HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT BÀI TOÁN BẰNG CÁCH KHAI THÁC TÍNH TÍCH CỰC CỦA HỌC SINH

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT BÀI TOÁN BẰNG CÁCH KHAI THÁC
TÍNH TÍCH CỰC CỦA HỌC SINH
MỞ ĐẦU
I. Bối cảnh chọn đề tài
Hoạt động dạy học là hoạt động trung tâm của nhà trường, hoạt động này
chiếm nhiều thời gian nhất và chi phối các hoạt động khác trong nhà trường.
Dạy học là con đường trực tiếp, thuận lợi nhất để giúp học sinh có thể nắm
được lượng kiến thức đồ sộ của loài người. Hoạt động dạy học có nhiều
người tham gia và kết quả dạy học thể hiện sự hợp tác chặt chẽ trong đội ngũ
giáo viên đồng thời cần có sự sáng tạo, hợp tác của học sinh.
Giải một bài toán là hoạt động thường xuyên trong học tập và kiểm tra;
giải tốt một bài toán học sinh rèn được kỹ năng và nắm kiến thức một cách
chắc chắn. Tuy nhiên, đây là một hoạt động mà đa số học sinh gặp nhiều khó
khăn nhất trong học và giải toán, đôi khi không giải được các bài toán mà
trình độ các em có thể giải được.
II. Lý do chọn đề tài
Đối với học sinh trung bình và yếu, việc tìm ra chương trình giải là một
công việc khó khăn do đó tôi luôn tìm cách để các em học sinh luyện tập
cách xây dựng chương trình giải.
Đối với học sinh khá giỏi, tuy giải được bài toán nhưng chưa khai thác
cũng như vận dụng, sáng tạo được các kiến thức đã tiếp thu do đó qua việc
dạy giải toán tôi hướng dẫn học sinh vận dụng các kiến thức và kích thích để
các em sáng tạo các bài toán hoặc dạng toán mới để phát triển.
III. Phạm vi nghiên cứu
Qua nhiều năm giảng dạy và tham gia các lớp bồi dưỡng, tôi suy nghĩ,
tìm tòi, thử nghiệm và rút ra được một cách dạy học sinh giải một bài toán.
Với cách dạy này đa số học sinh giải được các bài toán phù hợp với khả
năng và năng lực của mình; làm tốt các bài thi và kiểm tra cũng như có thể
sáng tạo ra các bài toán mới.
Phạm vi của đề tài chỉ nghiên cứu ở việc dạy, hướng dẫn học sinh giải
toán theo các hoạt động nhằm nâng cao năng lực giải toán cũng như vận

dụng các kiến thức.
Giáo Viên: Đỗ Văn Tuấn - THPT Định Quán Trang 1
NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận.
1.1.Điều 26 và điều 31 của Điều lệ trường phổ thông có nêu:
Các hoạt động giáo dục bao gồm hoạt động trong giờ lên lớp và hoạt
động ngoài giờ lên lớp nhằm giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức,
trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân,
tính năng động và sáng tạo, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân;
chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động.
Rèn luyện đạo đức, học tập văn hoá, bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ
để nâng cao chất lượng, hiệu quả giảng dạy và giáo dục; vận dụng các
phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động và sáng
tạo, rèn luyện phương pháp tự học của học sinh.
1.2. Kế hoạch năm học nêu:
Thực hiện tốt nhiệm vụ trọng tâm hàng đầu “Đổi mới quản lý giáo
dục và thực hiện đồng bộ các giải pháp nâng cao chất lượng giáo dục,
nhằm mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh” phục vụ yêu cầu nâng
cao nguồn nhân lực đáp ứng cho thời kỳ công nghiệp hóa, hiện đại hóa, hội
nhập kinh tế quốc tế .
Nâng cao chất lượng 2 cuộc vận động “Học tập và làm theo tấm
gương đạo đức Hồ Chí Minh”, “Mỗi thầy cô giáo là một tấm gương đạo
đức, tự học và sáng tạo”
Tích cực tổ chức thi đua dạy tốt - học tốt theo tinh thần xây dựng
trường học thân thiện - học sinh tích cực.
Đổi mới phương pháp giảng dạy để nâng cao chất lượng chất lượng
dạy học theo hướng bám sát tài liệu hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức kỹ
năng, nội dung giảm tải, dạt sát đối tượng nhằm tăng tỉ lệ học sinh khá giỏi,
giảm tỉ lệ học sinh yếu kém…
Xây dựng và triển khai thực hiện tốt kế hoạch đổi mới phương pháp

