Bài giảng môn kinh tế lượng cao học

1
Phần I Kinh tế lượng cơ bản
Bài mở đầu
1. Khái niệm về Kinh tế lượng
Kinh tế lượng là môn khoa học bao gồm toán kinh tế, thống kê, lý thuyết
kinh tế, với mục đích là tìm ra kết quả định lượng, thực nghiệm cho các lý
thuyết kinh tế và kiểm chứng lại các kết quả mà lý thuyết kinh tế đã đưa ra.
Về ý nghĩa: Econometrics = Econo + metrics = Kinh tế + Đo lường
Mục tiêu nghiên cứu : Là các mối quan hệ giữa các biến số kinh tế, các quá
trình kinh tế xã hội, các mối quan hệ xảy ra giữa các đối tượng, các chủ
thể, các yếu tố kinh tế xã hội.
Công cụ sử dụng chủ yếu : Là các mô hình gọi là các mô hình kinh tế
lượng.
Kết quả : Là kết quả định lượng, sử dụng kết quả là những con số để trả lời
các câu hỏi, đưa ra khuyến nghị, dự báo, đánh giá chính sách, phân tích tác
động,… trong kinh tế.
Kiến thức nền tảng cần phải trang bị trước khi học kinh tế lượng, đó là:
Kinh tế học (Kinh tế vi mô + vĩ mô), Mô hình toán kinh tế, Xác suất thống
kê toán, tin học.
2. Phương pháp luận
+) Đặt giả thiết về vấn đề nghiên cứu
+) Xây dựng mô hình (dựa trên các luận thuyết kinh tế hay các mô hình lý
thuyết kinh tế đã đưa ra)
-) Mô hình toán kinh tế
-) Mô hình kinh tế lượng
+) Thu thập số liệu và ước lượng các hệ số của mô hình
+) Kiểm định, đánh giá và phân tích mô hình
+) Sử dụng kết quả để phân tích và dự báo về kinh tế hay khuyến nghị
chính sách.
3. Số liệu để phân tích
Số liệu được dùng để phân tích trong môn Kinh tế lượng là số liệu thống

kê về kinh tế và bao gồm các loại số liệu sau
-) Số liệu theo thời gian (chuỗi thời gian)
-) Số liệu không gian (hay số liệu chéo)
-) Số liệu hỗn hợp (theo cả thời gian và không gian).
Yêu cầu về số liệu: Đó là số liệu được điều tra ngẫu nhiên, phù hợp với
mục đích và đối tượng nghiên cứu.
Nguồn số liệu: Số liệu được thu thập qua các cuộc điều tra (khảo sát) hay
được cung cấp bởi các cơ quan chuyên môn (như tổng cục thống kê…).

2
Bài 1
Mô hình kinh tế lượng
1. Phân tích hồi quy
Phân tích hồi quy là phân tích mối liên hệ phụ thuộc giữa một biến (gọi là
biến phụ thuộc,biến được giải thích, biến nội sinh,…) phụ thuộc vào một
(hay một số) biến gọi là biến độc lập, biến giải thích hay biến ngoại sinh,
biến hồi quy,…
+) Biến phụ thuộc ký hiệu là Y
+) Biến độc lập ký hiệu là X, hay X
1
, X
2
,…, X
k
(k nguyên dương)
- Các biến độc lập là các biến không ngẫu nhiên, giá trị của chúng được
cho trước. Trong điều kiện đó biến phụ thuộc là một biến ngẫu nhiên có
quy luật phân phối xác suất xác định.
+ Hàm
( / ) ( )E Y X f X=

gọi là hàm hồi quy đơn - Simple regression
(hàm hồi quy có một biến độc lập).
+ Hàm
1 2 1 2
( / , , , ) ( , , , )
k k
E Y X X X f X X X=
gọi là hàm hồi quy bội-
Multiple regression (hàm hồi quy có hơn một biến độc lập).
- Mục đích của phân tích hồi quy:
+ Ước lượng giá trị trung bình của biến phụ thuộc khi biết giá trị của biến
độc lập, tức là phải ước lượng các tham số của mô hình.
+ Kiểm định các giả thuyết về bản chất của mối quan hệ giữa biến phụ
thuộc và biến độc lập mà lý thuyết kinh tế đưa ra. Trong trường hợp này
phải trả lời hai câu hỏi:
•
) Có tồn tại quan hệ giữa biến phụ thuộc và biến độc lập hay không?
•
) Nếu tồn tại quan hệ thì mức độ chặt chẽ như thế nào?
+ Dự báo giá trị trung bình của biến phụ thuộc khi biết giá trị của biến độc
lập.
2. Mô hình hồi quy đơn (hay mô hình hồi quy 2 biến)
2.1. Mô hình hồi quy tổng thể
- Toàn bộ tập hợp các phần tử đồng nhất theo một dấu hiệu nghiên cứu
định tính hoặc định lượng nào đó được gọi là tổng thể nghiên cứu hay tổng
thể.
- Giả sử có một tổng thể nghiên cứu gồm N phần tử với hai dấu hiệu
nghiên cứu: X, Y tạo thành một biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y).
- Để nghiên cứu BNN (X, Y) ta lập các bảng phân phối xác suất:
+ Bảng phân phối xác suất đồng thời của X và Y:

3
X
Y
x
1
x
2
x
k
y
1
p(x
1
,

y
1
) p(x
2
,

y
1
) p(x
k
,

y
1
)

y
2
p(x
1
, y
2
) p(x
2
, y
2
) p(x
k
,

y
2
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
y
h
p(x
1
,

y
h
) p(x
2
,

y
h
) p(x
k
,

y
h
)
1 1
( , ) 1
k h
i j
i j
p x y
= =

=
∑∑
Các bảng phân phối xác suất có điều kiện của Y theo X
i
( 1 )i k= ÷
Y/(X = X
i
) y
1
y
2
y
h
( / )
i
Y X
P
P[(Y= y
1
)/X
i
] P[(Y= y
2
)/X
i
] P[(Y = y
h
)

/X

i
]
Kỳ vọng toán của Y với điều kiện của X = X
i


1
( / ) [( )/ ]
h
i j j i
j
E Y X y P Y y X
=
= =
∑
hay
( / ) ( )
i i
E Y X f X=
hoặc
( / ) ( )E Y X f X=
là một hàm số và gọi là hàm
hồi quy tổng thể của Y đối với X (Population Regression Function – PRF).
Nó cho biết giá trị trung bình của Y thay đổi như thế nào theo X.
Giả sử PRF có dạng tuyến tính

1 2
( / ) ;( 1 )
i i
E Y X X i k

β β
= + = ÷
hoặc
1 2
( / )E Y X X
β β
= +
Trong đó
1 2
,
β β
gọi là các hệ số hồi quy (Regression Coefficient):
+) Hệ số
1
( / 0)
i
E Y X
β
= =
gọi là hệ số chặn (Intercept - INPT) hệ số này
cho biết giá trị trung bình của biến phụ thuộc Y khi biến X = 0.
+) Hệ số
2
( / )E Y X
X
β
∂
=
∂
gọi là hệ số góc (Slope) hệ số này cho biết khi X

tăng lên 1 đơn vị thì giá trị trung bình của Y thay đổi như thế nào.
- Ứng với mỗi giá trị cá biệt Y
i
của Y ta có:

1 2
( 1 )
i i i
Y X u i N
β β
= + + = ÷

gọi là mô hình hồi quy tổng thể (Population Regression Model – PRM).
Với
( / )
i i i
u Y E Y X= −
gọi là sai số ngẫu nhiên (Random error), phản ánh
chênh lệch giữa giá trị cá biệt của Y với giá trị trung bình của Y.
- Sai số ngẫu nhiên u
i
đại diện cho tất cả những yếu tố không phải biến độc
lập có trong mô hình nhưng cũng tác động đến biến phụ thuộc, đó là:
+ Những yếu tố không biết
4
+ Những yếu tố không có số liệu
+ Những yếu tố mà tác động của nó quá nhỏ không mang tính hệ thống
- Sự tồn tại của sai số ngẫu nhiên là tất yếu khách quan và nó có vai trò
đặc biệt quan trọng trong phân tích hồi quy, nó phải thoả mãn những điều
kiện nhất định thì việc phân tích trên mô hình mới có ý nghĩa.

