Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trung học thông qua các bài tập về ứng dụng của đạo hàm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC



NGUYỄN THỊ MAI HOA



RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
PHỔ THÔNG TRUNG HỌC THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP
VỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM




LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học
(Bộ môn Toán học)
Mã số : 601410






HÀ NỘI - 2010

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC



NGUYỄN THỊ MAI HOA



RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
PHỔ THÔNG TRUNG HỌC THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP
VỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM


Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học
(Bộ môn Toán học)
Mã số : 601410


LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THÀNH VĂN






HÀ NỘI - 2010

MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài ………………………………………………………… 1
2. Lịch sử nghiên cứu ……………………………………………………… 1
3. Mục tiêu nghiên cứu ……………………………………………… …… 2
4. Vấn đề nghiên cứu …………………………………………………. …… 2
5. Giả thuyết khoa học ……………………………………………… …… 2
6. Nhiệm vụ nghiên cứu ………………………………………………. …… 2
7. Phương pháp nghiên cứu ………………………………………………… 3
8. Những đóng góp của luận văn …………………………………… …… 3
9. Cấu trúc luận văn ………………………………………………………… 4
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN …………………. …… 5
1.1. Tư duy ………………………………………………………………… 5
1.1.1. Tư duy là gì ? ………………………………………………………… 5
1.1.2. Tầm quan trọng của việc phát triển tư duy …………………… …… 5
1.1.3. Những đặc điểm của tư duy ……………………………………. … 6
1.1.4. Những phẩm chất của tư duy ………………………………………… 7
1.1.5. Các thao tác tư duy …………………………………………… …… 7
1.1.6. Vấn đề phát triển năng lực tư duy ……………………………… …… 7
1.1.7. Dấu hiệu đánh giá tư duy phát triển ……………………………. …… 8
1.2. Tư duy toán học ………………………………………………… …… 8
1.2.1. Tư duy khoa học tự nhiên …………………………………………… 8
1.2.2. Tư duy toán học ……………………………………………………… 9
1.3. Tư duy sáng tạo ……………………………………………………… 10
1.3.1. Tư duy sáng tạo là gì?……………………………………………… 10
1.3.2. Quan hệ giữa các bài tập ứng dụng của đạo hàm và việc rèn luyện
tư duy sáng tạo cho học sinh……………………………………………… 10
Chƣơng 2: RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
PHỔ THÔNG TRUNG HỌC THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP VỀ

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM………………… 13
2.1. Một số kiến thức cơ bản về đạo hàm ………………………………… 13
2.1.1. Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm …………………… 13
2.1.2. Định nghĩa đạo hàm của hàm số trên một khoảng ……………… 13
2.1.3. Các quy tắc tính đạo hàm ……………… …………………… ……14
2.1.4. Bảng các đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản …………… 14
2.1.5. Đạo hàm cấp cao ……………………… ………………………… 15
2.2. Ứng dụng đạo hàm vào chứng minh đẳng thức ………………… ……15
2.3. Ứng dụng đạo hàm vào chứng minh bất đẳng thức ………….…………20
2.4. Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số…….39
2.5. Ứng dụng đạo hàm vào giải phương trình, bất phương trình …………50
2.6. Ứng dụng đạo hàm vào giải hệ phương trình, hệ bất phương trình ……65
2.7. Định lí Lagrange và các ứng dụng ……… ………………………… 75
2.7.1. Định lí Lagrange ……………… ………………….…………………75
2.7.2. Ứng dụng định lí Lagrange vào chứng minh bất đẳng thức … ……75
2.7.3. Ứng dụng định lí Lagrange vào chứng minh phương trình
có nghiệm………………… 78
2.7.4. Ứng dụng định lí Lagrange vào giải phương trình …………… ……82
Chƣơng 3: THỬ NGHIỆM SƢ PHẠM …… ………………………… 88
3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thử nghiệm ……………………………… 88
3.2. Phương pháp thử nghiệm …… …………………………… ……… 88
3.3. Nội dung thử nghiệm sư phạm …… ……………… ……………… 88
3.3.1. Chọn nội dung thử nghiệm …… ………………….……………… 88
3.3.2. Tổ chức thử nghiệm …… ………………………… ………………88
3.3.3. Nội dung bài tập và đề kiểm tra …… ………….……………………90
3.4. Kết quả của thử nghiệm sư phạm …… ……………… ……… ……93
3.4.1. Nhận xét của giáo viên qua tiết dạy thử nghiệm …… …………… 93
3.4.2. Những đánh giá từ kết quả bài kiểm tra …………………………… 93
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ …… ……………………………… 96
1. Kết luận …… ………………………………………………………… 96