dạy học, kiểm tra và đánh giá học sinh trên tinh thần mỗi giáo viên và cán bộ
quản lý phải đăng ký và thực hiện một đổi mới trong phương pháp dạy học
và quản lý. Giáo viên bộ môn đổi mới phương pháp dạy học theo hướng
giúp học sinh chuyển biến phương pháp học, chủ động lĩnh hội kiến thức,
biết tự học, chia sẽ với bạn phương pháp học có hiệu quả. Giáo viên bộ môn
phải nắm thật chắc danh sách học sinh yếu kém bộ môn mình và có giải
pháp khắc phục.
Giáo Viên: Đỗ Văn Tuấn - THPT Định Quán Trang 2
II. Thực trạng ban đầu.
Trước đây để dạy học sinh giải một bài toán tôi thường cho học sinh
chép đề, sau đó cho học sinh suy nghĩ một vài phút, gọi một học sinh nêu
chương trình giải và lên bảng thực hiện chương trình giải sau đó yêu cầu học
sinh kiểm tra lại.
Với cách dạy đó học sinh gặp khó khăn khi xây dựng chương trình
giải và chưa thấy được mối liên hệ của các kiến thức. Học sinh có thể không
giải được bài toán dù khả năng của mình có thể giải được từ đó các em
không tự tin và không thích thú với bộ môn dẫn đến chưa thực sự tích cực
trong học tập.
III. Biện pháp và các bước tiến hành
3.1. Biện pháp và cách thực hiện.
Để giúp học sinh giải tốt hơn các bài toán bước đầu với mỗi dạng toán tôi
thực hiên dạy học sinh giải một bài toán theo các hoạt động như sau:
 Bước 1: Tìm hiểu kĩ nội dung bài toán
1/ GT là gì? KL là gì? Hình vẽ minh họa như thế nào? Sử dụng kí hiệu nào?
2/ Bài toán thuộc dạng nào? (chứng minh hay tìm tòi?) Có thuật giải sẵn
chưa?
3/ Cần sử dụng những kiến thức cơ bản nào?
 Bước 2: Xây dựng chương trình giải:
Sử dụng phương pháp suy ngược lùi (phân tích đi lên) để xây dựng chương
trình giải: Xuất phát từ câu hỏi của bài toán, từ điều phải chứng minh. 1/ Ta

phải C/m cái gì? Muốn C/m điều đó, trước tiên phải C/m cái gì?…Học
sinh dùng giấy nháp để lập khung cho bài giải.
 Bước 3: Thực hiện chương trình giải: Thực hiện việc giải bài toán
theo chương trình đã vạch ra nhờ bước 2.
 Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải cùng các dạng có liên quan:
Xét xem lời giải có sai lầm không? Có phải biện luận kết quả tìm được
không? Nếu là bài toán thực tế thì kết quả có phù hợp với thực tiễn không?
và liên hệ các bài toán liên quan.
Một điều quan trọng là luyện tập cho HS thói quen đọc lại yêu cầu bài
toán sau khi giải xong bài toán đó, để HS một lần nữa hiểu rõ hơn chương
trình giải đã đề ra, hiểu sâu sắc hơn kiến thức cơ bản đã ngầm cho trong giả
thiết.
Giáo Viên: Đỗ Văn Tuấn - THPT Định Quán Trang 3
3.2.Các bài toán minh họa
 Bài toán minh họa 1.
Cho hàm số
3 2x
y
x 1
−
=
−

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiêp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với
đường thẳng y = x – 3.
Dạy học sinh giải câu 1)
Bước 1. Phân tích đề.
Hoạt động và gợi ý của Giáo viên Hoạt động và trả lời của học sinh
Nêu yêu cầu của bài toán? Khảo sát hàm số

Hàm số đề bài cho có dạng gì? Hàm phân thức bật nhất trên bật
nhất với D =
2 3
1
1 1
−
= −
−
Ta đã có sơ đồ khảo sát hàm số
chưa?
Đã có sơ đồ khảo sát hàm số
Vậy ta cần giải bài toán này như thế
nào?
Giải theo sơ đồ.
Bước 2. Xây dựng chương trình giải.
Yêu cầu học sinh nêu lại sơ đồ khảo sát hàm số.
+ Tìm tập xác định.
+ Tìm đạo hàm y’, tìm nghiệm pt y’ = 0 nếu pt y’ = 0 vô nghiệm nhận xét
y’ > 0 hay y’ < 0 trên tập xác định của nó.
+ Tính các giới hạn khi
x
→ ±∞
và khi x tiến đến tại điểm không xác
định. Tìm các tiệm cận nếu có.
+ Lập bảng biến thiên. Từ đó tìm ra các khoảng đơn điệu và cực trị của
hàm số .
+ Tìm các điểm đặc biệt (điểm cực trị, nghiệm của pt y” = 0, giao điểm
của đồ thị với các trục) (có thể dùng máy tính cầm tay để tìm). Từ đó vẽ đồ
thị. (có thể nhận xét về tính đối xứng của đồ thị và đánh dấu vào các điểm
đặc biệt nêu trên)

Bước 3. Thực hiện chương trình giải.
Giáo Viên: Đỗ Văn Tuấn - THPT Định Quán Trang 4
Yêu cầu học sinh thực hiện chương trình giải. Gọi một học sinh mức độ
trung bình lên bảng trình bày bài giải, các học sinh khác làm vào tập.
Bước 4. Nghiên cứu kiểm tra bài giải.
 Yêu cầu học sinh nghiên cứu và kiểm tra lại lời giải trên bảng, điều
chỉnh các sai sót nếu có; kiểm tra lại xem có phù hợp với dạng đồ thị hàm
nhất biến không?
 Yêu cầu học sinh xem xét lại bài giải có phù hợp với yêu cầu của bài
toán không?
 Giáo viên nêu lại các bước mà học sinh hay mắc phải những sai sót
như: Tính y’ , tìm
x 1 x 1
lim , lim
+ −
→ →
, vẽ hai đường tiệm cận, đồ thị cắt các trục tại
đâu, đồ thị có nhận giao điểm hai tiệm cậm làm tâm đối xứng không?
 Yêu cầu học sinh vẽ lại hai dạng của đồ thị ứng với y’ > 0 và y’ < 0.
 Giáo viên cho học sinh biết cách tìm
x 1 x 1
lim , lim
+ −
→ →
dựa vào dấu y’
Dạy học sinh giải câu 2)
Bước 1. Phân tích đề.
Hoạt động và gợi ý của Giáo viên Hoạt động và trả lời của học sinh
Nêu yêu cầu của bài toán? Viết pttt tại điểm
Phương trình tiếp tuyến có dạng

như thế nào ? và Theo gt ta có
những gì trong pt?
Pttt có dạng y = f’(x
o
)(x – x
o
) + y
o

