Đạo hàm liên kết của các dạng vi phân trên rn

MỤC LỤC
Trang
LỜI NÓI ĐẦU…………………………………………………………. 2
CHƯƠNG I. KHÔNG GIAN
n
¡
……………………………………. 4
I. CÁC CẤU TRÚC CƠ BẢN TRONG
n
¡
………………………… 4
II. LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN
n
¡
…………………………. 8
CHƯƠNG II. ĐẠO HÀM LIÊN KẾT CỦA k – DẠNG VI PHÂN
VỚI LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH(k = 1, k = 2) ………………… 18
I. ĐẠO HÀM LIÊN KẾT CỦA 1 – DẠNG VI PHÂN VỚI GIÁ TRỊ
VECTƠ …………………………………………………………… 18
II. ĐẠO HÀM LIÊN KẾT CỦA 2 – DẠNG VI PHÂN VỚI GIÁ TRỊ
VECTƠ …………………………………………………………… 26
KẾT LUẬN ………………………………………………………… 33
TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………………………… 34
LỜI NÓI ĐẦU
1
k – dạng vi phân với giá thực có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực vật lý và
các ngành khác nhau của toán học như: giải tích, hình học – tôpô. k – dạng vi phân
là một công cụ nghiên cứu các bài toán về biến phân thể tích của các miền compact
cùng biên trên các đa tạp Riemann. Vì vậy nó được các nhà toán học trong nước và
nước ngoài quan tâm nghiên cứu. Các k – dạng vi phân đã được trình bày trong
nhiều tài liệu chuyên khảo về giải tích và hình học hiện đại.

Trên cơ sở một số kết quả của các nhà toán học đã nghiên cứu được và trình
bày trong các tài liệu theo hướng trên, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS.
Nguyễn Hữu Quang, chúng tôi đã lựa chọn đề tài cho luận văn của mình là “Đạo
hàm liên kết của các dạng vi phân trên
n
¡
”.
Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản của đạo hàm
của các dạng vi phân liên kết với liên thông tuyến tính. Với nội dung đó luận văn
được trình bày trong hai chương:
Chương 1. Không gian
n
¡
. Trong chương này, chúng tôi trình bày các cấu
trúc cơ bản trong
n
¡
như: trường vectơ tiếp xúc trên
n
¡
, liên thông tuyến tính trên
n
¡
. Chương 1 gồm các kiên thức cở sở chuẩn bị cho việc trình bày của chương
sau.
Chương 2. Đạo hàm liên kết của k – dạng phân với liên thông tuyến
tính(k = 1, k = 2). Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm của 1 –
dạng, 2 – dạng lấy giá trị trên
( )
n

¡B
, đạo hàm liên kết của 1 – dạng, 2 – dạng với
liên thông tuyên tính, tích ngoài của 1 – dạng, vi phân ngoài của 1 – dạng liên kết
với liên thông tuyến tính.
Luận văn được hoàn thành vào tháng 10 năm 2014 tại trường Đại học Vinh
dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Nguyễn Hữu Quang. Nhân dịp này,
tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới thầy, người đã trực tiếp giảng dạy và tận
tình hướng dẫn tác giả trong quá trình nghiên cứu hoàn thành luận văn này. Tác giả
2
xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Khoa Toán, các thầy cô trong tổ Hình học
– Tôpô, trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt
thời gian học tập.
Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, các học
viên trong lớp cao học 20 chuyên ngành hình học – tôpô đã cộng tác, tạo điều kiện
giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.
Vinh, tháng 10 năm 2014
Tác giả

CHƯƠNG I
KHÔNG GIAN
n
¡
3
Trong chương này, chúng tôi trình bày một vài tính chất trên không gian
n
¡
như: các cấu trúc cơ bản của
n
¡
, trường vectơ trên

n
¡
, liên thông tuyến tính trên
n
¡
.
Trong luận văn này, ta luôn kí hiệu:
( )
{ }
1 2
, , , , 1,
n
n i
x x x x x i n= = ∈ ∀ =¡ ¡
.
( )
n
¡F
= {
:
n
f →¡ ¡
là hàm số khả vi}.
I. CÁC CẤU TRÚC CƠ BẢN
n
¡
.
Trong mục này, chúng tôi trình bày một vài tính chất của
n
¡

như: cấu trúc
Ơclit, cấu trúc tôpô tự nhiên, trường vectơ trên
n
¡
.
n
¡
được trang bị hai phép toán:
( ) ( )
1 2 1 2
, , , , , , , ,
n n
n n
x x x x y y y y
λ
∀ = ∈ ∀ = ∈ ∀ ∈¡ ¡ ¡
.
+) Phép cộng
( )
1 1 2 2
, , ,
n n
x y x y x y x y+ = + + +
.
+) Phép nhân vô hướng
( )
1 2
, , ,
n
x x x x

λ λ λ λ
=
.
1.1. Nhận xét.
a)
n
¡
cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian vectơ n – chiều với cơ
sở tự nhiên
( ) ( ) ( )
{ }
1 2
1,0, ,0 , 0,1, ,0 , , 0,0, ,1
n
e e e
.
b) Ta đưa vào cấu trúc Afin:
( ) ( )
1
:
,
n n n
n
i i
i
x y y x y x
ϕ
=
× →
− = −

