Những dạng vô định trong toán tìm giới hạn của hàm số

Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s
1
Gii hn dng vô đnh lƠ nhng gii hn mƠ ta không th tìm chúng bng
cách áp dng trc tip các đnh lý v gii hn vƠ các gii hn c bn trình bƠy
trong Sách giáo khoa. Do đó mun tính gii hn dng vô đnh ca hƠm s, ta
phi tìm cách kh các dng vô đnh đ bin đi thƠnh dng xác đnh ca gii
hn
Trong chng trình toán THPT, các dng vô đnh thng gp lƠ :

0
, , , 0. , 1
0


 


Sau đơy lƠ ni dung tng dng c th.
I. GII HN DNG VÔ NH
0
0

Gii hn dng vô đnh
0
0
lƠ mt trong nhng gii hn thng gp nht
đi vi bƠi toán tính gii hn ca hƠm s.  tính các gii hn dng nƠy,
phng pháp chung lƠ s dng các phép bin đi ( phơn tích đa thc thƠnh nhơn
t, nhơn c t vƠ mu vi biu thc liên hp, thêm bt, …) đ kh các thƠnh
phn có gii hn bng 0, đa v tính gii hn xác đnh. Chính các thƠnh phn có
gii hn bng 0 nƠy gơy nên dng vô đnh.

 tính gii hn dng vô đnh
0
0
, trc ht giáo viên cn rèn luyn cho
hc sinh k nng nhn dng.
1. Nhn dng gii hn vô đnh
0
0

 gii bƠi toán tìm gii hn ca hƠm s, hc sinh cn xác đnh gii hn
cn tìm thuc dng xác đnh hay vô đnh. Nu gii hn đó lƠ vô đnh thì phi xét
xem nó thuc dng vô đnh nƠo đ có phng pháp gii thích hp. Bi vy vic
rèn luyn k nng nhn dng cho hc sinh có quan trng, giúp hc sinh đnh
hng đc cách gii, tránh nhng sai xót có th mc phi.
i vi dng vô đnh
0
0
, vic nhn dng không khó khn lm vì hc sinh
thng gp gii hn :

0
xx
f(x)
lim
g(x)

mƠ
00
x x x x
lim f(x) = lim g(x) = 0



WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s
2
Thc t hc sinh hay gp trng hp
0
xx
f(x)
lim
g(x)

mƠ
00
f(x ) = (x ) = 0g
. NgoƠi ra
trong mt s bƠi toán hc sinh phi thc hin các phép bin đi đ chuyn v
dng vô đnh
0
0
, sau đó mi áp dng các phng pháp kh các thƠnh phn có
gii hn bng 0.
Khi ging dy, giáo viên nên đa ra mt s bƠi toán đ nhn mnh cho
hc sinh vic nhn dng nh :

0
xx
f(x)
lim

g(x)

mƠ
0
xx
lim f(x) 0


hoc
0
xx
lim g(x) 0



Tránh tình trng hc sinh không nhn dng mƠ áp dng ngay phng pháp gii.
Ví d áp dng :
(Yêu cu chung ca nhng bài tp là : “ Tính các gii hn sau”).
Ví d 1 :
1
2
x2
x - 2
L = lim
x +1


Bài gii :

1

22
x2
=
x - 2 2 - 2
L = lim 0
x +1 2 1




Ví d 2 :
2
2
x 1
-
x + 2
L = lim
x1


Bài gii :

2
2
x1

-
x + 2
L = lim =
x1



vì
1
22
1
lim(x+2) = 1+2 = 3
lim(x - 1) = 1 - 1 = 0
x
x








Ví d 3 :
3
2
x 1
13
L = lim
x 1 x 1








Bài gii :

2
22
x 1 x 1
x 1 x 1
=
1 3 x 3x +2
L = lim lim
3
x 1 x 1 x 1
(x-1)(x 2) (x-2) 1-2 1
lim lim
(x 1)(x+1) (x+1) 1+1 2











   




  



WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s
3
Dng vô đnh
0
0
đc nghiên cu vi các loi c th sau :
2. Loi 1 :
0
xx
f(x)
lim
g(x)

mƠ f(x), g(x) lƠ các đa thc vƠ f(x
0
) = g(x
0
) = 0
Phng pháp : Kh dng vô đnh bng cách phơn tích c t vƠ mu thƠnh
nhơn t vi nhơn t chung lƠ (x – x
0
).
Gi s : f(x) = (x – x

0
).f
1
(x) vƠ g(x) = (x – x
0
).g
1
(x). Khi đó :
01
1
0 0 0
0 1 1
x x x x x x
)
)
(x - x f (x)
f (x)
f(x)
lim lim lim
g(x) (x - x g (x) g (x)
  


Nu gii hn
1
0
1
xx
f (x)
lim

g (x)

vn  dng vô đnh
0
0
thì ta lp li quá trình kh đn
khi không còn dng vô đnh.
Ví d áp dng :
Ví d 4 :
2
4
2
x2
2x - 5x +2
L = lim
x +x - 6


Bài gii :
Ta phơn tích c t vƠ mu thƠnh nhơn t vi nhơn t chung : x - 2

2
4
2
x 2 x 2
x2
=
2x - 5x +2 (x - 2)(2x - 1)
L = lim lim
(x - 2)(x + 3)

x +x - 6
2x - 1 2.2 1 3
lim
x + 3 2 3 5








Vy
4
3
L
5


Ví d 5 :
2
5
x2
2
x - 3x +2
L = lim
- 4x + 4x


Bài gii :

2
2
5
x 2 x 2
x2
2
=
x - 3x +2 (x - 2)(x - 1)
L = lim lim
(x - 2)
- 4x + 4
x - 1
lim
x - 2
x






