Hình học tổng hợp ôn thi THPT quốc gia

Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Email:

1

A. LÝ THUYẾT
Phần 1
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ SONG SONG

I. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Xác định một mặt phẳng
• Ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. (mp(ABC), (ABC))
• Một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó thuộc mặt phẳng. (mp(A,d))
• Hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng. (mp(a, b))
2. Một số qui tắc vẽ hình biểu diễn của hình không gian
• Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
• Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt
nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
• Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng.
• Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt.

II. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
1. Định nghĩa

, ( )
/ /
a b P
a b
a b


⊂
⇔

∩ = ∅


2. Tính chất

•
Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy
hoặc đồng qui hoặc đôi một song song.

•
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song
song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

•
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

III. ĐƯỜNG THẲNG và MẶT PHẲNG SONG SONG
1. Định nghĩa
d // (P)
⇔
d
∩
(P) =
∅

2. Tính chất

•
Nếu đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng (P) và d song song với đường thẳng d
′
nằm trong (P)
thì d song song với (P).

•
Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa d mà cắt (P) thì cắt theo
giao tuyến song song với d.

•
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song
song với đường thẳng đó.

•
Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b.

IV. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
1. Định nghĩa
(P) // (Q)
⇔
(P)
∩
(Q) =
∅

2. Tính chất

•
Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P)

song song với (Q).

•
Nếu đường thẳng d song song với mp(P) thì có duy nhất một mp(Q) chứa d và song song với (P).

•
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

•
Cho một điểm A
∉
(P). khi đó mọi đường thẳng đi qua A và song song với (P) đều nằm trong một
mp(Q) đi qua A và song song với (P).
Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Email:

2

•
Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cũng cắt mặt phẳng kia và các giao
tuyến của chúng song song với nhau.

•
Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.

•
Định lí Thales: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng
tương ứng tỉ lệ.

•

Định lí Thales đảo: Giả sử trên hai đường thẳng d và d
′
lần lượt lấy các điểm A, B, C và A
′
, B
′
, C
′
sao
cho:

' ' ' ' ' '
AB BC CA
A B B C C A
= =

Khi đó, ba đường thẳng AA
′
, BB
′
, CC
′
lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng
song với một mặt phẳng.

Phần 2
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

I. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng:
0
a
≠
r
r
là VTCP của d nếu giá của
a
r
song song hoặc trùng với d.
2. Góc giữa hai đường thẳng:

•
a
′
//a, b
′
//b ⇒

(
)

(
)
, ', '
a b a b
=


•

Giả sử
u
r
là VTCP của a,
v
r
là VTCP của b,
( , )u v
=
r r
α
.
Khi đó:

( )
0 0
0 0 0
0 180
,
180 90 180
neáu
a b
neáu


≤ ≤
=

− < ≤



α α
α α


•
Nếu a//b hoặc a
≡
b thì
(
)
=
0
, 0
a b
Chú ý:
(
)
≤ ≤
0 0
0 , 90
a b

3. Hai đường thẳng vuông góc:

•
a
⊥
b
⇔


(
)
0
, 90
a b =


•
Giả sử
u
r
là VTCP của a,
v
r
là VTCP của b. Khi đó
. 0
a b u v
⊥ ⇔ =
r r
.

•
Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

II. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
1. Định nghĩa: d
⊥
(P)

⇔
d
⊥
a,
∀
a
⊂
(P)
2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

, ( ),
( )
,
a b P a b O
d P
d a d b

⊂ ∩ =
⇒
⊥

⊥ ⊥


3. Tính chất

•
Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của
nó.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

•

( )
( )
a b
P b
P a

⁄⁄
⇒
⊥

⊥


•

( ), ( )
a b
a b
a P b P

≠
⇒
⁄⁄

⊥ ⊥


•

( ) ( )
( )
( )
P Q
a Q
a P

⁄⁄
⇒
⊥

⊥


•

( ) ( )
( ) )
( ) ,( )
P Q
P Q
P a Q a

≠
⇒
⁄⁄(


⊥ ⊥



•

( )
( )
a P
b a
b P

⁄⁄
⇒
⊥

⊥


•

( )
)
,( )
a P
a P
a b P b

⊄
⇒

⁄⁄(

⊥ ⊥


4. Định lí ba đường vuông góc
Cho
( ), ( )
a P b P
⊥ ⊂
, a
′
là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b
⊥
a
⇔
b
⊥
a
′

5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Email:

3

•
Nếu d
⊥

(P) thì

(
)
,( )
d P
= 90
0
.

•
Nếu
( )
d P
⊥
thì

(
)
,( )
d P
=

(
)
, '
d d
với d
′
là hình chiếu của d trên (P), 0

0

≤


(
)
,( )
d P

≤
90
0
.

III. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
1. Góc giữa hai mặt phẳng

•


(
)

(
)
( )
( ),( ) ,
( )
a P

P Q a b
b Q

⊥
⇒
=

⊥



•
Giả sử (P)
∩
(Q) = c. Từ I
∈
c, dựng
( ),
( ),
a P a c
b Q b c

⊂ ⊥

⊂ ⊥


⇒



(
)

(
)
( ),( ) ,
P Q a b
=

Chú ý:

(
)
0 0
0 ( ),( ) 90
P Q≤ ≤

2. Diện tích hình chiếu của một đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S
′
là diện tích của hình chiếu (H
′
) của (H) trên (Q),
ϕ
=

(
)
( ),( )
P Q

. Khi đó: S
′
= S.cos
ϕ

3. Hai mặt phẳng vuông góc

•
(P)
⊥
(Q)
⇔


(
)
0
( ),( ) 90
P Q =


•
Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau:
( )
( ) ( )
( )
P a
P Q
a Q


⊃
⇒
⊥

⊥


4. Tính chất

•

( ) ( ),( ) ( )
( )
( ),
P Q P Q c
a Q
a P a c

⊥ ∩ =
⇒
⊥

⊂ ⊥


•

( ) ( )
( ) ( )
, ( )

P Q
A P a P
a A a Q

⊥

∈
⇒
⊂


∋ ⊥


•

( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
P Q a
P R a R
Q R

∩ =

⊥
⇒
⊥



⊥



IV. KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng

( , )
( ,( ))
d M a MH
d M P MH
=
=
trong đó H là hình chiếu của M trên a hoặc (P).
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
d(a,(P)) = d(M,(P)) trong đó M là điểm bất kì nằm trên a.
d((P),(Q) = d(M,(Q)) trong đó M là điểm bất kì nằm trên (P).
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

•
Đường thẳng
∆
cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b được gọi là đường vuông góc chung của a, b.

