Đường cong pháp trong không gian lorentz minkoski 3 chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN THỊ NGOAN
ĐƯỜNG CONG PHÁP
TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ -MINKOWSKI 3

CHIỀU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Nghệ An - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN THỊ NGOAN
ĐƯỜNG CONG PHÁP
TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ -MINKOWSKI 3

CHIỀU
CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC - TÔPÔ
MÃ SỐ: 60.46.01.05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN DUY BÌNH
Nghệ An - 2014
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy giáo, cô giáo cán bộ khoa Toán,
khoa Sau đại học - trường Đại học Vinh đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận
lợi cho tôi hoàn thành khóa học và luận văn.
Đặc biệt tôi xin chân thành cảm ơn và bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
thầy giáo TS. Nguyễn Duy Bình đã nhiệt tình hướng dẫn, đóng góp ý kiến để
tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ Hình học
- Tôpô đã dành nhiều tâm huyết truyền đạt những kiến thức quý báu, cảm ơn

tập thể lớp cao học khóa 20 chuyên nghành Hình học – Tôpô cùng gia đình,
bạn bè đã tạo mọi điều kiện trong suốt quá trình học tập giúp tôi hoàn thành
luận văn này.
Nghệ An, tháng 10 năm 2014
Tác giả luận văn
3
MỤC LỤC
Trang
4
LỜI MỞ ĐẦU
Hình học Ơclit được nghiên cứu từ rất lâu với nội dung phong phú và
ngày càng được hoàn thiện. Trong hình học Ơclit, đường cong với các đặc
trưng khác nhau là đối tượng thu hút sự quan tâm nghiên cứu của các nhà toán
học. Một cách tiếp cận để nghiên cứu đường cong là dựa trên mối quan hệ
giữa vectơ vị trí với các thành phần của trường mục tiêu Fretnet. Song song
với sự tồn tại của hình học Ơclit (hình học được xây dựng trên không gian xác
định bởi tích vô hướng xác định dương) là hình học được xây dựng trên
không gian xác định bởi tích vô hướng không xác định dương đó là hình học
giả Ơclit, đặc biệt trên không gian với tích vô hướng chỉ số 1 còn gọi là không
gian Lorentz – Minkowski. Các kết quả nghiên cứu về các không gian
Lorentz – Minkowski và mở rộng cho hình học giả Rieman đã phát triển
mạnh mẽ trong những năm gần đây. Cũng như trong không gian Ơclit, người
ta cũng nghiên cứu các đường cong với các đặc trưng khác nhau dựa trên mối
quan hệ của vectơ vị trí đường cong với các trường vectơ của mục tiêu dọc
đường cong.
Trong không gian Lorentz – Minkowski, chúng ta biết rằng với mỗi
đường cong song chính quy
3
1
E

α
⊂
chúng ta luôn xây dựng được các trường
vectơ T, N, B tương ứng là trường tiếp tuyến, pháp tuyến chính và trùng
pháp tuyến của đường cong. Với các trường vectơ đó, không gian tạo thành
bởi
{ } { } { }
, ; , ; ,T N T B N B
được định nghĩa tương ứng là không gian mật tiếp,
không gian trực đạc và không gian pháp dạng. Một đường cong
α
mà vectơ
vị trí của
α
luôn nằm trong các không gian đó tương ứng được gọi là đường
cong mật tiếp, đường cong trực đạc và đường cong pháp trong không gian
Lorentz – Minkowski. Với mong muốn tìm hiểu kỹ hơn về những tính chất,
đặc trưng của một trong các loại đường cong đó, dựa trên các kết quả nghiên
cứu gần đây của các nhà toán học, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Duy
1
Bình chúng tôi chọn đề tài luận văn là: Đường cong pháp trong không gian
Lorentz - Minkowski 3 chiều.
Luận văn được trình bày trong hai chương:
Chương 1. Kiến thức cơ sở
Chương này tôi trình bày về các định nghĩa, kiến thức cơ bản của không gian
Minkowski, không gian con, không gian con trực giao, tích Lorentz của các vectơ,
khái niệm đường cong kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng, xây dựng
trường mục tiêu Fretnet, độ cong, độ xoắn tương ứng với mỗi loại đường cong.
Chương 2. Đường cong pháp trong không gian Minkowski
3

1
E
Trong chương này tôi trình bày định nghĩa, một số đặc trưng và ví dụ
của đường cong pháp trong không gian Minkowski
3
1
E
về các kiểu đường
cong pháp: đường cong pháp kiểu thời gian, đường cong pháp kiểu ánh sáng
và đường cong pháp kiểu không gian.
Vì kiến thức còn hạn chế và thời gian có hạn nên luận văn còn có nhiều
thiếu sót trong cả nội dung lẫn hình thức, chúng tôi rất mong nhận được sự
chỉ bảo, đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn đọc để luận văn
hoàn thiện hơn.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!
Nghệ An, tháng 10 năm 2014
Học viên
Nguyễn Thị Ngoan
2
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ CỞ
§1. Không gian Lorentz - Minkowski
1.1. Các định nghĩa cơ bản
1.1.1. Định nghĩa. Xét không gian vectơ
n
R
trên không gian vectơ này ta trang
bị một tích vô hướng xác định bởi:
1 1
2
,

n
k k
k
x y x y x y
=
= − +
∑
với
( )
1 2 1 2
, , , , ( , , , )
n
n n
x x x x y y y y R
∈
. Khi đó không gian
n
R
trở thành không gian
giả Ơclit chỉ số 1 và gọi là không gian Lorentz – Minkowski, ký hiệu là
1
n
E
.
+ Tích vô hướng
,
được gọi là tích vô hướng Lorentz – Minkowski.
+ Người ta thường gọi không gian Lorentz – Minkowski là không gian
Minkowski và tích vô hướng
,

cũng được gọi là tích vô hướng Minkowski.
+ Với
3n
=
ta có không gian Lorentz – Minkowski 3 chiều. Trong
luận văn này từ đây về sau chúng ta xét trên không gian Lorentz –
Minkowski 3 chiều.
1.1.2. Định nghĩa (xem [4]). Cho vectơ
3
1
x E
∈
, khi đó:
•
x được gọi là vectơ kiểu không gian nếu
, 0x x
>
hoặc
0x
=
•
x được gọi là vectơ kiểu thời gian nếu
, 0x x
<
•
x được gọi là vectơ kiểu ánh sáng nếu
, 0x x
=
và
0x

