Tính toán ngẫu nhiên trong tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRỊNH THU TRANG

TÍNH TỐN NGẪU NHIÊN
TRONG TÀI CHÍNH
Chun ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán
Mã số: 60460106

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG

HÀ NỘI- 2014


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết
ơn sâu sắc tới GS TSKH Đặng Hùng Thắng người thầy đã tận tình hướng
dẫn để tơi có thể hồn thành luận văn này.
Tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể các thầy cơ giáo
trong khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc
Gia Hà Nội, và các thầy giảng dạy cao học ngành Tốn học đã dạy bảo tơi
tận tình trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới bạn bè
những người đã luôn bên cạnh cổ vũ, động viên và giúp đỡ.
Đặc biệt cho tôi gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình những người
ln chăm lo, động viên và cổ vũ tinh thần cho tôi.
Hà Nội,ngày 20 tháng 12 năm 2014

Học viên

Trịnh Thu Trang


Mục lục
Mở đầu

5

1 Cơ sở của tính tốn ngẫu nhiên

7

1.1

7

1.1.1

Chuyển động Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2

Biến phân và biến phân bậc hai . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3

Chuyển động Brown nhiều chiều . . . . . . . . . . . .

10

1.1.4

Biến phân chéo của chuyển động Brown . . . . . . . .

11

1.1.5

Nhận diện chuyển động Brown . . . . . . . . . . . . .

12

1.1.6
1.2

Chuyển động Brown và các tính chất . . . . . . . . . . . . . .

Nguyên lý phản xạ cho chuyển động Brown . . . . . .

15

Tích phân Itô, công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.2.1

Xây dựng tích phân Itơ . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.2.2

Tích phân Itơ của hàm ngẫu nhiên bậc thang . . . . .

19

1.2.3

Một số tính chất về tích phân Itơ của hàm ngẫu nhiên
bậc thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.2.4

Tích phân Itơ của hàm ngẫu nhiên . . . . . . . . . . .

21

1.2.5

Tính chất về tích phân Itơ của hàm ngẫu nhiên . . . .

21

1.2.6

Biến phân bậc hai của tích phân Itô . . . . . . . . . .

22

1.2.7

Công thức Itô hàm ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . .

22

2


1.2.8

Giá trị trung bình và phương sai của quá trình CoxIngersoll-Ross . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Công thức Itô nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.3.1

Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . .

27

1.3.2

Tính chất Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.3.3

Mật độ chuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.3.4

Phương trình lùi Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . .

30

1.3.5

Liên hệ giữa tính tốn ngẫu nhiên và phương trình lùi

1.2.9

1.3

Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1.3.6

Định lý Girsanov và độ đo trung hòa rủi ro . . . . . .

32

1.3.7

Biểu diễn Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

1.3.8

Định lý biểu diễn Martingale nhiều chiều . . . . . . .

39

2 Tính tốn ngẫu nhiên trong một số mơ hình tài chính
2.1
2.2

Mơ hình Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

. . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.2.1

Mơ hình thị trường d-chiều . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.2.2

Mơ hình thị trường hai chiều . . . . . . . . . . . . . .

48

2.3

Quyền mua kiểu châu Âu up and out . . . . . . . . . . . . . .

53

2.4

Quyền chọn kiểu châu Á . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

2.4.1

Định lý Feynman-Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

2.4.2

Xây dựng bảo hộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

2.4.3

Tiền chi trả bình quân cho quyền chọn Châu Á . . . .

63

Lý thuyết độ chênh thị giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

2.5.1

Mơ hình nhị thức, phương án đầu tư có bảo hộ . . . .

64

2.5.2

Thiết lập mơ hình liên tục . . . . . . . . . . . . . . . .

67

2.5.3

Định giá trung hòa rủi ro và bảo hộ . . . . . . . . . .

69

2.5.4

Thực hiện định giá trung hòa rủi ro và bảo hộ . . . .

72

2.5

Mơ hình thị trường nhiều chiều

41

3


2.6

Quyền chọn ngoài rào cản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

2.6.1

Tính tốn các giá trị của quyền chọn . . . . . . . . . .