( Vì gii hn ca t bng 1, gii hn ca mu bng 0)
Vy
4
L 

WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s

4
Ví d 6 :
2
2
3n
*
6
3m
x1
+

+
x+x x + +x - n
L lim (m, n N )
x+x x + +x - m

 

Bài gii : Ta s phơn tích t vƠ mu thƠnh nhơn t vi nhơn t chung : x –
1 bng cách tách vƠ nhóm nh sau :
x + x
2
+ x
3
+ + x
n
– n = (x – 1) + (x
2
– 1) + (x
3

- 1) + + (x
n
- 1)
x + x
2
+ x
3
+ + x
m
– m = (x – 1) + (x
2
– 1) + (x
3
- 1) + + (x
m
- 1)
Khi đó:
2
2
22
x 1 x 1
3n
3n
6
3 m 3 m
1 - 1)+( - 1)
+
+ 1 - 1)+( - 1)
lim lim
(x- )+(x x + +(x - 1)

x+x x + +x - n
L
x+x x + +x - m (x- )+(x x + +(x - 1)



x1
n-1 n-2
m-1 m-2
1 1 + (x + 1) + + ( )

1 1 + (x + 1) + + ( )
lim
(x- ) 1
(x- ) +1
x + x + + x +
x + x + + x









n-1 n-2
m-1 m-2
x1

1 + (x + 1) + + (x + x + + x +1)
lim
1 + (x + 1) + + (x + x + + x +1)



n-1 n-2
m-1 m-2
1 + (1 +1) + + (1 + 1 + + 1 +1)

1 + (1 +1) + + (1 + 1 + + 1 +1)


n(n + 1)
1 2 3 n n(n + 1)
2
m(m + 1)
1 2 3 m m(m + 1)
2
   
  
   

Vy
6
n(n + 1)
L
m(m + 1)


Ví d 7 :
4 3 2
7
4 3 2
1
2x - 5x +3x + x - 1
L lim
3x - 8x + 6x - 1
x


Bài gii :
32
7
32
x 1
3 2 2
3 2 2
4 3 2
4 3 2
x 1
x 1 x 1

=
(x-1)(2x - 3x +1)
L =lim
(x-1)(3x - 5x +x+1)
2x - 3x +1 (x-1)(2x - x -1)
= =
3x - 5x + x +1 (x-1)(3x - 2x -1)

2x - 5x +3x + x - 1
lim
3x - 8x + 6x - 1
lim lim
 

2
2
x 1 x 1
x 1
2x - x -1 (x -1)(2x+1)
=lim =lim
3x - 2x -1 (x -1)(3x+1)
2x+1 2.1+1 3
=lim = =
3x+1 3.1+1 4




WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s
5
Vy
7
3
L=
4

Kt lun:
Phng pháp đ gii bƠi tp loi nƠy lƠ phơn tích đa thc thƠnh nhơn t
vi nhơn t chung lƠ x - x
0
. Yêu cu đi vi hc sinh lƠ :
Phi nm vng các phng pháp phơn tích đa thc thƠnh nhơn t, các
hng đng thc, công thc phơn tích tam thc bc hai, đa thc bc ba thƠnh nhơn
t:
2
0
0
c
f(x) = ax + bx + c = (x - x ) ax -
x



, ( f(x
0
) = 0)
NgoƠi các hng đng thc đáng nh, hc sinh cn nh các hng đng thc
b xung lƠ : a
n
- b
n
= (a - b)(a
n -1
+ a
n - 2
b +…+ ab

n - 2
+ b
n - 1
),
*
nN

a
n
+ b
n
= (a + b)(a
n -1
- a
n - 2
b +…- ab
n - 2
+ b
n - 1
), n lƠ s t nhiên l.
 hc sinh d nh, cn ly các trng hp c th nh : n = 2, 3, 4 vƠ
trng hp đc bit : x
n
- 1 = (x - 1)(x
n - 1
+ x
n - 2
+…+ x + 1).
Tu theo đc đim tng bƠi mƠ bin đi mt cách linh hot đ kh dng
vô đnh. Trong quá trình thc hƠnh, nhiu khi sau các bin đi đƣ kh các thƠnh

phn có gii hn bng 0 ta vn gp gii hn dng vô đnh
0
0
mi ( thng lƠ
“đn gin” hn so vi gii hn ban đu). Ti đơy ta tip tc quá trình kh đn
khi gii hn cn tìm không còn dng vô đnh
0
0
thì thôi.
Bài tp t luyn
1)
3
4
x1
x 3x 2
lim
x 4x 3



2)
x0
(1 x)(1 2x)(1 3x) 1
lim
x

   

3)
100

50
x1
x 2x 1
lim
x 2x 1



4)
n1
2
x1
x (n 1) n
lim
(x 1)


  


3. Loi 2 :
0
xx
f(x)
lim
g(x)

mƠ f(x), g(x) cha các cn thc cùng bc vƠ f(x
0
)=g(x

0
)= 0
Phng pháp : Nhơn c t vƠ mu vi biu thc liên hp tng ng ca
biu thc cha cn thc (gi tt lƠ phng pháp nhân liên hp hay dùng biu
thc liên hp) đ trc các nhơn t x - x
0
ra khi các cn thc, nhm kh các
thƠnh phn có gii hn bng 0. Biu thc cha cn thc có th lƠ t, mu hay c
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s
6
t vƠ mu ca phơn thc cn tìm gii hn ). Lu ý lƠ có th nhơn liên hp mt
hay nhiu ln đ kh dng vô đnh.
Các công thc thng đc s dng khi nhơn liên hp lƠ :


