Sáng kiến kinh nghiệm CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT XUÂN HƯNG
  

Mã số :………………
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
CÁC DẠNG BÀI TẬP
LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Người thực hiện : NGUYỄN THỊ THANH
Lĩnh vực nghiên cứu :
Quản lý giáo dục :
Phương pháp dạy học bộ môn :……………
Phương pháp giáo dục :
Lĩnh vực khác :…………………………… .
Có đính kèm :
Mô hình Phần mềm Phim ảnh Hiện vật khác
BM 01-Bia SKKN
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN :
1. Họ và tên : NGUYỄN THỊ THANH
2. Ngày tháng năm sinh : 20 - 04 - 1987
3. Nam, nữ : NỮ
4. Địa chỉ : Tổ 1, khu 3, TT Gia Ray, huyện Xuân Lộc, tỉnh Đồng Nai
5. Điện thoại : 0906992829
6. Fax : - E-mail :
7. Chức vụ : Giáo viên
8. nhiệm vụ được giao: giảng dạy môn Toán lớp 12A6, 11C7. 11C11.
9. Đơn vị công tác : Trường THPT Xuân Hưng
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO :
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học

- Năm nhận bằng : 2010
- Chuyên ngành đào tạo : Toán học
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC :
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : Giảng dạy Toán.
- Số năm có kinh nghiệm : 05 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây : Các dạng bài tập viết
phương trình đường thẳng
2
BM02-LLKHSKKN
Tên sáng kiến kinh nghiệm:
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
- Trong năm học vừa qua tôi được phân công giảng dạy lớp 12. Đa số học sinh
còn chậm, giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để học sinh
nắm được bài tốt hơn.
- Trong chương trình toán THPT, cụ thể là phân môn giải tích 12 học sinh đã
được tiếp cận với các vấn đề liên quan đến khảo sát hàm số. Tuy nhiên, trong
chương trình SGK giải tích 12 hiện hành được trình bày ở chương I, phần bài
tập đưa ra sau bài học rất hạn chế. Mặt khác do số tiết phân phối chương trình
cho phần này quá ít nên trong quá trình giảng dạy giáo viên chưa thể đưa ra
nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kĩ năng giải cho học sinh. Trong khi
đó, trong thực tế các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số rất phong phú và
đa dạng và đặc biệt trong các đề thi Đại học – Cao đẳng – THCN, các em sẽ
gặp một lớp các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số mà chỉ có số ít các em
biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lúng túng chưa gọn gàng, sáng sủa.
- Vì vậy tôi mới tổng hợp một số dạng bài tập để giúp các em học sinh lớp 12 có
thể tự học để nâng cao kiến thức, tự ôn tập để giải tốt các đề thi Đại học – Cao
đẳng –THCN.
II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA
ĐỀ TÀI:

1. Thuận lợi:
Học sinh được truyền thụ các kiến thức cơ bản về các vấn đề liên quan đến
khảo sát hàm số.
Được sự hỗ trợ của các giáo viên trong tổ.
2. Khó khăn:
Học sinh chưa có thói quen tìm tòi phương pháp giải khi gặp các bài toán tổng
quát.
Cần nhiều thời gian để tạo thói quen học tập cho học sinh.
3. Số liệu thống kê:
3
Đang áp dụng để giảng dạy cho học sinh khá, giỏi.
III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI:
1. Cơ sở lí luận:
- Nhiệm vụ trung tâm của trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động
học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực,
bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc
biệt là bộ môn Toán rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người.
Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa
phần các em ngại học môn này.
- Muốn học tốt môn Toán các em phải nắm vững các tri thức khoa học ở môn
Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài
tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy
logic. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu nôm Toán một
cách có hệ thống trong chương trình phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài
tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải.
- Trong SGK giải tích 12 chỉ nêu một số bài tập liên quan đến khảo sát hàm số
đơn giản chưa tạo sự hứng thú, tìm tòi sáng tạo của học sinh. Vì vậy khi gặp
các bài toán phức tạo hơn các em sẽ lúng túng trong việc tìm lời giải.
- Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm ( SKKN ) này với mục
đích giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các

bài toán liên quan đến khảo sát hàm số.
- Trong giới hạn SKKN tôi chỉ hướng dẫn học sinh giải một số dạng bài toán liên
quan đến khảo sát hàm số thường gặp.
2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài:
Đưa ra một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số và đề ra phương pháp
giải.
A. LÝ THUYẾT
1. Dấu của tam thức bậc 2:
a) Dấu của tam thức bậc hai
)0()(
2
≠++= acbxaxxf
:
+ Nếu
0
<∆
thì f(x) luôn cùng dấu với a.
4
+ Nếu
0
=∆
thì f(x) cùng dấu với a với mọi
a
b
x
2
−≠
+ Nếu
0
>∆

thì f(x) cùng dấu với a khi
1
x x
<
hoặc
2
x x
<
trái dấu với a khi
1 2
x x x
< <
, trong đó
21
, xx
là hai nghiệm của f(x),
21
xx
<
.
+