2. Khuyến nghị …… ……………………………….……………… …….96
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO …… ………………………….98


















1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Nhân loại đang bƣớc vào thế kỷ XXI, thế kỷ tri thức, kỹ năng của con
ngƣời đƣợc xem là yếu tố quyết định sự phát triển của xã hội. Trong xã hội
tƣơng lai, nền giáo dục phải đào tạo ra những con ngƣời có trí tuệ, thông
minh và sáng tạo. Muốn có đƣợc điều này, ngay từ bây giờ nhà trƣờng phổ
thông phải trang bị đầy đủ cho học sinh hệ thống kiến thức cơ bản, hiện đại,
phù hợp với thực tiễn Việt Nam và rèn luyện cho họ năng lực tƣ duy sáng tạo.
Thế nhƣng, các công trình nghiên cứu về thực trạng giáo dục hiện nay cho

thấy chất lƣợng nắm vững kiến thức của học sinh không cao, đặc biệt việc
phát huy tính tích cực của học sinh, năng lực giải quyết vấn đề và năng lực tƣ
duy sáng tạo không đƣợc chú ý rèn luyện đúng mức. Từ thực tế đó, nhiệm vụ
cấp thiết đặt ra là phải đổi mới phƣơng pháp dạy học, sử dụng các phƣơng
pháp dạy học tích cực để bồi dƣỡng cho học sinh năng lực tƣ duy sáng tạo,
năng lực giải quyết vấn đề.
Trong chƣơng trình toán trung học phổ thông, đạo hàm là một trong các
công cụ hiện đại mà sử dụng nó có thể giải nhiều dạng bài tập khác nhau
trong khi việc sử dụng các phƣơng pháp khác có thể gặp khó khăn.
Vì vậy, cần phải nghiên cứu một cách có hệ thống các ứng dụng của
đạo hàm vào việc giải các bài toán, trên cơ sở đó rèn luyện tƣ duy logic, tƣ
duy sáng tạo cho học sinh. Do đó, việc nghiên cứu đề tài: “Rèn luyện tư duy
sáng tạo cho học sinh phổ thông trung học thông qua các bài tập về ứng
dụng của đạo hàm” là rất cần thiết.
2. Lịch sử nghiên cứu
Việc nghiên cứu về vấn đề ứng dụng của đạo hàm từ trƣớc đến nay đã
có nhiều công trình nghiên cứu và lý thuyết đạo hàm đã hoàn thiện.

Các tài liệu tham khảo về ứng dụng của đạo hàm ở Việt Nam cũng có
rất nhiều, tuy nhiên chƣa có nhiều cuốn sách đề cập đến ứng dụng của đạo
hàm một cách có hệ thống.

2
3. Mục tiêu nghiên cứu
- Nghiên cứu các ứng dụng của đạo hàm vào toán phổ thông.
- Phân loại, xây dựng hệ thống các bài tập về ứng dụng của đạo hàm và
đƣa ra phƣơng pháp chung cho mỗi loại đó.
- Trên cơ sở đó rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trung
học thông qua các bài tập về ứng dụng của đạo hàm.
4. Vấn đề nghiên cứu

- Rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh là thế nào?
- Sử dụng các bài tập về ứng dụng của đạo hàm nhƣ thế nào để rèn
luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trung học?
5. Giả thuyết khoa học
Thông qua hệ thống các bài tập về ứng dụng của đạo hàm giúp cho học
sinh xây dựng khả năng tự học, tự nghiên cứu và lòng say mê toán học, qua
đó rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh.
6. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu hoạt động tƣ duy của học sinh trong quá trình giải bài tập
về ứng dụng của đạo hàm, từ đó hƣớng dẫn học sinh xây dựng tiến trình luận
giải, làm cơ sở cho việc tìm kiếm lời giải một cách có hiệu quả.
- Phân loại và xây dựng hệ thống bài tập về ứng dụng của đạo hàm và
đƣa ra phƣơng pháp chung cho mỗi loại đó.
- Thực nghiệm sƣ phạm để đánh giá hiệu quả của hệ thống bài tập về
ứng dụng của đạo hàm đã đƣợc phân loại và xây dựng để phát triển năng lực
tƣ duy sáng tạo cho học sinh thông qua quá trình tìm kiếm lời giải. Đối chiếu
kết quả thực nghiệm với kết quả điều tra ban đầu, rút ra kết luận về khả năng
áp dụng hệ thống bài tập đã đề xuất.

3
7. Phƣơng pháp nghiên cứu
7.1. Nghiên cứu lí luận
- Nghiên cứu lí luận về tƣ duy, rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh
trung học phổ thông.
- Nghiên cứu tác dụng và cách sử dụng các bài tập về ứng dụng của đạo
hàm trong dạy học toán học.
7.2. Điều tra, quan sát
- Dự giờ, tổng kết kinh nghiệm việc dạy chủ đề này.
- Điều tra thực trạng nhận thức và năng lực tƣ duy sáng tạo của học
sinh phổ thông trung học trong quá trình giải các bài tập về ứng dụng của đạo

hàm.
- Tình hình sử dụng các bài tập về ứng dụng của đạo hàm trong dạy học
toán học của giáo viên trung học phổ thông hiện nay.
7.3. Thử nghiệm sư phạm
- Dạy thử nghiệm sƣ phạm để đánh giá hiệu quả của cách phân loại và
xây dƣng hệ thống bài tập về ứng dụng của đạo hàm và phƣơng pháp chung
của mỗi loại đó.
- Dạy thử nghiệm sƣ phạm một số nội dung trong luận văn tại một số
lớp ở trƣờng THPT nhằm bƣớc đầu đánh giá tính khả thi và tính hiệu quả của
đề tài.
8. Những đóng góp của luận văn
- Xây dựng và phân loại hệ thống bài tập về ứng dụng của đạo hàm
nhằm rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông.
- Kết quả thực nghiệm sƣ phạm cho thấy đề tài có tính khả thi và hiệu
quả.
- Kết quả của đề tài có thể làm tài liệu tham khảo bổ ích thiết thực cho
đồng nghiệp, sinh viên khoa Toán trƣờng Đại học Sƣ phạm.

