Giáo trình xác suất thống kê toán học dùng giảng dạy tại khoa toán ĐHSP huế

1

không gian xác suất

A.- Biến cố ngẫu nhiên

Trong vô số các hiện tợng xảy ra chung quanh, ta có thể phân biệt
thành hai loại:
a) Hiện tợng tất yếu: là hiện tợng mà nếu đợc thực hiện trong cùng một điều kiện
nh nhau thì chúng cho các kết quả giống nhau.
b) Hiện tợng ngẫu nhiên: là hiện tợng mà dù đợc thực hiện trong cùng một điều
kiện chúng vẫn cho các kết quả khác nhau.
1.- Khái niệm:

Ví dụ:

ã Gieo một đồng xu, kết quả sấp hay ngữa là hiện tợng ngẫu nhiên,
ã Khi gieo một con xúc sắc, số nốt xuất hiện ở mặt trên của nó là một hiện
tợng ngẫu nhiên.
Đối tợng nghiên cứu của lý thuyết xác suất là các biến cố ngẫu nhiên, do vậy
ta cần trang bị cho chúng một cấu trúc toán học thích hợp. Đó là đại số các biến
cố ngẫu nhiên.
Ta sẽ luôn coi rằng các biến cố trong một đại số các biến cố đều có liên quan
tới kết quả của một "phép thử" nào đó. ở đây "phép thử" đợc hiểu là sự thực hiện
một số điều kiện nhất định.
Mỗi phép thử gắn với một tập hợp các kết quả có thể xảy ra. với mỗi biến cố
thuộc đại số các biến cố ta phải khẳng định đợc rằng: khi một kết quả nào đó của
phép thử đợc thực hiện nó xảy ra hay không xảy ra.
Giả Sử A, B, C, ... là các biến cố ngẫu nhiên có liên quan tới kết quả của một
phép thử F nào đó.
ã Ta nói A, B là đồng nhất, và viết A = B, nếu với mỗi kết quả có thể của phép

thử chúng cùng xảy ra hoặc cùng không xảy ra.
ã Sự không xuất hiện của A đợc xem là sự xuất hiện của biến cố đối A, ký
hiệu Ac , hay A.
ã Sù xt hiƯn ®ång thêi hai biÕn cè A, B đợc coi là sự xuất hiện của biến cố
giao A giao B, ký hiƯu A ∩ B hay A.B.
• Sù không thể xuất hiện đợc coi là một biến cố, gọi là biến cố không thể có
hay không, ký hiệu là hay V .
ã A, B gọi là xung khắc nếu AB = .
ã Sự xuất hiện ít nhất một trong hai biến cố A, B đợc coi là sù xt hiƯn cđa
biÕn cè hỵp A hỵp B, ký hiÖu A ∪ B. Khi A.B = ∅ ta viÕt A + B thay A B .
ã Sự chắc chắn xuất hiện đợc coi là một biến cố, gọi là biến cố chắc chắn, ký
hiệu .
A
This lesson was typed by pdfLTEX


2

ã Ta định nghĩa A \ B = A.B c .
• NÕu sù xt hiƯn cđa A kÐo theo sù xt hiƯn cđa B th× ta nãi A kÐo theo B,
ký hiƯu A ⊂ B.
• Ta nãi hä biÕn cè {B1 , B2 , ..., Bn } là đầy đủ nếu chúng từng đôi một xung
n

khắc và

Bi = .
i=1

2.- Một sè tÝnh chÊt:

1. NÕu A = B th× B = A; A.A = A
2. (Ac )c = A; A.Ac = ∅
3. A.B = B.A; (A.B).C = A(B.C)
4. A ∪ B = B ∪ A; (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
5. A + Ac = Ω, do ®ã Ac = Ω \ A
6. A = B ⇐⇒ A ⊂ B vµ B ⊂ A
7. A ⊂ B ⇐⇒ B c ⊂ Ac
8. A ∪ (B.C) = (A ∪ B).(A ∪ C)
9. A.(B ∪ C) = A.B ∪ A.C
10. (A.B)c = Ac ∪ B c ; (A ∪ B)c = Ac .B c
11. A ∪ B = A + B.Ac
...
Việc chứng minh các tính chất trên đơn giản, chỉ cần áp dụng định nghĩa và các
qui tắc lôgic.
Chú ý: Từ các tính chất 3. 4. suy ra các phép toán lấy giao, hợp có thể mở rộng
cho họ hữu hạn các biến cố ngẫu nhiên. Các hệ thøc trong 10. cã thĨ më réng
thµnh:
c

n

Ai
i=1

n

=

c

n
c

Ai ;
i=1

Ai
i=1

n

=

Ai c
i=1

VÝ dơ: Xét phép thử F: gieo đồng thời hai xúc sắc đều, đồng chất. Gọi A, B, C, D, E

là các biến cố ngẫu nhiên liên quan đợc xác định nh sau:
A: "Tổng số nốt xuất hiện trên hai xúc sắc là số chẵn"
B: "Tổng số nốt xuất hiện trên hai xúc sắc là số lẻ"
C: "Số nốt xuất hiện trên mỗi xúc sắc là số lẻ"
D: "Số nốt xuất hiện trên mỗi xúc sắc là số chẵn"
E: "Số nốt xuất hiện trên hai xúc sắc cùng lẻ hoặc cùng chẵn".
Khi đó ta có các hệ thức (dễ dàng kiểm tra ®−ỵc): A = E; Ac = B; A.B =
∅; A = C + D; D A; ...
3.- Định nghĩa đại số và

đại số:

A
This lesson was typed by pdfLTEX


3

Tập A các phần tử tùy ý A, B, C, ... đợc gọi là một đại số Boole hay một
trờng khi các điều kiện sau đợc thực hiện:
1. A.
2. A ∈ A =⇒ Ac ∈ A.
n

3. Ak ∈ A =

Ak A.
k=1

Nhận xét: Trong đại số, các phép toán lấy giao (tích), hợp thực hiện đợc với một

số hữu hạn phần tử.
ã Đại số Boole đợc gọi là ®¹i sè (σ tr−êng) nÕu nã ®ãng kÝn víi phÐp lấy
hợp đếm đợc hay với phép giao đếm đợc.
ã Giả sử C là một đại số, đại số nhỏ nhất chứa C đợc gọi là đại số sinh
bởi C, ký hiệu (C).
Ví dụ:

1) Tập hợp các kết quả cã thĨ cã liªn quan tíi mét phÐp thư víi cách xác định
biến cố đối, giao các biến cố, hợp các biến cố, biến cố không thể có, biến cố chắc
chắn nh trên, lập nên một đại số Boole (dễ dàng kiểm tra). Nó đợc gọi là đại số
các biến cố.

