Bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh THCS khá và giỏi thông qua dạy học giải toán cực trị trong hình học phẳng

1

Lời cảm ơn
Nhân dịp này em xin tỏ lòng biết ơn đến TS.Trần Anh Tuấn, ngời đà trực tiếp
hớng dẫn nhiệt tình chu đáo trong suốt thời gian làm luận văn. Qua đây cũng cho em
đợc tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy giáo trong khoa Toán, các thầy trong tổ Bộ
môn Lý luận và PPGD Toán đà giảng dạy trong thời gian vừa qua. Em cũng xin gửi lời
cảm ơn đến Ban giám hiệu Trờng THCS Nhân Thành cùng tập thể GV đà tạo mọi
điều kiện để em đợc tham gia khoá học 14 đào tạo Thạc sĩ tại Vinh, cảm ơn gia đình,
ngời thân, bạn bè ®· cỉ vị ®éng viªn, gióp ®ì trong thêi gian tham gia khoá học.

Vinh 12/ 2008
Học viên: Nguyễn Thanh Tùng

Quy ớc về các chữ viết tắt
sử dụng trong luận văn
Viết tắt
HS :
GV:
NXB:
THCS:
SGK:
KHGD:

Viết đầy đủ
Học sinh
Giáo viên
Nhà xuất bản
Trung học cơ së
S¸ch gi¸o khoa
Khoa häc gi¸o dơc

2

Mục lục
Trang
Mở đầu.......................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài.....................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu...............................................................................2
3. Giả thuyết khoa học................................................................................3
4. Nhiệm vụ nghiên cứu..............................................................................3
5. Phơng pháp nghiên cứu...........................................................................3
5.1. Nghiên cứu lý luận..............................................................................3
5.2. Điều tra khảo sát..................................................................................3
5.3. Thực nghiệm s phạm............................................................................3
6. Những đóng góp của luận văn.................................................................4
6.1. Về mặt lý luận......................................................................................4
6.2. Về mặt thực tiễn..................................................................................4
7. Cấu trúc của luận văn..............................................................................4
Chơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn........................................................5
1.1. T duy sáng tạo và một số thành tố đặc trng của t duy sáng tạo...........5
1.1.1. T duy.................................................................................................5


3
1.1.2. T duy sáng tạo...................................................................................7
1.1.3. Một số thành tố đặc trng của t duy sáng tạo...................................10
1.2. Toán cực trị hình học trong chơng trình toán THCS..........................15
1.2.1. Bài toán cực trị hình học.................................................................15
1.2.2. Tác dụng của bài tập cực trị hình học đối với HS...........................16

1.2.3. Tiến trình phát triển bài tập cực trị hình học trong chơng trình
toán THCS.......................................................................................................17
1.2.4. Các mức độ phát triển bài tập cực trị hình học...............................19
1.2.5. Một số kiến thức thờng dùng để giải bài toán cực trị hình học......21
1.2.6. Một số chú ý trong dạy học giải bài tập cực trị hình học...............23
1.3. Vài nét về nhận thức của HS bậc THCS khá và giỏi..........................25
1.3.1. Về nhận thức của HS bậc THCS khá và giỏi..................................25
1.3.2. Một số biểu hiện của t duy sáng tạo ở HS bậc THCS trong học tập
...........................................................................................................................28
1.4. Thực trạng dạy học giải toán cực trị hình học ở trờng THCS đối với
yêu cầu phát triển t duy sáng tạo của HS .........................................................29
1.5. Kết luận chơng 1................................................................................30
Chơng 2: Biện pháp chủ yếu bồi dỡng một số yếu tố của t duy sáng tạo
cho HS bậc THCS khá và giỏi thông qua dạy học giải toán cực trị hình học
...........................................................................................................................32
2.1. Một số căn cứ để xây dựng biện pháp ..............................................32
2.1.1. Dựa vào định hớng đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay............32
2.1.2. Bài toán cực trị hình học cần đợc xây dựng trên cơ sở thích hợp với
nội dung kiến thức quy định trong chơng trình SGK hiện hành.......................33
2.1.3. Hệ thống bài toán cực trị hình học đa ra trên cơ sở làm rõ mối quan
hệ giữa toán học và thực tiễn, tăng cờng khả năng ứng dụng...........................33
2.1.4. Bài toán cực trị hình học cần đợc xây dựng và khai thác trên cơ sở
phù hợp với đối tợng HS, phù hợp với quỹ thời gian........................................33


4
2.1.5. Dựa vào các thành tựu nghiên cứu về t duy sáng tạo của tâm lý học
hiện đại và các ngành khoa học khác................................................................34
2.2. Các dạng bài tập cực trị hình học góp phần bồi dỡng một số ...........34
2.3. Các biện pháp chủ yếu để thực hiện................................................40

2.3.1.Biện pháp 1: Xác định các hớng tiếp cận khác nhau để giải bài toán
cực trị hình học.......................................................................................40
2.3.2. Biện pháp 2: Bồi dỡng t duy sáng tạo kết hợp với các hoạt động trí
tuệ kh¸c.............................................................................................................46
2.3.3 . BiƯn ph¸p 3: Båi dìng t duy s¸ng tạo thông qua rèn luyện khả năng
phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề mới........................................................63
2.4. Kết luận chơng 2................................................................................80
Chơng 3: Thực nghiệm s phạm..............................................................82
3.1. Mục đích thực nghiệm.......................................................................82
3.2. Tổ chøc vµ néi dung thùc nghiƯm......................................................82
3.2.1. Tỉ chøc thùc nghiƯm.......................................................................82
3.2.2. Nội dung thực nghiệm.....................................................................82
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm...........................................................85
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm s phạm.............................................86
Kết luận....................................................................................................88
Tài liệu tham khảo..................................................................................89

Mở đầu
1. lý do chọn đề tài
Đất nớc ta đang trên đờng đổi mới, cần có những con ngời phát triển toàn
diện năng động và sáng tạo. Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và
đào tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới về mọi mặt nh: Mục
tiêu, chơng trình, nội dung, phơng pháp và tổ chức quản lý. Điều này đà đợc
khẳng định trong nghị quyết hội nghị lần thứ t Ban chấp hành trung ơng Đảng


