Giao trình xác xuất thống kê..Đại học Đông á

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÔNG Á




ThS.PHẠM THỊ NGỌC MINH





GIÁO TRÌNH
XÁC SUẤT THỐNG KÊ







LƯU HÀNH NỘI BỘ





Đà Nẵng, 2013

Môn: Xác suất thống kê
1

CHƯƠNG.1.
KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT
BÀI - 1. PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC LOẠI BIẾN CỐ
1.1.1. PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN
Trong tự nhiên và xã hội, mỗi hiện tượng đều gắn liền với một nhóm các điều
kiện cơ bản và các hiện tượng đó chỉ có thể xảy ra khi nhóm các điều kiện cơ bản gắn
liền với nó được thực hiện. Do đó, khi muốn nghiên cứu một hiện tượng ta cần thực
hiện nhóm các điều kiện cơ bản ấy.
Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào
đó có xảy ra hay không được gọi là thực hiện một phép thử.
Ví dụ 1.1:
Tung 1 đồng xu là 1 phép thử.
Ném 1 phi tiêu vào bia là 1 phép thử.
1.1.2. KHÔNG GIAN MẪU
Tập tất cả các kết quả có thể xảy ra trong 1 phép thử được gọi là không gian
mẫu.
Ví dụ 1.2:
Tung 1 đồng xu là 1 phép thử, không gian mẫu là tập gồm 2 kết quả: sấp, ngửa.
Ném 1 phi tiêu vào bia là 1 phép thử, không gian mẫu gồm 2 kết quả: trúng bia
hoặc không trúng bia.
1.1.3. BIẾN CỐ
Hiện tượng có thể xảy ra trong kết quả của phép thử được gọi là biến cố.
Ví dụ 1.3:
Tung 1 đồng xu là 1 phép thử, đồng xu lật sấp hay ngửa là 1 biến cố.
Tung một con xúc xắc xuống đất là một phép thử, con xúc xắc lật lên một mặt

nào đó là 1 biến cố.
1.1.3.2. Biến cố ngẫu nhiên
Là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện một phép thử.
Các biến cố ngẫu nhiên được kí hiệu là A, B, C, . . . hoặc A
1
, A
2
, , A
n
, B
1
, B
2
,
, B
n
.
Ví dụ 1.4:
- Tung một con xúc xắc, gọi A là biến cố “Xuất hiện mặt 1 chấm” khi đó A là
biến cố ngẫu nhiên.
- Bắn phát súng vào bia, gọi B là biến cố “Trúng vòng 10” khi đó B là biến cố
ngẫu nhiên.

Môn: Xác suất thống kê
2

1.1.3.3. Biến cố chắc chắn
Là biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện một phép thử.
Biến cố chắc chắn được kí hiệu là U.
Ví dụ 1.5:

- Thực hiện phép thử tung đồng xu. Gọi U là biến cố “Xuất hiện mặt sấp hoặc
mặt ngửa”. U là biến cố chắc chắn.
- Chấm điểm bài thi của một học sinh với thang điểm 10, gọi U là biến cố “Số
điểm đạt được không lớn hơn 10” thì U là biến cố chắc chắn.
1.1.3.4. Biến cố không có thể
Là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử.
Biến cố không thể có được kí hiệu là V.
Ví dụ 1.6:
Chọn một học sinh trong một lớp học không có nữ, thì biến cố “Chọn được một
học sinh nữ” là biến cố không thể có.
Tất cả các biến cố mà chúng ta gặp trong thực tế đều thuộc một trong 3 loại biến
cố kể trên, tuy nhiên các biến cố ngẫu nhiên là các biến cố thường gặp hơn cả.
Hai hay nhiều biến cố trong phép thử có khả năng xảy ra như nhau, được gọi là
đồng khả năng.
Ví dụ 1.7:
- Tung một đồng xu cân đối đồng chất, ta có số trường hợp đồng khả năng là 2.
- Tung một con xúc xắc cân đối đồng chất, ta có số trường hợp đồng khả năng là
6.










Môn: Xác suất thống kê
3

BÀI - 2. QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ
1.2.1. TỔNG, TÍCH CỦA 2 BIẾN CỐ
1.2.1.1. Tổng biến cố
Định nghĩa 1.1:

Biến cố C được gọi là tổng hai biến cố A và B, kí hiệu C = A + B nếu C
chỉ xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra.
Định nghĩa 1.2:

Biến cố A được gọi là tổng của n biến cố
n21
A, ,A,A
nếu A xảy ra khi
ít nhất có một trong n biến cố ấy xảy ra.
Kí hiệu:
∑
=
=
n
i
i
AA
1

Ví dụ 1.8:
Hai người thợ săn cùng săn 1 con thú. Gọi A là biến cố “người thứ nhất bắn
trúng con thú”, B là biến cố “người thứ hai bắn trúng con thú”, C là biến cố “ con thú
bị bắn trúng”.
Ta có:

B
A
C
+
=
.
Ví dụ 1.9:
Kiểm tra n sản phẩm. Gọi
i
A
là biến cố “Sản phẩm thứ i là xấu”, A là biến cố
“Có ít nhất một sản phẩm xấu”.
Ta có
n
AAAA
+
+
+
=

21

1.2.1.2. Tích biến cố
Định nghĩa 1.3:

Bi
ế
n c
ố
C

đượ
c g
ọ
i là tích c
ủ
a hai bi
ế
n c
ố
A và B n
ế
u C x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi
c
ả
hai bi
ế
n c
ố
A và B cùng
đồ
ng th
ờ
i x
ả
y ra, kí hi
ệ

u C = A . B.
Ví dụ 1.10:
Có hai hộp đựng một số quả cầu trắng và đen. Gọi A là biến cố “Lấy được quả
cầu trắng ở hộp thứ nhất”, B là biến cố “Lấy được quả cầu trắng ở hộp thứ hai”. Gọi C
là biến cố “Lấy được hai quả cầu trắng”.
Ta có:
B
A
C
.
=

Định nghĩa 1.4:

Bi
ế
n c
ố
A
đượ
c g
ọ
i là tích c
ủ
a n bi
ế
n c
ố

n21

A, ,A,A
n
ế
u A x
ả
y ra khi c
ả
n
bi
ế
n c
ố
nói trên cùng
đồ
ng th
ờ
i x
ả
y ra.
Kí hiệu:
∏
=
=
n
i
i
AA
1

Ví dụ 1.11:

