Chuyên đề phương pháp tìm chữ số tận cùng

vận dụng một số Phơng pháp
tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên
A. Đặt vấn đề.
Tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên là dạng toán hay. Đa số các tài liệu
về dạng toán này đều sử dụng khái niệm đồng d, một khái niệm trừu tợng và không
có trong chơng trình THCS. Vì thế có không ít học sinh, đặc biệt là học sinh lớp 6
và lớp 7 khó có thể hiểu và tiếp thu đợc. Cho nên trong các kỳ thi học sinh giỏi
hàng năm khi bắt gặp loại toán này các em thờng có cảm giác "ngợp", cũng có khi
đành "bó tay". Trớc thực trạng đó và bản thân tôi là một giáo viên trực tiếp giảng
dạy môn toán, cũng có khá nhiều năm học đợc tham gia bồi dỡng học sinh giỏi tôi
nhận thấy rằng việc tìm một phơng pháp giải loại toán "Tìm chữ số tận cùng" phù
hợp với trình độ nhận thức của học sinh lớp 6, 7 nhằm kích thích hứng thú học tập
của các em giúp các em tự tin hơn với trình độ nhận thức của mình để có chí hớng
vơn lên trong học tập là hết sức cần thiết.
Sau đây tôi xin đợc giới thiệu một số tính chất và phơng pháp giải bài toán"
Tìm chữ số tận cùng" chỉ sử dụng kiến thức THCS.
B- Giải quyết vấn đề:
Ta xem số tự nhiên A= m
k
với m, k

N.
Muốn tìm chữ số tận cùng của A, ta chỉ cần biễu diễn A dới dạng:
A= 10a+ b =
ab

=> b là chữ số tận cùng của A.
I/ Tìm chữ số tận cùng:
Chúng ta bắt đầu đi từ nhận xét sau:
Nhận xét 1:
a, Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6, khi nâng lên luỹ thừa bậc bất kỳ

thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.
b, các số có chữ số tận cùng là 4, 9, khi nâng lên luỹ thừa bậc lẻ thì chữ
số tận cùng vẫn không thay đổi.
c, Các số có chữ số tận cùng là 3,7,9 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n (n

N )
thì chữ số tận cùng là 1.
d, Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n (n

N )
thì chữ số tận cùng là 6.
Nh vậy muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên A = m
k
trớc hết ta xác
định chữ số tận cùng của m.
- Nếu chữ số tận cùng của m là 0; 1; 5 ; 6 thì A cũng có chữ số tận cùng
lần lợt là 0, 1; 5; 6;
- Nếu chữ số tận cùng của m là: 3; 7; 9
Vì m
k
= m
4n+r
= m
4n
. m
r
với r = 0; 1; 2; 3;
Cho nên từ tính chất 1c suy ra chữ số tận cùng của số A chính là chữ số
tận cùng của m
r

.
- Nếu chữ số tận cùng của m là 2 ; 4; 8; cũng nh trờng hợp trên từ tính
chất 1d suy ra chữ số tận cùng của số A chính là chữ số tận cùng của 6 . m
r
.
á p dụng ta giải bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của các số:
a,
9
9
7

b,
14
14
14
c,
7
6
5
4
Lời giải:
a, Trớc hết ta tìm số d của phép chia 9
9
cho 4:
9
9
- 1 = ( 9 - 1) ( 9
8
+ 9
7

+ +9 + 1)

4 .
=> 9
9
= 4k +1 ( k

N ) => 7
9
9
= 7
4k+1
= 7
4k
. 7.
Do 7
4k
có chữ số tận cùng là 1 ( theo tính chất 1c)
Suy ra 7
9
9
có chữ số tận cùng là 7
b, Ta có 14
14
= 4k ( k

N ) => theo tính chất 1d thì 14
14
14
= 14

4k
có chữ số
tận cùng là 6.
c, ta có 5
7
6
-1

4 => 5
7
6

= 4k +1 ( k

N )
=> 4
7
6
5
= 4
4k+1
= 4
4k
. 4 ( theo tính chất 1d) 4
4k
có chữ số tận cùng là 6) nên:
4
7
6
5

có chữ số tận cùng là 4.
Nhận xét 2: + Một số tự nhiên bất kỳ, khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n+1 ( n

N ) thì
chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.
+ Chữ số tận cùng của một tổng các luỹ thừa đợc xác định bằng cách tính tổng
các chữ số tận cùng của từng luỹ thừa trong tổng.
Bài toán 2: Tìm chữ số tận cùng của tổng: S = 2
1
+ 3
5
+4
9
+. +2004
8009

