Ôn thi thpt quốc gia môn toán – phần giải tích

Ôn thi thpt quốc gia môn toán – Phần giải tích
PHẦN GIẢI TÍCH
Chủ đề 1: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
Giả sử hàm số
( )f x
liên tục trên khoảng
( ; )a b
và
0
( ; )x a b∈
.
A- Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị :
Nếu
( )f x
có đạo hàm trên khoảng
( ; )a b
và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại
0
( ; )x a b∈
thì
0
'( ) 0f x =
.
B- Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị :
1. ĐL 1 :
a)
0
0
0
'( ) 0, ( ; )
'( ) 0, ( , )

f x x a x
x
f x x x b
> ∀ ∈

⇒

< ∀ ∈

là điểm CĐ của
( )f x
b)
0
0
0
'( ) 0, ( ; )
'( ) 0, ( , )
f x x a x
x
f x x x b
< ∀ ∈

⇒

> ∀ ∈

là điểm CT của
( )f x
2. ĐL 2 :
a)

0
0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
x
f x
=

⇒

>

là điểm cực tiểu của
( )f x
b)
0
0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
x
f x
=

⇒

<


là điểm cực đại của
( )f x
Ví dụ : Tìm cực trị của các hàm số sau :
a)
4 2
2 3y x x= + −
b)
1
y x
x
= +
c)
3 2
(1 )y x x= −
d)
sin 2 y x x= −
Giải : a) TXĐ : D = R;
3 2
' 4 4 4 ( 1), ' 0 0y x x x x y x= + = + = ⇔ =
(Lập bảng biến thiên)
Từ bảng biến thiên suy ra
0x =
là điểm cực tiểu của hàm số
Bài tập :
1- Tìm cực trị của các hàm số sau :
a)
3 2
2 3 36 10y x x x= + − −
b)

3
( 1) (5 )y x x= + −
c)
2
1
8
x
y
x
+
=
+
d)
2
5
1
x x
y
x
+ −
=
+
e)
cos siny x x= −
2- CMR hàm số
| |y x=
không có đạo hàm tại
0x =
nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.
3- CMR với mọi giá trị của tham số m, hàm số

3 2
2 1y x mx x= − − +
luôn luôn có một điểm cực đại và một
điểm cực tiểu.
4- Xác định m để hàm số
3 2
2
5
3
y x mx m x
 
= − + − +
 ÷
 
có cực trị tại
1x =
. Khi đó hàm số đạt cực tiểu hay cực
đại ? Tính cực trị tương ứng.
5- Xác định m để hàm số
3 2
2 1y x x mx= − + +
đạt cực tiểu tại
1x =
Luyện tập :
1- Tìm cực trị của các hàm số sau :
a)
4 2
2 3y x x= + −
b)
9

3
2
y x
x
= − +
−
c)
3y x x= −
e)
[ ]
2sin cos 2 , 0;y x x x
π
= + ∈
2- Cho hàm số
2
1
x x m
y
x
− +
=
+
. Xác định m sao cho :
a) Hàm số có cực trị. b) Hàm số có hai cực trị và hai cực trị trái dấu nhau.
3- Tìm các số thực m và n sao cho hàm số
( )
1
n
f x x m
x

= + +
+
đạt cực đại tại điểm
2, ( 2) 2 x f= − − = −
.
4- Tìm các giá trị của tham số m để hàm số
3 2 2
3 ( 1) 2y x mx m x
= − + − +
đạt cực tiểu tại điểm
0
2x
=
5- Cho hàm số
2 2
(1)
x mx m
y
x m
− + −
=
−
. Xác định m để hàm số (1) có một cực đại và một cực tiểu. Trong
trường hợp này, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
6- Cho hàm số
3
2
( 2) 1
3
x

y mx m x= + + + +
a) Xác định m để hàm số có cực trị. b) Xác định m để hàm số có hai cực trị nằm về hai phía của trục tung.
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ 1
Ôn thi thpt quốc gia môn toán – Phần giải tích
Chủ đề 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.
1- Định nghĩa : Cho hàm số
( )y f x=
xác định trên tập D
• Số
max ( )
D
M f x=
nếu
( ) ,f x M x D≤ ∀ ∈
và tồn tại
0
x D∈
sao cho
0
( )f x M=
• Số
min ( )
D
m f x=
nếu
( ) ,f x m x D≥ ∀ ∈
và tồn tại
0
x D∈
sao cho

0
( )f x M=
2- Cách tìm GTLN, GTNN trên đoạn
[ ; ]a b
:
( )f x
liên tục trên
[ ; ]a b
• Tìm
[ ; ]
i
x a b∈
mà tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
• Tính
( ), ( ); ( )
i
f a f b f x
• Tìm : GTLN =
{ }
max ( ), ( ), ( )
i
f a f x f b
; GTNN =
{ }
min ( ), ( ), ( )
i
f a f x f b
3- Cách tìm GTLN, GTNN trên khoảng
( ; )a b
:

( )f x
liên tục trên
( ; )a b
x
a
0
x
b
x
a
0
x
b
'y
−
+
'y
+
−
y
GTNN
y
GTLN
Trong đó
0
'( ) 0f x =
hoặc
'( )f x
không xác định tại
0

x
Ví dụ : Tính GTLN và GTNN của hàm số :
a)
3 2
( ) 2 3 12 10f x x x x= − − +
trên đoạn [-3; 3] b)
4 2
( ) 3 2f x x x= − +
trên đoạn [2; 5]
c)
2
( ) 25f x x= −
trên đoạn [-4; 4] d)
( ) 2sin sin 2f x x x= +
trên đoạn
3
0;
2

π
 
 
 
Bài tập :
1- Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau :
a)
3 2
( ) 3 9 7f x x x x= + − −
trên đoạn [-4; 3] b)
2

( )
1
x
f x
x
−
=
−
trên đoạn [-3; -2]
c)
2
( )
4
x
f x
x
=
+
trên khoảng
( ; )−∞ +∞
d)
1
( )
sin
f x
x
=
trên khoảng
(0; )
π

2- Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
3- Tìm hai số có hiệu bằng 13 sao cho tích của chúng là bé nhất.
4- Tính GTLN của các hàm số : a)
2
4
1
y
x
=
+
b)
3 4
4 3y x x= −
5- Tính GTNN của các hàm số : a)
| | y x=
b)
4
( 0) y x x
x
= + >
Luyện tập :
1- Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau :
a)
3
( ) 5 4f x x x= + −
trên đoạn [- 3; 1] b)
1
( ) 2
1
f x x

x
= + +
−
trên khoảng
(1; )+∞
c)
2
( ) 1f x x x= −
d)
3
( ) sin cos 2 sin 2f x x x x= − + +
.
e)
( ) 2
x
f x =
trên đoạn
[ ]
1;2−
f)
ln
( )
x
f x
x
=
trên đoạn [1 ; e
2
]
2- Trong các tam giác vuông mà cạnh huyền có độ dài bằng 10, hãy xác định tam giác có diện tích lớn nhất.

Chủ đề 3 : KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
I- Sơ đồ khảo sát hàm số
= ( )y f x
:
1- Tìm TXĐ
2- Sự biến thiên :
a- Chiều biến thiên
• Tính
'y
• Tìm các nghiệm của phương trình
' 0y =
và các
điểm tại đó
'y
không xác định
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ 2
Ôn thi thpt quốc gia môn toán – Phần giải tích
• Xét dấu
'y
và suy ra chiều biến thiên của hàm
số.
b- Tìm cực trị
c- Tìm các giới hạn vô cực : các giới hạn tại +∞,
−∞ và tại các điểm mà hàm số không xác định. Tìm
các tiệm cận đứng và ngang (nếu có)
d- Lập bảng biến thiên
3- Đồ thị : Vẽ đồ thị hàm số, xác định giao điểm
của thồ thị với trục hoành và trục tung (nếu có)
II- Khảo sát một số hàm đa thức và phân thức :
1- Hàm số

3 2
( 0) = + + + ≠y ax bx cx d a
:
Ví dụ 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
3 2
2 3 2y x x= − −
Giải :
1) TXĐ : D = R
2) Sự biến thiên :
• Chiều biến thiên :
2
' 6 6 6 ( 1)y x x x x= − = −
0
' 0
1
x
y
x
=

= ⇔

=

;
0
' 0
1
x
y

x
<

> ⇔

>

,
' 0 0 1y x< ⇔ < <
Suy ra, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; 0)
và (1; +∞) và nghịch biến trên khoảng (0; 1)
• Cực trị :
Hàm số đạt cực đại tại
0x =
và y
CĐ
= - 2. Hàm số
đạt cực tiểu tại
1x
=
và y
CT
= - 3
• Các giới hạn tại vô cực :
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
• Bảng biến thiên :

x
-∞ 0 1 +∞
y’
+ 0 − 0 +
y
-2 +∞
-∞ -3
3) Đồ thị :
2- Hàm số
4 2
( 0)= + + ≠ y ax bx c a
:
Ví dụ 2 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
4 2
2 2y x x= − +
TXĐ : D = R
3 2
' 4 4 4 ( 1)y x x x x= − = −
0
' 0
1
x
y
x
=

= ⇔

= ±


3- Hàm số
( 0, 0)
ax b
y c ad bc
cx d
+
= ≠ − ≠
+
Ví dụ 3 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
3
1
x
y
x
+
=
−
TXĐ : D = R \ {1}
2
4
' 0, 1
( 1)
y x
x
−
= < ∀ ≠
−
'y
không xác định khi
1x =

