Hàm đánh giá trên dàn các tập hợp và ứng dụng của chúng trong hình học sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
LA THANH TÍN
HÀM ĐÁNH GIÁ TRÊN DÀN CÁC TẬP HỢP VÀ ỨNG
DỤNG CỦA CHÚNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP
LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc
NGHỆ AN, 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
LA THANH TÍN
HÀM ĐÁNH GIÁ TRÊN DÀN CÁC TẬP HỢP VÀ ỨNG
DỤNG CỦA CHÚNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP
CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC TÔPÔ
MÃ SỐ: 60.46.10
luËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. PHẠM NGỌC BỘI
NGHỆ AN – 2013
LỜI MỞ ĐẦU
“Hình học lồi” là một hướng quan trọng trong hình học,
được nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu. Tập lồi là khái
niệm toán học có nhiều ứng dụng trong hình học, giải tích và
nhiều ngành khoa học khác. Các kết quả tổng quan về tập lồi đã
được các nhà toán học như Frederick A. Valentine, L. Klee,
C.Caratheodory, H. Minkowski trình bày. Các vấn đề định tính
như: cấu trúc các tập lồi, các quan hệ giữa chúng, giao của các
tập lồi, tính hội tụ của dãy tập lồi đã được nhiều tài liệu và
giáo trình cơ sở đề cập đến.
Song song với lý thuyết định tính các tập lồi, vấn đề định
lượng các tập lồi cũng được quan tâm. Trong lĩnh vực lý thuyết
định lượng các tập lồi có một vấn đề có ý nghĩa quan trọng về

phương diện độ đo, đó là vấn đề thể tích của thể lồi. Cách thức
xây dựng khái niệm và các tính chất của thể tích các thể lồi được
xuất phát từ khái niệm và các tính chất của đa diện lồi. Xuất
phát từ việc xấp xỉ của một thể lồi với các đa diện lồi ta đặc biệt
chú ý đến cấu trúc của các đa diện lồi. Trên cấu trúc này, người
ta xây dựng khái niệm “hàm đánh giá”, đây là một khái niệm
chung của hình học lồi và lý thuyết tổ hợp. “Hàm đánh giá” thỏa
mãn cả hai tính chất vừa là sự tương tự hóa vừa là sự khái quát
hóa của khái niệm độ đo trong giải tích.
Trên cơ sở tham khảo các tài liệu tham khảo có thể có được
trong điều kiện hiện nay, trong đó tài liệu tham khảo chính là
[9], luận văn trình bày một số vấn đề về hàm đánh giá trên họ
các thể lồi trong không gian Euclide
n
¡
, trình bày cách xây
dựng khái niệm thể tích của thể lồi, các tính chất cơ bản của thể
tích của thể lồi và ứng dụng của chúng trong hình học sơ cấp.
Các kết quả này đã có trong tài liệu tham khảo theo các mức độ
khác nhau, trong đó có nhiều tính
chất, định lí, hệ quả không được chứng minh hoặc chỉ được
chứng
minh sơ lược.
Nội dung luận văn gồm 2 chương.
Chương 1. Trong chương này chúng tôi trình bày tổng quan
các vấn đề liên quan như tập lồi, hình đa diện lồi và các phép
toán trên chúng; metric và độ đo…
Chương 2. Trình bày các khái niệm cơ bản liên quan đến
hàm đánh giá và các tính chất của hàm này. Tiếp theo chúng tôi
trình bày một số ứng dụng của hàm đánh giá trong hình học sơ

cấp.
Luận văn được hoàn thành tại Khoa Sau đại học Trường
Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn khoa học tận tình, chu đáo của
thầy giáo PGS.TS. NGƯT. Phạm Ngọc Bội. Nhân dịp hoàn thành
luận văn, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các
thầy giáo trong tổ Hình học đã giảng dạy và chỉ dẫn tận tình
trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả cũng xin chân
thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Phòng Sau đại
học, Trường Đại học Vinh, các bạn bè và gia đình đã tạo điều
kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này.
Mặc dù đã có cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi
những thiếu sót. Chúng tôi mong nhận được sự góp ý của quý
thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!
Nghệ An, Ngày 05 tháng 10 năm
2013
Tác giả
La Thanh Tín
BẢNG CÁC KÝ HIỆU
B(x,r): Hình cầu mở tâm x bán kính r.
cl(X): Bao đóng của tập hợp X.
dist(X, X’): Khoảng cách giữa hai tập X và X’.
bd(X): Biên của tập hợp X.
φ
: Tập rỗng.
int(X): Phần trong của tập hợp X.
n
K
: Họ tất cả các tập hợp con khác rỗng, lồi, compact của
.

n
¡
n
C
: Họ tất cả các tập con khác rỗng, compact của
.
n
¡
n
P
: Họ tất cả các hình đa diện lồi trong
.
n
¡

n
T
: Họ tất cả các thể lồi trong
n
¡
.

W
: Kết thúc chứng minh.

A
χ
: Hàm đặc trưng của tập hợp
.A
dimP: Số chiều của không gian P.