2) Giả sử là tập khác rỗng, ký hiệu C() là lớp mọi tập con của . Với các
phép toán tập hợp đà biết (lấy giao, hợp, phần bù) cùng với tập rỗng, C() lập nên
một đại số Boole.
3) Gi¶ sư A ⊂ Ω, Ω = ∅. XÐt líp CA = {∅, Ω, A, Ac } víi c¸c phÐp toán tập hợp
thông thờng CA tạo nên một - đại số.
4.- Liên hệ giữa đại số các biến cố và đại số các tập hợp:

Mối liên hệ nầy đợc thể hiện qua định lý Stone dới đây:
Định lý: Mỗi đại số các biến cố có một đại số các tập hợp đẳng cấu với nó.
ã Một biến cố A đợc gọi là phức hợp nếu nó có thể biểu diễn dới dạng hợp
hai biến cố không đồng nhất với nó.
ã Một biến cố A không phải là phức hợp đợc gọi là biến cố sơ cấp.
Từ các kết quả trên ta suy ra: mét biÕn cè phøc hỵp cã thĨ xuất hiện theo nhiều
cách khác nhau. Một biến cố sơ cÊp chØ xt hiƯn theo mét c¸ch duy nhÊt. C¸c
biÕn cố sơ cấp thì xung khắc nhau.
Trong đại số các biến cố, mỗi biến cố ngẫu nhiên biểu diễn đợc dới dạng
tổng một số hữu hạn các biến cố sơ cÊp mét c¸ch duy nhÊt. Nh− vËy mét biÕn cè
A ứng với một tập các biến cố sơ cấp mà sự xuất hiện của mỗi biến cố nầy kéo
theo sự xuất hiện của A. Chúng đợc gọi là các biến cố thích hợp với A. Tơng
ứng nầy bảo tồn các phép toán trong A; biến cố "không thể có" ứng với tập rỗng
. Biến cố "chắc chắn" ứng với tập tất cả các biến cố sơ cấp của phép thử vì vậy
đợc đồng nhất với không gian biến cè s¬ cÊp.
A
This lesson was typed by pdfLTEX


4
B.- Xác suất

Quan sát các hiện tợng ngẫu nhiên ta thấy có những hiện tợng thờng xảy

ra, có những hiện tợng ít xảy ra. Xác suất là một đại lợng thể hiện mức độ xảy
ra (thờng xuyên hay ít khi) của một biến cố. trong lịch sử toán học đà có nhiều
định nghĩa cho khái niệm xác suất. ở giáo trình nầy ta sẽ tiếp xúc với một số định
nghĩa tiêu biểu
1.- Định nghĩa cổ điển của xác suất:

Nếu A là biến cố có n(A) biến cố sơ cấp thích hợp với nó trong một không gian
n(A)
biến cố sơ cấp gồm n() biến cố cùng khả năng xuất hiện thì tỉ số P (A) =
n()
đợc gọi là xác suất của A.
Nh vậy điều kiện để áp dụng định nghĩa nầy là:
n() <
Các biến cố sơ cấp phải có cùng khả năng xuất hiện.
Ví dụ:

1) Gieo một hạt xúc sắc cân đối đồng chất một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất
để mặt có số nốt chẵn xuất hiện.
2) Từ một hộp có 13 bi đỏ và 7 bi trắng có kích thớc nh nhau, rút ngẫu nhiên
một bi. Khi đó:
13
Xác suất để rút đợc bi đỏ là: P (Đ) = .
20
7
Xác suất để rút đợc bi trắng là: P (T ) = .
20
Chú ý: Để tính xác suất theo định nghĩa cổ điển ta phải tìm n() và n(A). một
công cụ đợc sử dụng nhiều là giải tích tổ hợp đà đợc chuẩn bị ở trung học.
2.- Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học:

Khi n() vô hạn, ta không thể áp dụng định nghĩa cổ điển để tính xác suất.
trong nhiều trờng hợp ta có thể sử dụng định nghĩa xác suất theo quan điểm hình
học nh sau:
Giả sử một điểm đợc rơi ngẫu nhiên vào miền D, A là một miền con của D.
Khi đó xác suất để điểm rơi ngẫu nhiên vào miền A đợc xác định bởi công thức:
số đo miềnA
P (A) =
số đo miềnD
(Số đo ở đây có thể là độ dài, diƯn tÝch hay thĨ tÝch tïy thc vµo miỊn xÐt trên
đờng thẳng, mặt phẳng hay không gian ba chiều)
Một ví dụ điển hình là "bài toán gặp gỡ":
Hai ngời hẹn gặp nhau tại một địa điểm vào khoảng từ 11 giê ®Õn 12 giê. Hä
qui −íc r»ng ng−êi ®Õn tr−íc sẽ chỉ đợi 20 phút, nếu không gặp sẽ đi. Gi¶ sư viƯc
A
This lesson was typed by pdfLTEX


5

đến điểm hẹn của hai ngời là ngẫu nhiên. tìm xác suất để hai ngời gặp nhau?
3.- Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê:

Tiến hành n phép thử ®éc lËp, nh− nhau vµ theo dâi sù xt hiƯn biến cố A có
liên quan. Gọi n là số phép thử đà tiến hành, n(A) là số phép thử có A xuất hiện,
n(A)
đợc gọi là tần suất xuất hiện A.
tỉ sè
n
Khi sè phÐp thư n ®đ lín ta cã thĨ lấy tần suất của A thay cho xác suất P (A)
n(A)

(mà ta cha biết). Nếu tồn tại lim
thì giới hạn nầy là P (A).
n n
4.- Định nghĩa tiên đề của xác suất:

Cho là một không gian; gọi A là - đại số các tập con của . P (.) là hàm
tập xác định trên A. Ta gọi P là hàm xác suất nếu các tiên đề sau đây ®−ỵc tháa
m·n:
(i) P (A) ≥ 0, ∀A ∈ A
∞

∞

(ii) P

An

P (An )

=

n=1

n=1

(iii) P (Ω) = 1.
Bé ba (Ω; A; P ) đợc gọi là không gian xác suất.
Từ hệ tiên đề trên ngời ta chứng minh đợc các tính chất của xác suất sau đây
(ta chấp nhận không chứng minh để sử dụng tính toán xác suất):
Mệnh đề 1: Trên không gian xác suất (; A; P ) ta có:

a) P (∅) = 0
b) NÕu {A1 , A2 , ..., An } là họ hữu hạn các biến cố ngẫu nhiên từng đôi xung
n

khắc thì P

n

Ak
k=1

=

P (Ak ).
k=1

Mệnh đề 2: Giả sử A, B là là các biến cố ngẫu nhiên bất kỳ. Khi đó:

a) P (A B) = P (A) + P (B) − P (A.B)
b) chulucNÕu A ⊂ B th× P (A) ≤ P (B).
c) ∀A ∈A, cã 0 ≤ P (A) ≤ 1 vµ P (Ac ) = 1 − P (A).
VÝ dô: Mét hép chøa 5 cầu trắng, 3 cầu xanh và 4 cầu đen cùng kích thớc. Chọn
ngẫu nhiên cùng lúc 3 cầu. Tìm xác suất để:
a) Cả ba cầu cùng màu.
b) Có đúng hai cầu cùng màu.
c) Có ít nhất hai cầu cùng màu.
d) Cả ba cầu khác màu.
C.- Xác suất điều kiện
A
This lesson was typed by pdfLTEX

