Bài tập ôn tập nhị thức niuton có lời giải

Chủ đề 10 : NHỊ THỨC NEWTƠN
A/ BÀI TẬP MẪU:
1. Tìm hệ số của x
5
trong khai triển của biểu thức:
11 7
2
2
1 1
A x x
x x
   
= − + +
 ÷  ÷
   
Giải:
Cơng thức khai triển của biểu thức là:
( )
( )
11 7
7
11 2
11 7
2
0 0
11 7
11 3 14 3
11 7
0 0
1 1

1
k
n
k k n
n
k n
k
k k n n
k n
A C x C x
x x
A C x C x
−
−
= =
− −
= =
 
= − +
 ÷
 
⇔ = − +
∑ ∑
∑ ∑
Để số hạng chứa x
5
vậy k=2 và n=3 Vậy hệ số của x
5
là
2 3

11 7
90C C+ =
2. Tính tổng:
0 1 2 1004
2009 2009 2009 2009
= + + + +S C C C C
Giải:
0 1 2 1004
2009 2009 2009 2009
= + + + +S C C C C
(1)
⇔
2009 2008 2007 1005
2009 2009 2009 2009
= + + + +S C C C C
(2) (vì
−
=
k n k
n n
C C
)
⇒
( )
2009
0 1 2 1004 1005 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009
2 1 1= + + + + + + + = +S C C C C C C
2008
2⇒ =S

3. Khai triển và rút gọn biểu thức
n
xnxx )1( )1(21
2
−++−+−
thu được đa thức
n
n
xaxaaxP +++= )(
10
. Tính hệ số
8
a
biết rằng
n
là số ngun dương thoả mãn
n
CC
nn
171
32
=+
.
Giải:
Ta cã






=
−−
+
−
≥
⇔=+
nnnnnn
n
n
CC
nn
1
)2)(1(
!3.7
)1(
2
3
171
32

§ã lµ
.89.9.8
8
9
8
8
=+ CC

.9
0365

3
2
=⇔



=−−
≥
⇔ n
nn
n

Suy ra
8
a
lµ hƯ sè cđa
8
x
trong biĨu thøc
.)1(9)1(8
98
xx −+−
4. Tính tổng
0 1 2 2009
2009 2009 2009 2009
S C 2C 3C 2010C= + + + +
.
Giải:
Xét đa thức:
= + = + + + +

2009 0 1 2 2 2009 2009
2009 2009 2009 2009
f(x) x(1 x) x(C C x C x C x )
= + + + +
0 1 2 2 3 2009 2010
2009 2009 2009 2009
C x C x C x C x .
* Ta có:
= + + + +
/ 0 1 2 2 2009 2009
2009 2009 2009 2009
f (x) C 2C x 3C x 2010C x
⇒ = + + + +
/ 0 1 2 2009
2009 2009 2009 2009
f (1) C 2C 3C 2010C (a)
* Mặt khác:
= + + + = + +
/ 2009 2008 2008
f (x) (1 x) 2009(1 x) x (1 x) (2010 x)

⇒ =
/ 2008
f (1) 2011.2 (b)
• Từ (a) và (b) suy ra:
=
2008
S 2011.2 .
•
5. Chöùngminh

+
∀ ∈k,n Z
thõa mãn
≤ ≤3 k n
ta luôn có:

− − − −
+
+ + = − −
k k 1 k 2 k k 3 k 2
n n n n 3 n n
C 3C 2C C C C
.
Giaûi:
Ta có:
− − − − − − −
+ +
+ + = − − ⇔ + + + =
k k 1 k 2 k k 3 k 2 k k 1 k 2 k 3 k
n n n n 3 n n n n n n n 3
C 3C 2C C C C C 3C 3C C C
(5)
( ) ( ) ( )
− − − − − − − − − −
+ + + + + + +
= + + + + + = + + = + + +
k k 1 k 1 k 2 k 2 k 3 k k 1 k 2 k k 1 k 1 k 2
n n n n n n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
VT(5) C C 2 C C C C C 2C C C C C C
=

−
+ + +
+ =
k k 1 k
n 2 n 2 n 3
C C C
( điều phải chứng minh)
6. Giải phương trình
1 2 2 3
2
2
x x x x
x x x x
C C C C
− − −
+
+ + =
(
k
n
C
là tổ hợp chập k của n phần tử)
Giaûi:
ĐK :
2 5x
x N
≤ ≤