≤∆
>
⇔≥++
0
0
0

2
a
cbxax
+



≤∆
<
⇔≤++
0
0
0
2
a
cbxax
b) So sánh hai nghiệm của tam thức với số
α
:

)0()(
2
≠++=
acbxaxxf
có hai nghiệm
21
, xx
và số
R
∈

α
, ta có:
+
0)(.
21
<⇔<<
αα
faxx
+







<
>
>∆
⇔<<
2
0)(.
0
21
S
faxx
α
αα
+








<
>
>∆
⇔<<
α
αα
2
0)(.
0
21
S
faxx
2. Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số:
Định lí: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K.
+ f(x) đồng biến trên K
Kxxf ∈∀≥
′
⇔ ,0)(
+ f(x) nghịch biến trên K
Kxxf ∈∀≤
′
⇔ ,0)(
( f(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm trên K )
3. Cực trị của hàm số:

5
a) Dấu hiệu 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng
);(
00
hxhxK +−=
và
có đạo hàm trên K hoặc
{ }
0
\ xK
, với h > 0.
+ Nếu
0)(
>
′
xf
trên
);(
00
xhx −
và
0)(
<
′
xf
trên
);(
00
hxx +
thì

0
x
là điểm
cực đại.
+ Nếu
0)(
<
′
xf
trên
);(
00
xhx −
và
0)(
>
′
xf
trên
);(
00
hxx +
thì
0
x
là điểm
cực tiểu.
b) Dấu hiệu 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên
);(
00

hxhx +−
,
với h > 0. Khi đó:
+ Nếu
0)(
0
=
′
xf
và
0)(
0
<
′′
xf
thì
0
x
là điểm cực đại.
+ Nếu
0)(
0
=
′
xf
và
0)(
0
>
′′

xf
thì
0
x
là điểm cực tiểu.
c)
0
x
là điểm cực trị của hàm số y = f(x) thì
0)(
0
=
′
xy
.
4. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)hàm số y = f(x) tại
)();(
00
CyxM
∈
là
000
))(( yxxxfy
+−
′
=
:
• Điều kiện tiếp xúc của hai đường cong
)(:)(
1

xfyC
=
và
)(:)(
2
xgyC
=
)(
1
C
tiếp xúc
2
( )C

( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
=

⇔

′ ′
=

có nghiệm.
5. Khoảng cách từ điểm
);(
00
yxM

đến đường thẳng
)0(0:
22
≠+=++∆
bacbyax
là
22
00
),(
ba
cbyax
Md
+
++
=∆
Khoảng cách giữa hai điểm
);(
AA
yxA
và
);(
BB
yxB
là
22
)()(
ABAB
yyxxAB −+−=
6
B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

Vấn đề 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số
)(xfy
=
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
)();(
00
CyxM ∈
• Tính
)(xf
′
và
)(
0
xf
′
• Phương trình tiếp tuyến tại điểm
);(
00
yxM
là:
000
))(( yxxxfy
+−
′
=
Ví dụ1 : Cho hàm số
3
3
++=
xxy

có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến
của (C) tại điểm M(1; 5).
Giải:
Ta có:
13
2
+=
′
xy
,
4)1(
=
′
y
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(1; 5) là:
5)1(4))((
000
+−=⇔+−
′
=
xyyxxxfy

14 +=⇔ xy
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
0
x
• Tính
)(
00
xfy =

• Tính
)(xf
′
và
)(
0
xf
′
• Phương trình tiếp tuyến là:
000
))(( yxxxfy
+−
′
=
Ví dụ 2: Cho hàm số
1
12
−
+
=
x
x
y
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của
(C) tại điểm có hoành độ bằng 2.
Giải:
Gọi
);(
00
yxM

là tiếp điểm. Ta có
52
00
=⇒= yx

3)2(
)1(
3
2
−=
′
⇒
−
−
=
′
y
x
y
7
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm M(2; 5) là:
1135)2(3 +−=⇔+−−= xyxy
Ví dụ 3: Cho hàm số
422
23
−+−= xxxy
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp
tuyến của (C):
a) Tại giao điểm của (C) với trục hoành.
b) Tại giao điểm của (C) với trục tung.

