị của biểu thức S = 1 + 2.6 + 3.6
2
+ 4.6
3
+ + 100.6
99
Bài 5. Ngời ta viết dãy số: 1; 2; 3; Hỏi chữ số thứ 673 là chữ số nào?
Bài 6. Tính: A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + + (n - 2) (n + 1)

Bài 7. Tính: B = 1.2.4 + 2.3.5 + + n(n + 1)(n + 3)
Bài 8. Tính: C = 2
2
+ 5
2
+ 8
2
+ + (3n - 1)
2

Bài 9. Tính: D = 1
4
+ 2
4
+ 3
4
+ + n
4
Bài 10. Tính: E = 7 + 7
4
+ 7
7
+ 7
10
+ + 7
3001
Bài 11. Tính: F = 8 + 8
3
+ 8
5

+ + 8
801

Bµi 12. TÝnh: G = 9 + 99 + 999 + + 99 9 (ch÷ sè cuèi gåm 190 ch÷ sè 9)… …
Bµi 13. TÝnh: H = 1.1! + 2.2! + + n.n!…
Bµi 14. Cho d·y sè: 1; 2; 3; . Hái ch÷ sè thø 2007 lµ ch÷ sè nµo?…
thÓ lo¹i to¸n vÒ ph©n sè:
Bµi 1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A =
1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 ( 1).n n
+ + + +
−

Bµi 2. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc B =
4 4 4 4

3.7 7.11 11.15 95.99
+ + + +

Bµi 3. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc C =
2 2 2 2
7 7 7 7

2.9 9.16 16.23 65.72
+ + + +

Bµi 4. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc D =
3 3 3 3

1.3 3.5 5.7 49.51
+ + + +
Bµi 5. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc E =
1 1 1 1 1 1
7 91 247 475 775 1147
+ + + + +
Bµi 6. So s¸nh: A =
2 2 2 2

60.63 63.66 117.120 2003
+ + + +
vµ
B =
5 5 5 5

40.44 44.48 76.80 2003
+ + + +
Bµi 7.
So s¸nh hai biÓu thøc A vµ B:
A =
1 1 1 1
124
1.1985 2.1986 3.1987 16.2000
 
+ + + +
 ÷
 

B =
1 1 1 1

1.17 2.18 3.19 1984.2000
+ + + +

Bµi 8. Chøng tá r»ng:
( )
2
2
1 1 1 1 1

5 13 25 2
1n n
+ + + + <
+ +
víi mäi n
∈
N
Bµi 9. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc M =
[ ]
2
2 2
3 5 2 1

(1.2) (2.3)
( 1)
n
n n
+
+ + +
+

Bµi 10. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc N =
1 1 1 1

1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2)n n n
+ + + +
+ +

Bµi 11. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: H =
1 1 1

1.2.3.4 2.3.4.5 ( 1). ( 1)( 2)n n n n
+ + +
− + +

Bµi 12. Chøng minh r»ng P =
12 12 12 12 1

1.4.7 4.7.10 7.10.12 54.57.60 2
+ + + + <

Bµi 13. Chøng minh r»ng S =
2 2 2 2
1 1 1 1
1 2
2 3 4 100
+ + + + + <

Mét sè bµi to¸n kh¸c
Bµi 1. Víi n
*N

∈
, kÝ hiÖu
2
1
( 1)
!
n
n
n n
a
n
+ +
= − ×
.
H·y tÝnh tæng a
1
+ a
2
+ a
3
+ + a…
2007
Bµi 2. XÐt biÓu thøc: S =
0 1 2 1991
1 2 3 1992

2 2 2 2
+ + + +
Chøng minh r»ng S < 4
Bµi 3. TÝnh: A =

1 1 1 1

5.6 6.7 7.8 24.25
+ + + +
Bµi 4. TÝnh: B =
2 2 2 2
5 5 5 5

1.6 6.11 11.16 26.31
+ + + +
Bµi 5. TÝnh: C =
1 2 3 1

2! 3! 4! !
n
n
−
+ + + +
Bµi 6. Chøng tá r»ng: D =
2! 2! 2! 2!

3! 4! 5! !n
+ + + +
< 1
Bµi 7. Cho biÓu thøc P =
1 1 1 1 1
1
2 3 4 199 200
− + − + + −
Chøng minh r»ng: P =

1 1 1

101 102 200
+

Bµi 8. Chøng minh r»ng:
( 0, 1)n Z n n∀ ∈ ≠ ≠ −
th× Q =
1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 ( 1)n n
+ + + +
+
kh«ng
ph¶i lµ sè nguyªn.
Bµi 9. Chøng minh r»ng: S =
2 2 2 2
1 1 1 1 1

2 4 6 200 2
+ + + + <


1. Chứng tỏ rằng:
A = 75. (4
2004
+ 4
2003
+ . . . . . + 4
2

+ 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100
2. Cho
20052004432
3
1
3
1

3
1
3
1
3
1
3
1
++++++=B
Chøng minh r»ng
2
1
<B
.
3. Chøng minh r»ng:
20
9
1985
1

25
1

15
1
5
1
<++++
4. TÝnh
2004
1

3
2002
2
2003
1
2004
2005
1

4
1
3
1
2
1
++++
++++
=P
5. TÝnh:
378
1

270
1
180
1
108
1
54
1
8
1
3
1
−−−−−−=B
6. Chøng tá r»ng:
200
1
199
1

102
1
101
1
200
1
99
1

4
1

3
1
2
1
1 ++++=−++−+−
7. Chøng tá r»ng:
2004
1
2004
1

3
1
3
1
2
1
1
2222
>−−−−−=B
8. Chøng minh r»ng:
1
10.9
19

4.3
7
3.2
5
2.1

3
22222222
<++++
9. TÝnh
20042003432
33 3333
−++−+−=
A
10. Cho x = 2005. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
120062006 200620062006
22002200320042005
−+−+−+− xxxxxx
11. TÝnh: B = 1+
)20 321(
20
1
)4321(
4
1
)321(
3
1
)21(
2
1
++++++++++++++
12. Chøng minh r»ng:
10
100
1

3
1
2
1
1
1
>++++
.
13. TÝnh tæng:
2007210
7
1

7
1
7
1
7
1






−++







−+






−+






−=S
14. CMR:
1
!100
99

!4
3
!3
2
!2
1
<++++

15. Chøng minh r»ng :
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1

6 5 6 7 100 4
< + + + + <
.
16. Cho A =
)1
100
1
) (1
4
1
).(1
3
1
).(1
2
1
(
2222
−−−−
. H·y so s¸nh A víi
2
1
−
17. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
A=
1 1 1

1 . 1 1
1 2 1 2 3 1 2 3 2006
     
− − −
 ÷  ÷  ÷
+ + + + + + +
     
18. Víi mäi sè tù nhiªn n
≥
2 h·y so s¸nh:
a. A=
2222
1

4
1
3
1
2
1
n
++++
víi 1 .
b. B =
( )
2
222
2
1

6
1
4
1
2
1
n
++++
víi 1/2
19. TÝnh tæng: A= (- 7) + (-7)
2
+ … + (- 7)
2006
+ (- 7)
2007
. Chøng minh r»ng: A chia
hÕt cho 43.
20. Chøng minh r»ng: Tæng A=7 +7
2
+7
3
+7
4
+ +7
4n
chia hÕt cho 400 (n
∈
N).
21. TÝnh tæng. S = (-3)
0

+ (-3)
1
+ (-3)
2
+ + (-3)
2004.