5
cộng sản Việt Nam khoá VII. "Đổi mới phơng pháp dạy và học ở tất cả các cấp,
các bậc học, áp dụng những phơng pháp giáo dục hiện đại để bồi dỡng t duy
sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề". Với mục tiêu đó hoạt động dạy học

không chỉ dừng lại ở việc truyền thụ cho HS những kiến thức, kỹ năng cơ bản
mà còn đặc biệt quan tâm đến việc hình thành và phát triển t duy sáng tạo cho
HS một cách hiệu quả.
Theo A.AStolia. Dạy toán là dạy hoạt động toán học, trong đó hoạt động
chủ yếu là hoạt động giải toán. Bài tập toán mang nhiều chức năng nh chức
năng giáo dục, chức năng giáo dỡng, chức năng kiểm tra và đánh giá. Dạy học
bài tập toán đợc xem là một trong những tình huống điển hình trong dạy học
môn toán, khối lợng bài tập toán ở trờng THCS rất phong phú và đa dạng, có
những bài toán đà có thuật giải, nhng cũng có những bài toán cha có thuật giải.
Đứng trớc những bài toán cha có thuật giải đó ngời GV cần gợi ý, hớng dẫn HS
tìm đờng lối giải quyết bài toán là việc làm mà ngời GV phải thờng xuyên quan
tâm chú ý. Bài tập toán là một trong những phơng tiện dạy học hết sức quan
trọng, nhiều tài liệu lý luận dạy học toán đà xem bài tập là phơng tiện thực hành
giúp HS hiểu sâu hơn về những kiến thức toán học, biết phân tích, tổng hợp và
vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Việc giải quyết những vấn đề liên quan đến
bài toán cực trị hình học chứa đựng nhiều tiềm năng phát triển t duy cho HS,
giúp HS rèn luyện cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt, sáng tạo. Do đó việc dạy
toán ở trờng phổ thông bên cạnh truyền những thụ tri thức khoa học cơ bản cần
phải dạy cho HS suy nghĩ cách phát hiện và giải quyết vấn đề, phát triển t duy
sáng tạo cho HS.
Việc phát triển năng lực t duy sáng tạo cho HS trong học toán có ảnh hởng
trực tiếp đến chất lợng dạy học vì đó là điều kiện tốt để HS tiếp thu kiến thức,
rèn luyện khả năng vận dụng toán, t duy toán học phát triển đòi hỏi các phẩm
chát trí tuệ khác phát triển theo. Tiến hành các hoạt động t duy toán học đa đến
việc hình thành tri thức phơng pháp để xem xét, giải quyết vấn ®Ò mong muèn.


6
Việc giải các bài toán cực trị hình học giúp HS năng lực liên hệ toán học
với thực tiễn. Điều này hoàn toàn có cơ sở đúng đắn, bởi chúng ta biết rằng các

bài toán cực trị hình học thờng cã ngn gèc xt ph¸t tõ thùc tiƠn. Trong thùc
tiƠn, có rất nhiều vấn đề đòi hỏi phải giải quyết sao cho có lợi nhất
ĐÃ có nhiều tài liệu nghiên cứu về t duy sáng tạo chẳng hạn nh bộ sách nổi
tiếng: Sáng tạo toán học, Giải bài toán nh thế nào, Toán học và những suy
luận có lý của G.Polia, T duy và hoạt động toán học của Trần Thúc Trình, Xây
dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nh»m båi dìng mét sè u tè cđa t duy sáng
tạo cho HS khá và giỏi toán ở trờng THCS Việt Nam luận án TS của Tôn Thân
v.v... Tất cả những công trình đó đều khẳng định sự cần thiết phải rèn luyện một
số năng lực về t duy sáng tạo cho HS.
Xuất phát từ những lý do trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: "Bồi dỡng một số yếu tố của t duy sáng tạo cho học sinh THCS khá và giỏi thông
qua dạy học giải toán cực trị trong hình học phẳng"
2. Mục đích nghiên cứu
- Mục đích nghiên cứu của luận văn là hệ thống một số dạng toán cơ bản
về cực trị hình học trong chơng trình hình học ở trờng THCS và các hớng tiếp
cận để giải các bài toán đó.
- Đề xuất một số biện pháp s phạm góp phần bồi dỡng một số yếu tố của t
duy sáng tạo cho HS bậc THCS khá và giỏi thông qua dạy học giải toán cực trị
hình học.
3. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở tôn trọng nội dung chơng trình SGK toán hiện hành ở trờng
THCS nếu trong quá trình dạy học giải các bài toán cực trị hình học chúng ta
xây dựng đợc các biện pháp s phạm thích hợp để bồi dỡng một số yếu tố của t
duy sáng tạo cho HS thì có thể góp phần nâng cao chất lợng dạy và học toán ở
trờng THCS.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Phân tích, tổng hợp, cụ thể hóa khái niệm t duy, t duy sáng tạo


7
- Tìm hiểu về quá trình sáng tạo và năng lực t duy sáng tạo của HS bậc

THCS trong học tập
- Lựa chọn các dạng toán về cực trị hình học có tác dụng rèn luyện t duy
sáng tạo cho HS
- Xác định các biện pháp s phạm cần thực hiƯn nh»m båi dìng mét sè u
tè cđa t duy sáng tạo cho HS.
- Tiến hành làm thực nghiệm s phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiệu
quả của đề tài
5. Phơng pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học môn toán, tâm lí học, phơng pháp
dạy học toán.
- Tìm hiểu về các sách báo, bài viết khoa học toán, các công trình nghiên
cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài.
5.2. Điều tra khảo sát
- Khảo sát thực tiễn dạy và học ở trờng phổ thông bằng cách dự giờ, quan
sát việc dạy của GV và việc học của HS, thăm dò ý kiến GV.
5.3. Thực nghiệm s phạm
- Tiến hành làm thực nghiệm s phạm trên lớp học thực nghiệm và lớp học
đối chứng.
- Phân tích, xử lý kết quả thực nghiệm để so sánh những kết quả thu đợc và
rút ra kết luận.
6. Những đóng góp của luận văn
6.1. Về mặt lý luận
- Góp phần hệ thống hoá một số dạng toán cực trị hình học, làm sáng tỏ
một số vấn đề về t duy sáng tạo, đa ra một số hớng tiếp cận để giải bài toán cực
trị hình học.
6.2. Về mặt thực tiễn