c) Tại điểm
0
x
là nghiệm của phương trình
0)(
0
=
′′
xy
.
Giải:
a) Gọi
);(
00
yxA
là tiếp điểm. Ta có
OxCA ∩= )(
nên
0
0
=y
và
0
x
là nghiệm
của phương trình
20422
23
=⇔=−+− xxxx
. Vậy A(2; 0)

Ta có
6)2(243
2
=
′
⇒+−=
′
yxxy
Vậy phương trình tiếp tuyến là:
1260)2(6
−=⇔+−=
xyxy
b) Gọi
);(
00
yxB
là tiếp điểm. Vì
OyCB ∩= )(
nên
4)0(0
00
−==⇒= yyx

2)0(
=
′
y
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm B(0; -4) là:
42 −= xy
.

c) Ta có:
46
−=
′′
xy
Gọi
);(
00
yxC
là tiếp điểm.
Ta có:
3
2
)
3
2
(,
27
88
3
2
046
000
=
′
−=⇒=⇔=−
yyxx
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm
)
27

88
;
3
2
(
−
C
là:
27
100
3
2
27
88
)
3
2
(
3
2
−=⇔−−=
xyxy
Dạng 3: viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ
0
y
• Ta có
000
)( xxfy ⇒=
• Tính
)(xf

′
và
)(
0
xf
′
8
• Phương trình tiếp tuyến là:
000
))(( yxxxfy
+−
′
=
Ví dụ 4: Cho hàm số
24
2
4
1
xxy
−=
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến
của (C) tại điểm có tung độ bằng
4
9
Giải:

Ta có
xxy 4
3
−=

′
Gọi
);(
00
yxM
là tiếp điểm
Ta có
3
9
1
098
4
9
2
4
1
4
9
0
2
0
2
0
2
0
4
0
2
0
4

00
±=⇔




=
−=
⇔=−−⇔=−⇔=
x
x
x
xxxxy
+ Với
4
9
,3
00
==
yx
,
15)3(
=
′
y
. Phương trình tiếp tuyến tại điểm
)
4
9
;3(

1
M
là:
4
171
15
4
9
)3(15
−=+−=
xxy
+ Với
4
9
,3
00
=−=
yx
,
15)3( −=−
′
y
. Phương trình tiếp tuyến tại điểm
)
4
9
;3(
2
−
M

là:
4
171
15
4
9
)3(15
−−=++−=
xxy
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu:
4
171
15
−=
xy
và
4
171
15
−−=
xy
.
Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến có hệ số góc k
Cách 1:
• Gọi
);(
00
yxM
là tiếp điểm
• Ta có

00
)( xkxf ⇒=
′
•
)(
000
xfyx
=⇒
• Phương trình tiếp tuyến là:
00
)( yxxky
+−=
Cách 2:
• Tiếp tuyến có phương trình dạng:
bkxy
+=
• Điều kiện tiếp xúc: hệ



=
′
+=
kxf
bkxxf
)(
)(
có nghiệm
b
⇒

9
• Kết luận
Chú ý:
+ Tiếp tuyến song song đường thẳng d:
baxy
+=
thì
axf =
′
)(
0
+
Tiếp tuyến song song đường thẳng d:
baxy
+=
thì
a
xf
1
)(
0
−=
′
Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
13
+
−
=
x

x
y
biết tiếp
tuyến có hệ số góc bằng 7.
Giải:
Gọi
);(
00
yxM
là tiếp điểm. Ta có
2
)2(
7
+
=
′
x
y
Theo đề bài ta có:



−=
−=
⇔=+⇔=
+
⇔=
′
1
3

1)2(7
)2(
7
7)(
0
0
2
0
2
0
0
x
x
x
x
xy
+ Với
103
00
=⇒−= yx
. Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm
)10;3(
1
−
M
là:
31710)3(7 +=++= xxy
+ Với
41
00

−=⇒−=
yx
. Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm
)4;1(
2
−−
M
là:
374)1(7
+=−+=
xxy
Ví dụ 6: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1
3
1
23
−+=
xxy
, biết
tiếp tuyến song song với đường thẳng
5: +−= xyd
Giải:
Gọi
);(
00
yxN
là tiếp điểm. Ta có:
xxy 2
2
+=

′
.
Vì tiếp tuyến song song với
5: +−= xyd
nên
3
1
10121)(
000
2
00
−=⇒−=⇔=++⇔−=
′
yxxxxy
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm
)
3
1
;1(
−−
N
là:
3
4
3
1
)1(
−−=−+−=
xxy
Ví dụ 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

12
24
++= xxy
, biết
tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
018:
=−+
yxd
Giải:
10
Gọi
);(
00
yxP
là tiếp điểm. Ta có:
xxy 44
3
+=
′
.
Vì tiếp tuyến vuông góc với
8
1
8
1
018:
+−=⇔=−+
xyyxd
nên
4108448)(

