Tên dự án dạy học hướng dẫn học sinh tìm hiểu về tỷ lệ vàng

DỰ ÁN DỰ THI CỦA GIÁO VIÊN
1. Tên dự án dạy học: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về tỷ lệ vàng.
2. Mục tiêu dạy học
a. Kiến thức
- Học sinh được tìm hiểu về tỷ lệ vàng thông qua kiến thức Toán học:
+ Dãy số Fibonacci.
+ Các dạng biểu diễn của tỷ lệ vàng.
+ Hình chữ nhật vàng.
- Học sinh có khả năng dùng tỷ lệ vàng trong Toán học để tìm hiểu tỷ lệ
vàng trong Sinh học:
+ Dãy số Fibonacci, tỷ lệ vàng và sự đâm chồi, mọc lá, số lượng
cánh hoa, sự sắp xếp cánh hoa và quả, hạt trong Sinh học 6.
+ Tỷ lệ vàng với cơ thể người trong Sinh học 8.
- Học sinh được tiếp cận tỷ lệ vàng áp dụng trong nghệ thuật và cuộc
sống.
b. Kĩ năng
- Học sinh có năng lực làm việc độc lập và sáng tạo giải quyết vấn đề để
thực hiện tốt các nhiệm vụ cá nhân.
- Phát triển năng lực hợp tác hoạt động theo nhóm, biết phân tích và đánh
giá thông tin, khắc phục sai lầm trong giải quyết tình huống của nhóm.
- Học sinh có khả năng giải quyết các tình huống thực tế liên quan đến tỷ
lệ vàng và liên hệ với các môn học khác như Mỹ thuật, Địa lý,
c. Thái độ
Giáo dục cho học sinh ý thức ham học hỏi, tìm tòi và biết vận dụng các
kiến thức liên môn để giải quyết các vấn đề trong thực tế.
3. Đối tượng dạy học của dự án
3.1. Đối tượng:
Học sinh trường THCS Sài Sơn.
4
Khối Lớp Số lượng
Số

nhóm
Đặc điểm
6 B 30 1 Học sinh khá giỏi
8 B 30 1 Học sinh khá giỏi
3.2. Thời gian thực hiện:
Dự án được thực hiện trong thời gian ngoại khóa: Tháng 11/2014.
4. Ý nghĩa của dự án
- Giúp học sinh tiếp cận tỷ lệ vàng trong môn Toán và môn Sinh học đối
với học sinh lớp 6 và lớp 8.
- Học sinh được mở rộng kiến thức Toán học thông qua trọng tâm tỷ lệ
vàng trong dãy số Fibonacci và hình chữ nhật vàng.
- Học sinh có khả năng giải quyết về vấn đề tỷ lệ vàng liên quan đến bộ
môn Sinh học, Mỹ thuật.
5. Thiết bị dạy học, học liệu
- Các loại mẫu vật: Quả thông, ảnh chụp hoa hướng dương, tiêu bản các
loại hoa
- Giấy A
4
để học sinh: Xác định chủ đề, thảo luận, ghi kết quả hoạt động.
- Máy chiếu và máy tính.
- Bộ câu hỏi định hướng cho học sinh các nhóm.
- Học sinh chuẩn bị các dụng cụ: Thước đo, vở, đồ dùng học tập.
6. Hoạt động dạy học và tiến trình dạy học
6.1. Hình thức tổ chức
- Phân nhóm đối tượng học sinh theo khối, lớp để lựa chọn phương pháp
phù hợp với việc tiếp nhận thông tin mới của học sinh.
- Giao nhiệm vụ cho các nhóm đối tượng học sinh thu thập kiến thức đã
học có liên quan phục vụ dự án. (thông qua phiếu học tập)
- Giáo viên kiểm tra kiến thức các nhóm đối tượng thu thập được thông qua
phiếu báo cáo. Từ đó thống nhất lựa chọn những kiến thức cần thiết phục vụ cho

dự án.
- Tổ chức dạy học theo chuyên đề cho từng nhóm đối tượng học sinh.
5
6.2. Phương pháp dạy học
- Phương pháp nêu và giải quyết vấn đề.
- Phương pháp dạy học hợp tác theo nhóm.
- Ứng dụng CNTT và phương pháp dạy học hiện đại.
6.3. Các hoạt động dạy học
MỞ ĐẦU:
Mật mã Da Vinci (tiếng Anh: The Da Vinci Code) là một tiểu thuyết của
nhà văn người Mỹ Dan Brown được xuất bản năm 2003. Đây là một trong số
các quyển sách bán chạy nhất thế giới với trên 40 triệu quyển được bán ra (tính
đến tháng 3, 2006) và đã được dịch ra 44 ngôn ngữ.
Khi đọc tiểu thuyết Mật mã Da Vinci, chúng tôi rất tò mò và hứng thú,
xin được trích dẫn:
" Ông cảm thấy như đột nhiên quay về đại học Harward, đứng trong giờ
giảng Chữ nghĩa tượng trưng trong nghệ thuật của mình, viết con số ưa thích
lên bảng đen.
1,618
Langdon quay mặt về phía đám đông sinh viên đầy hào hứng: "Ai có thể
nói cho tôi biết con số này là gì?".
Một sinh viên chân dài chuyên ngành toán học ngồi ở phía sau giơ tay:
"Đó là số PHI". Cậu ta dài giọng ph-i-i.
"Tốt lắm Stettner", Langdon nói, "xin giới thiệu PHI với tất cả".
"Đừng có nhầm lẫn với PI", Stettner thêm vào rồi cười toét. Như cánh
toán học chúng tôi thích nói: "PHI hơn hẳn PI một con H".
Langdon cười nhưng dường như không ai hiểu câu nói đùa đó.
Stettner buồn thiu.
"Số PHI này". Langdon tiếp tục, "một-phấy-sáu-một-tám, là một con số
vô cùng quan trọng trong nghệ thuật. Ai có thể nói cho tôi biết tại sao?".