Môn: Xác suất thống kê
4

Có n xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu, gọi
i
A
là biến cố “Người thứ i bắn
trúng mục tiêu”, i = 1, 2, , n. Khi đó, biến cố
∏
=
=
n
i
i
AA
1
là biến cố “Cả n xạ thủ cùng
bắn trúng”.
1.2.2. BIẾN CỐ XUNG KHẮC, BIẾN CỐ ĐỘC LẬP, HỌ BIẾN CỐ ĐẦY ĐỦ
1.2.2.1. Biến cố xung khắc
Định nghĩa 1.5:

Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không thể đồng
thời xảy ra trong một phép thử.
Trường hợp ngược lại, nếu hai phép thử có thể xảy ra đồng thời trong một phép
thử được gọi là không xung khắc.
Ví dụ 1.12:
Có hai hộp đựng một số quả cầu trắng và đen. Lấy ở mỗi hộp một quả cầu. Gọi
A là biến cố “Lấy được hai quả cầu cùng màu”, B là biến cố “Lấy được hai quả khác

màu”. Khi đó A, B là hai biến cố xung khắc.
Ví dụ 1.13:
Hai người A, B cùng bắn vào một tấm bia, gọi A là biến cố “Người A bắn
trúng”, B là biến cố “Người B bắn trúng”. Khi đó hai biến cố A, B là không xung khắc.
Định nghĩa 1.6:

Nhóm n biến cố
n21
A, ,A,A
được gọi là xung khắc từng đôi nếu bất kỳ hai
biến cố nào trong nhóm này cũng xung khắc với nhau.
Ví dụ 1.14:
Trong một cái hộp có 3 viên bi xanh, 4 viên bi vàng, 5 viên bi đỏ. Gọi
1
A
là
biến cố “Lấy được hai viên bi xanh”,
2
A
là biến cố “Lấy được hai viên bi vàng”,
3
A
là
biến cố “Lấy được hai viên bi đỏ”. Khi đó
1
A
,
2
A
,

3
A
xung khắc nhau từng đôi một.
1.2.2.2. Nhóm biến cố đầy đủ
Định nghĩa 1.7:

Các biến cố
n21
A, ,A,A
được gọi là một nhóm đầy đủ các biến cố nếu trong
kết quả của một phép thử sẽ xảy ra một và chỉ một trong các biến cố đó.
Nói cách khác các biến cố trên sẽ tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố nếu
chúng xung khắc từng đôi một và tổng của chúng là một biến cố chắc chắn.
Ví dụ 1.15:
Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm trong 1 kho hàng chứa sản phẩm do 3 nhà máy sản
xuất. Gọi
i
A
là biến cố “Sản phẩm lấy ra do nhà máy thứ i sản xuất”, ta có
1
A
,
2
A
,
3
A
là một nhóm đầy đủ các biến cố.

Môn: Xác suất thống kê

5

1.2.2.3. Biến cố đối lập
Định nghĩa 1.8:

Hai biến cố A và
A
gọi là đối lập với nhau nếu chúng tạo nên một nhóm đầy đủ
các biến cố.
Ví dụ 1.16:
Bắn một phát đạn vào bia. Gọi A là biến cố “Bắn trúng bia”,
A
là biến cố “Bắn
trượt bia”. A và
A
là hai biến cố đối lập.
1.2.2.4. Biến cố độc lập
Định nghĩa 1.9:

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy
ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia và ngược lại.
Trong trường hợp việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này làm thay đổi xác
suất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố đó được gọi là phụ thuộc nhau.
Chú ý: Tính độc lập của các biến cố có tính tương hỗ. Nếu A và B độc lập với
nhau thì A và
B
,
A
và B,
A

và
B
cũng độc lập với nhau.
Định nghĩa 1.10:

Các biến cố
n21
A, ,A,A
được gọi là độc lập từng đôi với nhau nếu mỗi cặp
hai trong n biến cố đó độc lập với nhau.
Ví dụ 1.17:
Tung một đồng xu 3 lần. Gọi
i
A (i 1,3)
=
là biến cố “Được mặt sấp ở lần tung
thứ i”. Rõ ràng mỗi cặp hai trong ba biến cố đó độc lập với nhau.

Môn: Xác suất thống kê
6

BÀI - 3. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ VÀ CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT
CƠ BẢN
1.3.1. ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN VỀ XÁC SUẤT
1.3.1.1. Định nghĩa
Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thử là tỉ số giữa số kết cục thuận
lợi cho A và tổng số các kết cục duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra khi thực hiện
phép thử đó.
Nếu kí hiệu P(A) là xác suất của biến cố A, m là số kết cục thuận lợi cho biến
cố A, n là số kết cục duy nhất đồng khả năng của phép thử, ta có công thức sau:
n
m
AP =)(

Ví dụ 1.18:
Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Gọi A là biến cố “Xuất hiện mặt có số
chấm chẵn”, B là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm

nhỏ hơn 3”. Tính xác suất của A,
B.

Giải:
Khi gieo con xúc xắc một cách ngẫu nhiên ta có tổng số kết cục duy nhất đồng
khả năng là 6. Kết cục thuận lợi cho biến cố A xảy ra là 3 và kết cục thuận lợi cho biến
cố B xảy ra là 2. Nên ta có:
2
1

6
3
)A(P ==

3
1
6
2
)B(P ==

1.3.1.2. Các tính chất của xác suất
a) Xác su
ấ
t c
ủ
a bi
ế
n c
ố
ng
ẫ
u nhiên là m
ộ
t s
ố
d
ươ
ng l
ớ
n h

ơ
n 0 và nh
ỏ
h
ơ
n 1
0 < P(A) < 1
b) Xác su
ấ
t c
ủ
a bi
ế
n c
ố
ch
ắ
c ch
ắ
n b
ằ
ng 1
P(U) = 1
c) Xác su
ấ
t c
ủ
a bi
ế
n c

ố
không th
ể
có b
ằ
ng 0
P(V) = 0
Nh
ư
v
ậ
y xác su
ấ
t c
ủ
a m
ộ
t bi
ế
n c
ố
b
ấ
t k
ỳ
luôn luôn tho
ả
mãn
đ
i

ề
u ki
ệ
n

1)A(P0
≤
≤

M
ệ
nh
đề

đả
o c
ủ
a hai tính ch
ấ
t b, c ch
ư
a ch
ắ
c
đ
úng, t
ứ
c là n
ế
u m

ộ
t bi
ế
n c
ố
có
xác su
ấ
t b
ằ
ng 1 thì ch
ư
a ch
ắ
c là bi
ế
n c
ố
ch
ắ
c ch
ắ
n và n
ế
u m
ộ
t bi
ế
n c
ố

có xác su
ấ
t b
ằ
ng
0 thì ch
ư
a ch
ắ
c
đ
ã là bi
ế
n c
ố
không th
ể
có.