Lời giải: Ta thấy mọi luỹ thừa trong tổng S đều có số mũ khi chia cho 4 thì
d 1 ( Các luỹ thừa đều có dạng n
4( n-2)+1
, với ( n


{ }
2004; 3;2
)
Theo tính chất 2, mọi luỹ thừa trong S và các cơ số tơng ứng đều có chữ số
tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng:
( 2 + 3+ .+9 ) +199 ( 1 +2 ++9 ) +1+ 2 +3 +4
= 200 ( 1+2++9) +9 = 9009
Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9

Bài toán 3: Tìm xem số M = 2
1
+3
5
+ 4
9
+5
13
++ n
4n-7
-
2
1
(n
2
+ n - 2) tận cùng
bằng chữ số nào ?
Lời giải: Trớc hết ta chứng minh rằng với mọi n

N, số n
5

- n chia hết cho 5.
Thật thế: n
5
- n = n (n
2
+1)(n+1)(n-1) = n(n
2
+5-4)(n+1)(n-1) =

= 5n(n+1)(n-1) + n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2).
2
Số hạng thứ hai của tổng ở vế phải là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia
hết cho 5; do đó n
5
-n chia hết cho 5.
Ngoài ra số n
5
-n là số chẵn nên nó chia hết cho 10.
Ta có n
4k+1
- n = n(n
4k
-1) chia hết cho n(n
4
-1) tức là chia hết cho 10, nh thế số
có dạng n
4k+1
có cùng chữ số cuối cùng nh số n. Do đó không thay đổi chữ số cuối,
ta có thể thay số đã cho bằng số:
(2+3+4+n) -
2
1
(n
2
+n -2) =
0
2
2nn
- 1

2
nn
22
=
+

+
Vậy số đã cho tận cùng bằng chữ số 0.
Từ nhận xét 1 ta suy ra nhận xét 3:
a, + Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n+3 sẽ có chữ
số tận cùng là 7.
+ Số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n+3 sẽ có chữ số
tận cùng là 3.
b, + Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng luỹ thừa bậc 4n+3 sẽ có chữ số
tận cùng là 8.
+ Số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n+3 sẽ có chữ số
tận cùng là 2.
c, Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 khi nâng lên luỹ thừa bậc
4n+3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng.
Bài toán 3: Tìm chữ số tận cùng của tổng:
A = 2
3
+3
7
+4
11
+. + 2004
8011
.
Lời giải:

Nhận xét: Mọi luỹ thừa trong A đều có số mũ chia cho 4 thì d 3 (các luỹ thừa
đều có dạng n
4(n-2)+3
; n

{2,32004}.
Theo tính chất 3 thì 2
3
có chữ số tận cùng là 8.
3
7
có chữ số tận cùng là 7
4
11
có chữ số tận cùng là 4.
Nh vậy, tổng A có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng:
(8+7+4+5+6+3+2+9)+199(1+8+7+4+5+6+3+2+9)+1+8+7+4=
= 200(1+8+7+4+5+6+3+2+9)+8+7+4=
= 200 . 45 + 19 = 9019.
Vậy chữ số tận cùng của A là 9.
Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu các tính chất và phơng pháp tìm nhiều hơn một
chữ số tận cùng của một số tự nhiên.
II/ Tìm hai chữ số tận cùng:
Ta sử dụng nhận xét sau:
3
Nếu x

N và x = 100k + y trong đó k; y

N thì hai chữ số tận cùng của x

cũng chính là hai chữ số tận cùng của y.
Hiển nhiên là y

x. Nh vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận cùng của
số tự nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên y
(nhỏ hơn).
Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn
giản hơn.
Từ nhận xét đó ta có phơng pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên
x = a
m
nh sau:
* Tr ờng hợp 1:
Nếu a chẵn thì x = a
m
: 2
m
.
gọi n là số tự nhiên sao cho (a
n
- 1)

25.
Ta biết m= Pn +q ( p ; q

N ) trong đó q là số nhỏ nhất để a
q

cho 4
Ta có x = a

m
= a
q
( a
pn
- 1)

25
Mặt khác do ( 4; 25) =1 nên a
q
( a
pn
- 1)

100
Vậy hai chữ số tận cùng của a
m
cũng chính là hai chữ số tận cùng của a
q
. Tiếp
theo ta tìm hai chữ số tận cùng của a
q
.
áp dụng ta giải bài toán sau:
Bài toán 1: Tìm hai chữ số tận cùng của số 2
2003
.
Lời giải: Do 2
2003
là số chẵn, theo trờng hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ nhất

sao cho 2
n
- 1

25.
Ta có 2
10
= 1024 => 2
10
+ 1 = 1025

25
=> 2
20
- 1 = (2
10
+ 1)(2
10
- 1)

