Các khái niệm nón pháp tuyến và ứng dụng

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THỊ NGỌC CHÂM


CÁC KHÁI NIỆM NÓN PHÁP TUYẾN
VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành Giải tích

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
PGS.TS. NGUYỄN QUANG HUY

HÀ NỘI – 2014

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình nghiên cứu và làm khóa luận, em xin chân thành
cảm ơn thầy Nguyễn Quang Huy đã giúp đỡ em hoàn thành khóa luận tốt
nghiệp. Bên cạnh đó em cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong
khoa Toán – Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và trang bị
cho em những kiến thức cơ bản trong học tập nghiên cứu cũng nhƣ trong
công việc sau này.
Do hạn chế về mặt thời gian và trình độ nên khóa luận khó tránh
khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận đƣợc sự chỉ bảo của thầy cô để
khóa luận hoàn thành và đạt kết quả tốt hơn.
Em xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Ngọc Châm







LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp “Các khái niệm nón pháp
tuyến và ứng dụng” là công trình nghiên cứu của bản thân. Những phần
sử dụng tài liệu tham khảo trong khóa luận đã đƣợc nêu rõ trong phần
Tài liệu tham khảo. Các số liệu, kết quả trình bày trong khóa luận là
hoàn toàn trung thực. Em hoàn toàn chịu trách nhiệm trƣớc khoa và nhà
trƣờng về sự cam đoan này.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên

Nguyễn Thị Ngọc Châm

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
CHƢƠNG 1. NÓN PHÁP TUYẾN 4
1.1. Khái niệm nón pháp tuyến và các tính chất 4
1.2. Các ví dụ 12
CHƢƠNG 2. ỨNG DỤNG 14
2.1. Định lý tách không lồi 14
2.2. Tiêu chuẩn Lipschitz cho ánh xạ đa trị 17
KẾT LUẬN 20
TÀI LIỆU THAM KHẢO 21




1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích đa trị là một hƣớng nghiên cứu tƣơng đối mới trong Toán
học, mặc dù từ những năm 30 của thế kỉ XX các nhà toán học đã thấy
cần phải nghiên cứu ánh xạ đa trị, tức là ánh xạ nhận giá trị là các tập
hợp con của một tập hợp nào đó. Sự ra đời của tạp chí quốc tế “Set-
Valued Analysis” vào năm 1993 là một mốc lớn trong quá trình phát
triển của hƣớng nghiên cứu này.
Giải tích đa trị có nhiều ứng dụng trong lý thuyết phƣơng trình vi
phân, phƣơng trình đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân và phƣơng
trình suy rộng, lý thuyết tối ƣu, lý thuyết điều khiển, tối ƣu đa mục tiêu,
khoa học quản lý và toán kinh tế. Một trong những nội dung có nhiều
ứng dụng của giải tích đa trị là lý thuyết vi phân do B. S. Mordukhovich
đề xuất.

Hàm số không trơn và tập có biên không trơn xuất hiện thƣờng
xuyên và đƣợc biết đến từ lâu ở trong toán học và các khoa học ứng
dụng. Vì lý thuyết vi phân cổ điển không còn phù hợp cho việc khảo sát
các đối tƣợng đó nên các lý thuyết vi phân suy rộng đã đƣợc xây dựng.
Từ đầu thập niên 60 đã có nhiều nỗ lực nghiên cứu nhằm xây dựng
một lý thuyết vi phân suy rộng cho các hàm xác định trên các không gian
véctơ thực và nhận giá trị trong tập các số thực suy rộng để có thể phân
tích thấu đáo các bài toán tối ƣu với dữ liệu không trơn. Kết quả bƣớc
đầu của quá trình này là lý thuyết vi phân suy rộng cho các hàm lồi. Với
những cống hiến quan trọng của R. T. Rockafellar và các nhà toán học
khác, quy hoạch lồi - dựa trên giải tích lồi - đã trở thành một phần quan
trọng và đẹp đẽ của lý thuyết tối ƣu.
2