Môn: Xác suất thống kê
7

1.3.2. ĐỊNH NGHĨA THỐNG KÊ VỀ XÁC SUẤT
1.3.2.1. Định nghĩa tần suất
Tần suất suất hiện biến cố trong n phép thử là tỉ số giữa số phép thử trong đó
biến cố xuất hiện và tổng số phép thử được thực hiện.
Như vậy, nếu kí hiệu số phép thử là n, số lần xuất hiện biến cố A là k, tần xuất
suất hiện biến cố A là f(A) thì :

n

k
Af =)(

Cùng với khái niệm xác suất, khái niệm tần suất là một trong những khái niệm
cơ bản của lí thuyết xác suất.
Ví dụ 1.19:
- Khi kiểm tra ngẫu nhiên 80 sản phẩm do một nhà máy sản xuất, người ta phát
hiện ra 3 phế phẩm. Gọi A là biến cố “xuất hiện phế phẩm”. Vậy tần suất xuất hiện phế
phẩm bằng:

80
3
)( =Af

-
Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi gieo đồng tiền người ta tiến
hành tung một đồng tiền nhiều lần và thu được kết quả như sau:
Người làm
thí nghiệm
Số lần tung

(n)
Số lần được
mặt sấp
(k)
Tần suất
f(A) = k/n
Buffon 4040 2048 0,5069
Pearson 12000 6019 0,5016
Pearson 24000 12012 0,5005

Qua ví dụ trên ta thấy khi số phép thử tăng lên thì tần suất xuất hiện của mặt sấp
sẽ dao động ngày càng ít hơn xung quanh giá trị không đổi là 0.5. Tính ổn định của tần
suất là cơ sở để đưa ra định nghĩa thống kê về xác suất
1.3.2.2. Định nghĩa thống kê về xác suất
Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thử là một số p không đổi mà tần
suất f xuất hiện biến cố đó trong n phép thử sẽ hội tụ theo xác suất về p khi số phép thử
tăng lên vô hạn



Như vậy về mặt thực tế, với số phép thử n đủ lớn ta có thể lấy P(A) = f(A)
hội tụ theo xác suất
Tức là f
n
(A)
P(A
)

n→∞

Môn: Xác suất thống kê
8

1.3.3. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT
1.3.3.1. Công thức cộng xác suất
Định lý:
Xác suất của tổng hai biến cố xung khắc bằng tổng xác suất của các biến cố đó.
Nếu hai biến cố A và B xung khắc với nhau thì
)()()( BPAPBAP
+

=
+

Hệ quả 1.
Xác suất của tổng các biến cố xung khắc từng đôi
n21
A, ,A,A
bằng tổng xác
suất của các biến cố đó.
)( )()() (
2121 nn
APAPAPAAAP
+
+
+
=
+
+
+

Hệ quả 2.
Nếu các biến cố
n21
A, ,A,A
tạo nên nhóm đầy đủ các biến cố thì tổng xác
suất của chúng bằng 1.
1)( )()(
21
=
+

+
+
n
APAPAP

Hệ quả 3.
Tổng xác suất của hai biến cố đối lập bằng 1.
1)()( =+ APAP

Ví dụ 1.20:
Trong hòm có 10 chi tiết, trong đó có hai chi tiết hỏng. Tính xác suất để khi lấy
ngẫu nhiên ra 6 chi tiết thì có không quá 1 chi tiết hỏng.
Giải:
Gọi
0
A
là biến cố “Trong 6 chi tiết lấy ra không có chi tiết hỏng”,
1
A
là biến cố
“trong 6 chi tiết lấy ra có 1 chi tiết hỏng”, A là biến cố “trong 6 chi tiết lấy ra có không
quá 1 chi tiết hỏng ”
10
AAA
+
=

Vì
0
A

,
1
A
là hai biến cố xung khắc nên
P(A) = P(
0
A
+
1
A
) = P(
0
A
) + P(
1
A
)
Dùng định nghĩa cổ điển về xác suất ta có

15
2
C
C
)A(P
6
10
6
8
0
==

15
8
C
C.C
)A(P
6
10
5
8
1
2
1
==


Môn: Xác suất thống kê
9

Vậy
3
2
15
8
15
2
)A(P =+=

Ví dụ 1.21:

Trong m
ộ
t cái h
ộ
p có 3 viên bi vàng, 4 viên bi
đỏ
, 5 viên bi xanh. Ch
ọ
n ng
ẫ
u
nhiên m
ộ
t l
ầ
n 2 bi t
ừ
trong h
ộ
p. Tính xác su
ấ
t c
ủ
a các bi
ế
n c
ố
sau:
A = “2 bi ch

ọ
n ra cùng màu”
B = “2 bi ch
ọ
n ra khác màu”
C = “2 bi ch
ọ
n ra có ít nh
ấ
t 1 viên bi
đỏ
”.
Giải:
T
ổ
ng s
ố
k
ế
t qu
ả

đồ
ng kh
ả
n
ă
ng có th
ể
x

ả
y khi th
ự
c hi
ệ
n phép th
ử
là t
ổ
h
ợ
p ch
ậ
p
2 c
ủ
a 12:
2
12
Cn =

G
ọ
i
1
A
là bi
ế
n c
ố

“2 bi ch
ọ
n ra
đề
u có màu vàng”
2
A
là bi
ế
n c
ố
“2 bi ch
ọ
n ra
đề
u có màu
đỏ
”
3
A
là bi
ế
n c
ố
“2 bi ch
ọ
n ra
đề
u có màu xanh”
S

ố
k
ế
t c
ụ
c thu
ậ
n l
ợ
i cho
1
A
,
2
A
,
3
A
x
ả
y ra t
ươ
ng
ứ
ng là:
2
3
C
,
2

4
C
,
2
5
C


;
66
3
)(
2
12
2
3
1
==
C
C
AP

;
66
6
)(
2
12
2
4

2
==
C
C
AP

;
66
10
)(
2
12
2
5
3
==
C
C
AP

a. G
ọ
i A là bi
ế
n c
ố
“2 bi ch
ọ
n ra cùng màu”: A =
1

A
+
2
A
+
3
A


66
19
66
10
66
6
66
3
)P(A + )P(A + )P(A = P(A)
321
=++=⇒
b. Vì A là bi
ế
n c
ố
“2 bi ch
ọ
n ra cùng màu” nên
A
là bi
ế

n c
ố
“2 bi ch
ọ
n ra khác
màu”
66
47
66
19
- 1 = P(A) - 1 = )A P( =⇒
c. G
ọ
i C là bi
ế
n c
ố
“2 bi ch
ọ
n ra có ít nh
ấ
t m
ộ
t bi
đỏ
”,
C
là bi
ế
n c

