Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số trong việc giải pt mũ và logarit

Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số trong việc giải pt mũ và logarit
PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ TRONG
VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT.
Phương trình mũ và phương trình logarit là một phần quan trọng trong chương
trình Giải tích lớp 12. Đây là một phần hay và tương đối khó, trong cấu trúc của đề
thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng một vài năm gần đây loại toán này thường
rất hay xuất hiện. Để giải phương trình mũ và logarit có rất nhiều phương pháp, tuy
nhiên trong phạm vi nhỏ của bài viết này tác giả chỉ đề cập đến phương pháp sử
dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ và hàm số logarit.
I. Kiến thức cơ bản cần nhớ.
1, Hàm số
,0 1
x
y a a= < ≠
đồng biến khi
1a >
và nghịch biến khi
0 1a< <
, tức là:
* Nếu
1a
>
thì
1 2
1 2
x x
x x a a> ⇔ >
.
* Nếu
0 1a< <
thì

1 2
1 2
x x
x x a a> ⇔ <
.
*
1 2
1 2
x x
x x a a= ⇔ =
.
2, Hàm số
log ,0 1
a
y x a= < ≠
đồng biến khi
1a >
và nghịch biến khi
0 1a< <
, tức là:
* Nếu
1a
>
thì
1 2 1 2
0 log log
a a
x x x x> > ⇔ >
.
* Nếu

0 1a< <
thì
1 2 1 2
0 log log
a a
x x x x> > ⇔ <
.
*
1 2 1 2
0 log log
a a
x x x x= > ⇔ =
.
II. Các ví du minh hoạ.
Thí dụ 1. Giải phương trình
2
2 3 1.
x
x
= +
Lời giải. Chia hai vế của phương trình cho
2
x
ta được:
3 1
1
2 2
x
x
 

 
= +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
Xét hàm số
( )
3 1
2 2
x
x
f x
 
 
= +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
có
( )
3 3 1 1
' ln ln 0,
2 2 2 2
x
x
f x x R

 
 
= + < ∀ ∈
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
.
Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số trong việc giải pt mũ và logarit
Mặt khác
( )
2
2
3 1 3 1
2 1
2 2 4 4
f
 
 
= + = + =
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
. Vậy phương trình có nghiệm
1x
=
. Ta chứng

minh đây là nghiệm duy nhất của phương trình. Thật vậy, do
( )
f x
là hàm số nghịch
biến trên
R
nên
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 1
2 2 1
x f x f f x
x f x f f x
> ⇔ < ⇔ <
< ⇔ > ⇔ >


.
Thí dụ 2. Giải phương trình
( ) ( ) ( )
6 4 2 17 12 2 34 24 2 1.
x x x
− + − + − =
Lời giải. Ta có
( )
2
6 4 2 2 2− = −
với
0 2 2 1< − <

( )
2
17 12 2 3 2 2− = −
với
0 3 2 2 1< − <

( )
2
34 24 2 3 2 4− = −
với
0 3 2 4 1< − <
Phương trình đã cho trở thành
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 3 2 2 3 2 4 1
x x x
− + − + − =
Xét hàm số
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 3 2 2 3 2 4
x x x
f x = − + − + −
có

( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2

' 2 2 2 ln 2 2 2 3 2 2 ln 3 2 2 2 3 2 4 ln 3 2 4 0,
x x x
f x x R= − − + − − + − − < ∀ ∈

Nhận xét rằng
1
2
x =
là nghiệm của phương trình. Do vế trái là một hàm số nghịch biến,
vế phải luôn bằng 1, suy ra
1
2
x =
là nghiệm duy nhất của phương trình.
Thí dụ 3. Giải phương trình
2
2 2
1 1 2
1 1
2 2 .
2
x x
x x
x
− −
− = −
Lời giải. Điều kiện
0x ≠
Nhận thấy rằng
2 2

2 2 2
1 2 1 2 2 1 1
1 2 .
2
x x x x
x x x x x
− − − +
 
− = = − = −
 ÷
 
Đưa phương trình đã cho về dạng

2 2
2 2 2 2
1 1 2 1 1 2
2 2
2 2 2 2
1 1 2 1 1 1 1 1 2
2 2 2 . 2 .
2 2 2
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
− − − −
 
− − − −
− = − ⇔ + = +
 ÷

 
Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số trong việc giải pt mũ và logarit
Xét hàm số
( )
2
2
t
t
f t = +
có
( )
1
' 2 ln 2 0,
2
t
f t t R= + > ∀ ∈
suy ra
( )
f t
là hàm số luôn đồng
biến. Mặt khác từ phương trình ta có
{
2
2 2
0
2 2 2 2
2 0
1 1 2 1 1 2
2
x

x x
x x x x
f f x
x x x x
≠
− =
 
− − − −
 
= ⇔ = ⇔ ⇔ =
 ÷
 ÷
 
 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
2x
=
.
Thí dụ 4. Giải phương trình
2 2 1
2 3 2 3 1
x x
x x
x
+
+ = + + +
Lời giải. Đưa phương trình về dạng

2 2 1 2 2 1 1
2 3 2 2.2 3 1 2 3 2 2 3 1

x x x x
x x x x x x
x x
+ + +
+ + = + + + ⇔ + + = + + +
và đặt
2 , 1
x
u v x= = +
khi đó ta được phương trình
2 3 2 3
u u v v
u v
+ + = + +
xét hàm số
( )
2 3
t t
f t t= + +
có
( )
' 2 ln 2 3 ln 3 1 0,
t t
f t t R= + + > ∀ ∈
suy ra
( )
f t
là hàm số
đồng biến trên
R

