ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2012
Môn: TOÁN; Khối A, Khối A1, Khối B và Khối D

(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)
Câu Đáp án Điểm
a) (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
23
(1).
1
x
y
x
+
=
+

• Tập xác định: R \ {−1}.
• Sự biến thiên:
- Đạo hàm:
2
1
',
(1)
y
x
'0y

−
=
+
,
<
∀x ≠ −1.
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng (− ∞; −1) và (−1; + ∞).
0,25
- Giới hạn và tiệm cận: ; tiệm cận ngang
lim lim 2
xx
yy
→−∞ →+∞
==
2.y =

(1)
lim
x
y
−
→−
= −∞ và
(1)
lim
x
y
+
→−
= +∞; tiệm cận đứng

1.x =−
- Hàm số không có cực trị.
0,25
- Bảng biến thiên:





0,25
• Đồ thị:










0,25

1/4
b) (1,0 điểm)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1 biết rằng vuông góc với đường thẳng

d
),
d

2.yx=+
vuông góc với đường thẳng
d
yx=+2
⇔
có hệ số góc bằng
d 1.−

0,25
Hoành độ tiếp điểm là
0
x
:
0
0
2
0
0
0
1
'( ) 1 1
2
(1)
x
yx
x
x
=
⎡
−

=− ⇔ =− ⇔
⎢
= −
+
⎣

0,25
0
0x =
: Phương trình tiếp tuyến là
d
3.yx= −+
0,25
1
(2,0 điểm)
0
2x =−
: Phương trình tiếp tuyến là
d
1.yx= −−
0,25
a) (1,0 điểm)
Giải phương trình:
2cos2 sin sin3 .
x xx
+ =

2
(2,0 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với:

2cos2 sin sin3 0
xx x
+ −=2cos2 2cos2 sin 0
xxx
⇔ −=

0,25
+
∞
−
∞
2

2
y
'y


−


−

x
−
∞ −1 + ∞

3
2
−

3
O

x
y
-1
2


3

2/4
cos2 0
sin 1
x
x
=
⎡
⎢
=
⎣
2cos2 (sin 1) 0
xx
⇔−=

⇔

0,25
cos2 0 .

42
x xk
π π
=⇔= +

0,25
sin 1 2 .
2
xxk
π
π
=⇔ = +

0,25
b)

(1,0 điểm)


Giải bất phương trình
( ) ( )
23
log 2 .log 3 1
xx
>
.
Điều kiện Bất phương trình tương đương với
0.x >

23
(1 log )(1 log ) 1
xx
++>
0,25
[]
22
232 2323
2
log log 6
(1 log )(1 log 2.log ) 1 log (log 2).log log 6 0
log 0
x
xxxx
x
<−
⎡
⇔+ + >⇔ + >⇔
⎢
>
⎣

0,25
22
1
log log 6 0 .
6
xx<− ⇔ < <

0,25

2
log 0 1
x x
>⇔>
. Tập nghiệm của bất phương trình đã cho:
()
1
0; 1; .
6
⎛⎞
∪+∞
⎜⎟
⎝⎠

0,25
Tính tích phân
3
0
d.
1
x
Ix
x
=
+
∫

Đặt
1x t+=
; d 2 d ; 0 1; 3 2.

xttx t x t
= =⇒= =⇒=

0,25
Ta có
2
2
1
2( 1)d .It=−
∫
t
0,25
Suy ra
2
3
1
2.
3
t
It
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠

0,25
3
(1,0 điểm)

8

.
3
I =

0,25
Cho khối chóp có đáy là tam giác vuông cân tại
.SABC ABC
,A
2
ABa
=
, Góc
giữa đường thẳng
và mặt phẳng bằng Tính thể tích khối chóp và bán kính
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
theo

.SA SB SC==
)
SA
(
ABC
o
60 . .
S ABC
.
SABC
.a

Gọi

là trung điểm của
H
BC

⇒

.
HA HB HC
= =

Kết hợp với giả thiết suy ra
SA SB SC
==
,SH BC⊥

.
SHA SHB SHC
∆ =∆ =∆



⇒
( )
SH ABC
⊥
và
n
o
60 .SAH =

0,25
4
(1,0 điểm)
ABC
∆
vuông cân tại
: A
22
ACABa BC a
== ⇒=
⇒
.
AHa
=

SHA
∆
vuông
:
o
tan60 3SH AH a==
⇒
3
.
11 3
...
32 3
S ABC
a
VABACSH==.

0,25
S
A
2a

H
o
60

2a

B
C
Gọi lần lượt là tâm, bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp thuộc đường thẳng
thuộc mặt phẳng (
,OR
.
SABC O
⇒
SH
⇒
O
)
SBC
⇒
R
là bán kính đường tròn ngoại tiếp
.
SBC

∆

0,25
Xét ta có
,SHA∆
o
2
sin 60
SH
SA a
= =
SBC
⇒∆
đều có độ dài cạnh bằng
a
2
o
22
.
3
2sin60
aa
R⇒= =
3
0,25


Giải phương trình
3
4(1)210(

xxx x x
+− + += ∈\
).
Điều kiện
1
2
x ≥−
. Phương trình đã cho tương đương với:
( )
3
3
(2)2 21 21(1xx x x+= + + + )

0,25
Xét hàm số
3
()
f tt
=+
t
trên . Với mọi
\
2
,'()3 10
tftt
∈ =+>\
.
0,25
⇒
()

f t
đồng biến trên . Do đó
\
(1) 2 2 1.
xx
⇔ =+

0,25
5
(1,0 điểm)
Giải phương trình trên được nghiệm
15
.
4
x
+
=

0,25
a) (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho đường tròn
()
và
đường thẳng
,
Oxy
22
: 2 4 1 0
Cx y x y
+−−+=
:4 3 0.

dx ym
− +=
Tìm
m
để
d
ắt
(
tại hai điểm
,
c
)
C

A B
sao cho
n
o
120 ,
AI
ới
I
là
tâm của
(
C
B
=
v
).