Năm 1973, F. H. Clarke đƣa ra những khái niệm cơ bản đầu tiên
dẫn đến lý thuyết vi phân suy rộng cho hàm số Lipschitz địa phƣơng.
Đây là một bƣớc tiến quan trọng của giải tích không trơn. Lý thuyết này
bao hàm đƣợc lý thuyết vi phân cổ điển và lý thuyết vi phân suy rộng cho
hàm lồi Lipschitz địa phƣơng. Cuối thập niên 70 đầu thập niên 80, lý
thuyết vi phân suy rộng Clarke đã đƣợc R. T. Rockafellar, J. B. Hiriart -
Urruty, J. P. Aubin và một số nhà toán học khác phát triển cho các hàm
nhận giá trị thực suy rộng. Chỉ sau 10 năm (1973 - 1983), lý thuyết vi
phân suy rộng Clarke đã đạt đƣợc nhiều thành tựu quan trọng cả về mặt
lý thuyết cũng nhƣ về ứng dụng.
Trong nỗ lực để thu đƣợc các điều kiện cần cực trị của bài toán
điều khiển tối ƣu có tập ràng buộc điểm cuối đƣợc cho dƣới dạng hình
học, năm 1976 B. S. Mordukhovich đã đƣa ra định nghĩa nón pháp tuyến
và dƣới vi phân qua giới hạn. Đây là mốc đánh dấu sự ra đời của một lý
thuyết vi phân suy rộng mới: lý thuyết vi phân suy rộng Mordukhovich.
Giai đoạn 1993 - 1996, có nhiều kết quả quan trọng của lý thuyết này

đƣợc công bố. Tiêu chuẩn Mordukhovich cho tính liên tục Aubin (tính
giả Lipschitz) của các ánh xạ đa trị trở thành một công cụ hữu hiệu để
nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các phƣơng trình suy rộng. Nguyên
lý cực trị là công cụ hữu hiệu để xây dựng các quy tắc đối đạo hàm của
các ánh xạ đa trị. Ngày nay lý thuyết vi phân suy rộng Mordukhovich
vẫn tiếp tục phát triển và đóng một vai trò trung tâm trong giải tích đa trị
và biến phân.
Nón pháp tuyến qua giới hạn là một khái niệm nền tảng xây dựng
lý thuyết vi phân Mordukhovich. Từ khái niệm nón pháp tuyến ngƣời ta
đã định nghĩa các khái niệm đối đạo hàm, dƣới vi phân và chúng trở
3

thành một công cụ hữu hiệu nghiên cứu nhiều lớp bài toán trong nhiều
lĩnh vực khác nhau của toán học và thực tế. Điều này đã khơi gợi em
chọn đề tài “Các khái niệm nón pháp tuyến và ứng dụng” để tìm hiểu
về nón pháp tuyến và các ứng dụng của nó.
2. Mục tiêu nghiên cứu
- Nghiên cứu tìm hiểu về các nón pháp tuyến.
- Khảo sát một vài ứng dụng nền tảng của nón pháp tuyến thiết lập định
lý tách không lồi và kiểm tra tính giả Lipschitz của một ánh xạ đa trị.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng các phƣơng pháp nghiên cứu trong giải tích lồi, giải tích
hàm, giải tích không trơn và giải tích đa trị.
4. Giả thuyết khoa học
Nghiên cứu về các nón pháp tuyến và các tính chất của nó cung
cấp cho chúng ta một công cụ hữu ích giải một số bài toán quy hoạch
toán học và trong thực tiễn.
5. Nội dung của khóa luận
Chƣơng 1. Nón pháp tuyến
1.1. Khái niệm nón pháp tuyến và các tính chất

1.2. Các ví dụ
Chƣơng 2. Ứng dụng
2.1. Tách không lồi
2.2. Tiêu chuẩn Lipschitz cho ánh xạ đa trị
4

CHƢƠNG 1. NÓN PHÁP TUYẾN
1.1. Khái niệm nón pháp tuyến và các tính chất
Cho
*
F X X
là ánh xạ đa trị giữa không gian Banach
X
và
không gian đối ngẫu
*
X
. Giới hạn trên theo dãy theo nghĩa Painlevé –
Kuratowski đối với tôpô chuẩn của
X
và tôpô yếu
*
của
*
X
tại
x
đƣợc
xác định bởi
*

* * * * *
Limsup ( ) { , , ( ), }
w
k k k k
xx
F x x X x x x x x F x k N
(1.1)
Định nghĩa 1.1 (Nón pháp tuyến)
Cho là tập con khác rỗng trong không gian Banach
X
,
x

và
0.