33
22
33
33
( A± B)( A B) = A - B , (A 0, B 0)
( A ± B)( A A B+ B ) =A ± B



Giáo viên cn cho hc sinh thy đc hai công thc nƠy xut phát t hai
hng đng thc sau đ hc sinh d nh :

22

2 2 3 3
(a - b)(a + b) = a - b
(a ± b)(a ab + b ) = a ± b

Ví d áp dng:
Ví d 8 :
8
2
x 2
3x - 2 - x
L = lim
x - 4


Bài gii : Nhơn c t vƠ mu vi biu thc liên hp tng ng, ta
đc :

8
2
2
x 2 x 2
3x - 2 - x ( 3x - 2 - x)( 3x - 2 + x)
L = lim lim
x - 4
(x - 4)( 3x - 2 + x)




2

2
x 2 x 2
x 2
3x - 2 - x (x - 2)(-x + 1)
lim lim
(x - 4)( 3x - 2 + x) (x - 2)(x + 2)( 3x - 2 + x)
x + 1 2 + 1 1
lim
16
(x + 2)( 3x - 2 + x) (2 + 2)( 3.2-2+2)


  

   

Vy
8
1
L=
16


WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s
7
Ví d 9 :
9
1

x+2 1
L lim
x+5 2




x

Bài gii :
9
1 1
( x+2 1)( x+2 1) ( x+5 2)
x+2 1
L lim lim
x+5 2
( x+5 2)( x+5 2) ( x+2 1)
   
  

  

  




xx

1 1
(x + 2 - 1)( x+5 2) (x + 1)( x+5 2)
= lim lim
(x + 5 - 4)( x+2 1) (x + 1)( x+2 1)
xx   





1
x+5 2 1 5 2
= lim 2
x+2 1 1 2 1
x
   

   

Vy L
9
= 2
Ví d 10 :
n
*
10
m
1
x - 1
L lim , (m, n N )

x - 1


x

Bài gii :
n
10
m
1
n-1 n-2 m-1 m-2
n n n n m m m
m-1 m-2 n-1 n-2
m m m m n n n
1
x - 1
L lim
x - 1
( x - 1) ( x) +( x) + + x+1 ( x) +( x) + + x+1
=lim
( x - 1) ( x) +( x) + + x+1 ( x) +( x) + + x+1



   
   

   
   
x

x

mm
m-1 m-2
m
nn
1
n-1 n-2
n
(x - 1)( x + x + + x+1)
=lim
(x - 1)( x + x + + x+1)



x


mm
m-1 m-2
m
nn
1
n-1 n-2
n
x + x + + x+1 m
=lim
n
x + x + + x+1



x

Vy
10
m
L =
n

Kt lun:
Phng pháp dùng biu thc liên hp lƠ phng pháp ch yu đc s
dng đ tính các gii hn có cha cn thc cùng bc. Có th xem đơy lƠ “ thut
toán” c bn cho phép tính đc khá nhiu gii hn ca hƠm s cha cn thc,
phng hng rõ rƠng, d hiu.Vic xác đnh biu thc liên hp lƠ không quá
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s
8
khó khn đi vi hc sinh. Tuy nhiên giáo viên cn rèn luyn k nng xác đnh
vƠ nhơn biu thc liên hp khi tính gii hn. Theo cách nƠy, nhiu bƠi toán tuy
gii đc nhng phi qua các phép bin đi dƠi dòng vi biu thc cng knh.
Nu dùng các gii khác nh thêm bt, đi bin s cho li gii ngn gn hn.

Bài tp t luyn
1)
3
x1
x x 3
lim
x1




2)
2
3
x2
x4
lim
2 3x 2




3)
22
xa
x b a b
lim
xa

  

4)
3
2
3
2
x1
x 2 x x 1

lim
x1

   


5)
n
x0
1 ax
lim
x


6)
nn
x0
a x a
lim
x



4. Loi 3:
0
xx
f(x)
lim
g(x)


mƠ f(x) cha các cn thc không cùng bc vƠ f(x
0
)=g(x
0
)= 0
Phng pháp : S dng thut toán thêm bt đi vi f(x) đ có th nhơn
biu thc liên hp. Chng hn nh :

00
mn
mn
0 0 0
x x x x
u(x) v(x)
f(x)
L= lim = lim ,( u(x ) v(x ) = 0,g(x ) = 0)
g(x) g(x)




Ta bin đi :
00
00
mn
mn
x x x x
mn
x x x x
u(x) - c + c - v(x)

u(x)- v(x)
L lim lim
g(x) g(x)
u(x) - c v(x) - c
= lim lim
g(x) g(x)


   
   
  


Ti đơy các gii hn
00
mn
12
x x x x
u(x) - c v(x) - c
L lim , L lim
g(x) g(x)


đu tính đc
bng cách nhơn liên hp.
Ví d áp dng :
Ví d 11 :
3
11
2

x 1
x+3 x+7
L lim
x 3x+2





WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s
9
Bài gii :
x 1 x 1
x 1 x 1
33
11
22
3
22
lim lim
lim lim
x+3 x+7 ( x+3 2) + (2 x+7)
L
x 3x+2 x 3x+2
x+3 2 2 x+7
=
x 3x+2 x 3x+2



  
  






2
3 3 3
2
22
33
x 1 x 1
(2 x+7) 4 2 x+7 ( x+7)
( x+3 2)( x+3+2)
=lim lim
(x 3x+2)( x+3+2)
(x 3x+2) 4 2 x+7 ( x+7)


  





  



2
22
33
x 1 x 1
x+3 4 8 (x+7)
=lim lim
(x 3x+2)( x+3+2)
(x 3x+2) 4 2 x+7 ( x+7)





  



x 1 x 1
2
33
x 1 1 x
=lim lim
(x 1)(x 2)( x+3+2)
(x 1)(x 2) 4 2 x+7 ( x+7)