, từ phương trình ta có
( ) ( )
f u f v u v= ⇔ =
và phương trình ban đầu
tương đương với
2 1 2 1 0.
x x
x x= + ⇔ − − =
Xét hàm số
( )
2 1
x
g x x= − −
có
( ) ( )
2
1 1
' 2 ln 2 1 ' 0 2 log
ln 2 ln 2
x x
g x g x x= − ⇒ = ⇔ = ⇔ =
Lại có
( )
lim 2 1
x
x
x
→+∞
− − = +∞
và

( )
lim 2 1
x
x
x
→−∞
− − = +∞
Suy ra bảng biến thiên của hàm số
( )
g x
là
x
−∞
0
2
1
log
ln 2
1
+∞


g’(x) - 0 +
Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số trong việc giải pt mũ và logarit
g(x)
+∞

+∞
0 0
g(

2
1
log
ln 2
)
(
2
1
log
ln 2
2 2
1 1
log 2 log 1 0
ln 2 ln 2
g
 
= − − <
 ÷
 
)
Căn cứ vào bảng biến thiên ta nhận thấy phương trình
( )
0g x
=
chỉ có nhiều nhất là
hai nghiệm. Mặt khác
( ) ( )
0 1 0g g
= =
, vậy phương trình đã cho có hai nghiệm

0x
=
hoặc
1x
=
.
Thí dụ 5. Giải phương trình
2
log 3x x= −
Lời giải. Điều kiện
0x
>
Phương trình đã cho tương đương
2
log 3x x+ =
Xét hàm số
( )
2
logf x x x
= +
với
0x
>
có
( )
1
' 1 0, 0
ln 2
f x x
x

= + > ∀ >
Vậy
( )
f x
là hàm số đồng biến, mặt khác
( )
2 3f =
nên
2x
=
là nghiệm duy nhất của
phương trình.
Thí dụ 6. Giải phương trình
2
2
3
2
3
log 3 2
2 4 5
x x
x x
x x
+ +
= + +
+ +
Lời giải. Đưa phương trình về dạng
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
3 3

log 3 log 2 4 5 2 4 5 3x x x x x x x x
+ + − + + = + + − + +
Đặt
2 2
3, 2 4 5u x x v x x= + + = + +
ta được phương trình

3 3 3 3
log log log logu v v u u u v v− = − ⇔ + = +
Xét hàm số
( )
3
log , 0f t t t t
= + >
ta có
( )
1
' 1 0, 0
ln3
f t t
t
= + > ∀ >
suy ra f(x) là hàm
số đồng biến, từ tính đơn điệu của f(x) suy ra
( ) ( )
2 2
3 2 4 5f u f v u v x x x x= ⇔ = ⇒ + + = + +
Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số trong việc giải pt mũ và logarit
2 1
2

3 2 0
x
x
x x
=−
=−

⇔ + + = ⇔

Cả hai nghiệm trên đều thỏa mãn bài toán, vậy phương trình có hai nghiệm
1x
= −
hoặc
2x = −
.
Thí dụ 7. Giải phương trình
( )
2 2
3 3
log 1 log 2x x x x x
+ + − = −
Lời giải. Điều kiện
0x
>
Ta đưa phương trình về dạng
( )
2
2
2
3 3

1 1
log 1 1 2 log 1 1 1
x x
x x x x
x x
 
+ +
 
= − + − ⇔ + + = − −
 ÷
 ÷
 
 
Dễ dàng nhận thấy
( )
2
1 1 1VP x
= − − ≤
và do x>0 nên theo bất đẳng thức Cauchy ta có
3
1 1 1
2 1 3 log 1 1x x x
x x x
 
+ ≥ ⇔ + + ≥ ⇔ + + ≥
 ÷
 
hay
1VT
≥

.
Dấu bằng xảy ra khi
( )
2
1 1 1
1
2
1
x
x
x
x
− − =
+ =

⇔ =


Vậy phương trình có một nghiệm
1x
=
.
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau
sin
1, 3 cos .
x
x=
2 2
sin cos 2

2, 2 2 3 sin 2 .
x x
x+ = +
2
6 10 2
3, 3 6 6.
x x
x x
− +
= − + −
2 2
sin cos
4, 3 3 2 2 2.
x x x x−
+ = + +
( )
5, 8 3 1 4.
x
x + =
( )
2 2
2 6
2 6
6, 3 2.3 3 0.
x
x x x
+
+ +
− + =
(

)
(
)
7, 2 3 2 3 2 .
x x
x
− + + =
( )
3 7
8, log 2 log .x x+ =
( )
4 4
6 2
9, log log .x x x+ =
( )
2
3 2
10, log 3 13 log .x x x− − =
( )
6
log
2 6
11, log 3 log .
x
x x+ =
( ) ( ) ( )
2 3 4 5
12, log log 1 log 2 log 3 .x x x x+ + = + + +
( )
2

2
2
2 1
13, 2 6 1 log 1.
1
x
x x
x
+
− + = −
−
( )
( )
2
14, log 6 log 2 4.x x x x− − + = + +