(i) Tập các véctơ pháp tuyến Fréchet của tại
x
được xác định
bởi
*
*
|| ||
,
ˆ
lim sup
xx
xx
x x x
N x x X

, (1.2)
ở đó
xx
có nghĩa là
xx
và
x
. Khi
0
, ta có
0
ˆ
( ) : ( )N x N x
gọi là nón pháp tuyến Fréchet của tại
x
.
(ii) Nón pháp tuyến Mordukhovich hay nón pháp tuyến qua giới hạn của
tại
x
là tập
0
ˆ
Lim sup ( )
xx
N x N x
(1.3)
hay
*
* * * * *
ˆ

( ) { 0, , , ( ) },
w
k k k k k
k
N x x X x x x x x N x k

5

ở đó có thể đặt
0
khi là tập đóng trong lân cận của
x
và
X
là
không gian Asplund.
Bổ đề 1.1. (Tích Đề các)
Lấy tùy ý điểm
1 2 1 2 1 2
( , )x x x X X
. Khi đó
12
ˆ
()Nx
1 1 2 2
ˆˆ
N x N x
. (1.4)
12
()Nx

1 1 2 2
N x N x
. (1.5)
Chứng minh.
Do
ˆ
Nx
và
Nx
không phụ thuộc vào việc chọn chuẩn
trên
1
X
và
2
X
, nên ta có thể cố định một chuẩn trong các chuẩn tƣơng
đƣơng của các không gian đó. Trong không gian tích
21
XX 
ta chọn
chuẩn
1 2 1 2
( , ) : .x x x x x

Lấy tùy ý
0

và
12

( , )x x x
với
12
:
, ta khẳng định
rằng
1 1 2 2
ˆˆ
()N x N x
2
ˆ
;Nx
2 1 1 2 2 2
ˆˆ
()N x N x
. (1.6)
Thật vậy, lấy tùy ý
* * *
1 2 1 1 2 2
ˆˆ
( , ) ( )x x x N x N x
ta cần chứng
minh rằng
*
2
ˆ
x N x
. Do
*
1 1 1

ˆ
x N x
suy ra với mỗi
0
,
tồn tại một lân cận
1
U
của
1
x
sao cho
*
1 1 1
11
,-
-
x x x
xx
,
1 1 1
xU
.
Do đó
6

*
1 1 1 1 1 2 2
, - ( ) - -x x x x x x x
,

22
x
.
Suy ra
*
1 1 1
1 1 2 2
,-

x x x
x x x x
,
1 1 1 2 2
,x U x
. (1.7)
Tƣơng tự, do
*
2 2 2
ˆ
;x N x
nên với

đã chọn ở trên, tồn tại một lân
cận
2
U
của
2
x
sao cho

*
2 2 2
1 1 2 2
,x x x
x x x x
,
2 2 2 1 1
,x U x
. (1.8)
Suy ra với mọi
0

**
1 1 1 2 2 2
1 1 2 2
,,
22
x x x x x x
x x x x
,
1 2 1 2 1 2
( , ) ( ) ( )x x U U
.
Do đó
*
2
ˆ
;x N x
và bao hàm thức thứ nhất trong (1.6) đƣợc chứng
minh. Ta đi chứng minh bao hàm thức còn lại.

Lấy tùy ý
* * *
1 2 2
ˆ
( , ) ;x x x N x
, ta có
12
1 2 1 2
*
**
1 1 1 2 2 2
1 1 2 2
( , ) ( , )
,
lim sup
,,
lim sup 2 .
xx
x x x x
x x x
xx
x x x x x x
x x x x

Bởi chọn
11
xx
hoặc
22
xx

ta dễ dàng suy ra rằng
*
1 2 1 1
ˆ
;x N x

và
*
2 2 2 2
ˆ
;x N x
. Do đó bao hàm thức thứ hai trong (1.6) đƣợc
chứng minh.
7

Dễ dàng thấy đƣợc (1.4) và (1.5) đƣợc suy ra trực tiếp từ (1.6).
Bổ đề đã đƣợc chứng minh. 
Bổ đề 1.2. (Tập các


véctơ pháp tuyến đối với tập lồi)
Cho là tập lồi trong không gian Banach
X
. Khi đó,
ˆ
( ; )Nx
* * *
: { : , , }x X x x x x x x
(1.9)
với mỗi