8
1
1
)(
000
3
000
=⇒=⇔=−+⇔=
′
⇔
−
−=
′
yxxxxyxy
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm
)4;1(P
là:
484)1(8 −=+−= xxy
Dạng 5: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua
)();( CyxA
AA
∉

Cách 1:
• Gọi
);(
00
yxM
là tiếp điểm, gọi
∆

là tiếp tuyến
• Phương trình
∆
dạng:
000
))(( yxxxfy
+−
′
=

•
∆
đi qua
);(
AA
yxA
ta có:
000
))(( yxxxfy
AA
+−
′
=

0
x
⇒

• Tính
)(,

00
xfy
′
• Vậy phương trình tiép tuyến
∆
là:
000
))(( yxxxfy
+−
′
=

Cách 2:
• Gọi
∆
là tiếp tuyến cần tìm.
•
∆
đi qua
);(
AA
yxA
và có hệ số góc k có phương trình dạng:
AA
yxxky
+−=
)(

• Điều kiện tiếp xúc hệ




=
′
+−=
kxf
yxxkxf
AA
)(
)()(
có nghiệm
k
⇒
• Kết luận
Ví dụ 8: Cho hàm số
13
3
+−=
xxy
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến
của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2; -1).
Giải:
Cách 1: Gọi
);(
00
yxM
là tiếp điểm, gọi
∆
là tiếp tuyến
Ta có

33)(,33
2
00
2
−=
′
−=
′
xxyxy
Phương trình
∆
dạng:
)13())(33())((
0
3
00
2
0000
+−+−−=⇔+−
′
=
xxxxxyyxxxfy

11

∆
đi qua A(-2; -1) nên ta có:
)13()2)(33(1
0
3

00
2
0
+−+−−−=−
xxxx
( )
( )



−=
=
⇔=++−⇔=−+⇔
2
1
0441043
0
0
0
2
00
2
0
3
0
x
x
xxxxx
+ Với
0)1(,11

00
=
′
−=⇒=
yyx
. Vậy phương trình tiếp tuyến tại
)1;1(
1
−
M
là:
1
−=
y

+ Với
9)2(,12
00
=−
′
−=⇒−=
yyx
. Vậy phương trình tiếp tuyến tại
)1;2(
2
−−
M
là:
1791)2(9
+=−+=

xxy

Cách 2: Gọi
∆
là tiếp tuyến.
∆
đi qua A(-2; -1) và có hệ số góc k là:
121)2(
−+=−+=
kkxxky
∆
tiếp xúc (C)





=−
−+=+−
⇔
kx
kkxxx
33
1213
2
3
có nghiệm
Thay (2) vào (1) ta được:
( )
( )




−=
=
⇔=++−⇔=−+⇔
2
1
0441043
223
x
x
xxxxx
+ Với
01
=⇒=
kx
. Vậy phương trình tiếp tuyến là:
1
−=
y

+ Với
92
0
=⇒−= kx
. Vậy phương trình tiếp tuyến là:
1791)2(9
+=−+=
xxy

Vấn đề 2: Các dạng bài tập về đồng biến, nghịch biến
Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
)(xfy
=
• Tìm tập xác định
• Tính
)(xf
′
. Tìm các điểm
i
x

); ;2;1( ni
=
tại đó
)(xf
′
bằng 0 hoặc
)(xf
′

không xác định
• Lập bảng biến thiên.
• Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến.
Ví dụ 1: Xét tính đơn diệu của các hàm số sau:
a)
132
3
1

23
−++=
xxxy
b)
1
1
+
−
=
x
x
y
Giải:
a) TXĐ: D = R
12
34
2
++=
′
xxy
,



−=
−=
⇔=++⇔=
′
3
1

0340
2
x
x
xxy
Bảng biến thiên:
x
∞−
-3 -1
∞+

y
′
+ 0 - 0 +
y -1
∞+

∞−

3
7
−
Hàm số đông biến trên (
∞−
; -3), (-1;
∞+
), nghịch biến trên (-3; -1)
b) TXĐ:
{ }
1\

−=
RD
Ta có
1,0
)1(
2
2
−≠∀>
+
=
′
x
x
y
Vậy hàm số đồng biên trên mỗi khoảng (
∞−
; -1), (-1;
∞+
)
Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số
),( mxfy
=
đồng biến, nghịch biến trên
khoảng (a;b)
Boài toán 1: Tìm m để hàm số bậc ba
)0(
23
≠+++=
adcxbxaxy
đồng biến

hoặc nghịch biến trên miền xác định của nó.
• TXĐ: D = R
• Tính
cbxaxy ++=
′
23
2
• + Hàm số đồng biến trên R