6

Trong mục nầy ta sẽ xây dựng một đại lợng để biểu thị khả năng xuất hiện
một biến cố A khi có một biên cố B đà xuất hiện với xác suất nào đó.
1.- Định nghĩa:

Xét không gian xác suất (; A, P ).
Giả sử B là biến cố ngẫu nhiên có P (B) > 0, A A. Đại lợng P (A/B) =
P (A B)
đợc gọi là xác suất của A với điều kiện B.
P (B)
Có tài liệu dùng ký hiÖu: PB (A), P B (A).
NhËn xÐt:

n(A ∩ B)
, nghĩa là xác
n(B)
suất điều kiện P (A/B) có thể xem nh xác suất của A xét trong không gian B.
ã Với B A, P (B) > 0, ánh xạ P (./B) từ A vào R+ là một hàm xác suất.
Ta có các mệnh đề sau:
Mệnh đề 1: (công thức nhân xác suất)
ã Trong định nghĩa xác suất cổ điển ta cã: P (A/B) =

Gi¶ sư {A1 , A2 , ..., An } là họ các biến cố ngẫu nhiên sao cho P (A1 .A2 ...An ) > 0,
khi ®ã:
P (A1 .A2 ...An ) = P (A1 ).P (A2 /A1 ).P (A3 /A1 A2 )...P (An /A1 A2 ...An−1 )
MÖnh đề nầy có thể chứng minh đợc bằng phơng pháp qui nạp.
Ví dụ: (Sơ đồ hộp Polia). Một hộp lúc đầu chứa a cầu trắng, b cầu đỏ. Sau mỗi

lần chọn ngẫu nhiên một cầu, ta trả cầu đó vào hộp cùng với c cầu cùng màu với
cầu đà chọn. Tìm xác suất để cầu trắng đợc chọn ở ba lần đầu.
Đặt Ai : "cầu trắng đợc chọn ở lần i' (i = 1, 2, 3). Ta cÇn tÝnh P (A1 A2 A3 ).
Theo công thức nhân xác suất:
P (A1 A2 A3 ) = P (A1 ).P (A2 /A1 ).P (A3 /A1 .A2 ) =
=

a
a+c
a + 2c
.
.
a + b a + b + c a + b + 2c

MƯnh ®Ị 2: (công thức xác suất toàn phần )

Giả sử {B1 , B2 , ..., Bn } là họ đầy đủ các biến cố ngẫu nhiên có xác suất dơng.
Khi đó víi ∀A ∈A ta cã:
n

P (A) =

P (Bi ).P (A/Bi )
i=1

1
tổng sản lợng nông
3
1

1
sản của nông trờng. Đội 2 sản xuất tổng sản lợng. Đội 3 sản xuất tổng sản
4
4
Ví dụ: Một nông trờng có 4 đội sản xuất. Đội 1 s¶n

A
This lesson was typed by pdfLTEX


7

1
tổng sản lợng. Tỉ lệ phế phẩm tơng ứng với các đội sản
6
xuất là 0, 15; 0, 08; 0, 05; 0, 01. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm trong kho của nông
trờng. Tìm xác suất để lấy phải một phế phẩm.

lợng. Đội 4 sản xuất

Mệnh đề 3: (công thức Bayès )

Nếu A là biến cố có xác suất dơng, {B1 , B2 , ..., Bn } là họ đầy đủ các biến cố
ngẫu nhiên có xác suất dơng. Khi đó với mỗi j(j = 1, n), ta có:
P (Bj ).P (A/Bj )
P (Bj /A) = n
P (Bi ).P (A/Bi )
i=1

VÝ dụ: Hai nhà máy cùng sản x uất một loại sản phẩm. Nhà máy số 1 sản xuất

gấp k lần nhà máy số 2. Tỉ lệ thứ phẩm của hai nhà máy là p1 , p2 . Lấy ngẫu nhiên
một sản phẩm trong kho chung của hai nhà máy để kiểm tra thì gặp phải thứ phẩm.
Tìm xác suất để thứ phẩm đó do nhà máy thứ hai sản xuất.
D.- Sự độc lập ngẫu nhiên

Xét không gian xác suất (, A, P )
1.- Định nghĩa:

Giả sử B là lớp nào đó các biến cố ngẫu nhiên (B A). Ta nói lớp B độc
lập nếu xác suất của một giao hữu hạn bất kỳ các biến cố trong B bằng tích của
các xác suất của các biến cố đó.
Ví dụ: B1 = {A, B} ®éc lËp ⇐⇒ P (A.B) = P (A).P (B)


B2 = {A, B, C} ®éc lËp ⇐⇒

P (A.B)



P (A.C)

= P (A).P (B)
= P (A).P (C)

P (B.C)




P (A.B.C)

= P (B).P (C)
= P (A).P (B).P (C)

Chó ý:

1) Khi B có hơn hai biến cố thì rõ ràng nếu B ®éc lËp lóc ®ã x¸c st cđa
giao hai biÕn cè bÊt kú trong B cịng b»ng tÝch c¸c x¸c st của các biến cố đó.
Ta nói có sự độc lập từng đôi. Nhng sự độc lập từng đôi trong B không đủ suy
ra B độc lập.
Xét thí dụ sau: Một khối tứ diện đều, đồng chất có ba mặt sơn tơng ứng các
màu trắng, xanh, đỏ. Mặt thứ t sơn cả ba màu trắng, xanh, đỏ. Gieo ngẫu nhiên
các khối đó lên mặt phẳng. Nếu gọi A, B, C tơng ứng là: "mặt có màu trắng
(xanh, đỏ) của tứ diện đó tiếp với mặt phẳng". Khi đó ta thấy B = {A, B, C} ®éc
A
This lesson was typed by pdfLTEX


8

lập từng đôi.
2) Dễ thấy rằng nếu P (B) > 0 thì {A, B} độc lập khi và chỉ khi P (A/B) =
P (A). Thật vậy:
ã Giả sử A, B ®éc lËp, do P (B) > 0 cã
P (A.B) P (A).P (B)
P (A/B) =
=
= P (A).
P (B)