∈


Ta có
1 1 2 2 3 1 2 3 2 3
2 1 1 2 2 2
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
C C C C C C C C C C
− − − − − − −
+ + + + + +
+ + + = ⇔ + = ⇔ =
(5 )! 2! 3x x⇔ − = ⇔ =
7. Tính giá trị biểu thức:
2 4 6 100
100 100 100 100
4 8 12 200A C C C C= + + + +
.
Giaûi:
Ta có:
( )
100
0 1 2 2 100 100
100 100 100 100
1 x C C x C x C x+ = + + + +
(1)

( )
100
0 1 2 2 3 3 100 100
100 100 100 100 100
1 x C C x C x C x C x− = − + − + +

(2)
Lấy (1)+(2) ta được:
( ) ( )
100 100
0 2 2 4 4 100 100
100 100 100 100
1 1 2 2 2 2x x C C x C x C x+ + − = + + + +
Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được
( ) ( )
99 99
2 4 3 100 99
100 100 100
100 1 100 1 4 8 200x x C x C x C x+ − − = + + +
Thay x=1 vào
=>
99 2 4 100
100 100 100
100.2 4 8 200A C C C= = + + +
8. Tìm hệ số x
3
trong khai triển
n
x
x







+
2
2
biết n thoả mãn:
2312
2
3
2
1
2
2
=+++
−
n
nnn
CCC
Khai triển: (1+x)
2n
thay x=1;x= -1 và kết hợp giả thiết được n=12
Giaûi:
Khai trin:

=

=

+
12
0
324
12
12
2
2
2
k
kkk
xC
x
x
h s x
3
:
77
12
2C
=101376
9. Tìm hệ số của số hạng chứa x
2
trong khai triển nhị thức Niutơn của
n
x
x

+
4
2
1
biết rằng n là số nguyên dơng thỏa mãn:
1
6560
1
2
3
2
2
2
2
1
2
3
1
2
0
+
=
+
++++

+
n
C
n
CCC
n
n
n
nnn


(
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử)
Giaỷi:
( )

++++=+=
2
0
nn
n
22
n
1
n
0
n

2
0
n
dxxCxCxCCdx)x1(I
2
0
1nn
n
32
n
21
n
0
n
xC
1n
1
xC
3
1
xC
2
1
xC

+
++++=
+

suy ra I
n
n
1n
2
n
3
1
n
2
0
n
C
1n
2
C
3
2
C
2
2
C2
+
++++=
+

(1)
Mặt khác
1n
13
)x1(
1n
1
I
1n
2
0
1n
+

=+
+
=
+
+
(2)
Từ (1) và (2) ta có
n
n
1n
2
n
3
1
n
2

0
n
C
1n
2
C
3
2
C
2
2
C2
+
++++=
+

1n
13
1n
+

=
+
Theo bài ra thì
7n65613
1n
6560
1n
13
1n

1n
==
+
=
+

+
+
Ta có khai triển
( )



=








=

+
7
0
4
k314
k
7
k
k
7
0
4
k7
k
7
7
4
xC
2
1
x2
1
xC
x2
1
x
Số hạng chứa x
2
ứng với k thỏa mãn

2k2
4
k314
==

Vậy hệ số cần tìm là
4
21
C
2
1
2
7
2
=
10. Tỡm h s ca x
8
trong khai trin (x
2
+ 2)
n
, bit:
49CC8A
1
n
2
n
3
n
=+

.
iu kin n 4
Giaỷi:
Ta cú:
( )

=

=+
n
0k
knk2k
n
n
2
2xC2x
H s ca s hng cha x
8
l
4n4
n
2C

Ta cú:
3 2 1
n n n
A 8C C 49 + =
(n 2)(n 1)n 4(n 1)n + n = 49
n
3

7n
2
+ 7n 49 = 0 (n 7)(n
2
+ 7) = 0 n = 7
Nờn h s ca x
8
l
2802C
34
7
=
B- BAỉI TAP Tệẽ LUYEN :
1. (CĐ_Khối D 2008) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của
18
5
1
2








+
x
x
, (x>0).