ố
“2 bi ch
ọ
n
ra không có bi
đỏ
”. Trong h
ộ
p có 8 bi không có màu
đỏ
nên s
ố
k
ế
t c
ụ
c thu
ậ
n l
ợ
i cho
C

là
28C
2
8
=

33

14
66
28
)( ==⇒ CP
33
19
33
14
- 1 = )C P( - 1 = P(C) =⇒
1.3.3.2. Định lý nhân
Định lý:
Xác suất của tích hai biến cố độc lập bằng tích các xác suất thành phần


Môn: Xác suất thống kê
10

)().()( BPAPBAP
=
+

Hệ quả:
Xác suất của tích n biến cố độc lập toàn phần bằng tích các xác suất thành
phần
∏
=
∏
==
n
i

i
n
i
i
APAP
11
)()(

Ví dụ 1.22:

Có hai h
ộ
p
đự
ng chi ti
ế
t. H
ộ
p th
ứ
nh
ấ
t
đự
ng 5 cái
ố
c, trong
đ
ó có 4 cái t
ố

t, h
ộ
p
th
ứ
hai
đự
ng 6 cái vít trong
đ
ó có 5 cái t
ố
t. L
ấ
y ng
ẫ
u nhiên m
ỗ
i h
ộ
p m
ộ
t chi ti
ế
t. Tính
xác su
ấ
t
để
l
ấ

y
đượ
c m
ộ
t b
ộ

ố
c vít t
ố
t.
Giải:
1
A
là bi
ế
n c
ố
“L
ấ
y
đượ
c cái
ố
c t
ố
t”
2
A
là bi

ế
n c
ố
“L
ấ
y
đượ
c các vít t
ố
t”
Khi
đ
ó A =
1
A
2
A

Vì
1
A
,
2
A
là hai bi
ế
n c
ố

độ

c l
ậ
p nên
P(A) =
)A(P).A(P
21
=
3
2
6
5
.
5
4
=

1.3.3.3. Mở rộng định lý cộng và định lý nhân xác suất
Định lý :

Xác su
ấ
t c
ủ
a t
ổ
ng hai bi
ế
n c
ố
không xung kh

ắ
c b
ằ
ng t
ổ
ng xác su
ấ
t c
ủ
a các bi
ế
n
c
ố

đ
ó tr
ừ

đ
i xác su
ấ
t c
ủ
a tích các bi
ế
n c
ố

đ

ó.
)().()()()( BPAPBPAPBAP
−
+
=
+

N
ế
u các bi
ế
n c
ố
A, B
độ
c l
ậ
p thì công th
ứ
c trên có d
ạ
ng
P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A)P(B)
Còn n
ế
u A, B là hai bi
ế
n c
ố
ph

ụ
thu
ộ
c thì công th
ứ
c trên có d
ạ
ng
P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A).P(B/A)
N
ế
u A, B là hai bi
ế
n c
ố
xung kh
ắ
c thì tích AB là bi
ế
n c
ố
không th
ể
có, do
đ
ó
P(AB) = 0. Ta thu
đượ
c công th
ứ

c c
ộ
ng xác su
ấ
t
đ
ã xét
ở
ph
ầ
n tr
ướ
c.
Hệ quả 1:

Xác su
ấ
t c
ủ
a t
ổ
ng n bi
ế
n c
ố
không xung kh
ắ
c
đượ
c xác

đị
nh b
ằ
ng công th
ứ
c
) (.)1( )()()()(
21
1
1
n
n
kji
kji
ji
ji
i
i
n
i
i
AAAPAAAPAAPAPAP
−
<<<=
−++
∑
+
∑
−
∑

=
∑

Hệ quả 2
:


Môn: Xác suất thống kê
11

Xác suất của tích n biến cố được xác định bằng công thức
) (.)1( )()()()(
21
1
1
n
n
kji
kji
ji
ji
i
i
n
i
i
AAAPAAAPAAPAPAP +++−+−
∑
+++
∑

+−
∑
=
∏
−
<<<
=

Ví dụ 1.23:
Hai máy bay cùng ném bom một mục tiêu, mỗi máy bay ném một quả với xác
suất trúng mục tiêu tương ứng là 0,7 và 0,8. Tìm xác suất để mục tiêu bị ném trúng.
Giải:
Gọi
1
A
là biến cố ‘Quả bom thứ nhất ném trúng mục tiêu”
Gọi
2
A
là biến cố ‘Quả bom thứ hai ném trúng mục tiêu”
Gọi A là biến cố “Mục tiêu bị ném trúng”. Áp dụng định lý trên ta có,
1
A
và
2
A
là không xung khắc và độc lập nên
94.02,0.3,01)().(1)(
21
=−=−= APAPAP

.





















Môn: Xác suất thống kê
12

BÀI - 4. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
1.4.1. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
Định nghĩa 1.11:

Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất

có điều kiện của A và kí hiệu là P(A/B).
Ví dụ 1.24:
Trong hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2
sản phẩm. Tính xác suất để lần thứ hai lấy được chính phẩm, biết rằng lần thứ nhất lấy
được chính phẩm.
Giải:
Gọi A là biến cố “Lần thứ nhất lấy được chính phẩm”, B là biến cố “Lần
thứ hai lấy được chính phẩm”.
Sau khi lần thứ nhất lấy được chính phẩm (biến cố A đã xảy ra) trong
bình chỉ còn lại 7 sản phẩm, trong đó có 4 chính phẩm. Vậy xác suất có điều
kiện của B là:
6
( / )
9
P B A
=

1.4.2. CÔNG THỨC
Xác su
ấ
t c
ủ
a tích hai bi
ế
n c
ố
A và B b
ằ
ng tích c
ủ

a m
ộ
t trong hai bi
ế
n c
ố

đ
ó v
ớ
i
xác su
ấ
t có
đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a bi
ế
n c
ố
còn l
ạ
i
)/().()/().().( BAPBPABPAPBAP
=