Tìm tọa độ tiếp điểm M(x
o
; y
o
) và hệ
số góc của tiếp tuyến f’(x
o
)
Để tìm điểm và f’(x
o
) và M(x
o
; y
o
) ta
làm gì?
Lập pt HĐGĐ của đồ thị (C) và
đường thẳng y = x – 3 và giải pt này
tìm x
o
từ đó tìm được y

o
và f’(x
o
)
Nêu cách viết pttt Thay vào pttt biến đổi về dạng
y = ax + b
Bước 2. Xây dựng chương trình giải.
Yêu cầu học sinh nêu lại các bước giải.
+ Gọi M(x
o
; y
o
) là tiếp điểm
+ Lập pt HĐGĐ và giải pt tìm x
o
⇒ y
o
và hệ số góc của tiếp tuyến f’(x
o
)
+ Thay vào pttt biến đổi về dạng y = ax + b
Bước 3. Thực hiện chương trình giải.
Giáo Viên: Đỗ Văn Tuấn - THPT Định Quán Trang 5
Yêu cầu học sinh thực hiện chương trình giải.
Bước 4. Nghiên cứu kiểm tra bài giải.
 Yêu cầu học sinh xem xét lại bài giải có phù hợp với yêu cầu của bài
toán không?
 Giáo viên nêu những sai sót như: giải pt thiếu ĐK x ≠ 1, tính giá trị y
o
,

f’(x
o
) sai.
 Giáo viên đổi giả thiết như: Viết pttt tại giao điểm của đồ thị với trục
hoành, trục tung, biết hệ số của tiếp tuyến
 Yêu cầu học sinh nêu các giải cho từng dạng.
 Giáo viên tổng quát lại cách viết pttt. Và cho thêm câu hỏi cho học sinh
về nhà giải như sau. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến tại đó:
a/ Cắt hai trục tọa độ tại hai điểm cách đều gốc tọa độ.
b/ Cắt hai đường tiệm cận và tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4
c/ Cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm A, B sao cho đường tròn ngoại
tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.
 Bài toán minh họa 2.
Giải các phương trình sau:
1)
( )
2
2 2
log x 3log 2x 1 0+ − =
2)
1 tan x 2 2sin x
4
π
 
+ = +
 ÷
 
Dạy học sinh giải câu1) Giải phương trình:
( )
2

2 2
log x 3log 2x 1 0+ − =
Bước 1. Phân tích đề
Hoạt động và gợi ý của Giáo viên Hoạt động và trả lời của học sinh
Nêu yêu cầu của bài toán? Giải phương trình logarit
Phương trình dạng nào?, có điều kiện
không? Phương pháp giải?
Phương trình logarit, có điều kiện,
phương pháp đặt ẩn phụ.
Ghi ĐK? và đặt t = ? và cách biến
đổi phương trình?
ĐK: x > 0, đặt t = log
2
x, biến đổi
log
2
(2x) = 1 + log
2
x
Bước 2. Yêu cầu học sinh xây dựng chương trình giải
Giáo Viên: Đỗ Văn Tuấn - THPT Định Quán Trang 6
Bước 3. Thực hiện chương trình giải.
Yêu cầu học sinh thực hiện chương trình giải.
Bước 4. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
 Yêu cầu học sinh nghiên cứu và kiểm tra lại lời giải, điều chỉnh các sai
sót nếu có; kiểm tra lại xem có phù hợp không?
 Giáo viên nêu lại các bước hay sai sót như: đặt t = log
2
x sau đó dùng
dấu ⇔, ĐK: t > 0 (nhầm phương trình mũ), giải tìm x không so với ĐK của

x và kết luận.
 Giáo viên đổi giả thiết thay dấu “=” bằng dấu “>”) yêu cầu học sinh
xây dựng chương trình giải.
 Sai lầm của học sinh yếu- trung bình khi giải bất phương trình đa số lấy
nghiệm một chiều không so với ĐK của x để tìm nghiệm giao.
 Giáo viên ghi bài tập về nhà cho học sinh giải để tránh những sai lẩm
trên.
Dạy học sinh giải câu1) Giải phương trình:
1 tan x 2 2sin x
4
π
 
+ = +
 ÷
 
Bước 1. Phân tích đề
Hoạt động và gợi ý của Giáo viên Hoạt động và trả lời của học sinh
Nêu yêu cầu của bài toán? Giải phương trình lượng giác
Phương trình dạng? Có ĐK?, cần sử
dụng công thức lượng giác nào?
Pt lượng giác, có ĐK, tanx = , công
thức cộng.
Trong pt có nhân tử chung? Và biến
đổi pt về dạng nào
Có nhân tử chung sinx + cosx và
biến đổi về dạng tích.
Bước 2. Yêu cầu học sinh xây dựng chương trình giải
Bước 3. Thực hiện chương trình giải.
Yêu cầu học sinh thực hiện chương trình giải.
Bước 4. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.