≠
Nhận xét: Vectơ
0x
=
có
, 0x x
=
nhưng vẫn được xem là vectơ kiểu
không gian.
1.1.3. Định nghĩa (xem [4]). Hệ vectơ
{ }
1 2 3
, ,a a a
thỏa mãn:
1 1 2 2 3 3
, 1; , 1; , 1; , 0 , 1,3,
j
i
a a a a a a a a i j i j= − = = = ∀ = ≠
được gọi là một cơ sở trực chuẩn của không gian Lorentz – Minkowski.
3
1.1.4. Ví dụ
Trong không gian
3
1
E
với cơ sở trực chuẩn
{ }
1 2 3
, ,e e e

, khi đó:
g
1
e
là vectơ kiểu thời gian vì:
1 1
, 1 0e e
= − <
g

2 3
,e e
là các vectơ kiểu không gian vì:
2 2 3 3
, 1 0; , 1 0e e e e
= > = >
g

2 3
e e
+
là các vectơ kiểu không gian vì:
2 2
2 3 2 3 2 2 3 3
, 2 , 2 0e e e e e e e e
+ + = + + = >
g

1
2,3

i
e e i
+ ∀ =
là các vectơ kiểu ánh sáng vì:
2 2
1 1 1 1
, 2 , 1 1 0
i i i i
e e e e e e e e
+ + = + + = − + =
1.1.5. Định nghĩa (xem [4]). Với
3
1
x E
∈
ta gọi môđun hoặc chuẩn của vectơ x
là
,x x
và ký hiệu:
,x x x=
. Vectơ x được gọi là vectơ đơn vị nếu có
môđun bằng 1.
•
Nếu x là vectơ kiểu không gian thì
,x x x
=
•
Nếu x là vectơ kiểu thời gian thì
,x x x
= −

1.1.6. Sự trực giao của vectơ
a. Định nghĩa (xem [8]). Hai vectơ
3
1
, ; , 0x y E x y
∈ ≠
được gọi là trực giao với
nhau nếu thỏa mãn
, 0x y
=
.
b. Mệnh đề (xem [3]). Cho không gian Lorentz – Minkowski
3
1
E
, khi đó:
i. Hai vectơ kiểu ánh sáng phụ thuộc tuyến tính thì trực giao với nhau.
ii. Hệ vectơ gồm hai vectơ khác loại thì độc lập tuyến tính với nhau.
iii. Với
3
1
,x y E
∈
, nếu
0, , 0, , 0x y y x y
≠ < =
thì
, 0x x
>
. Nói cách khác, một

vectơ khác không nếu trực giao với vectơ kiểu thời gian thì nó là một vectơ
kiểu không gian.
4
Chú ý: Một vectơ trực giao với vectơ kiểu không gian thì chưa hẳn là vectơ
kiểu thời gian. Chẳng hạn, trong không gian
3
1
E
cho vectơ
(1,2,0)x
khi đó
x

là vectơ kiểu không gian vì
, 3 0x x
= >
, và vectơ
(2, 1, 2)y
, khi đó
x y
⊥
vì:

, 0x y
=
nhưng
y
là vectơ kiểu không gian vì
, 1 0y y
= >

.
1.2. Không gian con của không gian Lorentz - Minkowski
1.2.1. Định nghĩa (xem [8])
Cho W là không gian vectơ con của không gian Lorentz – Minkowski
3
1
E
, khi đó:
+) W được gọi là kiểu không gian nếu nó chỉ chứa các vectơ kiểu
không gian.
+) W được gọi là kiểu thời gian nếu nó chứa ít nhất một vectơ kiểu
thời gian.
+) W được gọi là kiểu ánh sáng nếu nó chứa ít nhất một vectơ kiểu ánh
sáng và không chứa vectơ kiểu thời gian nào.
1.2.2. Định lý (xem [4])
Cho W là không gian vectơ con của không gian Lorentz – Minkowski
3
1
E
(i) W được gọi là kiểu không gian nếu và chỉ nếu
, / W
là xác định dương.
(ii) W được gọi là kiểu thời gian nếu và chỉ nếu
, / W
là không suy biến có
chỉ số 1.
(iii) W được gọi là kiểu ánh sáng nếu và chỉ nếu
, / W
là suy biến và
W 0

≠
1.2.3. Ví dụ
Trong không gian
3
1
E
với cơ sở trực chuẩn
{ }
1 2 3
, ,e e e
+ Ta xét mặt phẳng sinh bởi
{ }
2
1
,e e
, kí hiệu là
{ }
1 2
,span e e
. Khi đó ta có:
{ }
1
1
, 1e e
=−
suy ra
1
e
vectơ là kiểu thời gian do đó
{ }

1 2
,span e e
chứa ít nhất
một vectơ kiểu thời gian nên theo định nghĩa nó là không gian kiểu thời gian.
5