2.2. Mô hình hồi quy mẫu
- Trong thực tế chúng ta không có được tổng thể hoặc có nhưng không thể
nghiên cứu toàn bộ tổng thể, vì vậy không thể tìm được PRF mặc dù dạng
của PRF có thể biết.
- Mẫu ngẫu nhiên là một bộ phận mang thông tin của tổng thể được lấy ra
từ tổng thể theo những nguyên tắc nhất định.
- Giả sử từ tổng thể lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n:
W = {(X
i
, Y
i
);
1i n= ÷
}
- Trong mẫu W = {(X
i
, Y
i
):
1i n= ÷
)} tồn tại một hàm số có dạng giống
như PRF mô tả xu thế biến động của trung bình biến phụ thuộc theo biến
độc lập, thực chất nó là một ước lượng điểm của PRF, ký hiệu:

1 2
ˆ ˆ
ˆ
;( 1 )
i i
Y X i n

β β
= + = ÷
gọi là hàm hồi quy mẫu (Sample Regression Function - SRF).
- Trong đó:
1 2
ˆ ˆ
,
β β
gọi là các hệ số hồi quy ước lượng được (Estimated
regression coeffcient), thực chất chúng lần lượt là các ước lượng điểm của
1 2
,
β β
và
ˆ
i
Y
là các giá trị ước lượng được (Fitted value), thực chất nó là
các ước lượng điểm của E(Y/X
i
).
- Ứng với mỗi giá trị cá biệt của Y ta có:

1 2
ˆ ˆ
;( 1 )
i i i
Y X e i n
β β
= + + = ÷

gọi là mô hình hồi quy mẫu (Sample Regression Model – SRM)
với
ˆ
;( 1 )
i i i
e Y Y i n= − = ÷
gọi là phần dư (Residual), thực chất chúng là
các ước lượng điểm của các sai số ngẫu nhiên u
i
. Các phần dư e
i
phản ánh
chênh lệch giữa giá trị cá biệt Y
i
trong mẫu W với giá trị ước lượng được
ˆ
i
Y
. Bản chất của các phần dư e
i
giống như các sai số ngẫu nhiên u
i
.
Y
X
Y
i
E(Y/X
i

)
X
i
1 2
ˆ ˆ
ˆ
:
i i
SRF Y X
β β
= +
1 2
: ( / )
i i
PRF E Y X X
β β
= +
u
i
ˆ
i
Y
e
i
5
Tương ứng với mỗi mẫu rút ra từ tổng thể ta sẽ tìm được một hàm hồi quy
mẫu SRF, tức là có rất nhiều SRF khác nhau mà chúng đều là các ước
lượng điểm của PRF, ta cần tìm SRF nào đại diện tốt nhất cho PRF.
3. Mô hình hồi quy bội (hay mô hình hồi quy k biến)
3.1. Mô hình hồi quy tổng thể

Mô hình hồi quy tổng thể (PRM) và hàm hồi quy tổng thể (PRF) có dạng:
PRM:
1 2 2
1
i i k ki i
Y X X u i N
β β β
= + + + + = ÷L
PRF:
2 1 2 2
( ) ( / , , )
i i ki i k ki
E Y E Y X X X X
β β β
= = + + +L
Trong đó:
Y là biến phụ thuộc

X
1
, X
2
,…,X
k
là các biến độc lập
1
β
gọi là hệ số chặn
2 3
, , ,

k
β β β
gọi là các hệ số góc riêng phần (các hệ số hồi quy
tương ứng với các biến X
1
, X
2
,…,X
k
)
- Giá trị của k cho biết số tham số cần ước lượng của mô hình.
- Hệ số chặn
1 2 3
( / 0)
i i ki
E Y X X X
β
= = = = =
là giá trị trung bình của
Y khi
0;( 2 )
mi
X m k= ∀ = ÷
.
- Hệ số
2 3
( / , , , )
;( 2 )
k
m

m
E Y X X X
m k
X
β
∂
= = ÷
∂
cho biết khi X
m
tăng một
đơn vị thì trung bình của Y thay đổi như thế nào trong điều kiện các biến
X
j
;

(
j m∀ ≠
) không thay đổi.
Dạng ma trận của mô hình
Đặt: X
i
= (1 X
2i
X
3i
… X
ki
) β =
1

2
k
β
β
β
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
M
Ta có E(Y
i
) = X
i
β và Y
i
= X
i
β + u
i
Ngắn gọn hơn nếu đặt
Y =
1
2
N
Y
Y
Y

 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
M
; X =
21 1
22 2
2
1
1
1
k
k
N k N
X X
X X
X X
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
L
L
M M O M

L
; β =
1
2
k
β
β
β
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
M
; u =
1
2
N
u
u
u
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
M
Thì E(Y) = Xβ và Y = Xβ + u

6
3.2. Mô hình hồi quy mẫu
Với một mẫu kích thước n:
{ }
2
( , , , ): 1
i i ki
W Y X X i n= = ÷
thì hàm hồi
quy mẫu (SRF) và mô hình hồi quy mẫu (SRM) có dạng:
SRF:
1 2 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ
i i k ki
Y X X
β β β
= + + +L
SRM:
1 2 2
ˆ ˆ ˆ
( 1; )
i i k ki i
Y X X e i n
β β β
= + + + + =L

Trong đó:
1 2
ˆ ˆ ˆ

, , ,
k
β β β
là các hệ số hồi quy ước lượng được, thực chất chúng lần
lượt là các ước lượng điểm của
1 2
, , ,
k
β β β
.
ˆ
i
Y
là các giá trị ước lượng được của biến phụ thuộc, thực chất là các ước
lượng điểm của của
2 3
( / , , , )
i i ki
E Y X X X
.
e
i
là các phần dư, thực chất là các ước lượng điểm của các sai số ngẫu
nhiên u
i
.
Nếu đặt
Y =
1
2

n
Y
Y
Y
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
M
X =
21 1
22 2
2
1
1
1
k
k
n kn
X X
X X
X X
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷

 
L
L
M M O M
L

ˆ
β
1
2
ˆ
ˆ
ˆ
k
β
β
β
 
 ÷
 ÷
=
 ÷
 ÷
 ÷
 
M
e =
1
2
n

e
e
e
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
M
Thì SRF và SRM có thể viết dưới dạng ma trận
SRF: Ŷ = X
ˆ
β
và SRM: Y = X
ˆ
β
+ e
7
Bài 2
Ước lượng và phân tích mô hình
1. Phương pháp bình phương nhỏ nhất
1.1. Ước lượng mô hình hồi quy đơn(hay mô hình hồi quy 2 biến)
Xét mô hình hồi quy đơn dạng tuyến tính
PRF:
1 2
( / )
i i
E Y X X
β β

= +

PRM:
1 2
( 1 )
i i i
Y X u i N
β β
= + + = ÷
Từ tổng thể ta lấy ra một mẫu ngẫu nhiên kích thước n

{ }
( , ); 1
i i
W X Y i n= = ÷
Dựa vào mẫu này ta tìm được một ước lượng điểm của PRF
SRF:
1 2
ˆ ˆ
ˆ
i i
Y X
β β
= +

SRM:
1 2
ˆ ˆ
( 1 )
i i i

Y X e i n
β β
= + + = ÷
Nội dung phương pháp bình phương nhỏ nhất (Least Squares - LS) là
tìm

1 2
ˆ ˆ
,
β β
sao cho
2 2 2
1 2
1 1 1
ˆ ˆ
ˆ
( ) ( ) min
n n n
i i i i i
i i i
e Y Y Y X
β β
= = =
= − = − − →
∑ ∑ ∑
Đặt
2
1 2 1 2
1
ˆ ˆ ˆ ˆ