2. (ĐH_Khối D 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức
2048
12
2
3
2
1
2
=+++
−n
nnn
CCC 
. (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
3. (ĐH_Khối D 2007) Tìm hệ số của x
5
trong khai triển thành đa thức của
x(1−2x)
5
+x2(1+3x)
10
.
4. (ĐH_Khối D 2005) Tính giá trị biểu thức
( )
!1
3
34

1
+
+
=
+
n
AA
M
nn
, biết rằng
14922
2
4
2
3
2
2
2
1
=+++
++++ nnnn
CCCC
(n là số nguyên dương,
k
n
A
là số chỉnh hợp chập k của n
phần tử và
k
n

C
là số tổ hợp chập k của n phần tử)
5. (ĐH_Khối D 2004) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của
7
4
3
1








+
x
x
với x>0.
6. (ĐH_Khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a
3n
−
3
là hệ số của x
3n
−
3
trong khai triển
thành đa thức của (x
2

+1)
n
(x+2)
n
. Tìm n để a
3n
−
3
=26n.
7. (ĐH_Khối D 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho
2048242
210
=++++
n
n
n
nnn
CCCC 
.
8. (ĐH_Khối B 2008) Chứng minh rằng
k
n
k
n
k
n
CCC
n
n 111
2

1
1
11
=








+
+
+
+
++
(n, k là các số nguyên
dương, k≤n,
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
9. (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
trong khai triển nhị thức Newton của
(2+x)
n
, biết:
3

n
C
n
0
−3
n
−
1
C
n
1
+3
n
−
2
C
n
2
−3
n
−
3
C
n
3
+ … +(−1)
n
C
n
n

=2048 (n là số nguyên dương,
k
n
C
là số tổ hợp chập
k của n phần tử).
10.(ĐH_Khối B 2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng
n
n
n
nnn
C
n
CCC
1
12
3
12
2
12
1
2
3
1
2
0
+
−
++
−

+
−
+
+

, (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử)
11.(ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x)
n
=a
0
+a
1
x+ … +a
n
x
n
, trong đó n∈N* và các hệ số
a
0
, a
1
,…a
n
thỏa mãn hệ thức
4096
2

2
1
0
=+++
n
n
a
a
a 
. Tìm số lớn nhất trong các số a
0
, a
1
,…
a
n
.
12.(ĐH_Khối A 2007) Chứng minh rằng
1
2
2
12
2
5
2
3
2
1
2
12

12
2
1
6
1
4
1
2
1
n
n
n
nnnn
C
n
C
n
CCC
+
−
=++++
−

, (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
13. (ĐH_Khối A 2006) Tìm số hạng chứa x
26

trong khai triển nhị thức Newton của
n
x
x






+
7
4
1
, biết rằng
12
20
12
2
12
1
12
−=+++
+++
n
nnn
CCC 
, (n nguyên dương và
k
n

C
là số tổ hợp chập k của
n phần tử).
14.(ĐH_Khối A 2005) Tìm số ngun dương n sao cho
( )
20052.122.42.32.2
12
12
24
12
33
12
22
12
1
12
=+++−+−
+
+++++
n
n
n
nnnn
CnCCCC 
, (
k
n
C
là số tổ hợp chập k
của n phần tử).

15.(ĐH_Khối A 2004) Tìm hệ số của x
8
trong khai triển thành đa thức của [1+x
2
(1−x)]
8
.
16.(ĐH_Khối A 2003) Tìm số hạng chứa x
8
trong khai triển nhị thức Newton của
n
x
x






+
5
3
1
, biết rằng
( )
37
3
1
4
+=−

+
+
+
nCC
n
n
n
n
, (n ngun dương, x>0, (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần
tử).
17. (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức
n
x
n
n
n
x
x
n
n
x
n
x
n
n
x

n
n
x
x
CCCC








+

















++
















+








=









+
−
−
−
−
−
−
−
−−
−
−
3
1
3
2
1
1
3
1
2
1
1
2
1
0

3
2
1
22222222 
(n là số ngun dương). Biết rằng trong khai triển đó
13
5
nn
CC =
và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n
và x.