0

và
x
. Trường hợp đặc biệt với
0

, ta có
ˆ
( ; )Nx
* * *
: { : , 0, }x X x x x x
(1.10)
là nón pháp tuyến trong giải tích lồi.
Chứng minh
Nếu
*
,,x x x x x x
thì
*
,
lim sup
xx
x x x
xx
,
và do đó
*
ˆ
;x N x

. Điều này có nghĩa rằng bao hàm thức
* * *
{ : , , }x X x x x x x x
ˆ
( ; )Nx

luôn đúng với mỗi tập tùy ý . Tiếp theo ta chứng minh rằng
ˆ
()Nx
* * *
{ , , }x X x x x x x x
.
Lấy tùy ý
*
ˆ
;x N x
và cố định
x
. Do tập lồi nên ta có
: ( ) , (0,1). x x x x
(1.11)
Rõ ràng
xx
khi
0

. Lấy tùy ý
0

. Ta suy ra từ Định nghĩa

1.1 rằng
8

*
,x x x
xx

với mọi

đủ nhỏ. Suy ra
*
, ( ) .x x x x x
(1.12)
Từ (1.11) và (1.12) suy ra
*
, ( ) , 0.x x x x x

Do đó
ˆ
( ; )Nx
* * *
{ , , }x X x x x x x x
.
Bổ đề đã đƣợc chứng minh. 
Định nghĩa 1.2. (Tập chính quy pháp tuyến)
Một tập
X
được gọi là chính quy (pháp tuyến) tại
x
nếu

ˆ
( ; ) ( ; ). N x N x
(1.13)
Định lý 1.1. (Tính chính quy của tập lồi địa phƣơng)
Cho một lân cận
U
của
xX
sao cho tập
U
là lồi.
Khi đó chính quy tại
x
với
( ; )Nx
* * *
{ : , 0; }.x X x x x x U
(1.14)
Chứng minh
Bao hàm thức
""
là hiển nhiên. Để chứng minh bao hàm thức
""
ta
lấy cố định
*
x
Nx
và tìm đƣợc một dãy tƣơng ứng

*
( , , )
kkk
xx
từ
Định nghĩa 1.1. Do đó
k
xU
với
k
đủ lớn. Khi đó Bổ đề 1.2 cho
chúng ta khẳng định rằng với
k
đủ lớn,
*
,
k k k k
x x x x x
,
xU
.
9

Cho qua giới hạn khi
k
trong bất đẳng thức trên ta đƣợc
*
,0x x x
,
xU

.
Định lý đã đƣợc chứng minh. 
Tiếp theo ta trình bày hai dạng biểu diễn tƣơng đƣơng của nón
pháp tuyến Mordukhovich trong không gian hữu hạn chiều
n
XR

(trong trƣờng hợp này
* n
X X R
). Do tất cả các chuẩn trong không
gian hữu hạn chiều là tƣơng đƣơng nên ta có thể chọn chuẩn Euclid
22
1

n
x x x
,
xR
.
Cho một tập không rỗng
n
R
. Khoảng cách đƣợc xác định bởi
dist( ; )x
inf
u
xu
,
xR

và hình chiếu Euclid của
x
trên
()Px
: { cl dist( )}.x x x x

Định lý 1.2. (Nón pháp tuyến trong không gian hữu hạn chiều)
Cho
n
R
tập đóng địa phương tại
x
. Khi đó các khẳng
định sau là đúng



ˆ
Lim sup ( )
xx
N x N x
; (1.15)

Lim sup[cone( ( ))]
xx
N x x P x
. (1.16)
Chứng minh
Bao hàm thức

""
trong (1.15) là hiển nhiên. Để chứng minh bao hàm
thức
""
, ta lấy tùy ý
*
x
Nx
. Từ Định nghĩa 1.1 ta suy ra rằng
có dãy
**
0, ,
k k k
x x x x
sao cho
k
x
và
*
k
x
ˆ
k
k
Nx

