Sáng kiến kinh nghiệm DẠY HỌC THEO CHỦ ĐỀ VÀ SỰ VẬN DỤNG NÓ VÀO GIẢNG DẠY PHẦN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh GVTH: Nguyễn Thị Hồng Vân

Sáng kiến kinh nghiệm Trang 1

DẠY HỌC THEO CHỦ ĐỀ VÀ SỰ VẬN DỤNG NÓ VÀO GIẢNG DẠY PHẦN
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
- Mục tiêu dạy học của bộ môn toán không chỉ đòi hỏi người giáo viên cần phải
truyền đạt những tri thức mà còn phải giúp cho các em rèn luyện các kĩ năng cơ bản,
phát triển tư duy.
- Nhằm nâng cao năng lực giảng dạy, tổ chức các hoạt động giáo dục cho giáo
viên, đáp ứng yêu cầu đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, Bộ Giáo dục và
Đào tạo chủ trương đổi mới các hoạt động sinh hoạt chuyên môn trong nhà trường.
- Dạy học theo chủ đề ở cấp trung học phổ thông là sự cố gắng tăng cường sự tích
hợp kiến thức, làm cho kiến thức (các khái niệm) có mối liên hệ mạng lưới nhiều
chiều, là sự tích hợp vào nội dung học những ứng dụng kỹ thuật và đời sống thông
dụng làm cho nội dung học có ý nghĩa hơn, đó là “ thổi hơi thở ” của cuộc sống ngày
hôm nay vào những kiến thức cổ điển, nâng cao chất lượng “ cuộc sống thật”.
- Qua nhiều năm dạy học, qua nhiều đợt kiểm tra học kỳ I của khối 11, bản thân
tôi nhận thấy bài “ Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác ” là rất quan trọng,
nó chiếm một phần ba số điểm trong bài kiểm tra học kỳ I và là một câu không thể
thiếu trong các đề thi đại học. Thể loại toán về “ phương trình lượng giác” rộng lớn và
phong phú cả về thể loại, nội dung cũng như mức độ yêu cầu của từng loại. Loại bài
tập này vận dụng được cho nhiều đối tượng học sinh trong khối. Đặc biệt, có một vài
dạng được đánh giá là loại bài nhằm phát triển tư duy của học sinh. Nó thường được
đóng vai trò làm câu khống chế điểm 9, điểm 10 trong đề thi học kỳ hằng năm.
- Qua quá trình giảng dạy, từ dạy học theo phương pháp truyền thống là dạy
tuần tự từng bài theo sách giáo khoa đến cách tiếp cận dạy học theo chủ đề tôi nhận
thấy rằng các tiết học có hiệu quả rõ rệt.
- Khi tìm hiểu cấu trúc, nội dung kiến thức, thực trạng dạy và học phần kiến

thức về phương trình lượng giác ở khối 11 THPT hiện nay, chúng tôi nhận thấy khi
dạy và học phần kiến thức này thì cả giáo viên và học sinh gặp nhiều khó khăn về
logic hình thành, phương pháp tiếp cận từng đơn vị kiến thức, dẫn đến chất lượng dạy
học phần này chưa cao.
- Với mục tiêu giáo dục đặt ra cũng như định hướng đổi mới phương pháp giảng
dạy, cùng với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy và có những hiểu biết sâu
sắc, truyền thụ cho học sinh về mảng kiến thức liên quan đến “ Hàm số lượng giác và
phương trình lượng giác ” có hiệu quả nhất, chúng tôi chọn chuyên đề nghiên cứu là
“ Dạy học theo chủ đề và sự vận dụng nó vào giảng dạy phần phương trình lượng
giác”.



Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh GVTH: Nguyễn Thị Hồng Vân

Sáng kiến kinh nghiệm Trang 2

II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
- Nghiên cứu cơ sở lý luận của cách tiếp cận dạy học theo chủ đề. Mục tiêu
giáo dục theo định hướng phát triển năng lực học sinh thì việc dạy học sẽ chú ý nhiều
đến việc tạo cơ hội cho học sinh tham gia vào trong các hoạt động học tập, quá trình
học tập sẽ được tiến hành bằng các hoạt động và thông qua các hoạt động, các vấn đề,
các bài tập, các tình huống cụ thể đưa ra yêu cầu học sinh giải quyết. Qua đó các em
có cơ hội tìm tòi những vấn đề mình yêu thích, khi đó kiến thức được phát huy tối đa,
khắc sâu .
- Mô hình dạy học theo hướng đổi mới và tuỳ thuộc vào từng điều kiện, hoàn
cảng của từng trường, từng lớp mà khuyến khích sự sáng tạo của giáo viên, giáo viên
tổ chức dạy học sao cho mục tiêu đạt được có hiệu quả và chất lượng nhất.
- Các kiến thức về phương trình lượng giác được tổng hợp từ sách giáo khoa
hiện hành và sách bài tập. Kĩ năng giải các bài toán đòi hỏi tư duy, sáng tạo. Mục tiêu

là giúp cho các em học sinh thấy được những kiến thức nào là trọng tâm, nắm vững
được những dạng toán cơ bản và phương pháp giải quyết các dạng toán ấy. Ngoài ra,
các em còn được tiếp cận với những kiến thức có tính nâng cao để chuẩn bị cho các kì
thi sau này.
- Chuyên đề được trình bày thành bảy nội dung, mỗi nội dung có các yêu cầu
thực hiện trên lớp và các yêu cầu cần thực hiện ở nhà. Và sau mỗi vấn đề có các bài
tập là hệ thống các bài toán có cùng cách giải, cùng mạch tư duy. Bên cạnh đó còn có
các bài tập có tính mở rộng, nâng cao để giúp các em khá, giỏi có điều kiện rèn luyện,
mở rộng kiến thức để nâng cao năng lực giải toán của mình.
- Các kết quả trong chuyên đề chủ yếu là đã có sẵn trong sách giáo khoa, trong
các tài liệu tham khảo, bản thân đã tìm hiểu, trình bày lại theo bố cục mới.
- Các giải pháp mà chúng tôi đưa ra đã có tác động khắc phục được một số hạn
chế ở đơn vị mình, là các giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có mà chúng tôi đã
thực hiện và có hiệu quả.