Stettner cố chứng tỏ mình lần nữa: "Bởi vì nó rất đẹp phải không ạ?".
Mọi người cười rộ lên.
6
"Thực ra", Langdon nói, "Stettner lại một lần nữa nói đúng. Nói tóm lại,
PHI được coi là con số đẹp nhất trong vũ trụ".
Tiếng cười đột ngột dứt hắn, và Stettner đắc chí.
Vừa lắp phim vào máy chiếu Slide, Langdon vừa giải thích rằng số PHI
bắt nguồn từ dãy số Fibonacci - một cấp số nổi tiếng không chỉ vì tổng số những
số hạng kề nhau sẽ bằng số hạng kế tiếp, mà còn bởi thương số của những số
hạng kề nhau có một đặc tính kỳ lạ là đều suýt xoát số 1,618 - PHI!
Mặc dù nguồn gốc toán học của số PHI có vẻ như huyền bí, Langdon giải
thích, khía cạnh gây sửng sốt thực sự của PHI lại nằm ở vai trò của nó với tư
cách là một nhân tố xây dựng mang tính nền tảng trong tự nhiên. Thực vật,
động vật, và thậm chí cả con người đều có những thuộc tính về kích thước gắn
chặt với tỉ số giữa PHI và 1 tới một độ chính xác kỳ bí!
"Số PHI có mặt khắp nơi trong tự nhiên", Langdon vừa nói vừa tắt đèn,
"rõ ràng điều đó vượt quá sự trùng hợp, và vì vậy nên người xưa cho rằng con
số PHI hẳn là đã được tiền định bởi Đấng Sáng Thế. Các nhà khoa học buổi
ban đầu đã tuyên bố một - phẩy - sáu - một - tám là Tỷ lệ thần thánh".
"Khoan", một cô gái ở hàng ghế đầu lên tiếng, "Tôi là sinh viên chuyên
khoa sinh học và tôi chưa bao giờ thấy Tỷ lệ thần thánh này trong tự nhiên cả".
"Chưa à?", Langdon mỉm cười. "Bạn đã bao giờ nghiên cứu con cái và
con đực trong xã hội của loài ong chưa?".
"Đương nhiên rồi. Số ong cái luôn nhiều hơn số ong đực".
"Chính xác. Và bạn có biết rằng nếu bạn chia số ong cái cho số ong đực
trong bất cứ một tổ ong nào trên thế giới, bạn luôn được cùng một số thương
không?".
"Thầy đã làm rồi ạ?".
"Đúng vậy. Số PHI".
Cô gái há hốc miệng: "Không thể nào?".

"Hoàn toàn có thể!". Langdon quặc lại, rồi mỉm cười chiếu một hình vỏ
ốc trên slide. "Bạn nhận ra cái này chứ?".
7
"Đó là một con ốc anh vũ", cô sinh viên sinh học nói. "Một loài nhuyễn
thể có vỏ cứng, có thể đẩy không khí vào trong vỏ để điều chỉnh độ nổi hay chìm
trong nước".
"Chính xác. Và bạn có thể đoán được tỉ số của mỗi đường kính vòng xoắn
này với đường kính vòng xoắn kế tiếp không?".
Cô gái có vẻ phân vân khi quan sát những vòng tròn đồng tâm trên vỏ xoắn của
con ốc anh vũ.
Langdon gật đầu: "PHI. Tỷ lệ thần thánh. Một-phẩy-sáu-một-tám trên
một".
Trông cô gái đầy vẻ kinh ngạc.
Langdon chuyển sang tấm slide tiếp theo - bản chụp cận cảnh một đầu
hạt hoa hướng dương: "Hạt hoa hướng dương có những vòng xoáy đối ngược
nhau. Bạn có thể đoán được tỉ số giữa đường kính vòng tròn này với đường kính
vòng trên kế tiếp không?".
"Là PHI?" Tất cả đồng thanh.
"Tuyệt". Bây giờ Langdon chiếu nhanh tất cả các tấm slide các đường
trôn ốc trên quả thông, cách sắp xếp lá trên những nhánh cây các vạch trên
bụng côn trùng, tất cá đều tuân theo Tỷ lệ thần thánh đến mức kinh ngạc.
"Thật kỳ lạ", ai đó reo lên.
"Phải", một người khác nói, "nhưng cái đó có liên quan gì đến nghệ
thuật?".
"Aha", Langdon reo lên, "rất vui vì bạn đã hỏi điều đó". Ông chiếu một
tấm slide khác - một tấm giấy da vàng nhạt có hình người đàn ông khoả thân
nổi tiếng của Leonardo Da Vinci Người Vitruvian được đặt tên theo Marcus
Vitruvius, kiến trúc sư lỗi lạc người La mã, người đã đánh giá rất cao Tỷ lệ thần
thánh trong một cuốn sách của ông mang tên Kiến trúc.
Không ai hiểu cấu trúc thần thánh của con người hơn Da Vinci. Thực tế

