CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
A-CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
1.CÔNG THỨC CỘNG 2.CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos2a = cos
2
a – sin
2
a
cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb = 2cos
2
a –1
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb = 1 – 2sin
2
a
sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb sin2a = 2.sina.cosa
tan(a + b) = tan2a =
tan(a - b) =

3.CÔNG THỨC HẠ BẬC cos
2
a =
1 2
2
cos a+
sin
2
a =
4.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
cosa + cosb = 2.cos .cos
cosa - cosb = -2.sin .sin

sina + sinb = 2.sin .cos
sina - sinb = 2.cos .sin
sin( )
tan tan
osacosb
a b
a b
c
+
+ =

sin( )
tan tan
osacosb
a b
a b
c
−
− =
5.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
cosa.cosb = [cos(a – b) + cos(a + b)]
sina.sinb = [cos(a – b) - cos(a + b)]

[ ]
1
sin osb= sin( ) sin( )
2
ac a b a b
+ + −

[ ]
1
os sinb= sin( ) sin( )
2
c a a b a b
+ − −
6.BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT
x
ra
d
-π
- - - - - - -
0
π
đ
ộ
-180
o
-150
o
-135
o
-120
o
-
90
o
-60
o
-45

o
-30
o
0 30
o
45
o
60
o
90
o
120
o
135
o
150
o
180
o
sin 0 - - - -1 - - - 0 1 0
cos -1 - - - 0 1 0 - - - -1
tan 0 1 || - -1 - 0 1 || - -1 - 0

1
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
cot || 1 0 - -1 - || 1 0 - -1 - ||
B- CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1.Phương trình sinx=a.( -1≤ a ≤ 1)
sinx = a ⇔
arcsina+k2

arcsina+k2
x
x
π
π π
=


= −

; k ∈ Z +sinx = sinα ⇔
+k2
+k2
x
x
α π
π α π
=


= −

; k ∈ Z ( a = sinα)
sinx = 0 ⇔ x = kπ; k ∈ Z
sinx = 1 ⇔ x = + k2π; k ∈ Z
sinx = -1 ⇔ x = -+ k2π; k ∈ Z
2.Phương trình cosx=a.( -1≤ a ≤ 1)
cosx = a ⇔
arccosa+k2
arccosa+k2

x
x
π
π
=


= −

; k ∈ Z +cosx = cosα ⇔
+k2
+k2
x
x
α π
α π
=


= −

; k ∈ Z ( a = cosα)
cosx = 0 ⇔ x = + kπ; k ∈ Z
cosx = 1 ⇔ x = k2π; k ∈ Z
cosx = -1 ⇔ x = π+ k2π; k ∈ Z
3.Phương trình tanx=a.
TXĐ:
\ ,
2
k k

π
π
 
+ ∈
 
 
¡ ¢
+
t anx=a x=arctana+k ,k
π
⇔ ∈¢
+
tanx=tan x= +k ,k
α α π
⇔ ∈¢

tanx=1 x= ,
4
tanx=-1 x=- ,
4
t anx=0 x= ,
k k
k k
k k
π
π
π
π
π
⇔ + ∈

⇔ + ∈
⇔ ∈
¢
¢
¢
4.Phương trình cotx=a.
TXĐ:
{ }
\ ,k k
π
∈¡ ¢
+
t x=a x=arccota+k ,kco
π
⇔ ∈¢
+
cotx=cot x= +k ,k
α α π
⇔ ∈¢

cotx=1 x= ,
4
cotx=-1 x=- ,
4
t x=0 x= ,
2
k k
k k
co k k
π

π
π
π
π
π
⇔ + ∈
⇔ + ∈
⇔ + ∈
¢
¢
¢
III.CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP.
1.Phương trình a.sinx+bcosx=c (
2 2
0a b+ ≠
)

2 2 2 2 2 2
sinx+ osx=
a b c
c
a b a b a b
⇔
+ + +
đặt:
2 2
2 2
os =
sin
a

c
a b
b
a b
α
α


+



=

+


2
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
phương trình trở thành:
2 2
sinx os osx sin
c
c c
a b
α α
+ =
+

2 2

sin( )
c
x
a b
α
⇔ + =
+
*Chú ý
+Phương trình có nghiệm khi
2 2 2
c a b≤ +
+Nếu
. 0, 0a b c≠ =
thì:
sin cos 0 tan
b
a x b x x
a
+ = ⇔ = −
2.Phương trình :
2 2
asin sinxcosx+ccos 0x b x+ =
(1)
+Nếu a = 0:
2
sinxcosx+ccos 0b x =

osx(bsinx+ccosx)=0c⇔

osx=0

bsinx+ccosx=0
c

⇔


+Nếu c = 0:
2
asin sinxcosx=0x b+

sinx(asinx+bcosx)=0⇔

sinx=0
asinx+bcosx=0

⇔


+Nếu
0, 0,cos 0a c x≠ ≠ ≠
:
2 2
2 2 2
sin sinxcosx cos
(1) 0
cos cos cos
x x
a b c
x x x
⇔ + + =

2
tan t anx+c=0a x b⇔ +
BÀI TẬP.
Bài 1.Giải các phương trình:
a)
2 cot(5 ) 0
8
x
π
− =
b)
2
2cos 3 cos 0x x+ =
c)
3 sin3 cos3 2x x− =
d)
2 2
sin sin 2 2cos 2x x x
+ + =
Giải.
a)
2 cot(5 ) 0
8
x
π
− =

⇔

5
8 2
x k
π π
π
− = +

⇔

5
k
x
π
π
= +
b)
2
2cos 3 cos 0x x+ =
cos 0
2
,
3
5
cos
2
2
6
x
x k
k

x
x k
π
π
π
π

=

= +


⇔ ⇔ ∈


= −

= ± +




¢

c)
3 sin3 cos3 2x x− =

3 1
sin 3 cos3 1
2 2

x x⇔ − =

⇔
sin
(3 )
6
x
π
−
= 1
⇔
3 2
6 2
x k
π π
π
− = +

⇔
2 2
9 3
k
x
π π
= +

d)
2 2
sin sin 2 2cos 2x x x
+ + =

⇔
sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0
sin 0
tan 2 arctan 2
x x k
x x k
π
π
= =
 
⇔ ⇔
 
= = +
 

Bài 2.Giải các phương trình:
a)
3
3 tan(3 ) 0
5
x
π
+ =

⇔

3
3
5

x k
π
π
+ =

⇔
5 3
k
x
π π
= − +


3
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
b)
2
2sin sin 1 0x x
− − =
2
2
sin 1
2 ,
1
6
sin
2
7
2
6

x k
x
x k k
x
x k
π
π
π
π
π
π

= +

=




⇔ ⇔ = − + ∈


= −



= +


¢

c)
sin 5 cos5 2x x
+ = −

1 1
sin 5 cos5 1
2 2
x x⇔ + = −

⇔
sin
(5 )
4
x
π
+
= - 1
⇔
5 2
4 2
x k
π π
π
+ = − +
⇔
3 2
20 5
k
x

π π
= − +

d)
2 2
3sin sin 2 cos 3x x x+ + =

2
2sin cos 2cos 0 2cos (sin cos ) 0x x x x x x⇔ − = ⇔ − =

2
cos 0
2
tan 1
4
x k
x
x
x k
π
π
π
π


= +


=
⇔ ⇔



=


= +





e.
cos2 3sin 2 0x x+ − =
2 2
1 2sin 3sin 2 0 2sin 3sin 1 0x x x x⇔ − + − = ⇔ − + =
2
2
sin 1
2 ,
1
6
sin
2
5
2
6
x k
x
x k k
x

x k
π
π
π
π
π
π

= +

=




⇔ ⇔ = + ∈


=



= +


¢
f.
3sin cos 2x x+ =
3 1 2
sin cos

2 2 2
x x⇔ + =
2
sin cos cos sin
6 6 2
x x
π π
⇔ + =
sin( ) sin
6 4
x
π π
⇔ + =

⇔
2
2
6 4
12
,
3 7
2 2
6 4 12
x k
x k
k
x k x k
π π
π
π

π
π π π
π π


+ = +
= +


⇔ ∈




+ = + = +




¢
g.
3sin cos 2x x− =
3 1 2
sin cos
2 2 2
x x⇔ − =
2
sin cos cos sin
6 6 2
x x

π π
⇔ − =
sin( ) sin
6 4
x
π π
⇔ − =

4
CC DNG PHNG TRèNH LNG GIC
5
2
2
6 4
12
,
3 11
2 2
6 4 12
x k
x k
k
x k x k

= +
= +







= + = +




Â
h.
2cos2 3cos 1 0x x + =
2
4cos 3cos 1 0x x =
cos 1 2
,
1 1
cos arccos( ) 2
4 4
x x k
k
x x k


= =

= = +

Â
i.
2 2
2sin 3sin cos 5cos 0x x x x+ =
2
2 n 3 n 5 0ta x ta x + =
tan 1
4
,
5
5
tan
arctan( )
2
2
x
x k
k
x
x k

=
= +






=

= +



Â
Bi 3.Gii cỏc phng trỡnh:
a.
3sin sin 2 0x x+ =
b.
2 2cos 2sinx x =
c.
sin sin3 sin5 0x x x+ + =
d.
sin sin3 sin5 cos cos3 cos5x x x x x x+ + = + +
e.
2 2
2sin 5sin cos 4cos 2x x x x =
f.
2 2
2cos 2 3sin 2x x+ =

g.
2 2
sin 2 cos 3 1x x+ =
h.
tan .tan5 1x x =
i.
5cos2 12sin 2 13x x =
j.
2sin 5cos 4x x =
k.
2cos 3sin 2x x+ =
Bi 4.Gii cỏc phng trỡnh:
a.
tan cot 2x x+ =
b.
2
(3 cot ) 5(3 cot )x x+ = +
c.
3(sin3 cos ) 4(cos3 sin )x x x x =
d.
2 2
4sin 3 3sin2 2cos 4x x x+ =
e.
2 2 2 2
sin sin 2 sin 3 sin 4 2x x x x+ + + =
f.
4 2
4sin 12cos 7x x+ =
Bi 5. Giaỷi caực phửụng trỡnh sau :

a)
2 cot(5 ) 0
8
x

=
b)
2
2cos 3 cos 0x x+ =
c)
3 sin3 cos3 2x x =
d)
2 2
sin sin 2 2cos 2x x x
+ + =
Baứi giaỷi :
a)
2 cot(5 ) 0
8
x

=



5
8 2
x k

= +



5
k
x


= +
b)
2
2cos 3 cos 0x x+ =

cos 0
3
cos
2
x
x
=
=


2
5
2
6
x k
x k

= +
= +

c)
3 sin3 cos3 2x x =


5
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

3 1
sin3 cos3 1
2 2
x x
− =

⇔
Sin
(3 )
6
x
π
−
= 1
⇔
3 2

6 2
x k
π π
π
− = +
⇔
2 2
9 3
k
x
π π
= +

d)
2 2
sin sin 2 2cos 2x x x
+ + =

⇔
sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0
⇔
sin 0
tan 2
x
x
=
=

⇔
arctan 2

x k
x k
π
π
=
= +

Bài 6. giaûi phöông trìnhlöôïng giaùc :
a)
3
3 tan(3 ) 0
5
x
π
+ =

⇔

3
3
5
x k
π
π
+ =

⇔
5 3
k
x

π π
= − +

b)
2
2sin sin 1 0x x
− − =
⇔
sin 1
1
sin
2
x
x
=
= −

⇔
2
2
2
6
7
2
6
x k
x k
x k
π
π

π
π
π
π
= +
= − +
= +

c)
sin 5 cos5 2x x
+ = −

1 1
sin 5 cos5 1
2 2
x x+ = −

⇔
Sin
(5 )
4
x
π
+
= - 1
⇔
5 2
4 2
x k
π π

π
+ = − +
⇔
3 2
20 5
k
x
π π
= − +

d)
2 2
3sin sin 2 cos 3x x x
+ + =
⇔
cos 0
tan 1
x
x
=
=

⇔
2
4
x k
x k
π
π
π

π
= +
= +

Câu 3(3đ) : Giải các phương trình sau:
a.
2sin 1 0− =x
b.
2cos 3 0− =x
c.
cos2 3sin 2 0x x+ − =
d.
3 sin cos 2− =x x
a)
sin sin
6
=x
π
2
6
5
2
6

= +

⇔


= +



x k
x k
π
π
π
π
b)
cos cos
6
=x
π
2
6
⇔ = ± +x k
π
π
c)
2
2sin 3sin 1 0− + − =x x
sin 1
1
sin
2
=



=


x
x

0.25đ*2
0.25đ*2
0.25đ
0.25đ
2
2
2
6
5
2
6
π
π
π
π
π
π

= +



= +




= +


x k
x l
x l
d)
3 1 2
sin cos
2 2 2
− =x x
5
2
12
11
2
12
π
π
π
π

= +



= +


x k

x k
0.25đ*2
0.25đ
0.25đ*3
Câu 4(3đ) : Giải các phương trình sau:
a.
2sin 3 0− =x
b.
2cos 1 0− =x
c.
cos2 3sin 2 0x x+ − =
d.
3 sin cos 2+ =x x

6
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
a)
sin sin
3
=x
π
2
3
2
2
3

= +

⇔



= +


x k
x k
π
π
π
π
b)
cos cos
3
=x
π
2
3
⇔ = ± +x k
π
π
c)
2
2sin 3sin 1 0− + − =x x
sin 1
1
sin
2
=




=

x
x

0.25đ*2
0.25đ*2
0.25đ
0.25đ
2
2
2
6
5
2
6

= +



= +



= +



x k
x k
x k
π
π
π
π
π
π
d)
3 1 2
sin cos
2 2 2
+ =x x
2
12
7
2
12

= +



= +


x k
x k
π

π
π
π
0.25đ*2
0.25đ
0.25đ*3
Câu 5(3đ) : Giải các phương trình sau:
a.
2sin 1 0
− =
x
b.
2cos 2 0− =x
c.
2 cos2x -3cosx +1 =0
d.
3 sin cos 2− =x x

a)
sin sin
6
=x
π
2
6
5
2
6

= +


⇔


= +


x k
x k
π
π
π
π
b)
cos cos
4
=x
π
2
4
⇔ = ± +x k
π
π
c)
2
4cos 3cos 1 0− − =x x
cos 1
1
cos
4

=



= −

x
x

0.25đ*2
0.25đ*2
0.25đ
0.25đ
2
1
arccos 2
4
=


 

= ± − +
 ÷

 

x k
x k
π

π
d)
3 1 2
sin cos
2 2 2
− =x x
5
2
12
11
2
12
π
π
π
π

= +



= +


x k
x k
0.25đ*2
0.25đ
0.25đ*3
Câu 6(3đ) : Giải Phương trình

a.
3 sin cos 2x x− =
b.
cos2 3sin 2 0x x
+ − =
c. cos
2
x + sinx +1=0
a/
3 1 2
sin cos
2 2 2
− =x x

sin sin
6 4
π π
 
− =
 ÷
 
x

⇔
5
2
12
11
2
12

π
π
π
π

= +



= +


x k
x k

b
2
2sin 3sin 1 0− + − =x x

sin 1
1
sin
2
=



=

x

x

⇔
2
2
2
6
5
2
6
π
π
π
π
π
π

= +



= +



= +


x k
x l

x l


7
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
c.
4
6
x k
x k
π
π
π
π

= +



= +


Câu 7
a.
cos2 3sin 2 0x x+ − =
b.sin
2
x +3sinx cosx -5 cos
2
x= 0

c.2 cos
2
x -3cosx +1 =0
Đáp án
a
2
2sin 3sin 1 0− + − =x x

sin 1
1
sin
2
=



=

x
x

⇔
2
2
2
6
5
2
6
π

π
π
π
π
π

= +



= +



= +


x k
x l
x l

b
sin cos , 2 2t x x t= − − ≤ ≤

2
1
sin .cos
2
t
x x

−
=

PT ⇔

2
12 11 0t t− + − =

( )
1
11
t
t loaïi
=


=


2
2
2
x k
x k
π
π
π π

= +



= +



c.
π
π
π
=



= ± +

2
2
3
x k
x k

câu 8. a. Giải các Phương trình sau:
2cos x 1 0
3
π
 
+ + =
 ÷
 
b.sin

2
x +3sinx cosx -5 cos
2
x= 0
a/
1 2
2cos x 1 0 cos x cos
3 3 2 3
π π π
   
+ + = ⇔ + = − =
 ÷  ÷
   
x k2
3
x k2
π

= + π

⇔


= −π + π

b/
sin cos , 2 2t x x t= − − ≤ ≤
(0,25)
2
1

sin .cos
2
t
x x
−
=
(0,25)
PT ⇔

2
12 11 0t t− + − =
(0,25)

( )
1
11
t
t loaïi
=


=

(0,25)
2
2
2
x k
x k
π

π
π π

= +


= +

(0
Câu9: Giải các Phương trình sau

8
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
a.
2
2sin x 3sin x 1 0− + =
b.
3sin x sin 2x 0+ =
c.
2sin x 2cos x 2− =
Đs a.
π
π
π
π

= +




= +


2
2
2
6
x k
x k
b. x=k360
0

c.
π
π
π
π

= +



= +


5
24
13
24
x k

x k

Câu 10.(2đ) : Giải Phương trình
a. tan(x +20
0
) =
2
1
b. sinx + sin2x = cosx + cos3x
c.4sin
2
x -5sinx cosx -6 cos
2
x= 0
DS
a. x=10
0
+k180
0
b.
π π
π π
= +



= +

2
2

6 3
x k
x k
c.
π
π
= +



= − +

arctan2
1
arctan( )
2
x k
x k

Câu 11(2đ) : Giải Phương trình
a.
3 sin cos 2x x− =
b.
cos2 3sin 2 0x x
+ − =
1a)
3 1 2
sin cos
2 2 2
− =x x

sin sin
6 4
π π
 
− =
 ÷
 
x

⇔
5
2
12
11
2
12
π
π
π
π

= +



= +


x k

x k

1b)
2
2sin 3sin 1 0− + − =x x


sin 1
1
sin
2
=



=

x
x
(0,25)
⇔
2
2
2
6
5
2
6
π
π

π
π
π
π

= +



= +



= +


x k
x l
x l
(0,25*2)
Câu 12(2đ) a.
2
4 tan 7 tan 3 0x x− + =
b.sin(2x +
3
π
) = -
2
2

Đáp án : a.
sin(3 ) 0(0.25) 3 (0.25), (0.5)
6 6 18 3
k
x x k x
π π π π
π
− ≠ ⇔ − ≠ ≠ +

9
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
b.
7
2 2
3 4
24
(0.25*4)
5 11
2 2
3 4 24
x k
x k
x k x k
π π
π
π
π
π π π
π π



+ = − +
= − +


⇔




+ = + = +




Câu 13(2đ) a.
2
2cot 5 t 3 0x co x− + =
b.cos(2x +
3
π
) = -
2
2
c. 2
2 2
cos 2 3sin 2x + =
Đáp án : a.
2
cos(3 ) 0(0.25) 3 (0.25), (0.5)

6 6 2 18 3
k
x x k x
π π π π π
π
− ≠ ⇔ − ≠ + ≠ +

cos 1
4
3
3
cot
cot
2
2
x
x k
x
x arc k
π
π
π

=
= +


 
 
=

 
= +




b.
7
2 2
3 4
24
(0.25*4)
2 2
3 4 24
x k
x k
x k x k
π π
π
π
π
π π π
π π


+ = − +
= − +


⇔





+ = + = − +




c.

2
cos2 1
4cos 2 3cos 2 1 0
1
cos2
4
2 2
1 1 1
2 arccos( ) 2 arccos( )
4 2 4
x
x x
x
x k x k
k Z
x k x k
π π
π π
=



− − = ⇔

= −


= =
 
 
⇔ ⇔ ∈
 
= ± − + = ± − +
 
 


5
5sin sin 0x x− =
h.
cos7 sin5 3(cos5 sin7 )x x x x− = −

10
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Phương trình asinx + bcosx = c
Bài 1.
5 2
84 7
cos7 3sin7 2
11 2

84 7
x k
x x
x k
π π
π π

= +

− = − ⇔


= +


Bài 2.
3(sin5 cos ) 4(sin cos5 )x x x x− = +

3sin5 4cos5 4sin 3cosx x x x⇔ − = +

3 4 4 3
sin5 cos5 sin cos
5 5 5 5
x x x x⇔ − = +

sin5 cos cos5 sin sin sin cos cosx x x x
α α α α
⇔ − = +
,
3 4

( cos , sin )
5 5
α α
= =

sin(5 ) cos( )x x
α α
⇔ − = −

sin(5 ) sin( )
2
x x
π
α α
⇔ − = − +

5 2
12 3 3
2
5 2
2 8 2
x k
x x k
x x k x k
π α π
π
α α π
π π π
α π α π



= + +
− = − + +


⇔ ⇔




− = − + − + = +




Bài 3.
3
3sin3 3cos9 1 4sin 3x x x− = +

3
(3sin3 4sin 3 ) 3cos9 1x x x⇔ − − =

sin9 3cos9 1x x⇔ − =

sin(9 ) sin
3 6
x
π π
⇔ − =

2
18 9
7 2
54 9
x k
x k
π π
π π

= +

⇔


= +


Bài 4.
1
tan sin 2 cos2 2(2cos ) 0
cos
x x x x
x
− − + − =
(1)
Điều kiện:
cos 0
2
x x k
π

π
≠ ⇔ ≠ +

sin 2
(1) sin2 cos2 4cos 0
cos cos
x
x x x
x x
⇔ − − + − =

2 2
sin 2sin cos cos2 cos 2(2cos 1) 0x x x x x x⇔ − − + − =
2
sin (1 2cos ) cos2 cos 2cos2 0x x x x x⇔ − − + =
sin cos2 cos2 cos 2cos2 0x x x x x⇔ − − + =
cos2 (sin cos 2) 0x x x⇔ + − =

cos2 0
sin cos 2( )
4 2
x
x k
x x vn
π π
=

⇔ ⇔ = +

+ =


Bài 5.
3 1
8sin
cos sin
x
x x
= +
(*)
Điều kiện:
sin 2 0
2
x x k
π
≠ ⇔ ≠
2
(*) 8sin cos 3sin cosx x x x⇔ = +

4(1 cos2 )cos 3sin cosx x x x⇔ − = +

11
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
4cos2 cos 3sin 3cosx x x x⇔ − = −

2(cos3 cos ) 3sin 3cosx x x x⇔ − + = −
1 3
cos3 cos sin
2 2
x x x⇔ = −

cos3 cos( )
3
x x
π
⇔ = +

6
12 2
x k
x k
π
π
π π

= +

⇔


= − +


C2
2
(*) 8sin cos 3sin cosx x x x⇔ = +

2
8(1 cos )cos 3sin cosx x x x⇔ − = +
3
8cos 8cos 3sin 3cosx x x x⇔ − = −

3
6cos 8cos 3sin cosx x x x⇔ − = −
3
1 3
4cos 3cos cos sin
2 2
x x x x⇔ − = −

cos3 cos( )
3
x x
π
⇔ = +
6
12 2
x k
x k
π
π
π π

= +

⇔


= − +



Bài 6.
9sin 6cos 3sin 2 cos2 8x x x x+ − + =

2
6sin cos 6cos 2sin 9sin 7 0x x x x x⇔ − + − + =
6cos (sin 1) (sin 1)(2sin 7) 0x x x x⇔ − + − − =
(sin 1)(6cos 2sin 7) 0x x x⇔ − + − =
sin 1
6cos 2sin 7
x
x x
=

⇔

+ =


2
2
x k
π
π
⇔ = +
Bài 7.
sin 2 2cos2 1 sin 4cosx x x x+ = + −
2
2sin cos 2(2cos 1) 1 sin 4cos 0x x x x x⇔ + − − − + =
2
sin (2cos 1) 4cos 4cos 3 0x x x x⇔ − + + − =

sin (2cos 1) (2cos 1)(2cos 3) 0x x x x⇔ − + − + =
(2cos 1)(2sin 2cos 3) 0x x x⇔ − + + =
1
cos
2
2sin 2cos 3,( )
x
x x vn

=

⇔

+ = −


2
3
x k
π
π
⇔ = ± +
Bài 8.
2sin2 cos2 7sin 2cos 4x x x x− = + −
2
4sin cos (1 2sin ) 7sin 2cos 4 0x x x x x⇔ − − − − + =
2
2cos (2sin 1) (2sin 7sin 3) 0x x x x⇔ − + − + =
2cos (2sin 1) (2sin 1)(sin 3) 0x x x x⇔ − + − − =
(2sin 1)(2cos sin 3) 0x x x⇔ − + − =

2sin 1 0
2cos sin 3,( )
x
x x vn
− =

⇔

+ =


2
6
5
2
6
x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔


= +




12
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 9.
sin 2 cos2 3sin cos 2x x x x− = + −
2
2sin cos (1 2sin ) 3sin cos 2 0x x x x x⇔ − − − − + =
2
(2sin cos cos ) (2sin 3sin 1) 0x x x x x⇔ − + − + =
cos (2sin 1) (2sin 1)(sin 1) 0x x x x⇔ − + − − =
(2sin 1)(cos sin 1) 0x x x⇔ − + − =
2sin 1
cos sin 1
x
x x
=

⇔

+ =

2
6
2sin 1
5
2
6
x k
x

x k
π
π
π
π

= +

+ = ⇔


= +


2
2
cos sin 1 cos( )
4 2
2
2
x k
x x x
x k
π
π
π
π
=



+ + = ⇔ − = ⇔

= +

Bài 10.
2
(sin 2 3 cos2 ) 5 cos(2 )
6
x x x
π
+ − = −
Ta có:
1 3
sin 2 3cos2 2( sin 2 cos2 ) 2cos(2 )
2 2 6
x x x x x
π
+ = + = −
Đặt:
sin 2 3cos2 , 2 2t x x t= + − ≤ ≤
Phương trình trở thành:
2
5
2
t
t − =

2
2 10 0t t⇔ − − =

2
5
2
t
t
= −


⇔

=

5
:
2
t+ =
loại
7
2: 2cos(2 ) 2
6 12
t x x k
π π
π
+ = − − = − ⇔ = +
Bài 11.
3
2cos cos2 sin 0x x x+ + =

3 2
2cos 2cos 1 sin 0x x x⇔ + − + =

2
2cos (cos 1) (1 sin ) 0x x x⇔ + − − =

2
2(1 sin )(cos 1) (1 sin ) 0x x x⇔ − + − − =
2(1 sin )(1 sin )(cos 1) (1 sin ) 0x x x x⇔ − + + − − =
(1 sin )[2(1 sin )(cos 1) 1] 0x x x⇔ − + + − =
(1 sin )[1 2sin cos 2(sin cos )] 0x x x x x⇔ − + + + =
sin 1
1 2sin cos 2(sin cos ) 0
x
x x x x
=

⇔

+ + + =

sin 1 2
2
x x k
π
π
+ = ⇔ = +
1 2sin cos 2(sin cos ) 0x x x x+ + + + =

2
(sin cos ) 2(sin cos ) 0x x x x⇔ + + + =
(sin cos )(sin cos 2) 0x x x x⇔ + + + =

sin cos 0x x⇔ + =

13
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
tan 1
4
x x k
π
π
⇔ = − ⇔ = − +
Bài 12.
2
1 cos2
1 cot2
sin 2
x
x
x
−
+ =
(*) Điều kiện:
sin 2 0
2
x x k
π
≠ ⇔ ≠
2
1 cos2
(*) 1 cot2
1 cos 2

x
x
x
−
⇔ + =
−

1
1 cot2
1 cos2
x
x
⇔ + =
+

cos2 1
1
sin 2 1 cos2
x
x x
⇔ + =
+
sin 2 (1 cos2 ) cos2 (1 cos2 ) sin 2x x x x x⇔ + + + =
sin 2 cos2 cos2 (1 cos2 ) 0x x x x⇔ + + =

cos2 (sin 2 cos2 1) 0x x x⇔ + + =
cos2 0
sin 2 cos2 1
x
x x

=

⇔

+ = −

cos2 0
4 2
x x k
π π
+ = ⇔ = +
sin 2 cos2 1x x+ + = −

sin(2 ) sin( )
4 4
x
π π
⇔ + = −

4
2
x k
x k
π
π
π
π

= − +


⇔


= +


Vậy,phương trình có nghiệm:
4 2
x k
π π
= +
Bài 13.
4 4
4(sin cos ) 3sin 4 2x x x+ + =
2 2 2 2 2
4[(sin cos ) 2sin cos ] 3sin 4 2x x x x x⇔ + − + =
2
1
4(1 sin 2 ) 3sin4 2
2
x x⇔ − + =

cos4 3sin 4 2x x⇔ + = −
4 2
12 2
x k
x k
π π
π π


= +

⇔


= − +


Bài 14.
3 3
1
1 sin 2 cos 2 sin 4
2
x x x+ + =
2 sin4 2(sin2 cos2 )(1 sin 2 cos2 ) 0x x x x x⇔ − + + − =
(2 sin 4 ) (sin 2 cos2 )(2 sin4 ) 0x x x x⇔ − + + − =
(2 sin 4 )(sin2 cos2 1) 0x x x⇔ − + + =

sin 2 cos2 1x x⇔ + = −
2
sin(2 )
4 2
x
π
⇔ + = −

4
2
x k
x k

π
π
π
π

= − +

⇔


= +


Bài 15.
tan 3cot 4(sin 3cos )x x x x− = +
(*) Điều kiện:
sin 2 0
2
x x k
π
≠ ⇔ ≠

14
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
sin cos
(*) 3 4(sin 3cos )
cos sin
x x
x x
x x

⇔ − = +
2 2
sin 3cos 4sin cos (sin 3 cos ) 0x x x x x x⇔ − − + =
(sin 3cos )(sin 3 cos ) 4sin cos (sin 3cos ) 0x x x x x x x x⇔ − + − + =
(sin 3cos )(sin 3cos 4sin cos ) 0x x x x x x⇔ + − − =
sin 3cos 0
sin 3cos 4sin cos 0
x x
x x x x

+ =
⇔

− − =


sin 3cos 0 tan 3
3
x x x x k
π
π
+ + = ⇔ = − ⇔ = − +
sin 3cos 4sin cos 0x x x x+ − − =
2sin2 sin 3cosx x x⇔ = −
1 3
sin 2 sin cos
2 2
x x x⇔ = −
sin 2 sin( )
3

x x
π
⇔ = −
2
3
4 2
9 3
x k
x k
π
π
π π

= − +

⇔


= +


Vậy,phương trình có nghiệm là:
;
3
x k
π
π
= − +
4 2
9 3

x k
π π
= +
Bài 16.
3 3
sin cos sin cosx x x x+ = −
2 3
sin (sin 1) cos cos 0x x x x⇔ − + + =
2 3
sin cos cos cos 0x x x x⇔ − + + =
2
cos ( sin cos cos 1) 0x x x x⇔ − + + =
2
cos 0
sin cos cos 1
x
x x x
=

⇔

− + = −

cos 0
2
x x k
π
π
+ = ⇔ = +
2

sin cos cos 1x x x+ − + = −
1 1 cos2
sin 2 1
2 2
x
x
+
⇔ − + = −
sin 2 cos2 3,( )x x vn⇔ − =
Vậy,phương trình có nghiệm là:
,
2
x k k
π
π
= + ∈¢
Bài 17.
4 4
1
cos sin ( )
4 4
x x
π
+ + =

2 2
1 1 1
(1 cos2 ) [1 cos(2 )]
4 4 2 4
x x

π
⇔ + + − + =
2 2
(1 cos2 ) (1 sin 2 ) 1x x⇔ + + + =

sin 2 cos2 1x x⇔ + = −
3
cos(2 ) cos
4 4
x
π π
⇔ − =

2
2
4
x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔


= − +



Bài 18.
3 3
4sin cos3 4cos sin3 3 3cos4 3x x x x x+ + =
3 3 3 3
4sin (4cos 3cos ) 4cos (3sin 4sin ) 3 3cos4 3x x x x x x x⇔ − + − + =
3 3
12sin cos 12cos sin 3 3 cos4 3x x x x x⇔ − + + =

15
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
2 2
4sin cos (cos sin ) 3 cos4 1x x x x x⇔ − + =
2sin2 cos2 3cos4 1x x x⇔ + =
sin 4 3cos4 1x x⇔ + =
1 3 1
sin 4 cos4
2 2 2
x x⇔ + =
sin(4 ) sin
3 6
x
π π
⇔ + =
24 2
,
8 2
x k
k
x k

π π
π π

= − +

⇔ ∈


= +


¢
Bài 19.Cho phương trình:
2 2
2sin sin cos cosx x x x m− − =
(*)
a.Tìm m sao cho phương trình có nghiệm.
b.Giải phương trình khi m = -1.
Giải.

1 1
(*) (1 cos2 ) sin 2 (1 cos2 )
2 2
x x x m⇔ − − − + =
sin 2 3cos2 2 1x x m⇔ + = − +
a. (*)có nghiệm khi:
2 2 2
c a b≤ +
2
(1 2 ) 1 9m⇔ − ≤ +

2
4 4 9 0m m⇔ − − ≤
1 10 1 10
2 2
m
− +
⇔ ≤ ≤
b.Khi m = -1 phương trình trở thành:
sin 2 3cos2 3x x+ =
1 3 3
sin 2 cos2
10 10 10
x x⇔ + =
sin 2 cos cos2 sin sin ,x x
α α α
⇔ + =
1 3
( cos , sin )
10 10
α α
= =
sin(2 ) sinx
α α
⇔ + =
2 2
2 2
x k
x k
α α π
α π α π

+ = +

⇔

+ = − +

2
x k
x k
π
π
α π
=


⇔

= − +

Bài 20. Cho phương trình:
2
3
5 4sin( )
6tan
2
sin 1 tan
x
x
π
α

α
+ −
=
+
(*)
a.Giải phương trình khi
4
π
α
= −
b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm
Giải.
Ta có:
3
sin( ) sin( ) cos
2 2
x x x
π π
− = − − = −
2
2
6tan
6tan cos 3sin 2 ,cos 0
1 tan
α
α α α α
α
= = ≠
+
5 4cos

(*) 3sin 2
sin
x
x
α
−
⇔ =

3sin 2 sin 4cos 5x x
α
⇔ + =
(**)
a. khi
4
π
α
= −
phương trình trở thành:

16
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
3sin 4cos 5x x− = −

3 4
sin cos 1
5 5
x x⇔ − = −
3 4
sin cos cos sin 1,( cos , sin )
5 5

x x
α α α α
⇔ − = − = =
sin( ) 1x
α
⇔ − = −

2
2
x k
π
α π
⇔ = − +
b.Phương trình có nghiệm khi:
2
cos 0
(3sin 2 ) 16 25
α
α
≠


+ ≥


2
cos 0
sin 2 1
α
α

≠

⇔

≥


2
cos 0
sin 2 1
α
α
≠

⇔

=


cos2 0
4 2
k
π π
α α
⇔ = ⇔ = +
Bài 21.Giải các phương trình:
a.
2 2(sin cos )cos 3 cos2x x x x+ = +
b.
(2cos 1)(sin cos ) 1x x x− + =

c.
2cos2 6(cos sin )x x x= −
d.
3sin 3 3cosx x= −
e.
2cos3 3sin cos 0x x x+ + =
f.
cos 3sin sin 2 cos sinx x x x x+ = + +
g.
3
cos 3sin
cos 3sin 1
x x
x x
+ =
+ +
h.
sin cos cos2x x x+ =
i.
3
4sin 1 3sin 3cos3x x x− = −
j.
6
3cos 4sin 6
3cos 4sin 1
x x
x x
+ + =
+ +
k.

cos7 cos5 3sin 2 1 sin7 sin5x x x x x− = −
l.
4 4
4(cos sin ) 3sin 4 2x x x+ + =
m.
2 2
cos 3sin 2 1 sinx x x− = +
n.
4sin2 3cos2 3(4sin 1)x x x− = −
p.
2
(2 3)cos 2sin ( )
2 4
1
2cos 1
x
x
x
π
− − −
=
−
q.
2
tan sin 2 cos2 4cos
cos
x x x x
x
− − = − +
Bài 22. Cho phương trình:

sin 2 cos 2
2cos 2sin
m x m x
m x m x
− −
=
− −
(*)
a.Giải phương trình khi m = 1
b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm
Bài 23. Cho phương trình:
sin cos 2x m x+ =
(*)
a.Giải phương trình khi
3m =
b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm
Bài 24. Cho phương trình:
2sin cos 1
sin 2cos 3
x x
m
x x
+ +
=
− +
(*)
a.Giải phương trình khi
1
3
m =

b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm.

17
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Bài 1.
cos3 sin3
5(sin ) 3 cos2
1 2sin 2
x x
x x
x
+
+ = +
+
(1)
Điều kiện:
1
12
sin 2 ,
7
2
12
x k
x k
x k
π
π
π
π


≠ − +

≠ − ⇔ ∈


≠ +


¢
Ta có:
cos3 sin3 sin 2sin 2 sin cos3 sin3
5(sin ) 5
1 2sin 2 1 2sin 2
x x x x x x x
x
x x
+ + + +
+ =
+ +
sin cos cos3 cos3 sin3
5
1 2sin 2
x x x x x
x
+ − + +
=
+
(sin3 sin ) cos
5

1 2sin2
x x x
x
+ +
=
+

2sin2 cos cos
5
1 2sin 2
x x x
x
+
=
+
(2sin 1)cos
5
1 2sin 2
x x
x
+
=
+

5cos x=
(1) 5cos cos2 3x x⇔ = +

2
2cos 5cos 2 0x x⇔ − + =

1
cos
2
x⇔ =

2
3
x k
π
π
⇔ = ± +
Bài 2.
2 2
cos 3 cos2 cos 0x x x− =

1 1
(1 cos6 )cos2 (1 cos2 ) 0
2 2
x x x⇔ + − + =
cos6 cos2 1 0x x⇔ − =
(*)
Cách 1:
3
(*) (4cos 2 3cos2 )cos2 1 0x x x⇔ − − =

4 2
4cos 2 2cos 2 1 0x x⇔ − − =
2
cos 2 1x⇔ =

sin 2 0x⇔ =

2
x k
π
⇔ =
Cách 2:
1
(*) (cos8 cos4 ) 1 0
2
x x⇔ + − =

cos8 cos4 2 0x x⇔ + − =
2
2cos 4 cos4 3 0x x⇔ + − =

cos4 1x⇔ =

2
x k
π
⇔ =
Cách 3:
cos6 cos2 1
(*)
cos6 cos2 1
x x
x x
= =


⇔

= = −

Cách 4:
1
(*) (cos8 cos4 ) 1 0
2
x x⇔ + − =

cos8 cos4 2x x⇔ + =
cos8 cos4 1x x⇔ = =

18
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 3.
4 4
3
cos sin cos( )sin(3 ) 0
4 4 2
x x x x
π π
+ + − − − =
2 2 2 2 2
1 3
(sin cos ) 2sin cos [sin(4 ) sin 2 ] 0
2 2 2
x x x x x x
π
⇔ + − + − + − =

2
1 1 3
1 sin 2 ( cos4 sin 2 ) 0
2 2 2
x x x⇔ − + − + − =
2 2
1 1 1 1
sin 2 (1 2sin 2 ) sin 2 0
2 2 2 2
x x x⇔ − − − + − =
2
sin 2 sin 2 2 0x x⇔ + − =
sin 2 1x⇔ =
4
x k
π
π
⇔ = +
Bài 4.
2
5sin 2 3(1 sin )tanx x x− = −
(1)
Điều kiện:
cos 0
2
x x k
π
π
≠ ⇔ ≠ +
2

2
sin
(1) 5sin 2 3(1 sin )
cos
x
x x
x
⇔ − = −

2
2
sin
5sin 2 3(1 sin )
1 sin
x
x x
x
⇔ − = −
−
2
3sin
5sin 2
1 sin
x
x
x
⇔ − =
+

2

2sin 3sin 2 0x x⇔ + − =

1
sin
2
x⇔ =
2
6
5
2
6
x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔


= +


Bài 5.
1 1
2sin3 2cos3
sin cos

x x
x x
− = +
(*)
Điều kiện:
sin 2 0
2
x x k
π
≠ ⇔ ≠
1 1
(*) 2(sin3 cos3 )
sin cos
x x
x x
⇔ − = +
3 3
1 1
2[3(sin cos ) 4(sin cos ]
sin cos
x x x x
x x
⇔ + − + = +
2 2
sin cos
2(sin cos )[3 4(sin sin cos cos )]
sin cos
x x
x x x x x x
x x

+
⇔ + − − + =
sin cos
2(sin cos )( 1 4sin cos ) 0
sin cos
x x
x x x x
x x
+
⇔ + − + − =
1
(sin cos )( 2 8sin cos ) 0
sin cos
x x x x
x x
⇔ + − + − =
2
(sin cos )(4sin 2 2) 0
sin 2
x x x
x
⇔ + − − =
2
(sin cos )(4sin 2 2sin 2 2) 0x x x x⇔ + − − =

19
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
2
sin cos 0
4sin 2 2sin 2 2 0

x x
x x
+ =

⇔

− − =


tan 1
sin 2 1
sin 2 1/ 2
x
x
x
= −


⇔ =


= −


4
12
7
12
x k
x k

x k
π
π
π
π
π
π

= ± +



⇔ = − +



= +


Bài 6.
2
cos (2sin 3 2) 2cos 1
1
1 sin 2
x x x
x
+ − −
=
+
(*)

Điều kiện:
sin 2 1
4
x x k
π
π
≠ − ⇔ ≠ − +
2
(*) 2sin cos 3 2 cos 2cos 1 1 sin 2x x x x x⇔ + − − = +
2
2cos 3 2 cos 2 0x x⇔ − + =

2
cos
2
x⇔ =

4
x k
π
π
⇔ = ± +
Đối chiếu điều kiện phương trình có nghiệm:
,
4
x k k
π
π
= + ∈¢
Bài 7.

3 3 1
cos cos cos sin sin sin
2 2 2 2 2
x x x x
x x− =
1 1 1
cos (cos2 cos ) sin (cos2 cos )
2 2 2
x x x x x x⇔ + + − =
2
cos cos2 cos sin cos2 sin cos 1x x x x x x x⇔ + + − =
2
cos2 (sin cos ) 1 sin sin cos 1 0x x x x x x⇔ + + − − − =
cos2 (sin cos ) sin (sin cos ) 0x x x x x x⇔ + − + =
(sin cos )(cos2 sin ) 0x x x x⇔ + − =
2
(sin cos )( 2sin sin 1) 0x x x x⇔ + − − + =
2
sin cos 0
2sin sin 1 0
x x
x x
+ =

⇔

+ − =

tan 1
sin 1

sin 1/ 2
x
x
x
= −


⇔ = −


=


4
2
2
5
2 2
6 6
x k
x k
x k x k
π
π
π
π
π π
π π

= − +




⇔ = − +



= + ∨ = +


Bài 8.
3
4cos 3 2 sin 2 8cosx x x+ =

3
4cos 6 2 sin cos 8cos 0x x x x⇔ + − =
2
2cos (2cos 3 2 sin 4) 0x x x⇔ + − =

2
2cos (2sin 3 2 sin 2) 0x x x⇔ − + =

20
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
cos 0
2
sin
2
x
x

=


⇔

=



2
2
4
3
2
4
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
π

= +



⇔ = +




= +


Bài 9.
cos(2 ) cos(2 ) 4sin 2 2(1 sin )
4 4
x x x x
π π
+ + − + = + −
2cos2 cos 4sin 2 2 2sin 0
4
x x x
π
⇔ + − − + =
2
2(1 2sin ) 4sin 2 2 2 sin 0x x x⇔ − + − − + =
2
2 2sin (4 2)sin 2 0x x⇔ − + + =
1
sin
2
x⇔ =

2
6
5
2

6
x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔


= +


Bài 10.
2 2
3cot 2 2 sin (2 3 2)cosx x x+ = +
(1)
Điều kiện:
sin 0x x k
π
≠ ⇔ ≠
2
4 2
cos cos
(1) 3 2 2 (2 3 2)
sin sin
x x

x x
⇔ + = +
Đặt:
2
cos
sin
x
t
x
=
phương trình trở thành:
2
2
3 (2 3 2) 2 2 0
2
3
t
t t
t

=

− + + = ⇔

=


2
2 cos 2
:

3 sin 3
x
t
x
+ = =

2
3cos 2(1 cos )x x⇔ = −

2
2cos 3cos 2 0x x⇔ + − =
1
cos
2
x⇔ =

2
3
x k
π
π
⇔ = ± +
2
cos
2 : 2
sin
x
t
x
+ = =

2
cos 2(1 cos )x x⇔ = −

2
2 cos cos 2 0x x⇔ + − =

2
cos
2
x⇔ =

2
4
x k
π
π
⇔ = ± +
Vậy,phương trình có nghiệm:
2 , 2
3 4
x k x k
π π
π π
= ± + = ± +
Bài 11.
2 2
4sin 2 6sin 9 3cos2
0
cos

x x x
x
+ − −
=
(*)
Điều kiện:
cos 0
2
x x k
π
π
≠ ⇔ ≠ +

21
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
2
(*) 4(1 cos 2 ) 3(1 cos2 ) 9 3cos 0x x x⇔ − + − − − =

2
4cos 2 6cos 2 0x x⇔ + + =
cos2 1
1
cos2
2
x
x
= −


⇔


= −


2
3
x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔


= ± +


Vậy,phương trình có nghiệm:
3
x k
π
π
= ± +
Bài 12.
cos cos3 2cos5 0x x x+ + =

(cos5 cos ) (cos5 cos3 ) 0x x x x⇔ + + + =
2cos3 cos2 2cos4 cos 0x x x x⇔ + =
3 2
(4cos 3cos )cos2 (2cos 2 1)cos 0x x x x x⇔ − + − =
2 2
cos [(4cos 3)cos2 2cos 2 1] 0x x x x⇔ − + − =
2
cos {[2(1 cos2 ) 3]cos2 2cos 2 1} 0x x x x⇔ + − + − =
2
cos (4cos 2 cos2 1) 0x x x⇔ − − =
cos 0
1 17
cos
8
1 17
cos
8
x
x
x


=

−

⇔ =


+


=



2
1 17
arccos 2
8
1 17
arccos 2
8
x k
x k
x k
π
π
π
π

= +


−

⇔ = ± +


+


= ± +


Bài 13.
8 8 2
17
sin cos cos 2
16
x x x+ =
(*)
8 8 4 4 2 4 4
sin cos (sin cos ) 2sin cosx x x x x x+ = + −
2 2 2 2 2 2 4
1
[(sin cos ) 2sin cos )] sin 2
8
x x x x x= + − −
2 2 4
1 1
(1 sin 2 ) sin 2
2 8
x x= − −

2 4
1
1 sin 2 sin 2
8
x x= − +
2 4 2
1

(*) 16(1 sin 2 sin 2 ) 17(1 sin 2 )
8
x x x⇔ − + = −

4 2
2sin 2 sin 2 1 0x x⇔ + − =
2
1
sin 2
2
x⇔ =

2
1 2sin 2 0x⇔ − =

cos4 0x⇔ =

8 4
x k
π π
⇔ = +
Bài 14.
5
3
sin 5cos sin
2 2
x x
x=
(*)
Ta thấy:

cos 0 2 cos 1
2
x
x k x
π π
= ⇔ = + ⇔ = −
Thay vào phương trình (*) ta được:

5
sin( 5 ) sin( )
2 2
k k
π π
π π
+ = − +
không thỏa mãn với mọi k

22
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Do đó
cos
2
x
không là nghiệm của phương trình nên:
5
3
(*) sin cos 5cos sin cos
2 2 2 2
x x x x
x⇔ =

1 5
3
(sin3 sin 2 ) cos sin
2 2
x x x x⇔ + =
3 3
3sin 4sin 2sin cos 5cos sin 0x x x x x x⇔ − + − =
2 3
sin (3 4sin 2cos 5cos ) 0x x x x⇔ − + − =
3 2
sin (5cos 4cos 2cos 1) 0x x x x
⇔ − − + =
sin 0
cos 1
1 21
cos
10
1 21
cos
10
x
x
x
x
=


=



− +
⇔
=



− −
=


2
1 21
arccos 2
10
1 21
arccos 2
10
x k
x k
x k
x k
π
π
π
π
=


=



− +
⇔
= ± +



− −
= ± +


Vậy,phương trình có nghiệm:
2x k
π
=
,
1 21
arccos 2
10
x k
π
− +
= ± +
1 21
arccos 2
10
x k
π
− −
= ± +

Bài 15.
2
sin 2 (cot tan 2 ) 4cosx x x x+ =
(1)
Điều kiện:
sin 0
cos2 0
4 2
x k
x
x
x k
π
π π
 ≠

≠
 
⇔
 
≠
≠ +
 


Ta có:
cos sin 2
cot tan2
sin cos2
x x

x x
x x
+ = +
cos2 cos sin 2 sin
sin cos2
x x x x
x x
+
=
cos
sin cos2
x
x x
=
cos
2
(1) 2sin cos 4cos
sin cos2
x
x x x
x x
⇔ =
2
cos
2
2cos
cos2
x
x
x

⇔ =
2
cos (1 2cos2 ) 0x x
⇔ − =
cos 0
cos2 1/ 2
x
x
=

⇔

=

2
6
x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔


= ± +



Vậy,phương trình có nghiệm:
2
x k
π
π
= +
,
6
x k
π
π
= ± +
Bài 16.
6 8
2
2cos 1 3cos
5 5
x x
+ =

23
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
12 4
2
(1 cos ) 1 2(2cos 1)
5 5
x x
⇔ + + = −

4 4 4
3 2
2 4cos 3cos 2(2cos 1)
5 5 5
x x x
⇔ + − = −
Đặt:
4
cos , 1 1
5
x
t t= − ≤ ≤
phương trình trở thành:
3 2
4 6 3 5 0t t t− − − =

1
1 21
4
t
t
=


⇔
−

=



4 5
cos 1
5 2
x
x k
π
+ = ⇔ =

4 1 21 5 1 21 5
cos arccos
5 4 4 4 2
x
x k
π
− −
+ = ⇔ = ± +
Vậy,phương trình có nghiệm:
5
2
x k
π
=
,
5 1 21 5
arccos
4 4 2
x k
π
−

= ± +
Bài 17.
3
tan ( ) tan 1
4
x x
π
− = −
(1)
Điều kiện:
cos 0
2
3
cos( ) 0
4
4
x
x k
x
x k
π
π
π
π
π

≠
≠ +



 
⇔
 
− ≠
 
≠ +



3
(tan 1)
(1) tan 1
3
(1 tan )
x
x
x
−
⇔ = −
+

3 3
(tan 1) (tan 1)(1 tan )x x x⇔ − = − +
3 2
(tan 1)[(1 tan ) (tan 1) ] 0x x x
⇔ − + − − =
3 2
(tan 1)(tan 2tan 5tan ) 0x x x x⇔ − + + =
2
tan (tan 1)(tan 2tan 5) 0x x x x⇔ − + + =

tan 0
tan 1
x
x
=

⇔

=


4
x k
x k
π
π
π
=


⇔

= +

C2: Đặt:
4
t x
π
= −
Bài 18.

4 4
sin 2 cos 2
4
cos 4
tan( )tan( )
4 4
x x
x
x x
π π
+
=
− +
(1)
Điều kiện:
sin( )cos( ) 0
4 4
sin( )cos( ) 0
4 4
x x
x x
π π
π π

− − ≠




+ + ≠




sin( 2 ) 0
4
cos2 0
sin( 2 ) 0
4
x
x
x
π
π

− ≠


⇔ ⇔ ≠


+ ≠



24
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1 tan 1 tan
tan( )tan( ) . 1
4 4 1 tan 1 tan
x x

x x
x x
π π
− +
− + = =
+ −
4 4 4
(1) sin 2 cos 2 cos 4x x x⇔ + =

2 2 4
1 2sin 2 cos 2 cos 4x x x⇔ − =
1
2 4
1 sin 4 cos 4
2
x x⇔ − =

1
2 4
1 (1 cos 4 ) cos 4
2
x x⇔ − − =
4 2
2cos 4 cos 4 1 0x x⇔ − − =

2
cos 4 1x⇔ =
2
1 cos 4 0x⇔ − =

sin 4 0x⇔ =

4
x k
π
⇔ =
Vậy,phương trình có nghiệm:
2
x k
π
=
Bài 19.
1 2
48 (1 cot 2 cot ) 0
4 2
cos sin
x x
x x
− − + =
(*)
Điều kiện:
sin 2 0
2
x x k
π
≠ ⇔ ≠
Ta có:
cos2 cos
1 cot2 cot 1
sin 2 sin

x x
x x
x x
+ = +

cos2 sin sin 2 sin
sin 2 cos
x x x x
x x
+
=

cos
2
2sin cos
x
x x
=

1
2
2sin x
=
1 1
(*) 48 0
4 4
cos sinx x
⇔ − − =

1 1

48
4 4
cos sinx x
⇔ = +
4 4 4 4
48sin cos sin cosx x x x⇔ = +

1
4 2
3sin 2 1 sin 2
2
x x⇔ = −
4 2
6sin 2 sin 2 2 0x x⇔ + − =

1
2
sin 2
2
x⇔ =

2
1 2sin 2 0x⇔ − =
cos4 0x⇔ =

8 4
x k
π π
⇔ = +
Vậy,phương trình có nghiệm:

8 4
x k
π π
= +
Bài 20.
5
8 8 10 10
sin cos 2(sin cos ) cos2
4
x x x x x+ = + +
5
8 2 8 2
sin (1 2sin ) cos (2cos 1) cos2
4
x x x x x⇔ − − − =
5
8 8
sin cos2 cos cos2 cos2
4
x x x x x⇔ − =
8 8
4cos2 (cos sin ) 5cos2 0x x x x
⇔ − + =
4 4 4 4
4cos2 (cos sin )(cos sin ) 5cos2 0x x x x x x⇔ − + + =
2 2 2 2 4 4
4cos2 (cos sin )(cos sin )(cos sin ) 5cos2 0x x x x x x x x
⇔ − + + + =

25