III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
Chủ đề: “ Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác ” được giảng dạy với
thời lượng là 20 tiết, chia thành bảy vấn đề. Cụ thể:

Các nội dung của
chủ đề
Số
tiết
Các vấn đề thực hiện
trên lớp
Các vấn đề thực hiện ở
nhà

2
Tiết 1: Tìm tập xác định,
tập giá trị; tính chất chẵn,
lẻ; tính tuần hoàn; chu kì;
khoảng đồng biến, nghịch
biến của các hàm số
sin , cos .y x y x
.
Vẽ được đồ thị của các
hàm số
cos , coty x y x

Làm bài tập

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh GVTH: Nguyễn Thị Hồng Vân

Sáng kiến kinh nghiệm Trang 3



Vấn đề 1: Hàm số
lượng giác
Vẽ được đồ thị của các
hàm số
sin , tany x y x

Giao việc về nhà cho học

sinh
Tiết 2: Kiểm tra việc làm
ở nhà của học sinh cho các
đơn vị kiến thức đã được
giao. Làm các bài tập
minh hoạ






Vấn đề 2: Phương
trình lượng giác cơ
bản
4
Tiết 1: Làm phiếu học tập
số 1
Tiết 2: Hình thành
phương pháp giải phương
trình
sin ;tanx a x a

Giao việc về nhà cho học
sinh
Tiết 3: Kiểm tra việc làm
ở nhà của học sinh cho các
đơn vị kiến thức đã được
giao. Làm bài tập
Tiết 4: Tổng kết phương

pháp giải bốn dạng
phương trình lượng giác
cơ bản.

Liệt kê các kiến thức cần
nhớ trong bài “giá trị
lượng giác của một cung”
trong chương VI, sách Đại
số 10



Phương pháp giải phương
trình
cos ;cotx a x a




Làm bài tập đề nghị





Vấn đề 3: Phương
trình bậc nhất và
phương trình bậc hai
đối với một hàm
lượng giác

2
Tiết 1: Hình thành
phương pháp giải phương
trình bậc hai đối với một
hàm lượng giác.
Hướng dẫn học sinh cách
nhận biết đưa một phương
trình về dạng phương trình
bậc hai đối với một hàm
lượng giác
Tiết 2: Hướng dẫn giải các
ví dụ minh hoạ. Giao việc
về nhà cho học sinh
Tìm hiểu phương trình
bậc nhất đối với một hàm
lượng giác và cách giải
Xem lại các công thức
lượng giác đã học
Làm bài tập đề nghị




2
Tiết 1: Từ hệ thức đã được
tìm hiểu ở nhà, giáo viên
hình thành phương pháp
Chứng minh hệ thức
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh GVTH: Nguyễn Thị Hồng Vân

Sáng kiến kinh nghiệm Trang 4



Vấn đề 4: Phương
trình bậc nhất đối với
sin x
và
cos x

giải phương trình
sin cosa x b x c

Tiết 2: Dạng toán. Ví dụ
minh họa
22
sin cos
sin( ),
a x b x
a b x


  

với
22
cos
a
ab




và
22
sin
b
ab




Làm bài tập đề nghị

Vấn đề 5: Phương
trình thuần nhất bậc
hai đối với
sin x
và
cos x

2
Tiết 1: Hình thành phương
pháp giải
Tiết 2: Dạng toán. Ví dụ
minh hoạ
h
Làm bài tập đề nghị

Vấn đề 6: Một vài
phương trình lượng
giác khác

4
Tiết 1+2:Biết cách giải các
phương trình lượng giác
mà sau một vài phép biến
đổi có thể đưa về phương
trình đã biết cách giải.
Giao việc về nhà cho học
sinh
Tiết 3+4: Kiểm tra việc
làm ở nhà của học sinh
cho các đơn vị kiến thức
đã được giao. Làm bài tập


Giải phương trình bậc
cao theo một hoặc nhiều
hàm số lượng giác
Phương trình dạng
(sin cos )
sin cos 0
a x x
b x x c




hoặc phương trình đối
xứng đối với
tan ,cotxx

Phương trình dạng
2 2 2
0abc  

( dành cho học sinh khá
giỏi )


Vấn đề 7: Ôn tập
chương I
4
Tiết 1: Tổng kết các dạng
toán có trong chương và
phương pháp giải
Tiết 2+3: Làm bài tập
Tiết 4: Ôn tập kiểm tra
một tiết theo ma trận đề
của tổ



Làm bài tập

Vấn đề 1: Hàm số lượng giác
Về kiến thức:
Hiểu được khái niệm hàm số lượng giác
Về kĩ năng:
Xác định được: tập xác định, tập giá trị; tính chất chẵn, lẻ; tính tuần hoàn; chu kì;
khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số
sin , cos , tan , coty x y x y x y x   
.
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh GVTH: Nguyễn Thị Hồng Vân

Sáng kiến kinh nghiệm Trang 5

Vẽ được đồ thị của các hàm số
sin , cos , tan , coty x y x y x y x   

1.1. Các vấn đề thực hiện trên lớp
Kiến thức cơ bản
Dạng toán. Ví dụ
Hàm số sin và hàm số cosin
sin :
sin
RR
x y x




. Tập xác định của hai hàm số này là
R
. Với mọi

xR
ta có:
1 sin 1; 1 cos 1xx     

.
sinyx
là hàm số lẻ, đồ thị của nó
đối xứng qua gốc tọa độ.
.
cosyx
là hàm số chẵn, đồ thị của
nó đối xứng qua trục tung.
Cả hai hàm số đều tuần hoàn với chu kì
2.