( )C A
: Tập hợp tất cả các tổ hợp lồi các phần tử của tập hợp
.A


NỘI DUNG LUẬN VĂN
CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong luận văn này chúng tôi xét không gian Euclide
n
¡
,
có số chiều bằng n, trên trường số thực
.¡
Tập lồi là một khái niệm có nhiều ứng dụng trong hình học,
giải tích và nhiều ngành toán học khác. Trong phần này ta nhắc
đến một số vấn đề định tính của tập lồi và chú ý đến hai tập lồi
đặc biệt là thể lồi và đa diện lồi, đây là những đối tượng thường
xuất hiện trong hình học sơ cấp.
1.1. Tập lồi, thể lồi và hình đa diện lồi
1.1.1. Định nghĩa
i. Giả sử
,
n
x y∈¡
, đoạn thẳng nối
x
và
y
được định nghĩa

như sau:
[ , ] = {z = x + (1- )y 0 1}.x y
λ λ λ
≤ ≤
ii. Một tập
n
A ⊂ ¡
được gọi là tập lồi nếu
, [x,y] .x y A A∀ ∈ ⇒ ⊂
iii. Một tập lồi compact có phần trong khác rỗng được gọi là
thể lồi.
Ta ký hiệu

n
T =
{Họ tất cả các thể lồi trong
}.
n
¡

{
n
K =
Họ tất cả các tập hợp con khác rỗng, lồi, compact trong
}.
n
¡
* Ví dụ
1. Với
,

n
x y∈¡
thì
[x,y]
là một tập lồi.
2.
n
¡
,
( , )B x r
trong
n
¡
là những tập lồi.
3. Hình tròn, hình tam giác trong mặt phẳng là những tập
lồi.
4. Đoạn thẳng
[ , ]x y
trong
n
¡
,hình tròn, hình tam giác trong
mặt phẳng là thể lồi.
1.1.2. Định lí
i. Giao một họ tùy ý các tập lồi là một tập lồi.
ii. Ảnh và nghịch ảnh toàn phần của tập lồi qua ánh xạ tuyến
tính là tập lồi.
Chứng minh. i. Giả sử
{A }
i i I∈

là một họ tùy ý các tập lồi trong
n
¡
, ta phải chứng minh
i
i I
A A
∈
= ∩
là tập lồi.
Thật vậy, lấy
,x y A∈
khi đó
, , .
i
x y A i I∈ ∀ ∈
Do đó với
[0,1]
λ
∈
và
i
A
là tập lồi với mọi
i I∈
nên
(1 ) , (1 ) .
i
x y A i I x y A
λ λ λ λ

+ − ∈ ∀ ∈ ⇒ + − ∈
ii. Giả sử
V
là một không gian vectơ trên
¡
và
:
n
f V→¡
là
ánh xạ tuyến tính.
- Giả sử
n
A ⊂ ¡
là lồi, ta chứng minh
( )f A
là tập lồi trong
V
.
Thật vậy, lấy
, ( )x y f A∈
và
[0,1]
λ
∈
. Khi đó tồn tại
,a b A∈
sao
cho
( ), ( ).x f a y f b= =

Mặt khác
f
là ánh xạ tuyến tính nên :
(1 ) ( ) (1 ) ( ) ( ) ((1 ) )x y f a f b f a f b
λ λ λ λ λ λ
+ − = + − = + −

( (1 ) ) ( )f a b f A
λ λ
= + − ∈
(vì
A

là tập lồi).
- Giả sử
B V⊂
là tập lồi, ta chứng minh
1
( )f B
−
là lồi trong
.
n
¡
Thật vậy, với
1
[0,1]; x,y ( )f B
λ
−
∈ ∈

thì
( ), ( )f x f y B∈
và
( ) (1 ) ( ) .f x f y B
λ λ
+ − ∈
Do
f
là ánh xạ tuyến tính nên
1
( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ).f x y f x f y B x y f B
λ λ λ λ λ λ
−
+ − = + − ∈ ⇒ + − ∈ W
1.1.3. Định nghĩa
i. Giả sử
n
A ⊂ ¡
, tập lồi nhỏ nhất trong
n
¡
chứa
A
được gọi
là bao lồi của
,A
kí hiệu conv
A
.
ii. Tổ hợp lồi của hữu hạn các điểm

*
1 2
, , , ,
n
n
x x x n∈ ∈¡ ¥
được định nghĩa là
1
,
n
i i
i
x
λ
=
∑
trong đó
0, 1,
i
i n
λ
≥ =
1
à 1.
n
i
i
v
λ
=

=
∑
Giả sử
n
A ⊂ ¡
, tập hợp các tổ hợp lồi các phần tử của
A
ký hiệu là
( ).C A
iii. Một tập con
P
φ
≠
của
n
¡
được gọi là hình đa diện lồi nếu
tồn tại
*
1 2
, , , ,
n
n
x x x n∈ ∈¡ ¥
sao cho
{ }
1 2 n
conv x ,x , x P.… =
Ta ký hiệu
{

n
P =
Họ tất cả các hình đa diện lồi trong
}
n
¡
.
* Ví dụ
1. Cho
{ a, b , }.
n
A a b= ∈¡
Khi đó ta có
( ) [ , ].C A a b=
2. Cho
{ a, b , }; B = {a,b,c , , }.
n n
A a b a b c= ∈ ∈¡ ¡

Khi đó:
conv
[a,b]A =
và conv
B
là hình tam giác abc.
* Nhận xét
i. conv
A
là giao tất cả tập lồi chứa
A

trong
n
¡
.
ii.
n
A ⊂ ¡
là tập lồi khi và chỉ khi conv
.A A=
1.1.4. Định lí
. Nếu
A
là tập compact trong
n
¡
thì conv
A
là
tập lồi compact trong
n
¡
. Suy ra mỗi hình đa diện lồi là một tập
lồi compact.
Chứng minh. Gọi
( )F A
là họ tất cả tập lồi trong
n
¡
,
chứa