76

2.6.2

Các phương trình vi phân ngẫu nhiên cho quyền chọn
ngoài rảo cản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.3

78

Bảo hộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

Kết luận

82

4


Mở đầu
Tốn tài chính là một ngành tốn học ứng dụng nghiên cứu thị
trường tài chính. Tốn tài chính đi nghiên cứu các thành phần, đặc điểm,

cấu trúc của thị trường tài chính, nhằm xây dưng các mơ hình tốn học và
ứng dụng chúng và việc tính tốn trong thị trường tài chính thực. Đây cũng
là một lĩnh vực cịn khá mới ở Việt Nam.
Nội dung của luận văn này sẽ đi trình bày về một số lý thuyết của giải
tích ngẫu nhiên và ứng dụng của nó vào lĩnh vực tài chính. Luận văn được
chia làm hai chương:
Chương 1: Cơ sở của tính tốn ngẫu nhiên
Chương 2: Tính tốn ngẫu nhiên trong một số mơ hình tài chính
Trong chương 1, là các kiến thức cơ bản về giải tích ngẫu nhiên nhằm
chuẩn bị cho luận văn. Ở đây, tôi đi trình bày về chuyển động Brown, tích
phân Ito, phương trình vi phân ngẫu nhiên, tính chất Markov, phương trình
lùi Kolmogorov, định lý Girsanov, độ đo trung hòa rủi ro, lý thuyết biểu diễn
martingale.
Trong chương 2, tơi đi trình bày về các ứng dụng của giải tích ngẫu
nhiên vào tài chính, cụ thể ở đây là mơ hình Black-Sholes, mơ hình thị trường
hai chiều, quyền chọn châu Âu up and out, quyền chọn kiểu châu Á, lý thuyết
độ chênh thị giá, quyền chọn ngồi rào cản
Tuy đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không thể tránh được những
5


thiếu sót. Tơi rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của thầy cơ và bạn
đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.

6


Chương 1

Cơ sở của tính tốn ngẫu

nhiên
1.1

Chuyển động Brown và các tính chất

1.1.1

Chuyển động Brown

Định nghĩa 1.1.1. Cho (Ω, F, P) là khơng gian xác suất, q trình ngẫu
nhiên B (t, w) : [0, ∞) × Ω → R thỏa mãn các điều kiện sau:
i) B (0) = 0, tức là P{ω : B (0, ω) = 0} = 1,
ii) B (t) là một hàm liên tục theo t,
iii) Nếu
0 = t0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tn ,
Y1 = B (t1 ) − B (t0 ), . . . , Yn = B (tn ) − B (tn−1 ),
thì các gia số Y1 , Y2 , . . . , Yn là các biến ngẫu nhiên độc lập, có phân
phối chuẩn Yj ∼ N (0, tj − tj−1 ) ∀j
7


1.1.2

Biến phân và biến phân bậc hai

Biến phân bậc hai là một thước đo cho sự biến động. Đầu tiên ta sẽ xem
xét về biến phân (hay biến phân bậc nhất), F V (f ) của một hàm f (t).

Hình 1.1: Hàm f (t)
Đối với hàm f (t) trong hình trên, biến phân trong khoảng [0, T ] được cho

bởi:
F V[0,T ] (f )

=

[f (t1 ) − f (0)] − [f (t2 ) − f (t1 )] + [f (T ) − f (t2 )]
t1

=

t2

f (t)dt +
0

T

(−f (t))dt +
t1

f (t)dt.
t2

T

|f (t)|dt.

=
0

Như vậy biến phân đo tổng lượng biến động lên và xuống của một quỹ đạo
chuyển động. Định nghĩa chung về biến phân như sau:
Định nghĩa 1.1.2. Cho phân hoạch π = {t0 , t1 , ...tn } của đoạn [0, T ], sao
cho:
0 = t0 ≤ t1 ≤ . . . ≤ tn = T
||π|| =

max

(tk+1 − tk )

k=0,...,n−1

8


Biến phân của một hàm f trên đoạn [0, T ] xác định bởi:
n−1

|f (tk+1 ) − f (tk )|.

