Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi Trung Học Phổ Thông thông qua dạy học chủ đề bất đẳng thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN TẤT THU
BỒI DƯỠNG TƯ DUY SÁNG TẠO CHO
HỌC SINH KHÁ GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ
BẤT ĐẲNG THỨC
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGHỆ AN, 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN TẤT THU
BỒI DƯỠNG TƯ DUY SÁNG TẠO CHO
HỌC SINH KHÁ GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ
BẤT ĐẲNG THỨC
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.10
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. TRẦN ANH TUẤN
NGHỆ AN, 2013
LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Anh Tuấn đã tận tình hướng
dẫn, hết lòng giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn
này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy giáo trong chuyên ngành Lý luận và
Phương pháp dạy học bộ môn Toán, trường Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy và giúp
đỡ tác giả trong quá trình thực hiện luận văn.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban chủ nhiệm cùng quý thầy cô khoa Toán,
phòng Đào tạo Sau đại học, trường Đại học Vinh và phòng Tổ chức Cán bộ trường Đại

học Sài Gòn đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập, thực hiện
và hoàn thành luận văn.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu và các đồng nghiệp ở Trường THPT
Chuyên Lương Thế Vình, Biên Hòa, Đồng Nai cùng gia đình, bạn bè đã động viên, tạo
điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu và thực nghiệm sư phạm.
Dù đã rất cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả
mong nhận được sự góp ý chân thành của quý thầy, cô giáo và các bạn.
Nghệ An, tháng 10 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Tất Thu
MỤC LỤC
Tran
g
MỞ ĐẦU 1
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5
1.1. Một số vấn đề về tư duy 5
1.2. Tư duy sáng tạo 10
1.3. Một số thành tố đặc trưng của tư duy sáng tạo 13
1.4. Toán bất đẳng thức trong chương trình Toán ở Trường phổ thông 19
1.5. Vài nét nhận thức của học sinh khá, giỏi 23
1.6. Thực trạng dạy học chủ đề bất đẳng thức ở trường Trung học phổ thông 25
1.7. Kết luận chương 1 27
Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP CHỦ YẾU BỒI DƯỠNG TƯ DUY SÁNG
TẠO CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ
BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
28
2.1. Một số định hướng sư phạm của việc đề ra các biện pháp 28
2.2. Một số biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh
khá, giỏi thông qua dạy học chủ đề bất đẳng thức
28

2.3. Kết luận chương 2 83
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 84
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm 84
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm 84
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm 87
3.4. Kết luận chương 3 89
KẾT LUẬN 90
TÀI LIỆU THAM KHẢO 91
1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Nhằm đáp ứng các yêu cầu về sự nghiệp công nghiệp hóa - hiện đại hóa
đất nước và bắt kịp sự phát triển của xã hội trong điều kiện bùng nổ thông tin,
sự xâm nhập tin học vào tất cả các lĩnh vực trong cuộc sống, ngành giáo dục
và đào tạo phải đổi mới phương pháp dạy học một cách mạnh mẽ nhằm đào
tạo ra những con người có đầy đủ phẩm chất của người lao động trong nền
sản xuất tự động hóa như: năng động, sáng tạo, tự chủ, kỷ luật nghiêm, có
tính tổ chức, tính trật tự của các hành động và có ý thức suy nghĩ tìm giải
pháp tối ưu khi giải quyết công việc.
Những định hướng đổi mới về phương pháp dạy học đã được thể hiện
trong các Nghị quyết: Nghị quyết hội nghị lần thứ IV BCH trung ương Đảng
Cộng sản Việt Nam (khóa IV, 1993) nêu rõ: Mục tiêu giáo dục đào tạo phải
hướng vào việc đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng
lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực thể
hiện mục tiêu lớn của đất nước.
Về phương pháp giáo dục và đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ II
BCH TW Đảng cộng sản Việt Nam (khóa VIII, 1997) đã đề ra:"Phải đổi mới
phương pháp đào tạo, khắc phục lối truyền đạt một chiều, rèn luyện thành nếp
tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng những phương pháp tiên
tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời

gian tự học, tự nghiên cứu".
Điều 24, Luật giáo dục (1998) quy định:" Phương pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, tư duy sáng tạo của học
sinh, , bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức
vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho
học sinh".
2
Luật giáo dục nước Cộng Hoà Xã Hội Chủ Nghĩa Việt Nam (2005) quy
định: “phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác,
chủ động sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn
học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức
vào thực tiễn”.
Muốn đạt được điều đó, một trong những việc cần thiết phải thực hiện
trong quá trình dạy học là phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua
hầu hết các hình thức dạy học.
Trong việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ở trường phổ thông,
môn Toán đóng vai trò rất quan trọng. Bởi vì, Toán học có một vai trò to lớn
trong sự phát triển của các ngành khoa học và kỹ thuật, toán học có liên quan
chặt chẽ và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa
học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội hiện đại, toán học còn là một
công cụ để học tập và nghiên cứu các môn học khác.
Bất đẳng thức là chủ đề xuất hiện từ rất sớm trong chương trình toán
phổ thông, ngay từ lúc còn học ở tiểu học thì học sinh đã làm quen với bất
đẳng thức với việc so sánh các số tự nhiên, các phân số và bất đẳng thức
xuất hiện trong tất cả các phân môn của toán học như đại số, hình học, số học,
và đặc biệt khái niệm về giới hạn trong phân môn giải tích được xây dựng dựa
vào các đánh giá bất đẳng thức. Do đó, dạy học chủ đề bất đẳng thức là cơ hội
tốt để bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông.
Vấn đề bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh đã được nhiều tác giả
trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Với tác phẩm "Sáng tạo toán học"

nổi tiếng, nhà toán học kiêm tâm lý học G.Polya đã nghiên cứu bản chất của
quá trình giải toán, quá trình sáng tạo toán học. Đồng thời trong tác phẩm
"Tâm lý năng lực toán học của học sinh", Krutecxiki đã nghiên cứu cấu trúc
năng lực toán học của học sinh. Ở nước ta, các tác giả Hoàng Chúng, Nguyễn
3
Cảnh Toàn, Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, Tôn Thân,
Phạm Gia Đức,… đã có nhiều công trình giải quyết những vấn đề về lý luận
và thực tiễn việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Hay như luận văn
Thạc sĩ của Từ Hữu Sơn (2004) : "Góp phần bồi dưỡng một số yếu tố đặc
trưng của tư duy sáng tạo lý thuyết đồ thị", luận văn thạc sỹ của Phạm Xuân
Chung (2001): "Khai thác sách giáo khoa hình học 10 THPT hiện hành qua
một số dạng bài tập điển hình nhằm phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho
học sinh".
Như vậy, việc bồi dưỡng và phát triển tư duy sáng tạo trong hoạt động
dạy học toán được rất nhiều nhà nghiên cứu quan tâm. Tuy nhiên, việc bồi
dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi thông qua dạy học chủ đề bất
đẳng thức thì các tác giả chưa khai thác và đi sâu vào nghiên cứu cụ thể.
Vì vậy, tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn này là: "Bồi dưỡng tư duy
sáng tạo cho học sinh khá, giỏi ở trường trung học phổ thông thông qua
dạy học chủ đề Bất đẳng thức".
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn này là nghiên cứu và đề xuất một số biện pháp
nhằm góp phần rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi thông qua
dạy học chủ đề Bất đẳng thức.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu dạy học chủ đề Bất đẳng thức theo hướng bồi dưỡng tư duy sáng
tạo cho học sinh thì có thể nâng cao chất lượng dạy học toán ở trường phổ
thông trung học đồng thời góp phần đổi mới phương pháp dạy học hiện nay.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
4.1. Hệ thống hoá một số vấn đề lý luận về tư duy, tư duy sáng tạo.

4.2. Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng tư duy sáng tạo
thông qua việc dạy học chủ đề Bất đẳng thức.
4
4.3. Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính
hiện thực, tính hiệu quả của đề tài.
5. Phương pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học, tâm lý học, lý luận dạy học
môn Toán.
- Các sách báo về phương pháp giải toán phục vụ cho đề tài.
- Các công trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài.
5.2. Quan sát
- Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên, việc học của học sinh trong
quá trình khai thác các bài tập sách giáo khoa và các bài tập trong các tài liệu
tham khảo.
5.3. Thực nghiệm sư phạm
Tiến hành thực nghiệm sư phạm với lớp học thực nghiệm và lớp học
đối chứng trên cùng một lớp đối tượng.
6. Đóng góp của luận văn
6.1. Xây dựng một số biện pháp sư phạm có tác dụng bồi dưỡng các
năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh Trung học phổ thông qua dạy học chủ
đề bất đẳng thức
6.2. Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho học sinh bậc Trung học
phổ thông và các giáo viên dạy Toán.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, nội dung luận văn gồm 3 chương:
5
Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số vấn đề về tư duy