≤∆
>
⇔∈∀≥
′
⇔
0
0
,0
a
Rxy
+ Hàm số nghịch biến trên R



≤∆
<
⇔∈∀≤
′
⇔

0
0
,0
a
Rxy
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số
54)1(
3
2
3
−++−= xxm
x
y
đồng biến trên miền xác
định của nó.
Giải: TXĐ: D = R
Ta có
4)1(2
2
++−=
′
xmxy
Hàm số đồng biến trên R
0,0
≤∆⇔∈∀≥
′
⇔
Rxy
(vì a = 1 > 0 )
13

( ) ( )
1341041
22
≤≤−⇔≤+⇔≤−+⇔
mmm
Bài tán 2: Tìm m để hàn số bậc ba
)0(
23
≠+++=
adcxbxaxy
đồng biến hoặc
nghịch biến trên khoảng ( a; b).
• TXĐ
• Tính
y
′
• Lập bảng biến thiên
• Dựa vào bảng biến thiên tìm m.
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số
mmxxy
−+−=
23
đồng biến trên khoảng ( 1; 2 ).
Giải: TXĐ: D = R
Ta có
mxxy 23
2
+−=
′
,





=
=
⇔=+−⇔=
′
3
2
0
0230
2
m
x
x
mxxy
+ TH1: m = 0
Ta có
Rxxy ∈∀≤−=
′
,03
2
suy ra hàm số nghịch biến trên R
Nên m = 0 không thỏa yêu cầu bài toán.
+ TH2:
0
≠
m
Bảng biến thiên

* m > 0
x
∞−
0
3
2m

∞+
y
′
- 0 + 0 -
y
Hàm số đồng biến trên (1; 2)
m
m
≤⇔≤⇔
3
3
2
2
* m < 0
14
x
∞−

3
2m
0
∞+
y

′
- 0 + 0 -
y
Hàm số nghịch biến trên
);0( +∞
Nên hàm số không đồng biến trên (1; 2)
Kết luận:
m
≤
3
thì hàm số đồng biến trên (1; 2)
Ví dụ 4: Tìm m để hàm số
2)512()12(3
23
−+−++−=
xmxmxy
nghịch biến trên
)2;(
−−∞
.
Giải: TXĐ: D = R
Ta có
)512()12(63
2
+−++−=
′
mxmxy
636)512(3)12(9
22
−=+−+=∆

′
mmm
,
6
1
0
±=⇔=∆
′
m
x
∞−

6
1
−

6
1

+∞
∆
′
+ 0 - 0 +
+ TH1:
6
1
6
1
≤≤− m

Ta có
0
≤∆
′
và a = -3 <0 nên
Rxy
∈∀≤
′
,0
suy ra hàm số nghịch biến trên R.
Suy ra hàm số nghịch biến trên
)2;(
−−∞
.
Vậy
6
1
6
1
≤≤− m
thỏa yêu cầu bài toán. (1)
+ TH2:
6
1
6
1
>∨−< mm

Ta có
0

>∆
′
nên phương trình
0
=
′
y
có hai nghiệm phân biệt
21
, xx
(
)
21
xx
<
Bảng biến thiên:
x
∞−

1
x

2
x

∞+
15
y
′
- 0 + 0 -

y
Hàm số nghịch biến trên
)2;(
−−∞
21
2 xx
<≤−⇔










−>
−≥
>∨−<
⇔










+<−
≥+
>∨−<
⇔









<−
≥−
′
−
>∨−<
⇔
2
3
36
29
6
1
6
1
122
02936
6

1
6
1
2
2
0)2(.3
6
1
6
1
m
m
mm
m
m
mm
S
y
mm

6
1
6
1
36
29
>∨−<≤−⇔ mm
(2)
Từ (1) và (2) ta có
36

29
−≥
m
thỏa yêu cầu bài toán.
Bài toán 3: Tìm m để hàm số
dcx
bax
y
+
+
=
đồng biến hoặc nghịch biến trên từng
khoảng xác định của nó.
• TXĐ:






−=
c
d
RD \
• Tính
2
)( dcx
bcad
y
+

−
=
′
• + Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi

mDxbcadDxy
⇒∈∀>−⇔∈∀>
′
,0,0
• + Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi

mDxbcadDxy
⇒∈∀<−⇔∈∀<
′
,0,0
Ví dụ 5: Tìm m để hàm số
2
12
−
−+
=
x
mx
y
đồng biến trên từng khoảng xác định
của nó.
Giải:
16
TXĐ:
{ }