P (B)
ã Ngợc lại, nếu P (A/B) = P (B) thì từ xác suất cã ®iỊu kiƯn suy ra
P (A.B)
P (A) = P (A/B) =
P (B)
=⇒ P (A.B) = P (A).P (B), nghÜa lµ {A, B} độc lập.
Điều khẳng định trên có ý nghĩa: khi {A, B} độc lập (theo định nghĩa) thì sự
xuất hiện của B không ảnh hởng đến sự xuất hiện của A (vì P (A/B) = P (A)) và
ngợc lại. Nh− vËy ta cã thĨ nhËn biÕt sù ®éc lËp bằng trực giác, hay kinh nghiệm
quan sát. Điều đó rất cã ý nghÜa thùc tiƠn.
MƯnh ®Ị 1:

NÕu {A, B} ®éc lập thì {A, B c } độc lập.
Chú ý:

Bằng qui nạp hữu hạn ta dễ dàng chứng minh đợc: Nếu {A1 , A2 , ..., An } độc
lập thì {A1 , A2 , ..., An−1 , Ac } cịng ®éc lập. nếu áp dụng nhiều lần kết quả nầy ta
n
đợc mƯnh ®Ị sau:
MƯnh ®Ị 2:

NÕu {A1 , A2 , ..., An } là họ các biến cố độc lập, (j1 , j2 , ..., jn ) là một hoán vị bÊt
kú cđa {1, 2, ..., n}. Khi ®ã hä {Aj1 , Aj2 , ..., Ajn }, ở đây Aji = Aji hoặc Aci cũng
j
là họ độc lập.
Ví dụ: Bắn ba viên đạn độc lập vào một mục tiêu. Xác suất trích đích của mỗi

viên tơng ứng là 0, 3; 0, 4; 0, 5. Nếu chỉ một viên trúng thì mục tiêu bị phá hủy
với xác suất 0, 2. Nếu ít nhất hai viên trúng thì mục tiêu chắc chắn bị phá hủy. HÃy
tìm xác suất để mục tiêu bị phá hủy khi bắn ba viên đạn nh trên.

A
This lesson was typed by pdfLTEX


1

đại lợng ngẫu nhiên

A.- Đại lợng ngẫu nhiên

1.- Định nghĩa:
Giả sử là không gian mẫu ứng với phép thử G.
ánh xạ:
X : R
X()
sao cho x ∈ R, {ω ∈ Ω/X(ω) < x} ⊂ Ω (lµ một biến cố) đợc gọi là một đại
lợng ngẫu nhiên.
Có thể hiểu đại lợng ngẫu nhiên là một đại lợng mà giá trị của nó là ngẫu
nhiên, tùy thuộc vào kết quả của phép thử.
Đại lợng ngẫu nhiên thờng đợc ký hiƯu b»ng c¸c mÉu tù la tinh in hoa:
X, T, Ã Ã Ã . Các giá trị của chúng thờng đợc ký hiệu bởi các mẫu tự la tinh thờng
x, y, Ã Ã Ã
Ngời ta phân biệt hai đại lợng ngẫu nhiên (ĐLNN) là ĐLNN rời rạc và ĐLNN
liên tục.
2.- Đại lợng ngẫu nhiên rời rạc:
a) Định nghĩa: Một ĐLNN đợc gọi là ĐLNN rời nếu tập giá trị của nó là tập
con hữu hạn hay vô hạn đếm ®−ỵc cđa tËp sè thùc R.
VÝ dơ 1:
1) Gieo mét con xúc sắc cân xứng và đồng chất. Gọi X là số chấm xuất hiện ở

mặt trên con xúc sắc. Khi đó X là ĐLNN rời có tập giá trị X(Ω) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
2) Chän ngÉu nhiên 3 đứa trẻ từ một nhóm gồm 6 bé trai và 4 bé gái. Gọi X là
số bé gái trong nhóm chọn đợc. X là một đại lợng ngẫu nhiên rời có tập giá trị
X() = {0, 1, 2, 3}.
3) Bắn liên tiếp từng phát một vào bia cho đến khi nào trúng bia thì dừng lại.
Gọi X là số viên đạn cần bắn. Khi đó X là ĐLNN rời có tập giá trị X() =
{1, 2, 3, Ã Ã Ã , n, Ã Ã Ã }.
b) Bảng phân phối xác suất:
Ngoài việc xác định tập giá trị của ĐLNN rời, một điều quan trọng nữa là ta
phải biết đợc xác suất để ĐLNN đó nhận các giá trị ấy là bao nhiêu. Bảng phân
phối xác suất của một ĐLNN rời là bảng trên đó ghi các giá trị mà X có thể nhận,
kèm theo các xác suất để nó nhận các giá trị ấy.
A
This lesson was typed by pdfLTEX


2

X(Ω) x1 x2 ... xn ...
pk
p1 p2 ... pn
trong ®ã pk = P ({X = xk });
n

pk = 1 nÕu X() hữu hạn
k=1


pk = 1 nếu X() vô hạn đếm ®−ỵc.
k=1

VÝ dơ 2:
ë vÝ dơ 1) mơc 1.2.1, ta cã:
X(Ω) = {0, 1, 2, 3}
ta cã:

1
2
3
120
5
C4 .C6
9
C6
= ; P ({X = 2}) =
=
P ({X = 0}) = 3 =
3
C10
720 30
C10
30
2
3
1
15
C4
1
C .C
P ({X = 1}) = 4 3 6 = ; P ({X = 3}) = 3 =

C10
10
C10
30
Vậy bảng phân phối xác suất của X là:

X
p

0

1

2

3

5
30

15
30

9
30

1
30

Ví dụ 3:

Một túi chứa 3 tấm thẻ đợc đánh số 1, 2, 3 và túi thứ hai chứa 4 tấm thẻ đợc
đánh số 4, 5, 6, 8. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi túi 1 tấm thẻ rồi cộng hai số ghi trên
hai tấm thẻ lại. Gọi X là kết quả, hÃy lập bảng phân phối xác suất của X.
Giải: Có 12 kết quả có thể:
(1, 4); (1, 5); (1, 6); (1, 8)
(2, 4); (2, 5); (2, 6); (2, 8)
(3, 4); (3, 5); (3, 6); (3, 8)
Các kết quả nầy đồng khả năng, với xác suất xt hiƯn cđa chóng lµ

1
12 .