1.1.1. Khái niệm về tư duy
“Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những bản chất, những mối
quan hệ có tính chất qui luật của sự vật hiện tượng mà trước đó chủ thể chưa
biết”
Ở mức độ nhận thức cảm tính, con người chỉ phản ánh các thuộc tính ở
góc độ trực quan, cụ thể, bề ngoài, các mối quan hệ về mặt không gian, thời
gian và trạng thái vận động của sự vật hiện tượng, phản ánh trực tiếp bằng
giác quan cái đang tác động. Còn tư duy thường bắt đầu từ nhận thức lí tính,
trên cơ sở của nhận thức cảm tính. Tư duy phản ánh những thuộc tính bên
trong, những mối quan hệ có tính chất qui luật của hàng loạt sự vật hiện
tượng, những điều mà con người chưa biết cần phải tìm tòi, khám phá và giải
quyết.
1.1.2. Đặc điểm của tư duy
Tư duy thuộc mức độ nhận thức lý tính, nó có những đặc điểm cơ bản
sau:
- Tính “có vấn đề” của tư duy: Tư duy chỉ xuất hiện khi gặp những
hoàn cảnh, những tình huống “có vấn đề”. Tức là những tình huống chứa
đựng một mục đích một vấn đề mới mà những hiểu biết cũ, phương pháp
hành động cũ không đủ sức giải quyết. Để đạt được mục đích mới đó con
người phải tìm cách thức mới để giải quyết nghĩa là phải tư duy. Nhưng hoàn
cảnh có vấn đề đó phải được cá nhân nhận thức một cách đầy đủ, chuyển
thành nhiệm vụ của cá nhân, tức là cá nhân phải xác định cái gì đã cho, cái gì
cần tìm và phải có động cơ tìm kiếm các yếu tố đó.
6
- Tính gián tiếp của tư duy: Con người sử dụng ngôn ngữ để tư duy,
nhờ ngôn ngữ mà con người sử dụng các kết quả nhận thức (quy tắc công
thức, quy luật, khái niệm,…) vào quá trình tư duy (phân tích, tổng hợp, so
sánh, khái quát,…) để nhận thức được cái bên trong, bản chất của sự vật hiện
tượng. Nhờ đó mở rộng không giới hạn những khả năng nhận thức của con
người.

- Tính trừu tượng và khái quát của tư duy:
Tư duy không phản ánh sự vật hiện tượng một cách cụ thể, riêng lẻ mà
có khả năng trừu xuất khỏi sự vật, hiện tượng những thuộc tính, những dấu
hiệu cá biệt cụ thể chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất chung cho nhiều sự
vật và hiện tượng. Từ đó khái quát những sự vật, hiện tượng riêng lẻ có
những thuộc tính bản chất chung thành một nhóm, một loại, một phạm trù.
Tính trừu tượng và khái quát của tư duy giúp con người không những giải
quyết được nhiệm vụ ở hiện tại mà còn có thể giải quyết được nhiệm vụ ở
tương lai.
- Tư duy và ngôn ngữ:
Tư duy và ngôn ngữ có mối quan hệ mật thiết với nhau. Nếu không có
ngôn ngữ thì quá trình tư duy ở con người không thể diễn ra được. Ngôn ngữ
cố định lại các kết quả của tư duy, là phương tiện biểu đạt kết quả của tư duy.
Ngược lại nếu không có tư duy thì ngôn ngữ chỉ là những chuỗi âm thanh vô
nghĩa. Muốn phát triển tư duy phải gắn với trao dồi ngôn ngữ. Tuy nhiên
ngôn ngữ không phải là tư duy, ngôn ngữ chỉ là phương tiện của tư duy.
- Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính:
X.L.Rubinstein khẳng định “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy
trừu tượng, tựa hồ như làm thành chỗ dựa cho tư duy” (dẫn theo Nguyễn Văn
Thuận 2004, tr. 9). Tư duy thường bắt đầu từ nhận thức cảm tính, trên cơ sở
đó mà nảy sinh “tình huống có vấn đề”.
7
Tư duy và những kết quả của nó ảnh hưởng mạnh mẽ, chi phối khả năng
phản ánh của nhận thức cảm tính, làm cho con người nhạy bén hơn, tri giác
mang tính lựa chọn, tính ý nghĩa. Ph.Angghen đã viết: “Nhập vào với con mắt
của chúng ta chẳng những có các cảm giác khác mà còn có cả hoạt động tư
duy của ta nữa”.
- Tư duy là một quá trình: tư duy được xét như một quá trình, nghĩa là tư
duy có nảy sinh, diễn biến và kết thúc. Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai
đoạn kế tiếp nhau được minh hoạ bởi sơ đồ (do K. K. Plantônôv đưa ra):