2\RD
=
. Ta có
2
)2(
3
−
−−
=
′
x
m
y
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
3032,0
−<⇔>−−⇔≠∀>
′
⇔
mmxy
.
Ví dụ 6: Tìm m để hàm số
2
1
+
+−
=
x
mmx
y
nghịch biến trên từng khoảng xác

định của nó
Giải:
TXĐ:
{ }
2\
−=
RD
.
+ TH1: m = 0
Ta có
2
1
+
=
x
y
,
2,0
)2(
1
2
−≠∀<
+
−=
′
x
x
y
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng
);2(),2;(

+∞−−−∞
Vậy m = 0 thỏa yêu cầu bài toán. (1)
+ TH2:
0
≠
m
Ta có
2
)2(
13
+
−
=
′
x
m
y
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
3
1
2,013
<⇔−≠∀<−⇔
mxm
(2)
Từ (1) và (2) ta có
3
1
<
m
thỏa yêu cầu.

Vấn đề 3: Các dạng bài tập về cực trị
Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số
Cách 1:
• Tìm tập xác định.
• Tính
)(xf
′
. Tìm các điểm tại đó
)(xf
′
bằng 0 hoặc
)(xf
′
không xác định.
• Lập bảng biến thiên.
• Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Cách 2:
• Tìm tập xác định.
17
• Tính
)(xf
′
. Giải phương trình
0)(
=
′
xf
tìm các nghiệm
i
x

); ;2;1( ni
=
.
• Tính
)(xf
′′
và
)(
i
xf
′′
.
• Dựa vào dấu của
)(
i
xf
′′
suy ra tính chất cực trị của
i
x
.
Chú ý: Cách 1 dùng cho các hàm tính đạo hàm cấp hai phức tạp.
Ví dụ 1: Tìm cực trị của các hàm số
a)
12
23
−+−=
xxxy
b)

1
32
2
+
+−
=
x
xx
y
Giải:
a) Cách 1: TXĐ: D = R
Ta có
143
2
+−=
′
xxy
,




=
=
⇔=+−⇔=
′
3
1
1
01430

2
x
x
xxy
x
∞−

3
1
1
∞+

y
′
+ 0 - 0 +
y

27
23
−

∞+
∞−
-1
Vậy hàm số đạt cực đại tại
3
1
=
x
,

27
23
−=
CĐ
y
Hàm số đạt cực tiểu tại
1
=
x
,
1
−=
CT
y
Cách 2: TXĐ: D = R
Ta có
143
2
+−=
′
xxy
,




=
=
⇔=+−⇔=
′

3
1
1
01430
2
x
x
xxy

46
−=
′′
xy

0241.6)1(
>=−=
′′
y
,
024
3
1
.6)
3
1
(
<−=−=
′′
y
Vậy hàm số đạt cực đại tại

3
1
=
x
,
27
23
−=
CĐ
y
18
Hàm số đạt cực tiểu tại
1
=
x
,
1
−=
CT
y
b) TXĐ:
{ }
1\
−=
RD
Ta có
2
2
)1(
52

+
−+
=
′
x
xx
y
,




+−=
−−=
⇔=−+⇔=
′
61
61
0520
2
x
x
xxy
Bảng biến thiên:
x
∞−

61
−−

1
−

61
+−

∞+
y
′
+ 0 - || - 0 +
y

624 −−

∞+

∞+

∞−

∞−

||

624
+−
Hàm số đạt cực đại tại
61
−−=
x

, hàm số đạt cực tiểu tại
61
+−=
x
Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số
),( mxfy
=
có cực trị
Bài toán 1: Tìm tham số m để hàm số bậc 3
dcxbxaxy
+++=
23
có một cực
đại, một cực tiểu.
• Tìm tập xác định
• Tính
y
′

• Hàm số có một cực đại, một cực tiểu thì phương trình
0
=
′
y
có hai
nghiệm phân biệt
m
a
y
⇒




>∆
≠
⇔
′
0
0
Bài toán 2: Tìm tham số m để hàm số bậc 3
dcxbxaxy
+++=
23
không có cực
trị.
• Tìm tập xác định
• Tính
y
′

• Hàm số không có cực trị thì phương trình
0
=
′
y
vô nghiệm hoặc có
nghiệm kép
m
a
y

⇒



≤∆
≠
⇔
′
0
0
19
Chú ý: Nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm m để hàm số có cực trị mà hệ số a có
chứa tham số thì phải xét hai trường hợp
0
=
a
và
0
≠
a
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số
mxmxxy 2)3(2
3
1
23
−−−+−=
có cực đại và cực tiểu.
Giải: TXĐ: D = R
Ta có:
)3(4