+
{ }
2 3
,span e e
là kiểu không gian vì:
{ }
2 3
0 ,u span e e
∀ ≠ ∈
2 2 3 3
2 2
2 3 2 3
(0, , ), 0
u x e x e
x x x x
⇒ = +
= + ≠
Suy ra
2 2
2 3
, 0u u x x
= + >
, do đó
u

là vectơ kiểu không gian. Vậy
{ }
2 3
,span e e
là kiểu không gian.
1.3. Không gian con trực giao
1.3.1. Định nghĩa (xem [4])
Cho
( )
, ,V
là không gian với tích vô hướng không suy biến và
U V
⊂

là không gian vectơ con của không gian
V
. Khi đó ta gọi:
{ }
, , 0,U v V u v u U
⊥
= ∈ = ∀ ∈

là không gian con trực giao với không gian
U
.
1.3.2. Bổ đề (xem [4]). Cho
( )
, ,V
là không gian với tích vô hướng không
suy biến. Khi đó:

(i) Nếu
U
là không gian con của
V
thì
dim ( ) dim( ) dim( )U V U
⊥
= −
(ii) Nếu
U
là không gian con của
V
thì
( )U U
⊥ ⊥
=
(iii) Nếu
U
là không gian con không suy biến của
V
thì
U
⊥
cũng là không
gian con không suy biến.
1.3.3. Mệnh đề (xem [4])
(i) Cho
3
1
v E

∈
, khi đó
v
là một vectơ kiểu thời gian khi và chỉ khi
v
⊥
là
không gian kiểu không gian và như vậy
3
1
E v v
⊥
= ⊕
. Tương tự,
v
là kiểu
không gian khi và chỉ khi
v
⊥
là kiểu thời gian.
(ii) Cho
U
là không gian con của không gian
V
, khi đó
U
là kiểu không gian
khi và chỉ khi
( )U
⊥

là kiểu thời gian.
(iii) Cho
U
là không gian con của không gian
V
, khi đó
U
là kiểu ánh sáng
khi và chỉ khi
( )U
⊥
là kiểu ánh sáng.
6
Chứng minh:
(i) Nếu
v
là vectơ kiểu thời gian, bằng cách nhân lên một số nếu cần thiết
chúng ta xem
v
như là một phần tử của cơ sở trực chuẩn của
3
1
E
là
{ }
2 3
, ,B v e e
=
với
, 1; , 1; , 0; , 0 , 2,3

i i i j j
v v e e e e v e i j
= − = = = ∀ =
. Khi đó
{ }
2 3
,v span e e
⊥
=
và nó là một không gian con kiểu không gian.
Ngược lại, cho
2 3
,e e
là một cơ sở trực chuẩn của
v
⊥
, ở đây
( )
, ,v
⊥
là tích vô hướng xác định dương. Khi đó
{ }
2 3
,v span e e
∉
, thật vậy
giả sử
{ }
2 3
,v span e e v

⊥
∈ ∈
, khi đó
{ }
2 3
, ( )v span e e
⊥ ∗
và
v
được biểu diễn dưới
dạng :
2 2 3 e
v a e a e= +
trong đó
0, 2,3
i
a i
∃ ≠ =
. Ta giả sử
2
0a ≠
, khi đó
2
2 2
, 0v e a
= >
(mâu thuẫn với
( )
∗
). Vậy

{ }
2 3
,v span e e
∉
hay
{ }
2 3
, ,v e e
là độc lập
tuyến tính trong đó
, 0v v
<
vì nếu
, 0v v
>
thì
{ }
2 3
, ,v e e
là hệ xác định dương
(mâu thuẫn với giả thiết
{ }
2 3 1
, ,
n
span v e e E
∈
là không gian chỉ số 1). Do đó
v
là

vectơ kiểu thời gian.
(ii) Nếu
U
là một không gian con kiểu không gian, cho
v U
∈
là một vectơ
kiểu không gian, khi đó
U v
⊥
⊥
⊂
. Mặt khác vì
v
⊥
là không gian kiểu thời
gian (suy ra từ (i)) nên
U
⊥
là không gian kiểu thời gian.
Ngược lại, giả sử
U
⊥
là một không gian con kiểu thời gian, cho
v U
⊥
∈

là một vectơ kiểu thời gian. Khi đó
( )U v

⊥
⊥ ⊥
⊂
, mà
v
⊥
là không gian kiểu
không gian (theo i) nên
( )U U
⊥ ⊥
=
là không gian kiểu không gian.
(iii) Giả sử
U
là không gian kiểu ánh sáng, cho
v U
∈
là một vectơ kiểu ánh
sáng. Vậy
v
không là vectơ kiểu không gian, cũng không là vectơ kiểu thời gian
v
⊥
⇒
không phải là không gian kiểu thời gian cũng không là không gian kiểu
7
không gian (theo i), do đó
v
⊥
là không gian kiểu ánh sáng. Mặt khác,

U v
⊥
⊥
⊂

mà
v
⊥
là không gian kiểu ánh sáng nên
U
⊥
là không gian kiểu ánh sáng.
1.4. Các hệ thức liên quan về môđun, tích Lorentz của các vectơ trong
không gian Lorentz – Minkowski
Dựa vào các tính chất tích có hướng của các vectơ trên
3
R
người ta đã
nghiên cứu các tính chất tương tự về tích các vectơ trong không gian Lorentz –
Minkowski và gọi là tích Lorentz của các vectơ trong không gian
3
1
E
như sau:
1.4.1. Định nghĩa (xem [8])
Cho
1 2 3
( , , )x x x x
và
1 1 1

( , , )y y y y
là các vectơ trong
3
1
E
, khi đó tích
Lorentz của x và y được định nghĩa là:
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
( ( ), , )x y x y x y x y x y x y x y
× = − − − −
1.4.2. Tính chất (xem [8])
Trong không gian
3
1
E
cho các vectơ
1 2 3 1 2 3
( , , ); ( , , )x x x x y y y y
, khi đó:
, 0x x y
× =
và
, 0y x y
× =
1.4.3. Định lý (xem [8])
Nếu x, y, z, t là các vectơ trong
3
1
E
khi đó tích Lorentz các vectơ có tính

chất sau:
i)
x y y x
× = − ×
ii)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
,
x x x
x y z y y y
z z z
× =
iii)
( ) , ,x y z x y z z x y
× × = −
1.4.4. Hệ quả (xem [8])
Nếu x và y là các vectơ kiểu không gian trong
3
1
E
thì:
i)
,x y x y
<
khi và chỉ khi
x y
×
là kiểu thời gian
ii)