Tìm tập xác định, tập giá trị; tính
chất chẵn, lẻ; tính tuần hoàn; chu kì;
khoảng đồng biến, nghịch biến của các
hàm số
sin , cos .y x y x
.
Vẽ được đồ thị của các hàm số
sin , cosy x y x

Ví dụ : Cho hàm số
cosyx

a)Tìm tập xác định và tập giá trị của

hàm số

b) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.
c) Xác định các khoảng đồng biến,
nghịch biến của hàm số.
Bài tập : Vẽ đồ thị của các hàm số sau
a)
2cosyx

b)
sinyx

c)
2siny y x


1.2. Các vấn đề thực hiện ở nhà
Tìm tập xác định, tập giá trị; tính chất chẵn, lẻ; tính tuần hoàn; chu kì; khoảng
đồng biến, nghịch biến của các hàm số
tan , coty x y x
.
Vẽ được đồ thị của các hàm số
tan , coty x y x

Làm bài tập
1.3. Bài tập đề nghị
1) Tìm tập xác định của các hàm số
a)
1 sin 2cos 2
sin 2

xx
y
x


d)
1 sin
1 cos
x
y
x




b)
tan 2
3
yx





e)
1 2tan
cos 2
x
y
x





c)
cot
4
yx





f)
2 1 sin
cos2 sin 1
x
y
xx




2) Dựa vào đồ thị hàm số
sinyx
, tìm các khoảng giá trị của
x
để hàm số đó
nhận giá trị âm.

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh GVTH: Nguyễn Thị Hồng Vân

Sáng kiến kinh nghiệm Trang 6

Vấn đề 2: Phương trình lượng giác cơ bản
Về kiến thức:
Biết được phương trình lượng giác cơ bản:
sin ;cos ;tan ;cotx a x a x a x a   
và
công thức nghiệm trong trường hợp số đo được cho bằng độ và số đo được cho bằng
radian.
Về kĩ năng:
Giải thành thạo phương trình lượng giác cơ bản. Biết sử dụng máy tính bỏ túi hỗ
trợ tìm nghiệm phương trình lượng giác cơ bản.
2.1. Các vấn đề thực hiện trên lớp
Kiến thức cơ bản
Dạng toán. Ví dụ. Lưu ý
HĐ 1: Giáo viên phát phiếu học tập
1, yêu cầu mỗi nhóm làm
HĐ 2: Trình bày chi tiết phương
pháp giải phương trình
sin xa
(1)
. Nếu
1:a 
phương trình (1) vô
nghiệm
. Nếu

1:a 
đặt
sina


, phương
trình (1) trở thành:
2
sin sin ( )
2
xk
x k Z
xk


  


  

  


Ta còn viết

arcsin 2
(1) ( )
arcsin 2
x a k
kZ

x a k






  


 Chú ý:
Nếu số đo của

được tính bằng
độ thì nghiệm của (1) có dạng:
0
00
360
180 360 ,
xk
x k k Z





   


Tổng quát, với

( ), ( )f x g x
là hai
biểu thức của
x
, ta có phương trình
sin ( ) sin ( )
( ) ( ) 2
( ) ( ) 2 ,
f x g x
f x g x k
f x g x k k Z







   


Phiếu học tập 1

Ví dụ 1: Giải các phương trình
a)
2
sin
2
x 

b)
0
2sin(2 35 ) 3x 

Lời giải
a)
2
sin sin sin
24
xx

  

2
4
,
3
2
4
xk
kZ
xk











  



b)
0
2sin(2 35 ) 3x 

0
3
sin(2 35 )
2
x  

00
sin(2 35 ) sin 60x  

0 0 0
0 0 0 0
2 35 60 360
2 35 180 60 360
xk
xk

  


   



0
0
0
0
95
180
2
,
155
180
2
xk
kZ
xk










Ví dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình
sin 5 cos 2
33
xx


   
  
   
   
trên đoạn
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh GVTH: Nguyễn Thị Hồng Vân

Sáng kiến kinh nghiệm Trang 7

Các trường hợp đặc biệt
1. sin 1 2
2
2. sin 1 2
2
3. sin 0
x x k
x x k
x x k





   
     
  


HĐ 3: Trình bày chi tiết phương pháp

giải phương trình (2)
Với mọi
,aR
phương trình (2)
luôn có nghiệm
arctan ,x a k k Z

  

Nếu

là góc thỏa mãn
tan a



thì nghiệm của (2) là:
,.x k k Z

  

 Chú ý:
Nếu số đo của

được tính bằng
độ thì nghiệm của (2) có dạng:
0
180 , .x k k Z

  

Tổng quát, với
( ), ( )f x g x
là hai biểu
thức của
x
, ta có phương trình
tan ( ) tan ( )
( ) ( ) , .
f x g x
f x g x k k Z


   

Các trường hợp đặc biệt


HĐ 4: Yêu cầu HS nêu phương pháp
giải các phương trình
cos ,cotx a x a
đã được chuẩn bị
ở nhà. Giáo viên nhận xét và chốt lại
phương pháp giải từng loại phương
trình
2
1)sin sin
2
xk
x

xk


  