2
−−+−=
′
mxxy
Hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình
0)3(4
2
=−−+− mxx
có hai
nghiệm phân biệt
70)3(40
<⇔>−−⇔>∆
′
⇔
mm
Vậy m < 7
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số
3
1
)2(3)1(
3
1
23
+−+−−=
xmxmmxy
có cực trị.
Giải: TXĐ: D = R
+ TH1: m = 0: thì
3
1

6
2
+−=
xxy
Ta có:
62
−=
′
xy
,
30620
=⇔=−⇔=
′
xxy
Bảng biến thiên:
x
∞−
3
∞+
y
′
- 0 +
y
∞+

∞+


3
26

−
x = 3 là điểm cực tiểu
vậy m = 0 thỏa yêu cầu.
+ TH2:
0
≠
m
Ta có
)2(3)1(2
2
−+−−=
′
mxmmxy
Để hàm số có cực trị thì phương trình
0
=
′
y
có hai nghiệm phân biệt
0)2(3)1(2
2
=−+−−⇔
mxmmx
có hai nghiệm phân biệt



>∆
≠
⇔

0
0m

20






+
>
−
<
⇔
















+
>
−
<
≠
⇔



>++−
≠
⇔
2
62
2
62
2
62
2
62
0
0142
0
2
m
m
m
m
m
mm

m
Vậy
2
62
2
62
,0
+
>∨
−
<=
mmm


Ví dụ 4: Tìm m để hàm số
12
23
−+−=
mxmxxy
không có cực trị.
Giải: TXĐ: D = R
Ta có:
mmxxy
+−=
′
43
2
Hàm số không có cực trị thì phương trình
0
=

′
y
vô nghiệm hoặc có nghiệm
kép
4
3
00340
2
≤≤⇔≤−⇔≤∆
′
⇔
mmm
Vậy
4
3
0
≤≤
m
Ví dụ 5: Tìm m để hàm số
132
23
−+−=
mxxmxy
không có cực trị.
Giải: TXĐ: D = R
+ TH1: m = 0 thì
12
2
−−=
xy

Ta có:
xy 4
−=
′
,
0040
=⇔=−⇔=
′
xxy
Bảng biến thiên:
x
∞−
0
∞+
y
′
+ 0 -
y -1

∞−

∞−
x = -1 là điểm cực đại
vậy m = 0 không thỏa yêu cầu bài toán. (1)
+ TH2:
0
≠
m
21
Ta có:

mxmxy 343
2
+−=
′
Hàm số không có cực trị thì phương trình
0
=
′
y
vô nghiệm hoặc có nghiệm
kép
)2(
3
2
3
2
3
2
3
2
0
094
0
0
0
2







≥
−≤
⇔













≥
−≤
≠
⇔



≤−
≠
⇔




≤∆
≠
⇔
m
m
m
m
m
m
m
m
Từ (1) và (2) ta có
3
2
−≤
m
hoặc
3
2
≥
m
thỏa yêu cầu đề bài.
Bài toán 3: Tìm tham số m để hàm số trùng phương
cbxaxy ++=
24
có ba
cực trị
• Tìm tập xác định
• Tính

)2(224
23
baxxbxaxy +=+=
′
• Cho



=+
=
⇔=+⇔==
′
(*)02
0
0)2(20
2
2
bax
x
baxxy
• Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0
0
2
>−⇔
a
b
Chú ý : + Hàm trùng phương hoặc có một cực trị hoặc có ba cực trị.
+ Nếu hệ số a chứa tham số thì ta phải xét hai trường hợp
0
=

a
hoặc
0
≠
a
.
Ví dụ 6 : Tìm tham số m để hàm số
2)(
2224
−+++=
mxmmxy
có ba cực trị.
Giải: TXĐ: D = R
Ta có:
xmmxy )(24
23
++=
′




=++
=
⇔=++⇔=++⇔=
′
02
0
0)2(20)(240
22

2223
mmx
x
mmxxxmmxy

Hàm số có ba cực trị
02
22
=++⇔
mmx
có hai nghiệm khác 0

010
2
<<−⇔<+⇔ mmm
22
Bài toán 4: Tìm tham số m để hàm số trùng phương
cbxaxy ++=
24
có một
cực trị.
• Tìm tập xác định
• Tính
)2(224
23
baxxbxaxy +=+=
′
• Cho




=+
=
⇔=+⇔==
′
(*)02
0
0)2(20
2
2
bax
x
baxxy
• Hàm số có 1 cực trị khi và chỉ khi (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
bằng 0
0
2
≤−⇔
a
b
Ví dụ 7: Tìm m để hàm số
1)32(
24
−+++−= mxmxy
có một cực trị.
Giải: TXĐ: D = R
Ta có:
)322(2)32(24
23
−−−=++−=