   

x 1 x 1
2
33
11
=lim lim
(x 2)( x+3+2)
(x 2) 4 2 x+7 ( x+7)






  


2
33
11
=
(1 2)( 1+3+2)
(1 2) 4 2 1+7 ( 1+7)
1 1 1
=
4 12 6






  
   

Vy
11
1
L
6


Ví d 12 :
3
12
2
0
1+2x - 1+3x
L lim
x
x


Bài gii :
3
3
12
22

00
1+2x - (x+1) + (x+1) - 1+3x
1+2x - 1+3x
L lim lim
xx

   
   
  
xx


3
22
00
1+2x - (x+1) (x+1) - 1+3x
=lim +lim
xx


xx

WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s
10

0
2
22

3 3 3
0
2 2 2
33
1+2x - (x+1) 1+2x +(x+1)
=lim
x 1+2x +(x+1)
(x+1) - 1+3x (x+1) ( 1) 1+3x ( 1+3x)
+lim
x (x+1) ( 1) 1+3x ( 1+3x)


   
   


   
   



  
  
x
x
x
x


23

2 2 2 2
33
00
22
33
00
(1+2x) - (x+1) (x+1) - (1+3x)
lim lim
x 1+2x +(x+1) x (x+1) (x 1) 1+3x ( 1+3x)
- 1 x+3
lim lim
1+2x +(x+1) (x+1) (x 1) 1+3x ( 1+3x)
xx
xx


  
   
  
   
  
  


22
33
- 1 0+3
1+2.0 +(0+1) (0+1) (0 1) 1+3.0 ( 1+3.0)
11
1

22
  
  
   

Vy
12
1
L
2


Kt lun :
Phng pháp chung đ tính các gii hn ca biu thc cha các cn thc
không cùng bc lƠ thêm, bt mt lng nƠo đó, tách thƠnh nhiu gii hn ri
nhơn liên hp. Cn lu ý lƠ có th thêm bt mt hng s ( thng chn lƠ u(x
0
)
hoc v(x
0
)) hay mt biu thc. Vic thêm bt da trên đc đim tng bƠi vƠ
phi tht tinh t. Thut toán thêm bt còn đc áp dng hiu qu đi vi các
dng vô đnh khác.
Bài tp t luyn
1)
3
x0
1 x 1 x
lim
x


  
2)
3
2
x2
x 11 8x 43
lim
2x 3x 2

  


3)
nm
x0
1 ax 1 bx
lim
x

  
4)
3
2
x0
2x 1 x 1
lim
sinx

  

5)
3
4
x7
x 2 x 20
lim
x 9 2

  

6)
3
2
x0
1 4x 1 6x
lim
x

  

5. Gii hn dng vô đnh
0
0
ca hàm s lng giác
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s
11
Phng pháp : Thc hin các phép bin đi đi s vƠ lng giác đ s

dng các kt qu gii hn c bn sau đơy :
+)
x 0 x 0
sinx x
lim 1, lim 1
x sinx



+)
x 0 x 0 x 0
sinax sinax sinax
lim lim( .a) =a.lim =a
x ax ax
  


+)
x 0 x 0 x 0 x 0 x 0
sinax sinax bx ax sinax bx ax a
lim lim( . . ) lim .lim .lim
sinbx ax sinbx bx ax sinbx bx b
    
  

+)
x 0 x 0 x 0 x 0
tgax sinax a sinax a
lim lim( . ) lim .lim a
x ax cosax ax cosax

   
  

Trong quá trình bin đi, hc sinh cn vn dng linh hot các công thc lng
giác, thêm bt, nhơn liên hp …

Ví d áp dng
Ví d 13 :
13
x0
1+sinax - cosax
L lim
1- sinbx - cosbx



Bài gii :
13
x 0 x 0
1+sinax - cosax 1- cosax+sinax
L lim lim
1- sinbx - cosbx 1- cosbx - sinbx


  


2
x 0 x 0
2

ax ax ax
ax ax ax
2sin sin cos
2sin +2sin cos
2 2 2
2 2 2
=lim lim
bx bx bx
bx bx bx
2sin - 2sin cos
2sin sin - cos
2 2 2
2 2 2











x 0 x 0
ax ax ax
sin sin cos
a
2 2 2
=lim .lim

bx bx bx
b
sin sin - cos
2 2 2




Vy
13
a
L
b


Ví d 14 :
14
2
x0
1 cosax
L lim
x




Bài gii :
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s

12
22
2
2 2 2
14
22
x 0 x 0 x 0 x 0
ax ax ax
2sin sin sin
1 cosax a a a
2 2 2
L lim lim lim . lim
ax ax
x x 2 2 2
22
   

   

   


    
   

   

   


Vy
2
14
a
L
2


Ví d 15 :
15
2
0
1 xsinx - cos2x
L lim
sin x
x



Bài gii :

15
22
0 0
1 xsinx - cos2x (1 - cos2x) xsinx
L lim lim
sin x sin x
xx






2
22
0 0 0
0 0
2
2sin x xsinx sinx(2sinx x) 2sinx x
lim lim lim
sinx
sin x sin x
xx
lim 2 lim 2 1 3
sinx sinx
x x x
xx
  

   

    


  


Vy L
15
= 3

Ví d 16 :
*
16
2
x 0
1- cosx.cos2x cosnx
L lim (n N )
x



Bài gii :
16
2
x 0
2
x 0

1- cosx.cos2x cosnx
L lim
x
1-cosx+cosx-cosxcos2x+ +cosx.cos2x cos(n-1)x-cosx.cos2x cosnx
lim
x






