Hệ phương trình đại số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (123.67 KB, 4 trang )
T.s Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Administrator
-1-
Ôn thi ðại học năm 2008
Chứng tỏ rằng hệ phương trình
( )
( )
2
2
1
2x y 1
y
1
2y x 2
x
= +
= +
có nghiệm duy nhất
x y 1
= =
Cách 1 :
Lấy
( ) ( ) ( ) ( )
1
1 2 : x y 2x 2y 1 0 *
xy
− − + + − =
Vì :
1
y;
y
và
1
x;
x
cùng dấu nên
x 0; y 0
> >
Theo bất ñẳng thức trung bình cộng trung bình nhân , ta có :
2
2
1 1
2x y 2 y. 2
x 1
y y
1 1
1 2x 2y 1 0
y 1
xy xy
1 1
2y x 2 x. 2
x x
= + ≥ ≥
≥
⇒ ⇒ ≤ ⇒ + + − >
≥
= + ≥ ≥
.
Khi ñó
(
)
* x y
⇔ =
, phương trình
( ) ( )
( )
( )
2 2
1
1 2x x x 1 2x x 1 0 *
x
⇔ = + ⇔ − + + =
Dễ thấy
2
2x x 1 0, x
+ + > ∀
; phương trình
(
)
* x 1
⇔ =
Vậy
x y 1
= =
là nghiệm duy nhất của hệ .
Cách 2 :
Vì :
1
y;
y
và
1
x;
x
cùng dấu nên
x 0; y 0
> >
Theo bất ñẳng thức trung bình cộng trung bình nhân , ta có :
2
2
1 1
2x y 2 y. 2
x 1
y y
y 1
1 1
2y x 2 x. 2
x x
= + ≥ ≥
≥
⇒
≥
= + ≥ ≥
. Dấu ñẳng thức xảy ra khi
x y 1
= =
.
T.s Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Administrator
-2-
Ôn thi ðại học năm 2008
Các bạn nghĩ gì cách giải trên ; ñã xong chưa nhỉ? . Nhiều bạn nhầm tưởng là ñã giải xong .Thực ra tôi
mới chứng minh ñược dấu bằng xảy ra mà thôi , nghĩa là :
1
y 2
x 1
y
y 1
1
x 2
x
+ =
=
⇒
=
+ =
, còn nếu
1
y 2
y
1
x 2
x
+ >
+ >
thì hệ cho vẫn có thể có nghiệm
x 1, y 1?
> >
Ta lại tiếp tục giải bài toán này :
Xét hàm số
( )
1
f t t , t 1
t
= + ≥
có ñạo hàm
( ) ( ) ( )
2
1
f ' t 1 0 , t 1; f t
t
= − > ∈ +∞ ⇒ ñồng biến trên nửa
khoảng
[
)
1;
+∞
Nếu
x y
>
thì
( ) ( )
2 2
1 1
f x f y x y 2y 2x
x y
> ⇒ + > + ⇒ >
, vì
x 1, y 1
≥ ≥
nên
y x trái gt x y
> ⇒ >
Nếu
x y
<
thì
( ) ( )
2 2
1 1
f x f y x y 2y 2x
x y
< ⇒ + < + ⇒ < , vì
x 1, y 1
≥ ≥
nên
y x trái gt x y
< ⇒ <
Vậy
x y
=
. Khi ñó phương trình
( ) ( )
( )
( )
2 2
1
1 2x x x 1 2x x 1 0 *
x
⇔ = + ⇔ − + + =
Dễ thấy
2
2x x 1 0, x
+ + > ∀
; phương trình
(
)
* x 1
⇔ =
Vậy
x y 1
= =
là nghiệm duy nhất của hệ .
Từ bài toán trên có thể mở rộng bài toán sau :
Chứng tỏ rằng với
a 0
≠
,hệ phương trình
( )
( )
2
2
2
2
a
2x y 1
y
a
2y x 2
x
= +
= +
có nghiệm duy nhất .
Lấy
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 : x y x y 2xy 0 *
− − + + =
Vì :
2
a
y;
y
và
2
a
x;
x
cùng dấu nên
x 0; y 0 x y 2xy 0
> > ⇒ + + >
. Khi ñó
(
)
* x y
⇔ =
. Phương trình
(
)
3 2 2
1 2x x a
⇔ − =
. ðặt
(
)
3 2
f x 2x x , x 0
= − >
. Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi ñường thẳng
2
y a
=
cắt ñồ thị
(
)
3 2
f x 2x x
= −
trên khoảng
x 0
>
chỉ tại một ñiểm . Phần còn lại dành cho ñộc giả .
Giải hệ phương trình :
3 3
6 6
x 3x y 3y
x y 1
− = −
+ =
6 6
x y 1 x 1, y 1
+ = ⇒ ≤ ≤
T.s Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Administrator
-3-
Ôn thi ðại học năm 2008
Phương trình
3 3
x 3x y 3y
− = −
dạng
(
)
(
)
(
)
f x f y *
=
Xét hàm số
(
)
(
)
(
)
3 2
f t t 3t, t 1 f ' t 3t 3 0, t 1 f t
= − ≤ ⇒ = − < < ⇒
nghịch biến trên ñoạn
[
]
1;1
−
.Khi ñó
phương trình
(
)
* x y
⇔ =
Vậy hệ cho viết lại
6 6
6
x y
1
x y
x y 1
2
=
⇔ = = ±
+ =
Giải hệ phương trình :
( ) ( )
( )
2
3 y 1 x y 1
x 8y x y 9 2
− + = −
+ = − −
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
3 y 1 x y 1 x y 3 y 1 0 0 x y 3 0 x y 9 *
− + = − ⇔ − − = − + ≤ ⇔ ≤ − ≤ ⇔ ≤ − ≤
Phương trình :
(
)
x 8y x y 9 2
+ = − − có nghĩa khi
(
)
x y 9 0 x y 9 **
− − ≥ ⇔ − ≥
Từ
(
)
*
(
)
**
suy ra
x y 9
− =
Khi ñó phương trình
(
)
x 8y x y 9 2 y 9 8y 0 y 1 x 8
+ = − − ⇔ + + = ⇔ = − ⇒ =
Vậy hệ có nghiệm
(
)
(
)
x; y 8; 1
= −
Giải hệ phương trình :
2
2
x 1 y 1
y 1 x 3
+ − =
+ − =
Hệ xác ñịnh khi
2
2
y 1
1 y 0
x 1
1 x 0
≤
− ≥
⇔
≤
− ≥
Với ñiều kiện trên ; gợi tưởng ta ñặt
[
]
[ ]
x cos , 0;
y cos , 0;
= α α ∈ π
= β β∈ π
Khi ñó hệ
[ ] [ ]
( )
( )
[ ] [ ]
( )
2
2
2
2
cos 1 cos 1
cos sin 1 1
x 1 y 1
cos 1 cos 3 cos sin 3 2 *
y 1 x 3
0; , 0;
0; , 0;
α + − β =
α + β =
+ − =
⇔ β + − α = ⇒ β + α =
+ − =
α∈ π β∈ π
α∈ π β∈ π
Bình phương 2 vế phương trình
(
)
1
và
(
)
2
, rồi cộng vế theo vế , ta ñược
( ) ( )
2 2sin 4 sin 1 k2 k2 sin cos
2 2
π π
+ α +β = ⇒ α + β = ⇒ α + β = + π ⇒ β = + π − α ⇒ β = α
T.s Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Administrator
-4-
Ôn thi ðại học năm 2008
Khi ñó hệ
( )
[ ] [ ]
1
sin cos
2
1
x
3
2
* sin cos
2
3
y
0; , 0;
2
β = α =
=
⇔ α = β = ⇒
=
α∈ π β∈ π
Giải hệ phương trình :
( ) ( )
3
3 2
6
x y x y 6
x y x y 8
+ + − =
+ − =
Hướng dẫn :
( ) ( )
3
3
3 3
3 2
3
6
3 3
x y 0 x y 0
x y x y 6
x y x y 6
x y x y 6 và x y x y 6
x y. x y 8
x y x y 8
x y. x y 8 x y. x y 8
− ≥ − <
+ + − =
+ + − =
⇔ ⇔ + + − = + + − =
+ − =
+ − =
+ − = + − = −
Trường hợp 1 :
3
3
3
3
x y 0
x 34
x y 2
x y 0
y 30
x y 4
x y x y 6
x 12
x y. x y 8
x y 4
y 4
x y 2
− ≥
=
+ =
− ≥
= −
− =
+ + − = ⇔ ⇔
=
+ − =
+ =
=
− =
Trường hợp 2 :
3
3
x y 0
x 103 19 17
x y x y 6
y 77 25 17
x y. x y 8
− <
= −
+ + − = ⇔
= − +
+ − = −
Lời bình :
( )
3
6
x y x y
+ = +
không làm thay ñổi miền xác ñịnh ; tương tự thì dễ dẫn ñến một sai lầm
( )
2
6
3
x y x y!!!
− = −
, ñiều này không ñúng với mọi
x, y
trong miền xác ñịnh , mà chỉ ñúng với
x y
≥
.
Do ñó
( ) ( )
3 2
6
3
x y x y 8 x y. x y 8
+ − = ⇔ + − =