18. (ĐH-A DB2-2005) Tìm hệ số của số hạng chứa
7
x
trong khai triển đa thức:
( )
2
2 3
n
x−
biết
rằng n là số ngun dương thoả mãn:
1 3 5 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
1024
n
n n n n
C C C C
+

+ + + +
+ + + + =
(
k
n
C
là tổ hợp chập k
của n phần tử )
19. (ĐH A–DB1-2006) p dụng công thức Newtơn (x
2
+x)
100
. Chứng minh rằng:

99 100 198 199
0 1 99 100
100 100 100 100
1 1 1 1
100 101 199 200 0
2 2 2 2
C C C C
       
− + − + =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
20. (ĐH-D-2004) Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của
7
3
4
1

x
x
 
+
 ÷
 
với x > 0.
21.(ĐH-A-2004) Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển của biểu thức:
( )
8
2
1 1 .x x
 
+ −
 
22. (ĐH-A-2003) Tìm hệ số của số hạng chứa
8
x
trong khai triển nhị thức Newton của:
5
3
1
n
x
x
 
+

 ÷
 
, biết rằng:
1
4 3
7( 3)
n n
n n
C C n
+
+ +
− = +
( n là số ngun dương, x > 0 ).
23.(ĐH-D-2003) Với n là số ngun dương, gọi
3 3n
a
−
là hệ số của
3 3n
x
−
trong khai triển thành
đa thức của
( )
( )
2
1 2 .
n
n
x x+ +

Tìm n để
3 3
26 .
n
a n
−
=
24.(ĐH-A-2006) Tìm hệ số của số hạng chứa
26
x
trong khai triển nhị thức Newton của:
7
4
1
n
x
x
 
+
 ÷
 
, biết rằng:
1 2 3 20
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1.
n
n n n n
C C C C
+ + + +
+ + + + = −

( n là số ngun dương, x > 0 ).
25. (ĐH B –DB2-2007) Tìm hệ số của x
8
trong khai triển (x
2
+ 2)
n
, biết:
49CC8A
1
n
2
n
3
n
=+−
.
26. (ĐH D -DB1-2007) Chứng minh với mọi n ngun dương ln có

( ) ( ) ( )
0C1C1 C1nnC
1n
n
1n
2n
n
2n
1
n
0

n
=−+−++−−
−
−
−
−
.
27. (ĐH A –DB2-2008) Tìm hệ số của số hạng chứa x
5
trong khai triển nhị thức Newton
(1+3x)
2n
biết rằng
1002
23
=+
nn
AA
(n là số nguyên dương)
28. (ĐH B –DB1-2008) Cho số nguyên n thỏa mãn
)3(35
)2)(1(
33
≥=
−−
+
n
nn
CA
nn

. Tính tổng
n
n
n
nnn
CnCCCS )1( 43.2
2423222
−+−+−=
29. (ĐH B –DB2-2008) Khai triển nhị thức Newton
n
n
n
n
n
n
n
n
n
CxCxCxCx ++++=+
−−
)1(
22110
30. (ĐH D –DB1-2008) Chứng minh rằng với n là số nguyên dương

n 0 n 1 1 n 1 n 1
n n n
n.2 C (n 1).2 C 2C 2n.3
− − −
+ − + + =
31. (ĐH-A-2008) Cho khai triển:

( )
0 1
1 2 .
n
n
n
x a a x a x+ = + + +
Trong đó
*
n N∈
và các hệ số
0 1, ,
,
n
a a a
thỏa mãn hệ thức:
1
0
4096
2 2
n
n
a
a
a + + + =
. Tìm số lớn nhất trong các số:
0 1
, , , .
n
a a a

32. (ĐH-A-2002) Cho khai triển nhị thức:
1
1
1 1 1 1
0 1 1
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
n n n
n n
x x x x
x x x x
n n
n n n n
C C C C
−
−
− − − −
− − − −
−
       
     
+ = + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
            
( n là số nguyên
dương ). Biết rằng trong khai triển đó
3 1
5

n n
C C=
và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x.
33. (ĐH-A-2005) Tìm số nguyên dương n sao cho:
( )
1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2 3.2 4.2 2 1 .2 2005.
n n
n n n n n
C C C C n C
+
+ + + + +
− + − + + + =
34. (ĐH-B-2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng:
2 3 1
0 1 2
2 1 2 1 2 1
.
2 3 1
n
n
n n n n
C C C C
n
+
− − −
+ + + +
+
35. (ĐH-D-2002) Tìm số nguyên dương n sao cho:

0 1 2
2 4 2 243.
n n
n n n n
C C C C+ + + + =
36. (ĐH-D-2005) Tính giá trị của biểu thức:
( )
4 3
1
3
,
1 !
n n
A A
M
n
+
+
=
+
biết rằng:
2 2 2 2
1 2 3 4
2 2 149
n n n n
C C C C
+ + + +
+ + + =
( n là số nguyên dương ).