4
9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, danh mục tài liệu tham
khảo, luận văn đƣợc trình bày trong 3 chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chƣơng 2: Rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trung học
thông qua các bài tập về ứng dụng của đạo hàm.
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm.

5
CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Tƣ duy
1.1.1. Tư duy là gì?
L.N. Tônxtôi đã viết: "Kiến thức chỉ thực sự là kiến thức khi nào nó là
thành quả những cố gắng của tƣ duy chứ không phải của trí nhớ". Nhƣ vậy,
học sinh chỉ thực sự lĩnh hội đƣợc tri thức chỉ khi họ thực sự tƣ duy.
Theo M.N. Sacđacôp: "Tƣ duy là sự nhận thức khái quát gián tiếp các
sự vật và hiện tƣợng của hiện thực trong những dấu hiệu, những thuộc tính
chung và bản chất của chúng. Tƣ duy cũng là sự nhận thức sáng tạo những sự
vật, hiện tƣợng mới, riêng rẽ của hiện thực trên cơ sở những kiến thức khái

quát hóa đã thu nhận đƣợc.
Còn theo tác giả Nguyễn Xuân Trƣờng (Đại học Sƣ Phạm Hà Nội) thì
"tƣ duy là hành động trí tuệ nhằm thu thập và xử lí thông tin về thế giới quanh
ta và thế giới trong ta. Chúng ta tƣ duy để hiểu, làm chủ tự nhiên, xã hội và
chính mình".
1.1.2. Tầm quan trọng của việc phát triển tư duy.
Lý luận dạy học hiện đại đặc biệt chú trọng đến việc phát triển tƣ duy
cho học sinh thông qua việc điều khiển tối ưu quá trình dạy học, còn các thao
tác tƣ duy cơ bản là công cụ của nhận thức, đáng tiếc rằng điều này cho đến
nay vẫn chƣa đƣợc thực hiện rộng rãi và có hiệu quả. Vẫn biết sự tích lũy kiến
thức trong quá trình dạy học đóng vai trò không nhỏ, song không phải quyết
định hoàn toàn. Con ngƣời có thể quên đi nhiều sự việc cụ thể mà dựa vào đó
những nét tính cách của anh ta đƣợc hoàn thiện. Nhƣng nếu những nét tính
cách này đạt đến mức cao thì con ngƣời có thể giải quyết đƣợc mọi vấn đề
phức tạp nhất, điều đó nghĩa là anh ta đã đạt đến một trình độ tƣ duy cao. Quá
trình hoạt động nhận thức của HS chia làm hai mức độ:

6
- Trình độ nhận thức cảm tính: Là quá trình phản ánh thực tiễn dƣới
dạng cảm giác, tri giác và biểu tƣợng.
- Trình độ nhận thức lý tính: Còn gọi là trình độ lôgic hay đơn giản là
tƣ duy.
1.1.3. Những đặc điểm của tư duy.
- Quá trình tƣ duy nhất thiết phải sử dụng ngôn ngữ là phƣơng tiện: Giữa
tƣ duy và ngôn ngữ có mối quan hệ không thể chia cắt, tƣ duy và ngôn ngữ phát
triển trong sự thống nhất với nhau. Tƣ duy dựa vào ngôn ngữ nói chung và khái
niệm nói riêng. Mỗi khái niệm lại đƣợc biểu thị bằng một hay một tập hợp từ. Vì
vậy, tƣ duy là sự phản ánh nhờ vào ngôn ngữ. Các khái niệm là những yếu tố của
tƣ duy. Sự kết hợp các khái niệm theo những phƣơng thức khác nhau, cho phép
con ngƣời đi từ ý nghĩ này sang ý nghĩ khác.

+ Tư duy phản ánh khái quát:
Tƣ duy phản ánh hiện thực khách quan, những nguyên tắc hay nguyên
lý chung, những khái niệm hay vật tiêu biểu. Phản ánh khái quát là phản ánh
tính phổ biến của đối tƣợng. Vì thế những đối tƣợng riêng lẻ đều đƣợc xem
nhƣ một sự thể hiện cụ thể của quy luật chung nào đó. Nhờ đặc điểm này, quá
trình tƣ duy bổ sung cho nhận thức và giúp con ngƣời nhận thức hiện thực
một cách toàn diện hơn.
+ Tư duy phản ánh gián tiếp:
Tƣ duy giúp ta hiểu biết những gì không tác động trực tiếp, không cảm
giác và quan sát đƣợc, mang lại những nhận thức thông qua các dấu hiệu gián
tiếp. Tƣ duy cho ta khả năng hiểu biết những đặc điểm bên trong, những đặc
điểm bản chất mà các giác quan không phản ánh đƣợc.
+ Tư duy không tách rời quá trình nhận thức cảm tính:
Quá trình tƣ duy bắt đầu từ nhận thức cảm tính, liên hệ chặt chẽ với nó
trong quá trình đó nhất thiết phải sử dụng những tƣ liệu của nhận thức cảm
tính.