Tiệm cận :
1 1
3
lim lim
1
x x
x
y
x
− −
→ →
+
= = −∞
−
1 1
3
lim lim
1
x x
x
y
x
+ +
→ →
+
= = +∞
−
Do đó, đt
1x
=

là tiệm cận đứng
3
lim lim 1
1
x x
x
y
x
→±∞ →∞
+
= =
−
Vậy đt
1y =
là tiệm cận ngang
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ 3
Ôn thi tốt nghiệp 2012 – Phần giải tích
III – Sự tương giao của các đồ thị :
1- Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị :
Giả sử :
1
( )C
là đồ thị của hàm số
( )y f x=
và
2
( )C
là đồ thị của hàm số
( )y g x=
. Số nghiệm của

phương trình
( ) ( )f x g x=
bằng số giao điểm của
1
( )C
và
2
( )C
, tọa độ giao điểm là nghiệm của PT
( ) ( )f x g x=
.
2- Viết phương trình tiếp tuyến :
Giả sử hàm số
( )y f x=
có đồ thị là
( )C
và
0 0
( ; ( )) ( )M x f x C∈
;
( )f x
có đạo hàm tại
0
x x=
. Phương
trình tiếp tuyến của
( )C
tại M là :
0 0 0
'( )( )y y f x x x− = −

3- Sự tiếp xúc của hai đường cong :
Hai đường cong
( )y f x=
và
( )y g x=
tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình :
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
=


=

có nghiệm. Nghiệm của hệ trên là hoành độ của tiếp điểm.
Ví dụ : Cho hàm số :
4
2
9
2
4 4
x
y x= − −
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết PTTT của (C) tại các giao điểm của nó với trục Ox.
c) Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số :
2
2y k x= −
Giải :

a) TXĐ : D = R;
3 2
' 4 ( 4)y x x x x= − = −
,
' 0 0, 2y x x= ⇔ = = ±
b)
4
2 4 2 2 2
3
9
2 0 8 9 0 ( 1)( 9) 0
3
4 4
x
x
x x x x x
x
=

− − = ⇔ − − = ⇔ + − = ⇔

= −

(C) cắt trục Ox tại x = -3 và x = 3
Ta có :
3
' 4 '( 3) 15, '(3) 15y x x y y= − ⇒ − = − =
P.trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = -3 và x = 3 lần lượt là :
15( 3)y x= − +
và

15( 3)y x= −
c)
4
2 2 4
9
2 2 4 9
4 4
x
x k x x k− − = − ⇔ = +
Từ đó ta có :
9
:
4
k = −
(C) và (P) có một điểm chung là
9
0;
4
 
−
 ÷
 

9
:
4
k > −
(C) và (P) có hai giao điểm;
9
:

4
k < −
(C) và (P) không cắt nhau
Bài tập :
1 - Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau :
a)
3 2
9y x x x= + +
b)
3
2 5y x= − +
c)
4 2
1 3
2 2
y x x= + −
d)
2 4
2 3y x x= − − +
e)
3
1
x
y
x
+
=
−
f)
2

2 1
x
y
x
− +
=
+
2- a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số :
3
3 1y x x= − + +
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình
3
3 0x x m− + =
theo tham số m.
3- Cho hàm số
3 1
2
x
y
x
+
=
+
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ
1x
= −
.
4- Cho hàm số
3 2

( 3) 1y x m x m= + + + −
có đồ thị là
( )
m
C
a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là
1x = −
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ 4
Ôn thi tốt nghiệp 2012 – Phần giải tích
b) Xác định m để
( )
m
C
cắt trục hoành tại
2x = −
5- Cho hàm số
2 1
2 1
x
y
x
+
=
−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng
2y x= +
.
BÀI TẬP TỔNG HỢP :

1- Cho hàm số
3 2
1
( ) 2 3 1
3
f x x x x= − + − +
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
2- Cho hàm số
4 2
6y x x= − − +
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
1
6
y x= −
.
3- Cho hàm số
2 1
2
x
y
x
+
=
−
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
5
−
.
4- Cho hàm số y =
4 2
1 5
3
2 2
x x− +
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1; 0).
5- Cho hàm số
3 2
6 9 6y x x x= − + −
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm
(2; 4)−
và có hệ số góc bằng k. Tìm các giá trị của k
để d là tiếp tuyến của (C).
6- Cho hàm số
4 2
2y x x= −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Xác định m để phương trình :
4 2
2 0x x m− − =
có 4 nghiệm thực phân biệt.
7- Cho hàm số

4 2 3 2
( ) 2y f x x mx m m= = − + −
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi
1m =
b) Xác định m để đồ thị
( )
m
C
của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt.
8- Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Tìm m để đường thẳng
2y x m= − +
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có
diện tích bằng
3
( O là gốc tọa độ).
9- Cho hàm số
3 2
( 4) 4y x m x x m= − + − +
a) Tìm các điểm mà đồ thị của hàm số đi qua với mọi giá trị của m

b) CMR với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số luôn luôn có cực trị.
c) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
0m
=
.
d) Xác định k để (C) cắt đường thẳng
y kx=
tại ba điểm phân biệt.
10- Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
− +
=
−
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng
y x m= +
luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B.
Gọi
1 2
,k k
lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng
1 2
k k+
đạt giá trị
lớn nhất.
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ 5