F V[0,T ] (f ) = lim

||π||→0

k=0

Giả sử f khả vi. Định lý giá trị trung bình ở đây nghĩa là trong mỗi đoạn
con [tk , tk+1 ] có một điểm t∗ để mà
k

f (tk+1 ) − f (tk ) = f (t∗ )(tk+1 − tk ).
k
Nên

n−1

n−1

|f (t∗ )| (tk+1 − tk ),
k

|f (tk+1 ) − f (tk )| =
k=0

k=0

và
n−1

F V[0,T ] (f )

=

f (t∗ ) (tk+1 − tk )
k

lim

||π||→0

k=0

T

=

f (t) dt.
0

Định nghĩa 1.1.3. (Biến phân bậc hai) Biến phân bậc hai của hàm f
trên đoạn [0, T ] xác định bởi công thức:
n−1

|f (tk+1 ) − f (tk )|2 .

f (T ) = lim

||π||→0

k=0

Nhận xét. Nếu f là hàm khả vi thì f (T ) = 0 bởi vì:
n−1

n−1
2

|f (tk+1 ) − f (tk )|

2

|f (t∗ )| (tk+1 − tk )2
k

=

k=0

k=0
n−1

≤

2

|f (t∗ )| (tk+1 − tk ).
k

π
k=0

và
n−1

f (T ) ≤

lim

π →0

π →0
T

=
=

lim

π →0

2

|f (t∗ )| (tk+1 − tk )
k

π . lim

k=0
2

|f (t)| dt

π
0

0.
9


Định lý 1.1.1. B (t) (T ) = T hay chính xác hơn

P {w ∈ Ω, B (., w) (T ) = T } = 1.
Đặc biệt, những quỹ đạo của chuyển động Brown là không khả vi.
Nhận xét (Biểu diễn vi phân): Ta biết rằng
E (B (tk+1 ) − B (tk ))2 − (tk+1 − tk ) = 0.
Từ trên ta thấy,
V ar (B (tk+1 ) − B (tk ))2 − (tk+1 − tk ) = 2(tk+1 − tk )2 .
Khi hiệu (tk+1 − tk ) nhỏ thì (tk+1 − tk )2 là rất nhỏ, vì thế ta có thể lấy xấp
xỉ bằng
(B (tk+1 ) − B (tk ))2

tk+1 − tk ,

hay dB (t)dB (t) = dt.

1.1.3

Chuyển động Brown nhiều chiều

Định nghĩa 1.1.4. Một chuyển động Brown-d chiều là một quá trình
B (t) = (B1 (t), B2 (t) . . . Bd (t))
thỏa mãn các tính chất sau:
i) Mỗi Bk (t) là chuyển động Brown một chiều;
ii) Nếu i = j thì hai quá trình Bi (t) và Bj (t) là độc lập.
Kết hợp với một chuyển động Brown-d chiều chúng ta có một bộ lọc
{F(t)} cho như sau:
i) Với mỗi t, vectơ ngẫu nhiên B (t) là F(t)-đo được;

10

ii) Với mỗi t ≤ t1 ≤ . . . ≤ tn , các gia số
B (t1 ) − B (t), . . . , B (tn ) − B (tn−1 )
là độc lập đối với bộ lọc F(t).

1.1.4

Biến phân chéo của chuyển động Brown

Vì mỗi thành phần Bi là một chuyển động Brown một chiều, nên ta có
dạng thức sau
dBi (t)dBi (t) = dt.
Định lý 1.1.2. Nếu i = j thì dBi (t)dBj (t) = 0
Chứng minh. Lấy π = t0 , . . . tn là một phân hoạch của [0, T ]. Với mỗi i = j
ta định nghĩa biến phân chéo của Bi và Bj trên đoạn [0, T ] là:
n−1

Bi (tk+1 − Bi (tk ) Bj (tk+1 ) − Bj (tk ) .

Cπ =
k=0

Các gia số xuất hiện bên vế phải của phương trình trên là độc lập với nhau
và tất cả có giá trị trung bình bằng 0. Do đó
ECπ = 0
Ta đi tính
n−1
2
Cπ

Bi (tk+1 ) − Bi (tk )

=

2

2

Bj (tk+1 ) − Bj (tk )]

k=0
n−1

+2

Bi (tl+1 )−Bi (tl ) Bj (tl+1 )−Bj (tl ) . Bi (tk+1 )−Bi (tk ) Bj (tk+1 )−Bj (tk ) .
l
Các gia số xuất trong tổng thứ hai của vế phải độc lập với nhau và có giá trị
trung bình bằng 0.