Sơ đồ 1
(Dẫn theo Nguyễn Văn Thuận 2004, tr. 10)
- Quá trình tư duy là một hành động trí tuệ: quá trình tư duy được diễn ra
bằng cách chủ thể tiến hành những thao tác trí tuệ nhất định. Có rất nhiều thao
8
tác trí tuệ tham gia vào một quá trình tư duy cụ thể với tư cách một hành động
trí tuệ: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá,
1.1.3. Các thao tác tư duy
Về bản chất, tư duy là một quá trình cá nhân thực hiện các thao tác trí tuệ
để giải quyết vấn đề hay nhiệm vụ đặt ra.
1.1.3.1. Phân tích – tổng hợp
Phân tích là quá trình dùng trí óc để phân chia đối tượng nhận thức
thành những “bộ phận”, những thuộc tính, những mối liên hệ và quan hệ giữa
chúng để nhận thức đối tượng sâu sắc hơn.
Tổng hợp là quá trình dùng trí óc để hợp nhất những “bộ phận” đã
được phân tích.
Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết với nhau, bổ sung cho nhau
tạo thành sự thống nhất không tách rời được.
Ví dụ 1: Để tìm công thức tính diện tích của một tứ giác, ta chia tứ giác
đó thành hai tam giác rồi tính diện tích hai tam giác đó. Tổng diện tích hai
tam giác là diện tích tứ giác. Như vậy việc phân tích tứ giác thành hai tam
giác sau đó tổng hợp lại đi đến công thức tính diện tích tứ giác là một nữa tích
hai đường chéo nhân với sin của góc giữa hai đường chéo.
1.1.3.2. So sánh
So sánh là quá trình dùng trí óc để xác định sự giống nhau hay khác
nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau
giữa các đối tượng nhận thức.
Ví dụ 2: So sánh hai khái niệm: Đường tròn và mặt cầu.
Giống nhau: Gồm các điểm M sao cho OM = R.
Khác nhau: Đường tròn: Các điểm M cùng thuộc một mặt phẳng.

Mặt cầu: Các điểm M thuộc không gian.
1.1.3.3. Trừu tượng hóa và khái quát hóa
9
Trừu tượng hóa là quá trình dùng trí óc để gạt bỏ những mặt, những
thuộc tính không cần thiết về phương diện nào đó và chỉ giữ lại những yếu tố
cần thiết để tư duy. Ví dụ: Khi nói đến hình chóp ta nghĩ đến hình có đáy là
đa giác, đỉnh và các mặt bên là các tam giác, ta không để ý đến các thuộc tính
cụ thể như hình chóp đều, hình chóp tam giác, …
Khái quát hóa là quá trình dùng trí óc để bao quát nhiều đối tượng khác
nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính chung nhất định.
Ví dụ 3: Từ các trường hợp hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông
nội tiếp trong đường tròn, có thể khái quát hóa điều kiện để tứ giác nội tiếp
trong đường tròn.
Trừu tượng hóa và khái quát hóa có mối quan hệ mật thiết với nhau, chi
phối và bổ sung cho nhau như mối quan hệ giữa phân tích và tổng hợp nhưng
ở mức độ cao hơn.
1.1.4. Một số loại hình tư duy toán học
Hoạt động tư duy phụ thuộc vào đối tượng tư duy. Trong toán học có
một số loại hình tư duy sau:
- Tư duy hình thức và tư duy biện chứng;
- Tư duy phê phán, tư duy giải toán và tư duy sáng tạo;
- Tư duy ngữ nghĩa và tư duy cú pháp;
- Tư duy thuật giải;
- Tư duy hàm.
Sự phân chia các loại hình tư duy toán học chỉ mang tính tương đối. Hiện
nay chưa có sự phân loại nào triệt để và thống nhất. Mặc dù mỗi loại hình tư duy
có những đặc điểm, đặc trưng khác nhau nhưng chúng không hoàn toàn độc lập
với nhau, giữa chúng cũng có sự liên hệ, hỗ trợ nhau. Tư duy sáng tạo là một
trong những thành phần quan trọng của tư duy toán học. Rèn luyện tư duy sáng
tạo trong môn toán sẽ góp phần phát triển tư duy toán học cho học sinh.

10
1.2. Tư duy sáng tạo
Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải
quyết vấn đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có. Nội dung của
sáng tạo gồm hai ý chính có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích
(giá trị hơn cái cũ). Như vậy sự sáng tạo cần thiết cho bất kỳ hoạt động nào
của xã hội loài người. Sáng tạo thường được nghiên cứu trên nhiều phương
diện như là một quá trình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, như một kiểu
tư duy, như là một năng lực của con người.
Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng
tạo. Theo Nguyễn Bá Kim: "Tính linh hoạt, tính dộc lập và tính phê phán là
những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những
mặt khác nhau của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở
khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết
quả mới. Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ" (Nguyễn Bá
Kim - Phương pháp dạy học bộ môn Toán)
Theo Tôn Thân quan niệm: "Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc
lập tạo ra ý tưởng mới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao". Và
theo tác giả "Tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó không bị gò bó phụ
thuộc vào cái đã có. Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích
vừa trong việc tìm giải pháp. Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất
đậm dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo ra nó. (Tôn Thân - Xây dựng hệ thống câu
hỏi và bài tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh
khá và giỏi Toán ở trường THCS Việt Nam, luận án phó Tiến sỹ khoa học sư
phạm - Tâm lý, Viện khoa học giáo dục Hà Nội)
Nhà tâm lý học người Đức Mehlhow cho rằng "Tư duy sáng tạo là hạt
nhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục"
Theo ông, tư duy sáng tạo được đặc trưng bởi mức độ cao của chất lượng,
11
hoạt động trí tuệ như tính mềm dẻo, tính nhạy cảm, tính kế hoạch, tính chính