Ôn thi tốt nghiệp 2012 – Phần giải tích
Chủ đề 4 : PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
I- PHƯƠNG TRÌNH MŨ :
1. Phương trình cơ bản :
( 0, 1)
x
a b a a= > ≠
Nếu
0:b
≤
PT vô nghiệm
Nếu
0:b >
PT có nghiệm duy nhất
log
a
x b=
2. Phương trình mũ đơn giản :
a) Phương trình có thể đưa về phương trình cơ bản bằng cách áp dụng các phương pháp : đưa về cùng
cơ số, đặt ẩn phụ, lấy lôgarit hai vế (lôgarit hoá)
b) Phương trình có thể giải bằng phương pháp đồ thị.
c) Phương trình có thể giải bằng cách áp dụng tính chất của hàm số mũ.
II – PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT :
1. Phương trình cơ bản :
log ( 0, 1)
a
x b a a= > ≠
Điều kiện của PT :
0x
>

, PT luôn có nghiệm duy nhất
b
x a=
2. Phương trình mũ đơn giản :
a) Phương trình có thể đưa về phương trình cơ bản bằng cách áp dụng các phương pháp : đưa về cùng
cơ số, đặt ẩn phụ, mũ hoá hai vế.
b) Phương trình có thể giải bằng phương pháp đồ thị.
Các ví dụ :
1. Giải các phương trình mũ sau :
a)
3 2 3 2 0
2
(0,3) 1 (0,3) 3 3 2 0
3
x x
x x
− −
= ⇔ = ⇔ − = ⇔ =

b)
7 1 2 8 1
(0,5) .(0,5) 2 2 2 8 1 9
x x x
x x
+ − −
= ⇔ = ⇔ − = ⇔ =
2. Giải các phương trình mũ sau :
a)
2 1 2 2 2 4
3 3 108 4.3 3.108 3 3 2

x x x x
x
−
+ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
b)
2
8 8 1
64 8 56 0 8 8 56 0 1
8 7 ( )
x
x x x x
x
x
x
VN

= ⇔ =
− − = ⇔ − − = ⇔ ⇔ =

= −

c)
2 2
2 3
3.4 2.6 9 3.2 2.2 3 3 3. 2
3 2
x x
x x x x x x x
   
− = ⇔ − = ⇔ − =

 ÷  ÷
   
. Đặt
2
0
3
x
t
 
= >
 ÷
 
, PT trở thành :
2
2
1 1 0
1
3
3 2 3 2 1 0 0
1
(
3
loaïi)
x
t x
t t t x
t
t

 

= ⇔ = ⇔ =

 ÷
 

− = ⇔ − − = ⇔ ⇔ =

= −


3. Giải các phương trình lôgarit sau :
a)
3 3
log (5 3) log (7 5)x x+ = +
, ĐK :
3
5
x > −
. PT
5 3 7 5 1x x x
⇔ + = + ⇔ = −
(loại)
b)
2 2
log ( 5) log ( 2) 3x x− + + =
, ĐK :
5x
>
.
PT

2 2
2
6
log ( 5)( 2) 3 3 10 8 3 18 0
3 ( loaïi)
x
x x x x x x
x
=

⇔ − + = ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔

= −

c)
2
log( 6 7) log( 3)x x x− + = −
; ĐK :
2
6 7 0
3 2 3 2
3 2
3 0
3
hoaëc
x x
x x
x
x
x



− + >
< − > +

⇔ ⇔ > +
 
− >
>



PT
2 2
5
6 7 3 7 10 0 5
2 ( loaïi)
x
x x x x x x
x
=

⇔ − + = − ⇔ − + = ⇔ ⇔ =

=

4. Giải các phương trình lôgarit sau :
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ 6
Ôn thi tốt nghiệp 2012 – Phần giải tích
a)

2
1 1
log( 5) log5 log
2 5
x x x
x
+ − = +
; ĐK :
21 1
2
x
−
>
PT
2 2 2
2
log( 5) 0 5 1 6 0 2
3 ( loaïi)
x
x x x x x x x
x
=

⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ ⇔ =

= −

b)
4 8
2

log 4log log 13x x x+ + =
; ĐK :
0x >
PT
2 2 2 2 2
1 13
2log 2log log 13 log 13 log 3 8
3 3
x x x x x x⇔ + + = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Bài tập :
1. Giải các phương trình mũ sau : a)
2
5 6
5 1
x x− −
=
b)
2
2 3
1
1
7
7
x x
x
− −
+
 
=
 ÷

 
c)
1
7 2
x x−
=
d)
4 2 1
2 2 5 3.5
x x x x+ + +
+ = +
e)
4.9 12 3.16 0
x x x
+ − =
f)
8 2.4 2 2 0
x x x
− + + − =
g)
2 5 2
3 3 2
x x+ +
= +
h)
2 1
5 126.5 25 0
x x+
+ + =
i)