Da Vinci đã khai quật các ngôi mộ để đo đạc chính xác tỉ lệ các cấu trúc xương
trong cơ thể con người. Ông là người đầu tiên chứng minh rằng cơ thể con
8
người, nói một cách chính xác theo nghĩa đen, được làm bằng các khối mà tỉ lệ
giữa chúng luôn luôn là PHI".
Mọi người trong giảng đường đều nhìn ông với vẻ ngờ vực.
"Không tin tôi phải không?". Langdon thách thức. "Lần tới các bạn tắm
vòi hoa sen, hãy thử đo mình bằng thước dây xem".
Hai cầu thủ bóng đá cười khúc khích.
"Không chỉ hai bạn vận động viên kia đâu", Langdon phản ứng lại ngay.
"Mà là tất cả các bạn. Nào các chàng trai, cô gái.
Thử nhé. Hãy đo khoảng cách từ đỉnh đầu các bạn cho đến khi chạm đất.
Rồi chia nó cho khoảng cách từ rốn các bạn đến mặt đất. Hãy đoán xem con số
mà các bạn đạt được".
"Không phải số PHI!" Một trong hai gã vận động viên thốt lên, không tin.
"Là số PHI", Langdon đáp lại, "một-phẩy-một-sáu-một-tám.
Cần một ví dụ khác nữa không? Hãy đo khoảng cách từ vai đến các đầu
ngón tay, rồi chia nó cho khoảng cách từ khuỷu tay đến các đầu ngón tay. Lại
một số PHI nữa. Một ví dụ khác nhé? Hãy chia khoảng cách từ đầu gối đến mặt
đất cho khoảng cách từ hông đến mặt đất. Một số PHI nữa. Lòng bàn tay.
Ngón chân cái. Các đốt sống. PHI. PHI. PHI. Các bạn của tôi ơi, mỗi
người trong các bạn đều là một minh chứng sống cho Tỷ lệ thần thánh".
Ngay cả trong bóng tối, Langdon cũng có thể nhìn thấy tất cả bọn họ
sững sờ. Ông cảm thấy một sự ấm nóng quen thuộc trong lòng. Đây chính là lí
do tại sao ông dạy học. "Các bạn của tôi như các bạn đã thấy, bên dưới sự hỗn
độn của thế giới, vẫn có một trật tự. Khi người xưa phát hiện ra số PHI, họ chắc
chắn rằng họ đã tình cờ tìm thấy yếu tố cơ bản mà Chúa Trời dùng để tạo nên
thế giới này, và họ tôn thờ tự nhiên vì lí do đó. Và người ta có thể hiểu tại sao
trong tự nhiên rõ ràng có bàn tay của Chúa Trời, và cho đến ngày nay vẫn còn
tồn tại những tôn giáo vô thần thờ Mẹ Đất. Nhiều người trong chúng ta tôn vinh

tự nhiên theo cách mà những tín đồ ngoại giáo vẫn làm, mà thậm chí không biết
thế. Ngày mồng một tháng năm là một thí dụ điển hình, ngày lễ tôn vinh mùa
xuân… Trái Đất hồi sinh để ban tặng sự hào phóng của mình. Ngay từ buổi sơ
9
khai, người ta đã viết về phép thuật bí ẩn cố hữu nơi Tỷ lệ thần thánh. Con
người chỉ đơn giản hoạt động theo những quy luật của tự nhiên, và bởi vì nghệ
thuật chính là nỗ lực của con người để bắt chước cho được vẻ đẹp từ bàn tay
Đấng Sáng Thế, các bạn có thể tướng tượng rằng chúng ta sẽ được tận mắt thấy
rất nhiều bằng chứng về Tỷ lệ thần thánh trong nghệ thuật học kỳ này".
Hơn một nửa giờ nữa trôi qua, Langdon cho đám sinh viên xem những
slide về các tác phẩm nghệ thuật của Michelangelo, Albrecht, Dyrer, Da Vinci
và nhiều người khác, để minh chứng sự áp dụng triệt để và đầy chủ ý của mỗi
nghệ sĩ đối với Tỷ lệ thần thánh trong bố cục mỗi tác phẩm của mình. Langdon
cũng chỉ rõ PHI trong các kích thước kiến trúc của đền Parthenon Hi lạp, của
các Kim tự tháp Ai cập, và thậm chí của cả toà nhà trụ sở của Liên hợp quốc tại
New York. PHI cũng xuất hiện trong cấu trúc tổ chức của các bản sonate của
Mozart, bản giao hướng số 5 của Beethoven, cũng như các tác phẩm của
Bartók, Debussy và Schubert. Số PHI, Langdon nói với sinh viên, thậm chí còn
được Stradivarius sử dụng để tính toán vị trí chính xác của những khe hình chữ,
khi ông tạo ra những cây đàn violon nổi tiếng của mình.
"Để khép lại". Langdon vừa nói vừa bước về phía chiếc bảng, "chúng ta
quay trở về với các biểu tượng". Ông vẽ năm đường giao nhau, tạo nên một
ngôi sao năm cánh: "Đây là một trong những hình ảnh đầy quyền năng nhất mà
các bạn sẽ thấy trong học kỳ này. Bình thường nó được biết đến như là một hình
sao năm cánh - hay pentacle như tổ tiên ta đã gọi - biểu tượng này được nhiều
nền văn hoá coi là linh thiêng và huyền bí. Có ai có thể nói cho tôi biết vì sao
lại thế không?".
Stettner, anh sinh viên khoa toán đó, lại giơ tay: "Bởi vì nếu thầy vẽ một
hình sao năm cánh, các đường thẳng sẽ tự chia nó thành những đoạn theo Tỷ lệ
thần thánh".