xác. Trong khi đó, J.DanTon lại cho rằng "Tư duy sáng tạo đó là những năng
lực tìm thấy những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ, là một chức
năng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách
dạy và học bao gồm những chuỗi phiêu lưu, chứa đựng những điều như: sự
khám phá, sự phát sinh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thám
hiểm".
Trong cuốn: "Sáng tạo Toán học", G.Polya cho rằng: "Một tư duy gọi
là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó. Có
thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài
toán sau này. Các bài toán vận dụng những tư liệu phương tiện này có số
lượng càng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy
càng cao, thí dụ: lúc những cố gắng của người giải vạch ra được các phương
thức giải áp dụng cho những bài toán khác. Việc làm của người giải có thể là
sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy không
giải được nhưng tốt vì đã gợi ra cho người khác những suy nghĩ có hiệu quả".
Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với người học Toán:
"Đối với người học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đương
đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng
biết. Như vậy, một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các
thao tác giải nó không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàn
toàn), tức là nếu người giải chưa biết trước thuật toán để giải và phải tiến hành tìm
hiểu những bước đi chưa biết trước. Nhà trường phổ thông có thể chuẩn bị cho
học sinh sẵn sàng hoạt động sáng tạo theo nội dung vừa trình bày.
Theo định nghĩa thông thường và phổ biến nhất của tư duy sáng tạo thì
đó là tư duy sáng tạo ra cái mới. Thật vậy, tư duy sáng tạo dẫn đến những tri
12
thức mới về thế giới về các phương thức hoạt động. Lene đã chỉ ra các thuộc
tính sau đây của tư duy sáng tạo:
- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống sáng tạo.
- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết "đúng quy cách"

- Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết.
- Nhìn thấy cấu tạo của đối tượng đang nghiên cứu.
- Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm
hiểu lời giải (khả năng xem xét đối tượng ở những phương thức đã biết thành
một phương thức mới).
- Kỹ năng sáng tạo một phương pháp giải độc đáo tuy đã biết nhưng
phương thức khác (Lene - dạy học nên vấn đề - NXBGD - 1977)
Tư duy sáng tạo là tư duy tích cực và tư duy độc lập nhưng không phải
trong tư duy tích cực đều là tư duy độc lập và không phải trong tư duy độc lập
đều là tư duy sáng tạo và có thể biểu hiện mối quan hệ giữa các khái niệm
dưới dạng vòng trong đồng tâm
Có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứng
minh mà học sinh đó chưa biết đến. Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư duy sáng
tạo giải quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ở
tính hợp lý, tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của giải pháp.
13
Nói chung tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng
mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao.
1.3. Một số thành tố đặc trưng của tư duy sáng tạo
Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học, … về cấu trúc
của tư duy sáng tạo, có năm đặc trưng cơ bản sau:
- Tính mềm dẻo
- Tính nhuần nhuyễn
- Tính độc đáo
- Tính hoàn thiện
- Tính nhạy cảm vấn đề
1.3.1. Tính mềm dẻo
Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực dễ dàng đi từ hoạt động trí tuệ
này sang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác tư duy này sang thao tác tư duy
khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu

tượng hoá, khái quát hóa, cụ thể hoá và các phương pháp suy luận như quy
nạp, suy diễn, tương tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác,
điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại.
Tính mềm dẻo của tư duy còn là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh
chóng trật tự của hệ thống tri thức chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc
độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có
sẵn và xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những quan
hệ mới, hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật và điều phán
đoán. Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến
thức kỹ năng đã có sẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó có những
yếu tố đã thay đổi, có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những
kinh nghiệm, những phương pháp, những cách suy nghĩ đã có từ trước. Đó là
14
nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của
đối tượng quen biết.
Như vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tư duy
sáng tạo, do đó để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ta có thể cho các em
giải các bài tập mà thông qua đó rèn luyện được tính mềm dẻo của tư duy.
Ví dụ 1. Cho các số thực dương
, ,x y z
thỏa
3+ + =x y z
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức:
3
3
3
1+ + +
=
+ +

x y z
P
xy yz zx
Lời giải.
Vì tử số có bậc nhỏ hơn mẫu số nên việc đánh giá tử số lớn hơn mẫu số gặp
khó khăn. Tuy nhiên giả thiết của bài toán và biểu thức P là những biểu thức
đối xứng ba biến nên ta dự đoạn giá trị nhỏ nhất của P đạt được khi x=y=z=1.
Khi đó giá trị nhỏ nhất của P bằng
4
3
. Điều này gợi ý ta đi chứng minh
4
3
³P
Hay là:
3
3
3
1
4
3
+ + +
³
+ +
x y z
xy yz zx
( )
( )
3
3

3
3 3 4Û + + + ³ + +x y z xy yz zx
( )
( )
2
2 2 2
3
3
3
3 3 2( ) 2 18Û + + + + + + ³ + + =x y z x y z x y z
( )
2 2 2
3
3
3
2( ) 3 15Û + + + + + ³x y z x y z
(1).
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 5 số ta có:

2 2 2
3 3 3 3
2 3 5+ = + + + + ³x x x x x x x x
Tương tự:
2 2
3
3
2 3 5 ; 2 3 5+ ³ + ³y y y z z z
Cộng ba bất đẳng thức trên ta có:
( )
( )

2 2 2
3
3
3
2( ) 3 5 15+ + + + + ³ + + =x y z x y z x y z
15
Suy ra bất đẳng thức (1) đúng. Từ đó, suy ra
4
3
³P
và đẳng thức có khi
x=y=z=1.
Vậy
4
min
3
=P
.
Ở bài toán trên, ta thấy việc đánh giá trực tiếp biểu thức
³P k
gặp khó khăn,
ta đưa ra dự đoán giá trị nhỏ nhất của P và chuyển việc tìm giá trị nhỏ nhất
của P về việc chứng minh một bất đẳng thức. Đó là sự khéo léo xoay chuyển
vấn đề và chính là tính mềm dẻo trong giải toán.
1.3.2. Tính nhuần nhuyễn
Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách
nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các hình huống, hoàn
cảnh, đưa ra giả thuyết mới. Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất
lượng của ý tưởng sinh ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo.
Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng

nhất định các ý tưởng. Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả
năng xuất hiện ý tưởng độc đáo, trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh
ra chất lượng. Tính nhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở 2 đặc trưng sau:
- Tính đa dạng của cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải
pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một vấn đề cần
giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm ra và đề xuất được
nhiều phương án khác nhau và từ đó tìm ra được phương án tối ưu.
- Khả năng xem xét đối tượng nhiều khía cạnh khác nhau có cái nhìn
sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ không phải cái nhìn
bất biến, phiến diện, cứng nhắc
Ví dụ 2. Cho
Î ¡x
. Chứng minh rằng:
2 2
2 2 2 2 2 2- + + + + ³x x x x
(2)
16
Cỏch 1. Ta xột v trỏi ca bt ng thc l mt hm s, ta ch cn i
kho sỏt hm s ny ta cú c kt qu.
Xột hm s
2 2
( ) 2 2 2 2= - + + + +f x x x x x
vi
ẻ Ăx
.
Ta cú:
2 2
1 1
'( )
2 1 2 2

- +
= +
- + + +
x x
f x
x x x x
Suy ra
2 2
'( ) 0 (1 ) ( 1) 1 ( 1) ( 1) 1= - + + = + - +f x x x x x
2 2 2 2
(1 )(1 ) 0
(1 ) ( 1) 1 ( 1) ( 1) 1
ỡ
- +
ù
ù
ù

ớ
ộ ự ộ ự
ù
- + + = + - +
ờ ỳ ờ ỳ
ù
ở ỷ ở ỷ
ù
ợ
x x
x x x x
2 2

(1 )(1 ) 0
0
(1 ) (1 )
ỡ
- +
ù
ù
=
ớ
ù
- = +
ù
ợ
x x
x
x x
.
Do
lim ( )
đƠ
=+Ơ
x
f x
v
(0) 2 2=f
nờn ta suy ra
min ( ) 2 2
ẻ
=
Ăx

f x
hay
( ) 2 2f x
(pcm).
Cỏch 2:Nhn thy
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 4
2 2 2 2 2 4 4 4- + + + = + - = + x x x x x x x
Nờn ỏp dng bt ng thc Cụ si ta cú:
2 2 2 2
4
2 2 2 2 2 ( 2 2)( 2 2) 2 2- + + + + - + + + x x x x x x x x
.
ng thc xy ra khi
0=x
.
Cỏch 3: Ta cú
2 2 2 2
2 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) 1- + + + + = - + + + +x x x x x x
Nờn gi ý cho chỳng ta s dng vộc t.
Xột hai vộc t
( )
1 ;1 , ( 1;1) (2;2)= - = + ị + =
r r r r
u x v x u v
17
Áp dụng bất đẳng thức
+ ³ +
r r r r