X(Ω) = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
P ({X = 5}) = P ({1, 4}) =

1
;
12

P ({X = 8}) = P ({(2, 6), (3, 5)}) =

2
12

A
This lesson was typed by pdfLTEX


3

2
; P ({X = 9}) = P ({(1, 8), (3, 6)}) =
12

P ({X = 6}) = P ({(1, 5), (2, 4)}) =
2
12

3
P ({X = 7}) = P ({(1, 6), (3, 4)}) = ;
12
1
P ({X = 11}) = P (3, 8) =
12
Bảng phân phối xác suất của X là:
X()
p

P ({X = 10}) = P (2, 8) =

5

6

7

8

9

10 11

1
12

2
12

3
12

2
12

2
12

1
12

1
;
12

1
12

b) Hàm phân bố xác suất:
Là hàm đợc xác định bởi:
F : R R

x → F (x) =

pi
xi
VÝ dơ 4:
§LNN X ë ví dụ 1 trên đây có hàm

0


5

30

F (X) = 20
30
29

30



1

phân bố xác suất nh sau:
khi x < 0
khi 0 < x ≤ 1
khi 1 < x ≤ 2
khi 2 < x ≤ 3

khi x > 3

Hµm phân bố xác suất của ĐLNN rời có các tính chÊt:
(i) 0 ≤ F (x) ≤ 1, ∀x
(ii) liªn tơc bên trái
(iii) không giảm
(iv) lim F (x) = 1;
lim F (x) = 0.
x+

x

3.- Đại lợng ngẫu nhiên liên tục:
a) Định nghĩa: Một ĐLNN nhiên X đợc gọi là ĐLNN liên tục nếu:
i) Tập các giá trị của X lấp đầy một hay hợp của một số khoảng của trục số,
thậm chí lấp đầy cả toàn bộ trục số.
ii) Với mọi a ∈ R, P ({X = a}) = 0
VÝ dô 1:
A
This lesson was typed by pdfLTEX


4

1) Lợng ma hàng năm ở một địa phơng là một ĐLNN liên tục có X() =
(0, +)
2) Trọng lợng của đứa trẻ sơ sinh là một ĐLNN liên tục.
b) Hàm mật độ xác suất:
Đối với ĐLNN liên tục X, xác suất để X nhận một giá trị cụ thể nào đó luôn
luôn bằng 0: P ({X = a}) = 0, a X(). Vì vậy ta quan tâm đến xác suất để

X rơi vào một khoảng (a, b) nào đó chứ không quan tâm đến xác suất để X nhận
một giá trị cụ thể nh trong trờng hợp ĐLNN rời.
Phân phối xác suất của X đợc xác định bởi một hàm f (x) gọi là hàm mật độ
xác suất.
Định nghĩa: Hàm số f (x) xác định trên toàn trục số đợc gọi là hàm mật độ của
ĐLNN liên tục X nÕu:
i) f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R
+∞

ii)

f (x)dx = 1
−∞
b

iii) ∀a, b : a < b =⇒ P ({a < X < b}) =

f (x)dx
a
b

ở đây chú ý: P ({X = a}) = P ({X = b}) = 0 nªn P (a ≤ X ≤ b) =

f (x)dx
a

VÝ dụ 2:
Cho X là ĐLNN liên tục có hàm mật ®é f (x) nh− sau:
0;
x<1

c
; x≥1
x2
H·y tÝnh h»ng sè c và tính P (2 < x < 3)
Giải:

f (x) 0


+
(f (x) là hàm mật độ)
f (x)dx = 1



f (x) =

−∞

f (x) ≥ 0 ⇐⇒ c ≥ 0
+∞

+∞

cdx
c
=1=−
x2
x

f (x)dx = 1 ⇐⇒
−∞

+∞

= 1 ⇐⇒ c = 1

1

1

VËy c = 1
A
This lesson was typed by pdfLTEX


5
3

P (2 < X < 3) =

3

dx 1
= .
x2
6

f (x)dx =
2

2

Ví dụ 3:
Cho hàm p(x) = a sin 2x. Xác định hằng số a để p(x) trở thành hàm mật độ
của ĐLNN X nhận giá trị tập trung trong đoạn [0, ].
2
Giải:
0
nếu x < 0 hoặc x >
2
p(x) =
π
a sin 2x nÕu 0 ≤ x ≤ 2
p(x) ≥ 0 ⇐⇒ a sin 2x ≥ 0, ∀x ∈ [0, π ] ⇐⇒ a ≥ 0.
2
π
2

+∞

a
a sin 2xdx = 1 ⇐⇒ − cos 2x
2

p(x)dx = 1 ⇐⇒
−∞

π
2

= 1 ⇔ a = 1.

0

0

Vậy a = 1
Ví dụ 4:
Cho X là ĐLNN có hàm mật độ f (x):

1 + x nếu 1 ≤ x ≤ 0

f (x) = 1 − x nÕu 0 < x ≤ 1


0
nÕu |x| > 1
1
TÝnh P (− 2 < X < 1)
Gi¶i:
1

P (− 1 < X < 1) =
2

0

f (x)dx =
−1

2

1

7
(1 − x)dx = .
8

(1 + x)dx +
1
2

0

b) Hàm phân bố xác suất:
Định nghĩa: Hàm phân bố xác suất của ĐLNN liên tục X, ký hiệu bởi F (x), là
hàm xác định với mọi số thực x theo c«ng thøc sau:
F (x) = P (X < x)

Tính chất: Hàm phân bố xác suất của ĐLNN liên tơc F (x) cã c¸c tÝnh chÊt sau:
i) 0 ≤ F (x) 1.
ii) F (x) là hàm không giảm.
iii) F (x) là hàm liên tục bên trái.
iv) lim F (x) = 1;
lim F (x) = 0.
x→+∞

x→−∞

v) Quan hƯ gi÷a hàm mật độ và hàm phân phối:

Nếu f (x) và F (x) tơng ứng là hàm mật độ và hàm phân phối của ĐLNN X
thì:
A
This lesson was typed by pdfLTEX


6
x

f (x) = F (x);

F (x) =

f (t)dt.
−∞

VÝ dô 1:
Cho X là ĐLNN có hàm mật độ: f (x) =

a
. HÃy tìm hệ số a và hàm phân
1 + x2

phối F (x).
Gi¶i:
f (x) ≥ 0 ⇐⇒ a ≥ 0.
+∞

+∞

adx
= 1 ⇐⇒ 2a( arctg x
1 + x2

f (x)dx = 1 ⇐⇒
−∞

+∞

)=1
0

−∞

1
⇐⇒ aπ = 1 ⇐⇒ a =
π
1
VËy: f (x) =
.
π(1 + x2 )
x

Theo iv):

F (x) =

x

−∞

1
.
2

1
dt
= arctg t
π(1 + t2 )
π

f (t)dt =

x


=

1
arctg x +




Ví dụ 2:
Cho X là ĐLNN có hàm phân phối:

0
nếu x 0

F (x) = ax3 nếu 0 < x < 2


1
nÕu x ≥ 2
H·y t×m hƯ số a, hàm mật độ của X và P (0 < X < 1).
Giải:
Do hàm phân phối liên tục trái nªn:
1
lim− F (x) = lim− ax3 = 8a = F (2) = 1. Vậy a = .
x2
x2
8
Mặt khác F (x) = f (x), nên hàm mật độ của ĐLNN X là:

0
nếu x 0 hoặc x 2
f (x) = 3 2
 x
nÕu 0 < x < 2
8
1

P (0 < x < 1) =

1

3 2
1
x dx = .