  


2
2)cos cos
2
xk
x
xk







  


3)tan tanx x k
  
   

 
0;


Lời giải
sin 5 cos 2
33
xx

   
  
   
   

5
sin 5 sin 2
36
xx

   
   
   
   

5
5 2 2
36
5
5 2 2

36
x x k
x x k





   




    



2
14 7
2
18 3
xk
xk









  



Với
22
0
14 7 14 7
x k k
   

     


1 13
44
k   

Do
 
5 9 13
0,1,2,3 ; ; ;
14 14 14 14
k Z k x
   
    

Với
22

0
18 3 18 3
x k k
   

       

11
1
18
kx

   

Bài tập: Giải các phương trình sau
1)
 
0
1
sin 60
2
x 

2)
(1 2cos )(3 cos ) 0xx  

3)
0
3
tan(3 30 )

3
x   

4)
(3tan 3) cot 1 0
2
x
x

  



Lưu ý: làm mất dấu trừ trước
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh GVTH: Nguyễn Thị Hồng Vân

Sáng kiến kinh nghiệm Trang 8

4)cot cotx x k
  
   

HĐ 5: Hướng dẫn học sinh biết cách
sử dụng máy tính bỏ túi hỗ trợ tìm
nghiệm phương trình lượng giác cơ
bản.

sin,cos,tan,cot

sin sin( ); tan tan( );

cot cot( )
x x x x
xx
     
  

nhưng
cos cos( )xx

  


2.2. Các vấn đề thực hiện ở nhà
Liệt kê các kiến thức cần nhớ trong bài “giá trị lượng giác của một cung”
trong chương VI, sách Đại số 10.
Trình bày chi tiết phương pháp giải phương trình
cos ,cot .x a x a

Làm các bài tập
2.3. Bài tập đề nghị
1) Giải các phương trình
a)
2
cos 3
62
x


  



c)
tan tan
2 3 5
x






b)
2
cos( 2)
5
x 
d)
cot( 1)sin 6 0xx

2) Giải các phương trình
a)
cos 4 sin3 0xx

g)tan 2 .tan3x 1x 

b)
cot .cot5 1xx

2
)2cos 1 sin 4xhx

c)
3
cos 3 cos 0
55
xx

   
   
   
   

3
i)cos 3 sin 0
55
xx

   
   
   
   

d)
22
cos 3 sin 2 1xx

2
j)sin 5 2sin 4 1xx

e)
cos cos 5
36
x
x


  



1
k)sin
32
x







3) Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho
a)
3
sin 2
2
x 
với
0 x




b)
1
cos 2
32
x





với
x

  

Phiếu học tập 1
1. Trên đường tròn lượng giác gốc A, cho cung lượng giác
AM
có
sđ
AM


Thế thì tung độ của điểm M là …, hoành độ của điểm M là… ,
tan (cos 0),cot (sin 0)
   
   

.
2.
sin ; cos ,

   
với mọi
.


Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh GVTH: Nguyễn Thị Hồng Vân

Sáng kiến kinh nghiệm Trang 9

3.
tan

không xác định khi và chỉ khi ….
4.
cot

không xác định khi và chỉ khi ….
5.
cos 0


khi và chỉ khi điểm cuối M thuộc góc phần tư thứ … và ….
6. khi và chỉ khi điểm cuối M thuộc góc phần tư thứ … và ….
7. Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản

2 2 2

2
sin cos ; 1 tan
1 cot ; tan .cot
  
  
   
  

8. Giá trị lượng giác của các cung đối nhau

cos( ) ; sin( )
tan( ) ; cot( )


   
   

9. Giá trị lượng giác của các cung bù nhau
sin( ) ; cos( )
tan( ) ; cot( )
   
   
   
   

10. Giá trị lượng giác của các cung hơn kém


cos( ) ; sin( )
tan( ) ; cot( )

   
   
   
   

11. Giá trị lượng giác của các cung phụ nhau
cos ; sin
22
tan ; cot
22




   
   
   
   
   
   
   
   


Vấn đề 3: Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai đối với một hàm lượng giác
Về kiến thức:
Biết được dạng và cách giải phương trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm
lượng giác
Về kĩ năng:
Giải được phương trình thuộc các dạng trên

3.1. Các vấn đề thực hiện trên lớp
Kiến thức cơ bản
Dạng toán. Ví dụ
HĐ 1: Yêu cầu HS tìm hiểu
phương trình bậc nhất đối với
một hàm lượng giác và cách
giải phương trình ở nhà

HĐ 2: Hình thành phương pháp
giải phương trình bậc hai đối
Ví dụ 1: Giải các phương trình
a)
3 tan 1 0x 

b)
4cos2x 5 0

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau
a)
2
2cos 2 cos 2 0
22
xx
  

b)
2
2tan 3tan 5 0xx  

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh GVTH: Nguyễn Thị Hồng Vân

Sáng kiến kinh nghiệm Trang 10

với một hàm số lượng giác
+ phương trình
 
2
sin sin 0, 0a x b x c a   

Đặt
sin , 1,t x t
đưa về
phương trình bậc hai đối với
2
: 0.t at bt c  
Giải phương
trình tìm
t
.Cuối cùng, ta đưa
về việc giải các phương trình
lượng giác cơ bản ( lưu ý điều
kiện
1t 
để có thể loại ngay
các giá trị
t
không thích hợp ).
+ phương trình
 
2

cos cos 0, 0a x b x c a   

Đặt
cos , 1.t x t

+ phương trình
 
2
tan tan 0, 0a x b x c a   

: Đặt
tan .tx

+ phương trình
 
2
cot cot 0, 0a x b x c a   

: Đặt
cot .tx


HĐ 3: Phương trình đưa về
dạng phương trình bậc hai đối
với một hàm lượng giác
- Yêu cầu HS về nhà xem lại
a) Các hằng đẳng thức lượng
giác cơ bản
b) Công thức cộng
c) Công thức nhân đôi

d) Công thức biến đổi tích
thành tổng và tổng thành tích.





