Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua giải một số bài tập Đại số - Giải tích bằng nhiều cách

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN
PHẠM THỊ TƯƠI
RÈN LUYỆN Tư DUY SÁNG TẠO CHO HỌC
SINH THPT THÔNG QUA GIẢI MÔT SỐ BÀI
TÂP ĐAI SỐ - GIẢI TÍCH
• • •
BẢNG NHIỀU CÁCH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
• • • • Chuyên ngành: Phương pháp ỉý luận dạy học
Ngưòi hướng dẫn khoa học Th.s DƯƠNG THỊ HÀ
HÀ NỘI, 2014
Em xin chân thành cảm ơn sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo trong
tổ phương pháp giảng dạy, cùng sự đóng góp ý kiến của các bạn sinh viên đã
giúp đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo
Dương Thị Hà, người đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo
tận tình giúp e hoàn thành đề tài luận văn này. Trong
quá trình thực hiện đề tài không tránh khỏi những thiếu sót, rất
mong các thầy, cô cùng toàn thể các bạn sinh viên đóng góp ý kiến,
sửa chữa đề tài để đề tài ngày càng hoàn thiện và mang giá trị
thực tiễn cao hơn.
Tôi xin cam đoan kết quả nghiên cứu đề tài là kết quả nghiên cứu, tìm tòi của bản
thân. Đề tài và nội dung khóa luận là chân thực được viết trên cơ sở khoa học là các sách,
các tài liệu không trùng với đề tài của các tác giả khác. Neu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách
nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên
Pham Thi Tươi • •
LỜI CAM ĐOAN
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN LỜI
CAM ĐOAN MỤC

LỤC
TÀI LIỆU THAM KHẢO
A. phẦn mở ĐẦu
1. Lí do chon đề tài
Xu hướng dạy học hiện nay là chuyển trọng tâm của người dạy sang
người học. Người học có thể tự làm chủ kiến thức của mình,bằng việc tự tìm
tòi,khám phá những tri thức của nhân loại. Vì vậy dạy học hiện nay ngoài việc
cung cấp kiến thức thì việc nâng cao khả năng tư duy cho học sinh là một vấn
đề quan trọng. Tư duy phát triển thì người học mới có khả năng tự học, tự
chiếm lĩnh kiến thức cho riêng mình. Bài tập toán học có thể xem là phương
tiện tốt để rèn luyện tư duy. Yà điều cần thiết là rèn luyện được tư duy sáng
tạo, tư duy sáng tạo có vai trò hết sức quan trọng trong việc nhìn nhận, đánh
giá và mở rộng lối suy nghĩ tích cực của người học. Trong quá trình giảng dạy
môn toán chúng ta nâng cao chất lượng dạy học và phát triển tư duy cho học
sinh bằng nhiều cách khác nhau.Mỗi biện pháp có ưu nhược điểm riêng đòi hỏi
giáo viên phải biết lựa chọn, phối hợp các phương pháp một cách thích hợp
nhằm phát huy tối đa năng lực tư duy sáng tạo của học sinh. Một trong những
biện pháp hiệu quả, đó là đưa ra nhiều cách giải cho 1 bài toán, điều này sẽ
giúp phát huy được tư duy sáng tạo và trí thông minh của học sinh qua đó góp
phần nâng cao chất lượng dạy và học ở trường THPT. Vì các lí do trên nên tôi
chọn đề tài “Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua giải một số bài tập Đại số - Giải tích bằng nhiều
cách

2. Đối tượng nghiền cứu
- Các bài tập Đại số - Giải tích có nhiều cách giải trong chương trình
THPT.
3. Muc đích
4
- Đưa ra nhiều cách giải cho bài tập Đại số - Giải tích nhằm phát triển tư
duy sáng tạo cho học sinh, từ đó nâng cao chất lượng học tập.