7
1.1.4. Những phẩm chất của tư duy
a) Khả năng định hướng: Ý thức nhanh chóng và chính xác đối tƣợng
cần lĩnh hội, mục đích phải đạt đƣợc và những con đƣờng tối ƣu đạt đƣợc
mục đích đó.
b) Bề rộng: Có khả năng vận dụng nghiên cứu các đối tƣợng khác.
c) Độ sâu: Nắm vững ngày càng sâu sắc hơn bản chất của sự vật, hiện
tƣợng.
d) Tính linh hoạt: Nhạy bén trong việc vận dụng những tri thức và cách
thức hành động vào những tình huống khác nhau một cách sáng tạo.
e) Tính mềm dẻo: Thể hiện ở hoạt động tƣ duy đƣợc tiến hành theo các
hƣớng xuôi ngƣợc chiều.
f) Tính độc lập: Thể hiện ở chỗ tự mình phát hiện ra vấn đề, đề xuất

cách giải quyết và tự giải quyết đƣợc vấn đề.
g) Tính khái quát: Khi giải quyết một loại vấn đề nào đó sẽ đƣa ra đƣợc
mô hình khái quát, trên cơ sở đó để có thể vận dụng để giải quyết các vấn đề
tƣơng tự, cùng loại.
1.1.5. Các thao tác tư duy
Sự phát triển tƣ duy nói chung đƣợc đặc trƣng bởi sự tích lũy các thao
tác tƣ duy thành thạo và vững chắc của con ngƣời. Việc hình thành và vận
dụng các khái niệm, cũng nhƣ việc thiết lập các mối quan hệ giữa chúng đƣợc
thực hiện trong quá trình sử dụng các thao tác tƣ duy nhƣ: phân tích, tổng
hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tƣợng hóa, cụ thể hóa kết hợp với các
phƣơng pháp hình thành phán đoán mới là quy nạp, diễn dịch, suy diễn và
loại suy.
1.1.6. Vấn đề phát triển năng lực tư duy
- Việc phát triển tƣ duy cho học sinh trƣớc hết là giúp học sinh thông hiểu
kiến thức một cách sâu sắc, không máy móc, biết cách vận dụng kiến thức vào
bài tập, từ đó mà kiến thức học sinh thu nhận đƣợc trở nên vững chắc và sinh

8
động. Chỉ thực sự lĩnh hội đƣợc tri thức khi tƣ duy tích cực của bản thân học
sinh đƣợc phát triển và nhờ sự hƣớng dẫn của giáo viên các em biết phân tích,
khái quát tài liệu có nội dung cụ thể và rút ra những kết luận cần thiết.
- Sự phát triển tƣ duy diễn ra trong quá trình tiếp thu kiến thức và vận
dụng tri thức, khi tƣ duy phát triển sẽ tạo ra một kĩ năng và thói quen làm việc
có suy nghĩ, có phƣơng pháp, chuẩn bị tiềm lực lâu dài cho học sinh trong
hoạt động sáng tạo sau này.
- Muốn phát triển năng lực tƣ duy, phải xây dựng nội dung dạy học sao
cho nó không phải "thích nghi" với trình độ phát triển có sẵn của học sinh mà
đòi hỏi phải có trình độ phát triển cao hơn, có phƣơng thức hoạt động trí tuệ
phức tạp hơn. Nếu học sinh thực sự nắm đƣợc nội dung đó, thì đây là chỉ tiêu
rõ nhất về trình độ phát triển năng lực tƣ duy của học sinh.

1.1.7. Dấu hiệu đánh giá tư duy phát triển.
a) Có khả năng tự lực chuyển tải tri thức và kĩ năng sang một tình
huống mới. Trong quá trình học tập, học sinh đều phải giải quyết những vấn
đề đòi hỏi phải liên tƣởng đến những kiến thức đã học trƣớc đó. Nếu học sinh
độc lập chuyển tải tri thức vào tình huống mới thì chứng tỏ đã có biểu hiện tƣ
duy phát triển.
b) Tái hiện kiến thức và thiết lập những mối quan hệ bản chất một cách
nhanh chóng.
c) Có khả năng phát hiện cái chung và cái đặc biệt giữa các bài toán.
d) Có năng lực áp dụng kiến thức để giải quyết tốt bài toán thực tế:
Định hƣớng nhanh, biết phân tích suy đoán và vận dụng các thao tác tƣ duy
để tìm cách tối ƣu và tổ chức thực hiện có hiệu quả.
1.2. Tƣ duy toán học
1.2.1. Tư duy khoa học tự nhiên
Tƣ duy khoa học tự nhiên đƣợc đặc trƣng bằng các phƣơng pháp nhận
thức khoa học tự nhiên, bao gồm:

9
- Hiểu vấn đề.
- Xác định vấn đề một cách chính xác.
- Xác định giới hạn giữa nó và các vấn đề khác.
- Nghiên cứu tất cả các yếu tố liên quan đến vấn đề đã nêu.
- Vạch kế hoạch tìm tòi cách giải quyết.
- Chọn lựa những suy đoán chính xác nhất.
- Tiến hành thực nghiệm kiểm tra giả thuyết.
- Thực nghiệm đánh giá kết quả.
- Rút ra kết luận và cơ sở khoa học của chúng.
- Chọn lựa phƣơng án giải quyết tối ƣu.
- Mở rộng kết quả sang trƣờng hợp tƣơng tự.
1.2.2. Tư duy toán học

Với tƣ duy hóa học thì A + B là sự biến đổi nội tại của các chất để tạo
ra chất mới, theo những nguyên lý, quy luật của hóa học.
Với tƣ duy toán học thì 1 + 2 = 3;
A + B = A

