Tải bản đầy đủ (.doc) (6 trang)

Bài tập ôn tập nhị thức niuton có lời giải

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (132.77 KB, 6 trang )

Chủ đề 10 : NHỊ THỨC NEWTƠN
A/ BÀI TẬP MẪU:
1. Tìm hệ số của x
5
trong khai triển của biểu thức:
11 7
2
2
1 1
A x x
x x
   
= − + +
 ÷  ÷
   
Giải:
Cơng thức khai triển của biểu thức là:
( )
( )
11 7
7
11 2
11 7
2
0 0
11 7
11 3 14 3
11 7
0 0
1 1


1
k
n
k k n
n
k n
k
k k n n
k n
A C x C x
x x
A C x C x


= =
− −
= =
 
= − +
 ÷
 
⇔ = − +
∑ ∑
∑ ∑
Để số hạng chứa x
5
vậy k=2 và n=3 Vậy hệ số của x
5

2 3

11 7
90C C+ =
2. Tính tổng:
0 1 2 1004
2009 2009 2009 2009
= + + + +S C C C C
Giải:
0 1 2 1004
2009 2009 2009 2009
= + + + +S C C C C
(1)

2009 2008 2007 1005
2009 2009 2009 2009
= + + + +S C C C C
(2) (vì

=
k n k
n n
C C
)

( )
2009
0 1 2 1004 1005 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009
2 1 1= + + + + + + + = +S C C C C C C
2008
2⇒ =S

3. Khai triển và rút gọn biểu thức
n
xnxx )1( )1(21
2
−++−+−
thu được đa thức
n
n
xaxaaxP +++= )(
10
. Tính hệ số
8
a
biết rằng
n
là số ngun dương thoả mãn
n
CC
nn
171
32
=+
.
Giải:
Ta cã






=
−−
+


⇔=+
nnnnnn
n
n
CC
nn
1
)2)(1(
!3.7
)1(
2
3
171
32

§ã lµ
.89.9.8
8
9
8
8
=+ CC

.9
0365

3
2
=⇔



=−−

⇔ n
nn
n

Suy ra
8
a
lµ hƯ sè cđa
8
x
trong biĨu thøc
.)1(9)1(8
98
xx −+−
4. Tính tổng
0 1 2 2009
2009 2009 2009 2009
S C 2C 3C 2010C= + + + +
.
Giải:
Xét đa thức:
= + = + + + +

2009 0 1 2 2 2009 2009
2009 2009 2009 2009
f(x) x(1 x) x(C C x C x C x )
= + + + +
0 1 2 2 3 2009 2010
2009 2009 2009 2009
C x C x C x C x .
* Ta có:
= + + + +
/ 0 1 2 2 2009 2009
2009 2009 2009 2009
f (x) C 2C x 3C x 2010C x
⇒ = + + + +
/ 0 1 2 2009
2009 2009 2009 2009
f (1) C 2C 3C 2010C (a)
* Mặt khác:
= + + + = + +
/ 2009 2008 2008
f (x) (1 x) 2009(1 x) x (1 x) (2010 x)

⇒ =
/ 2008
f (1) 2011.2 (b)
• Từ (a) và (b) suy ra:
=
2008
S 2011.2 .

5. Chöùngminh

+
∀ ∈k,n Z
thõa mãn
≤ ≤3 k n
ta luôn có:

− − − −
+
+ + = − −
k k 1 k 2 k k 3 k 2
n n n n 3 n n
C 3C 2C C C C
.
Giaûi:
Ta có:
− − − − − − −
+ +
+ + = − − ⇔ + + + =
k k 1 k 2 k k 3 k 2 k k 1 k 2 k 3 k
n n n n 3 n n n n n n n 3
C 3C 2C C C C C 3C 3C C C
(5)
( ) ( ) ( )
− − − − − − − − − −
+ + + + + + +
= + + + + + = + + = + + +
k k 1 k 1 k 2 k 2 k 3 k k 1 k 2 k k 1 k 1 k 2
n n n n n n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
VT(5) C C 2 C C C C C 2C C C C C C
=


+ + +
+ =
k k 1 k
n 2 n 2 n 3
C C C
( điều phải chứng minh)
6. Giải phương trình
1 2 2 3
2
2
x x x x
x x x x
C C C C
− − −
+
+ + =
(
k
n
C
là tổ hợp chập k của n phần tử)
Giaûi:
ĐK :
2 5x
x N
≤ ≤