Langdon gật đầu đầy tự hào với chàng sinh viên: "Rất tốt"
Đúng thế, tỉ lệ giữa các đoạn thẳng trong hình sao năm cánh, tất cả đều
bằng PHI, khiến cho biểu tượng này trở thành biểu hiện tối hậu của Tỷ lệ thần
10
thánh. Vì lí do này, hình sao năm cánh luôn luôn là biểu tượng của vẻ đẹp và sự
hoàn hảo gắn với các nữ thần và tính nữ linh thiêng".
(Trích chương 20 - Mật mã Da Vinci - Dan Brown)
Dù tiểu thuyết có phần hư cấu song khi đọc Mật mã Da Vinci đã để lại
cho chúng tôi sự hưng phấn khi tìm hiểu về số PHI (ϕ).
Và đúng như lời của nhà thiên văn học, nhà toán học vĩ đại người Đức là
Kê-ple (J.Képler, 1571 - 1630) đã nói: “Hình học có hai báu vật, đó là định lí Pi-
ta-go và cách chia hoàng kim theo con số vàng!”.
Với sự trợ giúp của các trang mạng, đặc biệt là trang vi.wikipedia.org mà
chúng tôi đã có được tư liệu giúp ích cho việc trang bị thêm kiến thức cho học
sinh.
11
PHẦN I: TỶ LỆ VÀNG VỚI MÔN TOÁN
1.1. Hoạt động 1: Tìm hiểu tỷ lệ vàng với môn Toán 6:
1.1.1. Nhiệm vụ 1: Bài toán "Thỏ đẻ con"
- Đối tượng thực hiện: Nhóm học sinh lớp 6.
- Hình thức: Học sinh tự tìm hiểu theo định hướng phiếu học tập của giáo
viên.
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1
Bài toán: Một đôi thỏ (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) cứ mỗi tháng đẻ
được một đôi thỏ con (cũng gồm một thỏ đực và thỏ cái); một đôi thỏ con, khi
tròn 2 tháng tuổi, sau mỗi tháng đẻ ra một đôi thỏ con, và quá trình sinh nở cứ
thế tiếp diễn. Hỏi sau 1 năm sẽ có bao nhiêu đôi thỏ, nếu đầu năm (tháng Giêng)
có một đôi thỏ sơ sinh?
- Nội dung:
Trong hình vẽ trên, ta quy ước:

• Cặp thỏ nâu là cặp thỏ có độ tuổi 1 tháng.
• Cặp thỏ được đánh dấu (màu đỏ và màu xanh) là cặp thỏ có khả năng sinh
sản.
Nhìn vào hình vẽ trên ta nhận thấy:
• Tháng Giêng và tháng Hai: Chỉ có 1 đôi thỏ.
12
• Tháng Ba: đôi thỏ này sẽ đẻ ra một đôi thỏ con, do đó trong tháng này có
2 đôi thỏ.
• Tháng Tư: chỉ có đôi thỏ ban đầu sinh con nên đến thời điểm này có 3 đôi
thỏ.
• Tháng Năm: có hai đôi thỏ (đôi thỏ đầu và đôi thỏ được sinh ra ở tháng
Ba) cùng sinh con nên ở tháng này có 2 + 3 = 5 đôi thỏ.
• Tháng Sáu: có ba đôi thỏ (2 đôi thỏ đầu và đôi thỏ được sinh ra ở tháng
Tư) cùng sinh con ở thời điểm này nên đến đây có 3 + 5 = 8 đôi thỏ.
Cứ như thế ta sẽ có quy luật tính:
• Tháng Bảy: có 5 + 8 = 13 đôi thỏ.
• Tháng Tám: có 8 + 13 = 21 đôi thỏ.
• Tháng Chín: có 13 + 21 = 34 đôi thỏ.
• Tháng Mười: có 21 + 34 = 55 đôi thỏ.
• Tháng Mười một: có 34 + 55 = 89 đôi thỏ.
• Tháng Mười hai: có 55 + 89 = 144 đôi thỏ.
Vậy: Sau 1 năm sẽ có 144 đôi thỏ.
1.1.2. Nhiệm vụ 2: Dãy số Fibonacci
- Đối tượng thực hiện: Nhóm học sinh lớp 6.
- Hình thức: Học sinh tự tìm hiểu theo định hướng phiếu học tập của giáo
viên.
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2
Cho dãy số: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
a/ Phát hiện quy luật các số hạng của dãy số trên.
b/ Tính số hạng số 20 của dãy.

c/ Tính tỷ lệ của số hạng thứ 25 và số hạng thứ 24.
d/ Nhận xét về tỷ lệ của 1 số hạng và số hạng liền trước của nó.
- Nội dung:
Dãy số trên có tên là dãy Fibonacci.
13
Dãy Fibonacci là dãy vô hạn các số tự nhiên bắt đầu bằng hai phần tử 1 và
1, các phần tử sau đó được thiết lập theo quy tắc mỗi phần tử luôn bằng tổng hai
phần tử trước nó.
Leonardo Pisano (khoảng 1170 – khoảng 1250), còn được biết đến với tên
Leonardo Bonacci, Leonardo Fibonacci, hay phổ biến nhất chỉ là Fibonacci, là
một nhà toán học người Ý, được một số người xem là "nhà toán học tài ba nhất
thời Trung Cổ". Dãy số Fibonacci được Fibonacci công bố vào năm 1202 trong
cuốn sách Liber Abacci - Sách về toán đồ qua 2 bài toán: Bài toán con thỏ và bài
toán số các "cụ tổ" của một ong đực.
Những số hạng đầu tiên của dãy Fibonacci là:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,
4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393,
Xét tỷ lệ của 1 số hạng và số hạng liền trước nó trong dãy Fibonacci:
K A
k+1
A
k
1k
k
A
A
+
8 34 21 1.619047619
9 55 34 1.617647059
10 89 55 1.618181818