,x y x y
=
khi và chỉ khi
x y
×
là kiểu ánh sáng
8
iii)
,x y x y
>
khi và chỉ khi
x y
×
là kiểu không gian.
§2. Đường cong trong không gian Lorentz – Minkowski
2.1. Đường cong kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng trong
không gian Lorentz – Minkowski
2.1.1. Định nghĩa (xem [4])
+ Cho
α
là đường cong trong
3
1
E
, ta nói rằng
α
là đường cong kiểu
không gian (tương tự kiểu thời gian, kiểu ánh sáng) tại t nếu
'
( )t

α
là vectơ
kiểu không gian (tương tự kiểu thời gian, kiểu ánh sáng).
+ Đường cong
α
được gọi là đường cong kiểu không gian (tương tự
kiểu thời gian, kiểu ánh sáng) nếu nó thỏa măn với mọi
t I
∈
.
2.1.2. Nhận xét (xem [4])
Một đường cong bất kỳ
α
trong
3
1
E
thì với mỗi
'
, ( )t I t
α
∈
là kiểu không
gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng, nhưng tính chất này có thể không được
duy trì trên cả khoảng I.
2.1.3. Ví dụ
Xét đường cong
α
cho bởi tham số hóa :
( )

2
( ) sinh ( ), , cosh ( )t t t t
α
=
Ta có:
'
( ) (cosh ( ), 2 , sinh ( ))t t t t
α
=
' ' 2
( ), ( ) 4 1t t t
α α
⇒ = −
Do đó, đường cong
α
là kiểu không gian trong các khoảng
1
;
2
 
−∞ −
 ÷
 

và
1
;
2
 
+ ∞

 ÷
 
; đường cong
α
là kiểu thời gian trong khoảng
1 1
;
2 2
 
−
 ÷
 
; đường
cong
α
là kiểu ánh sáng tại các điểm
1 1
;
2 2
 
−
 
 
.
2.1.4. Định nghĩa (xem [4]). Cho
α
là đường cong trong
3
1
E

. Khi đó
α
được
gọi là chính quy tại
0
t I
∈
nếu
'
0
( ) 0t
α
≠
. Nếu
α
chính quy tại mọi điểm
0
t I
∈

thì
α
được gọi là chính quy.
9
2.2. Các tính chất của đường cong trong không gian Lorentz –
Minkowski
2.2.1. Mệnh đề (xem [4])
Cho
α
là một đường cong kiểu không gian hoặc kiểu thời gian. Khi đó

tồn tại một tham số hóa của
α
cho bởi
( ) ( ( ))s s
β α φ
=
sao cho
'
( ) 1s
β
=
. Ta gọi
tham số hóa này là tham số hóa độ dài cung.
2.2.2. Mệnh đề (xem [4])
Cho
α
là một đường cong kiểu ánh sáng trong
3
1
E
. Khi đó tồn tại một
tham số hóa của
α
cho bởi
( ) ( ( ))s s
β α φ
=
sao cho
''
( ) 1s

β
=
. Ta gọi tham số
hóa này là tham số hóa giả độ dài cung. Khi
α
được tham số hóa bởi tham số
hóa độ dài cung ta gọi
α
là đường cong có vận tốc đơn vị, khi
α
được tham số
hóa bởi tham số hóa giả độ dài cung ta gọi
α
là đường cong có gia tốc đơn vị.
Cho trước một đường cong chính quy. Để mô tả các tính chất hình học
của đường cong, chúng ta sẽ gán tại mỗi điểm của đường cong một cơ sở trực
chuẩn. Sự biến đổi của cơ sở này dọc đường cong sẽ cho ta thông tin về hình
dáng của đường cong trong không gian.
2.3. Độ cong và độ xoắn của đường cong trong không gian Lorentz –
Minkowski
2.3.1. Nhận xét (xem [4])
Xét đường cong
α
trong không gian Lorentz – Minkowski:
+ Trường hợp đơn giản của đường cong là đường thẳng. Nếu điểm
3
1
p E∈
và
0v

≠
, đường thẳng qua điểm p và theo hướng v có tham số hóa cho bởi
( )t p tv
α
= +
. Khi đó
''
( ) 0t
α
=
hay gia tốc có mô đun 0, ta nói rằng độ cong
của đường thẳng bằng 0.
+ Nếu đảo ngược hướng của đường thì vectơ tiếp xúc đổi hướng còn
vectơ
''
( )t
α
không thay đổi. Từ đó suy ra vectơ
''
( )t
α
và độ cong là các bất
biến (không thay đổi) không phụ thuộc vào hướng của đường.
10
Ta xét đường cong
α
chính quy biểu diễn bằng tham số độ dài cung
hoặc tham số giả độ dài cung. Ta gọi
'
( ) ( )T s t

α
=
là vectơ tiếp tuyến của
α
tại
s. Dễ thấy
'
( ), ( ) 0T s T s
=
. Ta giả thiết
'
( ) 0T s ≠
và vectơ
'
( )T s
không tỷ lệ
với
( )T s
đối với mỗi s, điều này tránh trường hợp đường cong là đường thẳng.
Ta xét ba trường hợp đối với đường cong:
2.3.2. Trường hợp đường cong kiểu thời gian
Giả sử
α
là một đường cong kiểu thời gian. Khi đó
'
( ) 0T s ≠
là một
hàm vectơ kiểu không gian độc lập với
( )T s
với

'
( ) ( ) 1T s s
α
= =
.
Ta có
2
2 ' '
( ) ( ) 1 2 ( ). ( ) 0 ( ) ( )T s T s T s T s T s T s= = ⇒ = ⇒ ⊥
Do
α
là một đường cong chính quy nên
'
( ) 0s
α
≠
và
'
( ) 0T s ≠
.
Đặt
'
1
( ) ( )k s T s=
, ta gọi
1
( )k s
là độ cong của
α
tại s.