10

với mọi
k

N
. Lấy
* n
X X R
và tập đóng địa phƣơng tại
x
.
Với mỗi
1,2, k
, ta xét
*
,0
kk
xx
và chọn
*
( . ; )
k k k
w P x x

từ hình chiếu Euclid. Do cách chọn
k
w
ta có bất đẳng thức
22
* 2 *
.
k k k k
x x w x

và vì chuẩn là Euclid nên
22
2
* * 2 *
2 , .
k k k k k k k k k
x x w x w x x w x

Suy ra rằng với mỗi
0

ta có

2
*
2 , .
k k k k k
x w x w x
(1.17)
Sử dụng sự hội tụ của
kk
wx
khi
0
và
*
k
x
ˆ
;

k
k
Nx
ta tìm
đƣợc một dãy số dƣơng
k
theo đó mà
*
,2
k k k k k k
x w x w x

k
N
.
Điều này và (1.17) suy ra
4,
k k k k
xw

và do đó
k
wx
khi
k
. Mặt khác, đặt
**
1
: ( ),
k k k k

k
w x x w

ta có
4
k k k
xw
và
**
k
wx
khi
k
. Ta khẳng định rằng
*
k
w
ˆ
k
Nw
,
k
. Thật vậy, với mỗi
x
cố định thuộc ta có
11

22
**
* * *

0
,,
k k k k k k k
k k k k k k k k k k k
x x x x x w
x x x x x w x x x w x

* * *
2
*
,,
2,
k k k k k k k k k k k k
k k k k
x x w x w x x w x x x
w x w x w

do chuẩn đƣợc xét ở đây là chuẩn Euclid. Do đó
2
*
1
,
2
k k k
k
w x w x w
,
x

mà điều này hiển nhiên suy ra rằng

*
k
w
ˆ
k
Nw
. Vì vậy ta đạt đƣợc
biểu diễn (1.15) của nón pháp tuyến qua giới hạn.
Để chứng minh khẳng định (1.16), ta chỉ cần chứng minh
ˆ
Limsup ( ) Limsup[cone( ( ))].
x x x x
N x x P x

Trƣớc tên ta khẳng định rằng

ˆ
Limsup ( ) Limsup[cone( ( ))].
x x x x
N x x P x
,
x
. (1.18)
Lấy tùy ý
x
và
*
x
ˆ
Nx

. Đặt
k
x
*
1
: xx
k
và chọn
( ; )
kk
w P x
cho mỗi
kN
. Điều sau cùng này rõ ràng tƣơng đƣơng
với
22
2
0
, , , ,
2 , .
k k k
k k k k k k k k k k k
k k k k
x v x w
x v x w x v w v x w v w x w x v
x w v w v w v

Do đó
( ; )
kk

w P x
khi và chỉ khi
12

2
1
,
2
k k k k
x w v w v w
,
.v

Lấy
vx
và sử dụng định nghĩa của
k
x
ta có
2 2
*
11
,.
2
k k k
x w x x w x w
k

Từ bất đẳng thức sau cùng này và
*

x
ˆ
;Nx
ta suy ra rằng
*
2,
0
k
k
x w x
k x w
xw
khi
,k

và do đó
**
( ) ( )
k k k
k x w x k x w x
khi
.k

Vì vậy ta có (1.18) và suy ra bao hàm thức
""
trong (1.16) bởi việc sử
dụng giới hạn trên Painlevé – Kuratowski khi
*
xx
và sử dụng (1.15).

Ta còn phải chứng minh bao hàm thức
""
trong (1.16). Đặt
1
( ; )Px
: { ( )}.z X x P z

Điều này và định nghĩa của
ˆ
Nx
suy ra rằng
1
cone[ ( ) ]P x x
ˆ
Nx
,
x
,
và do đó suy ra bao hàm thức
""
trong (1.16) bởi việc sử dụng giới hạn
trên Painlevé – Kuratowski khi
xx
và sử dụng (1.15). Định lý
đƣợc chứng minh. 

1.2. Các ví dụ
Xác định các tập
( ; )Nx
và

ˆ
( ; )Nx
của tập đƣợc cho dƣới
đây tại điểm
x
.
13

Ví dụ 1.1.
Cho
2
1 2 1 2
{ ( , ) : 0, 0}x x x R x x
và
(0,0)x
.
2
1 2 1 2
ˆ
( ; ) ( ; ) { ( , ) : 0, 0}N x N x x x x R x x
.

Ví dụ 1.2.
Cho
22
1 1 2 2
{ ( , 0) : 0} { (0, ) : 0}x x R x x x R x

và
(0,0)x

.
2
1 2 1 2
ˆ
( ; ) { ( , ) : 0, 0}N x x x x R x x
.
ˆ
( ; ) ( ; ) 0, {0} {0} 0,N x N x
.