u v u v
ta có:
2 2 2 2
( 1) 1 ( 1) 1 2 2 2 2- + + + + ³ + =x x
(đpcm).
Cách 4: Ta có thể chứng minh bất đẳng thức (2) bằng cách biến đổi tương
đương như sau
Ta có bất đẳng thức (2) tương đương với
2 2 2
2 4 2 ( 2 2)( 2 2) 8+ + - + + + ³x x x x x
4 2
4 2Û + ³ -x x
(3)
Nếu
2
2 0 (3)x- £ Þ
đúng
Nếu
2
2 0- ³x
thì
4 2 2 2
(3) 4 (2 ) 4 0Û + ³ - Û ³x x x
(luôn đúng)
Từ đó suy ra (2) đúng.
Cách 5: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có:
2 2
1 1 2
2 2 (1 ) 1
2 2

- + -
- + = - + ³ =
x x
x x x
2 2
1 1 2
2 2 (1 ) 1
2 2
+ + +
+ + = + + ³ =
x x
x x x
Do đó
2 2
(2) 2 2
2 2
- +
³ + =
x x
VT
. Đẳng thức xảy ra khi
0=x
.
1.3.3. Tính độc đáo
Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi các khả năng.
- Khả năng tìm ra những hiện tượng mới và những kết hợp mới.
- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên
ngoài liên tưởng như không có liên hệ với nhau.
- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.
Ví dụ 3. Cho các số thực a,b,c thỏa: sina+sinb+sinc ≥

3
2
. Chứng minh rằng
18
sin sin sin 0
6 6 6
ổ ử ổ ử ổ ử
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
- + - + -
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ

a b c
.
Li gii.
Ta s dng bt ng thc sau
" ẻ Ăx
:
2 3 1
sin sin
6 3 2
p
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
- -

ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
x x
(4)
Khai trin v bin i tng ng, bt ng thc trờn tr thnh:
cos 1
6
ổ ử
ữ
ỗ
- Ê
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

x
(ỳng!)
T ú, ta cú:
2 3 3
sin sin sin sin sin sin 0
6 6 6 3 2
ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
- + - + - + + -

ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ

a b c a b c
ng thc xy ra khi v ch khi
cos cos cos 1
6 6 6
3
sin sin sin
2
ỡ
ổ ử ổ ử ổ ử
ù
ữ ữ ữ
ù
ỗ ỗ ỗ
- = - = - =
ữ ữ ữ
ù
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ù
ố ứ ố ứ ố ứ
ù
ớ
ù

ù
+ + =
ù
ù
ù
ợ

a b c
a b c
Hay
, , 2 ,
6
ỡ ỹ
ù ù
ù ù
ẻ + ẻ
ớ ý
ù ù
ù ù
ợ ỵ
Â

a b c k k
.
Li gii trờn rt c ỏo, v cú c iu ú nh phỏt hin ra bt ng thc
(4). T gi thit v yờu cu ca bi toỏn gi cho ta tỡm mt ỏnh giỏ cú dng:
sin sin
6
p
a b

ổ ử
ữ
ỗ
- +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
a a
Trong ú
,a b
l cỏc s thc,
0a >
v ng thc cú c khi
6
p
=a
.
1.3.4. Tớnh hon thin
Tớnh hon thin l kh nng lp k hoch, phi hp cỏc ý ngha v hnh
ng, phỏt trin ý tng, kim tra v kim chng ý tng.
1.3.5. Tớnh nhy cm vn
Tớnh nhy cm vn cú cỏc c trng sau:
19
- Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề
- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu từ
đó có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới.
Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan
hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng chuyển từ

hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện
cho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau
(tính nhuần nhuyễn) và nhờ đó đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà
có thể tìm được giải pháp lạ, đặc sắc (tính độc đáo). Các yếu tố này có quan
hệ khăng khít với các yếu tố khác như: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính
nhạy cảm vấn đề. Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên
tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người.
Các yếu tố cơ bản của tư duy sáng tạo nêu trên đã biểu hiện khá rõ ở
học sinh nói chung và đặc biệt rõ nét đối với học sinh khá giỏi. Trong học tập
Toán mà cụ thể là trong hoạt động giải toán, các em đã biết di chuyển, thay
đổi các hoạt động trí tuệ, biết sử dụng xen kẽ phân tích và tổng hợp, dùng
phân tích trong khi tìm tòi lời giải và dùng tổng hợp để trình bày lời giải. ở
học sinh khá và giỏi cũng có sự biểu hiện các yếu tố đặc trưng của tư duy
sáng tạo. Điều quan trọng là người giáo viên phải có phương pháp dạy học
thích hợp để có thể bồi dưỡng và phát triển tốt hơn năng lực sáng tạo ở các
em.
1.4. Toán bất đẳng thức trong chương trình môn Toán ở trường
phổ thông.
1.4.1. Toán bất đẳng thức
Toán bất đẳng thức xuất hiện từ rất sớm. Ngay từ cấp Tiểu học, học
sinh đã làm quen với toán bất đẳng thức thông qua việc so sánh các số tự
nhiên và so sánh các phân số
20
Ví dụ 4. Hãy sắp xếp các số sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn
2,4,5,6,7,8,10.
Hay các bài toán về điền các dấu <, =, > thích hợp vào ô trống, sắp xếp
các số tự nhiên theo thứ tự tăng dần…
Ví dụ 5. Điền dấu <, =, > vào các ô trống
Lên cấp Trung học cơ sở, học sinh được làm quen với toán bất đẳng
thức qua việc so sánh các đa thức, các phân thức hữu tỉ và các căn thức và

một số tính chất của bất đẳng thức.
Ví dụ 6. Với a,b≥0 thì
£ Û £a b a b
Ở lớp 10 của cấp học Trung học phổ thông, học sinh được học đầy đủ về khái
niệm, các tính chất của bất đẳng thức và một số bất đẳng thức cổ điển.
Tóm lại, toán bất đẳng thức được trình bày trong chưng trình toán phổ thông
qua hai mức độ
Thứ nhất : Bất đẳng thức được trình bày ở dạng tiềm ẩn ở bậc tiểu học
Thứ hai : Bất đẳng thức được trình bày dưới dạng tường minh ở Trung học cơ
sở và Trung học phổ thông.
Hơn nữa bất đẳng thức được ứng dụng hầu như trong các phân môn của Toán
học. Trong Hình học, bất đẳng thức xuất hiện ở các bài toán bất đẳng thức và
cực trị hình học hay một số khái niệm về khoảng cách, trong giải tích thì bất
đẳng thức xuất hiện ở các khái niệm khởi đầu là khái niệm giới hạn dãy số.
Trong Đại số thì bất đẳng thức xuất hiện nhiều nhất với sự phong phú đa dạng
về dạng toán cũng như phương pháp giải.
1.4.2. Tiềm năng của chủ đề bất đẳng thức trong việc bồi dưỡng tư duy
sáng tạo cho học sinh.
21
Các nhà tâm lý học cho rằng: "Sáng tạo bắt đầu từ thời điểm mà các
phương pháp logic để giải quyết nhiệm vụ là không đủ và gặp trở ngại hoặc
kết quả không đáp ứng được các đòi hỏi đặt ra từ đầu, hoặc xuất hiện giải
pháp mới tốt hơn giải pháp cũ".
Trong quá trình học Toán thì kỹ năng vận dụng Toán học là quan trọng
nhất, nhà trường phổ thông không chỉ cung cấp cho học sinh những kiến thức
Toán học, mà còn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng tính độc lập, sự độc
đáo và khả năng sáng tạo.
Khi tìm lời giải cho một bài toán, người học phải vận dụng các hoạt
động trí tuệ, huy động các kiến thức và kĩ năng đã biết để giải quyết bài toán
đó. Qúa trình sáng tạo thể hiện ở các mặt như: khả năng tìm hướng đi mới

(khả năng tìm nhiều lời giải khác nhau cho một bài toán), khả năng tìm ra kết
quả mới (khai thác các kết quả của một bài toán, xem xét các khía cạnh khác
nhau của một bài toán).
Bất đẳng thức được trình bày xuyên suốt quá trình học toán ở bậc phổ
thông ở dạng tiềm ẩn đến dạng tường minh. Sự phong phú về phương pháp
giải tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh có thể tìm ra được nhiều hướng để đi
đến đích của bài toán.
Các bài toán bất đẳng thức thường được phát biểu cho các số thực hoặc
các số thực dương, nên khi thay đổi hình thức của các biến hoặc biến đổi
tương đương các bất đẳng thức ta sẽ được các bất đẳng thức mới.
Ví dụ 7. Với bất đẳng thức a
2
+b
2
+c
2
≥ab+bc+ca với a,b,c là các số thực
có thể được biến đổi dưới nhiều hình thức khác nhau, chẳng hạn:
(a+b+c)
2
≥3(ab+bc+ca)
3(a
2
+b
2
+c
2
)≥(a+b+c)
2
Hay cho c=1, ta có bất đẳng thức:a

2
+b
2
+c
2
≥ab+b+a.