•
Nếu
∆
cắt a, b tại I, J thì IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a, b.

•

Độ dài đoạn IJ được gọi là khoảng cách giữa a, b.

•
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó
với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với nó.

•
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần
lượt chứa hai đường thẳng đó.

Phần 3
MẶT TRÒN XOAY- THỂ TÍCH

I. MẶT CẦU, KHỐI CẦU

1. Định nghĩa mặt cầu
- Trong không gian cho điểm I cố định và số thực duong R không đổi. Mặt cầu (S) tâm I, bán kinh R
là tập hợp những điểm M sao cho IM = R.
- Cho hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian sao cho

0
AMB 90
=
là mặt cầu
đường kính AB
Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Email:

4
2. Vị ttí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu S(I,R) và mp(P). Gọi IH = d = d(I,(P))
a) d > R : (S) và (P) không có điểm chung
b) d = R : (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại H, H là tiếp điểm, (P) là tiếp diện
c) d < R : (P) có chung với (S) một đường tròn (C) tâm H, bán kính
2 2
r R d
= −

3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S(I,R) và đường thẳng
∆
. Gọi H là hình chiếu của I lên
∆
, d = IH = d(I,
∆
)
a) d > R :
∆
và (S) không có điểm chung
b) d = R :
∆
tiếp xúc với (S) tại H, H là tiếp điểm,
∆
là tiếp tuyến
c) d < R :
∆
và (S) có hai điểm chung
- Tại một điểm M thuộc S(I,R) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu, chúng vuông góc với IM và tạo thành mp
(P) vuông góc với OM
4. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu:

2 3
4
S 4 R , V R
3
π π
= =
5. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
- Xác định trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
- Xác định một cạnh bên d đồng phẳng với trục của đường tròn ngoại tiếp đáy
- Tâm của mặt cầu ngoại tiếp là giao điểm của trục và cạnh bên d đó.
6. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.
- Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi nó là lăng trụ đứng và đáy là đa giác nội tiếp được.
Khi đó, tâm của mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của đoạn thẩng nối tâm hai đáy.

II. MẶT TRÒN XOAY - MẶT TRỤ - MẶT NÓN
1. Mặt tròn xoay
a) Định nghĩa: Trong không gian cho đường thẳng
∆
và đường cong (C ). Khi quay (P) quanh
∆
, các
điểm của (C ) tại thành một mặt cong, gọi là mặt tròn xoay nhận
∆
làm trục và (C ) là đường sinh
b) Tính chất:
- Trục
∆
là trục đối xứng của mặt tròn xoay
- Mỗi điểm M trên mặt tròn xoay đều nằm trên một đường tròn thuộc mặt tròn xoay và tâm thuộc trục
∆

- Nếu cắt mặt tròn xoay bởi một mặt phẳng vuông góc với trục, ta được giao tuyến là một đường tròn, có
tâm thuộc trục
2. Mặt trụ, hình trụ, khối trụ
a) Định nghĩa mặt trụ: Trong mp(P) cho 2 đường thẳng d và
∆
song song với nhau. Khi quay (P) quanh
∆
, đường thẳng d sinh ra mặt tròn xoay, gọi là mặt trụ nhận d là đường sinh,
∆
là trục.
b) Tính chất
- Nếu cắt mặt trụ bởi mp (Q) vuông góc với trục ta được giao tuyến là một đường tròn
- Nếu cắt mặt trụ bởi mp (Q) không vuông góc, không song song với trục thì ta được giao tuyến là một
elip
- Cho điểm M trên mặt trụ, chỉ có duy nhất một đường thẳng đi qua M, song song với trục, đó là đường
sinh đi qua M.
- Nếu cắt mặt trụ bởi mp (S) song song với trục
∆
và cách
∆
một đoạn m thì:
+ m > R : (S) ở ngoài mặt trụ
+ m = R : (S) tiếp xúc với mặt trụ dọc theo một đường sinh, ta noi (S) là tiếp diện của mặt trụ
+ m < R : (S) cắt mặt trụ dọc theo 2 đường sinh song song
c) Hình trụ và khối trụ
- Phần giới hạn bởi mặt trụ và hai mặt phẳng (P) và (P') vuông góc với trục được gọi là hình trụ
- Khoảng cách giữa (P) và (P') gọi là chiều cao của hình trụ
- Hình trụ cùng với phần bên trong của nó được gọi là khối trụ
d) Diện tích hình trụ và thể tích khối trụ

- Diện tích hình trụ:
S 2 Rh
π
=
- Thể tích khối trụ:
2
V R h
π
=


3. Mặt nón, hình nón, khối nón
a) Định nghĩa mặt nón
Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Email:

5
- Trong mp(P) cho 2 đường thẳng d và
∆
cắt nhau tại S và hợp với nhau một góc
0
2
π
α α
 
< <
 
 
. Khi
quay (P) quanh

∆
,
đườ
ng th
ẳ
ng d sinh ra m
ặ
t tròn xoay, g
ọ
i là m
ặ
t nón tròn xoay,
đỉ
nh S, góc
ở