Ta có
1 1 2 2 3 1 2 3 2 3
2 1 1 2 2 2
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
C C C C C C C C C C
− − − − − − −
+ + + + + +
+ + + = ⇔ + = ⇔ =
(5 )! 2! 3x x⇔ − = ⇔ =
7. Tính giá trị biểu thức:
2 4 6 100
100 100 100 100
4 8 12 200A C C C C= + + + +
.
Giaûi:
Ta có:
( )
100
0 1 2 2 100 100
100 100 100 100
1 x C C x C x C x+ = + + + +
(1)

( )
100
0 1 2 2 3 3 100 100
100 100 100 100 100
1 x C C x C x C x C x− = − + − + +

(2)
Lấy (1)+(2) ta được:
( ) ( )
100 100
0 2 2 4 4 100 100
100 100 100 100
1 1 2 2 2 2x x C C x C x C x+ + − = + + + +
Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được
( ) ( )
99 99
2 4 3 100 99
100 100 100
100 1 100 1 4 8 200x x C x C x C x+ − − = + + +
Thay x=1 vào
=>
99 2 4 100
100 100 100
100.2 4 8 200A C C C= = + + +
8. Tìm hệ số x
3
trong khai triển
n
x
x







+
2
2
biết n thoả mãn:
2312
2
3
2
1
2
2
=+++

n
nnn
CCC
Khai triển: (1+x)
2n
thay x=1;x= -1 và kết hợp giả thiết được n=12
Giaûi:
Khai trin:

=

=







+
12
0
324
12
12
2
2
2
k
kkk
xC
x
x
h s x
3
:
77
12
2C
=101376
9. Tìm hệ số của số hạng chứa x
2
trong khai triển nhị thức Niutơn của
n
x
x









+
4
2
1
biết rằng n là số nguyên dơng thỏa mãn:
1
6560
1
2
3
2
2
2
2
1
2
3
1
2
0
+
=
+
++++

+
n
C
n
CCC
n
n
n
nnn


(
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử)
Giaỷi:
( )

++++=+=
2
0
nn
n
22
n
1
n
0
n

2
0
n
dxxCxCxCCdx)x1(I
2
0
1nn
n
32
n
21
n
0
n
xC
1n
1
xC
3
1
xC
2
1
xC







+
++++=
+

suy ra I
n
n
1n
2
n
3
1
n
2
0
n
C
1n
2
C
3
2
C
2
2
C2
+
++++=
+


(1)
Mặt khác
1n
13
)x1(
1n
1
I
1n
2
0
1n
+

=+
+
=
+
+
(2)
Từ (1) và (2) ta có
n
n
1n
2
n
3
1
n
2

0
n
C
1n
2
C
3
2
C
2
2
C2
+
++++=
+

1n
13
1n
+

=
+
Theo bài ra thì
7n65613
1n
6560
1n
13
1n

1n
==
+
=
+

+
+
Ta có khai triển
( )



=








=









+
7
0
4
k314
k
7
k
k
7
0
4
k7
k
7
7
4
xC
2
1
x2
1
xC
x2
1
x
Số hạng chứa x
2
ứng với k thỏa mãn

2k2
4
k314
==

Vậy hệ số cần tìm là
4
21
C
2
1
2
7
2
=
10. Tỡm h s ca x
8
trong khai trin (x
2
+ 2)
n
, bit:
49CC8A
1
n
2
n
3
n
=+

.
iu kin n 4
Giaỷi:
Ta cú:
( )

=

=+
n
0k
knk2k
n
n
2
2xC2x
H s ca s hng cha x
8
l
4n4
n
2C

Ta cú:
3 2 1
n n n
A 8C C 49 + =
(n 2)(n 1)n 4(n 1)n + n = 49
n
3

7n
2
+ 7n 49 = 0 (n 7)(n
2
+ 7) = 0 n = 7
Nờn h s ca x
8
l
2802C
34
7
=
B- BAỉI TAP Tệẽ LUYEN :
1. (CĐ_Khối D 2008) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của
18
5
1
2








+
x
x
, (x>0).