Vectơ pháp tuyến N của
α
tại s được định nghĩa là:
'
1
( )
( ) 1
( )
T s
N s N
k s
= ⇒ =
và ta có
' '
1 1
( ), ( ) ( ), ( ) ; ( ) / / ( ) ( ) ( )T s N s k N s N s k N s T s N s T s
= = ⇒ ⊥
.
Ta gọi vectơ trùng pháp tuyến B(s) là :
( ) ( ) ( )B s T s N s
= ×
.
Khi đó B(s) là vectơ đơn vị kiểu không gian.
Ta định nghĩa độ xoắn của
α
tại s là hàm:
'
2
( ) ( ), ( )k s N s B s
=

.
Với mỗi s thì
{ }
, ,T N B
là mục tiêu trực chuẩn của
3
1
E
, và được gọi là
mục tiêu Fretnet dọc
α
. Bây giờ ta tìm cách biểu diễn
{ }
' ' '
, ,T N B
qua mục tiêu
trực chuẩn
{ }
, ,T N B
.
+ Trước hết ta có:
11
( )
'
'
1
1
( )
( ) ( ) ( ). ( )
( )

T s
N s T s k s N s
k s
= ⇒ = ∗
' '
( ), ( ) 0 ( ), ( ) ( ), ( )N s B s N s B s B s N s
= ⇒ = −
'
2
( ), ( ) (1)k B s N s
⇒ = −
' '
( ), ( ) 1 2 ( ), ( ) 0 ( ), ( ) 0N s N s N s N s N s N s
= ⇒ = ⇒ =
+ Với mọi s,
{ }
, ,T N B
là mục tiêu trực chuẩn nên ta có thể biểu diễn
'
( )N s

dưới dạng:
'
1 2 3
( ) ( ) ( ) ( ) (2)N s T s N s B s
λ λ λ
= + +
Lấy tích vô hướng của cả hai vế của (2) với N(s) ta được:
'
2 2

2
( ), ( ) ( ), ( )
0
N s N s N s N s
λ λ
λ
= =
⇒ =
Khi đó
'
1 3
( ) ( ) ( ) (3)N s T s B s
λ λ
= +
Ta có:
' '
( ), ( ) 0 ( ), ( ) ( ), ( ) 0T s N s T s N s T s N s
= ⇒ + =
1 1 3
( ), ( ) ( ), ( ) ( ) 0k N s N s T s T s B s
λ λ
⇒ + + =
1 1 3
( ), ( ) ( ), ( ) ( ) 0k N s N s T s T s B s
λ λ
⇒ + + =
1 1 3
( ), ( ) ( ), ( ) 0k T s T s T s B s
λ λ
⇒ + + =

1 1
0k
λ
⇒ − =
(vì
α
là một đường cong kiểu thời gian nên
( ), ( ) 1T s T s
= −
)
1 1
k
λ
⇒ =
.
Lấy tích vô hướng của cả hai vế của (3) với B(s) ta được:
'
3 3
( ), ( ) ( ), ( )N s B s B s B s
λ λ
= =
Mà
' '
3 2
( ), ( ) 0 ( ), ( ) ( ), ( )N s B s N s B s B s N s k
λ
= ⇒ = − ⇒ =
( theo (1) )
Vậy
'

1 2
( ) ( ) ( )( )N s k T s k B s
= + ∗∗
+ Do
( ), ( ) 0B s T s
=
12
' '
1
'
( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) 0
( ) ( )
B s T s B s T s B s k N s
B s T s
⇒ = − =− =
⇒ ⊥
Khi đó
' '
( ) ( ); ( ) ( )
( ) ( ); ( ) ( )
B s B s B s T s
N s B s N s T s

⊥ ⊥

⊥ ⊥

'
( )B s
⇒

cùng phương với N(s), hay nói cách khác là tồn tại số
λ
sao
cho
'
( ) ( )B s N s
λ
=
(4).
Lấy tích vô hướng cả hai vế của (4) với
( )N s
−
ta được:
'
( ), ( ) ( ), ( )B s N s N s N s
λ λ
− = − = −
2
k
λ
⇒ = −
(5)
Vậy
'
( ) ( )( )B s N s
τ
= − ∗∗∗
. Từ
( ), ( ), ( )
∗ ∗∗ ∗∗∗

ta có:
'
1
'
1 2
'
2
( ) ( ). ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
T s k s N s
N s k T s k B s
B s k N s
=
= +
= −
Từ đó ta thu được phương trình Fretnet như sau:
'
1
'
1 2
'
2
0 0
0
0 0
T k T
N k k N
B k B
 

  
 ÷
 ÷ ÷
=
 ÷
 ÷ ÷
 ÷ ÷
 ÷
−
  
 
2.3.3. Trường hợp đường cong kiểu không gian
Cho
α
là một đường cong kiểu không gian. Khi đó có ba trường hợp
xảy ra tùy thuộc vào tính chất của
'
( )T s
.
a) Trường hợp vectơ
'
( )T s
là kiểu không gian. Khi đó:
+ Độ cong của
α
tại s là:
'
1
( ) ( )k s T s=
+ Vectơ pháp tuyến N là:

'
1
( )
( )
( )
T s
N s
k s
=
+ Vectơ trùng pháp tuyến B là:
( ) ( ) ( )B s T s N s
= ×
+ Độ xoắn của
α
tại s là:
'
2
( ) ( ), ( )k s N s B s= −
13
Với mỗi s thì
{ }
, ,T N B
là mục tiêu Fretnet dọc
α
. Bây giờ ta tìm cách
biểu diễn
{ }
' ' '
, ,T N B
qua mục tiêu