đỉ
nh 2
α
,
nh
ậ
n d là
đườ
ng sinh,
∆
là tr
ụ
c.
b) Tính chất

- C
ắ
t m
ặ
t nón
đỉ
nh S b
ở
i mp (P) khong qua S:
+ N
ế
u (P) vuông góc v
ớ
i tr
ụ
c: giao tuy
ế
n là
đườ
ng tròn
+ N
ế
u (P) c
ắ
t m
ọ
i
đườ
ng sinh c
ủ

a m
ặ
t nòn thì giao tuy
ế
n là elip
+ N
ế
u (P) song song v
ớ
i ch
ỉ
m
ộ
t
đườ
ng sinh c
ủ
a m
ặ
t nòn thì giao tuy
ế
n là parabol
+ N
ế
u (P) song song v
ớ
i 2
đườ
ng sinh c
ủ

a m
ặ
t nòn thì gioa tuy
ế
n là 2 nhánh c
ủ
a m
ộ
t hypebol
- C
ắ
t m
ặ
t nón b
ở
i m
ộ
t mp (P) qua S
+ (P) ch
ỉ
có m
ộ
t
đ
i
ể
m chung (S) v
ớ
i m
ặ

t nón
+ (P) có chung v
ớ
i m
ặ
t nón m
ộ
t
đườ
ng sinh duy nh
ấ
t; ta nói (P) ti
ế
p xúc v
ớ
i m
ặ
t nón, (P) là ti
ế
p di
ệ
n
+ (P) c
ắ
t m
ặ
t nó ntheo 2
đườ
ng sinh.

c) Hình nón, khối nón

d) Diện tích xung quanh của hình nón:
S Rl
π
=

(R: bán kính
đ
áy, l:
đườ
ng sinh)


e) Thể tích khối nón
:
2
1
V R h
3
π
=


B. BÀI TẬP
Bài 1:
Cho hình nón có
đườ
ng cao h. M
ộ

t m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
)
đ
i qua
đỉ
nh S c
ủ
a hình nón t
ạ
o v
ớ
i m
ặ
t
đ
áy
hình nón m
ộ
t góc 60
0
,
đ
i qua hai
đườ
ng sinh SA, SB c

ủ
a hình nón và c
ắ
t m
ặ
t
đ
áy c
ủ
a hình nón theo dây cung
AB, cung AB có s
ố

đ
o b
ằ
ng 60
0
. Tính di
ệ
n tích thi
ế
t di
ệ
n SAB.
Bài 2:
Cho hình chóp tam giác S.ABC có
đ
áy ABC là tam giác
đề

u c
ạ
nh a. SA = 2a và SA vuông góc
v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC). G
ọ
i M và N l
ầ
n l
ượ
t là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a A trên các
đườ
ng th
ẳ
ng SB và SC.
Tính th
ể
tích c
ủ
a kh
ố

i chóp A.BCNM.
Bài 3:
Cho hình chóp SABCD có
đ
áy là hình ch
ữ
nh
ậ
t v
ớ
i, AB = a, AD =
2
a
, SA = a và SA vuông
góc v
ớ
i m
ặ
t
đ
áy (ABCD). G
ọ
i M và N l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể

m c
ủ
a AD và SC; I là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a BM và AC.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng (SAC) vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (SMB). Tính th
ể
tích c
ủ
a kh
ố
i t

ứ
di
ệ
n IB.
Bài 4:
Cho hình tr
ụ
có các
đ
áy là hai hình tròn tâm O và O', bán kính
đ
áy b
ằ
ng chi
ề
u cao và b
ằ
ng a.
Trên
đườ
ng tròn
đ
áy tâm O l
ấ
y
đ
i
ể
m A. trên
đườ

ng tròn
đ
áy tâm O' l
ấ
y
đ
i
ể
m B sao cho AB = 2a. Tính th
ể

tích c
ủ
a kh
ố
i t
ứ
di
ệ
n OO'AB.
Bài 5:
Cho hình chóp S.ABCD
đ
áy hình thang, Góc ABC = góc BAD, BA = BC = a, AD = 2a, SA =
a
2
, SA
⊥
(ABCD).H là hình chi
ế

u c
ủ
a A lên SB. Ch
ứ
ng minh tam giác SCD vuông và tính kho
ả
ng cách
t
ừ
H
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (SCD)
Bài 6:
Cho hình cóp tam giác
đề
u S.ABC
đỉ
nh S,có
độ
dài c
ạ
nh
đ
áy b
ằ
ng a.G

ọ
i M và N l
ầ
n l
ượ
t là các
trung
đ
i
ể
m c
ủ
a các c
ạ
nh SB và SC. Tính theo a di
ệ
n tích tam giác AMN, bi
ế
t r
ằ
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng (AMN) vuông
góc v
ớ
i m
ặ
t ph

ẳ
ng (SBC).
Bài 7:
Cho hình t
ứ
di
ệ
n ABCD có c
ạ
nh AD vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABD); AC = AD = 4cm; AB =
3cm; BC = 5cm. Tính kho
ả
ng cách t
ừ

đ
i
ể
m A t
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ

ng (ACD).
Bài 8:
Cho hình chóp t
ứ
giác
đề
u S.ABCD có
độ
dài c
ạ
nh
đ
áy AB = a, góc SAB =
α
. Tính th
ể
tích hình
chóp S.ABCD theo a và
α
.
Bài 10
: Cho hình l
ậ
p ph
ươ
ng ABCD.A
1
B
1
C