B.
Lựa chọn những bài toán xoay quanh hình và những con số giúp học
sinh nâng cao năng lực toán học, tổng hợp và phân tích các kiến thức toán
học, tăng khả năng suy luận, có khả năng sáng tạo ra những bài toán mới.
Bồi dƣỡng phƣơng pháp và năng lực tƣ duy toán học là bồi dƣỡng cho
học sinh biết vận dụng thành thạo các thao tác tƣ duy và phƣơng pháp lôgic,
nâng cao khả năng tính toán và suy luận, hình thành nên tƣ duy sáng tạo.
Nhƣ vậy cũng giống nhƣ tƣ duy khoa học tự nhiên, hóa học và vật lý,
tƣ duy toán học cũng sử dụng các thao tác tƣ duy vào quá trình nhận thức
thực tiễn và tuân theo quy luật chung của quá trình nhận thức.



Trực quan
sinh động
Tƣ duy
trừu tƣợng
Thực tiễn

10
1.3. Tƣ duy sáng tạo
1.3.1. Tư duy sáng tạo là gì?
Tƣ duy sáng tạo là chủ đề của một lĩnh vực nghiên cứu còn mới. Tƣ
duy sáng tạo nhằm tìm ra các phƣơng án, biện pháp thích hợp để kích hoạt
khả năng sáng tạo, và để đào sâu khả năng tƣ duy của một cá nhân hay một

tập thể cộng đồng làm việc chung về một vấn đề hay một lĩnh vực.
Tƣ duy sáng tạo có liên quan đến các chức năng tâm lý sau:
- Nhận thức đƣợc đặc điểm bản chất của tình huống mới do ngƣời khác
nêu ra hoặc tự mình đƣa ra vấn đề cần giải quyết.
- Sáng tạo ra công cụ mới, phƣơng pháp mới, cách thức phù hợp với
hoàn cảnh mới (trên cơ sở những tri thức và kinh nghiệm tiếp thu đƣợc trƣớc
đó).
1.3.2. Quan hệ giữa các bài tập ứng dụng của đạo hàm và việc rèn luyện tư
duy sáng tạo cho học sinh.
Theo thuyết hoạt động có đối tƣợng thì năng lực chỉ có thể hình thành
và phát triển trong hoạt động. Để giúp học sinh phát triển năng lực tƣ duy, mà
đỉnh cao là tƣ duy sáng tạo, thì cần phải rèn luyện cho học sinh hoạt động tƣ
duy sáng tạo, mà đặc trƣng cơ bản nhất là tạo ra những phẩm chất tƣ duy
mang tính mới mẻ. Trong học tập toán học, một trong những hoạt động chủ
yếu để phát triển tƣ duy cho học sinh là hoạt động giải bài tập. Vì vậy, giáo
viên cần phải tạo điều kiện để thông qua hoạt động này các năng lực trí tuệ
đƣợc phát triển, học sinh sẽ có những sản phẩm tƣ duy mới, thể hiện ở:
- Năng lực phát hiện vấn đề mới.
- Tìm ra hƣớng đi mới.
- Tạo ra kết quả mới.
Để làm đƣợc điều đó, trƣớc hết ngƣời giáo viên cần chú ý hoạt động
giải các bài tập ứng dụng của đạo hàm để tìm ra kết quả không phải chỉ là

11
mục đích mà chính là phương tiện hiệu nghiệm để phát triển tƣ duy cho học
sinh. Bài tập ứng dụng của đạo hàm phải đa dạng phong phú về thể loại và
đƣợc sử dụng trong tất cả các khâu của quá trình dạy học nhƣ nghiên cứu tài
liệu, ôn tập, luyện tập, kiểm tra … Thông qua hoạt động giải bài tập ứng dụng
của đạo hàm, mà các thao tác tƣ duy nhƣ so sánh, phân tích, tổng hợp, khái
quát hóa, trừu tƣợng hóa, … thƣờng xuyên đƣợc rèn luyện và phát triển, các

năng lực: quan sát, trí nhớ, óc tƣởng tƣợng, suy nghĩ độc lập, … không ngừng
đƣợc nâng cao, biết phê phán nhận xét đúng, tạo hứng thú và lòng say mê học
tập, … để rồi cuối cùng tƣ duy của học sinh đƣợc rèn luyện và phát triển
thƣờng xuyên, đúng hƣớng, thấy đƣợc giá trị lao động, nâng khả năng hiểu
biết thế giới của học sinh lên một tầm cao mới, góp phần cho quá trình hình
thành nhân cách của học sinh.
Thực chất của việc rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh là trên cở sở
kiến thức cơ bản học sinh vận dụng một cách linh hoạt và sáng tạo để tìm ra
đáp số của bài toán bằng con đƣờng ngắn nhất. Theo tác giả Nguyễn Xuân
Trƣờng (Đại học Sƣ Phạm Hà Nội) thì "kiến thức lâu ngày có thể quên cái
còn lại là năng lực tƣ duy sáng tạo".
Theo tôi để rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh thì trong quá trình
giảng dạy các bài tập ứng dụng của đạo hàm trƣớc hết phải làm cho học sinh
thông hiểu sâu sắc kiến thức cơ bản về đạo hàm, từ đó rèn các thao tác tƣ duy
nhanh nhạy, linh hoạt, sáng tạo. Muốn vậy, phải đa dạng hóa các dạng bài tập,
ƣu tiên sử dụng bài tập có nhiều cách giải hay, bài tập có sự phát triển thêm
kiến thức mới, … Với mỗi bài tập, không chỉ dừng lại ở mức độ tìm ra cách
giải của bài toán mà phải tập cho học sinh suy nghĩ tìm ra cách giải khác, phát
triển bài toán, rút ra những kiến thức mới cần lĩnh hội và nếu thay đổi các dữ
kiện hoặc yêu cầu thì bài toán sẽ phải giải theo hƣớng nào.