( , ) ( )
n
i i
i
f Y X
β β β β
=
= − −
∑
khi đó tìm
1 2
ˆ ˆ
,
β β
là nghiệm của hệ
phương trình

1 2
1
1 2
2
ˆ ˆ
( , )
0
ˆ
ˆ ˆ
( , )
0
ˆ
f

f
β β
β
β β
β

∂
=

∂


∂

=

∂

giải hệ phương trình này và chú ý

1 1
2 2
1 1
1 1
,
1 1
, ;
n n
i i
i i

n n
i i i
i i
X X Y Y
n n
X X XY X Y
n n
= =
= =
= =
= =
∑ ∑
∑ ∑
ta có
1 2
2
2 2
ˆ ˆ
.
ˆ
( )
Y X
XY X Y
X X
β β
β

= −



−
=

−

8
Nếu đặt
,
i i i i
x X X y Y Y= − = −
thì
1 2
1
2
2
1
ˆ ˆ
ˆ
n
i i
i
n
i
i
Y X
x y
x
β β
β
=

=

= −




=




∑
∑
1.2. Ước lượng mô hình hồi quy tổng quát (hay mô hình hồi quy bội)
Xét mô hình hồi quy bội (hay mô hình hồi quy k biến) dạng tuyến tính
PRF:
2 3 1 2 2 3 3
( / , , , )
i i ki i i k ki
E Y X X X X X X
β β β β
= + + + +L

PRM:
1 2 2 3 3
( 1 )
i i i k ki i
Y X X X u i N
β β β β

= + + + + + = ÷L
Từ tổng thể ta lấy ra một mẫu ngẫu nhiên kích thước n

{ }
2 3
( , , , , ); 1
i i i ki
W Y X X X i n= = ÷
Dựa vào mẫu này ta tìm được một ước lượng điểm của PRF
SRF:
1 2 2 3 3
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
i i i k ki
Y X X X
β β β β
= + + + +L

SRM:
1 2 2 3 3
ˆ ˆ ˆ ˆ
( 1 )
i i i k ki i
Y X X X e i n
β β β β
= + + + + + = ÷L
Tương tự mô hình hồi quy đơn ta tìm
1 2
ˆ ˆ ˆ
, , ,

k
β β β
sao cho
2 2 2
1 2 2
1 1 1
ˆ ˆ ˆ
ˆ
( ) ( ) min
n n n
i i i i i k ki
i i i
e Y Y Y X X
β β β
= = =
= − = − − − − →
∑ ∑ ∑
L
Đặt
2
1 2 1 2 2
1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( , , , ) ( )
n
k i i k ki
i
f Y X X
β β β β β β
=

= − − − −
∑
L

khi đó
1 2
ˆ ˆ ˆ
, , ,
k
β β β
là nghiệm của hệ phương trình

1 2
1
1 2
2
1 2
ˆ ˆ ˆ
( , , , )
0
ˆ
ˆ ˆ ˆ
( , , , )
0
ˆ

ˆ ˆ ˆ
( , , , )
0
ˆ

k
k
k
k
f
f
f
β β β
β
β β β
β
β β β
β

∂
=

∂


∂

=

∂




∂

=

∂



9
Dạng ma trận, tìm véc tơ
ˆ
β
sao cho e
’
e
min→
với
e
’
e = (Y
’
-
ˆ
β
’
X
’
)( Y -
ˆ
β
X) = Y
’

Y - Y
’
X
ˆ
β
-
ˆ
β
’
X
’
Y +
ˆ
β
’
X
’
X
ˆ
β

,
e e
ˆ
β
∂
=
∂
-2 X
’

Y + 2
’
X
’
X
ˆ
β
= [0]
⇔
(X
’
X)
ˆ
β
= X
’
Y
⇔
giải hệ phương
trình sau
2
1 1
1
1
2
21 22 2
2
2 2 2
2
1 1 1

1 2
2
2
1 1 1
ˆ
1 1 1
ˆ
ˆ
n n
i ki
i i
n n n
n
i i i ki
i i i
k k kn
n
n n n
k
ki ki i ki
i i i
n X X
Y
X X X
YX X X X
X X X
Y
X X X X
β
β

β
= =
= = =
= = =
 
 ÷
 ÷
 
 
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
=
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 

 
 
 ÷
 ÷
 
∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
L
L
L
L
M M O M
M
M
M M O M
L
L
Để giải được hệ trên điều kiện cần là ma trận X
’
X không suy biến, hay các
biến độc lập không có quan hệ cộng tuyến với nhau.
2. Các giả thiết của phương pháp bình phương nhỏ nhất
Để giải được nghiệm
ˆ
( 1 )
j
j k
β
= ÷

và nghiệm có thể sử dụng trong
phân tích, các giả thiết của phương pháp bình phương nhỏ nhất được đặt
ra.
Giả thiết 1: Hàm hồi quy tuyến tính theo tham số
Giả thiết 2: Các biến độc lập không ngẫu nhiên
Giả thiết 3: Trung bình sai số ngẫu nhiên bằng không,
( ) 0
i
E u i= ∀
Giả thiết 4: Phương sai của sai số ngẫu nhiên là không đổi,

2
Var( )
i
u i
σ
= ∀
Giả thiết 5: Các sai số ngẫu nhiên không tương quan với nhau

( , ) 0
i j
Cov u u i j= ∀ ≠
Giả thiết 6: Các sai số ngẫu nhiên không tương quan với các biến độc
lập
Cov(u
i
, X
i
) = 0
i∀

Giả thiết 7: Số quan sát nhiều hơn số tham số cần ước lượng
Giả thiết 8: Các biến độc lập không có quan hệ cộng tuyến với nhau
Giả thiết 9: Dạng hàm của mô hình được chỉ định đúng
Dưới dạng ma trận, các giả thiết được mô tả như sau
Giả thiết 1: PRF có dạng E(Y) = Xβ hay Y = Xβ + u
Giả thiết 2: Ma trận X không ngẫu nhiên
Giả thiết 3: E(u) = [0]
10
Giả thiết 4 + 5: Cov(u) =
2
σ
I (với I là ma trận đơn vị)
Giả thiết 6: Cov(u, X) = [0]
Giả thiết 7: n > k
Giả thiết 8: r(X) = k (hạng của ma trận X bằng k)
Định lý Gauss – Markov: Nếu các giả thiết của phương pháp bình
phương nhỏ nhất được thỏa mãn thì
ˆ
β
= (X
’
X)
-1
X
’
Y là ước lượng tuyến
tính, không chệch, tốt nhất của β.
3. Tham số của ước lượng
Bằng phương pháp ước lượng bình phương nhỏ nhất, tìm được các
ˆ

( 1 )
j
j k
β
= ÷
chính là các thành phần của véc tơ
ˆ
β
.
Nếu mẫu là ngẫu nhiên thì
ˆ
( 1 )
j
j k
β
= ÷
là các đại lượng ngẫu nhiên,
đồng thời theo đinh lý Gauss – Markov ta có
E(
ˆ
β
) = β hay
ˆ
( ) ( 1 )
j j
E j k
β β
= = ÷
Phương sai và hiệp phương sai của các hệ số ước lượng được tính như sau

Cov(
ˆ
β
)
1 1 2 1
2
2 1 2 2
1 2 k
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
Var( ) ( , ) ( , )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( , ) Var( ) ( , )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( , ) ( , ) Var( )
k
k
k k
Cov Cov
Cov Cov
Cov Cov
β β β β β
β β β β β
σ
β β β β β
 
 ÷
 ÷
= =
 ÷
 ÷

 ÷
 
L
L
M M O M
L
(X
’
X)
-1
Độ lệch chuẩn của các hệ số ước lượng là
j
ˆ ˆ
( ) Var( )
j
σ β β
=
, ta chú ý
rằng
2
σ
trong công thức trên là phương sai của sai số ngẫu nhiên, tức là
2
σ
= Var(u
i
), nhưng do tổng thể chưa biết nên
2
σ
chưa biết.