8

- Xây dựng một số biện pháp s phạm có t¸c dơng båi dìng mét sè u tè
cđa t duy sáng tạo cho HS bậc THCS thông qua giải toán cực trị hình học, đáp
ứng đợc yêu cầu đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay.
- Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho HS và GV dạy toán, góp phần
nâng cao chất lợng dạy và học môn toán ở trờng THCS.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo luận văn còn có 3 chơng.
Chơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chơng 2: Biện pháp chủ yếu bồi dỡng một số yếu tố của t duy sáng tạo
cho HS bậc THCS khá và giỏi thông qua dạy học giải toán cực trị hình học.
Chơng 3: Thực nghiệm s phạm.

Chơng 1
Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. T duy sáng tạo và một số thành tố đặc trng của t duy sáng tạo
1.1.1. T duy
1.1.1.1. T duy là gì?
T duy là quá trình suy nghĩ diễn ra trong trí óc, là sự nhận thức phản ánh
những thuộc tính bản chất, những mèi quan hƯ cã tÝnh quy lt cđa sù vËt hiện
tợng trong hiện thực khách quan. Nhà tâm lý học X.L.Rubintein viÕt: “T duy ®ã


9
là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn,
toàn diện hơn so với các t liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể.
Theo từ điển triết học T duy, sản phẩm cao nhất của cái vật chất đợc tổ
chức một cách đặc biệt là bộ nÃo, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách
quan trong các khái niệm phán đoán, lý luận. T duy xuất hiện trong quá trình
hoạt động sản xuất xà hội của con ngời, t duy đợc thực hiện trong mối liên hệ
chặt chẽ với lời nói và những kết quả của t duy đợc ghi nhận trong ngôn ngữ. Tiêu

biểu cho t duy là những quá trình nh trừu tợng hoá, phân tích và tổng hợp, việc nêu
lên những vấn đề nhận định và tìm cách giải quyết chúng. Từ định nghĩa trên ta
có thể rút ra những đặc điểm cơ bản sau đây của t duy:
- T duy là sản phẩm của bộ nÃo con ngời và là một quá trình phản ánh tích
cực thế giới khách quan.
- Kết quả của quá trình t duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và đợc thể hiện
qua ngôn ngữ.
- Bản chất của t duy là phân biệt sự tồn tại độc lập của đối tợng đợc phản
ánh với hình ảnh nhận thức đợc qua khả năng hoạt động suy nghĩ của con ngời
nhằm phản ánh đợc đối tợng.
- T duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo.
- T duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn ®Ị, t duy cã tÝnh kh¸i qu¸t,
cã tÝnh gi¸n tiÕp.
- T duy cã mèi quan hƯ mËt thiÕt víi nhËn thức cảm tính, thờng bắt đầu từ
nhận thức cảm tính. Dù t duy có tính khái quát và trừu tợng đến đâu thì nội
dung của t duy cũng chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, hình tợng tổng quan,).
1.1.1.2. Quá trình t duy
T duy là một quá trình hoạt động trí tuệ. Nghĩa là t duy có nảy sinh diễn
biến và kết thúc. Quá trình t duy bao gồm 4 bớc cơ bản:
1) Xác định đợc vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ t duy. Nói cách khác
là tìm đợc câu hỏi cần giải đáp.
2) Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tởng, hình thành giả thiết về
cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hái.


10
3) Xác minh giả thiết trong thức tiễn, nếu giả thiết đúng thì qua bớc sau,
nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thiết mới.
4) Quyết định đánh giá kết quả, đa ra sử dụng.
Sơ đồ của quá trình t duy do K.K.Platônôp xây dựng theo [33] nh sau:

Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên tưởng

Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Chính xác

Khẳng định

Phủ định

hoá
Giải quyết vấn đề

Hoạt động tư duy mới

Nh vậy quá trình t duy là một quá trình hoạt động vỊ trÝ t cã nhiỊu thao
t¸c trÝ t tham gia vào quá trình t duy cụ thể nh: Phân tích, tổng hợp, so sánh,
trừu tợng hoá và khái quát hoá.
Kết quả của quá trình t duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó biểu hiện ở
khả năng con ngời có thể xây dựng đợc những khái niệm chung gắn liền với sự
trình bày của những quy luật tơng ứng.
1.1.2. T duy sáng tạo
Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là tìm ra cái mới cách giải quyết
vấn đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đà có. Nội dung của sự sáng
tạo bao gåm hai ý chÝnh: Cã tÝnh míi (kh¸c víi c¸i cũ, cái đà biết) và có lợi ích

11
(có giá trị hơn cái cũ). Nh vậy sự sáng tạo bao giờ cũng cần thiết cho bất kỳ
hoạt động nào của xà hội loài ngời. Sáng tạo thờng đợc nghiên cứu trên nhiều
phơng diện nh là một quá trình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, nh một
kiểu t duy nh một năng lực của con ngời.
Trong cuốn Phơng pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy,
nghiên cứu toán học. Tác giả Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng Sáng tạo là sự vận
động của t duy từ những hiểu biết đà có đến những hiểu biết mới. Cũng theo tác
giả thì Ngời có óc sáng tạo là ngời có kinh nghiệm về phát triển và giải quyết
vấn đề [28].
Theo Henry Gleitman Sáng tạo, đó là năng lực tạo ra những giải pháp
mới hoặc duy nhất cho một vấn đề thực tiễn và hữu ích [31].
Theo Lecne [31]. Có hai kiểu t duy cá nhân: Một kiểu gọi là t duy tái hiện,
một kiểu gọi là t duy sáng tạo theo định nghĩa thông thờng và phổ biến nhất của
t duy sáng tạo thì đó là t duy tạo ra cái mới. T duy sáng tạo dẫn đến những tri
thức mới về thế giới và phơng thức hoạt động. Lecne đà chỉ ra các thuộc tính
sau đây của quá trình t duy sáng tạo.
- Có năng lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống mới tình
huống sáng tạo.
- Nhìn thấy vấn đề mới trong các điều kiện, đối tợng quen biết đúng quy
cách.
- Nhìn thấy chức năng mới của đối tợng quen biết.
- Nhìn thấy cấu trúc của đối tợng đang nghiên cứu.
- Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm kiếm
lời giải (khả năng xem xét đối tợng ở những khía cạnh khác nhau, đôi khi mâu
thuẫn nhau).
- Kỹ năng kết hợp những kiến thức giải đà biến thành một phơng thức mới.
- Kỹ năng sáng tạo một phơng thức giải độc đáo tuy đà biến phơng thức
khác.