2
x 0
2 2 2
x 0 x 0 x 0

1-cosx+cosx(1- cos2x)+ +cosx.cos2x cos(n-1)x(1- cosnx)
lim
x
1-cosx cosx(1-cos2x) cosx.cos2x cos(n-1)x(1- cosnx)
lim lim lim
x x x

  

   

Theo kt qu bƠi 14 ta có :

2
2
x 0
1
2
1-cosx
lim
x



2
22
x 0 x 0 x 0
.
cosx(1-cos2x) 1-cos2x 2
lim lim cosx lim
2
xx
  
 

…
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s
13

2
x 0
2
2
x 0 x 0 x 0 x 0
. .
cosx.cos2x cos(n-1)x(1- cosnx)
lim
x
1- cosnx n
lim cosx lim cos2x lim cos(n-1)x lim

2
x

   



Do đó
2 2 2 2 2 2
16
1 2 n 1 2 n n(n+1)(2n+1)
L
2 2 2 2 12
  
     

Trong bƠi tp nƠy ta đƣ s dng thut thêm bt :
cosx, cosxcos2x,…, cosxcos2x…cos(n - 1)x
đ bin đi vƠ tính gii hn đƣ cho. Có th nhn thy thut thêm bt đóng vai trò
quan trng trong k nng bin đi đi vi bƠi tp nƠy.
Ví d 17 :
2
17
2
x 0
1 x cosx
L lim
x





Bài gii :

22
17
22
x 0 x 0
(1 x cosx 1 x 1) (1 cosx)
L lim lim
xx


     



2
2 2 2
2 2 2
x 0 x 0 x 0 x 0
22
x
((
2
(
2sin
1 x 1 1 cosx 1 x 1) 1 x 1)
lim lim lim lim
x x x

x 1 x 1)
   

    

     



2
2
2
2
x 0 x 0 x 0 x 0
2 2 2
xx
22
.
(
2sin sin
1 x 1 1 1
lim lim lim lim
x
2
x
x 1 x 1) 1 x 1
2
   




    








11
1
22
  

Vy L
17
= 1.
Kt lun :
 kh dng vô đnh đi vi hƠm s lng giác, hc sinh cn nm vng
vƠ vn dng linh hot các phép bin đi đi s, lng giác cng nh áp dng
các gii hn c bn.  đơy ch có gii hn
x 0
sinx
lim 1
x


đc s dng trc tip,
các kt qu còn li khi lƠm bƠi phi chng minh li.

WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s
14
 vn dng gii hn
x 0
sinx
lim 1
x


, cn đa hƠm s cn tính gii hn v
dng :
0 0 0
x x x x x x
sinf(x) f(x) tgf(x)
lim , lim , lim
f(x) sinf(x) f(x)
  
vi
0
x x
lim f(x) 0


bng cách
thêm, bt, đi bin hay nhơn, chia đng thi vi mt lng thích hp nƠo đó.
Trong khi gii bƠi tp, hc sinh có th gp khó khn, lúng túng đ đa v các
dng trên. Giáo viên cn khc phc bng cách cho hc sinh lƠm các bƠi tp nh :

2
2
0 1
sinx sin(x 1)
lim , lim ,
1 cosx
x 3x+2
xx




Bài tp t luyn
Tính các gii hn sau :
1)
0
1+sinx 1 sinx
lim
tgx
x

2)
0
(a+x)sin(a+x) asina
lim
x
x


3)

x 0
1 cosxcos2xco3x
lim
1 cosx



4)
2
2
0
2sin x+sinx 1
lim
2sin x 3sinx+1
x



5)
3
3

x
4
1 cotg x
lim
2 cotgx cotg x




6)
3
x 0
1 cosx cos2x cos3x
lim
1 cos2x




6. Gii hn dng vô đnh
0
0
ca hàm s m và lôgarit.
Phng pháp : Thc hin các phép bin đi vƠ s dng các gii hn c
bn sau đơy :
+)
x
x 0
1
lim 1
x
e




+)
x 0
ln(1 x)

lim 1
x




Các gii hn trên đu đc tha nhn hoc đƣ chng minh trong Sách giáo khoa.
NgoƠi ra giáo viên cn đa ra cho hc sinh hai gii hn sau :
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s
15
+)
x xlna
x 0 x 0
a 1 1
lim lim .lna lna
x x.lna
e







( Vì
xlna
x 0
1

lim 1
xlna



e
)
+)
x 0 x 0 x 0
a
.
log (1 x)
ln(1 x) ln(1 x)
1
lim lim lim lna
x x.lna lna x
  





Ví d áp dng :
Ví d 18 :
ax bx
18
x 0
L lim
x
ee





Bài gii :

x 0 x 0
ax bx
ax bx
18
1) 1)
lim lim
((
L
xx






ee
ee


ax bx
x 0 x 0
ax bx
x 0 x 0
( 1) ( 1)

lim lim
xx
( 1) ( 1)
a.lim b.lim
ax bx
ab
ee
ee



  

  


Vy L
18
= a - b.
Trong bƠi tp nƠy đ s dng gii hn c bn ta đƣ thc hin thêm bt 1
vƠ tách thƠnh hai gii hn. Cn nhn mnh cho hc sinh khi
x 0 
thì
ax 0 
,
do vy
ax bx
x 0 x 0
( 1) ( 1)
lim 1, lim 1

ax bx



ee
.
Ví d 19 :
sin2x sinx
19
x 0
L lim
sinx
ee




Bài gii :

sin2x sinx
sin2x sinx
19
x 0 x 0
1) 1)((
L lim lim
sinx sinx
ee
ee









sin2x sinx
x 0 x 0
sin2x sinx
x 0 x 0
11
lim lim
sinx sinx
11
lim .2cosx lim
sin2x sinx
ee
ee







  

  

x 0 x 0 x 0
sin2x sinx
. (2cosx)
11
lim lim lim
sin2x sinx
2 1 1
  





  
  
ee

WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s
16
Vy L
19
= 1.
Ví d 20 :
x2
20
x 2
2x
L lim

x2





Bài gii :

x 2 x 2
20
x 2 x 2
4) 4)
2 x (2 (x
L lim lim
x 2 x 2








x2
x2
x 2 x 2 x 2 x 2
x2
x 2 x 2
1) 2)(x+2)
44

1
4
4(2 (x
2x
lim lim lim lim
x 2 x 2 x 2 x 2
2
lim lim (x+2) 4ln2 4
x2

   




    


   



Vy L
20
= 4ln2 - 4
Ví d 21 :
2
2
3
2x

21
2
x 0
1x
L lim
ln(1+x )
e





Bài gii :

2
2
3
3
2 2x
2 2x
21
22
x 0 x 0
( 1)1 x 1) (
1x
L lim lim
ln(1+x ) ln(1+x )






  


e
e


2
2
3
3
2 2x
2 2x
2 2 2
x 0 x 0 x 0
( 1)
1
1 x 1) (
1 x 1
lim lim lim
ln(1+x ) ln(1+x ) ln(1+x )


  


   
  


e
e

33
22
3
3
2 2 2
3
2
2
22
22
x 0 x 0
2
2x
( ( ) 1
( ) 1
.
1 2x
ln(1+x )
1 x 1)( 1 x 1 x )
lim lim
( 1 x 1 x )ln(1+x )
2x












   


e

2
2
2
3
2 2 2
3
2
2
2x
x 0 x 0 x 0
2
.
( ) 1
1 2x
ln(1+x )
x
lim lim lim
2x

( 1 x 1 x )ln(1+x )

  







e


2
2
22
3
22
3
2
2
2x
x 0 x 0 x 0 x 0
2

( ) 1
x1
ln(1+x )
2x
ln(1+x )

17
.1 1.( 2)
33
1
lim lim lim lim
2x
1 x 1 x

   





   


e
Vy
21
7
L
3


Kt lun :
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s
17

 tính các gii hn dng vô đnh ca hƠm s m vƠ lôgarit, hc sinh thc
hin các phép bin đi đ áp dng các gii hn c bn. Yêu cu hc sinh phi
thƠnh tho các phép toán v lu tha vƠ lôgarit.
 s dng các gii hn c bn, bng cách thêm, bt, nhơn liên hp, …
hc sinh phi bin đi hƠm s cn tìm gii hn v mt trong các dng :
 
 
0 0 0 0
f(x) f(x)
a
x x x x x x x x
ln 1+f(x) log 1+f(x)
1 a 1
lim , lim , lim , lim
f(x) f(x) f(x) f(x)
e
   

vi
0
x x
lim f(x) 0



Bài tp t luyn
Tính các gii hn sau :
1) 2)
xx
xx

x 0
5
43
lim
9




3)
x 0
2
2
x
3 cosx
x
lim


4)
x
34
x 0
(1 )(1 cosx)
lim
2x 3x
e




5)
x 0
1 1 x
lim .ln
x 1 x







6)
sin2x sinx
2
x 0
lim
5x + tg x
ee



II. GII HN DNG VÔ NH



Gii hn dng vô đnh



có dng lƠ :

0
x x
(x )
f(x)
L lim
g(x)



trong đó :
00
x x x x
(x ) (x )
f(x) g(x)lim lim

   
 

 kh dng vô đnh nƠy, phng pháp thông thng lƠ chia c t vƠ mu
cho lu tha bc cao nht ca t vƠ mu ca phơn thc
f(x)
g(x)
. C th nh sau :
1) Nu f(x), g(x) lƠ các đa thc có bc tng ng lƠ m, n thì ta chia c
f(x), g(x) cho x
k
vi k = max{m, n}

m m 1
m
m 1 1 0
n n 1
x
n
n 1 1 0
a x +a x + +a x+a
L lim
b x +b x + +b x+b






vi
*
mn
a ,b 0, m,n N

Khi đó xy ra mt trong ba trng hp sau :
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s
18
+) m = n (bc ca t vƠ mu bng nhau), chia c t vƠ mu cho x
n
ta
đc:

0
m 1 1
n
n1
mm
0
n 1 1
nn
n
n1
x x
m
n
a
aa
aa
xx
x
b
bb
bb
xx
x
a
lim lim
b
+ + + +
L
+ + + +





   


+) m > n (bc ca t ln hn bc ca mu, k = m), chia c t vƠ mu cho
x
m
ta đc :

n
mn
m n+1
n
mn
0
m 1 1
m
m1
m
x x
0
n 1 1
m
m
b
x
b
x

a
aa
a
a
xx
x
lim lim
b
bb
x x x
+ + + +
L
+ + ++




   

 

+) m < n (bc ca t nh hn bc ca mu, k = n), tng t nh trên ta có
:

0
m m 1
n m n
n m+1
x
0

n1
n
n
a
a
a

xx
x
lim 0
b
b
b
xx
L





  

  

Hc sinh cn vn dng kt qu :
0 0 0 0
x x x x x x x x
11
lim f(x) lim 0, limf(x) 0 lim
f(x) f(x)

   
       

Sau khi xét ba trng hp nƠy, hc sinh cn t rút ra nhn xét kt qu gii
hn cn tìm da vƠo bc ca t vƠ mu. Lu ý lƠ có th chia t vƠ mu cho x
h

vi
h min{m, n}.
2) Nu f(x), g(x) lƠ các biu thc có cha cn thc thì ta quy c ly giá
tr
m
k
( trong đó k lƠ bc ca cn thc, m lƠ s m cao nht ca các s hng
trong cn thc) lƠ bc ca cn thc đó. Bc ca t ( mu) đc xác đnh lƠ bc
cao nht các biu thc trên t ( di mu). Sau đó ta áp dng phng pháp kh
nh vi trng hp f(x), g(x) lƠ các đa thc. Qua đó hc sinh có th d dƠng
phán đoán kt qu gii hn dng


cn tìm.
Ví d áp dng :
Ví d 22 :
32
22
3
x
2x 3x 1
L lim
5x 6






WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s
19
Bài gii : Chia c t vƠ mu cho x
3
ta đc :

3
3
32
22
3
x x
31
2
2
x
x
6
5
5
x
2x 3x 1
L lim lim

5x 6
   








Vy
22
2
L
5

. Ta có th trình bƠy theo cách sau :

3
3
3
3
3
3
32
22
3
x x x
31
31

x2
2
x
x2
x
x
6
5
6
5
x5
x
x
2x 3x 1
L lim lim lim
5x 6
     

















Ví d 23 :
22
2
x
23
3x (2x 1)(3x x+2)
2x+1
4x
limL








Bài gii :
2 2 4 2
22
x x
23
3x (2x 1)(3x x+2) 12x (2x+1)(3x x+2)
2x+1
4x 4x (2x+1)
lim limL
   






   



32
32
23
x x
5x x+2
4x
5 1 2
4
41
x
xx
4
82
8+
x
4x
lim lim
8x
   



   
     


Vy
23
1
2
L 

Ví d 24 :
24
5
x
(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5)
L lim
(5x 1)

    



Bài gii :

24
5
x
(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5)
L lim
(5x 1)



    




55
x
1 2 3 4 5
11111
xxxxx
1
5
1
5
x
lim

    

    


    








Vy
24
5
1
L
5


WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s
20
Ví d 25 :
25
x
2
x+3
L lim
x1




Bài gii :
Chia c t vƠ mu cho x ta đc :

25
x x

22
3
x+3
x
L lim lim
x 1 x 1
x
1+
   



Vì phi đa x vƠo trong cn bc hai nên ta xét hai trng hp :
*)
2
x x > 0 x x   

Khi đó :
x + x + x +
22
2
2
1
3 3 3
x x x
lim lim lim 1
x 1 x 1
x
x
x

1+ 1+ 1+
1
     
  



*)
2
x x < 0 x x   

Khi đó, ta có :
xxx
22
2
2
1
3 3 3
x x x
lim lim lim 1
x 1 x 1
x
x
x
1+ 1+ 1+
1
  
  







Vì
xx
22
1, 1lim lim
x+3 x+3
x 1 x 1
 
  

nên không tn ti
x
2
x+3
lim
x1



Ví d 26 :
3
22
26
5
x
4
44

9x 1 x 4
L lim
16x 3 x 7

  

  

Bài gii : Chia c t vƠ mu cho x ta đc :

3
22
3
22
26
55
x x
44
4 4 4 4
9x 1 x 4
9x 1 x 4
xx
L lim lim
16x 3 x 7 16x 3 x 7
xx
   



  


    



2
3
3
x
4
4
5
5
9x 1 1 4
xx
x
lim
16x 3 1 7
xx
x








Tng t BƠi 25, ta xét hai trng hp :
WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com
Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s
21
*)
4
42
, x x x > 0 x x x     

Khi đó :
2
3
3 2 3
+
26
4
xx
4
4
5
5
4
5
3
5
4
9x 1 1 4 1
9
9 0 3
xx
x x x

L lim lim
2
16 0
3
16x 3 1 7
x
x
x
x
x
14
x
17
16
x
 





  



  


*)
4

4
2
, x x x < 0 x x x      

Khi đó ta có :
2
2
4
4
4
2
2
3
33
3
33
26
xxx
44
44
4
5
55
5
55
1
x
x
3
x

x
9x 1 1 4
9x 1 1 4 1 4
9
x
x
x x x
xx
L lim lim lim
17
16x 3 1 7 16x 3 1 7
16
x
x
x x x
xx

  


   





  

  
   




2
4
3
3
4
4
5
5
x
1
x
3
x
14
9
9 0 3
x
x
2
1 7 16 0
16
x
x
lim








  

  


Vì
+
26 26
LL


nên ta có :
26
3
L
2


Kt lun :
So vi dng vô đnh
0
0
, dng vô đnh


“d tìm” hn. Hc sinh cn xác

đnh đúng dng vƠ ch cn quan tơm đn bc ca t vƠ mu đ t đó phán đoán
kt qu gii hn cn tìm. Chú ý đi vi gii hn dng


ca hƠm s có cha
cn thc ta không nhơn liên hp. ơy lƠ đim khác bit cơn phơn bit đ tránh
nhm ln.
Vi gii hn khi
x 
, cn lu ý hai kh nng
x 
vƠ
x 

trong phép ly gii hn có cha cn bc chn. Nu hc sinh không đ ý đn vn
đ nƠy thì rt d mc phi sai lm. Hn na trng hp nƠy còn liên quan ti bƠi
toán tìm tim cn ca hƠm s cha cn thc.
Bài tp t luyn
1)
   
  
23
22
x
2x 3 4x+7
lim
3x 1 10x 9




2)
20 30
50
x
(2x 3) (3x+2)
lim
(2x+1)



WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s
22
3)
2n
n+1
x
n
2
(x+1)(x 1) (x 1)
lim
(nx) 1





4)
2

x
2
x 2x 3x
lim
4x 4 x+2




5)
3
4
52
4
x
43
x 1 x 2
lim
x 1 x 2

  
  
6)
3
3
4
x
ln(1 x x)
lim
ln(1 x x)