Khi đó ước lượng cho
2
σ
được tính theo công thức

2
2 2
1
ˆ ˆ ˆ
=
n
i
i
e
n k
σ σ σ
=
= ⇒
−
∑

ˆ
σ
được gọi là độ lệch chuẩn của đường hồi quy (S.E of Regression). Khi
thay
2
ˆ
σ
cho
2

σ
thì độ lệch chuẩn của
ˆ
j
β
khi đó được gọi là sai số tiêu
chuẩn của
ˆ
j
β
, ký hiệu Se(
ˆ
j
β
) (Standard error).
Trường hợp mô hình hồi quy đơn ta có
11

2
2
1
1 1 1 1 1
2
1
2
2 2 2 2 2
2
1
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) , Var( ) = ( ) Var( )

ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) , Var( ) = ( ) Var( )
n
i
i
n
i
i
n
i
i
X
E
n x
E
x
β β β σ σ β β
σ
β β β σ β β
=
=
=
= ⇒ =
= ⇒ =
∑
∑
∑
Với
2
σ

được ước lượng bởi
2 2
2
1 1
ˆ ˆ
2 2
n n
i i
i i
e e
n n
σ σ
= =
= ⇒ =
− −
∑ ∑
Khi đó các sai số chuẩn của
1 2
ˆ ˆ
,
β β
là

2
1
1 2
2
2
1
1

ˆ
ˆ ˆ
ˆ
Se( ) = , Se( ) =
n
i
i
n
n
i
i
i
i
X
n x
x
σ
β σ β
=
=
=
∑
∑
∑
Các ước lượng bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất còn có một số
tính chất sau
Tính chất 1:
1
1
0

n
i
i
e e
n
=
= =
∑
Tính chất 2:
ˆ
Y Y=
Tính chất 3:
1
0 ( )
n
i ji
i
e X j
=
= ∀
∑

Tính chất 4:
1
ˆ
0
n
i i
i
eY

=
=
∑
Tính chất 5: Đồ thị hàm hồi quy mẫu đi qua điểm trung bình mẫu
Chú ý: Nếu với mẫu ngẫu nhiên
{ }
2 3
( , , , , ); 1
i i i ki
W Y X X X i n= = ÷
thì các ước lượng nhận được bằng phương pháp LS là các đại lượng ngẫu
nhiên, tuy nhiên với một phép thử trên mẫu ngẫu nhiên ta được một mẫu
với những giá trị cụ thể, hay mẫu cụ thể

{ }
2 3
w , , , , ); 1
i i i ki
y x x x i n= = ÷

12
thì các ước lượng nhận được bằng phương pháp LS sẽ nhận một giá trị cụ
thể.
4. Phân tích các hệ số
Như trên đã trình bày các ước lượng nhận được bằng phương pháp LS là
dựa vào thông tin mẫu. Xuất phát từ các ước lượng nhận được ta muốn suy
đoán thống kê về các tham số của tổng thể thì ta cần phải biết quy luật
phân phối xác suất của các ước lượng. Do quy luật phân phối xác suất của
các ước lượng đều có liên quan trực tiếp với quy luật phân phối xác suất
của sai số ngẫu nhiên, do vậy ta giả thiết sai số ngẫu nhiên có phân phối

chuẩn (xem giả thiết 3 + 4 ở trên)
Giả thiết 10:
2
~ (0, ) ( )
i
u N i
σ
∀
Do
ˆ
j
β
là ước lượng tuyến tính, tức là
ˆ
j
β
là hàm tuyến tính của các sai số
ngẫu nhiên u
i
nên

ˆ ˆ
~ ( , Var( )) ( 1 )
j j j
N j k
β β β
= ÷

ˆ ˆ
~ (0,1) ( 1 )

ˆ
ˆ
( )
Var( )
j j j j
j
j
U N j k
β β β β
σ β
β
− −
⇒ = = = ÷
Khi thay
ˆ
( )
j
σ β
bởi
ˆ
( )
j
Se
β
ta có

ˆ
~ ( )
ˆ
( )

j j
j
T T n k
Se
β β
β
−
= −
và
2
2 2
2
ˆ
( )
~ ( )
n k
n k
σ
χ χ
σ
−
= −
4.1. Ước lượng khoảng cho các hệ số hồi quy
Với độ tin cậy
1
α
−
cho trước,
1 2
α α α

+ =
+) Khoảng tin cậy cho từng hệ số
Với mẫu ngẫu nhiên ta có

2 1
( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ
[ ( ) ( ) ] 1
n k n k
j j j j j
P Se t Se t
α α
β β β β β α
− −
− < < + = −
Với mẫu cụ thể và với độ tin cậy
1
α
−
cho trước, ta có các khoảng tin cậy
cho
j
β
như sau
Khoảng tin cậy hai phía (đối xứng)

( ) ( )
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( )

n k n k
j j j j j
Se t Se t
α α
β β β β β
− −
− < < +

Khoảng tin cậy phía trái (tối đa)

( )
ˆ ˆ
( )
n k
j j j
Se t
α
β β β
−
< +

Khoảng tin cậy phía phải (tối thiểu)

( )
ˆ ˆ
( )
n k
j j j
Se t
α

β β β
−
> −
13
+) Khoảng tin cậy cho hai hệ số
Với mẫu ngẫu nhiên ta có
2 1
( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
[( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]
1
n k n k
i j i j i j i j i j
P Se t Se t
α α
β β β β β β β β β β
α
− −
± − ± < ± < ± + ±
= −
với

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) Var( ) Var( ) Var( ) 2 ( , )
i j i j i j i j
Se Cov
β β β β β β β β
± = ± = + ±

Nếu xây dựng khoảng tin cậy cho

i j
a b
β β
±
(a, b là hằng số) thì ta xây
dựng tương tự như trên và lưu ý

2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) a Var( ) Var( ) 2 ( , )
i j i j i j
Se a b b abCov
β β β β β β
± = + ±

Và có thể mở rộng cho ước lượng tổng 3 hệ số
i j m
β β β
+ +
với công thức
tính phương sai

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
Var( ) Var( )+Var( )+Var( )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2 ( , ) 2 ( , ) 2 ( , )
i j m i j m
i j j m m i
Cov Cov Cov
β β β β β β

β β β β β β
+ + =
+ + +
4.2. Ước lượng khoảng cho phương sai sai số ngẫu nhiên
Với mẫu ngẫu nhiên ta có

2 1
2 2
2
2 2
1
ˆ ˆ
( ) ( )
[ ] 1
( ) ( )
n k n k
P
n k n k
α α
σ σ
σ α
χ χ
−
− −
< < = −
− −
Với mẫu cụ thể và với độ tin cậy
1
α
−

cho trước ta có các khoảng tin cậy
cho
2
σ
như sau
Khoảng tin cậy hai phía
2 2
2
2 2
1
2 2
ˆ ˆ
( ) ( )
( ) ( )
n k n k
n k n k
α α
σ σ
σ
χ χ
−
− −
< <
− −
Khoảng tin cậy tối đa
2
2
2
1
ˆ

( )
( )
n k
n k
α
σ
σ
χ
−
−
<
−
Khoảng tin cậy tối thiểu
2
2
2
ˆ
( )
( )
n k
n k
α
σ
σ
χ
−
>
−
14
4.3. Kiểm định giả thuyết về các hệ số hồi quy

+) Kiểm định về từng hệ số hồi quy : Do chưa có tổng thể nên ta chưa biết
được các
j
β
, nhưng có thể cho rằng nó bằng
*
j
β
(với
*
j
β
cho trước ) hay
không ? khi ấy ta đưa ra giả thuyết
*
0
:
j j
H
β β
=
. Để kiểm định giả thuyết
này ta chọn tiêu chuẩn kiểm định
*
ˆ
ˆ
( )
j j
j
T