11 144 89 1.617977528
12 233 144 1.618055556
13 377 233 1.618025751
14 610 377 1.618037135
15 987 610 1.618032787
16 1597 987 1.618034448
17 2584 1597 1.618033813
18 4181 2584 1.618034056
19 6765 4181 1.618033963
20 10946 6765 1.618033998
14
21 17711 10946 1.618033985
22 28657 17711 1.618033985
23 46368 28657 1.618033988
24 75025 46368 1.618033989
25 121393 75025 1.618033989
Tỷ lệ giữa hai số kế tiếp nhau trong dãy xấp xỉ 1.618, ví dụ như 5/3 =
1.666…, và 8/5 = 1.60.
Sau 40 số trong dãy, tỷ lệ này được tính chính xác đến 15 chữ số sau dấu
phẩy là: 1.618033988749895…
Như vậy nếu dãy Fibonacci đủ dài (các số hạng của dãy đủ lớn) thì tỷ lệ của
1 số hạng với số hạng liền trước nó luôn xấp xỉ bằng 1,618033988
Tỷ lệ đó được gọi là Tỷ lệ vàng (tiếng Latinh: sectio aurea), kí hiệu là: ϕ
1.1.3. Nhiệm vụ 3: Dạng liên phân số của tỷ lệ vàng
- Đối tượng thực hiện: Nhóm học sinh lớp 6.
- Hình thức: Giáo viên giới thiệu cho học sinh.
- Nội dung:
Người ta còn chỉ ra rằng số ϕ còn "đẹp" theo cách biểu diễn nó
dưới dạng liên phân số:
1

[1;1,1,1,1, ] 1
1
1
1
1
1
1
1
ϕ
= = +
+
+
+
+
O

1.2. Hoạt động 2: Tìm hiểu tỷ lệ vàng với môn Toán 8
1.2.1. Nhiệm vụ 1: Tìm hiểu "hình dáng" của hình chữ nhật
- Đối tượng thực hiện: Nhóm học sinh lớp 8.
- Hình thức: Học sinh tìm hiểu theo định hướng phiếu học tập của giáo
viên.
15
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3
Hãy đo các kích thước của các hình chữ nhật dưới đây rồi tính tỷ lệ kích
thước chiều dài và chiều rộng của các hình. Từ đó cho biết hình chữ nhật nào
"cân đối, hài hòa" nhất?
- Nội dung:
Trong chương I - Hình học 8, khi giảng dạy về hình chữ nhật với kỹ năng
vẽ hình, tỷ lệ giữa các cạnh của hình chữ nhật là bao nhiêu để có được hình chữ
nhật hài hòa về hình dáng là điều quan trọng.

Trong thực tế chúng ta gặp rất nhiều đồ vật, trang thiết bị trong cuộc sống
có hình dạng hình chữ nhật. Cụ thể:
* Màn hình Tivi truyền thống: Có tỷ lệ kích thước chiều dài và chiều rộng
là
4 : 3 = 1,(3)

* Khổ giấy A
4
: Có tỷ lệ kích thước chiều dài và chiều rộng là
2 :1 1,4142
≈
16
Hình 1 Hình 2 Hình 3
Điều đặc biệt của tờ giấy có kích thước này đó là nếu ta cắt đôi tờ giấy
theo chiều ngang, ta lại được 2 tờ giấy khác có kích thước 2 cạnh lại theo đúng
tỷ lệ này.
* Khổ sách giáo khoa: Có tỷ lệ kích thước chiều dài và chiều rộng là
24 : 17 ≈ 1,41
* Màn hình Tivi thế hệ mới: Có tỷ lệ kích thước chiều dài và chiều rộng là
16 : 9 = 1,(7)
Tuy nhiên, hình chữ nhật được coi là "đẹp" nhất là hình chữ nhật có tỷ lệ
kích thước giữa chiều dài và chiều rộng bằng tỷ lệ vàng. Nguyên nhân của sự
yêu thích đối với tỉ lệ vàng có thể là tính bất hợp lý của nó. Điều đó có nghĩa là
chính sự bất hợp lý này tạo ra sự khác biệt của nó đối với các tỉ lệ nhỏ của các số
nguyên khác (Ví dụ 2/3 hay 3/4 ), chính là điều mà sự thẩm mỹ cần. Tỉ lệ này đã
và đang được dùng để giảm bớt đi sự tròn trịa của các chiều dài sao cho không
có một sự đo đạc chính xác về trực quan để kiểm tra.
17
Hình chữ nhật có tỷ lệ kích thước giữa chiều dài và chiều rộng bằng tỷ lệ
vàng thì được gọi là hình chữ nhật vàng? Vậy thì tỷ lệ vàng được tính chính xác

bằng bao nhiêu?
1.2.2. Nhiệm vụ 2: Định nghĩa tỷ lệ vàng và các dạng biểu diễn:
- Đối tượng thực hiện: Nhóm học sinh lớp 8.
- Hình thức: Học sinh tìm hiểu theo định hướng phiếu học tập của giáo
viên.
1.2.2.1. Định nghĩa tỷ lệ vàng:
* Hai đại lượng được gọi là có tỷ số vàng hay tỷ lệ vàng nếu tỷ số giữa
tổng của các đại lượng đó với đại lượng lớn hơn bằng tỷ số giữa đại lượng lớn
hơn với đại lượng nhỏ hơn.
(Tỷ lệ vàng thường được chỉ định bằng ký tự φ (phi) trong bảng chữ cái
Hy Lạp nhằm tưởng nhớ đến Phidias, nhà điêu khắc đã thiết kế kiến trúc đền
Parthenon.)
* Một đoạn thẳng vàng là đoạn thẳng chia phần theo tỷ lệ vàng: Tỷ số
giữa tổng hai đoạn thẳng a + b với đoạn thẳng dài hơn a bằng tỷ số giữa a với
đoạn thẳng ngắn hơn b.
* Nếu một hình chữ nhật có hai cạnh tỉ lệ với nhau theo tỉ lệ vàng, người
ta gọi nó là hình chữ nhật vàng.
1.2.2.2. Xác định tỷ lệ vàng:
Nếu gọi 2 đại lượng có tỷ lệ vàng là a và b thì:
a b a
a b
+
=
Tức là:
1
b a
a b
+ =
Ta kí hiệu:
a

b
ϕ
=
thì:
1
1
ϕ
ϕ
+ =
hay:

2 2
1
1 1 0(*)
ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ
+
= ⇔ = + ⇔ − − =
Ta tìm ϕ từ phương trình (*)
18
2 2 2
1 5 1 5
1 0 0 ( )
4 4 2 4
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
− − = ⇔ − + − = ⇔ − =
1 5 1 5 1 5 1 5
2 4 2 2 2 2 2
ϕ ϕ ϕ

±
⇔ − = ± ⇔ − = ± ⇔ = ± =
Nếu a, b là các số dương hoặc a, b là độ dài của các đoạn thẳng thì ϕ > 0
do đó:

1 5
2
ϕ
+
=
Vậy: Tỷ lệ vàng là
1 5
2
ϕ
+
=
1.2.2.3. Các dạng biểu diễn của tỷ lệ vàng
ϕ
:
Như trên ta có:
1 5
1,6180339887
2
ϕ
+
= ≈
và
1
1
1

1
1
1
1
1
1
ϕ
= +
+
+
+
+O
Ngoài ra người ta còn tìm ra ϕ còn được biểu diễn dưới dạng liên căn bậc 2:
1 1 1 1 1
ϕ
= + + + + + +
1.2.2.4. Cách vẽ hình chữ nhật vàng:
Hình chữ nhật vàng là hình chữ nhật có tỉ lệ chiều dài và chiều rộng bằng
φ và
1 5
2
ϕ
+
=
nên phân tích cụ thể như sau:
Vẽ một đoạn thẳng làm cạnh bé của hình chữ nhật có độ dài 1 đơn vị.
Như vậy: Độ dài cạnh lớn (chiều dài) sẽ bằng
1 5
2
ϕ

+
=
. Tức là bằng
1
2
cạnh bé và thêm
5
2
cạnh bé.
Mà:
2 2 2
5 5 1 1
( ) 1 1 ( )
2 4 4 2
= = + = +
19
Do đó
5
2
là độ dài cạnh huyền của 1 tam giác vuông có độ dài 2 cạnh
góc vuông là 1 và
1
2
.
Từ đó ta có cách dựng hình chữ nhật vàng như sau:
- Vẽ một hình vuông ABEF cạnh bằng 1.
- Lấy trung điểm I của của AB. Khi đó:

2 2 2 2 2 2
1 1 5 5 5

IF IE F 1 ( ) 1 ( ) IF
2 4 4 2 2
E= + = + = + = = ⇒ =
.
- Vẽ một đường tròn tâm I bán kính IF. Đường tròn này sẽ cắt tia BE tại
điểm C.
- Vẽ hình chữ nhật ABCD là hình chữ nhật vàng cần dựng.
1.2.2.5. Đường xoắn ốc vàng hay đường xoắn ốc Fibonacci:
Như ta đã biết số ϕ có tính chất:
1
1
ϕ
ϕ
+ =
hay:
1
1
ϕ
ϕ
= −
và các nhà
Toán học đã chứng minh được chỉ có số ϕ là số dương duy nhất có tính chất
này: nghịch đảo của nó bằng chính số đó trừ đi 1!
Từ tính chất đó ta thấy:
Nếu cắt hình chữ nhật vàng ABCD (AB < AD) thành hình vuông ABFE
và hình chữ nhật CDEF thì hình chữ nhật CDEF cũng là hình chữ nhật vàng. Cứ
tiếp tục như thế thì ta liên tiếp thu được các hình chữ nhật vàng.
20
A B
E

F
I
D C
Khi ta vẽ các đường cong tiếp xúc trong với các cạnh của một chuỗi các
hình chữ nhật vàng thì nó được gọi là Đường xoắn ốc vàng hay là đường xoắn
ốc Fibonacci.
Điều đặc biệt là hai đường chéo của hai hình chữ nhật vàng thứ nhất và
thứ hai đồng thời lần lượt là đường chéo của các hình chữ nhật vàng tiếp theo.
Và hai đường chéo này cắt nhau tại điểm chia các đường chéo đó thành 2 đoạn
thẳng cũng theo tỉ lệ vàng. Giao điểm này là "tâm" ("trọng tâm") của đường
xoắn ốc vàng.
21
PHẦN II: TỶ LỆ VÀNG VỚI MÔN SINH HỌC
2.1. Dãy số Fibonacci và tỷ lệ vàng với Sinh học 6
2.1.1. Hoạt động 1: Phân nhóm đối tượng học sinh và giao nhiệm vụ cho các
nhóm đối tượng thu thập kiến thức đã học có liên quan phục vụ dự án:
+ Thu thập những kiến thức về một số loại cây có cách mọc lá khác
nhau,tìm hiểu sự đâm chồi của cây, một số loại hoa có số lượng cánh khác nhau
và cách sắp xếp các cánh hoa trong 1 bông, tìm hiểu về các đường chéo trong
quả thông, quả dứa và hạt của hoa hướng dương.
+ Thu thập mẫu vật: Quả thông, hoa hướng dương, quả dứa.
- Đối tượng thực hiện: Khối 6
- Hình thức: Học sinh tự tìm hiểu theo định hướng phiếu học tập của giáo
viên.
2.1.1.1. Các kiểu xếp lá ở trên thân và cành
+ Nhận xét về cách bố trí của các lá ở mấu thân trên so với các lá ở mấu
thân dưới?
+ Cách bố trí của lá ở các mấu thân có lợi gì cho việc nhận ánh sáng của các
lá trên cây?
+ Có mấy kiểu xếp lá trên thân và cành? Đó là những kiểu nào?