A
và
0
( )F A
là họ tất cả các tập compact trong
n
¡
,
chứa
A
. Do giao
của họ các tập lồi là tập lồi nên:
( )
0
.convA F A⊂ ∩
Mặt khác với mỗi
( )
X F A∈
tồn tại tập hợp
( )
0 0
X F A∈
chứa trong X.
Chẳng hạn,
0
,X B clX= ∩
trong đó B là hình cầu chứa A (X
0
compact vì nó
là tập đóng, bị chặn của và vì giao của hai tập lồi là tập lồi nên nó là tập

lồi).
Do đó
( )
0
.convA F A⊃ ∩
Từ hai bao hàm thức trên suy ra tập hợp
convA là giao tất cả tập hợp con
compact của
n
¡
, chứa
A
từ đó nó là compact.
W
Khi nghiên cứu thể tích các thể lồi. Ta xuất phát từ không
gian Euclide hữu hạn chiều
n
¡
. Sau đó trang bị cho không gian
các thể lồi một metric. Metric này gọi là metric Hausdorff.
1.2. Metric Hausdorff
1.2.1. Định nghĩa. Giả sử
( , )
n
ρ
¡
là không gian metric,
n
A ⊂ ¡
và

0
ε
>
.
Tập
( ) {x ( , ) }
n
A x A
ε
ρ ε
= ∈ ≤¡
được gọi là
ε
−
bao của
A
hoặc hình cầu mở rộng của
A
.
* Ví dụ.
1 1
( (O,1)) (O,2); ([0,1]) [ 1,2].B B= = −
Gọi
n
C
là họ các tập compact khác rỗng trong không gian
metric
( , )
n
ρ

¡
. Với mọi
,
n
A B C∈
, đặt:

( , ) inf{ 0 ( )
H
A B A B
ε
ρ ε
= > ⊂
và
( ) } (1.1) B A
ε
⊂
1.2.2. Định lí.
:
n n
H
C C
ρ
× → ¡
là một metric.
Ta gọi
H
ρ
là metric Hausdorff.
Chứng minh. a)

(1.1) ( , ) 0, , . (1.2)
n
H
A B A B C
ρ
⇒ ≥ ∀ ∈
Lấy
,
n
A B C∈
suy ra
,A B
đóng trong
.
n
¡
Suy ra
0
( )A A
ε
ε
>
∩ =
và
0
( )B B
ε
ε
>
∩ =

.
Rỏ
ràng:
( , ) 0 0, ( )
H
A B A B
ε
ρ ε
= ⇔ ∀ > ⊂
và
( )B A
ε
⊂

A B
⇔ ⊂
và
. (1.3)B A A B
⊂ ⇔ =
b) Do tính đối xứng của A,B trong định nghĩa:
(1.1) ( , ) ( , ), , . (1.4)
n
H H
A B B A A B C
ρ ρ
⇒ = ∀ ∈
c) Lấy
, ,
n
A B C C∈

,
Giả sử
, ,A B C
không đôi một phân biệt. Chẳng hạn
.A B
=

( , ) 0
H
A B
ρ
⇒ =

( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ). (1.5)
H H H
H H H
A B B C B C
A B B C A C
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
⇒ + =
⇒ + =
Giả sử
, ,A B C
đôi một phân biệt. Đặt
0
( , )
H
A B

ε ρ
=
và
0
( , )
H
B C
δ ρ
=
.
Tập
{ >0 ( )A B
ε
ε
⊂
và
( ) }B A
ε
⊂
là đóng. Suy ra
( , )
H
A B
ρ
bị
chặn dưới bởi phần tử trong nó. Suy ra
0
( )A B
ε
⊂

và
0
( )B A
ε
⊂
.
Tương tự:
0
( )B C
δ
⊂
và
0
( )C B
δ
⊂
.

0 0
( )A C
ε δ
+
⇒ ⊂
và
0 0
( ) .C A
ε δ
+
⊂
0 0

( , ) ( , ) ( , ). (1.6)
H H H
A C A B B C
ρ ε δ ρ ρ
⇒ ≤ + = +
Từ
(1.2),(1.3),(1.4),(1.5),(1.6)
H
ρ
⇒
là một metric.
W
1.2.3. Định nghĩa. Giới hạn trong không gian
( , )
n
H
C
ρ
được
gọi là giới hạn Hausdorff:
lim lim ( , ) 0.
H n H n
A A A A
ρ
= ⇔ =
Ta trang bị cho họ tất cả các tập con của
n
¡

hai phép toán để

chúng trở thành một cấu trúc không gian. Hai phép toán đó gọi
chung là phép toán Minkowski.
1.3. Phép toán Minkowski
1.3.1. Định nghĩa
i. Cho
, , {a + b , }
n
A B A B a A b B⊂ + = ∈ ∈¡
được gọi là tổng
Minkowski của
A
và
.B
ii. Cho
, , {ta }
n
A t tA a A
⊂ ∈ = ∈
¡ ¡
được gọi là tích
Minkowski của
A
với
t
.
tA là ảnh của
A

qua phép vị tự tâm O tỉ số t.
* Ví dụ.Cho

[1,2]; B = [3,4]A =
và
3
λ
=

khi đó ta có:
[4,6]A B+ =
và
[3,6].A
λ
=
1.3.2. Định lí
i. Tổng Minkowski liên tục trên
.
n n
C C×
ii. Tích Minkowski của
A

với một số không âm liên tục trên
n
C
.
Chứng minh
i. Như ta biết, hội tụ trong tích Descartes tương đương hội tụ theo từng
tọa độ, nó không phụ thuộc vào sự lựa chọn mêtric trong tích Descartes. Vì
thế để chứng
minh mệnh đề, ta chỉ cần chứng minh rằng :