{ }
, ,T N B
, tương tự như trường hợp đường
cong kiểu thời gian ta có:
'
'
1
1
( )
( ) ( ) ( ). ( ) ( )
( )
T s
N s T s k s N s
k s
= ⇒ = ∗
' '
( ), ( ) 0 ( ), ( ) ( ), ( )N s B s N s B s B s N s
= ⇒ − =
'
2
( ), ( )k B s N s
⇒ =
(1)
' '
( ), ( ) 1 2 ( ), ( ) 0 ( ), ( ) 0N s N s N s N s N s N s
= ⇒ = ⇒ =
+
s I
∀ ∈
ta có thể biểu diễn

'
( )N s
đưới dạng:
'
1 2 3
( ) ( ) ( ) ( ) (2)N s T s N s B s
λ λ λ
= + +
Lấy tích vô hướng cả hai vế của (2) với N(s) ta được:
'
2 2
( ), ( ) ( ), ( )N s N s N s N s
λ λ
= =
2
0
λ
⇒ =
Khi đó
'
1 3
( ) ( ) ( ) (3)N s T s B s
λ λ
= +
. Ta có
( ), ( ) 0T s N s
=
' '
1 1 3
1 1 3

( ), ( ) ( ), ( ) 0
( ), ( ) ( ), ( ) ( ) 0
( ), ( ) ( ), ( ) 0
T s N s T s N s
k N s N s T s T s B s
k T s T s T s B s
λ λ
λ λ
⇒ + =
⇒ + + =
⇒ + + =
1 1
0k
λ
⇒ + =
(vì
α

là đường cong kiểu không gian nên
( ), ( ) 1T s T s
=
).
1 1
k
λ
⇒ = −
Lấy tích vô hướng cả hai vế của (3) với B(s) ta được:
'
3 3
( ), ( ) ( ), ( )N s B s B s B s

λ λ
= = −
Mà
' '
( ), ( ) 0 ( ), ( ) ( ), ( )N s B s N s B s B s N s= ⇒ =−
2 3
k
λ
⇒ =
Vậy
'
1 2
( ) ( ) ( ) ( )N s k T s k B s
= − + ∗∗
14
+ Do
( ), ( ) 0B s T s
=
' '
1
( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) 0B s T s B s T s B s k N s
⇒ = − =− =
'
( ) ( )B s T s⇒ ⊥
Khi đó
' '
( ) ( ); ( ) ( )
( ) ( ); ( ) ( )
B s B s B s T s
N s B s N s T s


⊥ ⊥

⊥ ⊥

Suy ra
'
( )B s
cùng phương với
( )N s
, hay nói cách khác tồn tại số
λ
sao
cho
'
( ) ( )B s N s
λ
=
( 4). Lấy tích vô hướng hai vế của (4) với N(s) ta được:
'
( ), ( ) ( ), ( )B s N s N s N s
λ λ
= =
2
k
λ
⇒ =
Vậy
'
2

( ) ( )( )B s k N s= ∗∗∗
. Từ
( ), ( ), ( )
∗ ∗∗ ∗∗∗
ta có:
'
1
'
2
'
2
( ) ( ). ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ). ( )
T s k s N s
N s kT s k B s
B s k s N s
α
=
= − +
= −
Khi đó phương trình Fretnet là:
'
1
'
1 2
'
2
0 0
0

0 0
T k T
N k k N
B k B
 
   
 
   
= −
 
   
 
   
   
 
b) Trường hợp vectơ
'
( )T s
là kiểu thời gian.
Khi đó
' '
( ), ( ) 0T s T s <
, đặt
' ' '
1
( ) ( ) ( ), ( )k s T s T s T s
= = −
. Khi đó ta
định nghĩa:
+ Độ cong của

α
tại s là:
'
1
( ) ( )k s T s=
+ Vectơ pháp tuyến N là:
'
1
( )
( )
( )
T s
N s
k s
=
+ Vectơ trùng pháp tuyến B là:
( ) ( ) ( )B s T s N s
= ×
là vectơ đơn vị kiểu không
gian.
+ Độ xoắn của
α
tại s là:
'
2
( ) ( ), ( )k s N s B s
=
15
Tương tự các trường hợp trên ta có phương trình Fretnet là:
'

1
'
1 2
'
2
0 0
0
0 0
T k T
N k k N
B k B
 
   
 
   
=
 
   
 
   
   
 
c) Trường hợp
'
( )T s
là kiểu ánh sáng.
Nhớ lại rằng
'
( ) 0T s ≠
và nó không tỷ lệ với

( )T s
. Khi đó ta định nghĩa
vectơ pháp tuyến
'
( ) ( )N s T s
=
và nó độc lập tuyến tính với
( )T s
. Với mỗi s cho
trước, tồn tại duy nhất một vectơ kiểu ánh sáng
( )B s
sao cho:
( ), ( ) 1N s B s
=

và
( )B s
trực giao với
( )T s
. Vectơ
( )B s
được gọi là vectơ trùng pháp tuyến của
α
tại s. Khi đó phương trình Fretnet là:
'
'
2
'
2
0 1 0

0 0
1 0
T T
N k N
B k B
 
   
 
   
=
 
   
 
   
− −
   
 
Trong đó hàm
2
k
được gọi là hàm độ xoắn của
α
và ở đây ta không
định nghĩa hàm độ cong của
α
.
2.3.4. Trường hợp đường cong kiểu ánh sáng (xem [4])
Cho
α
là đường cong kiểu ánh sáng được tham số hóa bởi tham số

hóa giả độ dài cung, nghĩa là
''
( ) 1s
α
=
và
''
( )s
α
là vectơ kiểu không gian.
Khi đó ta có:
+ Vectơ tiếp xúc
'
( ) ( ),T s s s I
α
= ∀ ∈
+ Vectơ pháp tuyến N là:
'
( ) ( ),N s T s s I= ∀ ∈
+ Vectơ trùng pháp tuyến
( )B s
duy nhất kiểu ánh sáng trực giao với N(s) sao
cho
( ), ( ) 1,T s B s s I
= ∀ ∈
.
Khi đó ta xây dựng được phương trình Fretnet là:
'
'
2