12
- Nhà tâm lý học Đức Mehlonr cho rằng: T duy sáng tạo là hạt nhân của
sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục [31]. Theo ông,
t duy sáng tạo đặc trng bởi chất lợng hoạt động trí tuệ nh tính mềm dẻo, tính
nhạy cảm.
Khi bàn về quan hệ giữa các khái niệm t duy tích cực, t duy độc lập và t
duy sáng tạo. V. A.Krutexki cho rằng có thể biểu diễn các quan hệ đó dới dạng
những vòng tròn đồng tầm. Đó là những mức độ t duy khác nhau mà mỗi mức
độ t duy đi trớc là tiền đề cho mức độ t duy đi sau. Trong t duy sáng tạo có t duy
tích cực và t duy độc lập, nhng không phải t duy tích cực đều là t duy độc lập và
không phải mọi t duy độc lập là t duy sáng tạo [31].
TD tích cực
TD độc lập
TD sáng tạo

Nét nổi bật của t duy sáng tạo là tạo ra cái mới, điều mới này có thể mới
với ngời này mà không mới đối với ngời khác. Có thể quan niệm sự sáng tạo đối
với ngời học toán, nếu họ tự đơng đầu với những vấn đề mới đối và họ tự tìm tòi
độc lập những vấn đề đó, để tự mình thu nhận đợc cái mới mà họ cha từng biết.
Trong quá trình học toán thì kỹ năng vận dụng kiến thức toán học là quan trọng.
- Nhà trờng phổ thông không những cung cấp cho HS những kiến thức
toán học mà còn luyện cho HS kỹ năng vận dụng, tính độc lập, sự độc đáo và
khả năng sáng tạo.
Chính vì vậy điều quan trọng là hệ thống bài tập cần phải đợc khai thác và
sử dụng hợp lý nhằm rèn luyện cho HS khả năng phát triển t duy sáng tạo biểu
hiện ở các mặt nh: khả năng tìm bớc đi mới (khả năng tìm nhiều lời giải khác
nhau cho một bài toán), khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác các kết quả của
một bài toàn, xem xét các khía cạnh khác nhau của mét bµi toµn).

13
Bài đọc trong SGK tự tìm hiểu cách chứng minh thì trong trờng hợp này có
thể nói đến t duy độc lập.
Có thể nói đến t duy sáng tạo khi HS tự khám phá, tự tìm cách chứng minh
mà HS đó cha biết.
Tác giả Tôn Thân [31] quan niệm: T duy sáng tạo là một dạng t duy độc
lập tạo ra ý tởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao.
Theo tác giả thì t duy sáng tạo là t duy độc lập vì nó không bị gò bó phụ
thuộc vào cái đà có. Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa
trong việc tìm giải pháp. Mỗi sản phẩm của t duy sáng tạo đều mang rất đậm
dấu ấn của mỗi cá nhân đà tạo ra nó.
Tác giả nhấn mạnh rằng: ý tởng mới ở đây thể hiện ở chỗ phát hiện ra vấn
đề mới, tìm ra hớng đi mới, tạo ra kết quả mới, Tính độc đáo của ý tởng mới thể
hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất [31].
Trong khi đó, J.Danton lại cho rằng: T duy sáng tạo đó là những năng lực
tìm thấy những ý nghĩ mới, tìm thấy những mối quan hệ, là một chức năng của
kiến thức, trí tởng tợng và sự đánh giá là một quá trình, một cách dạy và học
bao gồm một chuổi phiêu lu, chứa đựng những điều nh: sự khám phá, sự phát
sinh, sự đổi mới, trí tởng tợng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm.
1.1.3. Một số thành tố đặc trng của t duy sáng tạo
Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học, các nhà khoa học
giáo dục về cấu trúc của t duy sáng tạo thì có thể thấy đợc năm thành tố cơ
bản sau:
Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính nhạy cảm vấn đề,
tính hoàn thiện.
Ngoài năm thành phần cơ bản đó còn có những yếu tố quan trọng nh tính
chính xác năng lực định giá trị, năng lực định nghĩa lại Trong các yếu tố trên
thì 3 yếu tố đầu tiên (tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo) là ba yếu

14
tố đạt sự nhất trí cao trong hầu hết các công trình nghiên cứu về cấu trúc của t
duy sáng tạo [31].
Do đó tác giả cũng xin đợc đề cập đến ba yếu tố đó của t duy sáng tạo.
1.1.3.1. Tính mềm dẻo
Đó là năng lực dễ dàng thay đổi c¸c trËt tù cđa hƯ thèng tri thøc, chun tõ
gèc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật hiện tợng, xây dựng phơng pháp t duy mới, tạo ra sự vật mới trong những mối quan
hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất của sự vật và điều phán
đoán. Tính mềm dẻo của t duy còn làm thay đổi một cách dễ dàng các thái độ
đà cố hữu trong hoạt động trí tuệ của con ngời. Tính mềm dẻo của t duy có các
đặc trng nổi bật sau:
- Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vận
dụng linh hoạt các thao tác phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tợng hoá, khái
quát hoá, đặc biệt hoá và các phơng pháp suy luận nh quy nạp, diễn dịch, tơng
tự.
- Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những
kinh nghiệm, những kiến thức, kỹ năng đà có vào hoàn cảnh míi trong ®ã cã
nhiỊu u tè ®· thay ®ỉi, cã khả năng thoát khỏi ảnh hởng kìm hÃm của những
kinh nghiệm, những cách suy nghĩ, những phơng pháp đà có từ trớc
- Nhận ra những vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức
năng mới của đối tợng quen biết.
Nh vậy tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của t duy sáng
tạo, do đó có thể rèn luyện t duy sáng tạo cho HS ta có thể cho các em giải một
số bài tập mà thông qua đó rèn luyện đợc tính mềm dẻo của t duy.
1.1.3.2. Tính nhuần nhuyễn
Đó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp của các yếu tố riêng
lẽ của tình huống, hoàn cảnh, đa ra giả thuyết mới và ý tởng mới.