Se
β β
β
−
=
. Nếu giả thuyết
*
0
:
j j
H
β β
=
là đúng thì
*
ˆ
~ ( )
ˆ
( )
j j
j
T T n k
Se
β β
β
−
= −
, do vậy với mức ý nghĩa
α
cho trước tùy thuộc vào giả thuyết đối H

1
mà ta xây dựng được các
miền bác bỏ giả thuyết H
0
tương ứng với các trường hợp sau
-) Nếu ta kiểm định cặp giả thuyết

*
0
*
1
:
:
j j
j j
H
H
β β
β β

=


≠


thì
*
( )
2

ˆ
W {T ; }
ˆ
( )
j j
n k
j
T t
Se
α α
β β
β
−
−
= = >

Với mẫu cụ thể và với
α
cho trước mà
( )
qs
2
T
n k
t
α
−
>
thì ta bác bỏ H
0

-) Nếu ta kiểm định cặp giả thuyết

*
0
*
1
:
:
j j
j j
H
H
β β
β β

=


>


thì
*
( )
ˆ
W {T ; }
ˆ
( )
j j
n k

j
T t
Se
α α
β β
β
−
−
= = >

Với mẫu cụ thể và với
α
cho trước mà
( )n k
qs
T t
α
−
>
thì ta bác bỏ H
0
-) Nếu ta kiểm định cặp giả thuyết

*
0
*
1
:
:
j j

j j
H
H
β β
β β

=


<


thì
*
( )
ˆ
W {T ; }
ˆ
( )
j j
n k
j
T t
Se
α α
β β
β
−
−
= = < −

Với mẫu cụ thể và với
α
cho trước mà
( )n k
qs
T t
α
−
< −
thì ta bác bỏ H
0
Trường hợp riêng :
0
1
: 0
: 0
j
j
H
H
β
β
=



≠



với mẫu cụ thể ta tính được
ˆ
ˆ
( )
j
qs
j
T
Se
β
β
=

15
Với trường hợp riêng ta có các chú ý sau :
•
) Nếu ta bác bỏ H
0
thì ta nói hệ số
j
β
khác 0 một cách có ý nghĩa, hay hệ
số
j
β
có ý nghĩa thống kê. Nếu hệ số
j
β
không có ý nghĩa thống kê thì có
nghĩa là biến độc lập X

j
không giải thích cho biến phụ thuộc Y, ngược lại
nếu hệ số
j
β
có ý nghĩa thống kê thì có nghĩa là biến độc lập X
j
có giải
thích cho biến phụ thuộc Y.
•
) Có thể kiểm định bằng phương pháp P – value, theo đó với
α
cho trước
mà
α
> P – value thì bác bỏ giả thuyết H
0
.
+) Kiểm định về nhiều hệ số hồi quy : Do chưa có tổng thể nên ta chưa biết
được các
j
β
, nhưng có thể cho rằng
i j
β β
±
bằng
*
β
(với

*
β
cho trước )
khi ấy ta đưa ra giả thuyết
*
0
:
i j
H
β β β
± =
. Để kiểm định giả thuyết này
ta chọn tiêu chuẩn kiểm định
*
ˆ ˆ
( )
ˆ ˆ
( )
i j
i j
T
Se
β β β
β β
± −
=
±
(với mẫu cụ thể, thay số
tính được T
qs

). Nếu giả thuyết
*
0
:
i j
H
β β β
± =
là đúng thì

*
ˆ ˆ
( )
~ ( )
ˆ ˆ
( )
i j
i j
T T n k
Se
β β β
β β
± −
= −
±
do vậy với mức ý nghĩa
α
cho trước tùy
thuộc vào giả thuyết đối H
1

mà ta xây dựng được các miền bác bỏ giả
thuyết H
0
tương ứng với các trường hợp sau
-) Nếu ta kiểm định cặp giả thuyết

*
0
*
1
:
:
i j
i j
H
H
β β β
β β β

± =


± ≠


thì
*
( )
2
ˆ ˆ

( )
W {T ; }
ˆ ˆ
( )
i j
n k
i j
T t
Se
α α
β β β
β β
−
± −
= = >
±

Với mẫu cụ thể và với
α
cho trước mà
( )
qs
2
T
n k
t
α
−
>
thì ta bác bỏ H

0
-) Nếu ta kiểm định cặp giả thuyết

*
0
*
1
:
:
i j
i j
H
H
β β β
β β β

± =


± >


thì
*
( )
ˆ ˆ
( )
W {T ; }
ˆ ˆ
( )

i j
n k
i j
T t
Se
α α
β β β
β β
−
± −
= = >
±

Với mẫu cụ thể và với
α
cho trước mà
( )n k
qs
T t
α
−
>
thì ta bác bỏ H
0
-) Nếu ta kiểm định cặp giả thuyết

*
0
*
1

:
:
i j
i j
H
H
β β β
β β β

± =


± <


thì
*
( )
ˆ ˆ
( )
W {T ; }
ˆ ˆ
( )
i j
n k
i j
T t
Se
α α
β β β

β β
−
± −
= = < −
±
16
Với mẫu cụ thể và với
α
cho trước mà
( )n k
qs
T t
α
−
< −
thì ta bác bỏ H
0
.
Có thể mở rộng cho kiểm định giả thuyết về hơn hai hệ số, chẳng hạn
i j m
β β β
+ +
hay tổ hợp của các hệ số
i j
a b
β β
+
(với a, b là các hằng số
cho trước).
5. Hệ số xác định

5.1. Phân tích độ biến động của biến phụ thuộc
Xuất phát từ mô hình hồi quy mẫu đó là

ˆ ˆ
i i i i i i
Y Y e Y Y Y Y e= + ⇔ − = − +
,
bình phương hai vế đẳng thức này và áp dụng các tính chất của phương
pháp LS ta có
2 2 2
1 1 1
ˆ
( ) ( )
n n n
i i i
i i i
Y Y Y Y e
= = =
− = − +
∑ ∑ ∑
hay


2 2 2
1 1 1
ˆ ˆ
( ) ( ) ( )
n n n
i i i i
i i i

Y Y Y Y Y Y
= = =
− = − + −
∑ ∑ ∑

Ta đặt :
2
1
( )
n
i
i
Y Y TSS
=
− =
∑
( Total Sum of Squares) là tổng bình phương chênh
lệch của các giá trị cá biệt (biến phụ thuộc) so với trung bình mẫu, hay còn
gọi là đại lượng đo tổng biến động của biến phụ thuộc (trong mẫu).
2
1
ˆ
( )
n
i
i
Y Y ESS
=
− =
∑

( Explained Sum of Squares) là tổng bình phương
chênh lệch giữa giá trị của biến phụ thuộc được tính bởi hàm hồi quy mẫu
so với trung bình mẫu (biến phụ thuộc), hay còn gọi là đại lượng đo tổng
biến động của biến phụ thuộc được giải thích bởi các biến độc lập.
2 2
1 1
ˆ
( )
n n
i i i
i i
e Y Y RSS
= =
= − =
∑ ∑
(Residual Sum of Squares) là tổng bình
phương phần dư, hay còn gọi là đại lượng đo tổng biến động của biến phụ
thuộc được giải thích bởi các yếu tố ngẫu nhiên.
Khi đó ta có TSS = ESS + RSS
5.2. Hệ số xác định của mô hình
Nếu đặt
2
ESS
R 1
TSS
RSS
TSS
= = −

Thì R

2
gọi là hệ số xác định của mô hình
+) Dễ thấy
2
0 R 1≤ ≤
17
+) Ý nghĩa của hệ số xác định R
2
: Cho biết các biến độc lập có trong mô
hình giải thích được 100*R
2
(%) sự biến động của biến phụ thuộc.
Chú ý : R
2
được xác định theo công thức trên là đại lượng ngẫu nhiên nếu
mẫu là ngẫu nhiên, tuy nhiên với mẫu cụ thể thì R
2
là con số cụ thể.
5.3. Hệ số xác định điều chỉnh
Nếu đặt
2
2
1
R 1 (1 )
n
R
n k
−
= − −
−