 Yêu cầu học sinh nghiên cứu và kiểm tra lại lời giải, điều chỉnh các sai
sót nếu có; kiểm tra lại xem có phù hợp không?
 Học sinh Yếu-TB lúng túng khi so với ĐK và giải pt sinx + cosx = 0.
 Giáo viên chỉ ra cosx ≠ 0 thì sinx ≠ ±1 hoc sinh dể so sánh, pt sinx +
cosx = 0 với cosx ≠ 0 thì chia hai vế pt cho cosx.
Giáo Viên: Đỗ Văn Tuấn - THPT Định Quán Trang 7
 Yêu cầu học sinh nêu lại công thức asinx ± bcosx =
( )
2 2
a b sin x+ ± ϕ
với
1
2 2
a
cos
a b
−
 
ϕ =
 ÷
 ÷
+
 
.
 Giáo viên nêu lại cách biến đổi mà học sinh khi gặp khó khăn và định
hướng cách biến đổi dùng công thức lượng giác phù hợp.
 Yêu cầu học sinh phải thuộc công thức lượng giác mới có cơ sở biến
đổi một phương trình lượng giác.
 Bài toán minh họa 3
Tính tích phân

( )
4
0
xsin x x 1 cos x
I dx
xsin x cosx
π
+ +
=
+
∫

Bước 1. Phân tích đề
Hoạt động và gợi ý của Giáo viên Hoạt động và trả lời của học sinh
Nêu yêu cầu của bài toán? Tính tích phân.
Hàm số dưới dưới dấu tích phân
dạng nào?, cho biết mối liên hệ giữa
tử và mẫu?
Hàm số lượng giác có biến x ở ngoài,
tử có thể biến đổi có biểu thức giống
mẫu.
Phân tích tử và tìm mối liên hệ với
mẫu?.
xsinx + (x+1)cosx = xsinx + cosx +
xcosx và (xsinx + cosx)’ = xcosx
Tích phân I biến đổi như thế nào? Tích phân I biến đổi thành hai tích
phân.
Cách tính từng tích phân? Dùng bảng nguyên hàm và dùng pp
đổi biến.
Qua tích phân I, ta cần phân tích hàm

số dưới dấu tích thế nào?
Cần tìm mối liên hệ giữa tử và mẫu
và đạo hàm hàm của chúng.
Bước 2. Yêu cầu học sinh xây dựng chương trình giải.
+ Biến đổi tử và tách tích phân như sau:
4 4
0 0
xcos x
I dx dx A B
xsin x cosx
π π
= + = +
+
∫ ∫
+ Tính A
Giáo Viên: Đỗ Văn Tuấn - THPT Định Quán Trang 8
+ Tính B bằng cách đặt t = xsinx + cosx
+ Tính I = A + B
Bước 3. Thực hiện chương trình giải.
Yêu cầu học sinh thực hiện chương trình giải.
+ A =
4
4
0
0
dx x
4
π
π
π

= =
∫
+
4
0
xcos x
B dx
xsin x cosx
π
=
+
∫
=
2 2
ln
8 2
 
π
+
 ÷
 
+ I = A + B =
2 2
ln
4 8 2
 
π π
+ +
 ÷
 

Bước 4. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
 Yêu cầu học sinh nghiên cứu và kiểm tra lại lời giải, điều chỉnh các sai
sót nếu có; kiểm tra lại xem có phù hợp không?
 Giáo viên nêu lại các bước hay sai sót như: đặt t = xsinx + cosx ⇒ dt =
xcosxdx, đổi cận, và lấy nguyên hàm thành
ln t

 Giáo viên ghi thêm một số bài tập tương tự và yêu cầu học sinh thực
hiện chương trình giải như sau: Tính các tích phân
2
2
x
0
I (e cos x)xdx
π
= −
∫

e
1
ln x
J x ln x
x
 
= +
 ÷
 
∫

 Bài toán minh họa 4

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
3a
SD
2
=
, hình chiếu vuông góc của S
lên mp(ABCD) trùng với trung điểm của AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và
khoảng cách từ A đến mp(SBD).
Dạy học sinh giải ý 1 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
Bước 1. Phân tích đề
Hoạt động và gợi ý của Giáo viên Hoạt động và trả lời của học sinh
Nêu yêu cầu của bài toán? Tính thể tích khối chóp
Giáo Viên: Đỗ Văn Tuấn - THPT Định Quán Trang 9
Hoạt động và gợi ý của Giáo viên Hoạt động và trả lời của học sinh
Hình chóp có yếu tố đặc biệt nào?
vẽ hình ra sao?
Có đáy là hình vuông, hình chiếu
vuông góc của S lên mặt phẳng
(ABCD) trùng với trung điểm AB. Vẽ
ABCD là hình bình hành, Gọi H là
trung điểm AB và vẽ SH song song
với mép phải giấy để dễ quan sát.
Yêu cầu học sinh vẽ hình Vẽ hình chóp theo yêu cầu của bài và
ghi giả thiết vào trong hình để biết đề
cho gì .
Công thức tính thể tích khối chóp là
gì?
1
.
3