'
2
0 1 0
0 1
0 0
T T
N k N
B k B
 
   
 
   
= −
 
   
 
   
−
   
 
16
Ở đây hàm
2
k
là hàm độ xoắn của
α
, và cũng như trong trường hợp
α

là đường cong kiểu không gian với

'
( )T s
kiểu ánh sáng chúng ta không xác
định độ cong của
α
.
2.3.5. Nhận xét
Tương tự như trong không gian Euclid người ta có thể tìm thấy công
thức của hàm độ cong và độ xoắn của đường cong trong không gian Lorentz –
Minkowski trong trường hợp đường cong đó không được biểu diễn bằng tham
số hóa độ dài cung. Ví dụ như cho đường cong
α
kiểu thời gian, khi đó độ
cong và độ xoắn của
α
được xác định như sau:
' ''
1
3
'
( ) ( )
( )
( )
s s
k s
s
α α
α
×
=

' '' '''
2
2
' ''
det ( ( ), ( ), ( ))
( )
( ) ( )
s s s
k s
s s
α α α
α α
=
×
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐƯỜNG CONG PHÁP
TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ - MINKOWSKI 3 CHIỀU
Xét {T, N, B} là trường mục tiêu Frenet dọc đường cong
( )s
α
trong
không gian
3
1
E
. Khi đó với một đường cong
( )s
α
là đường cong kiểu thời gian
(hoặc kiểu ánh sáng hoặc kiểu không gian) trên một khoảng xác định trong
không gian ta luôn biểu diễn được theo trường mục tiêu Fretnet là:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s a s T s b s N s c s B s
α
= + +
, trong đó
( ), ( ), ( )a s b s c s
là các hàm khả vi, s
là tham số hóa hóa độ dài cung hoặc tham số hóa giả độ dài cung.
∗
Định nghĩa. Xét một đường cong
( )s
α
trong không gian
3
1
E
. Giả sử vectơ
vị trí
α
thỏa mãn:
17
( ) ( ) ( ) ( ) ( )s s N s s B s
α λ µ
= +
, trong đó
,
λ µ
là các hàm khả vi của
s I
∈ ⊂
¡

, khi đó
( )s
α

được gọi là đường cong pháp trong không gian
Lorentz – Minkowski.
∗
Lấy
m
là một điểm cố định trong
3
1
E
và
0r
>
là một hằng số:
+ Giả cầu được định nghĩa bởi:
{ }
2 3 2
1 1 1
( , ) : , ; 0,S m r u E u m u m r k= ∈ − − = =
+

Không gian giả hyperbolic được định nghĩa bởi:
{ }
2 3 2
0 1
( , ) : , ;H m r u E u m u m r
= ∈ − − = −

+ Nón ánh sáng được định nghĩa:
{ }
3
1
( ) : , 0 .C m u E u m u m
= ∈ − − =
Cho một đường cong thì nó có thể là đường cong kiểu thời gian, kiểu
ánh sáng hoặc kiểu không gian. Bây giờ chúng ta đi vào tìm hiểu về đường
cong pháp tương ứng với các kiểu trong không gian Lorentz – Minkowski.
§1. Đường cong pháp kiểu thời gian (xem [5])
Nếu
( )s
α
là một đường cong kiểu thời gian, khi đó công thức Frenet là:
'
1
'
1 2
'
2
0 0
0
0 0
T k T
N k k N
B k B
 
   
 
   

=
 
   
 
   
−
   
 
(1.1)
trong đó
, 1, , 1, , 1, , , , 0T T N N B B T N T B N B
=− = = = = =
.
1.1. Định lý (xem [5]). Cho
( )s
α
là một đường cong kiểu thời gian có vận
tốc đơn vị trong không gian
3
1
E
với độ cong
1 2
( ) 0, ( ) 0,k s k s s I> ≠ ∈ ⊂ ¡
. Khi đó
α

là một đường cong pháp nếu và chỉ nếu thành phần pháp tuyến chính
, N
α

và thành phần trùng pháp tuyến
, B
α
của vectơ vị trí của
α
tương
ứng cho bởi:
'
1 2 1
, 1/ , , (1/ )(1/ )N k B k k
α α
= =
18
Chứng minh. Giả sử
( )s
α
là một đường cong pháp, với
s
là tham số hóa độ
dài cung. Khi đó theo định nghĩa ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )s s N s s B s
α λ µ
= +
Lấy vi phân phương trình đối với biến
s
và dùng tương ứng công thức
Frenet (1.1) tương ứng ta tìm được:
' '
1 2 2
1, 0, 0k k k

λ λ µ λ µ
= − = + =
(1)
Từ phương trình thứ nhất và thứ hai trong (1) ta nhận được:
'
1 2 1
1/ , (1/ )(1/ )k k k
λ µ
= =
Do đó:
'
1 2 1
(1/ ) (1/ )(1/ )k N k k B
α
= +
(2)
Điều đó nghĩa là:
'
1 2 1
, 1/ , , (1/ )(1/ )N k B k k
α α
= =
.
Ngược lại, giả sử
'
1 2 1
, 1/ , , (1/ )(1/ )N k B k k
α α
= =
. Lấy vi phân phương

trình
1
, 1/N k
α
=
đối với
s
ta thu được:
'
1 2 1
, , (1/ )T N k T k B k
α
+ + =

(3)
Từ đó, sử dụng
'
2 1
, (1/ )(1/ )B k k
α
=
phương trình (3) trở thành:
' '
1 2 2 1 1
, (1/ )(1/ ) (1/ )k T k k k k
α
+ =
Suy ra
, 0T
α