Thì
2
R
gọi là hệ số xác định điều chỉnh của mô hình
+) Ta có tính chất:
2
2
R R<
+) Ý nghĩa của hệ số xác định
2
R
: Khi thêm biến giải thích vào mô hình
thì hệ số xác định tăng lên cho dù biến mới thêm vào có thực sự giải thích
cho biến phụ thuộc hay không. Như vậy hai mô hình có số biến độc lập
không giống nhau, khi đó đánh giá mô hình nào giải thích được tốt hơn cho
biến phụ thuộc dựa trên tiêu chí hệ số xác định không còn chính xác, do đó
người ta dùng hệ số xác định điều chỉnh.
Khi thêm biến giải thích vào mô hình, nếu hệ số xác định điều chỉnh tăng
lên thì đó là một trong các tiêu chí cho thấy nên thêm biến giải thích này
vào mô hình (tất nhiên cần chú ý đến ý nghĩa kinh tế của mô hình khi thêm
biến mới).
6. Kiểm định sự phù hợp của hàm hồi quy
Xét mô hình hồi quy k biến, hệ số xác định của mô hình trong tổng thể cho
biết độ biến động của biến phụ thuộc được giải thích bởi các biến độc
laapjtrong mô hình. Nếu R
2
tổng thể bằng 0 thì các biến độc lập trong mô
hình không giải thích được cho sự biến động của biến phụ thuộc, khi ấy ta
nói hàm hồi quy không phù hợp. Ngược lại nếu R
2

tổng thể lớn hơn 0 thì
có nghĩa là trong mô hình có ít nhất một biến độc lập có giải thích cho sự
biến động của biến phụ thuộc, khi ấy ta nói hàm hồi quy phù hợp. Để kiểm
định sự phù hợp của hàm hồi quy, ta kiểm định cặp giả thuyết sau (với R
2
trong tổng thể )

2
0 0 2 3
2
1
1
: 0 : 0
: 0 ( 2 )
: 0
k
j
H R H
H j k
H R
β β β
β

= = = = =


⇔
 
∃ ≠ ∀ = ÷
>




L
Ta chọn tiêu chuẩn kiểm định

2
2
2
2
ESS
1
k-1
RSS
1
1 1
n-k
R
R n k
k
F
R
R k
n k
−
−
= = = ×
−
− −
−

18
Theo phân tích sự biến động của biến phụ thuộc trong mẫu ta có thể chứng
minh được
2
ESS ~ ( 1)k
χ
−
và
2
RSS ~ ( )n k
χ
−

nên
ESS
k-1
~ ( 1; )
RSS
n -k
F F k n k= − −
Chú ý: R
2
trong tiêu chuẩn kiểm định F là R
2
ước lượng.
Khi ấy với mức ý nghĩa
α
cho trước miền bác bỏ giả thuyết H
0
là

2
(k-1; n-k)
2
R n-k
W {F = ; F > f }
1- R k-1
α α
= ×

Với mẫu cụ thể và với mức ý nghĩa
α
cho trước mà
( 1; )k n k
qs
F f
α
− −
>
thì ta
bác bỏ H
0
tức là ta kết luận hàm hồi quy phù hợp. Trường hợp ngược lại thì
ta chưa có cơ sở bác bỏ H
0
ta kết luận hàm hồi quy không phù hợp.
7. Kiểm định hồi quy có điều kiện ràng buộc (hay kiểm định thu hẹp
hàm hồi quy)
Xét mô hình hồi quy k biến (hay k tham số)

1 2 2 3 3 k k
Y X X X u
β β β β
= + + + + +L
Nghi ngờ m biến độc lập X
k-m+1
, X
k-m+2
, …, X
k
không giải thích cho biến
phụ thuộc Y, hay nói khác đi m biến này không có ý nghĩa trong mô hình.
Khi đó ta kiểm định cặp giả thuyết sau

0 1 2
1
: 0
: 0 [ ( 1) ]
k m k m k
j
H
H j k m k
β β β
β
− + − +
= = = =


∃ ≠ ∀ = − + ÷


L
Nếu giả thuyết H
0
là đúng thì từ mô hình có k tham số (gọi là mô hình Lớn
– ký hiệu L) có thể thu hẹp về mô hình còn (k - m) tham số (gọi là mô hình
Nhỏ - ký hiệu N)

1 2 2 1 1k m k m k m k m k k
Y X X X X u
β β β β β
− − − + − +
= + + + + + + +L L
(L)

1 2 2 k m k m
Y X X v
β β β
− −
= + + + +L
(N)
Lần lượt ước lượng các mô hình trên bằng phương pháp LS ta thu được
2 2
, , ,
L L N N
RSS R RSS R
.
Do thống kê
2 2
2
~ ( ; )

1
N L L N
L
L
RSS RSS R R
m m
F F m n k
RSS
R
n k
n k
− −
= = −
−
−
−
Nên ta chọn tiêu chuẩn kiểm định
19


2 2
2
1
N L
N L L N
L
L L
RSS RSS
RSS RSS R R
n k n k

m
F
RSS
RSS m R m
n k
−
− −
− −
= = × = ×
−
−
Với mức ý nghĩa
α
cho trước miền bác bỏ giả thuyết H
0
là

2 2
(m; n -k)
L N
2
L
R R
n - k
W {F= ; F > f }
1 - R m
α α
−
= ×

Nếu với mẫu cụ thể và với mức ý nghĩa
α
cho trước mà
( ; )m n k
qs
F f
α
−
>
thì
ta bác bỏ H
0
, điều này có nghĩa trong các biến X
k-m+1
, X
k-m+2
, … , X
k
có ít
nhất một biến có giải thích cho biến phụ thuộc Y.
Một số trường hợp đặc biệt
-) Trường hợp m = 1 thì kiểm định thu hẹp hàm hồi quy chính là kiểm định
về từng hệ số hồi quy, F
qs
trong trường hợp này bằng bình phương T
qs
ứng
với hệ số đó.
-) Trường hợp m = k – 1 thì kiểm định thu hẹp hàm hồi quy chính là kiểm
định về sự phù hợp của hàm hồi quy.

-) Kiểm định mở rộng hàm hồi quy tương đương với kiểm định thu hẹp
hàm hồi quy, chú ý rằng k luôn là số tham số của mô hình lớn, dù là kiểm
định về thu hẹp hay mở rộng hàm hồi quy.
8. Dự báo
Khi véc tơ
0 0 0 0
2 3 k
X (1 X X X )
=
L
cho trước ta cần dự báo giá trị
trung bình và cá biệt của biến phụ thuộc.
+) Dự báo giá trị trung bình E(Y/ X
0
)
Với độ tin cậy
1-
α
ta có khoảng tin cậy đối xứng của E(Y/ X
0
) như sau

( ) 0 ( )
0 0 0 0
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
Y (Y ) E(Y/ X ) < Y (Y )
n k n k
Se t Se t
α α

− −
− < +
Với
0 0 0
0 1 2 2 k
0' ' -1 0
0
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
Y X X X
ˆ
ˆ
(Y ) X (X X) X
k
Se
β β β β
σ
= = + + +
=
L
+) Dự báo giá trị cá biệt (Y/ X
0
)
Với độ tin cậy
1-
α
ta có khoảng tin cậy đối xứng của (Y/ X
0
) như sau

( ) 0 ( )
0 0 0 0
2 2
ˆ ˆ
Y (Y ) (Y/ X ) < Y (Y )
n k n k
Se t Se t
α α
− −
− < +
Với
0' ' -1 0
0
ˆ
(Y ) 1+X (X X) XSe
σ
=
20
Trường hợp mô hình hồi quy đơn ta có

( 2) ( 2)
0 0 0 0 0
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
Y (Y ) E(Y/ X ) < Y (Y )
n n
Se t Se t
α α
− −
− < +

Và
( 2) ( 2)
0 0 0 0 0
2 2
ˆ ˆ
Y (Y ) (Y/ X ) < Y (Y )
n n
Se t Se t
α α
− −
− < +

Với
2
0
0
2
1
( )
1
ˆ
ˆ
(Y )
n
( )
n
i
i
X X
Se

X X
σ
=
−
= +
−
∑
và
2
0
0
2
1
( )
1
ˆ
(Y ) 1
n
( )
n
i
i
X X
Se
X X
σ
=
−
= + +
−

∑
9. Một số mô hình phi tuyến có thể đưa về dạng tuyến tính
+) Mô hình hàm tổng chi phí
Với TC là tổng chi phí, Q là sản lượng
Ta có mô hình hàm tổng chi phí như sau
TC = β
1
+ β
2
Q + β
3
Q
2
+ β
4
Q
3
+ u với β
1
> 0, β
2
> 0, β
3
< 0, β
4
> 0
Nếu ta đặt Q
2
= Q
2

, Q
3
= Q
3
thì ta có mô hình tuyến tính sau
TC = β
1
+ β
2
Q + β
3
Q
2
+ β
4
Q
3
+ u
+) Hàm tăng trưởng
- Dạng hàm:
0
(1 )
t
t
Y Y r= +
với r là nhịp tăng trưởng.
- Biến đổi:
0
ln ln ln(1 )
t

Y Y t r= + +
- Đặt:
1 0 2 1 2
ln , ln(1 ) ln
t
Y r Y t
β β β β
= = + ⇒ = +
+) Hàm sản xuất Coob – Douglas
- Dạng hàm
3
1 2 i
u
i i i
Q e K L e
β
β β
=
với
2 3
,
β β
là hệ số co giãn của Q theo K,
L.
- Biến đổi ta có
i 1 2 i 3 i i
lnQ + lnK + lnL + u
β β β
=
- Đặt:

i i i i i i
lnQ LQ , lnK LK , lnL LL= = =

i 1 2 i 3 i i
LQ LK LL u
β β β
⇒ = + + +
Hàm Cobb – Douglas có thể mở rộng cho trường hợp nhiều biến giải thích
3
1 2 k
2 3 k 1 2 2 3 3 k k
Y e X X X lnY lnX lnX lnX
β
β β β
β β β β
= ⇒ = + + + +L L

Trong đó
j
β
là hệ số co dãn của Y đối với X
j
(
j = 1 k÷
)
+) Hàm tuyến tính – loga
- Dạng hàm
i 1 2 i i
Y + lnX + u
β β

=

- Đặt:
* *
i i i 1 2 i i
X lnX Y + X + u
β β
= ⇒ =
+) Hàm loga – tuyến tính
21
- Dạng hàm
i 1 2 i i
lnY + X + u
β β
=

- Đặt:
* *
i i i 1 2 i i
Y lnY Y + X + u
β β
= ⇒ =
+) Hàm dạng Hypecbol
- Mô hình chi phí trung bình phụ thuộc vào sản lượng

i 1 2 i
i
1
Y + + u
X

β β
=
với
1 2
0, 0
β β
> >
- Mô hình chi tiêu phụ thuộc vào thu nhập (đường cong Engel)

i 1 2 i
i
1
Y + + u
X
β β
=
với
1 2
0, 0
β β
> <
- Mô hình lạm phát phụ thuộc vào tỷ lệ thất nghiệp (đường cong Philips)

i 1 2 i
i
1
Y + + u
X
β β
=

với
1 2
0, 0
β β
< >
Với mô hình dạng Hypecbol như đã nêu trên ta đặt

* *
i i 1 2 i i
i
1
X Y + X + u
X
β β
= ⇒ =
+) Hàm xu thế và hàm có biến trễ
- Mô hình hàm xu thế:
t 1 2 t 3 t
Y X T u
β β β
= + + +
(T là biến xu thế thời
gian)
- Mô hình có biến độc lập trễ:
t 1 2 t 3 t -1 t
Y X X u
β β β
= + + +
- Mô hình có biến phụ thuộc trễ một thời kỳ là biến độc lập (hay mô hình
tự hồi quy)

t 1 2 t 3 t -1 t
Y X Y u
β β β
= + + +

Lấy ví dụ hoặc làm bài tập

Bài 3
Đánh giá về mô hình
Nếu các giả thiết của phương pháp bình phương nhỏ nhất (LS) được thỏa
mãn thì các ước lượng nhận được là các ước lượng tuyến tính không chệch
tốt nhất, các kết quả nhận được là đáng tin cậy. Tuy nhiên khi các giả thiết
không được thỏa mãn thì các ước lượng nhận được không còn đáng tin
cậy.
Để biết kết quả hồi quy có đáng tin cậy và tốt nhất cho phân tích hay
không ? ta cần đánh giá về mô hình, xem mô hình có vi phạm các giả thiết
của phương pháp LS hay không. Với mỗi trường hợp mà mô hình vi phạm
giả thiết của phương pháp LS thì ta nói mô hình có khuyết tật.
22
1. Đa cộng tuyến
1.1. Hiện tượng
Xét mô hình hồi quy k biến (
3,k k
≥ ∈
Z)

1 2 2 3 3i i i k ki i
Y X X X u
β β β β

= + + + + +L
(1.1)
Một trong các giả thiết của phương pháp LS là không có hiện tượng đa
cộng tuyến trong mô hình hồi quy bội. Khi giả thiết này bị vi phạm thì ta
nói mô hình có hiện tượng đa cộng tuyến. Đa cộng tuyến chia làm hai loại :
Đa cộng tuyến hoàn hảo và đa cộng tuyến không hoàn hảo.
+) Đa cộng tuyến hòa hảo là hiện tượng các biến độc lập trong mô hình
thỏa mãn điều kiện

2 2 3 3
0
k k
X X X
λ λ λ
+ + + =L

Trong đó các hệ số
2 3
, , ,
k
λ λ λ
thỏa mãn điều kiện

2 2 2
2 3
0
k
λ λ λ
+ + + >L
+) Đa cộng tuyến không hòa hảo là hiện tượng các biến độc lập trong mô

hình thỏa mãn điều kiện

2 2 3 3
0 ( 0)
k k
X X X v v
λ λ λ
+ + + + = ≠L

Trong đó v là sai số ngẫu nhiên, còn các hệ số
2 3
, , ,
k
λ λ λ
thỏa mãn điều
kiện

2 2 2
2 3
0
k
λ λ λ
+ + + >L

1.2. Nguyên nhân
+) Đa cộng tuyến hoàn hảo xảy ra khi đặt mô hình sai, trên thực tế hiện
tượng đa cộng tuyến hoàn hảo ít khi xảy ra.
+) Đa cộng tuyến không hoàn hảo xảy ra do bản chất hiện tượng kinh tế xã
hội mà các biến độc lập đã có sẵn mối quan hệ cộng tuyến với nhau
+) Đa cộng tuyến không hoàn hảo xảy ra do số liệu điều tra không đủ lớn,

hay số liệu điều tra không ngẫu nhiên.
1.3. Hậu quả
+) Trường hợp có đa cộng tuyến hoàn hảo, khi đó hạng của ma trận X nhỏ
hơn k do đó ma trận vuông X
’
X suy biến, nên không thể ước lượng được
các tham số của mô hình, không có kết quả tính toán.
+) Khi có đa cộng tuyến không hoàn hảo thì ta vẫn ước lượng được các
tham số của mô hình, tuy nhiên các ước lượng điểm nhận được không còn
là ước lượng tốt nhất.
+) Trường hợp đa cộng tuyến gần hoàn hảo (hay còn gọi là mức độ đa
cộng tuyến nghiêm trọng) thì các hệ số hồi quy ước lượng có thể sai về
dấu. Các kết luận của kiểm định dựa vào các thống kê T và F cho kết luận
mâu thuỗn nhau.
23
1.4. Phát hiện
+) Nếu có hiện tượng đa cộng tuyến hoàn hảo thì như trên đã phân tích ta
không thể ước lượng được các tham số của mô hình, hay nói khác đi ta
không có kết quả tính toán.
+) Nếu có hiện tượng đa cộng tuyến không hoàn hảo, để phát hiện ta có thể
dựa vào các kết luận của kiểm định T và F, nếu các kết luận mâu thuỗn
nhau thì đó là dấu hiệu cho thấy mô hình có hiện tượng đa cộng tuyến.
+) Trong trường hợp muốn kiểm tra xem biến độc lập nào thực sự cộng
tuyến với các biến độc lập còn lại thì ta có thể dùng phương pháp hồi quy
phụ.
Chẳng hạn ta nghi ngờ mô hình (1.1)