11


Vì thế,
V ar(Cπ )

2
= ECπ
n−1
2

Bi (tk+1 ) − Bi (tk )

= E

2

Bj (tk+1 − Bj (tk ) .

k=0

Mặt khác Bi (tk+1 − Bi (tk )

2

2

và Bj (tk+1 − Bj (tk )

là độc lập và có kỳ vọng

bằng (tk+1 − tk ).
Do đó,
n−1

n−1
2

(tk+1 − tk ) ≤ π

V ar(Cπ ) =
k=0

(tk+1 − tk ) = π .T
k=0

Cho π → 0, ta có V ar(Cπ ) → 0 vì vậy Cπ hội tụ đến hằng số ECπ = 0.

1.1.5

Nhận diện chuyển động Brown

Định lý 1.1.3. (Levy) Cho B (t), 0 ≤ t ≤ T là một q trình trên khơng
gian xác suất (Ω, F, P ) thích nghi với bộ lọc F(t), 0 ≤ t ≤ T , thỏa mãn
i) Quỹ đạo của B (t) là liên tục.
ii) B là martingale.
iii) B (t) = t, 0 ≤ t ≤ T,
thì B là một chuyển động Brown.

1

2

E eu(B(t)−B(s)) F(s) = e 2 u

(t−s)

.

Xác định các biến và mối tương quan

Cho B1 và B2 là các chuyển động Brown độc lập và
dS1
S1
dS2
S2

= rdt + σ11 dB1 + σ12 dB2
= rdt + σ21 dB1 + σ22 dB2 ,
12


Xác định
σ1

=

2
2
σ11 + σ12 ,

σ2

=

2
2
σ21 + σ22 ,

ρ

=

σ11 σ21 + σ21 σ22
.
σ1 σ2

Q trình W1 và W2 cho bởi cơng thức
dW1

=

dW2

=

σ11 dB1 + σ12 dB2
σ1
σ21 dB1 + σ22 dB2
.
σ2

Thì W1 và W2 có quỹ đạo liên tục, là martingale và
dW1 dW1

1
2
2 (σ11 dB1 + σ12 dB2 )
σ1
1 2
2

=
2 (σ dB1 dB1 + σ12 dB2 dB2 )
σ1 11
= dt,

=

tương tự
dW2 dW2 = dt.
Vì vậy, W1 và W2 là chuyển động Brown. Giá cổ phiếu có các biểu diễn sau
dS1
S1
dS2
S2

= rdt + σ1 dW1 ,
= rdt + σ2 dW2 .

Chuyển động Brown W1 và W2 có tương quan. Thật vậy
dW1 dW1

1
(σ11 dB1 + σ12 dB2 )(σ21 dB1 + σ22 dB2 )
σ1 σ2
1
=
(σ11 σ21 + σ12 σ22 )dt
σ1 σ2
= ρdt.
=

13


Đảo ngược q trình
Giả sử ta có
dS1
= rdt + σ1 dW1 ,
S1
dS2
= rdt + σ2 dW2 ,
S2
ở đây W1 và W2 là chuyển động Brown với hệ số tương quan ρ. Ta muốn tìm


σ11 σ12

Σ=
σ21 σ22
để
ΣΣ


σ
 11
σ21


=

=


σ12
σ
  11
σ22
σ12

σ21
σ22

2
2
σ11 + σ12



σ11 σ21 + σ12σ22


σ11 σ21 + σ12 σ22


2
σ
ρσ1 σ2
 1

2

ρσ1 σ2
σ2

=



2
σ21

+

2
σ22




Một lời giải cho phương trình này là
σ11 = σ1 ,
σ21 = ρσ2 ,

σ12 = 0,
σ22 =

1 − ρ2 σ2 .

Điều này tương ứng với
σ1 dW1

=

σ1 dB1 ⇒ dB1 = dW1 ,

σ2 dW2

=

ρσ2 dB1 + 1 − ρ2 σ2 dB2
dW2 − ρdW1
dB2 =
,
(ρ = ±1)
1 − ρ2

⇒

14


Nếu ρ = ±1, thì khơng có B2 và dW2 = ρdB1 = ρdW1 .
Tính tiếp trong trường hợp ρ = ±1 , ta có
dB1 dB1

=

dB2 dB2

=
=

=

dW1 dW1 = dt,
1
dW2 dW2 − 2ρdW1 dW2 + ρ2 dW2 dW2
2
1−ρ
1
(dt − 2ρ2 dt + ρ2 dt)
1 − ρ2
dt,

vì vậy cả B1 và B2 là chuyển động Brown.
Hơn nữa,
dB1 dB2

=
=

1
1 − ρ2
1
1 − ρ2

(dW1 dW2 − ρdW1 dW1 )
(ρdt − ρdt) = 0

Bây giờ chúng ta có thể áp dụng một mở rộng của định lý Levy để nói rằng
một chuyển động Brown nếu khơng có biến đổi chéo là độc lập, để kết luận
rằng B1 và B2 là chuyển động Brown độc lập.