=
, điều đó có nghĩa
α
là một đường cong pháp.
1.2. Định lý (xem [5]). Cho
( )s
α
là một đường cong kiểu thời gian có vận
tốc đơn vị trong không gian
3
1
E
, với độ cong
1 2
( ) 0, ( ) 0,k s k s s I> ≠ ∈ ⊂ ¡
. Khi
đó
α

được gọi là sai khác một phép tịnh tiến với một đường cong pháp nếu
và chỉ nếu:
' '
2 1 2 1
/ ((1/ )(1/ ) )k k k k
= −
(4)
Chứng minh. Đầu tiên giả sử rằng
( )s
α
sai khác một phép tịnh tiến với một

đường cong pháp. Khi đó từ ba phương trình trong (1) kéo theo hệ thức (4).
Ngược lại, giả sử có hệ thức (4). Bằng cách áp dụng phương trình công
thức Frenet (1.1) ta dễ dàng thu được:
19
'
1 2 1
1 1 1
( ) ( ) ( ) 0
d
s N s B s
ds k k k
α
 
 
 
− − =
 ÷
 
 
 
Suy ra
'
1 2 1
1 1 1
( ) ( ) ( ) onss N s B s c t
k k k
α
 
− − =
 ÷

 
, mà
'
1 2 1
1 1 1
( ) ( )N s B s
k k k
 
+
 ÷
 
là một
đường cong pháp (theo định lý 1.1).
Vậy
α
sai khác một phép tịnh tiến với một đường cong pháp.
1.3. Định lý (xem [5]). Cho
( )s
α
là một đường cong kiểu thời gian có vận
tốc đơn vị trong không gian
3
1
E
, với độ cong
1 2
( ) 0, ( ) 0,k s k s s I> ≠ ∈ ⊂ ¡
. Khi
đó
α

nằm trên giả cầu
2
1
( , )S m r
nếu và chỉ nếu
α
là một đường cong pháp.
Chứng minh: Đầu tiên ta giả sử
( )s
α
nằm trên giả cầu
2
1
( , )S m r
. Khi đó:
2
, ,m m r r
α α
+
− − = ∈
¡
Lấy vi phân phương trình này bốn lần và sử dụng công thức Fretnet ta
thu được:
'
1 2 1
(1/ ) (1/ )(1/ )m k N k k B
α
− = +
Từ đó, qua phép tịnh tiến thì
α

là một đường cong pháp.
Ngược lại, giả sử
α
là một đường cong pháp. Khi đó, từ định lý (1.2)
chúng ta có:
' '
2 1 2 1
/ ((1/ )(1/ ) )k k k k
= −
. Xét vectơ
'
1 2 1
(1/ ) (1/ )(1/ )m k N k k B
α
= − −
Bằng cách đạo hàm
m
đối với
s
ta thu được
'
0m
=
. Do đó
onsm c t
=
. Tiếp
theo, phương trình
' '
2 1 2 1

/ ((1/ )(1/ ) )k k k k
= −
là đạo hàm của phương trình
2 ' 2
1 2 1
(1/ ) ((1/ )(1/ ) ) onst 0k k k c
+ = >
. Từ đó ta thu được:
2 ' 2
1 2 1
, (1/ ) ((1/ )(1/ ) ) ons t 0m m k k k c c
α α
− − = + = = >
.
Ta có thể lấy
2
c r
=
. Điều đó nghĩa là
α
nằm trong
2
1
( )S r
.
§2. Đường cong pháp kiểu ánh sáng (xem [5])
20
Cho một đường cong
α
kiểu ánh sáng trong không gian

3
1
E
, độ cong
đầu tiên
1
( )k s
chỉ có thể nhận hai giá trị
1
0k
=
nếu
α
là đường thẳng kiểu ánh
sáng, hoặc
1
1k
=
trong tất cả các trường hợp khác. Nếu
1
0k
=
, khi đó
α

là
phương của vectơ tiếp xúc
T
, do đó nó không thể là một đường cong pháp.
Tiếp theo, chúng tôi đưa ra một số đặc trưng của đường cong pháp kiểu ánh

sáng với tham số hóa giả độ dài cung
s
và với độ cong
1
1k
=
. Nhắc lại, tham
số hóa giả độ dài
s
được định nghĩa trong tài liệu [1] bởi:
1
1
'' ''
4
0
( ), ( )s t t dt
α α
=
∫
.
Nếu
( )s
α
là đường cong kiểu ánh sáng, khi đó công thức Fretnet là:
'
1
'
2 1
'
2

0 0
0
0 0
T k T
N k k N
B k B
 
   
 
   
= −
 
   
 
   
−
   
 
(2.1)
trong đó
, 0, , 1, , 0, , 0, , 1, , 0T T N N B B T N T B N B
= = = = = =
Trong trường hợp này
1
k
chỉ có thể nhận một trong hai giá trị:
1
0k
=
khi

( )s
α
là
một đường thẳng kiểu ánh sáng hoặc
1
1k
=
trong các trường hợp khác. Hàm
1 2
( ), ( )k s k s
tương ứng là độ cong thứ nhất và độ xoắn của
α
.
2.1. Định lý (xem [5]). Cho
( )s
α
là một đường cong kiểu ánh sáng trong
không gian
3
1
E
với độ cong
1 2
( ) 1, ( ) 0,k s k s s I= ≠ ∈ ⊂ ¡
. Khi đó
( )s
α
là một
đường cong pháp nếu và chỉ nếu thành phần tiếp xúc và thành phần pháp
tuyến chính của vectơ vị trí

α

được cho tương ứng bởi:
'
2 2 2
, (1/ )(1/ ) , , 1/ .T k k N k
α α
= =
Chứng minh. Đầu tiên ta giả sử rằng
( )s
α
là một đường cong pháp. Khi đó
theo nghĩa ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )s s N s s B s
α λ µ
= +
(5)
21