¡ ¡ ¡
a
Khi đó,
n
¡
cùng với ánh xạ nói trên lập thành một không gian Afin trên nền
n
¡
.
Thật vậy:
+) Với mọi
( ) ( )
1 1
,a
n n
n n
i i
i i
x x a
= =
= ∈ = ∈¡ ¡
tồn tại duy nhất
( )
1
n
n
i i
i
y x a
=

= + ∈¡
. Khi
đó,
( , )x y a
ϕ
=
.
4
+) Với mọi
, ,
n
x y z ∈¡
, ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
1 1
, ,
, .
n n
i l i i
i i
n n
i l i i i i
i i
x y y z y x z y
y x z y z x x z
ϕ ϕ
ϕ
= =

= =
+ = − + −
= − + − = − =
c) Trên không gian vectơ
n
¡
, ta xác định tích vô hướng tự nhiên
1
.
n
i i
i
x y x y
=
=
∑
.
Khi đó, không gian Afin
n
¡
là một không gian Ơclit.
( ) ( )
1 2 1 2
, , , , , , ,
n n
n n
x x x x y y y y∀ = ∈ ∀ = ∈¡ ¡
, khoảng cách thông thường giữa x
và y được xác định là
( ) ( )

∑
=
−=
n
i
ii
yxyxd
1
2
,
.
1.2. Định nghĩa. Với
, 0
n
x r∈ >¡
. Tập
( )
{ }
, ( , )
n
B x r y d x y r
= ∈ <
¡
được gọi là
hình cầu mở tâm x, bán kính r.
Tập
( )
{ }
, ( , )
n

B x r y d x y r= ∈ ≤¡
được gọi là hình cầu đóng tâm x, bán
kính r.
1.3. Mệnh đề.(Xem [3]) Họ
{ }
( , ) , 0
n
B B x r x r= ∈ >¡
lập thành cơ sở của một
tôpô trên
n
¡
.
Chứng minh
Ta có:
0
( , )
n
n
x
r
B x r
∈
>
=
¡
¡
U
.
Giả sử

BryBrxB ∈),(),,(
21
và
φ
≠∩ ),(),(
21
ryBrxB
. Khi đó, với mọi
),(),(
21
ryBrxBz ∩∈
, ta có:
( ) ( )
21
,,, rzydrzxd <<
.
Đặt
{ }
0),(),,(min
21
>−−= zydrzxdrr
.
Thì với mọi
),( rzBu∈
, ta có:
),(),(
1
zxdrruzd −≤<
nên
1

),(),(),( ruzdzxduzd <+<
nghĩa là
),(
1
rxBu∈
.
Tương tự,
),(
2
rxBu∈
. Do đó
),(),(),(
21
ryBrxBrzB ∩⊂
và
( )
,B z r B∈
.
5
Vậy B là cơ sở của tôpô trên
n
¡
.
Chú ý:
a. Tôpô
,
i i
i I
U U U B
φ

∈
 
= = ∈
 
 
U
T
trên
n
¡
được gọi là tôpô tự nhiên.
b.
n
¡
với tôpô tự nhiên là T
2
– không gian.
Thật vậy,
,
n
x y R∀ ∈
và
yx ≠
. Ta đặt
),(
2
1
yxdr =
, thì
( , ) ( , )B x r B y r

φ
∩ =
.
1.4. Định nghĩa. Giả sử
n
p
T ¡
là không gian tiếp xúc với
n
¡
tại p. Khi đó, ánh xạ:
:
n
n n
p
p
n
p p
X T
p X T
∈
→
∈
¡
¡ ¡
uuur
a ¡
U
được gọi là trường vectơ tiếp xúc của
n

¡
.
Nếu
apX :
thì X được gọi là trường vectơ song song ứng với vectơ
a
.
Ta chú ý rằng, với mỗi i = 1, 2,…,n, ta xét
ii
epE :
, ∀p ∈
n
¡
và {E
1
, E
2
, …,E
n
}
được gọi là trường mục tiêu tự nhiên trên
n
¡
.
Khi đó, ta có sự biểu diễn
nn
EXEXEXX +++=
2211
; trong đó
:

n
j
X →¡ ¡
và
( )
n21
X, ,X,X
được gọi là tọa độ của X đối với trường mục tiêu tự nhiên {E
1
, E
2
,
…,E
n
}.
X được gọi là khả vi khi và chỉ khi X
j
khả vi với mọi j = 1, 2, … ,n.
Bây giờ ta kí hiệu
( )
n
¡B
= {X: X khả vi trong
n
¡
} và
( )
n
¡B
được trang bị các

phép toán sau:
+) Phép cộng:
: ,
n
p p
X Y p X Y p+ + ∀ ∈
uuur uur
a ¡
,
,X Y ∈
( )
n
¡B
+) Phép nhân với hàm số:
( )
: ,
n
p
X p p X p
φ φ
∀ ∈
uuur
a ¡
,
φ
∈
( )
n
¡F
,