4. Nhiệm vụ
- Nghiên cứu lí luận về bài toán nhiều cách giải và sự phát triển tư duy
sáng tạo của học sinh.
- Tổng hợp một số bài tập Đại số - Giải tích THPT nhiều cách giải.
5. Phạm vi nghiền cứu
- Chương trình Đại số - Giải tích ở trường THPT.
6. Giả thiết khoa học
- Giải được một số bài tập Đại số - Giải tích bằng nhiều cách và sử
dụng hợp lí sẽ phát triển được tư duy sáng tạo của học sinh.
7. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứ lí luận.
- Phương pháp điều tra, quan sát.
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
в. PHẦn NỘI DUNG
Chương 1:CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ cơ SỞ THựC TIỄN
1. Tư duy
1.1. Khái niệm tư duy
Tư duy là phạm trù triết học dùng để chỉ những hoạt động của tinh thần,
đem những cảm giác của người ta sửa đổi và cải tạo thế giới thông qua hoạt
động vật chất, làm cho người ta có nhận thức đúng đắn về sự vật và ứng xử tích
cực với nó.
5
Theo Từ điển Bách khoa toàn thư Việt Nam, tập 4 (NXB Từ điển bách
khoa. Hà Nội. 2005): “Tư duy là sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức
một cách đặc biệt : Bộ não người, tư duy phản ánh tích cực hiện thực khách
quan dưới dạng các khái niệm, sự phán đoán, lý luận.v.v ”
Theo triết học duy tâm khách quan, tư duy là sản phẩm của “ý niệm tuyệt
đối” với tư cách là bản năng siêu tự nhiên, độc lập, không phụ thuộc vào vật
chất. Theo George Wilhemer Fridrick Heghen: “Ý niệm tuyệt đối là bản
nguyên của hoạt động và nó chỉ có thể biểu hiện trong tư duy, trong nhân thức

tư biện mà thôi” Karl Marx nhận xét: “Đối với Heghen, vận động của tư duy
được ông nhân cách hóa duới tên gọi ý niệm là chúa sáng tạo ra hiện thực; hiện
thực chỉ là hình thức bề ngoài của ý niệm”.
Theo triết học duy vật biện chứng, tư duy là một trong các đặc tính của
vật chất phát triển đến trình độ tổ chức cao. về lý thuyết, Karl Marx cho rằng:
“Vận động kiểu tư duy chỉ là sự vận động của hiện thực khách quan được di
chuyển vào và được cải tạo hay tái tạo trong đầu óc con người duới dạng một
sự phản ánh”. Những luận cứ này còn dựa trên những nghiên cứu thực nghiệm
của Ivan Petrovich Pavlov, nhà sinh lý học, nhà tư tưởng người Nga. Bằng các
thí nghiệm tâm-sinh lý áp dụng trên động vật và con người, ông đi đến kết
luận: “Hoạt động tâm lý là kết quả của hoạt động sinh lý của một bộ phận nhất
định của bộ”.
1.2. Đặc điểm của tư duy
Với tư cách là một mức độ của hoạt động nhận thức, tư duy có những đặc
điểm sau:
+ Tính “có vấn đề” của tư duy.
+ Tính gián tiếp của tư duy.
6
+ Tính trừu tượng và khái quát của tư duy.
+ Tư duy quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ.
+ Tính chất lí tính của tư duy.
1.3. Các thao tác tư duy
Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác trí
tuệ.Các thao tác cơ bản:
+ Phân tích - tổng hợp.
+ So sánh - tương tự.
+ Khái quát hoá, đặc biệt hoá, trừu tượng hoá.
2. Tư duy sáng tạo
2.1. Khái niệm về sáng tạo
Erich Fromm định nghĩa quan điểm sáng tạo như là sự tự nguyện để bị

làm bối rối (làm quen chính mình với một cái gì đó chưa được biết đến với sự
khó chịu), khả năng tập trung, khả năng trải qua kinh nghiệm như là người tạo
nguồn cho các hành động, sự tự nguyện chấp nhận mâu thuẫn và sự căng thẳng
do sự thiếu kiên nhẫn gây ra cho các ý tưởng sáng tạo. Theo bách khoa toàn
thư: “Sáng tạo là hoạt động của con người trên cơ sở các quy luật khách quan
của thực tiễn, nhằm biến đổi thế giới tự nhiên, xã hội phù hợp với mục đích và
nhu cầu của con người. Sáng tạo là hoạt động có tính đặc trưng không lặp lại,
tính độc đáo và duy nhất”. Theo từ điển tiếng việt: “Sáng tạo là tìm ra cái mới,
cách giải quyết mới, không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có”[10, tr.l 130]. Tác
giả Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: “Sáng tạo là sự vận động của tư duy từ những
hiểu biết đã có đến những hiểu biết mới” [17, tr.7]. Các công trình nghiên cứu
này chỉ rằng ít có sự nhất trí về định nghĩa tính sáng tạo trừ việc cho rằng nó là
một phẩm chất của trí tuệ và có quan hệ với tính thông minh. Sáng tạo là quá
7
trình vừa hữu thức vừa vô thức và vừa có thể quan sát được vừa không thể
quan sát được. Bởi vì các quá trình vô thức và không thể quan sát được khó xử
lý trong lớp học, cho nên thường có sự hiểu nhầm giữa giáo viên và những học
sinh sáng tạo. Qua các khái niệm trên có thể nói: “Sáng tạo là tìm ra cái mới,
cách giải quyết mới không bị gò bó phụ thuộc vào những cái đã có”.
2.2. Quá trình sáng tạo
Quá trình sáng tạo gồm 4 giai đoạn:
+ Giai đoạn chuẩn bị: Là giai đoạn chủ thể thử giải quyết vấn đề bằng các
cách khác nhau, huy động thông tin, suy luận.
+ Giai đoạn ấp ủ: Giai đoạn này bắt đầu khi công việc giải quyết vấn đề
bị ngừng lại, còn lại các hoạt động tiềm thức, các hoạt động bổ xung cho vấn
đề được quan tâm.
+ Giai đoạn bừng sáng: Giai đoạn ấp ủ kéo dài cho đến khi sự “bừng
sáng” trực giác, một bước nhảy vọt về chất trong tiến trình nhận thức, xuất hiện
đột ngột và kéo theo là sự sáng tạo. Đây là giai đoạn quyết định trong quá trình
tìm kiếm lời giải.

+ Giai đoạn kiểm chứng: Là giai đoạn chủ thể kiểm tra trực giác, triển
khai các luận chứng lôgíc để có thể chứng tỏ tính đúng đắn của cách thức giải
quyết vấn đề, khi đó sự sáng tạo mới được khẳng định.
2.3. Tư duy sáng tạo
2.3.1. Định nghĩa tư duy sáng tạo
Trong tâm lý học định nghĩa: “Tư duy sáng tạo là tư duy vượt ra ngoài vi
giới hạn của hiện thực, của vốn tri thức và kinh nghiệm đã có, giúp quá trình
giải quyết nhiệm vụ của tư duy được linh hoạt và hiệu quả”. Một số tác giả cho
rằng: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo ra ý tưởng mới độc đáo
8
và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Ý tưởng mới thể hiện ở chỗ phát hiện vấn
đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Tính độc đáo của ý tưởng thể
hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất ” [9, tr.72]. Nhà tâm
lý học người Đức Mehlhow cho rằng: “Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sự sáng
tạo cá nhân, đồng thời mục tiêu cơ bản của giáo dục”. Theo Nguyễn Bá Kim:
“Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của
tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng
tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát
hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Nhấn mạnh cái mới
không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ” (Nguyễn Bá Kim - Phương pháp dạy học
môn Toán).
2.3.2. Cấu trúc của tư duy sáng tạo
Các nghiên cứu của nhiều nhà tâm lý học, giáo dục học đã đưa ra năm
thành phần cơ bản của cấu trúc tư duy sáng tạo: Tính mềm dẻo, tính nhuần
nhuyễn, tính độc đáo, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề.
+ Tính mềm dẻo (Flexibility) :Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực dễ
dàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống tri thức, chuyển từ góc độ quan niệm
này sang góc độ quan niệm khác, có khả năng định nghĩa lại sự vật, hiện tượng,
xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những mối liên hệ
mới hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất của sự vật và điều phán đoán.

Tính mềm dẻo của tư duy còn làm thay đổi một cách dễ dàng các thái độ đã cố
hữu trong hoạt động trí tuệ của con người.
+ Tính nhuần nhuyễn (Fluency): Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở
năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của
các tình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới. Các nhà tâm lý học rất coi
9
trọng yếu tố chất lượng của ý tưởng sinh ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá
sáng tạo.
+ Tính độc đáo (Originality): Tính độc đáo là khả năng tìm và quyết định
phương thức mới.
+ Tính hoàn thiện (Elabolation): Tính hoàn thiện là khả năng lập kế
hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng
minh ý tưởng.
+ Tính nhạy cảm vấn đề (Problem’s Censibitity): Tính nhạy cảm vấn đề là
năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, sự mâu thuẫn, sai lầm, thiếu loogic,
chưa tối ưu và từ đó đề xuất hướng giải quyết, tạo ra cái mới.
2.4. Phương hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh
thông
qua dạy học
Các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh, Tôn Thân trong tác
phẩm “Khuyến khích một số các hoạt động trí tuệ của học sinh qua môn toán ở
trường trung học cơ sở” đã đưa ra những biện pháp sau đây để bồi dưỡng tư
duy sáng tạo cho học sinh. Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần kết hợp
với các hoạt động trí tuệ khác . Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần đặt
trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý
tưởng mới Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo . Bồi
dưỡng tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các
khâu của quá trình dạy học môn Toán.
3. Bài tập
3.1. Khái niệm bài tập