Đường tròn ( có tâm bán kính )
C
(1;2),
I
2
R
=
.
0,25
Gọi là hình chiếu của trên khi đó:
H I
,d
n
oo
120 cos60 1.AIB IH IA= ⇔= =

0,25
Do đó
|2|
1
5
m −
=

0,25
7
3.
m
m
=

⎡
⇔
⎢
=−
⎣

0,25
b) (1,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ cho hai đường thẳng: ,
Oxyz
1
:2 (
1
xt
dyt t
zt
=
⎧
⎪
=∈
⎨
⎪
=−
⎩
\
),
).

2
12s

:22 (
x
dy ss
zs
=+
⎧
⎪
=+ ∈
⎨
⎪
=−
⎩
\
Chứng minh

và cắt nhau. Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng
1
d
2
d
12
, .
dd
Xét hệ
()
12s
222s*
1
t
t

ts
=+
⎧
⎪
=+
⎨
⎪
−=−
⎩
0,25
Giải hệ
(
được
)
*
1
0
t
s
=
⎧
⎨
=
⎩
cắt nhau.
⇒
12
,
dd
0,25

1
d
có VTCP
( )
1
1; 2; 1 ,u =−
JJG
có VTCP
2
d
( )
2
2;2; 1 .u = −
JJG
Mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng đi qua
điểm
và có một VTPT là
1
(0;0;1)I∈d
( )
12
[ , ] 0;1;2.uu = −−
G G

0,25
6.a
(2,0 điểm)
Phương trình mặt phẳng cần tìm: 2 2 0.
yz
+−=

0,25
Cho số phức thỏa mãn
z
2
(1 2 ) (3 ) .
1
i
iz iz
i
−
−− =−
+
Tìm tọa độ điểm biểu diễn của trong mặt phẳng tọa
độ

z
.
Oxy
7.a
(1,0 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với
2
(1 2 ) (3 )
1
i
iz iz
i
−
−−−=
+

0,25

3/4

13
(2 )
2
i
iz
−
⇔−− =

0,25

17
10 10
zi⇔= +

0,25
Đ
iểm biểu diễn của là
z
17
;.
10 10
M
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

0,25


a) (1,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác Các đường thẳng ,
Oxy
.ABC
, ', ' 'BCBB BC
lần
lượt có phương trình là
với
20, 20, 3 20;
yxyxy
−= −+= − +=
', 'B C
tương ứng là chân các đường
cao kẻ từ
, B C
của tam giác
ABC
. Viết phương trình các đường thẳng
, .ABAC

Tọa độ của điểm '
B
là nghiệm của hệ
20
,
320

xy
xy
−+=
⎧
⎨
− +=
⎩
giải hệ ta được
2
'( 2; 0)
0
x
B
y
=−
⎧
⇒−
⎨
=
⎩
Đường thẳng
AC
đi qua '
B
và vuông góc với '
BB
nên
AC
có phương trình 2 0.
xy

++=
0,25
Tọa độ của điểm
B
là nghiệm của hệ
20
,
20
xy
y
− +=
⎧
⎨
−=
⎩
giải hệ ta được
0
(0;2).
2
x
B
y
=
⎧
⇒
⎨
=
⎩
Tọa độ của điểm
là nghiệm của hệ

C
20
,
20
xy
y
+ +=
⎧
⎨
−=
⎩
giải hệ ta được
4
(4;2).
2
x
C
y
=−
⎧
⇒−
⎨
=
⎩
0,25
'(3 2; ) ' ',
Ct t BC
−∈
từ
''BCCC⊥

suy ra
42
'( ; )
55
C −
hoặc '( 2;0).
C
−

Nếu
42
'( ; )
55
C −
thì đường thẳng có phương trình là
AB
2 2 0.
xy
− +=

0,25
Nếu thì đường thẳng có phương trình là '( 2;0)
C
−
AB
2 0.
xy
− +=

0,25

b) (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng
,
Oxyz
21
:
111
1x yz
d
−++
==
−−
và mặt
phẳng
Đường thẳng
():2 2 0.
Pxyz
+− = ∆
nằm trong vuông góc với tại giao điểm của
d
và
Viết phương trình đường thẳng
()
P
d
().
P
.
∆

Gọi là giao điểm của

d
và ( ;
I
)
P
(1; 2;0)
I
−
.
0,25
()
P
có một VTPT là (2;1; 2)
P
n
=−
JJG
, có một VTCP là
d
( 1; 1;1)
d
u
=− −
JJG
.
0,25
[ . nằm trong vuông góc với
d

⇒

, ](1;0;1)
Pd
nu
=− −
JJG JJG
∆
( )
P
∆
có một VTCP là [ ; ]
P d
unu
∆
=
JJG JJG JJJG
.
0,25
6.b
(2,0 điểm)
Phương trình đường thẳng
1
:2(
xt
yt
zt
=−
⎧
⎪
∆=− ∈
⎨

⎪
=−
⎩
\
).
0,25


Gọi là 2 nghiệm phức của phương trình
12
,zz
2
2120zz i− ++ =
. Tính
12
.
zz
+

Phương trình đã cho tương đương với
22
(1)(1)0
zi
− −− =

0,25
( )( 2 ) 0
ziz i
⇔− −+=
0,25

2
zi
zi
=
⎡
⇔
⎢
=−
⎣
0,25
7.b
(1,0 điểm)

12
|| |2 |1 5.zzi i+=+−=+

0,25

----HẾT----

4/4