®¸y
V S h=
(h là chiều cao)
Để tính được thể tích khối chóp ta
cần tính các yếu tố nào?
Diện tích đáy và chiều cao h
Đáy là hình gì? Có thể tính được
diện tích không?
Đáy là hình vuông; diện tích bằng
cạnh nhân cạnh nên S
đáy
=a
2
Cách xác định đường cao và chiều
cao của hình chóp?
Do H là hình chiếu vuông góc của S
lên mặt phẳng (ABCD) nên SH ⊥
(ABCD) và SH là đường cao, độ dài
SH là chiều cao.
Nêu cách tính SH?
Theo trên ta có SH ⊥ HD ⇒
2 2
SH SD HD= −
.
Và AH ⊥ AD ⇒
2 2 2
HD AH AD
= +
⇒
2 2

SH SD HD= −
Đến đây áp dụng công thức tính
được thể tích cần tìm chưa ?
Đã tính được
Giáo Viên: Đỗ Văn Tuấn - THPT Định Quán Trang 10

a
3a/2
K
H
A
B
C
D
S
E
Bước 2. Yêu cầu học sinh xây dựng chương trình giải
 Nêu công thức tính thể tích.
 Tính diện tích đáy ABCD.
 Gọi H là trung điểm AB Nên SH là đường cao.
 ∆AHD vuông tại A ⇒
2 2 2
HD AH AD
= +
.
 Ta có SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ HD ⇒
2 2 2 2 2
SH SD HD SD AH AD
= − = − −
.

 Tính V.
Bước 3. Thực hiện chương trình giải.
Yêu cầu học sinh thực hiện chương trình giải.
Bước 4. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
 Yêu cầu học sinh nghiên cứu và kiểm tra lại lời giải, điều chỉnh các sai
sót nếu có; kiểm tra lại xem có phù hợp không?
 Yêu cầu học sinh xem xét lại bài giải có phù hợp với yêu cầu của bài
toán không?
 Giáo viên nêu lại các bước hay sai sót như: Vẽ hình sai (khó nhìn), xác
định không được đường cao và các tam giác vuông tại đâu…
 Giáo viên đổi giả thiết SD =
3a
2
bằng “góc giữa mặt bên SAD và đáy là
60
0
, yêu cầu học sinh phân tích đề và nêu chương trình giải.
Dạy học sinh giải ý 2 . Tính khoảng cách từ A đến mp(SBD).
Bước 1. Phân tích đề
Giáo Viên: Đỗ Văn Tuấn - THPT Định Quán Trang 11
Hoạt động và gợi ý của Giáo viên Hoạt động và trả lời của học sinh
Nêu yêu cầu của bài toán? Tính khoảng cách từ điểm đến mặt
phẳng.
Để tính khoảng cách từ điểm A đến
mp(SBD) ta cần làm gì?
Tìm hình chiếu vuông góc của điểm
A trên (SBD).
Điểm A nằm trên đường thẳng
nào? Có điểm nào đặc biệt liên
quan đến điểm A?

Điểm A nằm trên đoạn AB và H là
trung điểm AB.
d(A; (SBD)) = ?d(H; (SBD)) tại
sao?
d(A; (SBD)) = 2d(H; (SBD)) và H là
trung điểm AB.
Nêu cách dựng khoảng cách từ H
đến mặt phẳng (SBD).
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H
lên đường thẳng BD và E là hình
chiếu vuông góc của H lên đường
thẳng SK.
Chứng minh HE ⊥ (SBD)? Ta có BD⊥HK và BD⊥SH ⇒
BD⊥(SHK) ⇒ (SBD)⊥(SHK)
Mà HE⊂(SHK) và HE⊥SK ⇒
HE⊥(SBD)
Nêu cách tính HE? Để tính HE ta phải tính HK dựa vào
hai tam giác vuông SHK và HBK
Có thể tính d(A; (SBD)) theo cách
khác được không?
Tính được và có thể tính hai cách nữa
là dùng thể tích tứ diện SABD hay
chọn hệ tọa độ.
Bước 2. Yêu cầu học sinh xây dựng chương trình giải
 Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên đường thẳng BD và E là hình
chiếu vuông góc của H lên đường thẳng SK.
 C/m HE⊥(SBD) theo phân tích trên ⇒ d(H; (SBD)) = HE. .
 ∆HBK vuông tại K và góc
·
o

HBK 45=
⇒ HK = HBsin45
o
. ∆SHK vuông
tại H và HE⊥SK ⇒
2 2
2 2 2 2 2
1 1 1 SH .HK
HE
HE SH HK SH HK
= + ⇒ =
+

 Vì H là trung điểm AB ⇒ d(A; (SBD)) = 2d(H; (SBD)) = 2HE.
 Kết luận.
Bước 3. Thực hiện chương trình giải.
Yêu cầu học sinh thực hiện chương trình giải.
Giáo Viên: Đỗ Văn Tuấn - THPT Định Quán Trang 12
Bước 4. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
 Yêu cầu học sinh nghiên cứu và kiểm tra lại lời giải, điều chỉnh các sai
sót nếu có; kiểm tra lại xem có phù hợp không?
 Yêu cầu học sinh xem xét lại bài giải có phù hợp với yêu cầu của bài
toán không?
 Giáo viên nêu lại các bước hay sai sót như: Cm HE⊥(SBD) không
đúng, tính HK và HE sử dụng công thức không phù hợp.
 Yêu cầu học sinh xây dựng chương trình giải cho hai cách còn lại để
tìm cách nào ngắn gọn hơn.
 Bài toán minh họa 5
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x + y – 2z – 1 = 0 và đường
thẳng

x 2 y z 3
d :
1 2 3
− +
= =
−
. Tìm tọa độ giao điểm của d và (P). Viết phương trình mặt
phẳng chứa d và vuông góc với (P).