27 12 2.8
x x x
+ =
(chia cho
3
2
x
)
2. Giải các phương trình lôgarit sau :
a)
4 3
log log 4 2 logx x x+ = +
b)
5 3
3
log ( 2).log 2log ( 2)x x x− = −
c)
log9 log
9 6
x
x + =
d)
1
2 2
log (2 1).log (2 2) 2
x x+
+ + =
e)
2 5
1 2log 5 log ( 2)

x
x
+
+ = +
3. CMR các phương trình sau chỉ có một nghiệm
1x
=
:
a)
4 5 9
x x
+ =
b)
9 2( 2).3 2 5 0
x x
x x+ − + − =
c)
2
2 ( 2) 3 2 0
x
x x x− + − + =
Chủ đề 5 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
I. Bất phương trình mũ :
1) BPT mũ cơ bản :
x
a b>
(hoặc
, , )
x x x
a b a b a b≥ < ≤

với
0, 1a a> ≠
.
Xét BPT
x
a b>
:
• Nếu
0b
≤
, tập nghiệm của BPT là
¡
• Nếu
0b >
và : (BPT
log
a
b
x
a a⇔ >
)
+
1:a >
nghiệm của BPT là :
log
a
x b>
+
0 1:a< <
nghiệm của BPT là :

log
a
x b<
2) BPT mũ đơn giản : Ta biến đổi về BPT mũ cơ bản hoặc BPT đại số.
II. Bất phương trình lôgarit :
1) BPT lôgarit cơ bản :
log
a
x b>
(hoặc
log , log , log )
a a a
x b x b x b≥ < ≤
với
0, 1a a> ≠
.
Xét BPT
log
a
x b>
:
+
1:a >

log
b
a
x b x a> ⇔ >
+
0 1:a< <

log 0
b
a
x b x a> ⇔ < <
2) BPT lôgarit đơn giản : Ta biến đổi về BPT lôgarit cơ bản hoặc BPT đại số.
Các ví dụ :
1. Giải các BPT mũ sau :
a)
2 2
3 3 2 2 2
1
2 4 2 2 3 2 3 2 0
2
x x x x
x
x x x x
x
− + − +
<

< ⇔ < ⇔ − + < ⇔ − + > ⇔

>

b)
2 1 1
3 3 28 28.3 3.28 3 3 1
x x x x
x

+ −
+ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤
c)
2
2 1 0
4 3.2 2 0 2 3.2 2 0
1
2 2
x
x x x x
x
x
x

< <

− + > ⇔ − + > ⇔ ⇔


>
>


2. Giải các BPT lôgarit sau :
a)
8
log (4 2 ) 2 4 2 64 2 60 30x x x x− ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤ − ⇔ ≤ −
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ 7
Ôn thi tốt nghiệp 2012 – Phần giải tích
b)

0,2 5 0,2
2
0,2 0,2 0,2
0,2 0,2
2
2
log log ( 2) log 3
log log ( 2) log 3
log ( 2 ) log 3
x
x
x x
x x
x x
>
>



− − < ⇔ ⇔ ⇔
 
+ − <
⇔ − <




2
2
3

2 3 0
x
x
x x
>

⇔ ⇔ >

− − >

c)
2
3 3
3
0
0
log 5log 6 0 9 27
2 log 3
9 27
x
x
x x x
x
x
>
>


− + ≤ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤
 

≤ ≤
≤ ≤


Bài tập :
1. Giải các BPT mũ sau :
a)
2
2 2
5 5
x x−
   
>
 ÷  ÷
   
b)
4
4
4 3
x
x x
<
−
c)
| 2|
3 9
x−
<
d)
16 4 6 0

x x
− − ≤
2. Giải các BPT lôgarit sau :
a)
1
3
log ( 1) 2x − ≥
b)
2
1
2
log ( 2 8) 4x x+ − ≥ −
c)
2
0,2 0,2
log 5log 6x x− < −
d)
4
4log 33log 4 1
x
x − ≤
3. Cho
+ =a b c
, với
> >0, 0a b
.
a) CMR :
+ <
m m m
a b c

, nếu
>1m
b) CMR :
+ >
m m m
a b c
, nếu
< <0 1m
HD : Sử dụng tính chất của hàm số mũ :
x
y a=
, khi
1a >
hàm số luôn đồng biến,
0 1a< <
hàm số luôn
nghịch biến.
a) Ta có :
   
+ < ⇔ + <
 ÷  ÷
   
1
m m
m m m
a b
a b c
c c
Do :
1, 1

a b
c c
< <
. Suy ra : nếu
1m >
thì
1
1
m
a a a
m
c c c
   
> ⇔ < =
 ÷  ÷
   
và
m
b b
c c
 
<
 ÷
 
Suy ra :
+
   
+ < + = =
 ÷  ÷
   

1
m m
a b a b a b
c c c c c
(đpcm)
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT
Bài 1 : Rút gọn :
1/
1 1 1
2 2 2
1 1
2 2
2 2 1
.
1
2
a a a
A
a
a a a
 