=

Hệ quả 1
:
N
ế
u P(B) > 0 thì xác su
ấ
t c
ủ
a bi
ế
n c
ố
A v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n bi
ế
n c
ố
B x
ả
y ra
đượ

c
tính theo công th
ứ
c
)(
).(
)/(
BP
BAP
BAP =

Còn n
ế
u P(B) = 0 thì xác su
ấ
t trên không xác
đị
nh. T
ươ
ng t
ự
, n
ế
u P(A) > 0 thì
ta có
)(
).(
)/(
AP
BAP

ABP =

Hệ quả 2:

Xác su
ấ
t c
ủ
a tích n bi
ế
n c
ố
ph
ụ
thu
ộ
c b
ằ
ng tích xác su
ấ
t c
ủ
a n bi
ế
n c
ố

đ
ó, trong
đ

ó xác su
ấ
t c
ủ
a m
ỗ
i bi
ế
n c
ố
ti
ế
p sau
đề
u
đượ
c tính v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n t
ấ
t c
ả
các bi
ế

n c
ố

tr
ướ
c
đ
ó
đ
ã x
ả
y ra.
) /() /().() (
1112121 −
=
nnn
AAAPAAPAPAAAP


Môn: Xác suất thống kê
13

Nếu A và B độc lập thì
)()/( APBAP
=
và
)()/( BPABP
=

Ví dụ 1.25:

Một lớp có 40 học sinh, trong đó có 15 học sinh giỏi Toán, 20 học sinh giỏi
Văn, 10 học sinh giỏi cả Toán và Văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp đó. Biết
rằng học sinh đó đã giỏi Toán, tính xác suất học sinh đó giỏi Văn.
Giải:
Gọi A là biến cố “Chọn được học sinh giỏi Văn”
Gọi B là biến cố “Chọn được học sinh giỏi Toán”
A.B là biến cố “Chọn được học sinh giỏi Văn và Toán”. Ta có xác suất
cần tìm là P(A/B)

)(
)(
)/(
BP
ABP
BAP =
Ta có:
;
40
10
).(
1
40
1
10
==
C
C
BAP

40

15
)(
1
40
1
15
==
C
C
BP


3
2
15
10
40
15
:
40
10
)/( ===⇒ BAP
Ví dụ 1.26:

Trong h
ộ
p có 8 qu
ả
c
ầ

u tr
ắ
ng và 6 qu
ả
c
ầ
u
đỏ
gi
ố
ng nhau v
ề
hình d
ạ
ng, kích
th
ướ
c và tr
ọ
ng l
ượ
ng. L
ấ
y ng
ẫ
u nhiên l
ầ
n l
ượ
t không hoàn l

ạ
i 3 qu
ả
c
ầ
u t
ừ
trong h
ộ
p.
Tính xác su
ấ
t
để
3 qu
ả
l
ấ
y ra
đề
u màu tr
ắ
ng.
Giải:
G
ọ
i
i
A
là bi

ế
n c
ố
“Qu
ả
c
ầ
u l
ấ
y l
ầ
n th
ứ
i có màu tr
ắ
ng”; i = 1, 2, 3.
G
ọ
i A là bi
ế
n c
ố
“3 qu
ả
c
ầ
u l
ấ
y ra
đề

u có màu tr
ắ
ng”

321
AAAA
=

Ta có: P(A) = P(
321
A.A.A
) =
)AA/A(P).A/A(P).A(P
213121

Vì l
ấ
y ra không hoàn l
ạ
i nên
)A(P
1
=
14
8
,
)A/A(P
12
=
13

7
,
12
6
)AA/A(P
213
=
, P(A) =
13
2
12
6
.
13
7
.
14
8
=

Ví dụ 1.27:

M
ộ
t xí nghi
ệ
p có 3 ô tô ho
ạ
t
độ

ng
độ
c l
ậ
p. Xác su
ấ
t
để
trong m
ộ
t ngày các ô tô
b
ị
h
ỏ
ng là 0,1; 0,2; 0,15. Tìm xác su
ấ
t
để
trong m
ộ
t ngày có
đ
úng m
ộ
t ô tô b
ị
h
ỏ
ng.

Giải:
G
ọ
i
i
A
là bi
ế
n c
ố
“Ô tô th
ứ
i b
ị
h
ỏ
ng trong ngày”, i = 1, 2, 3.

Môn: Xác suất thống kê
14

A là biến cố “Trong ngày có đúng một ô tô bị hỏng”.
Khi đó
2 3 1 3 1 2
1 2 3
A A A A A A A A A A
= + +
)()()()()()()()()()(
3
213

2
132
1
APAPAPAPAPAPAPAPAPAP ++=
Vì
)A(P
1
= 0,1;
)A(P
2
= 0,2;
)A(P
3
= 0,15
Nên
)A(P
1
= 0,9; )A(P
2
= 0,8; )A(P
3
= 0,85
P(A) = 0,1.0,8.0,85 + 0,9.0,2.0,85 + 0,9.0,8.0,15 = 0,329

Môn: Xác suất thống kê
15

BÀI - 5. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ - CÔNG THỨC BAYES
1.5.1. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ
Nhóm
n21
H, ,H,H
là nhóm đầy đủ các biến cố. Giả sử biến cố A có thể xảy ra
đồng thời với một trong các biến cố
i
H
. Lúc đó xác suất của biến cố A được tính bằng
công thức:

∑
=
=
n
i
ii
HAPHPAP
1
)/()()(

Các biến cố
n21
H, ,H,H
thường được gọi là các giả thuyết.
Ví dụ 1.28:
Một nhà máy có 3 phân xưởng cách biệt cùng sản xuất một loại sản phẩm. Tỉ lệ
sản phẩm của phân xưởng 1, 2, 3 lần lượt là 35%, 25%, 40%. Tỉ lệ phế phẩm của phân
xưởng 1, 2, 3 tương ứng là 2%, 1%, 3%. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm trong kho hàng
của nhà máy. Tính xác suất để sản phẩm đó là phế phẩm, cho biết ý nghĩa của xác suất
này.
Giải:
Gọi
i
H
là biến cố “Sản phẩm lấy ra là do phân xưởng i sản xuất”, (i= 1, 2, 3).
Theo bài ta có
P(
1
H
) = 35% = 0,35;