0,
ε
∀ >
0,
δ
∃ >
1 2 1 2
, , ,
n
A A B B C∀ ∈
,
( )
, , 1,2
i i
A B i
ρ δ
Η
≤ =

( )
1 2 1 2
,A A B B
ρ ε
Η
⇒ + + ≤
.

Giả sử
0
ε

>
và
2
ε
δ
=
. Nếu
( )
, , 1,2
i i
A B i
ρ δ
Η
≤ =
thì
( )
i i
A B
δ
⊂
và
( )
.
i i
B A
δ
⊂
Suy ra
( )
1 2 1 2

A A B B
ε
+ ⊂ +
và
( )
1 2 1 2
B B A A
ε
+ ⊂ +
nghĩa là
( )
1 2 1 2
,A A B B
ρ ε
Η
+ + ≤
.
ii. Nếu
0t
=
thì
{0}, A C
n
tA = ∀ ∈
. Suy ra phép nhân trên
n
C
liên tục với t = 0. Giả sử
0t
>

.
0
ε
∀ >
chọn
t
ε
δ
=
.
Nếu
( , )
H
A B
ρ δ
≤
thì
( )A B
δ
⊂
và
( ) .B A
δ
⊂
Suy ra
( )tA tB
ε
⊂
và
( )tB tA

ε
⊂
. Suy ra
( , ) .
H
tA tB
ρ ε
≤
W

1.3.3. Định lí. Tổ hợp tuyến tính hữu hạn các tập lồi là tập
lồi.
Chứng minh.
Giả sử
, 1,
n
i
A i n⊂ =¡
là các tập lồi và
, 1, .
i
i n
λ
∈ =¡
Ta sẽ chứng minh tập hợp
1 1 2 2 n n
A A A A
λ λ λ
= + + +L
là tập lồi.

Thật vậy, lấy
,x y A∈
và
[0,1]
λ
∈
Giả sử
1 1
,
n n
i i i i
i i
x x y y
λ λ
= =
= =
∑ ∑
trong đó
, , 1,
i i i
x y A i n∈ =
. Khi đó
1 1 1
(1 ) (1 ) ( (1 ) )
n n n
i i i i i i i
x y x y x y
λ λ λ λ λ λ λ λ λ
+ − = + − = + −
∑ ∑ ∑

Vì các tập
i
A
là lồi nên
(1 ) , 1, .
i i i
x y A i n
λ λ
+ − ∈ ∀ =

(1 ) .x y A
λ λ
⇒ + − ∈ W
1.3.4. Định lí.
n
K

đóng kín đối với phép cộng Minkowski và
tích Minkowski với một số không âm.
Chứng minh.Theo 1.3.3. phép toán Minkowski bảo toàn tính
lồi.
Theo 1.3.2. phép toán Minkowski bảo toàn tính compact.
W
1.3.5. Định lí.
,A B
φ
∀ ≠

trong
n

¡
ta có:
i.
( ) ( ) ( );C A B C A C B+ = +
ii.
( ) ( ).C A C A
λ λ
=
Chứng minh. i. Ta chứng minh:
a)
( ) ( ) ( )C A B C A C B+ ⊂ +
Lấy
( )x C A B∈ +

suy ra
x
là tổ hợp lồi của các điểm thuộc
A B+
,
tức là tồn tại
1 1 2
, , [0,1]; a , , , ;
k k
t t a a A∈ ∈

1 2
, , ,
k
b b b B∈

sao cho
1
1
k
i
i
t
=
=
∑
và
( )
1 1 1
k k k
i i i i i i i
i i i
x t a b t a t b
= = =
= + = +
∑ ∑ ∑
.

Suy ra
( ) ( ).x C A C B∈ +
Suy ra
( ) ( ) ( ).C A B C A C B+ ⊂ +
b)
( ) ( ) ( ).C A B C A C B+ ⊃ +
Lấy
( ) ( )y C A C B∈ +

suy ra tồn tại
1 2 1 2
, , , ; , , , [0,1]
k l
t t t s s s ∈
sao cho
1 1
1
k l
i i
i i
t s
= =
= =
∑ ∑
và
1 1
k l
i i i i
i i
y t a s b
= =
= +
∑ ∑
.
Ta có thể giả sử
k l=
vì nếu
k l≠
chẳng hạn

k l>
thì ta bổ
sung vào dãy
1 2
, , ,
l
s s s
các số
1 2
, , ,
l l k
s s s
+ +
là các số đều bằng
không.
Đặt
1 1
, .
k k
i i i i
i i
a t a b s b
= =
= =
∑ ∑
Khi đó:
1 1 , 1
( ) ( ) ( )
k k k
i i i j i j

i i i j
y s a t b t s a b
= = =
= + = +
∑ ∑ ∑
Trong đó
, 1 1 1 1 1
( ) ( )( ) 1.
k k k k k
i j i j i j
i j i j i j
t s t s t s
= = = = =
= = =
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
Suy ra
( )x C A B∈ +
suy ra
( ) ( ) ( ).C A B C A C B+ ⊃ +
ii. Lấy
( )x C A
λ
∈
suy ra
x
là tổ hợp lồi của các điểm thuộc
A
λ
tức là tồn tại
1 1 2