1
D
1
c
ạ
nh a. G
ọ
i O
1
là tâm c
ủ
a hình vuông A
1
B
1
C
1
D
1
. Tính
th
ể
tích kh
ố
i t
ứ
di
ệ
n A
1

B
1
OD.
Bài 11:
Cho kh
ố
i l
ă
ng tr
ụ
tam giác
đề
u ABC.A'B'C' có c
ạ
nh
đ
áy b
ằ
ng 2a, c
ạ
nh bên
' = a 3
AA
, G
ọ
i D,
E l
ầ
n l
ượ

t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB và A'B'.
1. Tính th
ể
tích kh
ố
i
đ
a di
ệ
n ABA'B'C'
2. Tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a
đườ
ng th
ẳ
ng AB và m
ặ
t ph
ẳ
ng (CEB')
Bài 12:

Cho kh
ố
i l
ă
ng tr
ụ

đứ
ng ABC.A’B’C’ có
đ
áy ABC là m
ộ
t tam giác vuông t
ạ
i A, AC = b, góc
C=60
0
.
Đườ
ng chéo BC’c
ủ
a m
ặ
t bên BB’C’ t
ạ
o v
ớ
i m
ặ
t ph

ẳ
ng (AA’C’C) m
ộ
t góc30
0
.
a. Tính
độ
dài
đ
o
ạ
n AC’.
b. Tính th
ể
tích c
ủ
a kh
ố
i l
ă
ng tr
ụ
.
Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Email:

6
Bài 13:
Cho hình chóp S.ABC.

Đ
áy ABC là tam giác vuông t
ạ
i B, c
ạ
nh SA vuông góc v
ớ
i
đ
áy, góc
ACB = 60
0
, BC = a , SA =
3
a
. G
ọ
i M là trung
đ
i
ể
m c
ạ
nh SB. Ch
ứ
ng minh m
ặ
t ph
ẳ
ng (SAB) vuông góc

v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (SBC). Tính th
ể
tích kh
ố
i t
ứ
di
ệ
n MABC.
Bài 14:
Cho hình chóp S.ABC
đ
áy là tam giác ABC vuông t
ạ
i A , góc ABC = 60
0
, BC = a, SB vuông
góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC), SA t

ạ
o v
ớ
i
đ
áy (ABC) m
ộ
t góc 45
0
. G
ọ
i E, F l
ầ
n l
ượ
t là hình chi
ế
u c
ủ
a B trên SA,
SC.
a. Tính th
ể
tích c
ủ
a hình chóp S.ABC
b. Ch
ứ
ng minh r
ằ

ng A, B, C, E, F cùng thu
ộ
c m
ộ
t m
ặ
t c
ầ
u, xác
đị
nh tâm và bán kính c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u
đ
ó.
Bài 15
: Cho t
ứ
di
ệ
n ABCD. M
ộ
t m
ặ
t ph
ẳ

ng (
α
) song song v
ớ
i ADvà BC c
ắ
t các c
ạ
nh AB, AC, CD,
DB t
ươ
ng
ứ
ng t
ạ
i các
đ
i
ể
m M, N, P, Q.
1.Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng t
ứ
giác MNPQ là hình bình hành.
2. Xác
đị
nh v

ị
trí c
ủ
a
để
cho di
ệ
n tích c
ủ
a t
ứ
giác MNPQ
đạ
t giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t.
Bài 16:
Cho hình chóp t
ứ
giác
đề
u S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình vuông c
ạ
nh a và SA = SB = SD = a.

1. Tính di
ệ
n tích toàn ph
ầ
n và th
ể
tích hình chóp S.ABCD theo a.
2. Tính cosin c
ủ
a góc nh
ị
di
ệ
n (SAB,SAD)
Bài 17:
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy hình ch
ữ
nh
ậ
t ABCD v
ớ
i AB = 2a, BC = a.
Các c
ạ
nh bên c
ủ
a hình chóp b
ằ

ng nhau và b
ằ
ng
2
a
.
1. Tính th
ể
tích c
ủ
a hình chóp S.ABCD
2. G
ọ
i M, N, E, F l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a các c
ạ
nh AB, CD, SC, SD. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng SN vuông

góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng ( MEF).
3. Tính kho
ả
ng cách t
ừ
A
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (SCD).
Bài 18:
Cho l
ă
ng tr
ụ

đứ
ng ABCD.A'B'C'D' có
đ
áy ABCD là hình thoi c
ạ
nh a, góc nh

ọ
n BAD = 60
0
.
Bi
ế
t
' '
AB BD
⊥
uuuur uuuur
. Tính th
ể
tích l
ă
ng tr
ụ
trên theo a.
Bài 19:
Cho 2 n
ử
a
đườ
ng th
ẳ
ng Ax và By vuông góc v
ớ
i nhau và nh
ậ
n AB = a, ( a > 0 ) là

đ
o
ạ
n vuông
góc chung. L
ấ
y
đ
i
ể
m M trên Ax và
đ
i
ể
m N trên By sao cho AM = BN = 2a. Xác
đị
nh tâm I và tính theo a bán
kính R c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p t
ứ
di

ệ
n ABMN. Tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng AM và BI.
Bài 20:
Bên trong hình tr
ụ
tròn xoay có m
ộ
t hình vuông ABCD c
ạ
nh a n
ộ
i ti
ế
p mà hai
đỉ
nh liên ti
ế
p A,
B n
ằ
m trên
đườ

ng tròn
đ
áy th
ứ
nh
ấ
t c
ủ
a hình tr
ụ
, hai
đỉ
nh còn l
ạ
i n
ằ
m trên
đườ
ng tròn
đ
áy th
ứ
hai c
ủ
a hình
tr
ụ
. M
ặ
t ph

ẳ
ng hình vuông t
ạ
o v
ớ
i
đ
áy c
ủ
a hình tr
ụ
m
ộ
t góc 45
0
. Tính di
ệ
n tích xung quanh và th
ể
tích c
ủ
a
hình tr
ụ