Dạy học sinh giải ý 1 . Tìm tọa độ giao điểm của d và (P).
Bước 1. Phân tích đề.
Hoạt động và gợi ý của Giáo viên Hoạt động và trả lời của học sinh
Nêu yêu cầu của bài toán? Tìm tọa độ giao điểm của d và (P).
Pt đường thẳng cho dạng nào? Pt chính tắc.
Nêu một cách tìm tọa độ giao
điểm?
Biến đổi pt d về dạng tham số
Gọi M = d ∩ (P) ⇒ M∈d và M∈(P)
Lập pt giải tìm tham số t ⇒ M
Còn cách nào để tìm tọa độ giao
điểm?
Còn như: từ pt d tìm hai pt theo ba ẩn
x, y, z kết hợp pt (P) giải hệ ba ẩn x, y,
z.
Cho biết ứng dụng về một điểm
thuộc đường thẳng.
Khi một điểm thuộc một đường thẳng
thì điểm đó được biểu diễn tọa độ của
một tham số.
Bước 2. Xây dựng chương trình giải.

Giáo Viên: Đỗ Văn Tuấn - THPT Định Quán Trang 13
Yêu cầu học sinh xây dựng chương trình giải.
+ M∈d ⇒ M(2+t; -2t; -3+3t).
+ và M∈(P) ⇒ 2(2+t) -2t -2(-3 +3t) – 1 = 0 giải pt tìm t.
+ Thay t tìm được vào tọa độ M.
Bước 3. Thực hiện chương trình giải.
Yêu cầu học sinh thực hiện chương trình giải. Gọi một học sinh lên bảng
trình bày bài giải, các học sinh khác làm vào tập.
Bước 4. Nghiên cứu kiểm tra bài giải.
 Yêu cầu học sinh nghiên cứu và kiểm tra lại lời giải, điều chỉnh các sai
sót nếu có; kiểm tra lại xem có phù hợp với dạng phương trình của mặt
phẳng không?
 Yêu cầu học sinh xem xét lại bài giải có phù hợp với yêu cầu của bài
toán không?
 Giáo viên nêu lại các bước mà học sinh hay mắc phải những sai sót
như: kí hiệu sai, giải pt tìm t sai …
 Giáo viên yêu cầu xây dựng chương trình giải cho cách khác.
Dạy học sinh giải ý 2 . Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P)
Bước 1. Phân tích đề.
Hoạt động và gợi ý của Giáo viên Hoạt động và trả lời của học sinh
Nêu yêu cầu của bài toán? Viết phương trình phẳng.
Theo đề ta có gì?
Từ (P) ⇒ một VTPT
P
n
uur
và (d) ⇒ một
VTCP
d
u

uur
.
Gọi (Q) là mp cần tìm, Cho biết
cách tìm một VTPT
Q
n
uur
?
Gọi
n
r
là một VTPT của mặt phẳng
cần tìm, theo gt ta có
Q P d
n n ,u
 
=
 
uur uur uur

Mp(Q) qua điểm nào?
(Q) qua điểm M, hay điểm A∈d
Cách viết pt mp(Q)? Dùng pt qua một điểm và có VTPT
hay từ VTPT tìm ra phương trình sau
đó tìm hệ số D dùng gt còn lại.
Bước 2. Xây dựng chương trình giải.
Yêu cầu học sinh xây dựng chương trình giải.
Giáo Viên: Đỗ Văn Tuấn - THPT Định Quán Trang 14
+ (P) ⇒ VTPT
P

n
uur
= (2; 1; -2) , (d) ⇒VTCP
d
u
uur
= (1; -2; 3)
+ Tính VTPT
Q P d
n n ,u
 
=
 
uur uur uur

+ (Q) qua điểm A(2; 0; -3) ⇒ pt.
Bước 3. Thực hiện chương trình giải.
Yêu cầu học sinh thực hiện chương trình giải. Gọi một học sinh lên bảng
trình bày bài giải, các học sinh khác làm vào tập.
Bước 4. Nghiên cứu kiểm tra bài giải.
 Yêu cầu học sinh nghiên cứu và kiểm tra lại lời giải, điều chỉnh các sai
sót nếu có; kiểm tra lại xem có phù hợp với dạng phương trình của mặt
phẳng không?
 Yêu cầu học sinh xem xét lại bài giải có phù hợp với yêu cầu của bài
toán không?
 Giáo viên nêu lại các bước mà học sinh hay mắc phải những sai sót
như: lấy VTCP của d làm VTPT, chọn điểm sai, tính tích có có hướng sai
…
 Giáo viên yêu cầu thêm:
+ Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d trên

mặt phẳng (P).
+ Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm B(1; -5; -1) cắt d và song
song với (P).
+ Viết pt mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc với mặt phẳng (P) và bán kính
bằng 1.
 Bài toán minh họa 6
Trong không gian Oxyz cho mặt cầu
( ) ( ) ( )
2 2 2
( ): 1 4 2 16S x y z− + − + + =
và
các điểm
(1;0;0)A
,
(0; ;0)B b
,
(0;0; )C c
(b, c dương)
1). Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
2). Xác định b và c sao cho mặt phẳng (ABC) qua tâm I của mặt cầu (S)
và vuông góc với mặt phẳng
( )
: 2 7 0x yα − + =
Dạy học sinh giải câu 1.
Bước 1. Phân tích đề.
Giáo Viên: Đỗ Văn Tuấn - THPT Định Quán Trang 15
Hoạt động và gợi ý của Giáo viên Hoạt động và trả lời của học sinh
Nêu yêu cầu của bài toán? Tìm tâm và bán kính của mặt cầu
Dạng của phương trình mặt cầu?
2 2 2 2