1.1.6

Nguyên lý phản xạ cho chuyển động Brown

Xác định
M (T ) = max B (t).
0≤t≤T

Ta có:
P {M (T ) > m, B (T ) < b}

= P (B (T ) > 2m − b)
∞
1
x2
= √
exp {− }dx,
2T
2πT 2m−b

15

m > 0, b < m.


Vì vậy mật độ đồng thời là:
∞
x2
1

√
exp {− }dx dmdb
2T
2πT 2m−b
∂
1
(2m − b)2
√
=−
exp {−
} dmdb,
∂m
2T
2πT
2(2m − b)
(2m − b)2
√
=
exp {−
}dmdb,
2T
T 2πT

∂2
P {M (T ) ∈ dm, B (T ) ∈ db} = −
∂m∂b

vớim > 0, b < m.

Hình 1.2: Chuyển động Brown khơng có hệ số dịch chuyển

Trường hợp có hệ số dịch chuyển: Đặt
B (t) = θt + B t,
với B (t), 0 ≤ t ≤ T là một chuyển động Brown (khơng có hệ số dịch chuyển)
trên khơng gian xác suất (Ω, F, P).

16


Ta có:
Z(T )

1
= exp {−θB (T ) − θ2 T }
2
1
exp {−θ (B (T ) + θT ) + θ2 T }
2
1 2
exp {−θB (T ) + θ T },
2

=
=
P (A)

=

A ∈ F.

Z(T )dP,

A

Đặt
M (T ) = max B (T ).
0≤t≤T

Dưới độ đo P , B là chuyển động Brown (khơng có hệ số dịch chuyển), vì
P {M (T ) ∈ dm, B (T ) ∈ db} =

2(2m − b)
(2m − b)2
√
exp {−
}dmdb,
2T
T 2πT

với m > 0, b < m.
Lấy h(m, b) là một hàm hai biến. Thì
Eh(M (T ), B (T )) = E

h(M (T ), B (T ))
Z(T )

1
= E[h(M (T ), B (T )) exp {θB (T ) − θ2 T }]
2
m=∞

=

m=0

b=m

1
h(m, b) exp {θb − θ2 T }
2
b=−∞

.P {M (T ) ∈ dm, B (T ) ∈ db}.
Mặt khác:
m=∞

b=m

P {M (T ) ∈ dm, B (T ) ∈ db}.

Eh(M (T ), B (T )) =
m=0

b=−∞

Vì h tùy ý nên
1
P {M (T ) ∈ dm, B (T ) ∈ db} = exp {θb − θ2 T }P {M (T ) ∈ dm, B (T ) ∈ db}
2
1
2(2m − b)
= exp {θb − θ2 T }. √
2

T 2πT
(2m − b)2
. exp {−
}dmdb, m > 0, b < m.
2T
17


1.2
1.2.1

Tích phân Itơ, cơng thức Itơ
Xây dựng tích phân Itơ

Hàm dưới dấu tích phân là chuyển động Brown B (t), t ≥ 0 với bộ lọc
F(t), t ≥ 0 và thỏa mãn các điều kiện sau:
i) s ≤ t thì F(s) ⊂ F(t),
ii) B (t) là F(t)-đo được với mọi t,
iii) Cho 0 = t0 ≤ t1 ≤ . . . ≤ tn , thì các gia số B (t1 ) − B (t0 ), . . . , B (tn ) −
B (tn−1 ) là độc lập trong F(t).
Khi đó tích phân f (t), t ≥ 0 thỏa mãn:
i) f (t) là F(t)-đo được ∀t
ii) f là bình phương khả tích, tức là:
T

f 2 (t)dt < ∞

E

∀T.

0

Khi đó tích phân Itô xác định bởi:
t

I(t) =

f (u)dB (u),

∀t ≥ 0.

0

Nhận xét. Nếu g(t) là một hàm khả vi, thì ta có thể xác định
t

t

f (u)dg(u) =
0

f (u)g (u)du.
0

Điều này sẽ khơng cịn đúng khi tích phân là chuyển động Brown vì quỹ đạo
của chuyển động Brown khơng khả vi.

18

1.2.2

Tích phân Itơ của hàm ngẫu nhiên bậc thang

Cho π = {t0 , t1 , . . . , tn } là phân hoạch của đoạn [0, T ], tức là
0 = t0 ≤ t1 ≤ . . . ≤ tn = T.
Giả sử f (t) là không đổi trên mỗi đoạn con [tk , tk+1 ] (như hình 1.3). Ta gọi
f như vậy là hàm ngẫu nhiên bậc thang.

Hình 1.3: Hàm ngẫu nhiên bậc thang f
Cụ thể hơn
• Coi B (t) là một đơn giá cổ phiếu của tài sản tại thời điểm t.
• Các giá trị t0 , t1 , . . . , tn là ngày giao dịch đối với tài sản.
• Cịn f (tk ) là số cổ phần của tài sản được giao dịch ở thời điểm tk và
giữ cho đến giao dịch ngày tk+1 .

19


Khi đó tích phân Itơ I(t) được hiểu là lợi tức đạt được từ giao dịch tại thời
điểm t; lợi tức này là:

f (t )[B (t) − B (t )
 0
0 ≤ t ≤ t1
0







=B(0)=0



I(t) = f (t0 )[B (t1 ) − B (t0 )] + f (t1 )[B (t) − B (t1 )], t1 ≤ t ≤ t2



f (t )[B (t ) − B (t )] + f (t )[B (t ) − B (t )]
 0
1
0
1
2
1






+f (t2 )[B (t) − B (t2 )],
t2 ≤ t ≤ t 3 .
Trường hợp tổng quát, nếu tk ≤ t ≤ tk+1 ,
k−1

f (tj )[B (tj+1 ) − B (tj )] + f (tk )[B (t) − B (tk )].

I(t) =
j=0

1.2.3

Một số tính chất về tích phân Itơ của hàm ngẫu
nhiên bậc thang

Với mỗi t, I(t) là F(t)-đo được. Giả sử
t

I(t) =

t

f (u)dB (u),

J(t) =

0

g(u)dB (u)
0

thì
t

I(t) ± J(t) =

(f (u) ± g(u))dB (u),
0
t

cI(t) =

cf (u)dB (u).
0

và I(t) là một martingale.
Định lý 1.2.1. Tính chất martingale
k−1

f (tj ) [B (tj+1 ) − B (tj )] + f (tk )[B (t) − B (tk )],

I(t) =
j=0

là một martingale.
Định lý 1.2.2. Tính đẳng cự Itơ
t

f 2 (u)du.

2

EI (t) = E
0

20

tk ≤ t ≤ tk+1


1.2.4

Tích phân Itơ của hàm ngẫu nhiên

Định lý 1.2.3. Cố định T, cho δ là một hàm ngẫu nhiên, thỏa mãn:
• δ(t) là F(t)-đo được, ∀t ∈ [0, T ],
• E

T
0

δ 2 (t)dt < ∞.

Khi đó tồn tại một dãy các hàm ngẫu nhiên bậc thang {δn }∞ thỏa mãn
n=1
T
n→∞

2

|δn (t) − δ(t)| dt = 0.

lim E
0

Từ đó ta có thể định nghĩa tích phân Itơ cho hàm ngẫu nhiên như sau:

Định nghĩa 1.2.1. Tích phân Itơ cho hàm ngẫu nhiên được xác định bởi
công thức:
T

T

δ(t)dB (t) = lim

n→∞

0

Ký hiệu I(t) =

1.2.5

T
0

δn (t)dB (t).
0

δ(t)dB (t)

Tính chất về tích phân Itơ của hàm ngẫu nhiên

Cho I(t) =

T
0

δ(t)dB (t)

Tính thích nghi: Với mỗi t, I(t) là F(t)-đo được.
Tính tuyến tính: Nếu
t

I(t) =

t

δ(u)dB (u),

J(t) =

0

γ(u)dB (u).
0

thì
t

I(t) ± J(t) =

(δ(u) ± γ(u))dB (u),
0

và
t

cI(t) =

cδ(u)dB (u).
0

Tính martingale I(t) là một martingale.
Tính đẳng cự Itơ EI 2 (t) = E

t 2
δ (u)du.
0

21


1.2.6

Biến phân bậc hai của tích phân Itơ
t
0

Định lý 1.2.4. Cho I(t) =

δ(u)dB (u) thì biến phân bậc hai của tích phân

Itơ là
t

δ 2 (u)du.

I (t) =
0

Thơng thường ta có thể viết
dI(t)dI(t) = δ 2 (t)dt.
Hoặc dB (t)dB (t) = dt.

1.2.7

Công thức Itô hàm ngẫu nhiên

Hàm f (B (t)) khả vi, với B (t) là một chuyển động Brown. Khi đó biến
ngẫu nhiên Y (t) = f (B (t)) có vi phân ngẫu nhiên:
1
dY (t) = f (B (t))dB (t) + f (B (t))dt
2
Do đó tích phân Itơ của Y (t) xác định bởi:
t

f (B (t)) − f (B (0)) =

f (B (u))dB (u) +
0

t

f (B (t)) =
0

1
f (B (u))dB (u) +
2

1
2

t

f (B (u))du.
0

t

f (B (u))du do f (B (0)) = 0.
0

Xét công thức Itô cho hàm hợp.
Giả sử u(t, X(t)) là hàm hợp với các đạo hàm riêng ut , ux , uxx liên tục.
X(t) có vi phân ngẫu nhiên:
dX(t) = f (t, ω)dt + g(t, ω)dB (t),
khi đó q trình ngẫu nhiên Y (t) = u(t, X(t)) có vi phân Itô cho bởi:
dY (t) =

1
ut (t, ω)+ux (t, ω)f (t, ω)+ uxx (t, ω)g 2 (t, ω) dt+ux (t, ω)g(t, ω)dB (t).
2

22

Cơng thức có thể viết gọn:
1
dY (t) = ut (t, ω) + uxx (t, ω)g 2 (t, ω) dt + ux (t, ω)dX(t).
2
Đây là công thức vi phân Itô cho hàm hợp.
Ví dụ 1.2.1. Cho hàm ngẫu nhiên của Y (t) = W 2 (t).
Chọn X(t) = B (t), u(x) = x2 .
Khi đó f (t, ω) = 0, g(t, ω) = 1.
Vi phân Itô của dY (t) = du(t, X(t)) = dt + 2B (t)dB (t).
Ví dụ 1.2.2. (Chuyển động Brown hình học)
Chuyển động Brown hình học được cho bởi biểu thức
S(t) = S0 exp (µ2 −

σ2
)t + σB (t)
2

trong đó µ, σ > 0 là hằng số.
Đặt
u(t, x) = S0 exp (µ2 −

σ2
)t + σx
2

thì
S(t) = u(t, B (t))
Ta có
ut = (µ2 −

σ2
)u,
2

ux = σu,

uxx = σ 2 u.

Áp dụng công thức Itô, vi phân của S(t) là:
dS(t)

= du(t, B (t))
σ2
1
= (µ2 −
)udt + σ 2 udt + σudB (t)
2
2
= µS(t)dt + σS(t)dB (t).

Vì vậy vi phân Itơ của chuyển động Brown hình học là:
dS(t) = µS(t)dt + σS(t)dB (t),
23


và chuyển động Brown hình học có dạng:
t

t

σS(s)dB (s).

µS(s)ds +

S(t) = S0 +

0

0

Biến phân bậc hai của chuyển động Brown hình học
Biến phân bậc hai của chuyển động Brown hình học được xác định như
sau:
t

S(t) = S(0) +

t

µS(u)du +
0
t
0

Tích phân Riemman F (t) =

σS(u)dB (u),
0

µS(u)du có đạo hàm F (t) = µS(t) và có biến

phân bậc 2 bằng 0.
t
0

Khi đó tích phân Itơ G(t) =

σS(u)dB (u) có biến phân bậc hai
t

σ 2 S 2 (u)du.

G (t) =
0

Như vậy dS(t)dS(t) = (µS(t)dt + σS(t)dB (t))2 = σ 2 S 2 (t)dt

1.2.8

Giá trị trung bình và phương sai của q trình
Cox-Ingersoll-Ross

Mơ hình Cox-Ingersoll-Ross cho lãi xuất là:
dr(t) = a(b − cr(t))dt + σ

r(t)dB (t),

trong đó a, b, c, σ và r(0) là các hằng số dương. Lấy tích phân của phương
trình trên ta được:

t

t

(b − cr(u))du + σ

r(t) = r(0) + a
0

r(u)dB (u).
0

24