đ
ó.
Bài 21:
Cho t
ứ

di
ệ
n ABCD. L
ấ
y M b
ấ
t k
ỳ
n
ằ
m trong m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABD). Các m
ặ
t ph
ẳ
ng qua M l
ầ
n l
ượ
t
song song v
ớ
i các m
ặ
t ph
ẳ
ng (BCD); (CDA); (ABC) l

ầ
n l
ượ
t c
ắ
t các c
ạ
nh CA, CB, CD t
ạ
i A', B', C'. Xác
đị
nh v
ị
trí
đ
i
ể
m M
để
bi
ể
u th
ứ
c sau
đạ
t giá tr
ị
l
ớ
n nh

ấ
t:
1 1 1
CMAB CMBD CMAD
P
V V V
= + +
Bài 22:
Cho hình chóp tam giác
đề
u S.ABC có
đườ
ng cao SO = 1 và
đ
áy ABC có các c
ạ
nh b
ằ
ng
2 6
.
Đ
i
ể
m M, N là trung
đ
i
ể
m c
ủ

a c
ạ
nh AC, AB t
ươ
ng
ứ
ng. Tính th
ể
tích hình chóp S.AMN và bán kính hình c
ầ
u
n
ộ
i ti
ế
p hình chóp
đ
ó.
Bài 23:
Cho hình chóp S.ABC có
đ
áy ABCD là hình ch
ữ
nh
ậ
t v
ớ
i:AB = 2a, BC = a. Các c
ạ
nh bên c

ủ
a
hình chóp b
ằ
ng nhau và b
ằ
ng
2
a
.
a) Tính th
ể
tích c
ủ
a hình chóp S.ABCD.
b) G
ọ
i M, N, E, F l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a các c
ạ
nh AB, CD, SC, SD. Ch

ứ
ng minh r
ằ
ng SN vuông
góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (MEF).
c) Tính kho
ả
ng cách t
ừ
A
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (SCD).
Bài 24:
Cho t
ứ
di
ệ
n O.ABC có c
ạ
nh OA, OB, OC

đ
ôi m
ộ
t vuông góc v
ớ
i nhau và OA = OB = OC = a.
Kí hi
ệ
u K, M, N l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a các c
ạ
nh AB, BC, CA. G
ọ
i E là
đ
i
ể
m
đố
i x
ứ

ng c
ủ
a O qua K và I
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a CE v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (OMN).
a) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng: CE vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (OMN).
b) Tính di
ệ
n tích c

ủ
a t
ứ
giác OMIN theo a.
Bài 25:
Cho tam giác
đề
u ABC c
ạ
nh a. G
ọ
i D là
đ
i
ể
m
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i A qua BC. Trên
đườ
ng th
ẳ
ng
vuông góc v
ớ
i m
ặ

t ph
ẳ
ng (ABC) t
ạ
i D l
ấ
y
đ
i
ể
m S sao cho SD =
6
a
. Ch
ứ
ng minh mp(SAB) vuông góc v
ớ
i
mp(SAC).
Bài 26:
Cho hình h
ộ
p ch
ữ
nh
ậ
t ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = 2a, AA' = a :
Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Email:

7
1. Tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng AD' và B'C'.
2. G
ọ
i M là
đ
i
ể
m chia
đ
o
ạ
n AD theo t
ỉ
s
ố
AM/MD=3. Hãy tính kho
ả
ng cách t
ừ

đ

i
ể
m M
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng
(AB'C).
3. Tính th
ể
tích t
ứ
di
ệ
n A.B'D'C'.
Bài 27:
Cho hình l
ă
ng tr
ụ

đứ
ng ABC.A
1
B
1
C
1

có
đ
áy ABC là tam giác
đề
u c
ạ
nh a , AA
1
= a. Tính cosin
c
ủ
a góc gi
ữ
a 2 m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC
1
) và (BCA
1
).
Bài 28:
Cho hình chóp SABC có
đ
áy ABC là tam giác vuông cân v
ớ
i BA = BC = a , SA = a và vuông
góc v
ớ

i
đ
áy. G
ọ
i M, N là trung
đ
i
ể
m AB và AC.
a) Tính cosin góc gi
ữ
a 2 m
ặ
t ph
ẳ
ng (SAC) và (SBC) .
b) Tính cosin góc gi
ữ
a 2 m
ặ
t ph
ẳ
ng (SMN) và (SBC) .
Bài 29:
Cho hình thoi ABCD có tâm O , c
ạ
nh a và AC = a . T
ừ
trung
đ

i
ể
m H c
ủ
a c
ạ
nh AB d
ự
ng SH
vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) v
ớ
i SH = a .
a) Tính kho
ả
ng cách t
ừ
O
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (SCD).
b) Tính kho

ả
ng cách t
ừ
A
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (SBC).
Bài 30
: Cho hình l
ă
ng tr
ụ
t
ứ
giác
đề
u ABCD.A'B'C'D', có chi
ề
u cao a và c
ạ
nh
đ
áy 2a. V
ớ
i M là m
ộ
t

đ
i
ể
m trên c
ạ
nh AB. Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a góc A'MC'
Bài 31:
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình bình hành v
ớ
i AB = a ; AD = 2a . Tam giác
SAB vuông cân t
ạ
i A. M
đ
i
ể
m trên c
ạ
nh AD ( M khác A và B ). M
ặ

t ph
ẳ
ng (
α
) qua M và song song v
ớ
i m
ặ
t
ph
ẳ
ng (SAB) c
ắ
t BC ; SC ; SD l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i N; P; Q .
a) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng MNPQ là hình thang vuông .
b)
Đặ
t AM = x . Tính di
ệ
n tích hình thang MNPQ theo a ; x

Bài 32:
Cho t
ứ
di
ệ
n
đề
u ABCD c
ạ
nh a. G
ọ
i O là tâm
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p
∆
BCD .
a) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng AO vuông góc v
ớ
i CD.
b) G
ọ
i M là trung

đ
i
ể
m CD. Tính cosin góc gi
ữ
a AC và BM.
Bài 33:
Cho hình l
ă
ng tr
ụ

đứ
ng ABC.A
1
B
1
C
1
,
đ
áy là tam giác
đề
u c
ạ
nh a. C
ạ
nh AA
1
=

2
a
. G
ọ
i M, N
l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m AB và A
1
C
1
.
Xác
đị
nh thi
ế
t di
ệ
n c
ủ
a l
ă
ng tr
ụ

v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng P qua MN và vuông góc v
ớ
i MP (BCC
1
B
1
). Thi
ế
t di
ệ
n
là hình gì. Tính di
ệ
n tích thi
ế
t di
ệ
n.