′
mxxxmxy



=−−
=
⇔=−−−⇔=
′
0322
0
0)322(20
2
2
mx
x
mxxy
Hàm số có một cực trị
0322
2
=−−⇔
mx
vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
bằng 0
2
3
0
2
32
−≤⇔≤

+
⇔
m
m
Dạng 3: Tìm m để hàm số
),( mxfy
=
có cực trị thỏa điều kiện cho trước.
Bài toán 1: Tìm m để hàm số
),( mxfy
=
có hai cực trị nằm về hai phía đối
với trục hoành.
• Tìm tập xác định
• Tính
y
′
• Tìm điều kiện của m để hàm số có hai cực trị (*)
• Tìm
CTCĐ
yy ,
theo m
• Hai cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành
0.
<⇔
CTCĐ
yy
(**)
• Kết hợp (*) và (**) kết luận giá trị m.
23

Ví dụ 8: Cho hàm số
mx
mxmx
y
−
+−++
=
1)1(
2
. Chứng minh rằng đồ thị hàm số
luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m. Tìm m để hai cực trị nằm về hai phía đối
với trục hoành.
Giải: TXĐ:
{ }
mRD \=
2
22
)(
12
mx
mmxx
y
−
−−−
=
′
. Xét phương trình
0120
22
=−−−⇔=

′
mmxxy
(1)
Ta có
mm
∀>+=∆
′
,012
2
suy ra pt
0
=
′
y
có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Vậy hàm số có cực đại, cực tiểu với mọi m.
Gọi
)(,
2121
xxxx
<
là hai nghiệm của (1) ta có
12)(
11
++==
mxxyy
CĐ
,
12)(
22

++==
mxxyy
CT
Hàm số có hai cực trị nằm về hai phía với trục hoành
0. <⇔
CTCĐ
yy
0)1())(1(240)12)(12(
2
212121
<+++++⇔<++++⇔
mxxmxxmxmx
(*)
Mà
mxx 2
21
=+
,
)1(.
2
11
+−=
mxx
Suy ra (*)
0360)1()1(4)1(4
222
<−+⇔<+++++−⇔
mmmmmm

323323

+−<<−−⇔
m

Vậy
323323
+−<<−−
m
Bài toán 2: Tìm m để hàm số
),( mxfy
=
có hai cực trị nằm về hai phía đối
với trục tung.
• Tìm tập xác định
• Tính
y
′
• Hàm số có hai cực trị nằm về hai phía đối với trục tung
0
=
′
⇔
y
có hai
nghiệm trái dấu.
Ví dụ 9: Cho hàm số
4)23()12(
223
−+−−++−=
xmmxmxy
có các điểm cực đại

và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục tung.
Giải: TXĐ: D = R
Ta có
)23()12(23
22
+−−++−=
′
mmxmxy
24
Hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục tung
0
=
′
⇔
y
có hai nghiệm trái dấu
210)23(3
2
<<⇔<+−⇔
mmm
Bài toán 3: Tìm m để hàm số
),( mxfy
=
có hai điểm cực trị nằm phía trên
( hoặc phía dưới ) trục hoành.
• Tìm tập xác định
• Tính
y
′
• Tìm điều kiện của m để hàm số có hai cực trị (*)

• Tìm
CTCĐ
yy ,
theo m
• Hàm số có hai điểm cực trị nằm phía trên trục hoành
m
yy
yy
CTCĐ
CTCĐ
⇒



>
>+
⇔
0.
0
(**)
( Hàm số có hai điểm cực trị nằm phía dưới trục hoành
0
. 0
CĐ CT
CĐ CT
y y
y y
+ <

⇔


>

)
• Từ (*) và (**) kết luận giá trị m.
Ví dụ 10: Tìm m để hàm số
443
323
++−= mmxxy
có hai cực trị nằm phía trên
trục hoành.
Giải:
TXĐ: D = R
Ta có
mxxy 63
2
−=
′
,



=
=
⇔=−⇔=
′
mx
x
mxxy
2

0
0630
2
Hàm số có hai cực trị
02
≠≠⇔⇔
mm
(*)
Tọa độ hai điểm cực trị là
)4;2(),44;0(
3
mBmA
+
Hàm số có hai điểm cực trị nằm trên trục hoành

3 3
3
3 3
4 4 4 0 2 0
3
1
1
(4 4).4 0 1 0
m m
m
m
m
m m
 


+ + > + >
> −
  
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ > −
  
> −
+ > + >

 

 
(**)
Từ (*) và (**) ta có
01
≠<−
m
thỏa yêu cầu bài toán.
Bài toán 4: Tìm m để hàm số
dcxbxaxy
+++=
23
có hai điểm cực trị có
hoành độ dương ( hoặc âm).
25