- Có nhiều phương trình lượng
giác mà khi giải có thể đưa về
Lời giải
a)
2
2cos 2 cos 2 0
22
xx
  

Cách 1: Đặt
cos
2
x
t 
với điều kiện
11t  
. Khi
đó phương trình đã cho trở thành
2
2 2 2 0tt  
2 (loai)
2

2
t
t









Với
2
2
t 
thì
2
cos
22
x


cos cos
24
x



2
24
2
24
x
k
x
k










  


4
2
( ).
4
2
xk
kZ
xk











  



Cách 2:
2
2cos 2 cos 2 0
22
xx
  


cos 2 (vn)
2
2
cos
22
x
x












2
24
2
24
x
k
x
k










  



4
2
( ).
4
2
xk
kZ
xk










  



b)
2
2tan 3tan 5 0xx  


tan 1
5

tan
2
x
x







4
,.
5
arctan
2
xk
kZ
xk










  






Bài tập: Giải các phương trình

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh GVTH: Nguyễn Thị Hồng Vân

Sáng kiến kinh nghiệm Trang 11

phương trình bậc hai đối với
một hàm số lượng giác.
1)
2
sin 2cos 2 0xx  


2)
2
8cos 2 sin 2 7 0xx  


3)
24
2 cos sinxx



3.2. Các vấn đề thực hiện ở nhà

3.2.1. Tìm hiểu phương trình bậc nhất đối với một hàm lượng giác
+ Phương trình bậc nhất đối với một hàm lượng giác có dạng:
0,at b

trong đó
,ab
là các hằng số
( 0)a 
và
t
là một trong các hàm số lượng giác
( sin , cos , tan , cot )y x y x y x y x   
.
+ Cách giải: Biến đổi, đưa phương trình đã cho về phương trình lượng giác
cơ bản.
3.2.2. Xem lại các công thức đã học:
+ Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản
+ Công thức cộng
+ Công thức nhân đôi
+ Công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích.
3.2.3. Làm các bài tập
3.3. Bài tập đề nghị
1) Giải các phương trình
a)
2
cos 2 2cos 2sin
2
x
xx

b)
24
2 cos sinxx

c)
44
1
sin cos sin 2
2
x x x

d)
cos2 sin 1 0xx  

Vấn đề 4: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Về kiến thức:
Biết được dạng và cách giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Về kĩ năng:
Giải được phương trình thuộc dạng trên
4.1. Các vấn đề thực hiện trên lớp
Kiến thức cơ bản
Dạng toán. Ví dụ
HĐ 1: Giao việc về nhà cho HS
( chứng minh mục 4.2.1)
HĐ 2: Yêu cầu HS trình bày chứng
minh hệ
Ví dụ 1: Giải các phương trình
) 3 cos sin 2a x x  

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh GVTH: Nguyễn Thị Hồng Vân

Sáng kiến kinh nghiệm Trang 12

thức:
22
sin cos sin( ),a x b x a b x

   

(1) với
22
cos
a
ab



và
22
sin
b
ab





HĐ 3: Phương pháp chung để giải
phương trình dạng
22

sin cos ( 0)a x b x c a b   
(2)
Nếu
0, 0ab
hoặc
0, 0ab
,
phương trình (2) có thể đưa ngay về
phương trình lượng giác cơ bản.
Nếu
0, 0ab
thì ta sử dụng công
thức biến đổi (1) đưa phương trình (2)
về phương trình lượng giác cơ bản
Chú ý : Điều kiện để phương trình (2)
có nghiệm là
2 2 2
a b c
.









Chú ý: có thể dùng công thức sau đối
với bài tập 2

sin cos 2 cos
4
x x x


  



sin cos 2 sin
4
x x x


  



1
)4sin 3cos 4(1 tan )
cos
b x x x
x
   

Lời giải
a) Ta có
3cos sin 2xx  

31

cos sin 1
22
xx   

sin cos cos sin 1
33
xx

   

sin 1
3
x


   



2
32
xk


    

5
2 , .
6
x k k Z



    

1
)4sin 3cos 4(1 tan )
cos
b x x x
x
   

Điều kiện của phương trình là
cos 0x 
(*)
Với điều kiện (*) thì phương trình đã
cho trở thành
cos (4sin 3cos ) 4(sin cos ) 1x x x x x   

(cos 1)(4sin 3cos 1) 0x x x    

cos 1 (1)
4sin 3cos 1 0 (2)
x
xx




  