8
8

f (x)dx =
0

0

VÝ dụ 3:
Cho X là ĐLNN có hàm phân phối:
A
This lesson was typed by pdfLTEX


7

x
c
trong đó a, b, c là các hằng số. Tìm a, b, c và hàm mật độ xác suất f (x).
Gi¶i:
π
lim F (x) = 1 ⇐⇒ a + b = 1 (1)
x→+∞
2
b
lim F (x) = 0 ⇐⇒ a − π = 0 (2)
x+
2
b 1
1

1
Giải hệ (1), (2) đợc a = ; b = .
2
π
Nh− vËy:
1 1
x
F (x) = + arctg
2 π
c
1
c
f (x) = F (x) = . 2
π x + c2
Vì f (x) là hàm mật độ nên f (x) > 0, tøc lµ c > 0.
1
1
VËy a = ; b = , c > 0 (tïy ý).
2
π
F (x) = a + b arctg

3.- Đại lợng ngẫu nhiên nhiều chiều:
a) Khái niệm ĐLNN nhiều chiều:
ở phần trên, ta đà xét các ĐLNN mà các giá trị của nó đợc biểu diễn bằng
một số. Các ĐLNN nh vậy đợc gọi là ĐLNN một chiều. Ngoài các ĐLNN một
chiều, trong thực tế ta còn gặp các ĐLNN mà giá trị của nó đợc xác định bằng 2,
3, .. n số. Những đại lợng nầy đợc gọi một cách tơng ứng là ĐLNN 2, 3, ..., n
chiều. Ta ký hiệu ĐLNN hai chiều là (X, Y ) (vectơ ngẫu nhiên hai chiều). Trong
đó X và Y đợc gọi là các thành phần của ĐLNN hai chiều. Cả hai đại lợng X

và Y đợc xét một cách đồng thời tạo nên hệ hai ĐLNN. Tơng tự nh vậy ĐLNN
n chiều có thể xem nh hệ của n ĐLNN.
Ví dụ 1:
Một máy sản xuất một loại sản phẩm. Nếu kích thớc của sản phẩm đợc đo
bằng chiều dài X và chiều rộng Y , thì ta có ĐLNN hai chiều (X, Y ); còn nếu tính
thêm cả chiều cao Z nữa thì ta cã §LNN ba chiỊu (X, Y, Z).
Trong thùc tÕ ng−êi ta cũng phân chia các ĐLNN nhiều chiều thành hai loại:
rời rạc và liên tục.
Các ĐLNN nhiều chiều đợc gọi là rời rạc nếu các thành phần của nó là §LNN
rêi r¹c.

A
This lesson was typed by pdfLTEX


8

Các ĐLNN nhiều chiều đợc gọi là liên tục nếu các thành phần của nó là ĐLNN
liên tục.
Sau đây ta chỉ xét các ĐLNN hai chiều.
b) Qui luật phân phối xác suất của ĐLNN hai chiều:
Đối với các vectơ ngẫu nhiên hai chiều ngời ta cũng dùng bảng phân phối xác
suất, hàm phân phối xác suất, hàm mật độ xác suất để thiết lập bảng phân phối
xác suất của chúng.
(i) Bảng phân phối xác suất của vectơ ngẫu nhiên (VTNN) hai chiều:
Bảng phân phối xác suất của vectơ ngẫu nhiên hai chiều rời rạc là bảng liệt kê
tất cả các giá trị có thể có của nó và các xác suất tơng ứng. Nó có dạng sau:
X\Y
x1
x2

.
.
.
xi
.
.
.
xn

y1
p(x1 , y1 )
P (x2 , y1 )
.
.
.
P (xi , y1 )
.
.
.
P (xn , y1 )

y2
P (x1 , y2 )
P (x2 , y2 )
.
.
.
P (xi , y2 )
.
.

.
P (xn , y2 )

...
yj
· · · P (x1 , yj )
· · · P (x2 , yj )
.
.
···
.
· · · P (xi , yj )
.
.
···
.
· · · P (xn , yj )

...
ym
· · · P (x1 , ym )
· · · P (x2 , ym )
.
.
···
.
· · · P (xi , ym )
.
.
···

.
· · · P (xn , ym )

Trong ®ã xi , i = 1, n là các giá trị có thể có của X; yj ; j = 1, m là các giá
trị có thể có của Y. p(xi , yj ) là xác suất để VTNN hai chiều (X, Y ) nhận giá trị
(xi , yj ).
Để tạo nên một qui luật phân phối xác suất thì các xác suất p(xi , yj ) phải thỏa
mÃn điều kiện:
- p(xi , yj ) 0.
n

m

-

p(xi , yj ) = 1.
i=1 j=1

Biết đợc bảng phân phèi x¸c st cđa VTNN hai chiỊu bao giê cịng tìm đợc
bảng phân phối xác suất của mỗi thành phần.
Bảng phân phối xác suất của thành phần X có dạng:
X
x1
x2 · · ·
xi · · ·
xn
p p(x1 ) p(x2 ) · · · p(xi ) · · · p(xn )
m

trong ®ã: p(xi ) =

p(xi , yj )
j=1
A
This lesson was typed by pdfLTEX


9
n

Rõ ràng là:

p(xi ) = 1.
i=1

Bảng phân phối xác suất của thành phần Y có dạng:
X
y1
y2 Ã Ã Ã
yj
ÃÃÃ
ym
p p(y1 ) p(y2 ) · · · p(yj ) · · Ã p(ym )
n

trong đó: p(yj ) =
m

rõ ràng là:

p(xi , yj )
i=1

p(yj ) = 1.
j=1

Ví dụ 2:
Tìm bảng phân phối xác suất của các thành phần của VTNN hai chiều có bảng
phân phối xác suất nh sau:
X \Y
x1
x2
x3

y1
y2
0, 1 0, 06
0, 3 0, 18
0, 2 0, 16

Giải: Cộng các xác suất theo hàng ta thu đợc các xác suất tơng ứng với các
giá trị của thành phần X.
p(x1 ) = 0, 1 + 0, 06 = 0, 16
p(x2 ) = 0, 3 + 0, 18 = 0, 48
p(x3 ) = 0, 2 + 0, 16 = 0, 36
Ta cã b¶ng phân phối xác suất của thành phần X
X x1
x2
x3
p 0, 16 0, 48 0, 36