+ − +
 ÷
= −
 ÷
−
 ÷
+
 
2/

3 3 3
2 2 2 2
3 3
3
3 3
3 2
3
2
:
a a a b a b a b ab
B a
a b
a ab
 
− + −
= +
 
−
−
 
 
3/
3 3
6 6
a b
C
a b
−
=
−

4/
4
:
ab ab b
D ab
a b
a ab
−
 
= −
 ÷
−
+
 
Bài 2 : Giải các phương trình sau :
1/
5
4 1024
x
=
2/
1 3
1
8
32
x−
=
3/
2
5 6

3
1
2
x x− +
 
=
 ÷
 
4/
3 7 7 3
9 7
49 3
x x− −
   
=
 ÷  ÷
   

5/
1 1
1
7 .4
28
x x− −
=
6/
2
2 2 20
x x+
+ =

7/
3.9 2.9 5 0
x x−
− + =
8/
1
4 2 24 0
x x+
+ − =
Bài 3 : Tính
1/
5 27
1
log .log 9
25
A =
2/
3
2
log 2
log 3
4 9B = +
3/
9 8
log 2 log 27
27 4C = +
4/
3 8 6
log 6.log 9.log 2D =
Bài 4 : Thực hiện phép biến đổi :

GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ 8
Ôn thi tốt nghiệp 2012 – Phần giải tích
1/ Cho
25 2
log 7 , log 5 a b= =
. Tính
5
49
log
8
theo
,a b
2/ Cho
2 2
log 5 , log 3 a b= =
. Tính
3
log 135
theo
,a b
Bài 5 : Tính đạo hàm các hàm số sau :
1/
2
( 2 2)
x
y x x e= − +
2/
2
( 2)
x

y x e
−
= +
3/
cos
2
x x
y e=
4/
3
1
x
y
x
=
+
5/
2
ln(2 3)y x x= + +
6/
2
(2 1)ln(3 )y x x x= − +
7/
ln(2 1)
2 1
x
y
x
+
=

+
8/
2
ln( 1 )y x x= + +
Bài 6 : Giải các phương trình mũ sau (đưa về cùng cơ số) :
1/
5.3 3.2 7.2 4.3
x x x x
+ = −
2/
1 2 1 1 2
5 5 5 3 3 3
x x x x x x− − + − −
+ + = + +
Bài 7 : Giải các phương trình mũ sau (logarit hóa) :
1/
5 3
3 5
x x
=
2/
5 2
3 2
x x−
=
3/
1 3
( 2) ( 2)
x x
x x

− −
+ = +
4/
( ) ( )
2
5 4 4
2 2
3 3
x x x
x x
− + +
+ = +
Bài 8 : Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ) :
1/
9 5.3 6 0
x x
− + =
2/
2
2.2 15.2 8 0
x x
+ − =
3/
1 2
5 5 124
x x+ −
− =
4/
2 2 2
3 2.3 27 0

x x− −
− − =
5/
( ) ( )
7 4 3 2 3 6
x x
+ + + =
6/
2 2
sin cos
9 9 6
x x
+ =
Bài 9 : Giải các phương trình mũ sau (đưa về tích số) :
1/
25.2 10 5 25
x x x
− + =
2/
12.3 3.15 5.5 20
x x x
+ − =
Bài 10 : Giải các phương trình logarit sau (đưa về cùng cơ số) :
1/
3
log (2 1) 2x − = −
2/
2 2
log ( 2) log ( 2) 2x x+ − − =
3/

2
2 2
5
log log ( 25) 0
5
x
x
x
−
+ − =
+
4/
2
log (9 2 ) 3
x
x− = −
5/
1
3
log (3 26) 2
x
x
+
− = −
6/
4 2 4
log ( 3) log 1 2 log 8x x+ − − = −
Bài 11 : Giải các phương trình logarit sau (đặt ẩn phụ) :
1/
2

2 2
6 4
3
log 2 logx x
+ =
2/
2 1
2 2
log (2 1).log (2 2) 2
x x+
+ + =
3/
3 9
3
4
(2 log ).log 3 1
1 log
x
x
x
− − =
−
Bài 12 : Giải các bất phương trình sau :
1/
3 6
2 1
x−
>
2/
5

log (3 1) 1x − <
3/
2
0,5
log ( 5 6) 1x x− + ≥ −
4/
3
1 2
log 0
x
x
−
≤
5/
1
2 2 3 0
x x− +
+ − <
6/
2
0,5 0,5
log log 2 0x x+ − ≤
7/
2
1 3
3
log ( 6 5) 2log (2 ) 0x x x− + + − ≥
Chủ đề 6 : NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
I- Nguyên hàm :
1. Phương pháp đổi biến số :