Giải (1):
cos 1 2x x k

  
( thỏa
mãn (*))
Giải (2):
4sin 3cos 1xx

4 3 1
sin cos
5 5 5
xx  

Đặt
4
sin
5
3
cos
5












ta được phương trình
1
cos( )
5
x



Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh GVTH: Nguyễn Thị Hồng Vân

Sáng kiến kinh nghiệm Trang 13

1
arccos 2 ,
5
x k k Z

    
(thỏa
điều kiện (*))
Bài tập: Giải các phương trình sau
1)
2cos sin 2xx

2)
sin5x cos5x 1  

4.2. Các vấn đề thực hiện ở nhà
4.2.1. Chứng minh rằng
a)
sin cos 2 cos
4
x x x


  



b)
sin cos 2 sin
4
x x x


  



c)
22
sin cos sin( ),a x b x a b x

   

với

22
cos
a
ab



và
22
sin
b
ab





4.2.2. Làm các bài tập
4.3. Bài tập đề nghị
1) Giải các phương trình
a)
2sin 2x 5 cos2 3 0x  

b)
3cos2 4sin 2 5xx  

c)
2
5sin2 6cos 13xx

d)
2
1
sin 2 sin
2
xx

Vấn đề 5: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx
Về kiến thức:
Biết được dạng và cách giải phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và
cosx
Về kĩ năng:
Giải được phương trình thuộc dạng trên
5.1. Các vấn đề thực hiện trên lớp
Kiến thức cơ bản
Dạng toán. Ví dụ
HĐ 1: Hình thành và xây dựng phương
pháp giải phương trình:
22
sin sin cos cosa x b x x c x d  
(1)
Phương pháp 1:
Kiểm tra
cos 0x 
có thỏa mãn
Ví dụ 1: Giải phương trình

Lời giải
22
sin 3sin cos 2cos 1x x x x  

(1)
 Xét
cos 0x 

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh GVTH: Nguyễn Thị Hồng Vân

Sáng kiến kinh nghiệm Trang 14

phương trình (1) không ?
Khi
cos 0x 
thì ta chia cả hai vế của
phương trình (1) cho
2
cos x

Khi đó phương trình trở thành:
22
tan tan (1 tan )a x b x c d x   

( đây là phương trình bậc hai đối với một
hàm lượng giác là
tan x
đã biết cách giải
ở vấn đề 3)
HĐ 2: Hướng dẫn học sinh hình thành
phương pháp giải 2 bằng cách dùng công
thức hạ bậc

Phương trình trở thành: 1=1 (đúng)

Do đó
cos 0
2
x x k


   
là
nghiệm của (1)
 Xét
cos 0x 
.
Chia hai vế của (1) cho
2
cos x
ta
được

2
22
sin sin 1
32
cos cos cos
xx
x x x
  

22
tan 3 tan 2 1 tanx x x    

3 tan 1x

,
6
x k k Z


   

Vậy phương trình đã cho có các
nghiệm
,
2
xk



,
6
x k k Z


  

Bài tập: Giải các phương trình sau
a)
22
2sin sin cos 3cos 0x x x x  

b)

22
3sin 2sin 2 5cos 2x x x  

c)
22
1
sin sin 2 2cos
2
x x x  



5.2. Các vấn đề thực hiện ở nhà
5.2.1. Hình thành phương pháp giải 2 bằng cách dùng công thức hạ bậc

22
sin sin cos cosa x b x x c x d  
(1)
Thay
22
1 cos2 1 cos2
sin , cos
22
xx
xx


vào phương trình (1) ta được:
1 cos2 sin 2 1 cos2
. . .

2 2 2
x x x
a b c d

  

sin2 ( )cos2 2b x c a x d a c     

( Đây là phương trình bậc nhất đối với
sin 2 ,cos2xx
đã biết cách giải ở vấn đề 4)
5.2.2. Làm các bài tập
5.3. Bài tập đề nghị
1) Giải các phương trình
a)
22
25sin 15sin 2 9cos 25x x x  

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh GVTH: Nguyễn Thị Hồng Vân

Sáng kiến kinh nghiệm Trang 15

b)
22
2cos 3 3sin 2 4sin 4x x x   

c)
22
4sin 2sin 2 3cos 1x x x  

2) Giải các phương trình
a)
22
4sin 2 2sin 4 3cos 2 1x x x  

b)
22
2sin 3 sin3 cos3 3cos 3 2x x x x  

c)
22
1
2sin sin cos 1
2 2 2
xx
x  


Vấn đề 6: Một vài phương trình lượng giác khác
Về kiến thức:
Biết cách giải các phương trình lượng giác mà sau một vài phép biến đổi có thể
đưa về phương trình đã biết cách giải
Về kĩ năng:
Giải được phương trình thuộc các dạng trên
6.1. Các vấn đề thực hiện trên lớp
Kiến thức cơ bản
Dạng toán. Ví dụ
Thực tế, chúng ta còn gặp nhiều
phương trình lượng giác mà khi
giải cần phải thực hiện các phép

biến đổi lượng giác thích hợp để
đưa chúng về các phương trình
dạng quen thuộc. Trong mục này,
chúng ta nêu một số ví dụ



Trong ví dụ này chúng ta đã sử
dụng các công thức:
sina cosa
tana ,cota
cosa sina


cos cos sin sin cos( )a b a b a b  

22
cos sin 1
1
sin cos sin 2
2
aa
a a a



Ví dụ 1: Giải phương trình

cot sin 1 tan tan 4
2

x
x x x

  



Lời giải
Điều kiện:
sin 0,cos 0,cos 0.
2
x
xx  

Phương trình đã cho
cos cos sin sin
cos
22
sin 4
sin
cos cos
2
xx
xx
x
x
x
x
x


  


cos sin
4
sin cos
xx
xx
  


1
sin 2
2
x

12
()
5
12
xk
kZ
xk















(thỏa mãn điều kiện)
Giải các phương trình sau
a)
66
2(cos sin ) sin cos
0
2 2sin
x x x x
x




Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh GVTH: Nguyễn Thị Hồng Vân

Sáng kiến kinh nghiệm Trang 16

b)
2
5sin 2 3(1 sin )tanx x x  

6.2. Các vấn đề thực hiện ở nhà
Làm các bài tập
Đối với học sinh khá giỏi, giáo viên yêu cầu các em tìm hiểu và giải các
phương trình lượng giác khác
1) Giải phương trình bậc cao theo một hoặc nhiều hàm số lượng giác
Phương pháp chung
a) Biến đổi phương trình đã cho thành phương trình tích.
b) Dùng công thức hạ bậc.
c) Dùng đồ thị.
d) Đặt ẩn phụ …
Cũng có khi ta phải kết hợp các phương pháp trên với nhau
Ví dụ : Giải phương trình
2
4
cos cos
3
x
x

Hướng dẫn
Trước hết ta hạ bậc của phương trình bằng công thức:
2
1 cos2
cos
2
x
x



Sau đó ta tìm mối tương giao giữa các cung ( góc )
4
3
x
và
2x

Nhận thấy
4 2 2
2. ; 2 3.
3 3 3
x x x
x
.
Suy ra
3
22
cos 2 3cos 4cos
33
xx
x   


2
42
cos 2cos 1
33
xx


Khi đó, đặt
 
2
cos 1 1
3
x
uu   
thì phương trình đã cho trở thành phương trình
bậc ba theo biến
u
.
2) Phương trình dạng
(sin cos ) sin cos 0a x x b x x c   
hoặc phương trình đối xứng
đối với
tan ,cotxx

Phương pháp giải phương trình:
(sin cos ) sin cos 0a x x b x x c   

Đặt
 
sin cos 2 2t x x t    

Khi đó
2
1
sin cos
2
t

xx


thì phương trình đã cho trở thành phương trình bậc hai
theo biến
t
.
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh GVTH: Nguyễn Thị Hồng Vân

Sáng kiến kinh nghiệm Trang 17

Chú ý: Khi gặp phương trình dạng
(sin cos ) sin cos 0a x x b x x c   
ta vẫn đặt
 
sin cos 2 2t x x t    
suy ra
2
1
sin cos
2
t
xx


.
3) Phương trình dạng
2 2 2
0abc  

Ta có
2 2 2
0
00
0
a
a b c b
c



    





Ví dụ: Giải phương trình
22
4cos 3tan 4 3 cos 2 3 tan 4 0x x x x    

Hướng dẫn
Trước hết, nhóm các số hạng có chứa
cos x
với nhau, có
tan x
với nhau
Nhận thấy
 
2

2
4cos 4 3 cos 2cos 3 3x x x   


 
2
2
3tan 2 3 tan 3 tan 1 1x x x   

Khi đó phương trình đã cho trở thành

   
22
2cos 3 3 tan 1 0xx   

6.3. Bài tập đề nghị
1) Giải các phương trình
a)
(sin 2 sin )(sin cos ) sinx x x x x  

b)
(1 cos )cot cos2 sin sin 2x x x x x   

c)
sin3 (1 cos )cos2 (sin 2cos )sin 2x x x x x x   

2) Giải các phương trình
a)
2(sin cos ) sin cos 1x x x x  

b)
2 3 2 3
tan tan tan cot cot cot 0x x x x x x     

c)
cos2 cos6 4(sin3 1) 0x x x   

Vấn đề 7: Ôn tập chương I
Về kiến thức:
Biết cách giải các phương trình lượng giác mà sau một vài phép biến đổi có thể đưa
về phương trình đã biết cách giải
Về kĩ năng:
Giải được phương trình thuộc các dạng trên
7.1. Các vấn đề thực hiện trên lớp
Kiến thức cơ bản
Dạng toán. Ví dụ



Dạng bài tập: Giải phương trình thuộc
các dạng: phương trình bậc nhất, bậc hai
đối với một hàm lượng giác; phương
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh GVTH: Nguyễn Thị Hồng Vân

Sáng kiến kinh nghiệm Trang 18

HĐ : Hệ thống lại các phương trình
lượng giác đã học và phương pháp
giải của từng dạng phương trình

trình dạng
sin cosa x b x c
; phương
trình thuần nhất bậc hai đối với
sin x
và
cos x

Ví dụ 1: Giải các phương trình
a)
4sin 2 3 0x 

b)
2
2cos 3cos 1 0xx  

c)
sin 3cos 1xx

d)
22
sin (1 3)sin cos 3 cos 0x x x x   


7.2. Các vấn đề thực hiện ở nhà
Làm các bài tập
7.3. Bài tập đề nghị
1) Giải các phương trình
a)
2cos 2

0
1 sin 2
x
x


b)
cos 2 cos 1 0xx  

c)
tan 3
0
2cos 1
x
x



d)
cos 2 5sin 3 0xx  

e)
sin3 cot 0xx
f )
5tan 2cot 3 0xx  

g)
2
2cos 2 cos 2 0xx  
h)

64
2cos sin cos2 0x x x  

i)
2
cos5 cos cos4 .cos2 3cos 1x x x x x  

j)
22
4sin 2 6sin 9 3cos 2
0
cos
x x x
x
  


k)
2
5 7 1
2cos2 cos 10cos cos
2 2 2 2
x
x x x


    


.