Bài 34:
Cho hình chóp t
ứ
giác
đề

u S.ABCD có c
ạ
nh
đ
áy b
ằ
ng a, tâm O . G
ọ
i M; N l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m SA và BC. Bi
ế
t góc gi
ữ
a MN và m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) là 60
0
.
a) Tính
độ
dài

đ
o
ạ
n MN.
b) Tính cosin c
ủ
a góc gi
ữ
a MN và m
ặ
t ph
ẳ
ng (SBD).
Bài 35:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) , cho m
ộ
t hình vuông ABCD có c
ạ
nh b
ằ
ng a. S là m
ộ
t
đ
i
ể

m b
ấ
t kì n
ằ
m
trên
đườ
ng th
ẳ
ng At vgóc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) t
ạ
i A. Tính theo a th
ể
tích hình c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p chóp S.ABCD khi
SA = 2a.
Bài 36:
Cho hình l
ậ

p ph
ươ
ng ABCD.A'B'C'D' v
ớ
i c
ạ
nh b
ằ
ng a.
1. Hãy tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng AA' và BD'.
2. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
đườ
ng chéo BD' vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ

ng (DA'C').
Bài 37:
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy là hình vuông c
ạ
nh a. SC vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) ;
SC = 2a. Hai
đ
i
ể
m M, N l
ầ
n l
ượ
t thu
ộ
c SB và SD sao cho
= = 2
SM SN
SB SD
. M
ặ
t ph

ẳ
ng (AMN) c
ắ
t SC t
ạ
i P
.Tính th
ể
tích hình chóp S.MANP theo a
Bài 38:
Cho t
ứ
di
ệ
n O.ABC có c
ạ
nh OA, OB, OC
đ
ôi m
ộ
t vuông góc v
ớ
i nhau và OA = OB = OC = a.
Kí hi
ệ
u K, M, N l
ầ
n l
ượ
t là trung

đ
i
ể
m c
ủ
a các c
ạ
nh AB, BC, CA. G
ọ
i E là
đ
i
ể
m
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a O qua K và I
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a CE v
ớ
i m
ặ

t ph
ẳ
ng (OMN).
1. Ch
ứ
ng minh CE vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng ( OMN).
2. Tính di
ệ
n tích c
ủ
a t
ứ
giác O.MIN theo a.
Bài 39:
Cho hình l
ă
ng tr
ụ

đứ
ng ABCD.A'B'C'D' có
đ
áy ABCD là m
ộ

t hình thoi c
ạ
nh a, góc BAD =
60
0
. G
ọ
i M là trung
đ
i
ể
m c
ạ
nh AA' và N là trung
đ
i
ể
m c
ạ
nh CC'. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng b
ố
n
đ
i
ể
m B', M, D, N

cùng thu
ộ
c m
ộ
t m
ặ
t ph
ẳ
ng. Hãy tính
độ
dài c
ạ
nh AA' theo a
để
t
ứ
giác B'MDN là hình vuông .
Bài 40:
Cho hình chóp S.ABCD có SA
⊥
(ABC), tam giác ABC vuông t
ạ
i B, SA = SB = a, BC = 2a.
G
ọ
i M và N l
ầ
n l
ượ
t là hình chi

ế
u vuông góc c
ủ
a A trên SB và SC. Tính di
ệ
n tích c
ủ
a tam giác AMN theo a.
Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Email:

8
Bài 41:
Cho hình chóp S.ABC.
Đ
áy ABC là tam giác vuông t
ạ
i B, c
ạ
nh SA vuông góc v
ớ
i
đ
áy, góc
ACB=60
0
, BC = a, SA = a
3
. Ch
ứ

ng minh m
ặ
t ph
ẳ
ng (SAB) vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (SBC). Tính th
ể
tích
kh
ố
i t
ứ
di
ệ
n MABC.
Bài 42:
Cho hình h
ộ
p ch
ữ
nh
ậ
t ABCD.A'B'C'D' v
ớ
i AB = a, BC = b, AA' = c.

1. Tính di
ệ
n tích c
ủ
a tam giác ACD' theo a, b, c.
2. Gi
ả
s
ử
M và N l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB và BC. Hãy tính th
ể
tích c
ủ
a t
ứ
di
ệ
n D'DMN theo a, b,
c.
Bài 43:

Cho hình l
ậ
p ph
ươ
ng ABCD.A'B'C'D' v
ớ
i c
ạ
nh b
ằ
ng a. Gi
ả
s
ử
M, N, P, Q l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a các c
ạ
nh A'D', D'C', C'C, AA'.
1. Ch
ứ
ng minh r

ằ
ng b
ố
n
đ
i
ể
m M, N, P, Q cùng n
ằ
m trên m
ộ
t m
ặ
t ph
ẳ
ng. Tính chu vi c
ủ
a t
ứ
giác
MNPQ theo a.
2. Tính di
ệ
n tích c
ủ
a t
ứ
giác MNPQ theo a.
Bài 44:
Cho hình nón