2. (ĐH_Khối D 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức
2048
12
2
3
2
1
2
=+++
−n
nnn
CCC 
. (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
3. (ĐH_Khối D 2007) Tìm hệ số của x
5
trong khai triển thành đa thức của
x(1−2x)
5
+x2(1+3x)
10
.
4. (ĐH_Khối D 2005) Tính giá trị biểu thức
( )
!1
3
34

1
+
+
=
+
n
AA
M
nn
, biết rằng
14922
2
4
2
3
2
2
2
1
=+++
++++ nnnn
CCCC
(n là số nguyên dương,
k
n
A
là số chỉnh hợp chập k của n
phần tử và
k
n

C
là số tổ hợp chập k của n phần tử)
5. (ĐH_Khối D 2004) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của
7
4
3
1








+
x
x
với x>0.
6. (ĐH_Khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a
3n

3
là hệ số của x
3n

3
trong khai triển
thành đa thức của (x
2

+1)
n
(x+2)
n
. Tìm n để a
3n

3
=26n.
7. (ĐH_Khối D 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho
2048242
210
=++++
n
n
n
nnn
CCCC 
.
8. (ĐH_Khối B 2008) Chứng minh rằng
k
n
k
n
k
n
CCC
n
n 111
2

1
1
11
=








+
+
+
+
++
(n, k là các số nguyên
dương, k≤n,
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
9. (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
trong khai triển nhị thức Newton của
(2+x)
n
, biết:
3

n
C
n
0
−3
n

1
C
n
1
+3
n

2
C
n
2
−3
n

3
C
n
3
+ … +(−1)
n
C
n
n

=2048 (n là số nguyên dương,
k
n
C
là số tổ hợp chập
k của n phần tử).
10.(ĐH_Khối B 2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng
n
n
n
nnn
C
n
CCC
1
12
3
12
2
12
1
2
3
1
2
0
+

++


+

+
+

, (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử)
11.(ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x)
n
=a
0
+a
1
x+ … +a
n
x
n
, trong đó n∈N* và các hệ số
a
0
, a
1
,…a
n
thỏa mãn hệ thức
4096
2

2
1
0
=+++
n
n
a
a
a 
. Tìm số lớn nhất trong các số a
0
, a
1
,…
a
n
.
12.(ĐH_Khối A 2007) Chứng minh rằng
1
2
2
12
2
5
2
3
2
1
2
12

12
2
1
6
1
4
1
2
1
n
n
n
nnnn
C
n
C
n
CCC
+

=++++


, (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
13. (ĐH_Khối A 2006) Tìm số hạng chứa x
26

trong khai triển nhị thức Newton của
n
x
x






+
7
4
1
, biết rằng
12
20
12
2
12
1
12
−=+++
+++
n
nnn
CCC 
, (n nguyên dương và
k
n

C
là số tổ hợp chập k của
n phần tử).
14.(ĐH_Khối A 2005) Tìm số ngun dương n sao cho
( )
20052.122.42.32.2
12
12
24
12
33
12
22
12
1
12
=+++−+−
+
+++++
n
n
n
nnnn
CnCCCC 
, (
k
n
C
là số tổ hợp chập k
của n phần tử).

15.(ĐH_Khối A 2004) Tìm hệ số của x
8
trong khai triển thành đa thức của [1+x
2
(1−x)]
8
.
16.(ĐH_Khối A 2003) Tìm số hạng chứa x
8
trong khai triển nhị thức Newton của
n
x
x






+
5
3
1
, biết rằng
( )
37
3
1
4
+=−

+
+
+
nCC
n
n
n
n
, (n ngun dương, x>0, (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần
tử).
17. (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức
n
x
n
n
n
x
x
n
n
x
n
x
n
n
x

n
n
x
x
CCCC








+

















++
















+








=









+







−−


3
1
3
2
1
1
3
1
2
1
1
2
1
0

3
2
1
22222222 
(n là số ngun dương). Biết rằng trong khai triển đó
13
5
nn
CC =
và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n
và x.