15
Tính nhuần nhuyễn đợc đặc trng bởi khả năng tạo ra một số lợng nhất định
các ý tởng. Số ý tởng nghĩ ra đợc càng nhiều thì có nhiều khả năng xuất hiện ý
tởng độc đáo. Trong trờng hợp này có thể nói số lợng làm nảy sinh chất lợng.
Tính nhn nhun cđa t duy thĨ hiƯn râ ë hai đặc trng sau đây.
- Tính đa dạng của cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm đợc nhiều giải
pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trớc một vấn đề cần giải
quyết, ngời có t duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm ra và đề xuất đợc nhiều phơng án khác nhau và từ đó tìm ra đợc phơng án tối u.
- Khả năng xem xét đối tợng nhiều khía cạnh khác nhau có cái nhìn sinh
động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tợng chứ không phải cái nhìn bất biến,
phiến diện, cứng nhắc
1.1.3.3. Tính độc đáo
Tính độc đáo của t duy đợc đặc trng bởi khả năng:
- Khả năng tìm ra những liên tởng và những kết hợp mới.
- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên ngoài tởng nh không có liên hệ với nhau.
- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đà biến những giải pháp khác.
Các yếu tố cơ bản nói trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan
hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng chuyển từ hoạt động
trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác tạo điều kiện cho việc tìm đợc nhiều giải
pháp trên góc độ và tình huống khác nhau và nhờ đó đề xuất đợc nhiều phơng
án khác nhau mà có thể tìm đợc giải pháp lạ, đặc sắc.
Các yếu tố cơ bản cuả t duy sáng tạo nêu trên biểu hiện khá rõ ở HS, đặc
biệt là HS khá, giỏi. Trong học tập toán mà cụ thể là trong hoạt động giải toán,
các em biết di chuyển các hoạt động trí tuệ, biết sử dụng xen kẽ phân tích và
tổng hợp, biết khái quát hoá, đặc biệt hoá, tơng tự
Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho ba tính chất cơ bản đặc trng nhất
của t duy sáng tạo:

16
Ví dụ 1: Cho đờng thẳng a và điểm A không thuộc đờng thẳng a, hai đờng
thẳng thay đổi đi qua A vuông góc với nhau cắt đờng thẳng a ở B và C. Xác
định vị trí hai đờng thẳng vuông góc trên sao cho đoạn BC là nhỏ nhất?
*) Phân tích bài toán:
- Nếu HS sử dụng kiến thức đơn giản ở lớp 7 đó là quan hệ giữa đờng
vuông góc và đơng xiên kẻ từ một điểm tới một đờng thẳng ta có:
Cách giải 1: (Hình 1 + Hình 2)
Xét ABC vuông tại A. Gọi AH, AM theo thứ tự là đờng cao, đờng trung
tuyến của tam giác. Ta cã BC = 2AM.
BC nhá nhÊt ⇔ AM nhá nhất
M

H.Tức là BC = 2AH.

A

Khi đó

ABC vuông cân tại A. Suy ra cách dựng các
đờng thẳng AB và AC:

a

Dựng đờng thẳng a, điểm A a

B

H

C

M

Hình 1

Dựng AH ⊥ a
Dùng B, C ∈ a sao cho HB = HC = HA

A

Dùng AB, AC
- NÕu HS sư dơng quan hệ so sánh giữa góc và
cạnh đối diện trong tam giác thì sẽ có cách giải mà

C

H

B

không cần sử dụng đến điều kiện ABC vuông ở A

Hình 2

Ã
mà chỉ cần BAC = không đổi, từ đó đi đến bài

toán tổng quát và ta có:
Cách giải 2: (Hình 3)

A

Ta chứng minh ABC vuông
cân tại A thì đoạn BC có độ dài nhỏ
nhất.

M
D

Xét hai đờng thẳng bất kỳ vuông

B

E

Hình 3

góc với nhau tại A cắt đờng thẳng a
tại D và E. Gi¶ sư AD > AE ta chøng minh DE > BC

C

a

a


17
Trên tia AD lấy điểm M sao cho AM = AE ⇒ ∆ABM = ∆ACE (c.g.c )

⇒ BM = CE (1)

Ã
Ã
à
Dễ thấy M nằm giữa A và D nên DMB > MBA = ·
ACB = ·
ABC > D .
·
µ
Trong ∆MDB cã DMB > D nªn DB > MB (2). Tõ (1) vµ (2) suy ra:
DB > CE. VËy DE > BC.
Ta có bài toán tổng quát (suy ra từ cách giải 2)
Bài toán tổng quát: Trong các tam giác ABC có à = (không đổi) và
A
chiều cao AH = h (không đổi). Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A thì BC
có độ dài nhỏ nhất?.
Nếu HS biết nhìn nhận bài toán một cách mềm dẻo và thực hiện các thao
tác trí tuệ nh: phân tích, tổng hợp, khái quát hoá thì sẽ nhìn thấy chức năng
mới của đối tợng và huy động đợc những kiến thức cần thiết để giải bài toán,
đồng thời có cách nhìn sinh động từ nhiều phía đối với bài toán. Từ đó tìm đợc
lời giải hợp lý, nghiên cứu đề xuất bàt toán mới, bài toán tổng quát.
Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD, đáy nhỏ AB. Một đờng tròn tâm O ®i qua
®Ønh A vµ B ®ång thêi tiÕp xóc víi đáy lớn CD tại M. M là điểm bất kỳ trên đáy
lớn CD. Chứng minh rằng góc AMB là góc lớn nhất so với góc AMB?
1. Phân tích tìm lời giải:
Muốn chứng minh góc AMB là góc lớn nhất so với mọi góc AMB với M
là điểm bất kỳ trên CD ta làm nh sau: Lấy M bất kỳ trên CD ta chøng minh
’
·