1
0
Bài tập là nhiệm vụ mà giáo viên đặt ra cho người học, buộc người học
phải vận dụng các kiến thức đã học sử dụng hành động trí tuệ để giải quyết các
nhiệm vụ đó nhằm chiếm lĩnh tri thức, kỹ năng một cách tích cực, chủ động,
sáng tạo
3.2. Tác dụng của bài tập
+ Bài tập có tác dụng phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh.
+ Bài tập giúp học sinh hiểu rõ và khắc sâu kiến thức.
+ Thông qua bài tập hệ thống hóa các kiến thức đã học: một số lớn
các bài tập toán học đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức của nhiều nội
dung trong bài, trong chương. Dạng bài tổng hợp đòi hỏi học sinh phải vận
động vốn hiểu biết trong nhiều chương, nhiều bộ môn.
+ Cung cấp thêm kiến thức mới, mở rộng hiểu biết của học sinh về các
vấn đề thực tiễn cuộc sống .
+ Rèn luyện một số kỹ năng, kỹ xảo cho học sinh như: Phát triển tư duy:
học sinh được rèn luyện cácthao tác tư duy như: phân tích, so sánh,
quy nạp, diễn dịch, tổng hợp, suy luận tương tự
+ Bài tập cũng giúp giáo viên đánh giá được kiến thức và kỹ năng của học
sinh. Học sinh cũng tự kiểm tra biết được những lỗ hổng kiến thức để kịp thời
bổ sung.
+ Giải bài tập rèn cho học sinh tính kiên trì, chịu khó, tính cẩn thận, chính
xác khoa học Làm cho các em yêu thích bộ môn, say mê với khoa học (những
bài tập gây hứng thú nhận thức).
3/^nV •___ ___r_____1 IẠ _ • ? •
.3. Bài tập có nhiêu cách giải
Bài toán mà có thể giải được bằng nhiều cách với những phương pháp
giải khác nhau thì bài toán đó được gọi là bài toán có nhiều cách giải. Bài toán
1
1

được giải với các cách giải khác nhau nhưng vẫn có cùng kết quả thì bài toán
nhiều cách giải mang đến tính hứng thú cho học sinh lẫn giáo viên hướng dẫn
học sinh giải. Khi được giáo viên yêu cầu làm bài tập với nhiều cách giải khác
nhau thì học sinh có cơ hội vận dụng tất cả các phương pháp giải toán đã được
giáo viên giảng dạy, tư duy của học sinh cũng phát triển. Với những bài toán
mà việc chọn cách giải phù hợp sẽ làm tiết kiệm thời gian giải bài điều này rất
tốt với cách giải bài toán trắc nghiệm như hiện nay.
1. Thực trạng sử dụng bài tập Đại số - Giải tích có nhiều cách giải
trong trường THPT
1.1. Mục đích điều tra
- Nắm được tình hình sử dụng bài tập nhiều cách giải nhằm phát triển tư
duy cho học sinh và nâng cao chất lượng học tập hiện nay.
- Nắm được mức độ cấp thiết và tính thực tế của đề tài.
1.2. Phương pháp đối tượng điều tra
- Phương pháp điều tra: dùng phiếu điều tra, phỏng vấn.
- Đối tượng điều tra: Giáo viên toán trường THPT A Hải Hậu.
1.3. Tiến hành điều tra
Phỏng vấn 14 giáo viên dạy môn toán.
1.4. Kết quả điều tra
Hình thức bài tập toán thầy
(cô) sử dụng
Không sử
dụng
Sử dụng
không
thường
xuyên
Sử dụng
thường
xuyên