P(
2
H
) = 0,25;
P(
3
H
) = 0,4
321
H,H,H
là một nhóm đầy đủ các biến cố.
Gọi A là biến cố “Sản phẩm chọn ra là phế phẩm”. Áp dụng công thức xác suất
đầy đủ, ta có:
∑
=
=
3
1
)/()()(
i
ii
HAPHPAP

với
P(A/
1
H
) = 2% = 0,02 ;
P(A/
2

H
) = 0,01 ;
P(A/
3
H
) = 0,03
( ) 0,35.0,02 0,25.0,01 0,4.0,03 0,0215 2,15%
P A
⇒ = + + = =

Vậy xác suất cần tìm là 0,0215. Xác suất này chính là tỉ lệ phế phẩm của nhà
máy.
Ví dụ 1.29:

Môn: Xác suất thống kê
16

Trong một chiếc hộp kín có 3 quả cầu xanh và 5 quả cầu đỏ hoàn toàn giống
nhau. Chọn ngẫu nhiên lần lượt không hoàn lại 2 quả cầu từ trong hộp. Tính xác suất
để quả cầu lấy lần thứ 2 có màu xanh.
Giải:
Gọi A là biến cố “Quả cầu chọn lần thứ hai có màu xanh”, A xảy ra đồng thời
với một trong các biến cố:
1
H
là biến cố “Quả cầu chọn lần một có màu xanh”.

2
H
là biến cố “Quả cầu chọn lần một có màu đỏ”.

Ta có: P(
1
H
) =
8
3
; P(
2
H
) =
8
5

1
H
,
2
H
là m
ộ
t nhóm
đầ
y
đủ
các bi
ế
n c
ố
.
Áp d

ụ
ng công th
ứ
c xác su
ấ
t
đầ
y
đủ
ta có:
P(A) = P(
1
H
)P(A/
1
H
) + P(
2
H
)P(A/
2
H
)
v
ớ
i

7
3
)H/A(P

;
7
2
)H/A(P
2
1
=
=

8
3
7
3
.
8
5
7
2
.
8
3
)A(P =+=⇒

1.5.2. CÔNG THỨC BAYES
Gi
ả
s
ử
bi
ế

n c
ố
A có th
ể
x
ả
y ra d
ồ
ng th
ờ
i v
ớ
i m
ộ
t trong n bi
ế
n c
ố

n21
H, ,H,H
t
ạ
o nên m
ộ
t nhóm
đầ
y
đủ
các bi

ế
n c
ố
. Lúc
đ
ó:
∑
=
=
n
i
ii
ii
i
HAPHP
HAPHP
AHP
1
)/()(
)/()(
)/(

Các bi
ế
n c
ố

n21
H, ,H,H
th

ườ
ng
đượ
c g
ọ
i là các gi
ả
thuy
ế
t. Các xác su
ấ
t
)P(H
1
,
)H(P
2
,
n
, P(H )

đượ
c xác
đị
nh tr
ướ
c khi phép th
ử
ti
ế

n hành, do
đ
ó th
ườ
ng
đượ
c g
ọ
i là các xác su
ấ
t tiên nghi
ệ
m. Còn các xác su
ấ
t
)A/P(H
1
,
)A/H(P
2
,
)A/H(P ,
n

đượ
c xác
đị
nh sau khi phép th
ử

đ
ã ti
ế
n hành và bi
ế
n c
ố
A
đ
ã x
ả
y ra, do
đ
ó
đượ
c g
ọ
i là các xác su
ấ
t h
ậ
u nghi
ệ
m. Nh
ư
v
ậ
y công th
ứ
c Bayescho phép

đ
ánh giá
l
ạ
i xác su
ấ
t x
ả
y ra các gi
ả
thuy
ế
t sau khi
đ
ã bi
ế
t k
ế
t qu
ả
c
ủ
a phép th
ử
là bi
ế
n c
ố
A
đ

ã
x
ả
y ra.
Ví dụ 1.30:

Cho 3 h
ộ
p bi. H
ộ
p th
ứ
1 có 2 bi tr
ắ
ng và 1 bi
đ
en. H
ộ
p th
ứ
2 có 3 bi tr
ắ
ng và 1
bi
đ
en. H
ộ
p th
ứ
3 có 2 bi tr

ắ
ng và 2 bi
đ
en. L
ấ
y ng
ẫ
u nhiên m
ộ
t h
ộ
p, và t
ừ

đ
ó l
ấ
y hú

Môn: Xác suất thống kê
17

họa một bi. Tìm xác suất để bi đó là trắng. Khi lấy bi ra thấy nó là trắng, tìm xác suất
để nó thuộc hộp thứ 2.
Giải:
a) A là biến cố “Lấy được bi trắng”. A xảy ra đồng thời với một trong các biến
cố:
i
H
: “Lấy được hộp thứ i” (i = 1, 2, 3)

Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có:

∑
=
=
3
1
)/()()(
i
ii
HAPHPAP

v
ớ
i
3
1
)P(H
i
=
; (i = 1, 2, 3) và
3
2
)/(
1
=HAP
;
4
3
)H/A(P

1
=
;
2
1
)H/A(P
3
=

1 2 1 3 1 1 23
P(A) . . .
3 3 3 4 3 2 36
⇒ = + + =

b) Áp d
ụ
ng công th
ứ
c Bayes ta có:

23
9
36
23
4
3
.
3
1
)(

)/().(
)/(
22
2
===
AP
HAPHP
AHP

Ví dụ 1.31:

Có hai lô s
ả
n ph
ẩ
m, lô th
ứ
nh
ấ
t có t
ỷ
l
ệ
chính ph
ẩ
m là 3/4, còn lô th
ứ
hai có t
ỷ

l
ệ
chính ph
ẩ
m 2/3. L
ấ
y ng
ẫ
u nhiên m
ộ
t lô và t
ừ

đ
ó l
ấ
y ng
ẫ
u nhiên m
ộ
t s
ả
n ph
ẩ
m th
ấ
y
nó là chính ph
ẩ
m. S

ả
n ph
ẩ
m
đượ
c b
ỏ
tr
ở
l
ạ
i và t
ừ
lô
đ
ó l
ấ
y ti
ế
p m
ộ
t s
ả
n ph
ẩ
m. Tìm xác
su
ấ
t
để

l
ầ
n th
ứ
hai c
ũ
ng l
ấ
y
đượ
c chính ph
ẩ
m.
Giải:
G
ọ
i A là bi
ế
n c
ố
“S
ả
n ph
ẩ
m l
ấ
y l
ầ
n
đầ

u là chính ph
ẩ
m”. Bi
ế
n c
ố
A x
ả
y ra v
ớ
i
m
ộ
t trong hai gi
ả
thuy
ế
t sau:
H
1
: “L
ấ
y
đượ
c lô th
ứ
I”
H
2
: “L