2.1.1.2. Tìm hiểu kiến thức về hoa
- Mẫu vật : Hoa hướng dương và một số loại hoa có số cánh khác nhau
- Các bộ phận chính của hoa: Đài, tràng, nhị, nhụy.
- Sự sắp xếp cánh hoa trên 1 bông: rời hay dính, các cánh hoa xếp tách rời
hay xếp thành các đường xoắn ốc.
- Nhị hoa: số lượng và cách sắp xếp
2.1.1.3. Kiến thức về quả
- Mẫu vật: Quả thông và 1 vài quả dứa có kích thước khác nhau.
2.1.2. Hoạt động 2: Giáo viên kiểm tra kiến thức các nhóm đối tượng thu thập
được thông qua phiếu báo cáo. Từ đó thống nhất lựa chọn những kiến thức cần
thiết phục vụ cho dự án.
22
2.1.2.1. Các kiểu xếp lá ở trên thân và cành
+ Nhận xét về cách bố trí của các lá ở mấu thân trên so với các lá ở mấu
thân dưới?
+ Cách bố trí của lá ở các mấu thân có lợi gì cho việc nhận ánh sáng của các
lá trên cây?
+ Có mấy kiểu xếp lá trên thân và cành? Đó là những kiểu nào?
2.1.2.2. Tìm hiểu kiến thức về hoa
- Mẫu vật : Hoa hướng dương và một số loại hoa có số cánh khác nhau
- Các bộ phận chính của hoa: Đài, tràng, nhị, nhụy.
- Sự sắp xếp cánh hoa trên 1 bông: rời hay dính, các cánh hoa xếp tách
rời hay xếp thành các đường xoắn ốc.
- Nhị hoa: số lượng và cách sắp xếp
2.1.2.3. Kiến thức về quả
- Mẫu vật: Quả thông và 1 vài quả dứa có kích thước khác nhau.
2.1.3. Hoạt động 3: Dãy Fibonacci và tỉ lệ vàng với Sinh học 6
2.1.3.1. Nhiệm vụ 1: Tìm hiểu về φ và các mầm cây dưới kính hiển vi điện tử:
- Đối tượng thực hiện: Nhóm học sinh lớp 6.
- Hình thức: Giáo viên giới thiệu cho học sinh

- Nội dung:
+ Giáo viên cho học sinh quan sát hình ảnh mầm cây vân sam Na Uy dưới
kính hiển vi điện tử:
23
Quan sát kĩ hình ảnh trên chúng ta sẽ thấy mầm cây vân sam Na Uy này
tuân theo quy luật dãy Fibonacci.
Nếu đếm số đường xoắn ở ở mầm cây trên ta thấy có một hệ có 8 đường
và một hệ có13 đường xoắn ốc.
+ GV tiếp tục cho HS quan sát hình ảnh mầm cây Atisô dưới kính hiển vi điện
tử:
Quan sát kĩ hình ảnh trên chúng ta sẽ thấy mầm cây Atisô này tuân theo
quy luật dãy Fibonacci.
Nếu đếm số đường xoắn ở ở mầm cây trên ta thấy có một hệ có 34 đường
và một hệ có 55 đường xoắn ốc.
2.1.3.2. Nhiệm vụ 2: Tìm hiểu về φ và sự đâm chồi của cây:
- Đối tượng thực hiện: Nhóm học sinh lớp 6.
- Hình thức: Giáo viên giới thiệu cho học sinh
- Nội dung:
Cho học sinh quan sát sơ đồ sự phát triển của cây sau chú ý đến số
lượng các “điểm phát triển” (nút) mà nó có.
24
Trong hình vẽ trên ta quy ước:
• Số 1 là điểm phát triển đầu tiên của cây.
• Số 2,3,4,5,6 là các điểm phát triển ở các giai đoạn tiếp theo
Như vậy ở loài cây trên khi cây mọc cành non, thì cành đó phải lớn lên một
thời gian trước khi đủ khỏe để bản thân nó có khả năng sinh cành non mới.
Nếu mỗi tháng cây mọc cành mới tại các nút ấy thì ta có số lượng các nút mỗi
thời điểm là một con số Fibonacci.
Ví dụ: Một loài cây có cách phát triển giống với hình trên là loài cây Achillea
ptarmica.