25.
=> 2
3
(2
20
- 1)

25.4 tức 2
3
(2

20
- 1)

100.
Mặt khác:
2
2003
= 2
3
(2
2000
-1)+ 2
3
= 2
3
[(2
20
)
100
- 1] + 2
3.
= 100k + 8 (k

N)
Vậy hai chữ số tận cùng của 2
2003
là 08.
* Tr ờng hợp 2:
Nếu a lẻ, gọi n là số tự nhiên sao cho (a
n

- 1)

100
Ta viết m = u.n + v; (u; v

N, O

v < n)
Ta có: x = a
m
= a
v
(a
u.n
- 1)+a
v
.
Vì a
n
- 1

100 => a
un
- 1

100.
Vậy hai chữ số tận cùng của a
m
cũng chính là hai chữ số tận cùng của a
v

.
Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của a
v
.
á p dụng giải bài toán sau:
Bài toán 2 : Tìm hai chữ số tận cùng của số 7
9
9

4
Lời giải:
Do 7
9
9
là số lẻ, theo trờng hợp 2, ta tìm số tự nhiên bé nhất sao cho 7
n
-1

100.
Ta có: 7
4
= 2401 => 7
4
-1

100
Mặt khác: 9
9
- 1

4 => 9
9
= 4k +1 ( k

N )
Vậy 7
9
9
= 7
4k+1
= 7( 7
4k
- 1) + 7 = 100q +7 ( q

N)
Vậy hai chữ số tận cùng của số 7
9
9
là 07
Qua cả hai trờng hợp trên ta thấy rằng, chìa khoá để giải đợc bài toán là
chúng ta phải tìm đợc số tự nhiên n. Nếu n càng nhỏ thì q và v càng nhỏ nên sẽ dễ
dàng tìm hai chữ số tận cùng của số a
q
và a
v
.
Các thí dụ trên cho thấy rằng nếu a = 2 thì n = 20, nếu a = 7 thì n = 4.
Vậy thì nếu a bất kỳ thì n nhỏ nhất là bao nhiêu ? Ta có tính chất sau:
Nhận xét 4: Nếu a

N và (a, 5) = 1 thì a
20
- 1

25.
Bài toán 3: Tìm hai chữ số tận cùng của tổng sau:
S = 1
2002
+ 2
2002
+ 3
2002
+ . + 2004
2002
.
Lời giải:
Ta dễ thấy, nếu a chẵn thì a
2

4, nếu a lẻ thì a
100
- 1

4, nếu a

5 thì a
2


25.

Mặt khác, từ tính chất (4) suy ra: với a

N và (a; 5) =1 ta có (a
100
- 1)

25
Vậy với a

N ta có: a
2
( a
100
- 1)

100
Do đó S = 1
2002
+ 2
2
(2
2000
- 1)+ + 2004
2
( 2004
2000
- 1) +2
2
+3
2

++2004
2
vì thế hai chữ số tận cùng của tổng S cũng chính là hai chữ số tận cùng của
tổng 1
2
+ 2
2
+ 3
2
++2004
2
áp dụng công thức:
1
2
+2
2
+3
2
+ +n
2
=
6
)12)(1( ++ nnn
=
6
)14008)(2005(2004 +
=> 1
2
+2
2

+ +2004
2
= 2005. 4009. 334 = 2684707030
Vậy 2 số tận cùng của tổng S là 30.
III/ Tìm ba chữ số tận cùng:
Nhận xét: Tơng tự nh trờng hợp tìm hai số tận cùng việc tìm ba chữ số tận
cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số d của phép chia x cho 1000.
Nếu x = 1000k +y ; trong đó k, y

N thì ba chữ số tận cùng của x cũng
chính là ba chữ số tận cùng của y ( y

x)
Do 1000= 8 .125 mà ( 8, 125) = 1 nên ta có phơng pháp tìm ba chữ số tận
cùng của số tự nhiên x= a
m
nh sau:
Trờng hợp 1:
Nếu a chẵn thì: x = a
m


2
m
Gọi n là số tự nhiên sao cho a
n
- 1

125
5

Ta viết m= pn + q ; ( P; q

N)
( Trong đó q là số nhỏ nhất để a
q


8)
Ta có x= a
m
= a
q
(a
pn
-1 )+a
q
Vì a
n

-1

125 => a
pn
-1

125
Mặt khác do (8 , 125) = 1 nên a
q
( a
pn

-1)

1000
Vậy ba chữ số tận cùng của a
m
cũng chính là ba chữ só tận cùng của a
q
. Tiếp
theo ta tìm ba chữ số tận cùng của a
q
.
Trờng hợp 2:
Nếu a lẻ, gọi n là số tự nhiên sao cho ( a
n
-1)

1000
Ta viết m = un + v;( u,v

N : 0

v< n)
Ta có: x= a
m
= a
v
( a
un
-1) +a
v.