[ ( )]. ( ) [ ( )]f u x u x dx F u x C
′
= +
∫
2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần :
udv uv vdu
= −
∫ ∫
II- Tích phân :
( ) ( ) ( ) ( )
= = −
∫
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
1. Phương pháp đổi biến số :
[ ]
b
a
f x dx f t t dt( ) ( ) ( )
β
α
ϕ ϕ
′
=
∫ ∫
VÀ
[ ( )]. ( ) ( )

u(a)
a
b u(b)
f u x u x dx f u du
′
=
∫ ∫
2. Phương pháp tích phân từng phần :
b b
b
a
a a
udv uv vdu
= −
∫ ∫
III. Diện tích hình phẳng :
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ 9
Ôn thi tốt nghiệp 2012 – Phần giải tích
1. Giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành :
b
a
S f x dx( )
=
∫
2. Giới hạn bởi hai đường cong :
b
a
S f x f x dx
1 2
( ) ( )

= −
∫
Nếu trên [
α
;
β
] biểu thức f
1
(x) – f
2
(x) không đổi dấu thì:
f x f x dx f x f x dx
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
β β
α α
 
− = −
 
∫ ∫
IV. Thể tích khối tròn xoay :
b
a
V f x dx
2
( )
π
=
∫
BÀI TẬP :

NGUYÊN HÀM
1- Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
a)
2
( ) 3
2
x
f x x= +
b)
1
3
( )f x x=
c)
2
( ) cosf x x=
d)
2
( ) 10
x
f x =
e)
3 2
2
3 3 1
( )
2 1
x x x
f x
x x
+ + −

=
+ +
2- Tìm :
a)
3
( )x x dx+
∫
b)
2
x x x
dx
x
+
∫
c)
1 cos4
2
x
dx
+
∫
d)
2
4sin xdx
∫
e)
2
2 1
3 2
x

dx
x x
+
+ +
∫
3- Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của :
a)
2
3
9
( )
1
x
f x
x
=
−
b)
1
( )
5 4
f x
x
=
+
c)
2
4
( ) 1f x x x= −
d)

2
1
( )
(1 )
f x
x x
=
+
4- Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của :
a)
( ) sin
2
x
f x x=
b)
2
( ) cosf x x x=
c)
e( )
x
f x x=
d)
3
( ) ln(2 )f x x x=
Bài tập tổng hợp : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
1- a)
2
( ) 3 7 3f x x x= −
b)
( ) cos(3 4)f x x= +

c)
2
1
( )
cos (3 2)
f x
x
=
+
d)
5
( ) sin cos
3 3
x x
f x =
2- a)
5
3
2
( ) 1
18
x
f x x
 
= −
 ÷
 
b)
2
1 1 1

( ) sin cosf x
x x x
=
c)
e
3
( )
x
f x x=
d)
e
3 9
( )
x
f x
−
=
3- a)
2
( ) cos2f x x x=
b)
( ) lnf x x x=
c)
4
( ) sin cosf x x x=
d)
2
( ) cos( )f x x x=
4- Tìm :
a)

2
ln x
dx
x
∫
b)
2
sin2
4 cos
x
dx
x−
∫
c)
2
( sin )cosx x xdx+
∫
d)
2
ln( )x x dx−
∫
e)
2 2
( 0)
dx
a
x a
≠
−
∫

f)
2
cos
cos 1 sin
dx xdx
x x
 
=
 ÷
−
 
∫ ∫
g)
sin
dx
x
∫
h)
2
sin3
x
e xdx
∫
TÍCH PHÂN
1- Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số :
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ 10
Ôn thi tốt nghiệp 2012 – Phần giải tích
1
2 2
0

1x x dx−
∫
(x=sint)
2
5
1
(1 )x x dx−
∫

1
0
( 1)
x
e dx+
∫

1
1
( )
x x
e e dx
−
−
−
∫

1
2
1
2 1

1
x
dx
x x
−
+
+ +
∫
1
0
1 x dx+
∫
1
3 4 3
0
(1 )x x dx+
∫
1
2 2
0
5
( 4)
x
dx
x +
∫
6
0
(1 cos3 )sin 3x xdx
π

−
∫

3
2
0
4
1
x
dx
x +
∫
2- Tích phân từng phần :
1
ln
e
x xdx
∫

( ln , )u x dv xdx= =

2
0
cos 2x xdx
π
∫

ln2
2
0

x
xe dx
−
∫

2
4
cos ln(sin )x x dx
π
π
∫
3
3
2
0
1
x dx
x +
∫
1
cos
x
e xdx
π
∫
2
0
sin cosx x xdx
π
∫