ấ
y
đượ
c lô th
ứ
II”
Theo công th
ứ
c xác su
ấ
t
đầ
y
đủ
ta có
∑
=
=
2
1
)/()()(
i
ii
HAPHPAP

Theo
đ
i
ề
u ki

ệ
n
đầ
u bài: P(H
1
) = P(H
2
) =
2
1


3
2
)H/A(P;
4
3
)H/A(P
21
==

Do
đ
ó: P(A) =
24
17
3
2
.
2

1
4
3
.
2
1
=+


Môn: Xác suất thống kê
18

Sau khi biến cố A đã xảy ra, xác suất của các biến cố H
1
, H
2
thay đổi theo công
thức Bayes như sau:
17
9
24
17
.
8
3
)(
)/().(
)/(
11
1

===
AP
HAPHP
AHP

17
8
24
17
.
3
1
)(
)/().(
)/(
22
2
===
AP
HAPHP
AHP

Gọi B là biến cố “Sản phẩm lấy lần thứ hai là chính phẩm”. B có thể xảy ra với
một trong hai giả thyết H
1
và H
2
. Do đó theo công thức xác suất đầy đủ:
)/()/()/()/()(
2211

AHBPAHPAHBPAHPBP
+
=

Vì sản phẩm thứ nhất được bỏ lại lô, do đó tỷ lệ chính phẩm ở các lô đó vẫn
không thay đổi. Vì thế:
3
2
)/(;
4
3
)/(
21
== AHBPAHBP


71,0
204
145
3
2
.
17
8
4
3
.
17
9
)( ==+=BP

Môn: Xác suất thống kê
19

BÀI - 6. PHÉP THỬ LẶP VÀ CÔNG THỨC BERNOULLY
1.6.1. PHÉP THỬ LẶP
Tiến hành n phép thử, giả sử trong mỗi phép thử chỏ có thể xảy ra một trong hai
trường hợp: hoặc biến cố A xảy ra hoặc biến cố A không xảy ra. Xác suất để A xảy ra
trong mỗi phép thử đểu bằng p.
Ví dụ 1.32:
Tung 1 đồng xu nhiều lần, mỗi lần xác suất xảy ra mặt ngửa là 0,5 như nhau.
1.6.2. CÔNG THỨC BERNOULLY

Lược đồ Bernoully:
- Thực hiện n phép thử độc lập
- Trong mỗi phép thử chỉ có hai trường hợp: hoặc biến cố A xảy ra hoặc
biến cố A không xảy ra.
- Xác suất xảy ra của biến cố A trong mỗi phép thử đều bằng q = 1 - q.
Những bài toán thỏa mãn cả ba điều giả thiết trên gọi là tuân theo lược đồ
Bernoully.
Khi đó xác suất để trong n phép thử độc lập nói trên, biến cố A xuất hiện đúng x
lần, kí hiệu là:
xnxx
nn
qpCxP
−
=)( , x = 0, 1, 2,…,n
Ví dụ 1.33:
Xét trò chơi rút quân bài 10 lần mà xảy ra x lần được quân cơ là có thưởng. Tìm
xác suất để cả 10 lần đều rút được quân cơ.
Giải:
Gọi A là biến cố “Rút được quân cơ”, mà trong bộ bài (52 quân) có 13 quân cơ
nên ta có
4
1
52
13
)( ==AP
Xác su
ấ
t
để
c

ả
10 l
ầ
n
đề
u rút
đượ
c quân c
ơ
là :
10
010
10
1010
4
1
4
3
4
1
)10( =













= CP



Môn: Xác suất thống kê
20

CHƯƠNG.2.
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT
PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
BÀI - 1. ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI BIẾN NGẪU NHIÊN
2.1.1. ĐỊNH NGHĨA
Một biến số được gọi là ngẫu nhiên nếu trong kết quả của phép thử nó sẽ nhận
một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó tùy thuộc vào sự tác động của các
nhân tố ngẫu nhiên.
Các biến ngẫu nhiên kí hiệu là X, Y, Z,… hoặc X
1
, X
2
, … ,X
n
; Y
1
, Y
2
, …Y
n

,
còn các giá trị có thể có của chúng được kí hiệu là x, y, z hay x
1
, x
2
, …,x
n
; y
1
, y
2
,
…,y
n

Sở dĩ biến X nào đó gọi là ngẫu nhiên vì trước khi tiến hành phép thử ta chưa có
thể nói một cách chắc chắn nó sẽ nhận giá trị bằng bao nhiêu, mà chỉ có thể dự đoán
điều đó với một xác suất nhất định. Nói cách khác việc X nhận một giá trị nào đó (X =
x
i
), i = 1, 2, , n, về thực chất là các biến cố ngẫu nhiên. Hơn nữa vì trong kết quả của
phép thử biến X nhất định nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó. Do
đó
{
}
;n,1i,xX
i
== tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố.
Ví dụ 2.1:
Gieo 2 đồng tiền, gọi X là “Số mặt ngửa xuất hiện”. X là BNN vì trong kết quả

của phép thử nó sẽ nhận được một trong 3 giá trị có thể có là 0, 1, 2.
Ví dụ 2.2:
Ném phi tiêu, gọi Y là biến cho biết khoảng cách từ tâm của bia đến vị trí chạm
của phi tiêu. Y khi đó là một BNN.
2.1.2. PHÂN LOẠI BIẾN NGẪU NHIÊN
2.1.2.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc
BNN gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể có của nó lập nên một tập hợp hữu hạn
hoặc đếm được.
Nói cách khác, BNN sẽ là rời rạc nếu ta có thể liệt kê được tất cả các giá trị có
thể có của nó.
Ví dụ 2.3:
- Biến ngẫu nhiên chỉ số mặt ngửa xuất hiện khi gieo 2 đồng tiền là BNN rời
rạc.
- Biến ngẫu nhiên chỉ số tuổi của sinh viên một trường đại học là một BNN rời
rạc.

Môn: Xác suất thống kê
21

2.1.2.2. Biến ngẫu nhiên liên tục
BNN gọi là liên tục nếu các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng trên
trục số.
Đối với BNN liên tục ta không thể liệt kê được tất cả các giá trị có thể có của
nó.
Ví dụ 2.4:
BNN chỉ chiều cao của sinh viên được chọn ra từ một trường đại học hay BNN
chỉ khoảng cách từ tâm bia đến điểm bắn trúng là các BNN liên tục.
Có thể nói rằng gần như tất cả các đại lượng ta gặp trong thực tế đều là các
BNN và chúng sẽ thuộc về một trong hai loại BNN đã kể trên.