Ví dụ 1.3.
Cho
2 2 2
1 1 1 2 1 2 1 1
{ ( ,0) : 0 1} { ( ; ) : 0 1, }x x R x x x x R x x x x
và
(0,0)x
.
2
1 2 1 2
ˆ
( ; ) { ( , ) : 0, 0}N x x x x R x x
.
ˆ
( ; ) ( ; ) 0, {0} {0} 0,N x N x
.

14

CHNG 2. NG DNG

Trong chng ny, chỳng ta trỡnh by hai ng dng quan trng i
vi nún tip tuyn qua gii hn l nh lý tỏch khụng li v tiờu chun
Lipschitz cho mt ỏnh x a tr.
2.1. nh lý tỏch khụng li
Định ngha 2.1
C
ho
1
và
2
là các tập đóng trong
n
R
và cho
12
x
. Điểm
x
đ-ợc gọi là điểm cực trị địa ph-ơng của hệ tập hợp
12
,
nếu có lân
cận U của
x
và dãy vectơ
1
0
k
a
và

2
0
k
a
khi
0k
sao cho
1 1 2 2
( ) ( )
kk
a a U


1,2, k

(2.1)
Ta gọi các tập hợp
1
và
2
tạo thành hệ cực trị địa ph-ơng nếu
chúng có ít nhất một điểm cực trị địa ph-ơng. Một ví dụ đơn giản của hệ
cực trị sinh ra bởi cặp
{ , }x
, ở đây
x
là điểm biên của tập đóng . Ta
thấy rằng khái niệm dạng hình học trên về cực trị bao gồm cả các khái
niệm tối -u của bài toán tối -u vô h-ớng và tối -u vectơ có ràng buộc.
Chẳng hạn, giả sử

x
là nghiệm địa ph-ơng của bài toán (P)
min ( )x
với
x
,
ở đây là hàm nhận giá trị thực nửa liên tục d-ới trong lân cận của điểm
x
và là một tập đóng trong
n
R
. Khi đó, ta thấy rằng
( , ( ))xx
là một
điểm cực trị địa ph-ơng của hệ tập
12
,
trong
1n
R
với
1
epi

và
2
{ ( )}x
. Để kiểm tra nhận xét này, lấy
1
(0, )

kk
av
với
0
k
v
,
2
0
k
a
,
1,2, k
và
n
U V R
trong (2.1) ở đây
V
là
lân cận của điểm cực tiểu địa ph-ơng
x
trong (P).
15

Kết quả sau đây cho ta một điều kiện cần để
x
là điểm cực trị địa
ph-ơng của hệ tập hợp
12
,

. Mặt khác, nguyên lý cực trị này cho
phép chúng ta xây dựng các quy tắc tính toán đối với đạo hàm suy rộng
của hàm đa trị không lồi và không trơn.
Định lý 2.1 (Định lý tách không lồi)

Cho

1

và

2

là hai tập đóng trong

n
R

và

12
x

là điểm cực

trị địa ph-ơng của hệ

12
,
.

Khi đó tồn tại

* n
xR

sao cho


*
12
0 ( , ) ( ( , ))x N x N x
(2.2)
Chứng minh
Lấy
1k
a
và
2k
a
là 2 dãy vectơ thỏa mãn (2.1) với lân cận
U
của điểm
cực trị
x
. Theo ph-ơng pháp xấp xỉ khoảng cách, với mỗi
1,2, k
ta
xét dạng bài toán cực trị không điều kiện
1
2

22
2
1 1 2 2
( ) [dist ( , ) dist ( , )] .
k k k
x x a x a x x

(2.3)
Hàm
()
k
x
trong (2.3) là hàm liên tục và có tập mức bị chặn. Theo định
lý Weierstrass, (2.3) có nghiệm
k
x
với mỗi
k
. Hơn nữa, đặt
1
22
2
1 1 2 2
[dist ( , ) dist ( , )] ,
k k k k k
x a x a

ta có
1
2 2 2

2
12
( ) ( ) .
k k k k k k k
x x x x a a

Kết hợp bất đẳng thức trên với (2.1) ta suy ra
k
xx
và
0
k
khi
.k
(2.4)