, , [0,1]; a , , ,
k k
t t a a A
λ λ λ λ
∈ ∈
với
1 2
a , , ,
k
a a A∈
sao cho
1
1
k
i
i
t
=
=
∑
và
1 1
( ) .
k k
i i i i
i i
x t a t a
λ λ
= =
= =

∑ ∑

Suy ra
( )x C A
λ
∈
suy ra
( ) ( ).C A C A
λ λ
⊂
Lấy
( )y C A
λ
∈
suy ra tồn tại
1 2 1 2
, , , [0,1]; , , ,
l l
s s s b b b A∈ ∈
sao cho
1
1
l
i
i
s
=
=
∑
và

1 1
( )
l l
i i i i
i i
y s b s b
λ λ
= =
= =
∑ ∑
.
Suy ra
( )y C A
λ
∈
suy ra
( ) ( ).C A C A
λ λ
⊃ W
1.3.6. Định lí. Giả sử
,
n
A∈¡
khi đó ta có conv
( ).A C A=
Chứng minh. Vì conv
A
là tập lồi nên conv
A
chứa mọi tổ

hợp lồi các phần tử của
A
.Suy ra conv
( ).A C A⊃
Lấy
, ( ); [0,1]x y C A
λ
∈ ∈
. Giả sử
1 1
;
m n
i i j j
i j
x x y y
λ µ
= =
= =
∑ ∑
Trong đó
, ; , [0,1]; i=1, , 1,
i j i j
x y A m j n
λ µ
∈ ∈ =
;
1 1
1; 1
m n
i j

i j
λ µ
= =
= =
∑ ∑
.
Suy ra
1 1
(1 ) 1
m n
i j
i j
λλ λ µ
= =
+ − =
∑ ∑
;
,(1 ) [0,1]
i j
λλ λ µ
− ∈
Và
1 1
(1 ) ( ) ((1 ) ) .
m n
i i j j
i j
x y x y
λ λ λλ λ µ
= =

+ − = + −
∑ ∑
Suy ra
(1 ) ( )x y C A
λ λ
+ − ∈
suy ra
( )C A
là tập lồi.
Ta lại có
( )C A
là tổ hợp lồi các phần tử của
A
nên
( )A C A⊂
.
Do convA là tập lồi nhỏ nhất chứa A, suy ra conv
( ).A C A⊂ W
1.3.7. Định lí.
n
P
khép kín đối với phép toán Minkowski.
Chứng minh:
- Giả sử
,
n
P Q P∈
và
P
=

conv
0 1
{a ,a , ,a }, Q =
k
conv
0 1
{b ,b , ,b }.
l
Theo 1.3.5. i. và 1.3.6. ta có
P Q+ =
conv
{a +b 1, , 1, }.
i j
i k j l= =
Suy ra
.
n
P Q P+ ∈
- Giả sử
n
P P∈
và
0
λ
≥
và
P
=
conv
0 1

{a ,a , ,a }
k
.
Theo 1.3.5. ii. và 1.3.6. ta có
P
λ
=
conv
0 1
{ a , a , , a }
k
λ λ λ
.
Suy ra
.
n
P P
λ
∈ W
1.4. Siêu phẳng tựa
1.4.1. Định nghĩa
i. Phẳng của
n
¡
là tập hợp có dạng A = x + L, trong đó L là một
không gian vectơ con của
n
¡
. Số chiều của L được lấy làm số chiều của A.
Siêu phẳng trong

n
¡
là phẳng có số chiều là n-1.
ii. Trong
n
¡
cho siêu phẳng
H
. Gọi hai nữa không gian bờ
H

lần lượt tương ứng là
H
+
và
.H
−
Khi đó
H
được gọi là siêu
phẳng tựa của tập
n
C ⊂ ¡
nếu
C H
+
⊂
hoặc
C H
−

⊂
và
C H∩ ≠ ∅
. Nếu
C H
+
∈
(tương ứng
C H
−
∈
) thì
H
+
(tương ứng
H
−
) được gọi là không gian tựa của
.C
* Ví dụ. Trong
3
,¡
cho tứ diện
ABCD
. Khi đó các mặt phẳng
( ), ( ),ABC ACD
( ), ( )ABD BCD
là các siêu phẳng tựa của tứ diện
ABCD
. Mặt phẳng có điểm chung duy nhất (là một đỉnh nào đó)

với tứ diện
ABCD
là siêu phẳng tựa của tứ diện
ABCD
. Mặt
phẳng đi qua một cạnh nào đó của tứ diện
ABCD
và chỉ có các
điểm chung đó với tứ diện
ABCD
là siêu phẳng tựa của tứ diện
ABCD
.
1.4.2. Định nghĩa. Giả sử
P
là một đa diện lồi và
H
là một
siêu phẳng tựa của
P
. Khi đó tập
F P H= ∩