12
Kết luận chƣơng 1
Trong chƣơng này chúng tôi đã trình bày cơ sở lý luận của đề tài bao
gồm:
1. Các vấn đề về tƣ duy: Định nghĩa về tƣ duy, tầm quan trọng của việc
phát triển tƣ duy, những đặc điểm, những phẩm chất của tƣ duy, các thao tác
tƣ duy, vấn đề phát triển năng lực tƣ duy, dấu hiệu đánh giá tƣ duy phát triển.
2. Tƣ duy khoa học tự nhiên và tƣ duy toán học.

3. Tƣ duy sáng tạo là gì? Quan hệ giữa các bài tập ứng dụng của đạo
hàm và việc rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh.
Tất cả những vấn đề trên là cơ sở cho phép chúng tôi nêu lên một số
vấn đề, cần đƣợc hiểu và làm theo quan điểm tiếp cận hệ thống, góp phần rèn
luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trung học.

















13
CHƢƠNG 2
RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
PHỔ THÔNG TRUNG HỌC THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP
VỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
2.1. Một số kiến thức cơ bản về đạo hàm
2.1.1. Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm
Cho hàm số

y
=
)(xf
xác định trên khoảng (
ba,
) và điểm
0
x

(
ba,
).
Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số
0
0
)()(
xx
xfxf


khi
x
dần đến
0
x
đƣợc gọi
là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm
0
x
, kí hiệu là

)('
0
xf
hoặc
)('
0
xy
,
nghĩa là

)('
0
xf
=
0
0
)()(
lim
0
xx
xfxf
xx




Nếu đƣa vào số gia
0
xxx 
của biến số tại điểm

0
x
và số gia
)()(
0
xfxfy 
tƣơng ứng của hàm số thì ta có

)('
0
xf
=
0
00
0
)()(
lim
xx
xfxxf
x



=
x
y
x


 0

lim

2.1.2. Định nghĩa đạo hàm của hàm số trên một khoảng
Cho hàm số
f
xác định trên tập
J
, trong đó
J
là một khoảng hoặc là hợp
của những khoảng nào đó.
Hàm số
f
gọi là có đạo hàm trên
J
nếu nó có đạo hàm
)(' xf
tại mọi điểm
x

thuộc
J
.
Nếu hàm số
f
có đạo hàm trên
J
thì hàm số
'f
xác định bởi

'f
:
RJ 

gọi là đạo hàm của hàm số
f
.

)(' xfx 

Đạo hàm của hàm số
y
=
)(xf
cũng đƣợc kí hiệu bởi
y
'.

14
2.1.3. Các quy tắc tính đạo hàm
2.1.3.1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số
(
'')' vuvu 

(
'')' vuvu 

(
'')' uvvuuv 

'






v
u
=
2
''
v
uvvu
.
2.1.3.2. Đạo hàm của hàm số hợp
Nếu hàm số
)(xgu 
có đạo hàm theo
x
kí hiệu là
x
u'
hàm số
)(ufy 
có
đạo hàm theo
u
kí hiệu là

u
y'
thì hàm số hợp
))(( xgfy 
có đạo hàm theo
x
kí hiệu là
x
y'
và ta có

xux
uyy '.'' 
.
2.1.4. Bảng các đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
Đạo hàm của các hàm số sơ
cấp cơ bản
Đạo hàm của các hàm số hợp
(dƣới đây
u
=
u
(
x
))
(
c
)'
= 0 (
c

là hằng số) (1)

1'
.)(




xx
(3)

2
'
11
x
x








(
)0x
(5)
(
x
)

x2
1
'
(
x
0) (7)
(sin
)'x
cos
x
(9)
(cos
)'x
–sin
x
(11)
(tan
)'x
x
2
cos
1
(13)

 
'.'. ucuc 
(2)

' )(
1'

uuu




(4)

2
'
'1
u
u
u








(6)
(
u
)
u
u
2
'
'

(8)
(sin
)'u
'u
cos
u
(10)
(cos
)'u
–
'u
sin
u
(12)
(tan
)'u
u
u
2
cos
'
(14)

15

)'(cot x
x
2
sin
1


(15)
(e
x
)
'
e
x
(17)
(a
x
)
'
a
x
.lna (19)
(ln
x
)
x
1
'
(21)
(log
ax
x
ln
1
)'
(23)

)'(cotu
u
u
2
sin
'

(16)
(e
u
)
'
'u
e
u
(18)
(a
)'
u
'.u
a
u
.lna (20)
(ln
u
)
u
u'
'

(22)
(log
au
u
u
ln
'
)'
(24)
2.1.5. Đạo hàm cấp cao
Giả sử hàm
)(xfy 
có đạo hàm
)('' xfy 
. Đạo hàm này lại có thể có đạo
hàm. Đạo hàm của
)('' xfy 
đƣợc gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số
)(xfy 

và đƣợc kí hiệu là
''y
hay
)('' xf
. Nếu đạo hàm cấp hai có đạo hàm thì đạo
hàm ấy đƣợc gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số
)(xfy 
và đƣợc kí hiệu là
'''y
hay

)(''' xf
….Tổng quát, đạo hàm của hàm số cấp
n
–1 đƣợc gọi là đạo
hàm cấp
n
của hàm số
)(xfy 
và kí hiệu là
)(n
y
hay
)(
)(
xf
n
.
Vậy
)(
)(
xf
n
= [
)(
)1(
xf
n
]
'.