16

Ta chọn xấp xỉ tốt nhất
1 1 1
( , )
k k k
w P x a
và
2 2 2
( , )
k k k
w P x a

và xét bài toán
1
2 2 2
2
1 1 2 2
min ( .
k k k k k
x x a w x a w x x

(2.5)
mà nó nhận
k
x
là nghiệm nh- trong (2.3). Do
0
k
hàm
()
k
x
ở (2.5)
là liên tục khả vi tại
k
x
. Do đó, (2.5) là bài toán cực tiểu trơn không ràng
buộc. p dụng nguyên lý điểm dừng Fermat cho (2.5), ta có
**
12
( ) 2( ) 0.
k k k k k

x x x x x
(2.6)
ở đây
*
( ) /
ik k ik ik k
x x a w
với
1,2, i
và
22
12
1
kk
xx
.
Không mất tính tổng quát, giả sử rằng tồn tại vectơ
*
1
x
và
*
2
x
sao cho
22
12
1
kk
xx

và
**
ik i
xx
khi
.k
với
1,2i
. Cho qua giới hạn (2.6)
và để ý đến (2.4) ta kết luận rằng
* * *
12
x x x
thỏa mãn (2.2).
nh lý l c s xõy dng nguyờn lý cc tr trong khụng gian hu hn
chiu.
Nhận xét 2.1. Nếu cả
1
và
2
là lồi, thì (2.2) t-ơng đ-ơng với tính chất
tách đ-ợc

*
0x

**
1 2 1 1 2 2
, , , , .x w x w w w
(2.7)

Dễ dàng thấy rằng tính chất tách đ-ợc (2.7) thỏa mãn với mọi điểm
cực trị địa ph-ơng
12
x
trong tr-ờng hợp tổng quát không lồi. Có
nghĩa là đối với tập lồi tính chất cực trị và tách đ-ợc là t-ơng đ-ơng.
Trong tr-ờng hợp đặc biệt, bất kì tập lồi đóng
1
và
2
với
12
0

và
12
ri ri 0
luôn tạo ra một hệ cực trị. Do đó, Định lý 2.1 có thể
17

đ-ợc hiểu là một sự mở rộng của định lý tách cổ điển đối với tập không
lồi.
2.2. Tiờu chun Lipschitz cho ỏnh x a tr
nh ngha 2.2. (Hm gi Lipschitz)
Cho
nm
RR
l mt hm a tr tựy ý vi th úng ti
im
( , ) gphxy

. Khi ú c gi l gi Lipschitz ti
( , ) gphxy
nu tn ti lõn cn
U
ca
x
,
V
ca
y
v
0l
sao cho
'''( ) ( ) || ||. , .x V x l x x B x x U
(2.8)
Xột hm giỏ tr ti u dng
( ) inf{ ( , ) ( )}m x x y y x
, (2.9)
ú
nm
R R R
v
n
R
m
R
.

Di vi phõn k d ca hm
m

ti
x
ký hiu
( ) mx
c nh
ngha bi

**
( ) { ( ,0) (( ), ( )) epi }.
n
m x x R x N x m x m
(2.10)
Vi mi
domxm
, xột tp
( ) { ( ) ( , ) ( )}.M x y x x y m x

Nhn xột 2.2. Nu
m
l hm Lipschitz ti
x
thỡ
{0}()mx
.
B 2.1.
Gi s rng
gph
l tp úng,
()Mx
l khỏc rng v b chn

u trong lõn cn ca
x
, l hm na liờn tc di trong lõn cn ca
( , ) gphxy
vi mi
()y M x
iu kin sau c tha món
( , ) ( { }.(( , ) gph )) 0xy N x y

Khi ú
18

* * * * * *
1 2 1 2
*
m( ) , (( , ) gph ), , ( , ), ( ).
m
yR
x x x x y N x y x y x y y M x
Định lý 2.2.

là ánh xạ giả Lipschitz tại
( , ) gphxy
khi và chỉ khi
**
[( ,0) (( , ) gph ) 0]x N x y x
.
Chứng minh
)(
Giả sử là ánh xạ giả Lipschitz tại