2.1.3.3. Nhiệm vụ 3: Tìm hiểu về φ và sự mọc lá của cây
- Đối tượng thực hiện: Nhóm học sinh lớp 6.
- Hình thức: Giáo viên giới thiệu cho học sinh
- Nội dung:
Trong tự nhiên nhiều loài cây có cách mọc lá tuân theo các số Ficonacci.
Nếu chúng ta quan sát kỹ sẽ thấy lá cây mọc trên cao thường xếp sao cho không
che khuất lá mọc dưới. Điều đó có nghĩa là mỗi lá đều được hưởng ánh sáng và
25
nước mưa, cũng như nước mưa sẽ được hứng và chảy xuống rễ đầy đủ nhất dọc
theo lá, cành và thân cây.
Nếu từ một lá ngọn làm khởi đầu, xoay quanh thân cây từ trên xuống
dưới, lá sang lá đếm số vòng xoay đồng thời đếm số chiếc lá, cho đến khi gặp
chiếc lá mọc. Nếu chúng ta đếm xoay theo hướng ngược lại, thì sẽ được một con
số vòng xoay khác ( ứng với cùng chừng ấy lá).
Kỳ lạ là con số vòng xoay theo 2 hướng, cùng với số lá cây mà chúng ta
gặp khi xoay, tất cả sẽ tạo thành 3 con số Fibonacci liên tiếp nhau.
Quan sát cách mọc lá của một cây sau:
Trong ảnh cây trên , nếu chúng ta lấy lá (x) làm khởi điểm, ta có 3 vòng
quay thuận chiều kim đồng hồ trước khi gặp lá (8) nằm đúng phía dưới lá (x),
hoặc là 5 vòng nếu quay theo ngược chiều kim đồng hồ. Vượt qua tổng cộng 8
lá. 3,5,8 là 3 số liên tiếp trong dãy Fibonacci.
Các chiếc lá được đánh số khi quay vòng quanh thân từ trên xuống dưới,
bắt đầu từ (x) rồi đến 1,2,3,…
Ta sẽ thấy, mỗi chiếc lá liền kề cách nhau khoảng 222.5
0
, tức là chính xác
0,618 vòng tròn. 0,618 chính là 1/ φ.
Chiếc lá (3) và (5) là những chiếc lá phía dưới gần lá khởi điểm (x) nhất,
rồi xuống tiếp nữa là lá (8) rồi (13).

Lá số
Số vòng quay thuận chiều
kim đồng hồ
Số vòng quay ngược
chiều kim đồng hồ
3 1 2
5 2 3
8 3 5
13 5 8
26
Định luật này đúng cho tất cả các lá tiếp theo (21), (34)… Trên các cột và
các hàng đều là những con số liên tiếp thuộc dãy Fibonacci.
Như vậy chúng ta thấy chỉ một cái cây bình thường nhưng tỉ lệ vàng xuất
hiện dày đặc như thế nào.
Có nhà nghiên cứu ước đoán rằng: 90% các loài cây có sự xếp lá tuân
theo dãy số Fibonacci, theo cách này hay cách khác.
Gọi cách xếp lá của cây trong ví dụ trên là 3/8 (3 vòng đầu tiên, từ ngọn
trở xuống đi qua 8 lá).
Điểm danh qua 1 vài cây quen thuộc khác tuân theo dãy Fibonacci:
1/2 Cây gỗ đu, cây gỗ đoan, cây chanh, cỏ
1/3 Cây gỗ dẻ, cây phỉ, cây mâm xôi, nhiều loài cỏ
2/5 Cây sồi, cây anh đào, cây táo, cây mận, cây cúc bạc
3/8 Cây bạch dương, cây hoa hồng, cây lê, cây liễu
5/13 Cây liễu đuôi sóc, cây hạnh nhân
2.1.3.4. Nhiệm vụ 4: Tìm hiểu về φ và đặc điểm của hoa.
* Tìm hiểu về φ và số lượng cánh hoa
- Đối tượng thực hiện: Nhóm học sinh lớp 6.
- Hình thức: Học sinh tự tìm hiểu theo định hướng phiếu học tập của giáo viên.
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1
Câu hỏi: Quan sát một số hoa mà các em đã chuẩn bị: ( theo hướng dẫn

của giáo viên)
1. Em hãy đếm số lượng cánh của một số loài hoa sau: Hoa lan ý, hoa
hồng, hoa mẫu đơn, hoa cẩm chướng, hoa cúc vạn thọ, hoa dừa cạn, hoa giấy,
hoa loa kèn, hoa dạ yến thảo, hoa sứ, hoa bìm bìm, hoa dâm bụt, hoa xương
rồng, hoa ly.
2. Em có nhận xét gì về mối quan hệ giữa số lượng cánh hoa với số
Fibonacci trong dãy Fibonacci không?
3. Ép một số loại hoa có số lượng cánh là 1 trong các số Fibonacci sau: 0,
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…
- Nội dung:
27
+ Như vậy chúng ta thấy các số Fibonacci xuất hiện trong những bông
hoa. Hầu hết các bông hoa có số cánh hoa là một trong các số: 3, 5, 8, 13, 21,
34, 55 hoặc 89. Hoa loa kèn có 3 cánh, hoa mao lương vàng có 5 cánh, hoa phi
yến thường có 8 cánh, hoa vạn cúc thọ có 13 cánh, hoa cúc tây có 21 cánh, hoa
cúc thường có 34, hoặc 55 hoặc 89 cánh.
+ Một số loài hoa có số lượng cánh hoa luôn là một số cố định, chẳng hạn
Hoa mao Lương. Tuy nhiên, cũng có những loài hoa có số lượng cánh hoa thay
đổi. Tuy nhiên, theo những nhà khoa học, những con số này luôn giao động
quanh một mốc trung bình là một số thuốc dãy Fibonacci.
- Ví dụ: Một số loài cây, số lượng cánh hoa là một số Fibonaccci như
sau:
+ 3 cánh: Hoa loa kèn, hoa Iris
+ 5 cánh: Hoa dâm bụt, hoa cẩm chướng, hoa hồng dại, phi yến, hoa sứ,
hoa đào…
+ 8 cánh: Hoa phi yến, hoa mai vàng
+ 13 cánh: Cúc vạn thọ, cỏ lưỡi chó, một số loài cúc
+ 21 cánh: Cúc tây, rau diếp xoăn
+ 34, 55, 89 cánh: Một số loài Cúc, hoa mã đề
- GV cho HS xem một số hình ảnh về các loài hoa có số lượng cánh là

các số liên tiếp trong dãy Fibonacci.
Hoa một cánh: Lan Ý

Hoa hai cánh: Hoa xương rồng
28