AMB > · ' B . Ta nhận ra rằng Ã
AMB là góc nội tiếp chắn cung AB. Góc AM B
AM

là góc có đỉnh ngoài đờng tròn (O). Ta dễ dàng so sánh đợc hai góc này
đpcm
* Khai thác bài toán:

B

A

Nhận xét 1: Chứng minh
O

Ã
AMB lớn nhất không vận dụng
D

M

Hình 4

M
M'

C


18

gì đến cạnh bên AD và BC của hình thang ABCD. HÃy mở rộng bài toán bằng
cách thay đổi một số dữ kiện của đề bài, chẳng hạn bỏ điều kiện Hình thang
ABCD và đặt vấn đề thay cạnh CD của hình thang bằng đờng thẳng d, với A, B
bất kỳ trên (O), khi đó AB sẽ không còn song song với d. Ta có bài toán tơng
tự:
Bài toán 1: Cho đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn tâm O tại M. Trên đờng tròn (O) lấy hai điểm A, B bÊt kú kh¸c M. Chøng minh r»ng gãc AMB lµ
gãc lín nhÊt so víi mäi gãc AM’B víi M là điểm bất kỳ trên d?
Để giải đợc bài toán này cần phân biệt 2 trờng hợp:
a, AB // d. có cách giải tơng tự

B

nh bài toán ở ví dô 2
b, AB ∩ d = I ⇔ I, A, B thẳng
hàng, ta lại có hai trờng hợp

O

* Với tia Iy. Ta chứng
M
A

minh nh bài toán ở ví dơ 2
* Víi ∀ ∈ tia Ix: · ' B <
M
AM

x M'

I

d

M

Hình 5

Ã
Ã
BM ' I < BIM (góc ngoài của ∆
·
BM’I). Mµ BIM < ·
AMB ⇒ · ' B < Ã
AMB (đpcm).
AM
Nhận xét 2: ở bài toán 1 cho trớc 2 điều kiện
*) Đờng tròn tâm O đi qua A, B
*) Đờng tròn tâm O tiếp xúc với đờng thẳng d tại M. Ta hÃy đặt vấn đề:
Nếu cho trớc 2 điểm A, B ta có thể dựng đợc đờng tròn tâm O đi qua A, B và
tiếp xúc với đờng thẳng d hay không? Ta có bài toán dựng hình:
Bài toán 2: Cho 2 điểm A, B cùng nằm trên nửa mặt phẳng có bờ là đờng thẳng
d . HÃy dựng đờng tròn đi qua A, B và tiếp xúc với đờng thẳng d?
Nhận xét 3: Giải đợc bài toán 2 nhìn trở lại bài toán 1 ta đà xác định đợc
điểm M d và M có tính chÊt nh×n AB díi mét gãc lín nhÊt (A, B còng n»m

y


19
trên một nửa mặt phẳng bờ là d). Từ đây ta lại có bài toán gần với bài toán 2 nhng ở mức độ khó hơn.

Bài toán 3: Cho hai điểm A, B cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ d.
Tìm điểm M trên d sao cho góc AMB lớn nhất?
Nh vậy trong quá trình dạy học GV chú ý rèn luyện cho HS khả năng
phân tích bài toán, phân tích đờng lối giải, ý nghĩa của lời giải hay ý nghĩa của
bài toán để sau khi tìm ra lời giải dới nhiều hình thức khác. Bằng tổng hợp, khái
quát hoá, so sánh, tơng tự, lật ngợc vấn đề, xét tính giải đợc, phân chia trờng
hợp tìm mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các yếu tố để giải bài toán, biến
đổi bài toán để đợc bài toán mới. Đó chính là những cơ hội bồi dỡng cho HS các
yếu tố đặc trng của t duy sáng tạo.
1.2. Toán cực trị hình học trong chơng trình toán THCS
1.2.1. Bài toán cực trị hình học
Trong quá trình giải toán chúng ta thờng gặp các bài toán về tìm giá trị lớn
nhất hay nhỏ nhất của một đại lợng hình học nào đó. Các bài toán này còn đợc
gọi là bài toán Cực trị hình học.
Thờng thì những bài toán cực trị hình học luôn gắn liền với thực tiễn cuộc
sống, bởi vì việc đi tìm cái lớn nhất, nhỏ nhất, nhiều nhất, ít nhất Chính là đi
tìm cái tối u đặt ra trong cuộc sống và trong kỹ thuật.
Bởi sự đa dạng và thú vị, đặc biệt là sự ràng buộc của nó với các kiến thức
trong cả chơng trình hình học và thậm chí là cả các kiến thức về bất đẳng thức
trong chơng trình đại số.
Trong chơng trình hình học ở bậc THCS các bài toán dạng này thờng là
những bài toán khó, đòi hỏi HS phải tự tìm kết quả của bài toán. Đối với bài
toán cực trị hình học, thờng có nhiều con đờng để tìm ra lời giải, trong đó có cả
những cách ngắn gọn, hợp lý, đôi khi có có phơng án sáng tạo, độc đáo. Do đó
chủ đề về toán cực trị hình học sẽ đem đến cho HS nhiều điều bổ ích và lý thú,
nhất là đối với HS khá vµ giái.