được gọi là diện
của
P
. Diện của
P
có số chiều lớn nhất được gọi là mặt của
.P

* Ví dụ. Trong
3
,¡
cho tứ diện
.ABCD
Khi đó các tam giác
, ,ABC ACD

,ABD BCD
, các cạnh AB,BC,…, các đỉnh A, B, C,
D là các diện của tứ diện
ABCD
; các tam giác
, ,ABC ACD
,ABD BCD
là các mặt của tứ diện
ABCD
.
1.4.3. Định lí. Giả sử
, 0
n
A K
ε
∈ >
và
X
là một hình đa diện
lồi bị chứa trong
A
. Khi đó tồn tại

n
P P∈
sao cho
( ) .X P A P
ε
⊂ ⊂ ⊂
Chứng minh
Vì
A
là tập compact nên có một phủ hữu hạn của nó gồm các
hình
cầu
1 2
{ , , , }
k
B B B
có tâm trong
A
sao cho
({x })
i i
B
ε
=

và các đỉnh
của
X
thuộc tập
1 2

{x ,x , ,x }
k
.
Đặt P = conv
1 2
{x ,x , ,x }
k

thì
X P A⊂ ⊂
(Vì
A
là lồi và hình
đa diện lồi
X
là bao lồi của tập các đỉnh của nó).
Lấy
x A
∈
. Khi đó tồn tại
{1,2, ,k}i∈
sao cho
i
x B∈
.
Suy ra
( , ) ( , )
i
x P x x
ρ ρ ε

≤ ≤
suy ra
( )x P
ε
∈

suy ra
( )A P
ε
⊂
.
W
1.4.4. Định lí.
n
A K∀ ∈
tồn tại một họ các hình đa diện lồi
1
( ( ))P
λ
λ
>
sao cho:
1, ( ) ( )P A P
λ λ λ λ
∀ > ⊂ ⊂
và
1
lim ( ( ), ) 0.
H
P A

λ
ρ λ
→
=
Chứng minh
Gọi
X
là hình hộp n chiều tâm O chứa
A
và
α
là độ dài cạnh
của nó.
1
λ
∀ >
đặt
( ) ( 1).
2
α
ε λ λ
= −
Theo Định lí 1.4.3. ta có với mọi
1
λ
>
tồn tại hình đa diện
( )P
λ
thỏa mãn điều kiện

( )
( ) ( ( )) .X P A P
ε λ
λ λ
⊂ ⊂ ⊂
Mặt khác vì
1
lim ( ) 0
λ
ε λ
→
=
nên
( , ( )) 0
H
A P
ρ λ
→
khi
1
λ
→
.
Lấy
( ),x P
λ λ
∉
với
1
λ

>
. Khi đó tồn tại điểm
y
sao cho
[O, ] ( ( )) {y}x bd P
λ λ
∩ =
Suy ra tồn tại một mặt
F
của
( )P
λ
sao cho
.y F
λ
∈
Gọi
H
là siêu phẳng chứa
F
suy ra
H
là siêu phẳng tựa của
( )P
λ
.
'H
là siêu phẳng qua
x
và song song với

.H
Khi đó:
' ( )H P
λ λ φ
∩ =
và
( , ( )) ( , ) is ( , ') is ( , ) ( , ) ( , )x P x H d t H H d t H H O H O H
ρ λ ρ λ ρ λ ρ
≥ = > = −

( 1) ( , ) ( 1) ( , ) ( 1) ( , )O H O bdP O bdX
λ ρ λ ρ λ ρ
= − ≥ − ≥ −

( 1) ( ).
2
α
λ ε λ
≥ − =
Suy ra
( )
( ( ))x P
ε λ
λ
∉
suy ra
( )
( ( )) ( ).P P
ε λ
λ λ λ

⊂ W
Khái niệm liên hệ mật thiết với hàm đánh giá là khái niệm
độ đo, đặc biệt là độ đo Lebesgue mà luận văn trình bày ở phần
tiếp theo.
1.5. Một số vấn đề về độ đo
1.5.1. Định nghĩa. Kí hiệu
1
{x 1}
n n
x
−
= ∈ =
¡S
với
1 2
( , , , )
n
x x x x=
và
2 2 2
1 2 n
x x x x= + + +L
.
Với
\{0}
n
x∈¡
ta kí hiệu
r x=
và

'
x
x
x
=
.
Ánh xạ
( ) ( , ')x r xΦ =
là song ánh liên tục từ
\{0}
n
¡
lên
1
(0, ) .
n−
∞ ×S
Ánh xạ ngược
1−
Φ
của
Φ
cũng liên tục(
1
( , ') 'r x rx
−
Φ =
).
Gọi
V

là độ đo Lebesgue trong
n
¡
.

*
V
là độ đo Borel trên
1
(0, )
n−
∞ ×S
(độ đo trên σ-đại số Borel
của
1
(0, )
n−
∞ ×S
cảm sinh bởi
Φ
và
,V
tức là
* 1
( ) ( ( ))V E V E
−
= Φ
).
Ta định nghĩa độ đo
n

ρ ρ
=
trên
(0, )∞

là độ đo Borel xác định
bởi
1
( ) .
n
E
E r dr
ρ
−
=
∫
1.5.2. Định lí.Tồn tại duy nhất độ đo Borel
1n
σ σ
−
=
trên
1n
−
S
sao cho
*
V
ρ σ
= ×

. Nếu
f
là đo được Borel trên
n
¡
và
0f ≥
hoặc
f
là hàm khả tích Lebesgue trên
n
¡
thì
1
1
0
( ) ( ) ( ') ( ') .
n n
n
f x d x f rx r d x dr
σ
−
∞
−
=
∫ ∫ ∫
¡ S