1 2 2 3 3 k k
Y X X X u
β β β β

= + + + + +L

có hiện tượng đa cộng tuyến không hoàn hảo. Giả sử biến
( 2 )
j
X j k= ÷
cộng tuyến với các biến độc lập còn lại, khi ấy ta dùng hồi quy phụ sau

1 2 2 1 1 1 1j j j j j k k
X X X X X v
α α α α α
− − + +
= + + + + + + +L L
(a)
Với mỗi biến
( 2 )
j
X j k= ÷
ta ước lượng mô hình (a) thu được
2
( )a
R
Muốn xem xét biến
( 2 )
j
X j k= ÷
có cộng tuyến với các biến độc lập còn
lại hay không ? ta kiểm định cặp giả thuyết sau
0
1

:
:
H
H



Hàm hồi quy (a) không phù hợp
Hàm hồi quy (a) có phù hợp
Để kiểm định cặp giả thuyết trên ta chọn tiêu chuẩn kiểm định


2
( )
2
( )
2
2
( )
( )
1
( 1) 1
~ ( 2; 1)
1
1 2
( 1)
a
a
a
a

R
R
n k
k
F F k n k
R
R k
n k
− +
− −
= = × − − +
−
− −
− −
Với mẫu cụ thể và với mức ý nghĩa
α
cho trước mà
( 2; 1)k n k
qs
F f
α
− − +
>
thì
ta bác bỏ H
0
tức là biến X
j
cộng tuyến với ít nhất một biến độc lập còn lại,
khi ấy mô hình (1.1) (hay còn gọi là mô hình gốc) có hiện tượng đa cộng

tuyến.
24
Ta có thể dùng kiểm định T tương ứng để kiểm định các hệ số góc trong
mô hình hồi quy phụ có thực sự khác 0 hay không ? Nếu tồn tại một hệ số
góc trong mô hình hồi quy phụ thực sự khác 0 thì X
j
thực sự có phụ thuộc
tuyến tính vào ít nhất một biến độc lập khác, khi đó mô hình (1.1) có hiện
tượng đa cộng tuyến.
1.5. Khắc phục
Khi gặp mô hình có hiện tượng đa cộng tuyến, thì cách khắc phục đơn giản
nhất là bỏ bớt biến độc lập ra khỏi mô hình nếu có thể.
Đổi dạng hàm của mô hình, hoặc tăng kích thước mẫu bằng cách điều tra
thêm quan sát cũng khắc phục được hiện tượng này.
Chú ý :
•
) Vấn đề đa cộng tuyến là vấn đề về số liệu mẫu của các biến, không phải
của tổng thể nên không có kiểm định về hiện tượng đa cộng tuyến gữa các
biến giải thích trong mô hình hồi quy tổng thể.
•
) Người ta không xem xét vấn đề có hay không có hiện tượng đa cộng
tuyến trong mô hình, mà người ta xem xét tính nghiêm trọng của hiện
tượng đa cộng tuyến (nếu có), bởi vì mô hình gặp phải hiện tượng đa cộng
tuyến nghiêm trọng mà không được xem xét khắc phục thì dùng mô hình
đó để phân tích sẽ mất tính chính xác hoặc sai lầm khi phân tích, dự báo .
•
) Chỉ quan tâm đến vấn đề đa cộng tuyến trong mô hình hồi quy bội.
2. Phương sai sai số (PSSS) thay đổi
2.1. Hiện tượng
Xét mô hình

1 2i i i
Y X u
β β
= + +
(2.1)
Một trong những giả thiết của phương pháp LS đó là phương sai sai số
ngẫu nhiên đồng đều, tức là
2
i
Var(u ) = ( )i
σ
∀
.
Nếu giả thiết này không được thỏa mãn, đó là

i j
Var(u ) Var(u ) ( )i j≠ ∀ ≠
hay
2
i
Var(u )=
i
σ
Khi đó ta nói mô hình có hiện tượng phương sai sai số thay đổi.
2.2. Nguyên nhân
-) Do bản chất của các hiện tượng kinh tế: Nếu các hiện tượng kinh tế theo
không gian được điều tra trên những đối tượng có quy mô khác nhau hoặc
các hiện tượng kinh tế theo thời gian được điều tra qua các giai đoạn có
mức biến động khác nhau thì PSSS có thể không đồng đều.
-) Do định dạng không đúng dạng hàm của mô hình.

-) Do số liệu không phản ánh đúng bản chất của hiện tượng kinh tế, chẳng
hạn xuất hiện các quan sát ngoại lai.
-) Do kỹ thuật thu thập, xử lý và bảo quản dữ liệu.
25
2.3. Hậu quả
-) Các hệ số hồi quy ước lượng thu được bằng phương pháp LS là các ước
lượng tuyến tính không chệch và vững song không còn là các ước lượng
hiệu quả nhất.
-) Khoảng tin cậy của các hệ số hồi quy sẽ rộng hơn, các kiểm định T, F
mất hiệu lực và các dự báo sẽ không còn chính xác.
-) Ước lượng cho PSSS ngẫu nhiên là ước lượng chệch.
2.4. Phát hiện
2.4.1. Phân tích định tính
- Căn cứ vào nội dung kinh tế của các biến số trong mô hình để xem xét
khả năng có xảy ra hiện tượng PSSS thay đổi hay không? Đây là cách
chuẩn đoán dựa vào thông tin tiên nghiệm về hiện tượng kinh tế.
- Các số liệu chéo thường chứa đựng hiện tượng PSSS thay đổi.
2.4.2. Dựa vào thông tin trên mẫu
- Do không có toàn bộ tổng thể vì vậy ta không biết được giá trị của các
2 2
i i
Var(u )= E(u )
i
σ
=
nên không thể biết được mô hình hồi quy tổng thể
có hiện tượng PSSS thay đổi hay không.
- Các phần dư e
i
thu được từ mô hình hồi quy mẫu là các ước lượng điểm

của các sai số ngẫu nhiên u
i
nên dựa vào các thông tin về chúng ta có thể
đưa ra các chuẩn đoán về PSSS.
a. Quan sát đồ thị của các phần dư
+) Bước 1: Ước lượng mô hình (2.1) bằng phương pháp LS tìm được các
phần dư e
i

+) Bước 2: Vẽ đồ thị của các phần dư e
i
hay e
i
2
theo X
i
, Y
i
,
ˆ
i
Y
hoặc theo các
quan sát
+) Bước 3: Căn cứ vào các đồ thị để chuẩn đoán về hiện tượng PSSS thay
đổi.
b. Kiểm định Park
- Xét mô hình (2.1) và giả thiết rằng PSSS thay đổi là một hàm của biến
độc lập
2

2 2
i
Var(u ) =
i
v
i i
X e
α
σ σ
=
(
2
σ
là một hằng số)
Giả thiết tương đương với

2 2
2
ln( ) ln ln
i i i
X v
σ σ α
= + +
(b)
Các bước kiểm định hiện tượng PSSS thay đổi của mô hình (2.1) như sau
+) Bước 1: Ước lượng mô hình (2.1) bằng phương pháp LS tìm được các
phần dư e
i
+) Bước 2: Ước lượng mô hình (b) sau khi đã thay
2

i
σ
bằng
2
i
e

2
1 2
ln( ) ln
i i i
e X v
α α
= + +
thu được
2 2
ˆ ˆ
, ( )Se
α α