Rất
thường
xuyên
1
2
Bài toán (1 cách giải) rèn
luyện nhiều kĩ năng tính toán.
0 2 8 4
Bài toán (1 cách giải) có nét
độc đáo, không thiên về tính
toán
0 2 7 5
Bài toán nhiêu cách giả 0 1 10 3
Kết luận chương 1
Trong chương này, tôi đã trình bày cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn của
đề tài, bao gồm các nội dung chính như sau:
1. Tư duy: khái niệm tư duy, đặc điểm tư duy, các thao tác tư duy, tư duy
sángtạo.
2. Bài tập: khái niệm bài tập, tác dụng của bài tập, bài tập có nhiều cách.
3. Thực trạng sử dụng bài tập Đại số - Giải tích có nhiều cách giải trong
trường THPT.
Tất cả các vấn đề trên là nền tảng cơ sở cho phép tôi nêu lên sự cần
thiết phải thực hiện đề tài nghiên cứu nhằm phục vụ tốt cho thực tế giảng dạy
và nâng việc phát triển tư duy lên một bước cao hơn.
1
3
Chương 2:RÈN LUYÊN TƯ DUY SÁNG TAO CHO HOC SINH
o • • •
THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TẬP ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH CÓ NHIỀU CÁCH
GIẢI KHÁC NHAU

1. Chủ đề phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
Một trong những yêu cầu đối với học sinh khi giải bài tập toán là tìm tòi
nhiều lời giải khác nhau cho một bài tập. Điều đó cũng đồng thời kích thích sự
hứng thú trong việc học toán của học sinh. Nhiều bài tập cơ bản thuộc chương
trình toán THPT có nhiều lời giải khác nhau như thế. Nếu giáo viên và học sinh
cùng tìm hiểu, khai thác thì sẽ giúp cho việc dạy học toán được tốt hơn.
Ví du 1: Tìm m để phương trình X
2
+ 2mx — m + 2 = Ocó hai nghiệm , x
2
thỏa
mãn l<x
l
<x
2

Cách 1: Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 1<X
1
<X
2
•oparabol y = X
2

+2mx — m + 2 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1
Cách 2: Đặt t = x — 1. Bài toán trở thành: Tìm m để phương trình t
2
+ 2(m +
l)í + m + 3 = Ocó hai nghiệm dương phân biệt. Điều đó tương
1
4

y(r f-)<0
2
a
>1
2 a y(V»o
—m —m+2<0
—m > 1 m +
3>0
<=> -3 < ra < -2
<^>
'a'>0
p>0 5
> 0
m

2



+ m —

2 >
0 m +

3>0 —m
—

1 > 0
đương với:
Cách 3: Viết lại phương trình: (x + m)

2
=m
2
+m — 2. Yêu cầu của bài toán
tương đương với:
m<— 2
<=> <H m > 1
—m — 1 > yjm
2
+m — 2
m<— 2 m >1 ^ ị -m
-l>0<^>-3<m<-2 ra > -3
Ví

dư 2: Giải phương trình: 1 + —yjx — x
2
= •V* + yỊl — x Điều kiện:
0<JC<1
1 + — ^Ịx — X
2
=ịyfx +*Jl —
<=> 4(x — X
2
) — 6*JX —
X
2
=0 yjx-x
2
[a^Ịx-x
2

- 6j
= 0
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là X = 1, JC = 0
Cách 2: Đặt t = y[x + yỊĨ—x , l<í<>/2
_ I 2_t
2
-ĩ
=>^x — x —
t
2
-l
Phương trình trở thành: 1 +
m +m—2>0 —m —
yjm
2
+m —2 > 1
(1)
Cách 1: (1) <^>
yỊx-x
2
=0
yỊx — x
2
-
X — 0
x-ỉ
t =
1 t-
2
=

t<^
*JX + -s/l - X = 1 «•
Cách 3: Đặt a = *fx ; b = *Jl — x ;
a > 0,b > 0
1 + —ab = a + b \3 + 2ab = 3(a
+ b)
3 9
a
2
+b
2
= 1 {(a + b) -2ab = l
a + b-l ab = 0
a + b — 2 (không tồn tại a, b)
ab = —
2
\a = 0
[* = 1
;
a = ỉ \b =
0
Cách 4: ĐặtyỊx = sina, 0<a<^r