2) Tìm nghiệm thuộc khoảng
(0; )

của phương trình

4cos3 cos2 2cos3 1 0x x x  

3) Giải phương trình
a)
2
cos4 12sin 1 0xx  
; (CĐ – 2011)
b)
sin 2 2 cos sin 1
0
tan 3
x x x
x
  


; (Khối D – 2011)
c)
sin2 cos sin cos cos2 sin cosx x x x x x x   
;(Khối B – 2011)
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh GVTH: Nguyễn Thị Hồng Vân

Sáng kiến kinh nghiệm Trang 19

d)
2
1 sin 2 cos 2
2 sin sin 2
1 cot
xx
xx
x



; (Khối A – 2011)
e)
sin2 cos2 3sin cos 1 0x x x x    
; (Khối D - 2010)
f)
 
sin 2 cos2 cos 2cos2 sin 0x x x x x   
; (Khối B - 2010)
g)
 
1 sin cos2 sin
1
4
cos
1 tan
2
x x x
x
x



  




; (Khối A - 2010)
h)
 
  
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
xx
xx



; (Khối A – 2009)
i)
 
3
sin cos .sin 2 3 cos3 2 cos4 sinx x x x x x   
;
(Khối B – 2009)
j)
3cos5 2sin3 .cos2 sin 0x x x x  
; (Khối D – 2009)
Đề ôn tập kiểm tra một tiết

Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số:
5cos5
6sin 2
sin 2 1
y
x
x
x
 


Câu 2: Giải phương trình:
3cot 2 3 0
5
x


  



Câu 3: Giải phương trình:
 
2
2 sin 2 2 sin 2 0
33
xx

   
     

   
   

Câu 4: Giải phương trình:
22
1
sin 2 sin 4 2cos 2x
2
xx  

Câu 5: Giải phương trình:
cos3 sin3
5 sin cos2 3
1 2sin 2
xx
xx
x


  






IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
- Phương trình lượng giác là một phần quan trọng trong các kì thi, các công
thức thì khô khan khó nhớ, nhưng ta dạy học theo chủ đề như vậy thì học sinh hiểu
bài một cách sâu sắc hơn, dễ tiếp thu hơn, phát huy tính tích cực, chủ động lĩnh hội

kiến thức; các em học sinh bắt kịp xu thế dạy học tích cực như xã hội mong muốn.
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh GVTH: Nguyễn Thị Hồng Vân

Sáng kiến kinh nghiệm Trang 20

- Do trong mỗi bài của sách giáo khoa bao gồm nhiều vấn đề lý thuyết khác
nhau nên việc phân loại theo chủ đề, ưu tiên việc sử dụng kiến thức vào giải quyết vấn
đề thực tiễn đặt ra, từ đó các em học được tiến trình khoa học từ việc giải quyết vấn
đề.
- Qua quá trình giảng dạy, mỗi khi dạy một chủ đề mà mỗi giáo viên biết cách
phân loại và có phương pháp giải các bài toán thì học sinh sẽ tiếp thu bài học nhanh
hơn và rèn luyện được kĩ năng giải toán.

- Qua quá trình giảng dạy, từ dạy học theo phương pháp truyền thống là dạy
tuần tự từng bài theo sách giáo khoa đến cách tiếp cận dạy học theo chủ đề tôi nhận
thấy rằng các tiết học có hiệu quả rõ rệt.
- Qua ghi chép, theo dõi kết quả thực hiện mảng kiến thức này của học sinh
đại trà thông qua các bài kiểm tra 15 phút, bài kiểm tra 1 tiết và bài thi học kỳ I hằng
năm, bản thân thu được kết quả như sau:

Năm học 2012-2013
(sĩ số: 90 )
Năm học 2013-2014
(sĩ số: 88 )
Năm học 2014-2015
(sĩ số: 39 )
Số lượng
Tỉ lệ(%)
Số lượng
Tỉ lệ(%)

Số lượng
Tỉ lệ(%)
Yếu
10
11,11
6
6,82
1
2,56
TB
41
45,56
39
44,32
14
35,89
Khá
23
25,56
29
32,95
15
38,46
Giỏi
16
17,77
14
15,91
9
23,09

V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
- Giáo viên là người trực tiếp truyền tải kiến thức đến học sinh, là người chịu
trách nhiệm trong việc ra đề kiểm tra, đề thi để đánh giá chất lượng học sinh. Chất
lượng dạy học của giáo viên được đánh giá qua sự đam mê và hiệu quả vận dụng kiến
thức của các em học sinh thông qua các bài kiểm tra. Vì vậy khi dạy học theo chủ đề,
nhiệm vụ của giáo viên là không chỉ đơn thuần cung cấp kiến thức cho các em mà
phải hướng dẫn cho các em biết cách tư duy để tìm ra con đường phải đi. Từ đó rèn
luyện kỹ năng vận dụng kiến thức một cách linh hoạt, sáng tạo nhằm phát triển năng
lực của mỗi học sinh. Mỗi giáo viên cần tìm tòi nhiều phương pháp giảng dạy hơn
nữa để đáp ứng nhu cầu học tập ngày càng cao của học sinh.
- Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ khi tiếp cận dạy học theo chủ đề về mảng
kiến thức liên quan đến phương trình lượng giác. Tuy chưa đem lại hiệu quả cao cho
toàn thể học sinh song đối với bản thân là cả một quá trình tìm tòi, đúc kết qua nhiều
năm đứng lớp. Thiết nghĩ, mỗi giáo viên chúng ta thường xuyên gom nhặt, tích lũy,
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh GVTH: Nguyễn Thị Hồng Vân

Sáng kiến kinh nghiệm Trang 21

sắp xếp khoa học và cùng nhau thảo luận, chia sẻ, mở rộng kiến thức thì hiệu quả dạy
học bộ môn cũng từ đó được nâng lên.
- Cuối cùng xin cảm ơn toàn thể các thầy cô giáo trong tổ Toán – trường THPT
Nguyễn Hữu Cảnh đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình
nghiên cứu.
- Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do còn hạn chế về mặt kiến thức và thời
gian nên sai sót là điều khó tránh khỏi, kính mong nhận được ý kiến đóng góp của quý
thầy cô để đề tài được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn.

VI. DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

Người thực hiện





Nguyễn Thị Hồng Vân