( , ) gphxy
. Trƣớc tiên ta
khẳng định rằng tồn tại các lân cận
( ), ( )U x V y
và số
0l
sao cho
* * * *
sup{ ( , ) (( , ) gph )}x x y N x y l y
,
, ( )x U y x V
và
* m
yR
.
Đặc biệt, sup
**
sup{ ( ,0) (( , );gph )} 0x x N x y
, suy ra
**
( ,0) (( , );gph )} 0x N x y x
.
)(
Giả sử ta có
*
[( ,0) (( , ) ;gph )x N x y
*
0]x
.
Áp dụng [12, Theorem 2.3], ta có


là giả Lipschitz tại
( , )xy
( , ) ( , ( )) inf{ : ( )}m x y dist y x y v v x
là Lipschitz
tại
( , )xy
.
Đặt
( , ), ( , ) , ( ) ( )z x y z v y v z x
,
ta có
( ) inf{ ( , ) : ( )}m z z v v z
,
,
n m n
z R v R
.
Hiển nhiên
( , )m x y
là nửa liên tục dƣới tại
( , )xy
.
Mặt khác
()m
Lipschitz tại
( , )xy
khi và chỉ khi
**
( , ) : { : ( ,0) (( , ), ( , )); } {0}.

nm
m x y x R x N x y m x y epi m

Áp dụng Bổ đề 2.1 ta có
*
( , ) {( ,0) (( , ),gph }m x y x N x y
.
19

Do đó, nếu
*
( ,0) (( , );gph )x N x y
*
0x
thì
( , ) {0}m x y
. 
Ví dụ 2.1
Cho
R
R
,
( ) | |xx
và
0x
.
Khi đó là giả Lipschitz (thực chất là Lipschitz) tại
( , ) gphxy
,
( ) 0.yx

Thật vậy
gph {( , ) | |, }x y y x x R
.
Ta có
((0,0),gph ) {( , ) } {( , ) } {( , ) | |}N x y y x x y y x x y y x
Do đó
**
( ,0) (( , ) gph ) 0x N x y x
.

Ví dụ 2.2
( ) | |xx
và
0x
.
Ta có
( ) 0yx
và là không giả Lipschitz tại
( , )xy
.
Thật vậy
gph {( , ) | |, }x y y x x R
.
Ta có
((0,0) gph ) {( ,0) } {( , ) | | }.N x x R x y y x

Dễ thấy
(1,0) ((0,0);gph )N
.

20

KẾT LUẬN
Phần nội dung chính của khóa luận này trình bày về các khái niệm
nón pháp tuyến và các ứng dụng của chúng, cụ thể :
- Trình bày các khái niệm nón tiếp tuyến Fréchet, nón pháp
tuyến qua giới hạn và đƣa ra các ví dụ minh họa.
- Trình bày hai ứng dụng quan trọng đối với nón tiếp tuyến qua
giới hạn là định lý tách không lồi và tiêu chuẩn Lipschitz cho
một ánh xạ đa trị.
Sau quá trình nghiên cứu, em đã tìm hiểu thêm đƣợc nhiều kiến
thức mới. Mặc dù đã có nhiều cố gắng song do kiến thức còn hạn chế
nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót, em mong nhận đƣợc sự
góp ý của thầy cô và các bạn.







21

TI LIU THAM KHO
A. Tài liệu tiếng Việt
[1] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình Giải tích đa trị, Nxb KHTN &
CN.
B. Tài liệu tiếng Anh
[2] J. P. Aubin, H. Frankowska (1990): Set-Valued Analysis,
Birkhọuser, Berlin.

[3] F. H. Clarke (1983): Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley,
New York, 1983.
[4] B. S. Mordukhovich (1993): Complete characterization of
openness, metric regularity, and Lipschitzian properties of
multifunctions, Trans. Amer. Math. Soc. 340, 1-35.
[5] B. S. Mordukhovich (1994): Generalized differential calculus for
nonsmooth and set-valued mappings, J. Math. Anal. Appl. 183,
250-288.
[6] B. S. Mordukhovich (1994): Stability theory for parametric
generalized equations and variational inequalities via nonsmooth
analysis, Trans. Amer. Math. Soc. 343, 609-658.
[7] B. S. Mordukhovich (1994): Lipschitzian stability of constraint
systems and generalized equations, Nonlinear Anal. 22, 173-206.
[8] B. S. Mordukhovich (2004): Coderivative analysis of variational
systems, J. Global Optimi. 28, 347-362.
[9] B. S. Mordukhovich (2006): Coderivative calculus and robust
Lipschitzian stability for variational systems, J. Convex Anal. 13,
799-822.