Vì a
n
- 1

1000 => a
un
- 1

1000
Vậy ba chữ số tận cùng của a
m
cũng chính là ba chữ số tận cùng của a
v
. Tiếp
theo ta chỉ cần tìm ba chữ số tận cùng của a
v
. Từ tính chất 4 ta suy ra tính chất sau;
Nhận xét 5:
Nếu a

N và ( a, 5) = 1 thì a
100
-1

125.
áp dụng giải bài toán sau:
Bài toán 1: Tìm ba chữ số tận cùng của 123
101

Lời giải: Theo tính chất 5: do ( 123, 5) =1

Suy ra 123
100
- 1

125 (1)
Mặt khác : 123
100
-1 = ( 123
25
-1) ( 123
25
+1) ( 123
50
+1)
=> 123
100
- 1

8 (2)
Vì ( 8, 125) =1 ; cho nên từ (1)và (2) suy ra:
123
100
- 1

1000
=> 123
101
= 123( 123
100
-1) +123 = 1000k +123( k

N)
Vậy 123
101
có ba chữ số tận cùng là 123.
* Trờng hợp nếu số đẫ cho chia hết cho 8 thì ta cũng có thể tìm ba số tận cùng
một cách gián tiếp theo các bớc:
- Tìm số d của phép chia số đó cho 125
- Từ đó suy ra các khả năng của ba chữ số tận cùng
- Cuối cùng kiểm tra điều kiện chia hết cho 8 để chọn giá trị đúng
Bài toán 2: Tìm ba chữ số tận cùng của 2004
200
Lời giải: Do ( 2004,5 ) =1
suy ra 2004
100
chia hết cho 125 d 1. ( tính chất 5)
=> 2004
200
= (2004
100
)
2
. Chia cho 125 d 1. Suy ra 2004
200
chỉ có thể tận cùng
là 126 ; 251 ; 376; 501; 626; 751; 876 ;
Do 2004
200

8 nên 2004
200
chỉ có thể tận cùng là 376.
6
Để nhuần nhuyễn đợc các tính chất và tìm ra đợc phơng pháp giải loại toán "
Tìm chữ só tận cùng của một số tự nhiên" phù hợp với trình độ nhận thức của học
sinh lớp 6- 7 quả thực không đơn giản chút nào. Thế nhng trải qua một quá trình
đầy thử thách khó khăn đến nay khối học sinh do tôi trực tiếp giảng dạy và bồi d-
ỡng đã thực sự có hứng thú say mê tìm tòi các loại toán " Tìm chữ số tận cùng"
này. Bớc đầu các em đã nắm vững và vận dụng tốt các tính chất vào giải bài tập.
Qua kiểm tra đánh giá, chất lợng học toán đặc biệt là kỷ năng giải toán" Tìm chữ
số tận cùng" rất đáng đợc ghi nhận.
Kết quả cụ thể nh sau:
Điểm
Năm học
Dới 5
(%)
5 - 6
( %)
Trên 7
( %)
2003-2004 32 44 24
2004-2005 17 45 38
C: Kết thúc vấn đề:
Trên đây tôi đã trình bày một số nhận xét và phơng pháp "Tìm chữ số tận
cùng" của một số tự nhiên chỉ sự dụng kiến thức trong chơng trình trung học cơ sở.
Nhằm giúp học sinh nắm vững đợc đờng lối và cách thức thực hiện loại toán này,
tạo cho học sinh có niềm tin vào năng lực của bản thân mình gây đợc hứng thú và
niềm say mê học tập cho các em, đồng thời góp phần nâng cao chất lợng dạy học
môn Toán đặc biệt là rèn luyện kỹ năng giải loại toán " Tìm chữ số tận cùng".

Với trình độ có hạn nên không thể tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy bản
thân tôi rất mong đợc sự góp ý, chỉ bảo chân tình của bạn bè đồng nghiệp cùng hội
đồng khoa học ngành để tôi đúc rút thêm kinh nghiệm nhằm thực hiện công tác
giảng dạy đạt hiệu quả cao hơn ./.
Xin chân thành cảm ơn!
7