2
Phương trình trở thành: 1 + — sin«V1 —
sin
2
a — sin a + Vl — sin
2
a

•o (sina + cosa)
2
-3(sina + cosa) + 2 = 0
sina + cosa = 1
0
II
t
ì
1
71

sina + cosa = 2
a -

2
Qua ví dụ trên ta có nhiều cách để
giải phương trình vô tỉ Ví du 3 :
X —
l Jt
= 0
Ta có:
<^
>
X =
0
x =
l
( Câu II.2-A2010) Giải bất phương
trình

>
1
(1)
x-yfx l-^2(x
2
-x
+ l)
Cách 1: Phương pháp biến đổi tương đương
Nhận xét: 2^x
2
-x + ì^<ịyfx+1-x
2
"j (do-x
+ yfx+ l>0,Vxe(0;l)
Từ đó (1)
ox — yfx <1
— ^/2(jt
2
— x + 1)
yj2(x
2
—
x + 1) <
—x + 4~x

+1
— * +1) < ịy[x +1 — ;t
2
j (do — x +
*Jx + l>0,Vjte(0;l)

<
=
>
x
2

Do đó có điều kiện -yfx < 0 hay 0 < X < 1
(2)
+

2
x
y
f
x

-
X

—

2
y
f
x

+
1

<

0

+

<
0

<
=
>

X

+

*
J
ĩ
c
-
ĩ

=

0
r -l±s _ _ 3- 75
\Jx - <^>
X- _ —
2 2

Nhân xét x= —thỏa mãn điều kiên (2)
nên đây là nghiêm duy
nhất của (1)
Cách 2: Phương pháp đặt ẩn phụ
Trong lời giải cách 1 ta có thể đặt y[x =tâể giải
bây giờ ta xét 1 cách đặt ẩn phụ khác. Tương
tự như cách 1 ta có
Nhận xét x =

<3>x
=
(1) «»
yj2(x
2
-
X +1)
<-x +
yfx +1
Chia
2 vế
của
bất
phươ
ng
trình
cho
y[x có
(1)0 )<\ + ^
r
-4^

yjx
Đặt y = '\fx—\=,có x +
— = y
2
+ 2
yỊx
X
Ta có bất phương trình ^2(y
2
+1 ) < 3; + 1
> + l > 0
2(y
2
+V)<y
2
+ 2y
+ l
y>-1 (y-l)
2
<0
3-
V5
Với y = 1 từ đó giải ra được X —
L
Cách 3:

Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
Ta có điều kiện Jte(0;l) và (1) <=> YJ2(X
2
— X

+1) < — Jt + YFX +1
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky có
l«Jx+ỉ.(l-x)~ị <[l
2
+l
2
] ị^Ịx^ +(l-jc)
2
Hay ^2(x
2
- X +1) > -X + yfx +1
;
— -—— hay —X +
"JX + 1 = 0 hay
Á,, ti_95
xảy ra khi và chỉ khi —— =
1 1
2>-S
X -
Cáh
4:
Sử
dụn
<3>y =
1
Dấu
g
đại
lượ
ng

liên
hợp
Lập
luận
đượ
c X
e
(0;l)
(1) <=> 1 — ^2(x
2
— x + l) < X — \[x
oịyj2ịx
2
-x + ì^-2yfx^ + x + -Jx-l<0
Ị- 2(x
2
— 3a: H-1)
x + yjx — ! + —■= <0
y2(jc
2
- X +1) + 2*JX
Nhận xét: X
2
- 3X +1 = (jt -1)
2
- X = + Л/Х -
lỊỊx - л/з -1) do đó
/ Г- \ líx + yíx-
l)
(1) <=> (x + 4x-l)(l+ . Ỵ

y2(jt -x + ì) + 2yfx
/
+ Æ
_ л Щ^Щ-а-2х)
ắ 0
у2(д
2
- JC +1) + 2л/х
(x+v^-i), ■ ,
j4

'^r
1
?
Lự2(jc
2
- JC + l) + 2>/jc
yỊ2(x
2
— x + ì)+ 2 — 2x
I

Ị- 4 2 2Î-^ + Æ + l)
<Ых + л/*-1)
r
—
nr
7
\^2^x

2
-x + Ÿj + 2yJx\
у2(д:
2
-jc + l) + 2-2x
Nhận thấy các nhân tử dưới mẫu và 2ị—
x + yfx + ljluôn dương với mọi X e (0;l) nên
ta có (1)*» ộc + л/jc — l)
2
< Ojc + л/х —1 = 0
3 — л/5
<=>* =
Bài tập:
1 J
x
(
x

+
<^
>