đỉ
nh S,
đ
áy là
đườ
ng tròn C bán kính a, chi
ề
u cao
3
=
4
h a
; và cho hình chóp
đỉ
nh S,
đ
áy là m
ộ
t
đ
a giác l
ồ
i ngo
ạ
i ti
ế
p C.
1. Tính bán kính m
ặ
t c

ầ
u n
ộ
i ti
ế
p hình chóp ( m
ặ
t c
ầ
u
ở
bên trong hình chóp, ti
ế
p xúc v
ớ
i
đ
áy và v
ớ
i
các m
ặ
t bên c
ủ
a hình chóp ).
2. Bi
ế
t th
ể
tích kh

ố
i chóp b
ằ
ng 4 l
ầ
n th
ể
tích kh
ố
i nón, hãy tính di
ệ
n tích toàn ph
ầ
n c
ủ
a hình chóp.
Bài 45:
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình ch
ữ
nh
ậ
t.
L
ấ
y M, N l
ầ
n l
ượ

t trên các c
ạ
nh SB, SD sao cho
= = 2
SM SN
BM DN
.
1. M
ặ
t ph
ẳ
ng (AMN) c
ắ
t c
ạ
nh SC t
ạ
i P. Tính t
ỷ
s
ố

SP
CP
.
2. Tính th
ể
tích hình chóp S.AMPN theo th
ể
tích V c

ủ
a hình chóp S.ABCD.
Bài 46:
Cho t
ứ
di
ệ
n OABC có OA = OB = OC = a và góc AOB = góc AOC = 60
0
, góc BOC = 90
0
.
Tính
độ
dài các c
ạ
nh còn l
ạ
i c
ủ
a t
ứ
di
ệ
n và ch
ứ
ng minh r
ằ
ng tam giác ABC vuông.
Bài 47:

Cho hình chóp S.ABC.
Đ
áy ABC là tam giác vuông t
ạ
i B, c
ạ
nh SA vuông góc v
ớ
i
đ
áy, góc
ACB=60
0
, BC = a, SA =
3
a
. G
ọ
i M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a SB. Ch
ứ
ng minh m
ặ
t ph
ẳ

ng (SAB) vuông góc v
ớ
i
m
ặ
t ph
ẳ
ng (SBC). Tính th
ể
tích kh
ố
i t
ứ
di
ệ
n MABC.
Bài 48:
Cho hình chóp tam giác S.ABCD có
đ
áy là tam giác cân v
ớ
i AB = AC = a, góc BAC =
α
và ba
c
ạ
nh bên nghiêng
đề
u trên
đ

áy m
ộ
t góc nh
ọ
n
β
. Hãy tính th
ể
tích hình chóp
đ
ã cho theo a ,
α
,
β
.
Bài 49:
Cho hình h
ộ
p
đứ
ng ABCD.A'B'C'D' có
đ
áy là hình vuông ABCD c
ạ
nh bên AA' = h. Tính th
ể

tích t
ứ
di

ệ
n BDD'C'.
Bài 50:
Cho hình chóp S.ABC có
(ABC)
SA
⊥
, tam giác ABC vuông t
ạ
i B, SA = AB = a , BC = 2a.
G
ọ
i M , N l
ầ
n l
ượ
t là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a A trên SB và SC. Tính di
ệ
n tích c
ủ
a tam giác AMN theo a.
Bài 51
: Cho t
ứ
di
ệ

n ABCD có AB = CD = a ; AC = BD = b và AD = BC =c ( a, b , c > 0). Xác
đị
nh
tâm và tính bán kính m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p theo a, b, c.
Bài 52
: Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy là hình vuông c
ạ
nh a. SC vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD);
SC=2a. Hai
đ
i
ể
m M, N l
ầ

n l
ượ
t thu
ộ
c SB và SD sao cho
= = 2
SM SN
MB ND
. M
ặ
t ph
ẳ
ng (AMN) c
ắ
t SC t
ạ
i P
.Tính th
ể
tích hình chóp S.MANP theo a
Bài 53:
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình bình hành. Bi
ế
t r
ằ
ng góc nh
ọ
n t

ạ
o b
ở
i hai
đườ
ng
chéo AC và BD là 60
0
, các tam giác SAC và SBD
đề
u có c
ạ
nh b
ằ
ng a. Tính th
ể
tích hình chóp theo a.
Bài 54:
Tính th
ể
tích c
ủ
a kh
ố
i nón tròn xoay bi
ế
t kho
ả
ng cách t
ừ

tâm c
ủ
a
đ
áy
đế
n
đườ
ng sinh b
ằ
ng
3

và thi
ế
t di
ệ
n qua tr
ụ
c là m
ộ
t tam giác
đề
u.

Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Email:

9
C. MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Bài 1.(A - 2002)
Cho hình chóp tam giác
đề
u S.ABC có
đỉ
nh S,
độ
dài c
ạ
nh
đ
áy b
ằ
ng a. G
ọ
i M, N l
ầ
n
l
ượ
t là các trung
đ
i

ể
m c
ủ
a SB, SC. Tính theo a di
ệ
n tích tam giác AMN, bi
ế
t r
ằ
ng (AMN) vuông góc v
ớ
i
mp(SBC).
Bài 2. (B - 2002)
Cho hình l
ậ
p ph
ươ
ng ABCD.A'B'C'D' có c
ạ
nh b
ằ
ng a.
a) Tính theo a kho
ả
ng cách gi
ữ
a A'B và B'D
b) G
ọ

i M, N, P l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a A'B, CD, A'D'. Tính góc gi
ữ
a MP và C'N.
Bài 3. (D - 2002)
Cho hình t
ứ
di
ệ
n ABCD có c
ạ
nh AD vuông góc v
ớ
i mp(ABC); AC = AD = 4, AB =
3; BC = 5. Tính kho
ả
ng cách t
ừ
A
đế
n mp(BCD).