2.2. Ứng dụng đạo hàm vào chứng minh đẳng thức
Ta biết rằng hàm số hằng
cy 
có đạo hàm trên R và
0'y
. Đảo lại, ta có
định lí sau:
Định lí 1. Nếu hàm số
)(xfy 
có đạo hàm trong khoảng (
ba,
) và
)(' xf
= 0

),( bax
thì hàm số
)(xfy 
không đổi trong khoảng (
ba,
).
Từ đó, sử dụng đạo hàm để chứng minh đẳng thức ta làm nhƣ sau:
Giả sử cần chứng minh hàm số
)(xfy 
là hàm hằng trên tập D, D có thể là
một đoạn, khoảng, nửa đoạn hay nửa khoảng.
Bƣớc 1: Tính
)(' xf
, rồi chứng minh
)(' xf

= 0,
x

D.

16
Bƣớc 2: Chọn
0
x

D, suy ra
cxfxf  )()(
0
(
c
là hằng số).
Xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi
x
ta đều có:
cos
2
(
ax
) + sin
2
(
bx 
) – 2cos(
ax

)sin(
bx 
)sin(
ba 
) = cos
2
(
ba 
).
Lời giải
Xét hàm số
y
= cos
2
(
ax
) + sin
2
(
bx 
) – 2cos(
ax
)sin(
bx 
)sin(
ba 
).
Ta có
'y
= sin(

ax
)cos(
ax
) + 2sin(
bx 
)cos(
bx 
) +
+ 2sin(
ba 
) [ sin(
ax
)sin(
bx 
)–cos(
ax
)cos(
bx 
)].
= –2sin2(
ax
) + sin2(
bx 
) – 2sin(
ba 
)cos(
bax 2
).
= 2cos(
bax 2

)sin(
ba 
) – 2sin(
ba 
)cos(
bax 2
) = 0.


Hàm số không đổi.
Ngoài ra ta có
y
=
y
(
b
) = cos
2
(
ba 
).
Vậy
y
= cos
2
(
ba 
).
Nhận xét: Rõ ràng trong ví dụ này, sử dụng đạo hàm làm cho lời giải của bài
toán ngắn gọn hơn, việc tính đạo hàm và chứng minh

0'y
rất dễ dàng. Ví
dụ trên có thể phát biểu dƣới dạng:
“Chứng minh rằng biểu thức:
A = cos
2
(
ax
) + sin
2
(
bx 
) – 2cos(
ax
)sin(
bx 
)sin(
ba 
)
không phụ thuộc vào
x
”.
Ví dụ 2. Tìm
m
để biểu thức:
A = cos
x2
–
m
sin

2
x
+ 3cos
2
x
+ 1
không phụ thuộc
x
.
Lời giải
Ta có: A không phụ thuộc x

A’ = 0
x
.


–2sin
x2
– 2
m
cos
x
sin
x
– 6sin
x
cos
x
= 0

x
.


–(
m
+5)sin2
x
= 0

x



m
= –5.
Vậy với
m
= –5 thì A không phụ thuộc
x
.

17
Ví dụ 3. Tìm
a
,
b
để phƣơng trình sau nghiệm đúng với mọi
x

a
(cos
x
–1) +
2
b
– cos(
ax
+
2
b
) = –1. (*)
Lời giải
Đặt
)(xf
=
a
(cos
x
–1) +
2
b
– cos(
ax
+
2
b
).
Từ đó:

)(xf
= –1

x






).2(;1)0(
).1(;0)('
f
xxf

Giải (1):
(1)

–
a
sin
x
+
a
sin(
ax
+
2
b
) = 0

x
.



a
[sin(
ax
+
2
b
) – sin
x
] = 0
x
.








).3(;,sin)sin(
0
2
xxbax
a

Giải (2):
(2)

2
b
– cos
2
b
= –1.


cos
2
b
–
2
b
–1 = 0.



b
= 0 (do hàm
y
= cos
x
–
x
–1 nghịch biến trên R,
y

(0)=0).
Với
b
= 0 thay vào (3) ta có: sin
ax
= sin
x

x

a
= 1.
Vậy với
a
=
b
= 0 hoặc
a
= 1;
b
= 0 thì phƣơng trình nghiệm đúng với
mọi
x
.
Chú ý: Ta cũng có thể giải bài toán này nếu áp dụng điều kiện cần và đủ
nhƣng lời giải dài và phức tạp hơn. Cụ thể lời giải nhƣ sau:
1.Điều kiện cần. Giả sử (*) đúng với mọi
x
. Nói riêng cũng đúng khi
x

= 0,
tức là có:
1 +
2
b
= cos
2
b
.
Do 1 +
2
b

1; cos
2
b


1

b
= 0.
Lúc đó (*) thành:
a
(cos
x
–1) = cos
ax
–1 (4).
Rõ ràng (4) đúng với mọi

x
khi
a
= 0.