Cộng các giá trị theo cột ta có các xác suất tơng ứng với các giá trị của thành
phần Y :
p(y1 ) = 0, 1 + 0, 3 + 0, 2 = 0, 6
p(y2 ) = 0, 06 + 0, 18 + 0, 16 = 0, 4
Ta có bảng phân phối xác suất của thành phần Y nh− sau:
Y y1 y2
p 0, 6 0, 4
A
This lesson was typed by pdfLTEX


10

(ii) Hàm phân phối xác suất của VTNN hai chiều:
Xét VTNN hai chiỊu (X, Y ) cã thĨ rêi r¹c hoặc liên tục. Giả sử (x, y) là một
cặp số thùc bÊt kú. XÐt biÕn cè (X < x; Y < y) là biến cố để X nhận giá trị nhỏ
hơn x, và Y nhận giá trị nhỏ hơn y. Khi x, y thay đổi thì xác suất của biến cố trên
cũng thay đổi theo, nó là một hàm số của x và y.
Hàm phân phối xác suất của VTNN hai chiỊu (X, Y ); ký hiƯu F (x, y) là xác
suất để thành phần X nhận giá trị nhỏ hơn x và thành phần Y nhận giá trị nhỏ
hơn y với x, y là các số thực tùy ý.
F (x, y) = P (X < x, Y < y)

VÝ dụ 3:
Tìm xác suất để trong kết quả của phép thử thành phần X của VTNN hai chiều
(X, Y ) nhận giá trị X < 2 và Y nhận giá trị Y < 3 nếu biết hàm phân phối xác
suất cđa nã cã d¹ng:
1
x 1 1
y 1

F (x, y) = ( arctg + )( arctg + )
π
2 2 π
3 2
Gi¶i:
Theo định nghĩa hàm phân phối xác suất của VTNN hai chiÒu ta cã:
1
2 1 1
3 1
P (X < 2, Y < 3) = F (2, 3) = ( arctg + ).( arctg + )
π
2 2 π
3 2
3 3
9
1 π 1 1 π 1
= ( . + ).( . + ) = . =
π 4 2 π 4 2
4 4 16
(iii) Hàm mật độ xác suất của VTNN hai chiều:
Đối với VTNN liên tục (X, Y ) ngoài hàm phân phối xác suất ra còn có thể dùng
hàm mật độ xác suất biểu diễn phân phối xác suất của nó.
Hàm mật độ xác suất của VTNN hai chiều liên tục (X, Y ); ký hiệu f (x, y) là
đạo hàm riêng hỗn hợp cấp hai của hàm phân phối xác suất
2 F (x, y)
f (x, y) =
xy

Ví dụ 4:
Tìm hàm mật độ xác suất của VTNN hai chiều liên tục (X, Y ) nếu biết hàm

phân phối xác suất của nã.
π
π
F (x, y) = sin x. sin y; 0 ≤ x ; 0 y
2
2
Giải:
Theo định nghĩa hàm mật độ xác suất, trớc hết ta tìm đạo hàm riêng của hàm
phân phối xác suất theo x:
F (x, y)
= cos x sin y
∂x
A
This lesson was typed by pdfLTEX


11

π
π
∂ 2 F (x, y)
= cos x cos y; x ∈ [0, ], y ∈ [0, ].
Suy ra: f (x, y) =
∂x∂y
2
2

A
This lesson was typed by pdfLTEX

12
B.- Kỳ vọng, phơng sai và một số đặc trng của đại lợng ngẫu nhiên

1.- Kỳ vọng và phơng sai:
a) Kỳ vọng:

Định nghĩa 1:
Giả sử X là ĐLNN rời có bảng phân phối xác suất nh sau:
X() x1 x2 Ã · · xn · · ·
p
p1 p2 · · · pn · · ·
∞

∞

|xk |.pk < +∞ th× ta gäi tổng

Nếu

xk pk là kỳ vọng của ĐLNN X và ký
k=1

k=1

hiệu là EX:



xk pk

EX =
k=1

Trong trờng hợp X() = {x1 , x2 , Ã Ã Ã , xn } (hữu hạn) thì:
n

EX =

xk pk .
k=1

Định nghĩa 2:
Giả sử X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ f (x).
+

+

|x|f (x)dx < + thì ta gọi

Nếu


xf (x)dx là kỳ vọng của ĐLNN X vµ
−∞

ký hiƯu EX:
+∞

EX =

xf (x)dx.
−∞

VÝ dơ 1:
Cho X lµ ĐLNN có phân phối xác suất:
X() 2 1
0
1
4
p
0, 1 0, 2 0, 15 0, 25 0, 3
T×m kú väng cđa X.
Gi¶i:
EX = (−2).(0, 1) + (−1).(0, 2) + 0.(0, 15) + 1.(0, 25) + 4.(0, 3) = 1, 05
A
This lesson was typed by pdfLTEX


13

Ví dụ 2:
Cho ĐLNN có hàm mật độ:
cx3 với 0 ≤ x ≤ 3
f (x) =
0
víi x ∈ [0, 3]
/
TÝnh c và EX
Giải:

f (x) 0 c 0
+

3

cx3 dx = 1 ⇐⇒ c =

f (x)dx = 1 ⇐⇒
−∞

0
+∞

EX =

3

x.

xf (x)dx =
−∞

0

4
81

4 3
4 x5
x dx = ( )

81
81 5

3

= 2, 4
0

Ví dụ 3:
X là ĐLNN có hàm mật độ f (x) =
Tính EX.
Giải:
+

0

xf (x)dx =


nếu x < 0; hoặc x > 1

1

nÕu 0 ≤ x ≤ 1

1

x.0.dx +
−∞

0

+∞

x.1.dx +
0

1

1
x.0.dx = .
2

b) Phơng sai:

Định nghĩa: Phơng sai của ĐLNN X, ký hiệu DX, đợc xác định bởi:
DX = E(X EX)2
Nếu X là ĐLNN liên tục thì:
+

(x EX)2 f (x)dx

DX =
−∞

c) §é lƯch chn: §é lƯch chn cđa §LNN X là X =



DX.

Ví dụ 1:
ĐLNN X có bảng phân phèi x¸c suÊt:
X(Ω)
p

0 1 2 3
5 15 9 1
30 30 30 30

A
This lesson was typed by pdfLTEX


14

5
15
9
1
+ 1. + 2. + 3. = 1, 2
30
30
30
30
9
1
2 5
2 15
DX = (0 − 1, 2) . + (1 − 1, 2) . + (2 − 1, 2)2 . + (3 − 1, 2)2 . = 0, 56

30
30
30
√
√ 30
σX = DX = 0, 56 = 0, 74.

Ta cã EX = 0.