20
Bài toán cực trị hình học có dạng chung: Trong tất cả các hình có chung

một tính chất, tìm những hình mà một đại lợng f nào đó (nh độ dài, đoạn thẳng,
số đo góc, bán kính đờng tròn, chu vi của một hình nào đó) đạt giá trị lớn nhất
hoặc đạt giá trị nhỏ nhất. Giả sử cho hình H trên miền D:
a. Khi tìm vị trí của hình H trªn miỊn D sao cho biĨu thøc f cã giá trị lớn
nhất, ta phải chứng tỏ: Với mọi vị trí của hình H* trên miền D thì f M. (Với
M là hằng số cố định). Ta phải xác định vị trí của hình H* trên miền D sao cho f
=M
b. Khi tìm vị trí của H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị nhỏ nhất,
ta phải chứng tỏ: Với mọi hình H trên miền D thì f m. (Với m là hằng số cố
định). Ta phải xác định vị trí của H* trên miỊn D sao cho f = m.
1.2.2. T¸c dơng cđa bài tập cực trị hình học đối với HS
ở trờng phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học cho HS. Trong đó
hoạt động giải toán là hình thức chủ yếu. Khi HS đợc tiếp xúc với hệ thống bài
tập cực trị hình học đà đợc chọn lọc giúp HS có điều kiện tiếp cận, ôn lại nhiều
kiến thức toán học đợc học trớc đó. Đợc vận dụng giải quyết nhiều vấn đề toán
học khác, đồng thời rèn luyện và phát triển cho HS nhiều loại hình t duy toán
học.
Thật vậy việc giải các bài toán cực trị hình học giúp HS củng cố và đào sâu
kiến thức, rèn luyện kỹ năng t duy. Bởi vì trong chơng trình môn toán ở trờng
phổ thông, những bài toán cực trị hình học khi giải nó cần đến rất nhiều các loại
kiến thức, thậm chí cả kiến thức về đại số, với nhiều phơng pháp giải khác nhau.
Do đó khi HS giải các bài toán cực trị hình học, các em thờng xuyên sử dụng
các loại kiến thức liên quan và vận dụng linh hoạt các kiến thức đó. Các kiến
thức này luôn đợc củng cố và đào sâu đồng thời cần có kỹ năng, kỹ xảo trong
việc sử dụng các phơng pháp giải, đặc biệt là năng lực t duy sáng tạo, phơng
pháp suy nghĩ tìm lời giải.
Mỗi bài toán cực trị hình học có thể giải bằng nhiều cách khác nhau, nên ở
đây là cơ hội để HS so sánh, lựa chọn phơng pháp phù hợp và tốt nhất trong tr-

21
ờng hợp có thể, giúp HS rèn luyện đợc các thao tác t duy nh phân tích, tổng hợp
và khả năng đặc biệt hoá bài toán v.v hình thành các phẩm chất quý báu của
ngời làm toán nh tính thận trọng, chặt chẽ, chính xác.
Việc giải bài toán cực trị hình học giúp HS nâng cao năng lực liên hệ toán
học với thực tiễn. Điều này là hoàn toàn có cơ sở đúng đắn, bởi vì chúng ta biết
rằng các bài toán cực trị nói chung và cực trị hình học nói riêng thờng có cơ sở
hoặc nguồn gốc xuất ph¸t tõ thùc tiƠn. Trong thùc tiƠn cã rÊt nhiỊu đòi hỏi giải
quyết sao cho có lợi nhất. Chẳng hạn nh phải xây dựng một nhà máy ở vị trí nào
sao cho thuận tiện việc vận chuyển nguyên liệu, hàng hoá và cớc phí vận
chuyển là nhỏ nhất. Tất cả các tình huống đợc đặt ra để giải quyết đều đa đến
việc tìm ra một phơng pháp tốt nhất, đảm bảo đợc lợi ích nhiều nhất cho cuộc
sống.
1.2.3. Tiến trình phát triển bài tập cực trị hình học trong chơng trình
toán THCS
Phát triển bài tập cực trị hình học là từ một bài tập cơ bản ta có thể bổ
sung, hoặc thay đổi giả thiết, kết luận của bài toán để đợc một bài tập mới có
mức độ phức tạp cao hơn.
Quá trình thay đổi giả thiết, kết luận của bài toán có thể đợc tiến hành theo
nhiều con đờng, có thể hoán đổi giả thiết, kết luận, thay đổi giả thiết hoặc kết
luận bằng cách cho gián tiếp qua các đại lợng trung gian hay thay đổi điều kiện
nào đó của bài toán.
Quá trình phát triển bài tập cực trị hình học đợc minh hoạ theo sơ đồ cụ
thể nh sau:
- Bài tập ban đầu: Tóm tắt giả thiết, kết luận của bài toán theo sơ đồ sau:
Giả thiết:

Kết luận:

Cho: A, B

Tìm C

Sơ đồ 1

* Các hớng phát triển bài tập ban đầu để đợc bài tập mới.


22
a. Phát triển giả thiết: Bằng cách bổ sung, hoán đổi vị trí hoặc cho các đại
lợng một cách gián tiếp qua các đại lợng trung gian.
+ Cho A thông qua A1, A2…
+ Cho B th«ng qua B1, B2…
Tuú theo mức độ phát triển bài tập mà các đại lợng có nhiều hay ít mối
quan hệ với các đại lợng trung gian. Ta có thể tóm tắt bài tón theo sơ đồ.
Giả thiết:

Kết luận:

Cho: A1, A2
B1, B2

Sơ đồ 2

Tìm C

b. Phát triển kết luận: Thay cho việc tìm C ta có thể thay yêu cầu tìm C n (n
= 1, 2)
Giả thiết:

Kết luận:

Cho: A1, A2
B1, B2

Sơ đồ 3

Tìm C1, C2

c. Phát triển đồng thời giả thiết và kết luận.
Phát triển giả thiết và kết luận của bài toán một cách đồng thời chính là sự
kết hợp giữa sơ đồ 2 và sơ đồ 3.
Giả thiết:

Kết luận:

Cho: A1, A2
B1, B2

Sơ đồ 4

Tìm D

Từ các sơ đồ nhận thấy:
Tiến trình phát triển bài tập cực trị hình học thực chất là việc phát triển giả
thiết và kết luận của bài toán. Mức độ phức tạp của bài tập phụ thuộc vào mối
quan hệ giữa các đại lợng trung gian với giả thiết và kết luận, nhng mối quan hệ