( ) ( ) ( )
I I I
x x y y z z R− + − + − =
trong
đó R > 0
Từ phương trình vừa nêu hãy chỉ ra
tọa độ của tâm và bán kính của mặt
cầu.
Tâm
( )
; ;
I I I
I x y z
, bán kính là R
Từ phương trình của đề cho ta có
thể biến đổi và tìm tâm, bán kính
của mặt cầu không ?
Tìm được.
Bước 2. Xây dựng chương trình giải.
Yêu cầu học sinh xây dựng chương trình giải.
+ Viết lại phương trình đề bài cho dưới dạng phương trình phương trình
mặt cầu.
+ So sánh tìm x
I
, y
I
, z
I
và R.
+ Kết luận

Bước 3. Thực hiện chương trình giải.
Yêu cầu học sinh thực hiện chương trình giải.
Bước 4. Nghiên cứu kiểm tra bài giải.
 Yêu cầu học sinh nghiên cứu và kiểm tra lại lời giải, điều chỉnh các sai
sót nếu có
 Yêu cầu học sinh xem xét lại bài giải có phù hợp với yêu cầu của bài
toán không?
 Giáo viên nêu lại các bước mà học sinh hay mắc phải những sai sót
như: chuyển phương trình sai, tìm R sai,…
Dạy học sinh giải câu 2.
Bước 1. Phân tích đề.
Hoạt động và gợi ý của Giáo viên Hoạt động và trả lời của học sinh
Nêu yêu cầu của bài toán? Tìm b và c
Ta cần tìm bao nhiêu ẩn 2
Để tìm hai ẩn ta cần làm gì? Thiết lập hệ hai phương trình, hai ẩn.
Giáo Viên: Đỗ Văn Tuấn - THPT Định Quán Trang 16
Hoạt động và gợi ý của Giáo viên Hoạt động và trả lời của học sinh
Giả thiết cho điều gì? Mp(ABC) qua I
Từ giả thiết mp(ABC) qua I ta suy
được gì?
Tọa độ của I thỏa pt của mp(ABC)
Dạng pt của mp(ABC) là gì? Do A, B, C nằm trên các trục Ox, Oy,
Oz nên pt dạng
1
1
x y z
b c
+ + =
Vậy ta tìm được pt chứa các ẩn b, c
chưa?

Thay tọa độ điểm I vào pt mp(ABC)
ta tìm được một phương trình chứa
các ẩn b, c.
Ngoài ra giả thiết bài toán còn cho
gì nữa?
Mp(ABC)
⊥

( )
: 2 7 0x yα − + =
Hai mp vuông góc nhau ta có thể
suy điều gì?
Hai véctơ pháp tuyến tương ứng
vuông góc nhau → tích vô hướng của
chúng bằng 0
Có thể tìm đươc véctơ pháp tuyến
của (ABC) và
( )
α
không?
Tìm được
Vậy ta tìm được gì nữa? Một phương trình thứ hai chứa hai ẩn
b, c.
Đến đây ta đã tìm được những gì?
Đã đủ các yếu tố tìm b, c chưa?
Ta đã tìm được hệ hai phương trình
chứa hai ẩn b, c giải hệ này ta sẽ tìm
được b và c
Bước 2. Xây dựng chương trình giải.
Yêu cầu học sinh xây dựng chương trình giải.

+ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) có chứa b, c.
+ Thay tọa độ điểm I vào pt mp(ABC).
+ Tìm tọa độ véctơ pháp tuyến của mp (ABC) và mp
( )
α
+ Tính tích vô hướng của hai véctơ pháp tuyến của hai mặt phẳng và cho
tích này bằng 0.
+ Giải hệ phương trình tìm b, c (chú ý b > 0, c > 0).
Phương trình mặt phẳng (ABC):
1 0
1
x y z
bcx cy bz bc
b c
+ + = ⇔ + + − =
Giáo Viên: Đỗ Văn Tuấn - THPT Định Quán Trang 17
(ABC) qua I
⇔
( ) ( ) ( )
1 4 2 0 2bc c b bc b c+ + − − = ⇔ =
(ABC) vuông góc với
( )
α
(1) ( 2) (0) 0 2 0bc c b bc c⇔ + − + = ⇔ − =
Suy ra
2 2 2
2 0 0 1
b c b c b
bc c bc b c
= = =