Ví dụ 2:
Với ĐLNN liên tục ở ví dụ 2 trªn:
+∞
4 3
2
(x − 2, 4)2 .x3 dx = 0, 24
DX =
(x − 2, 4) .f (x)dx =
80
−∞
√
σX = DX = 0, 48.
Chú ý: Có thể chứng minh đợc
DX = E(X 2 ) − (EX)2 .
d) TÝnh chÊt cña kú väng toán và phơng sai:

Kỳ vọng: Kỳ vọng có các tính chÊt sau:
i) §LNN X = C: h»ng cã EC = C
ii) Một hằng số có thể đa ra ngoài dấu kỳ vọng
E(aX) = aEX.
iii) Kỳ vọng của tổng các ĐLNN b»ng tỉng c¸c kú väng:

E(X1 + X2 + · · · + Xn ) = EX1 + EX2 + · Ã Ã + EXn .
iv) Nếu g(x) là hàm liên tục thì g(X) là một ĐLNN và nếu g(X) có kỳ vọng
thì:
ã Nếu X là ĐLNN rời với P (X = xk ) = pk ; k = 1, 2, Ã Ã Ã thì E(g(X)) =


g(xk ).pk .
k=1

ã Nếu X là ĐLNN liên tục với hàm mật độ f (x) thì:
+

E(g(X)) =

g(x).f (x)dx.


Đặc biệt:



x2 .pk .
k

2

ãKhi X là ĐLNN rời: E(X ) =
k=1

A

This lesson was typed by pdfLTEX


15
+
2

x2 .f (x)dx.

ãKhi X là ĐLNN liên tục: E(X ) =


Phơng sai:
i) C là ĐLNN hằng thì DC = 0
ii) a là hằng thì D(aX) = a2 DX
iii) Nếu X1 , X2 , Ã Ã Ã , Xn là các ĐLNN độc lập thì:
D(X1 + X2 + Ã Ã Ã + Xn ) = DX1 + DX2 + · · Ã + DXn
ở đây X1 , X2 , Ã Ã Ã , Xn độc lập khi và chỉ khi:
P (X1 = x1 , X2 = x2 , · · · , Xn = xn )
= P (X1 = x1 ).P (X2 = x2 ) · · · P (Xn = xn )
d) ý nghĩa của kỳ vọng và phơng sai:

Kỳ vọng:
Kỳ vọng của ĐLNN X là một số đặc trng cho giá trị trung bình của X. Trong
thực tế nếu ta tiến hành "đo" một ĐLNN X thì ngời ta đo ĐLNN đó n lần độc
1
lập, các kết quả là X1 , X2 , · · · , Xn vµ cã thÓ coi X = (X1 + X2 + · Ã Ã + Xn ) là
n
giá trị của ĐLNN cần đo (với n đủ lớn).
Phơng sai: Phơng sai của ĐLNN đặc trng cho độ phân tán của các giá trị của

X xung quanh giá trị kỳ vọng của nó. Về mặt toán học phơng sai DX là độ lệch
bình phơng trung bình của các giá trị của X so với kỳ vọng EX.
Ví dụ 2:
Tính phơng sai của ĐLNN ở vÝ dô 1:
n

x2 pk = 5, 65
k

2

Ta cã: E(X ) =
k=1

DX = E(X 2 ) − (EX)2 = 5, 65 − (1, 05)2 = 4, 54.

VÝ dơ 3:
Cho X lµ ĐLNN có phân phối nhị thức với 2 tham số n, p; nghÜa lµ:
k
P (X = k) = Cn .pk q n−k ; k = 0, n; q = 1 p.

Tìm kỳ vọng và phơng sai.
n

k
k.Cn pk q nk

Ta cã: EX =
k=0

Víi k ≥ 1 ta cã:

k
kCn = k.

n!
(n − 1)!
k−1
= n.
= nCn−1 .
k!(n − k)!
(k − 1)!(n − k)!
A
This lesson was typed by pdfLTEX


16

Suy ra:
n
k1
Cn1 pk1 q nk

EX = np
k=1

đặt i = k − 1, ta cã:
n−1
i
Cn−1 pi q n−1−i = np(p + q)n1

EX = np
i=0

vì p + q = 1 nên: EX = np.
n

n
2

k

E(X ) =

2

k
.Cn .pk q n−k

k
[k(k − 1) + k]Cn pk q n−k =

=
k=0

k=0
n

n

k(k −

=

k
1)Cn .pk q n−k

k
kCn pk q nk

+

k=0

k=0

mặt khác:
k
k(k 1)Cn = k.(k 1).

= n(n − 1).

n!
=
k!(n − k)!

(n − 2)!
k−2
= n(n − 1)Cn−2
(k − 2)!(n − k)!

nh− vËy:
n

n

k(k −

k
1)Cn pk q n−k

= n(n − 1)p

k=0

2

k−2
Cn−2 pk−2 q n−k =
k=2

= n(n − 1)p2 (p + q)n−2 = n(n − 1)p2 .
VËy:
DX = EX 2 − (EX)2 = n(n − 1)p2 + np − (np)2 = np − np2 =

np(1 − p) = npq.

VÝ dô 4:
Cho X là ĐLNN có phân phối Poison với tham số λ > 0 nghÜa lµ:
P (X = k) =

λk .e−λ
; k = 0, 1, 2, · · ·
k!
A
This lesson was typed by pdfLTEX


17

Tìm kỳ vọng và phơng sai của X.


e .k
k.
= e
k!

EX =
k=0




đặt i = k 1, ta có: EX = λe .
∞

(Chó ý:
i=1

i=0

∞

k=1

λk−1
(k − 1)!

λi
. = λe−λ eλ = λ.
i!

i

λ
= eλ )
i!

Ta cã:

∞

λk .e−λ
k .
= e−λ .λ
k!

∞

2

2

E(X ) =
k=0
∞

λi
(i + 1). = λe−λ
λe .
i!
i=0

∞

−λ

∞

λ

i.
i=0

i=0

k=1

λk−1

k.
=
(k − 1)!

λi
i. + λe−λ
i!

∞

k=0

λi
=
i!

λi e−λ
+ λe−λ eλ = λ2 + λ.
i!

∞

λi .e−λ
(Chó ý:
i.
= EX = λ)
i!
i=0
VËy DX = E(X 2 ) − (EX)2 = (λ2 + ) 2 = .

Ví dụ 5:
Giả sử X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ:
0 nếu x < 0 hc x > 1
f (x) =
1 nÕu 0 ≤ x 1
Tính kỳ vọng và phơng sai.
+

EX =

0

xf (x)dx =
−∞

−∞

1

=

xdx =
0

1

x.0.dx +

1

x.1.dx +
0

x.0.dx
+∞

1
2

+∞

E(X 2 ) =

1

x2 f (x)dx =
−∞

0

1
x2 dx = .
3

1
Vậy DX =
12
2 Covarian và hệ số tơng quan:
a) Covarian: Covarian của hai ĐLNN X và Y là đại lợng ký hiệu cov (X, Y )
A

This lesson was typed by pdfLTEX