Chứng minh. Nếu
f

là hàm đặc trưng thì đẳng thức trong
định lí đúng vì đó là biểu diễn của
*
.V
ρ σ
= ×
Từ đó nó đúng với
f
là hàm đơn giản, với
0f ≥
hoặc
f
là hàm khả tích Lebesgue
trên
n
¡
.
Xét
E
là tập Borel trong
1
.
n−
S
Với
0a
>
đặt
1
((0, ] E) {rx 0 , }.

a
E a r a x E
−
= Φ × = < ≤ ∈
Để đẳng thức trong định lí đúng thì khi
1
E
f
χ
=
ta có
1
1
1 1 1
1
0
0
( ) ( ') ( ) ( ).
n n
E
V E r d x dr E r dr n E
σ σ σ
− − −
= = =
∫∫ ∫
Vì vậy ta định nghĩa
1
( ) ( ).E nV E
σ
=

Ánh xạ
1
E E→
biến tập Borel thành tập Borel nên
σ
là độ đo
Borel trên
1n
−
S
. Do
a
E
là ảnh của
1
E
qua ánh xạ
axx a
nên
1
( ) ( )
n
a
V E a V E=
.Suy ra với
0 a b< <
:
* 1
(( , ] E) ( \ ) ( ) ( )
n n

b a
V a b V E E n b a E
σ
−
× = = −
1
( ) (( , ] ).
b
n
a
E r dr a b E
σ ρ σ
−
= = × ×
∫

Cố định
E
thuộc σ-đại số Borel của
1n−
S
và giả sử
E
A
là họ
các hợp hữu hạn rời nhau của các tập dạng
( , ]a b E×
. Suy ra
E
A

là một đại số trên
( , ]a b E×
, nó sinh ra σ-đại số
{A E
E
A
µ
= ×
thuộc σ-đại số Borel của
(0, )}∞
. Suy ra
*
V
ρ σ
= ×
trên
E
A
suy ra
*
V
ρ σ
= ×
trên
E
µ
. Nhưng
{
E
E

µ
∪
thuộc σ-đại số Borel của
1
}
n−
S
chứa tất cả các gian Borel của
1
(0, )
n−
∞ ×S
nên
*
V
ρ σ
= ×
trên tất cả các tập Borel.
W
CHƯƠNG 2. HÀM ĐÁNH GIÁ VÀ ỨNG DỤNG
CỦA CHÚNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP
Như đã nói trong phần mở đầu thì hàm đánh giá là một khái
niệm khái quát của khái niệm độ đo, vì vậy nó cũng là khái
niệm mở rộng của khái niệm độ dài, diện tích và thể tích. Ta sẽ
đi xây dựng khái niệm tổng quát là thể tích của một thể lồi.
2.1. Hàm đánh giá
2.1.1. Định nghĩa. Xét họ các tập hợp
L

với quan hệ thứ tự

trên
L
là quan hệ bao hàm. Nếu với hai phần tử bất kì
,A B L∈
mà
A B
∪
và
A B
∩
cũng thuộc
L
thì
L

được gọi là một dàn. Ký
hiệu:
( , , )L ∩ ∪
.
Giả sử
S

là một họ các tập hợp. Nếu tồn tại một họ
( )L S
chứa
S
sao cho
( ( ), , )L S ∩ ∪
là một dàn thì ta gọi
( )L S

là dàn
sinh bởi
S
.
Giả sử
S
là một họ các tập hợp,
S
được gọi là có tính chất
giao nếu
,A B S∈
thì
A B S
∩ ∈
.
* Ví dụ
1. Đại số và
σ
−
đại số là các dàn.
2.Ta có
σ
−
đại số sinh bởi tập hợp
S
là dàn sinh bởi
S
.
3.
,

n n
K P

là những họ có tính chất giao.
2.1.2. Định nghĩa. Giả sử
S
là một dàn các tập hợp. Một
hàm thực
Φ

trên
S
được gọi là một hàm đánh giá trên
S
nếu:
( ) 0
φ
Φ =
nếu
S
φ
∈
và
( ) ( ) ( ) ( )A B A B A BΦ ∪ + Φ ∩ = Φ + Φ
với
, , ,A B A B A B S∪ ∩ ∈
.
Hàm đánh giá
Φ

được gọi là liên tục nếu nó liên tục với
metric Hausdorff.
Hàm đánh giá
Φ
được gọi là đơn nếu
,dim ( ) 0.P S P n P∀ ∈ < ⇒ Φ =
* Ví dụ. Độ đo trên
σ
−
đại số
S
là một hàm đánh giá trên
S
.
2.1.3. Định nghĩa. Giả sử
( , , )L ∩ ∪
là một dàn các phép toán
của dàn là giao và hợp.
: LΦ → ¡
là hàm đánh giá trên
L
. Khi
đó ta có công thức sau:

( )
)
2
1
( ) (
j

m i i
i i j
C C C C C C
<
∪ Φ
Φ ∪ ∪ = − Φ ∩ +
∑ ∑
2
1
1
( ) ( 1) ( ). (2.1)
m
i j m
k
i j k
C C C C C C
−
< <
Φ ∩
Φ ∩ ∩ − + − ∩ ∩
∑
Với
1 2
, , ,
m
C C C L∈
và các chỉ số trong tổng chạy từ 1
tới m.
Ta gọi I là các bộ k số
1 2