18. (ĐH-A DB2-2005) Tìm hệ số của số hạng chứa
7
x
trong khai triển đa thức:
( )
2
2 3
n
x−
biết
rằng n là số ngun dương thoả mãn:
1 3 5 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
1024
n
n n n n
C C C C
+

+ + + +
+ + + + =
(
k
n
C
là tổ hợp chập k
của n phần tử )
19. (ĐH A–DB1-2006) p dụng công thức Newtơn (x
2
+x)
100
. Chứng minh rằng:

99 100 198 199
0 1 99 100
100 100 100 100
1 1 1 1
100 101 199 200 0
2 2 2 2
C C C C
       
− + − + =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
20. (ĐH-D-2004) Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của
7
3
4
1

x
x
 
+
 ÷
 
với x > 0.
21.(ĐH-A-2004) Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển của biểu thức:
( )
8
2
1 1 .x x
 
+ −
 
22. (ĐH-A-2003) Tìm hệ số của số hạng chứa
8
x
trong khai triển nhị thức Newton của:
5
3
1
n
x
x
 
+

 ÷
 
, biết rằng:
1
4 3
7( 3)
n n
n n
C C n
+
+ +
− = +
( n là số ngun dương, x > 0 ).
23.(ĐH-D-2003) Với n là số ngun dương, gọi
3 3n
a

là hệ số của
3 3n
x

trong khai triển thành
đa thức của
( )
( )
2
1 2 .
n
n
x x+ +

Tìm n để
3 3
26 .
n
a n

=
24.(ĐH-A-2006) Tìm hệ số của số hạng chứa
26
x
trong khai triển nhị thức Newton của:
7
4
1
n
x
x
 
+
 ÷
 
, biết rằng:
1 2 3 20
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1.
n
n n n n
C C C C
+ + + +
+ + + + = −

( n là số ngun dương, x > 0 ).
25. (ĐH B –DB2-2007) Tìm hệ số của x
8
trong khai triển (x
2
+ 2)
n
, biết:
49CC8A
1
n
2
n
3
n
=+−
.
26. (ĐH D -DB1-2007) Chứng minh với mọi n ngun dương ln có

( ) ( ) ( )
0C1C1 C1nnC
1n
n
1n
2n
n
2n
1
n
0

n
=−+−++−−




.
27. (ĐH A –DB2-2008) Tìm hệ số của số hạng chứa x
5
trong khai triển nhị thức Newton
(1+3x)
2n
biết rằng
1002
23
=+
nn
AA
(n là số nguyên dương)
28. (ĐH B –DB1-2008) Cho số nguyên n thỏa mãn
)3(35
)2)(1(
33
≥=
−−
+
n
nn
CA
nn

. Tính tổng
n
n
n
nnn
CnCCCS )1( 43.2
2423222
−+−+−=
29. (ĐH B –DB2-2008) Khai triển nhị thức Newton
n
n
n
n
n
n
n
n
n
CxCxCxCx ++++=+
−−
)1(
22110
30. (ĐH D –DB1-2008) Chứng minh rằng với n là số nguyên dương

n 0 n 1 1 n 1 n 1
n n n
n.2 C (n 1).2 C 2C 2n.3
− − −
+ − + + =
31. (ĐH-A-2008) Cho khai triển:

( )
0 1
1 2 .
n
n
n
x a a x a x+ = + + +
Trong đó
*
n N∈
và các hệ số
0 1, ,
,
n
a a a
thỏa mãn hệ thức:
1
0
4096
2 2
n
n
a
a
a + + + =
. Tìm số lớn nhất trong các số:
0 1
, , , .
n
a a a

32. (ĐH-A-2002) Cho khai triển nhị thức:
1
1
1 1 1 1
0 1 1
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
n n n
n n
x x x x
x x x x
n n
n n n n
C C C C


− − − −
− − − −

       
     
+ = + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
            
( n là số nguyên
dương ). Biết rằng trong khai triển đó
3 1
5

n n
C C=
và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x.
33. (ĐH-A-2005) Tìm số nguyên dương n sao cho:
( )
1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2 3.2 4.2 2 1 .2 2005.
n n
n n n n n
C C C C n C
+
+ + + + +
− + − + + + =
34. (ĐH-B-2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng:
2 3 1
0 1 2
2 1 2 1 2 1
.
2 3 1
n
n
n n n n
C C C C
n
+
− − −
+ + + +
+
35. (ĐH-D-2002) Tìm số nguyên dương n sao cho:

0 1 2
2 4 2 243.
n n
n n n n
C C C C+ + + + =
36. (ĐH-D-2005) Tính giá trị của biểu thức:
( )
4 3
1
3
,
1 !
n n
A A
M
n
+
+
=
+
biết rằng:
2 2 2 2
1 2 3 4
2 2 149
n n n n
C C C C
+ + + +
+ + + =
( n là số nguyên dương ).

×