18
Vậy ta chỉ cần xét khi
a

0. Do (4) đúng với mọi
x
nên (4) đúng khi
x
= 2

,
khi ấy có: cos

a2
= 1


ka 22 
.
Do
a

0 nên ta có
a
=

k
(5).
Trong (4) thay
x
=
a

2
(do
a

0) ta có:

a
(cos
a

2
– 1) = 0

cos
a

2
= 1


a

2

= 2

m

a
=
m
1
(6).
Từ (5) và (6), với
mk,
nguyên nên ta có
a
= 1 hoặc
a
= –1.
Vậy
b
= 0 và (
a
= 0 hoặc
a
=

1) là điều kiện cần để (*) đúng
x
.
1. Điều kiện đủ. Xét 3 trƣờng hợp sau:
- Nếu
a

=
b
= 0 thì (*) hiển nhiên đúng
x
.
- Nếu
a
= 1;
b
= 0 thì (*) thành
cos
x
– 1 = cos
x
– 1. Vậy (*) thỏa mãn
x
.
- Nếu
a
= –1;
b
= 0 thì (*) thành
–cos
x
= cos
x


cos
x

= 0 (7).
Rõ ràng (7) không thể đúng

x
, vậy
a
= –1;
b
= 0 không thỏa mãn.
Tóm lại với
a
=
b
= 0 hoặc
a
= 1;
b
= 0 thì phƣơng trình nghiệm đúng với
mọi
x
.
Nhận xét: Nhƣ vậy bên cạnh phƣơng pháp điều kiện cần và đủ, ta có thể sử
dụng đạo hàm tìm điều kiện của tham số để phƣơng trình nhận
x

D làm
nghiệm. Mặt khác sử dụng đạo hàm giúp cho giải bài toán trở nên ngắn gọn
và dễ hiểu hơn.
Bài tập đề nghị:
Bài tập 1. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào

x

A = sin
2
(
x
–
3
2

) + sin
2
x
+ sin
2
(
x
+
3
2

).
Bài tập 2. Tìm
m
để phƣơng trình sau nghiệm đúng với mọi
x


xx
mm

cossin 
= 1.

19
Hƣớng dẫn
Đặt
)(xf
=
xx
mm
cossin 
.



)(xf
= 1









).2(;1)
4
(
).1(;,0)('


f
xxf

Giải (1) ta đƣợc:

m
cos
x
x
m 1
sin

–
m
sin
x
x
m 1
cos

= 0,
x
.



m
sin
x

cos
x
(
x
m 2
sin

–
x
m 2
cos

) = 0,
x
.








xxx
m
mm
,0cossin
0
22







.2
0
m
m

Giải (2): Ta xét từng trƣờng hợp:
– Với
m
= 0, ta đƣợc:







4

f
=
2
2
2

2
2
00


















, không thỏa mãn.
– Với
m
= 2, ta đƣợc:








4

f
=
,1
2
2
2
2
22



















thỏa mãn.
Vậy với
m
= 2 phƣơng trình nghiệm đúng với mọi
x
.
Bài tập 3. Tìm
a
,
b
để phƣơng trình sau nghiệm đúng với mọi
x
:
a)
.
2
3
)]
3
2
(cos)
3
2
([coscos
222


xxbxa

b) 2

a
sin
x
–
a
sin
x3
+
b
sin
x5
= sin
5
x
.
c)
abxx
bxax


2
2
1
= 1.
Đáp số: a)
;1ba
b)
;
16
1

,
16
5
 ba
c)
.0,1  ba


20
2.3. Ứng dụng đạo hàm vào chứng minh bất đẳng thức
Để chứng minh bất đẳng thức, ngoài các bất đẳng thức kinh điển nhƣ bất
đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki…,thì sử dụng đạo hàm cũng
là một công cụ hữu ích. Trong nhiều trƣờng hợp, sử dụng đạo hàm thì lời giải
bài toán sẽ ngắn gọn và đơn giản hơn rất nhiều.
Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức
A

B,
trên D, với D là một đoạn, khoảng, nửa đoạn hay nửa khoảng.
Sử dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức ta thƣờng dùng hai cách
sau:
Cách 1:
Xét
f
là một hàm số của một đối số nào đó,
f
xác định trên D và thỏa
mãn
)(


f
= A,
)(

f
= B, với


,
D và
f
đơn điệu trên D.
Nếu


, chứng minh
)(xf
nghịch biến trên D.
Nếu


, chứng minh
)(xf
đồng biến trên D.
Cách 2:
Xét hiệu
f
= A – B trên D và coi đây là hàm số của một đối số nào đó.
Nếu
f

nghịch biến trên D, cần chỉ ra tồn tại


,
D,


:
)(

f
= A–B và
)(

f
= 0

A

B.
Nếu f đồng biến trên D, cần chỉ ra tồn tại


,
D,


:
)(


f
= A–B và
)(

f
= 0

A

B.
Cách 2 thực chất là một trƣờng hợp riêng của cách 1.
Xét các ví dụ sau:
Ví dụ 4. Chứng minh rằng nếu
x0
thì ta có:
sin
x
<
x
.