  
⇔ ⇔
  
− = − = =
  
(vì b, c dương)
+ Kết luận
Bước 3. Thực hiện chương trình giải.
Yêu cầu học sinh thực hiện chương trình giải.
Bước 4. Nghiên cứu kiểm tra bài giải.
 Yêu cầu học sinh nghiên cứu và kiểm tra lại lời giải, điều chỉnh các sai
sót nếu có
 Yêu cầu học sinh xem xét lại bài giải có phù hợp với yêu cầu của bài
toán không?
 Giáo viên nêu lại các bước mà học sinh hay gặp khó: Không nhận xét
được A, B, C nằm tương ứng trên các trục → viết pt(ABC) rất nhọc nhằn;
quên điều kiện b, c dương.
3.3. Với mỗi dạng hướng dẫn chi tiết, sâu đó tôi cho các bài tập tương tự yêu
cầu học sinh tự phân tích đề, xây dựng chương trình giải sau đó phát biểu
cho các bạn góp ý hoặc làm việc theo nhóm.
Khi đã quen, trong các bài toán yêu cầu học sinh xây dựng chương trình
giải vào giấy nháp, kiểm tra kỹ sau đó mới tiến hành giải vào tập.
IV. Hiệu quả của SKKN
 Học sinh nắm chắc kiến thức hơn, do các khái niệm, định lý, công thức
… được học sinh sử dụng, phát biểu nhiều lần.
 Kỹ năng vận dụng kiến thức để giải toán của học sinh được nâng lên.
 Bài làm của học sinh ít sai sót.
 Giải được nhiều dạng toán khó.
 Học sinh tích cực và hứng thú khi học Toán.
Giáo Viên: Đỗ Văn Tuấn - THPT Định Quán Trang 18

 Tỉ lệ học sinh khá giỏi tăng lên, tỉ lệ học sinh yếu kém giảm so với năm
học trước (lớp 12A
3
năm trước 11A
3
chỉ có 10% học sinh khá giỏi, 25% học
sinh yếu kém)
STT Lớp Số HS Giỏi Khá TB Yếu Kém
01 12A
1
37 51,35% 37,84% 10,81% 0,00% 0,00%
02 12A
3
34 11,76% 26,47% 44,12% 17,65% 0,00%
Tổng cộng 71 32,39% 32,39% 26,76% 8,45% 0,00%
 Học sinh sáng tạo được các bài toán mới.
 Tỉ lệ học sinh thi TN.THPT năm học 2013 – 2014 môn Toán của ba lớp
12A
6
, 12A
7
, 12A
8
vượt mặt bằng tỉnh.
 Tỉ lệ học sinh đỗ vào các trường Đại học – Cao đẳng tăng.
KẾT LUẬN
1. Những bài học kinh nghiệm
 Khi học sinh giải được các bài toán, các em sẽ tích cực và hứng thú học
tập.
 Cần có những hoạt động để khuyến khích các em học sinh tư duy, tìm

tòi từ đó khắc sâu kiến thức.
 Qua phân tích đề kỹ, học sinh sẽ xây dựng được chương trình giải và
giải tốt bài toán.
 Tránh áp đặt cách giải theo ý của giáo viên hoặc đưa ra quá nhiều
chương trình giải mẫu sẽ làm mất tính sáng tạo của học sinh.
 Phải thực hiện đều tay ở tất cả các giáo viên và ở các khối lớp.
2. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm
+ Nếu cách dạy phù hợp với đối tượng học sinh từ đó các em tham gia
đóng góp tích cực.
Giáo Viên: Đỗ Văn Tuấn - THPT Định Quán Trang 19
+ Học sinh tiến bộ qua từng bài toán từ đó phát huy được tính ham học
của các em.
3. Khả năng ứng dụng, triển khai
 Kinh nghiệm này có thể áp dụng cho tất cả các khối lớp và các môn
học có bài tập khác.
 Kinh nghiệm này có thể dùng để chứng minh các định lý.
 Đối với một số học sinh yếu bước đầu sẽ rất nhọc nhằn từ đó dễ sinh
chán nãn. Phải kiên trì thực hiện từng bước mới thành công.
4. Những kiến nghị, đề xuất
+ Phải thường xuyên thực hiện tuy bước đầu gặp nhiều khó khăn đối
với cả giáo viên và học sinh.
+ Thực hiện đều ở tất cả các cấp học thì việc dạy học giải các bài toán
theo các hoạt động vừa nêu sẽ thực hiện dễ dàng và phát huy hết năng lực
giải toán của học sinh.
Định Quán, ngày 15 tháng 5 năm 2015
Người thực hiện

ĐỖ VĂN TUẤN
V. Danh mục tham khảo.
[1]. Trần Văn Hạo (2008). Sách giáo khoa Hình học 11, NXB Giáo dục.

[2]. Nguyễn Mộng Hy- Khu Quốc Anh- Nguyễn Hà Thanh (2006). Bài tập Hình
học lớp 11, NXB Giáo dục.
[3]. Đoàn Quỳnh- Văn Như Cương- Phạm Khắc Ban - Tạ Mẫn (2006). Sách giáo
khoa hình học Nâng cao 11, NXB Giáo dục.
Giáo Viên: Đỗ Văn Tuấn - THPT Định Quán Trang 20
[4]. Trần Văn Hạo(2007). Sách Giáo Khoa Hình học 12, Nhà xuất bản Giáo dục.
[5]. Các diễn đàn toán học: maths.vn ; diendantoanhoc.net ; mathscop.org ;
bachkim.net.
MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
I. Bối cảnh chọn đề tài 1
II. Lý do chọn đề tài 1
III. Phạm vi nghiên cứu 1
NỘI DUNG 2
I. Cơ sở lý luận 2
II. Thực trạng ban đầu 3
III. Biện pháp và các bước tiến hành 3
3.1. Biện pháp và cách thực hiện 3
3.2.Các bài toán minh họa 4
IV. Hiệu quả của SKKN 18
KẾT LUẬN 19
1. Những bài học kinh nghiệm 19
2. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm 19
3. Khả năng ứng dụng, triển khai 20
4. Những kiến nghị, đề xuất 20
V. Danh mục tham khảo 20
Giáo Viên: Đỗ Văn Tuấn - THPT Định Quán Trang 21