{ , , , {1, , }} ,
k
I i i i m
φ
≠ = ⊆K
với
1 2
1,2, , ; 1
k
k m i i i m
= ≤ < < < ≤
, và đặt
1 2
, .
k
I i i i
C C C C I k= ∩ ∩ ∩ =
Khi đó (2.1) có thể được viết dưới dạng như sau:

1
1 2
( ) ( 1) ( )
I
m I
I
C C C C
−
Φ ∪ ∪ ∪ = − Φ
∑
với

1 2
, , ,
m
C C C L
∈
K
.
(2.2)
Công thức (2.1) hoặc (2.2) được gọi là công thức bao hàm -
loại trừ. Hàm
Φ
có tính chất (2.1) hoặc (2.2) được gọi là thỏa
mãn công thức bao hàm loại trừ trên ℝ.
2.1.4. Định lí. Giả sử
S
là một họ các tập có tính chất
giao và
: SΦ → ¡
là một hàm đánh giá. Khi đó các khẳng định
sau tương đương:
i.
Φ
thỏa mãn công thức bao hàm- loại trừ trên
S
.
ii.
Φ
có mở rộng duy nhất thành hàm đánh giá trên
( )L S
.

Chứng minh. ii. => i. Vì
S
có tính chất giao nên
( )L S

bao
gồm mọi giao có được của hữu hạn tập của
S
.
Nếu
Φ
có thể mở rộng thành hàm đánh giá trên
( )L S

thì sự
mở rộng này thỏa mãn công thức bao hàm - loại trừ trên L. Suy
ra hàm đánh giá
Φ
trên S phải thỏa mãn công thức này trên một
họ có tính chất giao trên
S
.

1
1 2
( ) ( 1) ( ),
I
m I
I
C C C C

−
Φ ∪ ∪ ∪ = − Φ
∑
vớ i
1 2 1 2
, , , , . (2.3)
m m
C C C C C C S
∩ ∩ ∩ ∈
Vậy (2.3) là điều kiện cần để hàm đánh giá
Φ
trên
S

mở rộ ng
đượ c thà nh hà m đá nh giá trên
( )L S
.
i.=>ii.Trước hết ta chỉ ra rằng:

( )
( )
1 1
( 1) ( 1) ,
I J
I J
I J
C D
− −
− Φ = − Φ

∑ ∑
với
1 2 1 2
, , , , . (2.4)
m n
C C C D D D S
∩ ∩ ∩ ∈
K K
Lúc
1 2 1 2m n
C C C D D D∪ ∪ ∪ = ∪ ∪ ∪K K

( )
1
1
1 2
1 ( ) ( 1) ( ( ))
I
I
I I n
I I
C C D D D
−
−
− Φ = − Φ ∩ ∪ ∪ ∪
∑ ∑

1
1 2
1 1

1 1 1
( 1) (( ) ( ) ( ))
( 1) ( 1) ( )
( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( ).
I
I I I n
I
I J
I J
I J
J I J
J I J
J I J
C D C D C D
C D
D C D
−
− −
− − −
= − Φ ∩ ∪ ∩ ∪ ∪ ∩
= − − Φ ∩
= − − Φ ∩ = − Φ
∑
∑ ∑
∑ ∑ ∑
Suy ra (2.4) đã được chứng minh.
Ta xác định hàm
: L
Φ →
¡

như sau

1
1 2
( ) ( 1) ( )
I
m I
I
C C C C
−
Φ ∪ ∪ ∪ = − Φ
∑
vớ i
1 2
, , ,
m
C C C S
∈
K
.
(2.5)
ở đây ở vế phải theo nghĩa là hàm đánh giá
Φ

cho trên
S
. Do
(2.4) nên hàm
Φ

này xác định.
Ta chỉ ra rằng:
Φ
là hàm đánh giá trên
(S)L
.
(2.6)
Để chứng minh (2.6) trước hết chứng minh mệnh đề sau:
Giả sử
L
là tập hợp hữu hạn không rỗng khi đó

,
( 1) ( 1) . (2.7)
J K L
J K
J K L
φ
+
≠
∪ =
− = − −
∑
Để cho đơn giản trong cách viết, trong tất cả các tổng ta bỏ qua
( 1)
J K+
−
. Ta chứng minh bằng cách quy nạp theo
L

.
Với
L
= 1, (2.7) đúng hiển nhiên.
Giả sử
L
= l>1 và (2.7) đúng cho l – 1.Ta giả sử l = {1,2,…,m}.
Ta có:
, , , ,J K i J K i J i K i J i K
J K L J K L J K L J K L
φ
≠ ∈ ∈ ∉ ∉ ∈
∪ = ∪ = ∪ = ∪ =
= + +
∑ ∑ ∑ ∑
.
Chú ý rằng
1 1 2
, {i}, , {i} {i} ,
2( 1) ( 1)
L L
i J i K J i K i J K J K
J K L J K L J K L J K L
+ − +
∈ ∈ = ∈ ∈ = ∈
∪ = ∪ = ∪ = ∪ =
= + + = − − −
∑ ∑ ∑ ∑
.
1 1

, {i} , J={i},
( 1) ( 1)
L L
i J K J i K i K
J K L J K L J K L
− +
∈ ∉ ⊆ ∉ ∉
∪ = ∪ = ∪ =
= + = − − −
∑ ∑ ∑
.