Môn: Xác suất thống kê
22

BÀI - 2. QUY LUẬT PHÂN BỐ XÁC SUẤT
Qui luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là sự tương ứng giữa các giá
trị có thể có của nó và các xác suất tương ứng với giá trị đó.

Người ta thường dùng 3 phương pháp để mô tả quy luật phân phối xác suất của
BNN. Ta sẽ lần lượt nghiên cứu các phương pháp đó.
2.2.1. BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT, HÀM PHÂN BỐ XÁC SUẤT
2.2.1.1. Bảng phân bố xác suất
Định nghĩa 2.1:

Giả sử BNNRR X có thể nhận một trong các giá trị có thể có là x
1
, x
2
, , x
n
với
các xác suất tương ứng là p
1
, p
2
, , p
n
. Thì bảng phân phối xác suất của BNNRR X có
dạng như sau:
X x
1
x
2
x
k
x
n

P p
1
p
2
p
k
p
n

Chú ý: các xác suất p
i
phải thoã mãn điều kiện






=
∑
∀≥
=
1p
i 0p
n
1i
i
i

Ví dụ 2.5:

Bảng phân phối xác suất của BNN chỉ số mặt ngửa xuất hiện khi gieo ngẫu
nhiên 2 đồng tiền là:
X 0 1 2
P
4
1

4
2

4
1

Như ta đã biết các giá trị có thể có của X là 0, 1, 2
Và P
1
= P(X = 0) = P(SS) =
4
1

P
2
= P(X = 1) = P(SN, NS) =
4
2

P
3
= P(X = 2) = P(SS)=
4

1

Ví dụ 2.6:

Trong m
ộ
t h
ộ
p có 3 viên bi
đỏ
và 2 viên bi xanh. Ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên không hoàn
l
ạ
i các viên bi trong h
ộ
p cho
đế
n khi
đượ
c bi xanh thì d
ừ
ng l
ạ
i. G
ọ
i X là bi

ế
n ng
ẫ
u
nhiên ch
ỉ
s
ố
bi
đượ
c ch
ọ
n ra. L
ậ
p b
ả
ng phân ph
ố
i xác su
ấ
t c
ủ
a X.

Môn: Xác suất thống kê
23

Giải:
Các giá trị có thể có của X là: 1, 2, 3, 4.
Gọi A

i
là biến cố chọn bi lần i là đỏ
B
i
là biến cố chọn bi lần i là xanh,
4,1i =

Ta có: p
1
= P(X = 1) = P(B
1
) =
4,0
5
2
=

p
2
= P(X = 2) = P(A
1
.B
2
) = P(A
1
).P(B
2
/A
1
) =

3,0
4
2
.
5
3
=

p
3
= P(X = 3) = P(A
1
A
2
B
3
) = P(A
1
).P(A
2
/A
1
).P(B
3
/A
1
A
2
) = 0,2
p

4
= 0,1
V
ậ
y b
ả
ng phân ph
ố
i xác su
ấ
t c
ủ
a X là:



Ví dụ 2.7:

Trong h
ộ
p có 6 chính ph
ẩ
m và 4 ph
ế
ph
ẩ
m. L
ấ
y ng
ẫ

u nhiên 2 s
ả
n ph
ẩ
m. Xây
d
ự
ng qui lu
ậ
t phân ph
ố
i xác su
ấ
t c
ủ
a s
ố
chính ph
ẩ
m
đượ
c l
ấ
y ra.
Giải:
G
ọ
i X là “S
ố
chính ph

ẩ
m
đượ
c l
ấ
y trong 2 s
ả
n ph
ẩ
m”. Khi
đ
ó X là BNNRR v
ớ
i
các giá tr
ị
có th
ể
có là 0, 1, 2.
Ta có p
1
= P(X = 0) =
15
2
C
C
2
10
2
4

=

p
2
= P(X = 1) =
15
8
; p
3
= P(X = 3) =
15
5

Nh
ư
v
ậ
y qui lu
ậ
t phân ph
ố
i xác su
ấ
t c
ủ
a X có d
ạ
ng:

2.2.1.2. Hàm phân bố xác suất
Định nghĩa 2.2:

Khái ni
ệ
m hàm phân b
ố
xác su
ấ
t áp d
ụ
ng
đượ
c
đố
i v
ớ
i c
ả
BNN r
ờ
i r
ạ
c và liên
t
ụ
c. Gi
ả
s

ử
X là BNN, x là m
ộ
t s
ố
th
ự
c nào
đ
ó. Xét bi
ế
n c
ố
“BNN X nh
ậ
n giá tr
ị
nh
ỏ

X 1 2 3 4
P 0,4 0,3 0,2 0,1
X 0 1 2
P
15
2

15
8

15
5


Môn: Xác suất thống kê
24

hơn X”, kí hiệu (X < x). Hiển nhiên x thay đổi thì P(X < x) cũng thay đổi theo. Như
vậy, xác suất này là một hàm số của x. Ta có định nghĩa sau:
Hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu F(x), là xác suất để biến
ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x, với x là một số thực bất kỳ:
F(x) = P(X < x)
Đối với từng loại BNN hàm phân bố xác suất được tính theo công thức riêng.
Chẳng hạn nếu X là BNN rời rạc thì hàm phân bố xác suất được xác định bằng công
thức:
∑
=
<xx
i
i
pxF )(

Ví dụ 2.8:
Biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất như sau:



Hãy xây dựng hàm phân bố xác suất của X và vẽ đồ thị.
Giải:
Nếu

1
x
≤
thì (X < x) = ∅

0)xX(P)x(F
=
<
=
⇒

Nếu
3
x
1
≤
<
thì biến cố (X < x) chỉ xảy ra khi (X = 1)
⇒ F(x) = 0,1
Nếu
4
x
3
≤
<
thì biến cố (X < x ) xảy ra khi (X = 1) hoặc (X = 3)
⇒ F(x) = 0,1+ 0,5 = 0,6
Nếu x > 4 thì thì biến cố (X < x ) xảy ra khi (X = 1) hoặc (X = 3) hoặc (X = 4)
⇒ F(x) = 0,1+ 0,5 + 0,4 = 1
Vậy hàm phân bố xác suất của x có dạng

như sau:







>
≤<
≤<
≤
=
41
436,0
311,0
10
)(
xkhi
xkhi
xkhi
xkhi
xF

Đồ thị của hàm F(x) có dạng như sau:

X 1 3 4
P 0,1 0,5 0,4