Bài 4. (B - 2003)
Cho hình l
ă
ng tr
ụ

đứ
ng ABCD.A'B'C'D' có
đ
áy ABCD là m
ộ
t hình thoi c
ạ
nh a, góc
BAD = 60
0
. G
ọ
i M, N l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AA' và CC'. Ch
ứ

ng minh r
ằ
ng 4
đ
i
ể
m B', M, D, N
đồ
ng
ph
ẳ
ng. Hãy tính
độ
dài c
ạ
nh AA' theo a
để
t
ứ
giác B'MDN là hình vuông.
Bài 5. (D - 2003)
Cho hai mp (P) và (Q) vuông góc v
ớ
i nhau, có giao tuy
ế
n là d. Trên d l
ấ
y hai
đ
i

ể
m A,
B v
ớ
i AB = a. Trong mp (P) l
ấ
y
đ
i
ể
m C, trong mp (Q) l
ấ
y
đ
i
ể
m D sao cho AC, BD cùng vuông góc v
ớ
i d và
AC = BD = AB. Tính bán kính m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p t
ứ
di

ệ
n ABCD và tính kho
ả
ng cách t
ừ
A
đế
n mp (BCD)
theo a.
Bài 6. (A - 2003)
Cho hình l
ậ
p ph
ươ
ng ABCD.A'B'C'D'. Tính s
ố

đ
o góc ph
ẳ
ng nh
ị
di
ệ
n [B,A'C,D]
Bai 7. (B - 2004)
Cho hình chóp t
ứ
giác
đề

u S.ABCD có c
ạ
nh
đ
áy b
ằ
ng a, góc gi
ữ
a c
ạ
nh bên và
đ
áy
b
ằ
ng
ϕ
. Tính tang c
ủ
a góc gi
ữ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (SAB) và (ABCD) theo
ϕ
. Tính th
ể
tích kh

ố
i chóp S.ABCD
theo a và
ϕ
.
Bài 8. (A-2006)
Cho hình tr
ụ
có các
đ
áy là hai hình tròn (O) và (Ó), bán kính
đ
áy b
ằ
ng chi
ề
u cao và
b
ằ
ng a. Trên
đườ
ng tròn (O) l
ấ
y
đ
i
ể
m A, trên
đườ
ng tròn (O’) l

ấ
y
đ
i
ể
m B sao cho AB = 2a. Tính th
ể
tích c
ủ
a
kh
ố
i t
ứ
di
ệ
n OO’AB.
Bài 9. (B-2006)
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình ch
ữ
nh
ậ
t v
ớ
i AB = a, AD =
2
a
, SA =

a và vuông góc v
ớ
i
đ
áy. G
ọ
i M, N l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB và SC; I là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a BM và AC.
Ch
ứ
ng minh m
ặ
t ph
ẳ
ng (SAC) vuông góc v

ớ
p mp(SMB). Tính th
ể
tích kh
ố
i t
ứ
di
ệ
n ANIB.
Bài 10. (A-2009)
Cho hình chóp S.ABCD
đ
áy ABCD là hình thang vuông t
ạ
i A và D, AB = AD = 2a,
CD = a; góc gi
ữ
a (SCB) và (ABCD) b
ằ
ng 60
0
. G
ọ
i I là trung
đ
i
ể
m c
ủ

a c
ạ
nh AD. Bi
ế
t hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (SBI) và
(SCI) cùng vuông góc v
ớ
i mp(ABCD). Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.ABCD theo a.
Bài 11. (B-2009)
Cho hình l
ă
ng tr
ụ
tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc gi
ữ
a
đườ
ng th
ẳ
ng BB’ và
mp(ABC) b
ằ

ng 60
0
; tam giác ABC vuông t
ạ
i C và góc BAC = 60
0
. Hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a B’ lên
mp(ABC) trùng v
ớ
i tr
ọ
ng tâm tam giác ABC. Tính th
ể
tích kh
ố
i t
ứ
di
ệ
n A’.ABC theo a
Bài 12. (D-2009)
Cho hình l
ă
ng tr
ụ

đứ
ng ABC.A’B’C’ có
đ
áy ABC là tam giác vuông t
ạ
i B, AB = a,
AA’ = 2a, A’C = 3a. G
ọ
i M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a A’C’, I là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a AM và A’C. Tính theo a th
ể
tích kh
ố
i
t
ứ
di
ệ
n IABC và kho

ả
ng cách t
ừ
A
đế
n mp(IBC).
Bài 13. (A-2010)
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy là hình vuông c
ạ
nh a. G
ọ
i M và N l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB và AD; H là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a CN và DM. Bi

ế
t SH vuông góc v
ớ
i (ABCD) và SH =
3
a
. Tính
th
ể
tích kh
ố
i chóp S.CDNM và tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng DM và SC theo a.
Bài 14. (B-2010)
Cho hình l
ă
ng tr
ụ
tam giác
đề
u ABC.A’B’C’ có AB = a, góc gi
ữ
a hai mp(A’BC) và

(ABC) b
ằ
ng 60
0
. G
ọ
i G là tr
ọ
ng tâm tam giác A’BC. Tính th
ể
tích kh
ố
i l
ă
ng tr
ụ

đ
ã cho và tính bán kính m
ặ
t
c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p t
ứ
di

ệ
n GABC theo a.
Bài 15. (D-2010)
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy là hình vuông c
ạ
nh a, SA = a; hình chi
ế
u vuông góc
c
ủ
a
đỉ
nh S trên mp(ABCD) là
đ
i
ể
m H thu
ộ
c
đ
o
ạ
n AC,
4
AC
AH =
. G
ọ

i CM là
đườ
ng cao c
ủ
a tam giác SAC.
Ch
ứ
ng minh M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a SA và tính th
ể
tích kh
ố
i t
ứ
di
ệ
n SMBC theo a.