2
0
2 sinx xdx
π
∫
3- Tính các tích phân sau :

dx
x x
1
2
0
5 6− +
∫

x x dx
2 2
2
0
1+
∫

x xdx
4
0
sin2 .cos
π
∫

x

x
e
dx
e
1
0
1+
∫

1
0
x
x
dx
e
∫

2
3
ln
e
e
dx
x x
∫

5
1 2
2 1x x dx−
∫

2
2
0
( cos )sinx x xdx
π
+
∫

4
2
3
2
4 5
x
dx
x x
−
− −
∫
4- Tính :
1
0
(2 1)
x
x e dx+
∫

3
1

2 lnx xdx
∫

0
(1 cos )x x dx
π
+
∫

1
0
(2 )
x
x xe dx+
∫
5- Tính các tích phân:

dx
x x
2
1
2
1
( 1)+
∫

x x dx
2
2
0

( 1)+
∫

2
0
(2 )sinx xdx
π
−
∫

x xdx
2
2
sin3 .cos5
π
π
−
∫

x dx
1
2
0
1−
∫
x
x
e x
dx
xe

1
0
(1 )
1
+
+
∫
a
dx
a x
2
2 2
0
1
−
∫

x xdx
2
0
( 1)sin
π
+
∫
e
x xdx
2
1
ln
∫

ln 2
2
0
1
x
x
e
dx
e +
∫
6. Tính:
3
0
1+
∫
x
dx
x
64
3
1
1+
∫
x
dx
x
2
2 3
0
∫

x
x e dx
0
1 sin 2
π
+
∫
xdx

2
2
0
cos2 sin
π
∫
x xdx
2
2
0
1
2 3− −
∫
dx
x x
2
0
( sin )
π
+
∫

x x dx
2
1
ln
d
(2 ln )
e
x
x
x x+
∫
1
2 2
0
2
1 2
x x
x
x e x e
dx
e
+ +
+
∫

1
3
2 ln
e
x xdx

x
 
−
 ÷
 
∫
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :
a)
4 2
0; 1; 0; 5 3 3x x y y x x= = = = + +
b)
2
1; 3y x x y= + + =
c)
2
4 ; 0y x x y= − =
d)
ln ; 0; y x y x e= = =
e)
3
, 1; 8x y y x= = =
f)
; ; 0; cos
2
x x y y x
π
π
= − = = =
2- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

2
2 2y x x= − +
, tiếp tuyến với nó tại điểm
(3;5)M
và trục Oy
3- Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau :
a)
2
2y x x= −
và
2y x= − +
b)
4 2
4
x
y
x
−
=
−
và hai trục tọa độ.
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ 11
Ôn thi tốt nghiệp 2012 – Phần giải tích
4- Tính hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
3 2
1= + +y x x
và
3
4 2= + −y x x

b)
2
, 0, 3y x x x= = =
và trục
Ox
THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY
1- Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi nó
quay xung quanh trục Ox :
a)
2
0; 2y y x x= = −
b)
sin ; 0; 0;
4
y x y x x
π
= = = =
c)
2
; 0; 0; 1
x
y xe y x x= = = =
2- Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi hình elip (E) :
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
, khi nó quay xung quanh

trục Ox.
3- Tính thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác định bởi :
a)
2 3
2 , y x y x= =
quanh trục Ox b)
2
2 , 0y x x y= − + =
quanh trục Ox
4- Xét hình phẳng giới hạn bởi
y x y x
2
2 1 , 2(1 )= − = −
a) Tính diện tích hình phẳng.
b) Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh trục Ox.
Chủ đề 7 : SỐ PHỨC
1- Tìm các số thực x, y thoả :
a)
iyxiyx )5()1()12()23( −−+=++−
b)
iyix )31(53)21( −+=−−
c)
ixyyxixyyx )12()32()2()2( ++++−=−++
2- Đặt dưới dạng
iyx .+
các số phức sau :
a)
2
)21)(1)(2( iiiz ++−+=
b)

( )
3
31 iz +=
c)
i
i
z
+
−
=
1
1
d)
i
i
z
−
−
=
3
31
e)
ii
z
−
+
+
=
1
1

1
1
f)
2012
3
1 3
i
z
i
 
−
=
 ÷
 ÷
+
 
g)
iaa
ai
z
)1(2
1
2
−+
+
=
h)
23253
2)( iiiz +−+=
3- Tính môđun của các số phức

a)
31
4
i
z
+
=
b)
26
1
i
z
+
=
c)
( )
4
3
31
)1(
i
i
z
+
+
=
4- Tìm số phức z thoả điều kiện
10=z
và phần thực bằng hai lần phần ảo
5- Tìm các số phức sao cho

a)
iz 43
2
+−=
b)
iz 125
2
+−=
c)
izz 43+=+
d)
( ) ( )
0124
2
2
2
=−+++ zzzz
6- Giải các phương trình sau :
a)
iizi 37)54()23( +=++−
b)
ziizi )2()52()31( +=+−+
c)
ii
i
z
25)32(
34
−=−+
−

7- Giải các phương trình sau :
a)
01
2
=++ zz
b)
02
2
=+− zz
c)
016910
24
=++ zz
d)
zz =
2
8- Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thoả mãn điều kiền :
a)
1=z
b)
21 ≤< z
c)
1≤z
d)
3 4 2z i− + =
e)
2 | 3 |z z i− = +
f)
11 <−− iz
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ 12