III. GII HN DNG VÔ NH


Dng tng quát ca gii hn nƠy lƠ :

0
x x
(x )
lim f(x) g(x)





trong đó
00
x x x x
(x ) (x )
lim f(x) lim f(x)

 
  

Phng pháp ch yu đ kh dng vô đnh nƠy lƠ bin đi chúng v dng
vô đnh

0
,
0


bng cách đi bin, nhơn liên hp, thêm bt, …
Ví d áp dng :
Ví d 27 :
 
2
27
x
L lim x x x

  

Bài gii :
Nhơn vƠ chia biu thc liên hp tng ng lƠ :
2
x x+x
, ta đc :

 
22
2
27
x
2
x
( x x x)( x x+x)

L lim x x x
x x+x
lim



  
   



22
22
xx
x
x x+x x x+x
x x x
lim lim
 





Vì
x 
nên chia c t vƠ mu cho x ta có :

2
xx

11
2
1
x x+x
11
x
x
lim lim
 
 



Vy
27
1
L
2


Trong ví d nƠy, bng cách nhơn liên hp, ta đƣ chuyn gii hn cn tìm
t dng

sang dng


.

WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s
23
Ví d 28 :
28
x
L lim x+ x x






Bài gii :

28
xx
( x+ x x)( x+ x x)
L lim x+ x x lim
x+ x x
 









xx

x+ x x x
lim lim
x+ x x x+ x x
 





xx
1
x 1 1
lim lim
2
x+ x x
1+ 1
x
 
  


( chia c t vƠ mu cho
x
)
Vy
28
1
L
2


Ví d 29 :
2
29
x
L lim x x 3 x




   

Bài gii : Trong ví d nƠy cn lu ý khi
x
cn xét hai trng
hp
x
vƠ
x

+) Khi
x
thì :

2 2
x x 3 xx x 3    

Do đó
2
x

lim x x 3 x





   

+) Khi
x
thì gii hn có dng

. Ta kh bng cách nhơn liên
hp bình thng

22
2
x x
2
( x x 3 x)( x x 3 x)
lim x x 3 x lim
x x 3 x
   




     
   
  

22
x x x
2 2 2
3
1
x x 3 x x 3
lim lim lim
x x 3 x x x 3 x x x 3
1
x
x
     


    
       


Khi
x
thì x < 0, do đó
2
xx

WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s
24

x x
2
2
33
11
11
xx
lim lim
22
13
x x 3
11
1
x
x
x
   


   




  


Vy
2

x
lim x x 3 x




    
,
2
x
1
lim x x 3 x
2
 



   

Qua ví d nƠy mt ln na nhn mnh cho hc sinh chú ý vi gii hn khi
x
cn xét
x
vƠ
x
đi vi hƠm s cha cn thc bc chn.
Ví d 30 :
3
3 2 2
30

x
L lim x 3x x 2x




   

Bài gii : Vì hƠm s cn tìm gii hn cha các cn thc không
cùng bc nên ta thêm bt đ có th nhơn liên hp.

33
3 2 2 3 2 2
30
xx
)
L lim x 3x x 2x lim ( x 3x x ( x 2x x)
 
   

   
   
        


xx
3 2 2
3
12
lim limx 3x x x 2x x G G

 
   

   
   
     

+)
 
3 2 3
2
1
3 2 3 2 2
33
32
3
xx
x 3x
G
x 3x x x 3x x
x
lim x 3x x lim
 


  

   



 
22
3 2 3 2 2
33
33
xx
3 3 3
1
3
33
x 3x x x 3x x
1 1 1
xx
x
lim lim
 
   

   
   



+)
22
2
2
xx

2
x 2x x
x 2x x
G lim x 2x x lim
 


  





2
xx
2 2 2
1
2
2
x 2x x
11
x
x
lim lim
 
  
    



Vy L
30
= G
1
- G
2
= 2
Ví d 31 :
*
31
mn
x1
mn
L lim , (m, n N )
1 x 1 x


  




Bài gii :
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s
25

31
m n m n

x 1 x 1
m n m 1 n 1
L lim lim
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x


     
      
   


     
     



12
mn
x 1 x 1
m 1 n 1
lim lim G G
1 x 1 x 1 x 1 x

   
     
   
   
   

+)

2 m 1
1
mm
x 1 x 1
m 1 m (1 x x x )
G lim lim
1 x 1 x 1 x


    

   

  



2 m 1
m
x1
(1 x) (1 x ) (1 x )
lim
1x


     



m2
m1
x1
(1 x) 1 (1 x) (1 x x )
lim
(1 x)(1 x x )




       


   

m2
m1
x1
1 (1 x) (1 x x ) 1 2 m 1 m 1
lim
1 x x m 2



           
  
  

Tng t ta tính đc
2

n1
G
2



Vy
31 1 2
m 1 n 1 m n
L G G
2 2 2
  
    

Trong bƠi tp nƠy ta s dng thut toán thêm, bt đ tách gii hn cn tìm
thƠnh hai gii hn vƠ tính các gii hn nƠy bng cách bin đi v dng
0
0
. Vic
thêm bt biu thc phi tinh tvƠ ph thuc vƠo đc đim tng bƠi.
Kt lun :
i vi dng vô đnh
 
, ta phi tu vƠo đc đim tng bƠi mƠ vn
dng linh hot các k nng thêm bt, nhơn liên hp, phơn tích thƠnh nhơn t đ
bin đi vƠ kh dng vô đnh. Ta thng chuyn chúng v các dng vô đnh d
tính hn lƠ
0
0
,



.
Bài tp t luyn
1)
x
lim x x x x


  


2)
22
33
x
lim (x 1) (x 1)


  


3)
x
lim x x x x x x

    




4)
3
2
x
lim x 1 x





WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com