23

chính giữa giả thiết và kết luận vẫn là bài tập cơ bản ban đầu. Chính vì vậy việc
giải các bài tập đợc phát triển ra dù trực tiếp hay gián tiếp đều nên quan tâm sử
dụng lời giải của bài tập cơ bản.
1.2.4. Các mức độ phát triển bài tập cực trị hình học
Với mục đích của giờ dạy bài tập là tìm ra lời giải và đáp số một cách có
căn cứ khoa học thì việc phát triển các bài tập cực trị hình học là cần thiết. Nhng tiến trình phát triển bài tập cực trị hình học lại phụ thuộc vào nhiều yếu tố
khác nh: Nội dung bài tập, mục đích ôn luyện kiến thức, mục đích phát triển
năng lực t duy sáng tạo, trình độ và năng lực của HS. Chính vì vậy tiến trình
phát triển bài tập chỉ thực hiện ở những mức độ nhất định. Căn cứ vào những
điều kiện trên chúng tôi đa ra một số mức độ phát triển bài tập cực trị hình học
ở trờng THCS nh sau:
Mức độ 1: Phát triển bài tập cơ bản thành bài tập mới khi biến đổi giả
thiết, biến đổi kết luận hoặc biến đổi đồng thời giả thiết và kết luận, dới sự hớng
dẫn của GV.
+ Đối tợng: HS khá.
+ Yêu cầu đối với mức độ 1.
- HS không những nắm đợc một số kiến thức liên quan đến bài toán cực trị
hình học mà còn có thể phát triển đợc giả thiết kết luận hoặc phát triển đồng
thời giả thiết và kết luận của bài toán cơ bản ban đầu, đề ra hớng đặt các đề toán
mới.
- Xác định đợc mối liên hệ có tính thống nhất giữa các phần kiến thức và
phơng pháp giải chúng.
+ Biện pháp: Từ bài tập cơ bản ban đầu đó phát triển thành bài tập mới GV
cần có những câu hỏi định hớng cho HS, hớng dẫn HS thay đổi mối quan hệ
giữa các đại lợng đà cho và đại lợng cần tìm để đợc những bài tập phù hợp. Tuỳ
thuộc vào mức độ phức tạp của bài tập mới mà mức độ rèn luyện kỹ năng lực t
duy sáng tạo cho HS đợc nâng lên, việc giải các bài tập mới phù hợp tạo điều


24

kiện cho HS vận dụng linh hoạt kiến thức để tự lực giải quyết thành công những
tình huống mới. Trong quá trình giải các bài tập HS phải vận dụng các thao tác
trí tuệ nh: So sánh, phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, đặc biệt hoá. Chính vì vậy
việc giải bài tập mới đợc phát triển từ bài tập cơ bản là điều kiện để phát triển t
duy sáng tạo, tính độc lập trong suy nghĩ, tính kiên trì trong khắc phục khó khăn
cũng nh lĩnh hội kiến thức một cách sâu sắc.
- Kết thúc việc chữa một bài tập GV cần có những nhận xét về: Bài tập cơ
bản và lời giải của nó, những hớng có thể phát triển, cần nhấn mạnh quá trình
bài tập mới dù trực tiếp hay gián tiếp đếu coi trọng sử dụng phơng pháp giải bài
toán cơ bản.
Mức độ 2: Phát triển bài tập cơ bản ban đầu thành bài tập mới không có sự
định hớng của GV với độ phức tạp cao hơn.
+ Đối tợng: HS giỏi, HS lớp chuyên có kiến thức chắc chắn và có tính sáng
tạo.
+ Yêu cầu đối với mức độ 2:
- HS nắm đợc mức độ 1, tự đặt ra vấn đề và tự giải quyết vấn đề mà họ đặt
ra.
- HS tự đặt ra trớc những bài toán khi phát triển bài toán cơ bản và phơng
pháp giải chúng.
- HS giỏi nhận định, phân tích những bài toán cơ bản chứa đựng trong bài
tập mới.
+ Biện pháp: GV không sử dụng những câu hỏi định hớng mà yêu cầu HS
trực tiếp phát triển bài toán dựa trên bài toán cơ bản rồi GV yêu cầu những HS
khác cho hớng giải, hoặc nhận định những yếu tố liên quan bài toán ban đầu rồi
cho HS giải quyết những bài tập đó, qua đó rèn cho HS năng lực nhìn nhận cấu
trúc đối tợng nghiên cứu, rèn luyện cho HS biết đề xuất ý kiến riêng của bản
thân, độc lập trong suy nghĩ, tự nêu lên vấn đề và tự giải quyết vấn đề đó.
1.2.5. Một số kiến thức thờng dùng để giải bài toán cực trị h×nh häc

25
ã Quan hệ đờng vuông góc và đờng xiên, hình chiếu
Trong các đờng xiên và đờng vuông góc hạ từ một điểm đến một đờng
thẳng.
- Đờng vuông góc ngắn hơn mọi đờng xiên.
- Đờng xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn và ngợc lại.
ã Quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác, bất đồng thức tam giác, qui tắc
các điểm.
- Trong một tam giác, đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn và ngợc lại.
- Trong hai tam giác có hai cặp cạnh tơng ứng bằng nhau nếu cạnh thứ ba
của tam giác này lớn hơn cạnh thứ ba của tam giác kia thì góc đối diện cũng lớn
hơn và ngợc lại.
- Bất đẳng thøc tam gi¸c: Tam gi¸c ABC cã:
AB ≤ AB + BC, dấu = xảy ra A, B, C thẳng hàng B nằm giữa A và C.
AC - AB BC, dấu = xảy ra A, B, C thẳng hàng B nằm giữa A và C.
- Qui tắc các ®iÓm: cho n ®iÓm A1, A2 ,… An
Ta cã: A1, An ≤ A1 A2 + A2 A3 +… + An-1 An, dấu = xảy ra A1, A2 An
thẳng hàng và sắp xếp theo thứ tự đó.
ã Bất đẳng thức trong đờng tròn:
- Trong tất cả các dây cung của đờng tròn, đờng kính là dây lớn nhất.
- Trong một đờng tròn, dây cung nào có độ dài ngắn hơn thì có khoảng
cách đến tâm lớn hơn và ngợc lại.
- Trong hai cung nhỏ của một đờng tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc ở
tâm lớn hơn.
- Trong hai cung nhỏ một đờng tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi dây trơng
cung lớn hơn.
ã Bất đẳng thức ®¹i sè: