Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 - THPT

SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
Phần I. MỞ ĐẦU
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN.
Thời gian gần đây đã có rất nhiều cuộc hội thảo khoa học bàn về vấn đề
làm thế nào để đẩy nhanh sự phát triển của giáo dục mà nội dung then chốt là
đổi mới để nâng cao chất lượng dạy và học. Một trong những phương pháp
được chú ý nhất ,có tính ưu việt nhất đó là dạy học theo quan điểm hoạt động.
Phương pháp dạy học theo quan điểm hoạt động được hình thành
trên những tư tưởng chủ đạo sau.
i) Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động thành phần
tương thích với nội dung và mục đích dạy học.
ii) Gây động cơ học tập và tiến hành hoạt động.
iii) Truyền thụ tri thức ,đặc biệt là những tri thức phương pháp như
phương tiện và kết quả hoạt động.
iv) Phân bậc hoạt động .
Bản sáng kiến kinh nghiệm này trình bày về một khía cạnh nhỏ của
phương pháp dạy học trên, đó là “Thực hiện các hoạt động thành phần trong
quá trình dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 trung học phổ
thông” mà tác giả đã trực tiếp giảng dạy và kiểm nghiệm
Hoạt động dạy học phương trình lượng giác là một hoạt động phức hợp
có thể chia làm nhiều hoạt động thành phần, ký hiệu một cách hình thức là
654321
,,,,, HHHHHH
.
Có thể mô tả cấu trúc của hoạt động dạy học phương trình lượng giác
như sau.
1
H
:Nhận dạng phương trình: Nếu học sinh đã nhận dạng được phương
trình cần giải thì chuyển qua
2

H
.
2
H
:Biến đổi phương trình về dạng quen thuộc,giáo viên cần tiến hành
gợi động cơ, hướng đích cần thiết, kết thúc
2
H
thì chuyển sang
3
H
.
3
H
:Giải các phương trình nhận được (thể hiện phương pháp giải).
4
H
:Kiểm tra các kết quả để bảo đảm không bỏ sót nghiệm,không thừa
nghiệm, tránh các sai lầm phổ biến thường gặp.
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
1
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
5
H
: Phân tích các sai lầm của học sinh để thu hoạch về tri thức toán học
và tri thức phương pháp toán học.
6
H
: Xét mối liên hệ với các bài toán liên quan,mở rộng bài toán bằng
tương tự,khái quát hóa.

Các hoạt động thành phần trên có liên quan mật thiết với nhau ,thường
xuất hiện đan kết hoặc lồng vào nhau.Việc phân tích hoạt động dạy học giải
phương trình thành các hoạt động trên giúp giáo viên nắm được cách thức tiến
hành toàn bộ dạy học phương trình .
II.CƠ SỞ THỰC TIỄN.
1.Về phía học sinh.
Giải phương trình lượng giác là một nội dung rất quan trọng trong
chương trình Đại số và giải tích 11,hơn nữa đây cũng là nội dung “cứng”
trong cấu trúc ra đề thi đại học của Bộ GD và ĐT .Tuy nhiên khi đụng đến
biến đổi lượng giác nói chung và giải phương trình lượng giác nói riêng thì
học sinh còn khá lúng túng,thậm chí một bộ phận lớn học sinh còn cảm giác
“sợ” nội dung này.
Có rất nhiều tài liệu tham khảo về giải phương trình lượng giác ,nhưng
hầu hết đều chú ý đến số lượng các ví dụ nhiều hơn là đi định hướng cho học
sinh có một cái nhìn sâu sắc ,bản chất .
2.Về phía giáo viên.
Việc cung cấp kiến thức cho học sinh một cách chi tiết là khó khăn,bởi
số tiết dành cho nội dung này là hạn chế,so với một lượng kiến thức có thể nói
là rất đồ sộ.Vì vậy việc tìm ra cho mình một phương pháp giảng dạy có tính
hiệu quả cao,trong một thời gian ngắn là một điều rất cần thiết đối với bất kì
giáo viên nào.
Do đó tôi muốn chia sẻ qua sáng kiến kinh nghiệm nhỏ này với mong
muốn mang đến cho bạn đọc một cách nhìn mới trên nội dung cũ nhằm góp
phần đưa những tiết học về nội dung giải phương trình lượng giác trở nên sôi
động và hiệu quả hơn.
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
2
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
Phần II
THỰC HIỆN CÁC HOẠT ĐỘNG THÀNH PHẦN TRONG QUÁ TRÌNHDẠY

HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11
1. Nhận dạng phương trình.
Khi học giải phương trình lượng giác nhiều học sinh đã nhầm tưởng
rằng sẽ học được những thuật toán tổng quát nhất cho phép giải mọi phương
trình lượng giác, nhưng thực ra không có một phương pháp tổng quát nào
.Các phương trình lượng giác trong chương trình phổ thông rất đa dạng về thể
loại, phong phú về cách giải ,vì vậy một yêu cầu quan trọng mà giáo viên phải
đạt được là giúp học sinh nhận dạng được các phương trình lượng giác khác
nhau và thể hiện các phương pháp giải chúng.
Có nhiều cách phân dạng phương trình lượng giác ,chẳng hạn sách giáo
viên Đại số và giải tích 11 Ban khoa học tự nhiên thì các phương trình lượng
giác được phân loại thành:
- Phương trình lượng giác cơ bản .
- Một số phương trình lượng giác thường gặp (phương trình bậc nhất ,bậc
hai hay phương trình bậc cao đối với một hàm số lượng giác ,phương trình thuần
nhất đối với sinx và cosx ,phương trình đối xứng theo sinx và cosx).
- Những phương trình lượng giác khác: Cách phân loại như vậy có ưu
điểm là chi tiết ,tuy nhiên chưa nhấn mạnh đến các đặc điểm về dạng thức và
phương pháp giải .Theo kinh nghiệm cá nhân tôi nhận thấy sử dụng hệ thống
phân dạng nói trên với một sự thay thích hợp về cách sắp xếp ,tổ chức lại sẽ
có một hệ thống phân dạng đầy đủ chi tiết tạo điều kiện giúp học sinh nhận
dạng phương trình và tìm được giải pháp thể hiện phương pháp giải chúng .
Trước hết, một sự phân dạng (còn rất thô) có thể chia các phương trình
thành hai loại :
Loại phương trình lượng giác không có tham số và loại phương trình
lượng giác có tham số .
Về nguyên tắc các phương trình không có tham số là những phương
trình cụ thể nên phép giải chúng tương đối đơn giản .Các phương trình có
tham số nhìn chung sẽ phức tạp ,vì vậy học sinh phải có khả năng phân tích
để chia tập hợp các giá trị của tham số thành những bộ phận ,trong đó phương

trình có dạng chung thống nhất và lập luận thống nhất về biến đổi tương
đương phương trình.
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
3
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
Chi tiết và cụ thể hơn chúng ta có thể phân dạng các phương trình
lượng giác thành:
I.Phương trình lượng giác cơ bản .
II.Phương trình lượng giác gần cơ bản.
III.Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
IV.Các phương trình lượng giác có thể đại số hóa.
V.Các phương trình lượng giác có thể biến đổi về phương trình tích .
VI.Các phương trình lượng giác có điều kiện ràng buộc về ẩn.
VII.Các phương trình lượng giác không mẫu mực.
Các dạng IV,V ,VI,VII có thể phân dạng một cách chi tiết hơn như sau:
IV1. Phương trình có thể đại số hóa.
a. Phương trình đa thức đối với một hàm lượng giác .
b. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.
c. Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx.
V1. Phương trình lượng giác có thể biến đổi về tích.
a. Dạng asinx+bsin2x+csin3x=0.
b. Dạng sử dụng công thức hạ bậc ,tích thành tổng,tổng thành tích .
c. Dạng chứa những biểu thức có thừa số chung.
d. Dạng phương trình có những liên quan đặc biệt.
VI1. Phương trình lượng giác với điều kiện ràng buộc về ẩn.
a. Phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu thức .
b. Phương trình lượng giác chứa ẩn trong dấu căn.
c. Phương trình lượng giác chứa ẩn trong lôgarit.
d. Phương trình lượng giác trên một miền .
VII1. Phương trình lượng giác không mẫu mực.

a. Các phương trình không mẫu mực giải được nhờ sử dụng phương
pháp đánh giá các số hạng ,nhân tử.
b. Các phương trình không mẫu mực giải được dựa vào tính chất của hàm số
và đồ thị.
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
4
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
Về các phương trình có chứa tham số ,học sinh có thể gặp các dạng cụ
thể sau.
a. Biện luận phương trình.
b. Biện luận số nghiệm của phương trình.
c. Điều kiện để phương trình có nghiệm,nghiệm duy nhất.
d. Điều kiện để hai phương trình tương đương.
1.1. Phương trình lượng giác cơ bản.
Là lớp phương trình đơn giản nhất nhưng lại là quan trọng nhất vì việc
giải bất cứ phương trình nào cũng dẫn đến giải một trong những phương trình
dạng này.
Các phương trình lượng giác cơ bản gồm:sinx=a,cosx=a,tanx=a,cotx=a,
với x là ẩn, a là số đã cho.
1.2.Phương trình lượng giác gần cơ bản.
Là các phương trình dạng sinf(x)=a,cosf(x)=a,tanf(x)=a,cotf(x)=a.
1.3.Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
Là phương trình có dạng:asinx+bcosx+c=0
1.4.Các phương trình lượng giác có thể đại số hóa.
Về nguyên tắc, mọi phương trình lượng giác đều có thể đại số hóa nhờ
phép đặt ẩn phụ t=tan(x/2) và sử dụng các công thức hữu tỉ hóa:

2
2
22

2
2
1
1
cot,
1
2
tan,
1
1
cos'
1
2
sin
t
t
x
t
t
x
t
t
x
t
t
x
−
+
=
−

=
+
−
=
+
=
.
Tuy nhiên có hai lí do chủ yếu không nên máy móc đặt ẩn phụ dạng này
cho mọi trường hợp.
Thứ nhất, phép biến đổi trên làm thu hẹp miền xác định của phương trình.
Thứ hai, phép đặt ẩn phụ trên làm bậc của phương trình tăng lên gấp đôi.
Do đó trong nhiều trường hợp ,để đại số hóa một phương trình lượng
giác cần xem xét cụ thể phương trình để lựa chọn một phép biến đổi thông
minh hơn.
a.Phương trình đa thức đối với một hàm lượng giác .
b.Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.
c.Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx.
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
5
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
1.5 Các phương trình lượng giác có thể biến đổi đưa về tích.
Phương pháp đưa phương trình về dạng tích là một trong những kĩ thuật
quan trọng nhất để giải phương trình nói chung và phương trình lượng giác
nói riêng.Mục đích của phương pháp này là quy việc giải một phương trình
phức tạp về việc giải một tập hợp các phương trình cơ bản.
Các em học sinh có thể chú ý ghi nhớ những biểu thức có thừa số
chung cho trên bảng sau.
f(x) Biểu thức chứa thừa số f(x)
Sinx Sinnx,tannx,….
Cosx Sin2x,cos3x,tan2x,cotx,cot3x…

1+cosx
cos
2
2
x
,cot
2
2
x
,sin
2
2
x
,tan
2
2
x
…
1-cosx
tan,sin,
2
tan,
2
sin
2222
xx
xx
1+sinx
),
24

(cos,cot,cos
222
x
xx −
π
1-sinx
),
24
(cos,cot,cos
222
x
xx +
π
Sinx+cosx
cottan,cot1,tan1,2sin1,2cot,2cos xxxxxxx −+++
Sinx-cosx
cottan,cot1,tan1,2sin1,2cot,2cos xxxxxxx −−−−

Bảng 1
1.6. Phương trình lượng giác với điều kiện ràng buộc về ẩn.
Với dạng phương trình này khi giải ta phải đặt điều kiện và chú ý các
phepa biến đổi tương đương ,khi giải xong nghiệm ta phải kiểm tra lại điều
kiện để loại đi nghiệm vi phạm điều kiện.
1.7. Phương trình lượng giác không mẫu mực.
Một số phương trình lượng giác không thể áp dụng những phương pháp
truyền thống .
Gặp những dạng này học sinh cần vận dụng khéo léo phương pháp đánh
giá các số hạng có trong phương trình(sử dụng tính chất của bất đẳng thức )
sử dụng các tính chất đơn điệu ,hay tính bị chặn của hàm số ,hoặc dùng đồ thị
của hàm số để giải được chúng.

2. Biến đổi phương trình về dạng quen thuộc.
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
6
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
Đây là hoạt động thành phần quan trọng và khó khăn nhất trong hoạt
động dạy học giải phương trình lượng giác. Phần lớn các phương trình lượng
giác có dạng thức không chỉ ra ngay con đường đi đến lời giải. Việc nhận ra dạng
phương trình cần giải mới chỉ gợi ý cho người làm một thuật toán chung, tổng
quát để suy nghĩ tìm tòi lời giải. Do đó,trong hoạt động thành phần này, giáo viên
cần cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ tìm tòi lời giải.
Một giờ học toán sinh động hay khô khan buồn tẻ, có trở thành niềm
say mê, háo hức của học sinh hay không là tùy thuộc và năng lực điều khiển
của giáo viên. Vì vậy mỗi giáo viên cần thường xuyên rèn luyện nhằm không
ngừng nâng cao năng lực tiến hành biến đổi phương trình.
2.1. Phương trình lượng giác cơ bản và gần cơ bản.
* Phương trình lượng giác cơ bản :sinx=a,cosx=a, tanx=a,cotx=a.Các
phương trình lượng giác dạng này đã có công thức nghiệm chi tiết.Cần nhấn
mạnh các phương trình
sinx=sinb,cosx=cosb,tanx=tanb,cotx=cotb.
* Phương trình lượng giác gần cơ bản.
Là những phương trình :sinf(x)=a,cosf(x)=a,tanf(x)=a,cotf(x)=a.
Bằng phép đặt f(x)=t,ta đưa về phương trình dạng trên.
Cần chú ý điều kiện trong phương trình tanf(x)=a,cotf(x)=a.
2.2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
Dạng phương trình :asinx+bcosx+c=0.
Bằng cách chia hai vế của phương trình cho
22
ba +
và chú ý rằng
1

2
22
2
22
=








+
+








+ ba
b
ba
a
,nên ta có thể đặt
2222
sin,cos

ba
b
ba
a
+
=
+
=
αα
,với
α
là một góc xác định nào đó.
Khi đó phương trình đã cho trở thành :
22
)sin(
ba
c
x
+
=+
α
,đây chính là
phương trình cơ bản.
Sử dụng cách giải phương trình này ta có thể áp dụng được cho những
phương trình dạng sau:
2222
),(cos)(sin)(cos)(sin dcbaxgdxgcxfbxfa +=++=+
.
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
7

SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
2.3. Lựa chọn phép biến đổi lượng giác.
Để nhanh chóng lựa chọn những phép biến đổi lượng giác thích hợp
cho việc đại số hóa phương trình ,giáo viên cần lưu ý học sinh một số nhận
xét hữu ích sau:
a. Các biểu thức lượng giác có thể biểu diễn qua một đa thức của cosx gồm:
sin
x
2
,cos2x,cos3x.
Các biểu thức biểu diễn được qua một đa thức của sinx gồm:cos
x
2
,cos2x,sin3x.
b. Các phương trình đối xứng nhau với sinx,cosx có thể đại số hóa bởi
phép đặt ẩn số phụ t=sinx+cosx,từ cách đặt ẩn phụ này ta rút ra t
[ ]
2;2−∈
và
sinxcosx
2
1
2
−
=
t
.Như vậy phương trình đối xứng
f(sinx+cosx,sinxcosx)=0 là đại số hóa được.
c. Các phương trình dạng f(cosx-sinx,sinxcosx) =0 cũng đại số hóa như trên.
d. Một dạng đặc biệt của phương trình đối xứng đối với cosx và sinx là

phương trình đối xứng với tanx và cotx.Chú ý rằng
:tanx.cotx=1,tanx+cotx=2/sin2x.
nên có phép đặt ẩn phụ t= tanx+cotx hoặc t=sin2x.Khi đặt t=tanx+cotx
ta có các công thức biến đổi:S
2
=
2cottan
222
−=+ txx
.

ttxxS 3cottan
333
3
−=+=
.

24cottan
2444
4
+−=+= ttxxS
.
e. Qui trình biến đổi phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx như sau:
Bước 1.Làm cho tất cả các số hạng đều cùng bậc bằng cách nhân từng
số hạng với biểu thức
k
xx )cos(sin
22
+
,với k lựa chọn thích hợp.

Bước 2.Rút lũy thừa bậc cao nhất của cosx có thể làm nhân tử
chung.Nếu các số hạng không nhận cosx làm nhân tử chung thì chia hai vế
cho lũy thừa cao nhất của cosx.
Bước 3.Đặt t =tanx và giải phương trình đại số thu được.
2.4. Biến đổi phương trình về dạng tích.
Muốn biến đổi phương trình lượng giác về dạng tích trước tiên cần giúp
học sinh thuộc tất cả các công thức biến đổi lượng giác .Trong thực tế đa số
học sinh không nhận thức được tầm quan trọng của việc thuộc lòng các phép
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
8
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
biến đổi lượng giác ,đã hài lòng và yên tâm với việc hiểu ý nghĩa công thức
biến đổi ,có khả năng áp dụng chúng ,nhưng lại không nhớ được có những
công thức nào,không hình dung được các công thức đó một cách tường minh,
vì thế không có khả năng so sánh phân tích ,tổng hợp.Vì lẽ đó các em chỉ có
thể giải toán một cách thụ động ,hiểu vấn đề một cách lơ mơ và không có khả
năng sáng tạo.
Thiết nghĩ rằng nếu tổ chức tốt việc dạy học các công thức biến đổi
lượng giác sẽ bảo đảm một kết quả chắc chắn và tiết kiệm thời gian cho học
sinh rất nhiều.
Cách tổ chức dạy học biến đổi lượng giác nên dựa vào hai yếu tố :hệ thống
hóa các công thức; phối hợp các giác quan cùng tham gia hoạt động học tập.
Hệ thống công thức biến đổi có thể tóm tắt trong sơ đồ sau.
Để phối hợp các giác quan cùng tham gia hoạt động chúng tôi sắp xếp các
công thức theo một trật tự thích hợp để về mặt âm thanh có thể đọc trơn tru, tốt ít
hơi và yêu cầu học sinh luyện đồng thời nói - nhìn - nghe - viết.
Ví dụ 1: Công thức biến tích thành tổng dưới dạng viết cho bởi:
))cos()(cos(
2
1

coscos yxyxyx ++−=
))cos()(cos(
2
1
sinsin yxyxyx ++−=
))sin()(sin(
2
1
cossin yxyxyx ++−=
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
9
Ba hệ thức
cơ bản
Quy gọn góc Cộng cung
Góc nhân đôi
nhân ba
Hạ bậc
Tích thành tổng
Tổng thành tích
Đột biến cơ bản
Hữu tỉ hoá
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
Các em có thể nhận xét quy luật viết khai triển ở vế phải (góc trừ trước,
góc cộng sau) rồi luyện đọc thành lời:
Cos nhân cos bằng một phần hai cos trừ cộng cos cộng…
Bằng cách cho cả lớp đọc đồng thanh, đọc đuổi nhau… học sinh rất
nhanh chóng thuộc tất cả các công thức nói trên. Sau đây là một số kỹ năng
biến đổi thường dùng:
a. Phương trình asinx + bsin2x + csin3x = 0 tương đương với
0)sin4sin3(cossin2sin

3
=−++ xxcxxbxa
{
0}cos2cos4sin
2
=−++<=> caxbxcx
.
đôi khi trước khi đến với dạng phương trình đã cho, học sinh cần có
khả năng quy gọn góc.
Ví dụ 2: Tìm a để phương trình
xaxx sin)3sin()(2sin =−−−
ππ
có nghiệm
)(, Zkkx ∈≠
π

Ta có
xxx 2sin)22sin()(2sin =−=−
ππ
xx 3sin)3sin( −=−
π
phương trình trở thành
xaxx sin3sin2sin =+
0))1(cos2cos4(sin
2
++−+<=> axxx
b. Sử dụng công thức biến tổng thành tích: Học sinh cần biết nhóm các số
hạng một cách thích hợp, thường là phải chú ý đến tổng, hiệu các góc có mặt
trong các số hạng cần ghép, đôi khi phải hạ bậc trước khi biến tổng thành tích:
Ví dụ 3.Giải phương trình:

xxxxxx 3cos2coscos3sin2sinsin ++=++
.
H
2
: Hai vế phương trình là những tổng lượng giác, không có số hạng
đồng dạng để đơn giản, vì vậy ta nên nghĩ đến việc biến tổng thành tích nhằm
mục đích làm xuất hiện nhân tử chung để đưa phương trình về dạng tích. Chú
ý đến các góc nửa tổng và nửa hiệu ta thấy nên nhóm sinx+3sinx ở vế trái,
cosx + 3cosx ở vế phải, còn góc nửa tổng sẽ là
x
xx
2
2
3
=
+
.
Vậy ta biến đổi
xxxxxx 2cos)3cos(cos2sin)3sin(sin ++=++

xxxxxx 2coscos2cos22sincos2sin2 +=+<=>
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
10
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
0)2cos2)(sin1cos2(
)1cos2(2cos)1cos2(2sin
2coscos2cos22sincos2sin2
=++<=>
+=+<=>
+=+<=>

xxx
xxx
xxxxxx
Ví dụ 4: sin3x+sin6x=sin9x
H
2
: Chú ý đến các cung chứa ẩn (3x+6x =9x) ta thấy ngay nên biến đổi.
0)
2
3
cos
2
9
(cos
2
9
sin2
2
9
cos
2
9
sin2
2
3
cos
2
9
sin2
=−<=>

=
xxx
xxxx
Cũng có thể biến đổi theo cách khác, chẳng hạn đặt t=3x và dùng công
thức góc bội ta biến đổi phương trình thành
sint+sin2t = sin3t (dạng asinx+bsin2x + csin3x = 0)
0)2cos2sin4(sin
2
=−+<=> ttt
Ví dụ 5:
04sin2sin
2
3
cos
2
cos
2222
=+++ xx
xx
H
2
: Tất cả các số hạng đều là bậc 2 với cos hoặc sin do đó ta dùng công
thức hạ bậc, phương trình được biến đổi thành:
08cos4cos3coscos
0
2
8cos1
2
4cos1
2

3cos1
2
cos1
=+++<=>
=
−
−
−
−
+
+
+
xxxx
xxxx
chỳ ý rằng
2
48
2
3 xxxx −
=
+
nên có thể nhóm cosx + cos3x, cosx +
cos8x, phương trình tương đương với:
0)6cos(cos2cos2
02cos6cos2cos2cos2
=+<=>
=+
xxx
xxxx
Trong nhiều trường hợp, 2 vế phương trình là tổng nhiều tích những

hàm số lượng giác mà không có thừa số chung, khi đó nên tìm cách biến tích
thành tổng để rút gọn các số hạng đồng dạng rồi mới biến tích thành tổng.
Ví dụ 6: cos3xcos6x= cos4xcos7x
H
2
: Hai vế là hai tích không có nhân tử chung, nếu biến tích thành tổng
thì phương trình tương đương với
xx
xxxx
9cos11cos
)11cos3(cos
2
1
)9cos3(cos
2
1
=<=>
+=+
c. Sử dụng đồng nhất thức đối xứng
1cossin
22
=+ xx
từ hệ thức cơ bản
này ta rút ra các biến đổi thành tích sau:
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
11
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
)1cos2)(1cos2(sin43
)1sin2)(1sin2(1sin4)sin1(43cos43
)cos1)(cos1(cos1sin

)sin1)(sin1(sin1cos
2
222
22
22
−−=−
−+=−=−−=−
−+=−=
−+=−=
xxx
xxxxx
xxxx
xxxx
Ví dụ 7:
xxx
2
cos43)12sin2)(1sin2( −=+−

H
2
: Vế phải là biểu thức
x
2
cos43−
có nhân tử chung 2sinx-1 với vế
trái, phương trình dược biến đổi thành:
0)1cos2(sin2)(1sin2(
0)sin22sin2)(1sin2(
=−−⇔
=−−

xxx
xxx
Ví dụ 8: Giải phương trình:
xxxxx
2
coscos1cossinsin
++=+
H
2
: Có
)sin1(coscossincos
)sin1)(sin1(sin1cos
22
xxxxx
xxxx
−=−
+−=−=
Phương trình được biến đổi thành:
0))
4
cos(22)(sin1(
0)sincos2)(sin1(
0sin1)sin1(cos)sin1(
2
=−+−⇔
=++−⇔
=−+−+−
π
xx
xxx

xxxx
d. Sử dụng công thức nhân đôi:
Từ công thức
xxxxx
2222
sin11cos2sincos2cos
−=−=−=
, bằng
cách áp dụng đồng nhất công thức cos
2
x+sin
2
x=1 một cách khéo léo ta có:
cos
4
x -cos2x = cos
4
x - (cos
2
x - sin
2
x)
= cos
2
x(cos
2
x-1)+sin
2
x
= -sin

2
xcos
2
x+sin
2
x
hoặc cos
4
x-cos2x=cos
4
x-(2cos
2
x-1)=(1-cos
2
x)
2
=sin
4
x
hoặc cos2x = cos
2
x - sin
2
x=cos
2
x - sin
4
x - sin
4
x

cos
4
x-cos2x = sin
4
x
Ví dụ 9:Giải phương trình: Cos
4
x-cos2x+2sin
6
x=0
H
2
: Trong phương trình có mặt hai loại hàm số lượng giác (cos và sin),
với bậc khác nhau (bậc 3 và bậc1) và các công chứa ẩn khác nhau (x và 2x).
Để làm cho các số hạng bớt khác biệt có thể chú ý đến bậc hoặc cung chứa ẩn.
Nếu muốn làm cho các số hạng đồng bậc thì phải dùng công thức hạ bậc
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
12
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
4
cos3cos3
cos
3
xx
x
+
=
nhưng như vậy sẽ xuất hiện thêm cung 3x. Nếu
muốn làm cho các cung chứa ẩn giống nhau thì phải biến đổi 2cos
2

x. Nếu
dùng cos2x-sin
2
x thì phương trình được biến đổi thành.
0)]cos(sin2)cos)[(sinsin1(
0]cos2sin2cossin21)[sin1(
0)sin1(sin)1cos2)(sin1(
0)sin1(sin)1cos2(cos
0sinsincoscos2
2
2
2
223
=+++−⇔
=+++−⇔
=−++−⇔
=−++⇔
=+−+
xxxxx
xxxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Nếu dựng công thức cos2x=2cos
2
x -1 thì phương trình được biến đổi thành
0)sin1()1(coscos2
0sin1cos2cos2
2
23

=−−+⇔
=+−+
xxx
xxx
e. Đặt thừa số chung: Sử dụng bảng 1 học sinh có thể tiến hành đặt
thừa số chung một cách thuận lợi trong nhiều trường hợp.
Ví dụ 10: Giải phương trình:
x
x
x
sin1
cos1
tan
2
−
+
=
H
2
: Có
x
x
x
x
x
x
x
sin1
cos1
.

sin1
cos1
sin1
cos1
tan
2
2
2
+
−
−
+
=
−
−
=
phương trình tương
đương với:

0)1)(1
cos
1
(
0
cos
)sin(cos
.
cos
cos1
0)1

sin1
cos1
(
sin1
cos1
=++⇔
=
+−+
⇔
=−
+
−
−
+
tgx
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
f. Chú ý đến đặc điểm các hệ số: trong nhiều phương trình lượng giác,
những mối liên hệ số học giữa các hệ số lại chứa đựng chìa khoá giải bài toán.
Ta sẽ thấy từ điều này qua các ví dụ sau:
Ví dụ 11: Giải phương trình:3sinx+2cosx=2+3tanx
H
2

: nhóm các số hạng cùng hệ số ta được
3sinx-3tanx = 2-cosx
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
13
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
0)tan32)(cos1(
)cos1((2)1.(costan3
)cos1(2tan3cos.tan3
=−−⇔
−=−⇔
−=−⇔
xx
xxx
xxxx
Ví dụ 12: 2(tanx-sinx)+3(cotx-cosx)+5=0
H
2
: chú ý đến mối liên hệ giữa các hệ số 5=2+3 ta biến đổi vế trái
phương trình thành
2(tanx-sinx+1)+3(cotx-cosx+1)
)
sin
2
cos
2
)(cossincos(sin
xx
xxxx
+−+=
2.5. Các phép toán chia, khai căn, logarit không phải luôn xác định, vì

thế khi có hàm số lượng giác chứa ẩn có mặt ở mẫu số hay dưới dấu căn thức,
hoặc trong biểu thức logarit thì tập xác định của phương trình nói chung chỉ là
một tập con thực sự của tập số thực. Mặt khác, hầu như các phép biến đổi
đồng nhất liên quan đến các phép toán nói trên đều làm thay đổi miền xác
định của phương trình nên đứng trước mỗi phép biến đổi phương trình chúng
ta phải luôn tự đặt câu hỏi các phép biến đổi đó có ảnh hưởng như thế nào đến
tập hợp nghiệm của phương trình. Học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ
bản sau đây:
a. Các định lý về biến đổi tương đương phương trình
- Nếu nhân hai vế một phương trình với một biểu thức có nghĩa và, ta được
phương trình tương đương (giải phương trình có chứa ẩn ở mẫu thức).
- Nếu hai vế một phương trình có nghĩa và cùng dấu thì nâng hai vế của
phương trình ấy lên cùng một lũy thừa ta được phương trình tương đương.
(giải phương trình vô tỉ).
- Nếu hai vế một phương trình cùng có nghĩa thì mũ hoá phương trình
ấy ta được một phương trình tương đương (giải phương trình lôgarit)
b. Các phép biến đổi đồng nhất và điều kiện kèm theo:
)0,1,0(
loglog):(log
)0,1,0(log.log
)0()(
)1tantan,0cos,(cos
tan.tan1
tantan
)tan(
)0sin,(sin
sinsin
)sin(
cotcot
)0cos,(cos

coscos
)sin(
tantan
log
2121
21
2
>≠>=
−=
>≠>=
>=
±≠≠
+
±
=+
≠
−
±=±
≠
+
=±
baba
bbbb
bbabb
aaa
baba
ba
ba
ba
ba

ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
b
aaa
aa
a
β
β
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
14
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
Đối với dạng phương trình lượng giác với điều kiện ràng buộc về ẩn,
ngoài các kỹ năng biến đổi cần thiết như các dạng phương trình lượng giác
khác, học sinh cần phải thành thạo kỹ năng xử lý các điều kiện khéo léo. Các
ví dụ tôi sẽ trình bày sau đây sẽ chỉ trừ những trường hợp nào cần và nên đặt
điều kiện bổ xung, đồng thời nên xử lý các điều kiện như thế nào.
Ví dụ 13:
xx
x
sin
1
cos
3
sin8 +=
H

2
: để khử mẫu số, cần nhân 2 vế phương trình với cosx.sinx; để bảo
đảm không xuất hiện nghiệm ngoại lai khi áp dụng phép biến đổi đó cần có
điều kiện cosxsinx ≠0. Mặt khác việc đặt điều kiện bổ xung này không làm
thu hẹp tập các giá trị cần xem xét của x và tập xác định của phương trình là
tập tất cả các x thoả mãn điều kiện cosx.sinx≠0. Vậy phương trình đó cho
tương đương với hệ:



+=
≠
)1(cossin3cossin8
)(0sin.cos
2
xxxx
axx
Chú ý rằng, nếu x là một nghiệm của (1) và không thoả mãn điều kiện
(a) thì ta có đồng thời 2 đẳng thức.





+=



=
±=




=
±=
=>≠
)1(cossin3cossin8
0sin
1cos
0cos
1sin
0sincos
2
xxxx
x
x
hoăo
x
x
xx
.
=>
30 ±=
hoặc
10
±=
vô lý. Do đó mọi nghiệm của (1) đều thoả món điều kiện (a), vì vậy phương
trình đó cho tương đương với (1).
Phương trình (1) là phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với sinx, cosx nên
có thể giải theo phương pháp giải phương trình đẳng cấp:

(1)
)cos)(sincossin3(cossin8
222
xxxxxx ++=⇔
0coscossin3cossin7sin3
3223
=−−+⇔ xxxxxx
Rút cos làm thừa số nên cosx =0 là nghiệm phương trình, do đó chia
phương trình cho cos
3
x và đặt t=tanx ta được:
0coscossin3cossin7sin3
3223
=−−+ xxxxx
Kết quả dẫn đến việc giải một phương trình bậc 3 không nhẩm được
nghiệm và rất khó giải.
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
15
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
Trở lại phương trình (1), ta nhận thấy 2 vế là những hàm lượng giác
của cung x nhưng có bậc khác nhau. Để giảm sự khác biệt về bậc, có thể thực
hiện các phép biến đổi tích thành tổng hoặc hạ bậc, chẳng hạn biến đổi.
xxx
xxxx
cossin33coscos2
cossin3sin2sin4)1(
+=+<=>
+=<=>
Xem phương trình được như phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx ta
viết:

)
3
cos()3cos(
)
2
cos(3cos
cos
2
1
sin
2
3
3cos
cossin33cos)1(
π
π
π
+=−<=>
+−=<=>
−=<=>
−=<=>
xx
xx
xxx
xxx
Qua ví dụ trên, giáo viên cần nhấn mạnh để học sinh nhận thức được
những lập luận căn bản sau đây:
- Thực hiện phép nhân hai vế một phương trình với một biểu thức, cần
có điều kiện biểu thức đó phải khác không.
- Bổ sung điều kiện biểu thức khác không, không làm thu hẹp tập

nghiệm và không làm thay đổi tập xác định của phương trình.
- Không cần thiết và không nên giải điều kiện bổ sung vừa đặt ra, đối
với các nghiệm của phương trình thu được cần tìm cách thử trực tiếp hoặc
gián tiếp các điều kiện đó.
Ví dụ 14: 3tan3x + cot2x=2tanx+
x4sin
2
H
2
: Chú ý đến đặc điểm các hệ số có thể biến đổi phương trình thành
tan3x+tan2x+2(tan3x-tanx)=
xx 2cos2sin2
2

xxxx
xxx
xxxx
x
xx
xx
2cos2sin
1
2sin3cos
sin2sin4cos
2cos2sin
1
cos3cos
2sin2
2sin3cos
)23cos(

=
+
<=>
=+
−
<=>
Điều kiện có nghĩa của phương trình là cos3xsin2x.cos2x≠0 và với điều
kiện đó phương trình tương đương với:
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
16
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
)2cos(2cossin2sin4cos2cos
3cos)sin2sin4(cos2cos
xxxxxxx
xxxxx
+=+<=>
=+







−=
>−=>−=
=
<=>
4
1

2cos
02sin0sin
02sin
x
loaixx
x
Để thử điều kiện cos3xsin2xcos2x≠0 ta biểu diễn điều kiện này thông
qua cos2x:
sin2x≠0
⇔
cos2x≠±1
0cos3cos403cos
3
=−<=>≠ xxx





≠−+<=>≠−
≠
+
<=>≠<=>≠
<=>
03)2cos1(203cos4
0
2
2cos1
0cos0cos
2

2
xx
x
xx





≠−+⇔≠−
≠
+
⇔≠⇔≠
⇔
03)2cos1(203cos4
0
2
2cos1
0cos0cos
2
2
xx
x
xx
2
1
2cos,12cos
≠−≠
xx
Có nghĩa là

2
1
,1,02cos ±≠x
và nghiệm
4
1
2cos =x
thoả mãn điều kiện đã nêu.
Ví dụ 15: tan(120
0
+3x)-tan(140
0
-x)=2sin(80
0
+2x)
H
2
: có thể thực hiện phép biến đổi tổng thành tích cho vế trái nhưng học
sinh không tìm thấy thừa số chung để đưa phương trình về dạng tích. Tuy nhiên,
chú ý rằng 80
0
+2x=2(40
0
+x), 140
0
-x=180
0
-(40
0
+x), 120

0
+3x=3(40
0
+x) do đó nếu
đặt t= 40
0
+x và sử dụng quy gọn góc ta biến đổi phương trình thành.
tan3t+tant=2sin2t
t
tt
tt
t
tt
tt
t
tt
t
2sin2
1cos22cos
2cos2sin4
2sin2
)4cos2(cos
2
1
2cos2sin2
2sin2
cos3cos
4sin
2
=

−+
=
+
⇔
=⇔
Để khử mẫu số, cần có điều kiện 2cos
2
2t+cos2t-1≠0
⇔
cos2t≠-1,
2
1
với
điều kiện này phương trình tương đương với:
4sin2tcos2t=2sin2t(2cos
2
2t+cos2t-1)
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
17
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11




−==
±=<=>=
<=>
=−−<=>
2
1

2cos,12cos
12cos02sin
0)12cos2cos2(2sin2
2
tt
tt
ttt
Đối chiếu với điều kiện đặt ra, phương trình trở thành




−=
=
2
1
2cos
12cos
t
t
Ví dụ 16:
x
x
xx
sin4
cos
cos1cos1
=
+−−
H

2
: Để khử mẫu số, trước hết cần đặt điều kiện cosx≠0, phương trình
tương đương với
xxxx cossin4cos1cos1 =+−−
Nếu khử căn bằng cách sử dụng công thức góp nhân đôi thì lại xuất
hiện giá trị tuyệt đối.
2
cos2cos1
2
sin2cos1
x
x
x
x
=−
=−
Để phá dấu giá trị tuyệt đối lại phải xét dấu
2
cos
x
và
2
sin
x
bài toán
không đơn giản.
Muốn khử căn bằng cách bình phương 2 vế xét dấu 2 vế, cũng phức
tạp. Mặt khác lượng liên hợp của vế trái là tổng hai căn số học, nhận giá trị
dương, do đó ta biến đổi phương trình thành.
0)1sin2sin4)(1sin2(

01sin8sin8
)0sin)(sin22(sin41
)sin22(sin41
2
3
2
22
=−−−
=+−<=>
<−−<=>
+=
xx
xx
xdoxx
xx
4
51
sin,
2
1
sin
+
== xloaix
(loại)
4
51
sin
−
=x
(thoả mãn điều kiện cosx≠0

⇔
sinx≠±1 và sin x<(0)
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
18
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
Ví dụ 17: Giải phương trình:
0)2cos
2
(sinlog)sin
3
(sinlog
3
13
=++− x
x
x
x
.
H
2:
Áp dụng công thức đối cơ số, phương trình được biến đổi thành
)2cos
2
(sinlog)sin
2
(sinlog
0)2cos
2
(sinlog)sin
2

(sinlog
33
33
x
x
x
x
x
x
x
x
+=−<=>
=+−−<=>
01sinsin2
0sin
2
sin:(sin21sin
02cos
2
sinsin
2
sin
2
2
=−−<=>
>−−=−<=>
>+=−<=>
xx
x
x

dkxx
x
x
x
x









+=
+−=
+=
<=>




−=
=
<=>
π
π
π
π
π

π
kx
kx
kx
x
x
6
7
2
6
2
2
2
1
sin
1sin
Thử trực tiếp điều kiện:
- Với
π
π
kx 2
2
+=
thì sinx=1, điều kiện trở thành
01
2
sin >−
x
không thể
được thực hiện.

- Với
π
π
kx 2
6
+=
thì điều kiện
0)
12
sin(
2
1
0)
2
1
()
12
sin( >−−<=>>−−+
−
<=>
π
π
π
π
kk








>+
>−
⇔
0
12
sin
2
1
0
12
sin
2
1
,
π
π
luôn đúng vì
2
1
6
sin
12
sin0 =<<
ππ
- Với
π
π
kx 2

6
7
+=
thì điều kiện tương đương với
0
2
1
)
12
7
sin( >++
π
π
k







>+−
>+
0
2
1
12
5
sin
0

2
1
12
7
sin
π
π
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
19
Nếu k chẵn
Nếu k lẻ
Nếu k chẵn
Nếu k lẻ
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11







>+−
>+
0
2
1
12
5
sin
0

2
1
12
5
sin
π
π
chú ý rằng
2
1
12
5
sin
212
5
6
0 >=><<<
ππππ
do đó nghiệm
kx 2
6
7
+=
π
chỉ thoả mãn điều kiện đặt ra khi k =2n (k chẵn)
Vậy phương trình có nghiệm
π
π
π
π

nxkx 4
6
7
,2
6
+=+=
2.6. Phương trình với điều kiện ràng buộc
Giải một phương trình lượng giác với điều kiện hạn chế đối với x,
chẳng hạn với yêu cầu ẩn x phải thuộc một khoảng đó cho thường khó hơn việc
tìm nghiệm của phương trình đó trên toàn trục số. Khó khăn phát sinh từ chỗ số
π
không thể cho bởi một số thập phân đúng và chúng ta chỉ có thể đánh giá
π
thông qua những giá trị gần đúng của nó và điều kiện này là đòi hỏi học sinh
phải nhận thức được trường hợp nào cần sử dụng giá trị gần đúng thừa, trường
hợp nào phải sử dụng giá trị gần đúng thiếu. Xét ví dụ đơn giản sau:
Ví dụ 18:Giải phương trình:
2
1
)12sin( −=+x
với 0<x<
π
.
H
2
: Giải phương trình đó cho ta tìm được tất cả các nghiệm là:
π
π
kx +−−=
122

1
và
π
π
nx ++−=
12
7
2
1
Cần chọn k và n nguyên để nghiệm tìm được thuộc khoảng (0,
π
), dẫn
đến việc giải 2 bất phương trình nghiệm sau đây:
ππ
π
<+−−< k
122
1
0
(1)
ππ
π
<+−−< n
12
7
2
1
0
(2)
Nếu giải các hệ bất phương trình trên theo phương pháp thông thường

sẽ dẫn đến tập nghiệm của (1) là
1
12
1
2
1
12
1
2
1
++<<+
ππ
k

Để tìm k nguyên, cần xác định phần nguyên của các số
12
1
2
1
+
π
và
1
12
1
2
1
++
π

Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
20
Nếu k chẵn
Nếu k lẻ
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
Chú ý rằng
0
12
1
2
1
1
12
1
6
1
12
1
2
1
03 =






+=><+<+<>>
ππ
π

Tương tự
=>

11
12
1
2
1
21
12
1
2
1
1 =






++=><++<
ππ
Do đó nghiệm duy nhất của (1) là k=1 => nghiệm
π
π
+−=
122
1
1x

Tượng tự tìm được n=0 => nghiệm
12
7
2
1
π
+−=x

Cũng có thể lập luận theo cách khác như sau:
Khi k thay đổi,
π
π
kx +−−=
122
1
là một hàm số đồng biến
Khi
0
≤
k
thì
0
122
1
<−−≤
π
x

Khi
2

≥
k
thì
2,02
122
1
122
1
≥∀≤∀=>>+−−≥+−−= kkkx
ππ
π
π
π
đều bị
loại. với k=1 thì
)3(0
12
6
12
11
122
1
>>−=+−=
π
π
π
π
vìx

ππ

π
<+−−=
122
1
x
2.7. Phương trình không mẫu mực
Nhiều phương trình lượng giác không thể đưa được về dạng cơ bản nếu
chỉ áp dụng các phép biến đổi thông thường. Những phương trình như thế
được gọi là các phương trình không mẫu mực, cách giải chúng không theo
những qui trình mẫu mực, thụng thường mà lại đòi hỏi học sinh phải có khả
năng quan sát, so sánh, đối chiếu các biểu thức chứa ẩn có mặt trong phương
trình để đề ra cách giải thích hợp. Về cơ bản có hai cách giải phương trình
không mẫu mực: đánh giá, ước lượng các biểu thức trong phương trình
(phương pháp sử dụng bất đẳng thức) hoặc sử dụng tính chất hàm số hoặc đồ
thị để giải phương trình.
Việc giải các phương trình không mẫu mực bằng phương pháp đánh giá
thường dựa vào các mệnh đề tương đương sau đây:
i) Nếu f(x) ≥A và g(x) ≤A (A là hằng số)
∈∀
x
tập xác định thì
f(x) =g(x) 



=
=
Axg
Axf
)(

)(
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
21
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
ii)



=
=
<=>=+
0)(
0)(
0)()(
22
xg
xf
xgxf
iii) Nếu



−=∆
≠
acb
a
4
0
2
thì af

2
(x)+bf(x)+c=0 





−=
=∆
a
b
xf
2
)(
0

Ví dụ 19: Giải phương trình:Sin
10
x + cos
8
x=1
H
2
: có thể biến đổi phương trình về dạng đẳng cấp bậc 10 nhưng hệ số
rất cồng kềnh. Mặc dù, chú ý rằng 1=sin
2
x

+cos
2

x và sin
10
x ≤sin
2
x,
cos
8
x≤cos
2
x do đó ta viết phương trình dưới dạng
0)1(coscos)1(sinsin
cossincossin
6282
22810
=−+−<=>
+=+
xxxx
xxxx
≥0 ≤0 ≥0 ≤0





=−
=−
<=>
0)1(sincos
0)1(sinsin
62

82
xx
xx





==
==
⇔
1cos,0cos
1sin,0sin
22
22
xx
xx



±=
=
<=>
1sin
0sin
x
x
.
Ví dụ 20:Giải phương trình:
3sin2sinsin2sin

22
=−+−+ xxxx
H
2
: Để khử căn chứa ẩn, nếu bình phương 2 vế phương trình sẽ trở
nên đặc biệt cồng kềnh, tuy nhiên nếu bình phương từng bộ phận chứa căn
thức và ước lượng thì ta thấy
2sin2sin
4)sin2(sin2)sin2(sin
2
2222
≤−+=>
=−+≤−+
xx
xxxx
Mặt khác:
xxxxx
xx
xx
∀≤−+−+=>
=
−+
≤−
3sin2sinsin2sin
1
2
sin2sin
sin2sin
22
22

2

do đó phương trình tương đương với:





=−
=−+
2sin2sin
2sin2sin
2
2
xx
xx
Khi đó sin x và
x
2
sin2 −
là nghiệm của phương trình:
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
22
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
)2,1(022
2
===+− tttt
1sin
1sin2
1sin

2
=<=>





=−
=
<=> x
x
x
Ví dụ 21: Giải phương trình:sinx=x
2
+x+1
H
2
: Rõ ràng không thể sử dụng phép biến đổi nào làm phương trình có
thể đơn giản hơn. Tuy nhiên y =sinx và y =x
2
+x+1 là hai hàm số đơn giản, có
đồ thị rất quen thuộc và học sinh dễ dàng vẽ đồ thị của chúng trên cùng một
hệ toạ độ và có thể thấy ngay phương trình vô nghiệm. Hình ảnh của đồ thị
cũng gợi ý cho thấy trong khoảng mà y =x
2
+x+1 nhận giá trị nhỏ hơn 1 thì
hàm số y=sinx nhận giá trị âm, y =x
2
+x+1 nhận giá trị dương, vì vậy có thể
tiến hành biến đổi bài toán đẹp hơn như sau:

Nếu sinx = x
2
+x+1 thì x
2
+x+1 ≤1
=>
[ ] [ ]
14/3)2/1(0sin
0,2/0,1010
22
2
++=++<≤=>
−⊂−∈=><−−=>≤+
xxxx
xxx
π
=> Phương trình vô nghiệm
3. Giải phương trình nhận được (H
3
)
Nếu hoạt động H
2
(biến đổi phương trình về dạng quen thuộc) là quan
trọng nhất thì hoạt động H
3
có vai trò quyết định trong toàn bộ hoạt động giải
phương trình lượng giác. Theo chúng tôi, trước hết giáo viên cần dành thời
gian thích đáng để rèn luyện kỹ năng giải các phương trình lượng giác cơ bản
và đây là khâu quyết định cuối cùng của bất cứ hoạt động giải phương trình
lượng giác nào; sản phẩm thu được có đạt yêu cầu, bảo đảm chất lượng hay

không hoàn toàn phụ thuộc vào kỹ năng đơn giản nhất nhưng quan trọng này.
Do tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác y =sinx, y =cosx, y =tanx, y
=cotx nên khi đó biến một nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản, ta biết
tất cả các nghiệm của phương trình theo bảng dễ nhớ sau:
Phương trình Điều kiện có nghiệm Nghiệm
Cosx=a -1≤a≤1
πα
kx 2+±=
Sinx=a -1≤a≤1
πα
kx
k
+−= )1(
Tanx=a
a∀
πα
kx +=
Cotx=a
a∀
πα
kx +=
Trong bảng trên
α
là một nghiệm đó biết tuỳ ý của phương trình, k là
số nguyên.
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
23
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
Do tính chất đó nêu, giải các phương trình lượng giác cơ bản qui về tìm
một nghiệm của phương trình đó. Trong trường hợp tổng quát, ta có các định

lý sau:
Định lý: Nếu
11
≤≤−
a
thì trong đoạn
π
≤≤
x0
phương trình cosx=a có
một nghiệm duy nhất, nghiệm này được ký hiệu là arccos a, trong đoạn
2/02/
≤≤−
x
π
phương trình sinx=a có nghiệm duy nhất, được ký hiệu là arcsin a.
Định lý: Với a là một số thực tuỳ ý đó cho, trong khoảng 0<x<
π
phương trình cotx=a có nghiệm duy nhất ký hiệu là arccota; trong khoảng
2/2/
ππ
<<− x
phương trình tanx=a có nghiệm duy nhất ký hiệu là arctana.
Hệ quả:
Bên cạnh việc nắm vững công thức nghiệm tổng quát của các phương
trình lượng giác cơ bản nêu trong hệ quả trên, giáo viên cũng cần lưu ý học
sinh dạng rút gọn của công thức nghiệm vào phương trình lượng giác đặc biệt.
Phương trình Nghiệm
cosx=0
ππ

kx += 2/
cosx=1
π
kx 2=
cosx=-1
ππ
kx 2+=
Sinx=0 x=
π
k
Sinx=1
ππ
kx += 2/
Sinx=-1
ππ
kx +−= 2/
Một số lớn phương trình lượng giác được giải bằng phương pháp đại số
hoá, vì vậy bên cạnh việc bồi thường các kỹ năng lượng giác, giáo viên cũng
chú ý bồi dưỡng, nâng cao năng lực giải phương trình đại số kỹ năng nhẩm
nghiệm, giảm bậc phương trình bằng cách biến đổi phương trình về dạng tích.
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
24
Nếu -1 ≤a≤1 thì
cosx=a  x =±arccosa+2k
π
sinx=a  x =(-1)
k
arcsina +k
π
Nếu -∞ ≤a≤+∞ thì

cosx=a  x = arccosa + k
π
tgx=a  x = arcsina +k
π
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
Sau cùng, tính thuyết phục của một bài giải phụ thuộc vào khả năng trình
bày giải của học sinh: các phép đổi nào không tương đương, phân chia trường
hợp phải hợp lý, đầy đủ. Sau đây tôi sẽ trình bày bài giải cách ví dụ đã nêu.
Ví dụ 22:
0
4sin
2
tan22cot3tan3 =+++
x
xxx
H
3
: Phương trình có nghĩa









≠−<=>≠
±≠<=>≈<=>≠
±≠<=>≠<=>≠

−≠<=>≠
+
<=>≠<=>≠
0cos3cos403cos
102cos02cos2sin204sin
12cos12cos02sin
12cos0
2
2cos1
0cos0cos
3
2
2
xxx
vàxxxx
xxx
x
x
xx
03cos12cos
2
≠−−≠<=> xvàx
1;0cos ±≠<=> x
và 1/2 (a)
với điều kiện (a) có thể biến đổi tương đương phương trình như sau:
tan3x+cot2x+2(tan3x-tanx)=
xx 2cossin2
2
xxxx
x

xx
xx
2cos2sin
1
cos.3cos
2sin2
2sin.3cos
)23cos(
=+
−
<=>
0)12cos4(sin2sin
sin2sincos2cos2cossin2sin4cos2cos
3cos2cos)sin2sin4(cos
=+<=>
−=+<=>
=+<=>
xxx
xxxxxxxxx
xxxx







−=
=
=

<=>
4
1
2cos
0sin
02sin
x
x
x
4
1
2cos −=<=> x
π
kx 2
4
1
arccos2 +
−
±=<=>
Đáp số
π
kx +−±= )
4
1
arccos(
2
1
Ví dụ 23 .Giải phương trình:
x
x

xx
sin4
cos
cos1cos1
=
+−−
H
3
: Điều kiện có nghĩa: cosx≠0  sinx≠±1 (a)
Với điều kiện trên phương trình tương đương với
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
25
(Không thoả mãn điều kiện (a))
(Không thoả mãn điều kiện (a))
(Thoả mãn điều kiện (a))