X ∈
( )
n
¡B
6
1.5. Định lý.(Xem [4])
( )
n
¡B
cùng với hai phép toán ở trên là một môđun n -
chiều trên vành
( )
n
¡F
.
Chứng minh
• Dễ thấy rằng
( )
n
¡B
cùng phép toán cộng là một nhóm cộng giao hoán.
•
.( )( ) ( )( ( ) ( ))f X Y p f p X p Y p+ = +


( ). ( ) ( ). ( )
( . )( ) ( . )( )
( . . )( );
n
f p X p f p Y p

f X p f Y p
f X f Y p p
= +
= +
= + ∀ ∈¡

.( ) . . ; ( ); , ( )
n n
f X Y f X f Y f X Y⇒ + = + ∈ ∈¡ ¡F B
.
•
( ). ( ) ( )( ).X
p
f g X p f g p+ = +
uur


( ( ) ( )).
( . )(p) (g.X)(p)
(f .X g.X)(p); p
p
n
f p g p X
f X
= +
= +
= + ∀ ∈
uuur
¡

( ). . . ; , ( ); ( )
n n
f g X f X g X f g X⇒ + = + ∈ ∈¡ ¡F B
.
•
( . ). ( ) ( . )( ).
p
f g X p f g p X=
uuur


( ( ). ( )).
( ).( ( ). )
( ).( . )( )
.( . )( );
p
p
n
f p g p X
f p g p X
f p g X p
f g X p p
=
=
=
= ∈
uuur
uuur
¡

( . ). .( . ); , ( ); ( )
n n
f g X f g X f g X= ∈ ∈¡ ¡F B
.
•
(1. )( ) 1( ). 1. ; ; ( )
n n
p p p
X p p X X X p X= = = ∀ ∈ ∈
uuur uuur uuur
¡ ¡B

1. ; ( )
n
X X X= ∈ ¡B
.
Ta thấy rằng, {E
1
, E
2
, …,E
n
} là cơ sở của
( )
n
¡B
. Do đó
( )
dim .

n
n=¡B
II. LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN
n
¡
7
1.6. Định nghĩa. Một liên thông tuyến tính trên
n
¡
là ánh xạ
∇:
( )
n
¡B
×
( )
n
¡B
→
( )
n
¡B

( ) ( )
, , :
X
X Y X Y Y∇ = ∇a

thỏa mãn các tiên đề sau:
T

1
:
( )
( )
1 2 1 2 1 2
; , ,
n
X X X
Y Y Y Y X Y Y∇ + = ∇ + ∇ ∀ ∈ ¡B
. (1)
T
2
:
( )
[ ]
( ) ( )
. . ; , ;
n n
X X
fY X f Y f Y X Y f∇ = + ∇ ∀ ∈ ∀ ∈¡ ¡B F
. (2)
T
3
:
( )
1 2 1 2
1 2
; , ,
n
X X X X

Y Y Y X X Y
+
∇ = ∇ + ∇ ∀ ∈ ¡B
. (3)
T
4
:
( ) ( )
.
. ; , ;
n n
f X X
f Y X Y f∇ = ∇ ∈ ∀ ∈¡ ¡B F
. (4)
1.7. Ví dụ.
Cho ∇ = D:
( )
n
¡B
×
( )
n
¡B
→
( )
n
¡B
(X, Y)

∇

X
Y =

D
X
Y =(X(Y
1
), X(Y
2
), …, X(Y
n
)).
ở đây
1
n
i i
i
Y Y E
=
=
∑
.
Khi đó, ∇ là một liên thông tuyến tính. Thật vậy, ta kiểm tra các tiền đề của liên
thông tuyến tính.
Giả sử,
∀
X,
X
~
, Y,

Y
%
∈
( )
n
¡B
;
( )
n
ϕ
∀ ∈ ¡F
; Y =
i
1
Y
n
i
i
E
=
∑
,
n
i i
i 1
Y YE
=
=
∑
% %

Khi đó:
(T
1
) ∇
X
( )
Y
~
Y+
=
∑
=
n
1i
X
(Y
i
+
i
Y
~
).E
i
=
∑
=
n
1i
X
(Y

i
).E
i
+
∑
=
n
1i
X
(
i
Y
~
).E
i
= ∇
X
Y + ∇
x
Y
~
.
(T
2
) ∇
X
(ϕY) =
∑
=
n

1i
X
(ϕY
i
).E
i

8
=
( )
( )
i i i
1
Y.X[ ] . X Y .E
n
i
ϕ ϕ
=
+
∑
=
i i
1
Y.X[ ]E
n
i
ϕ
=
∑
+

( )
i i
1
.X Y .E
n
i
ϕ
=
∑
= Y.X[ϕ] + ϕ.∇
X
Y.
(T
3
)
( )
1
( )
n
i i
X X
i
Y X X Y E
+
=
∇ = +
∑
%
%
=

( )
i i
1
X Y E
n
i=
∑
+
1
( )
n
i i
i
X Y E
=
∑
%
= ∇
X
Y +
Y
X
~
∇
.
(T
4
) ∇
ϕ
X

Y =
( )
i i
1
( X) Y .E
n
i
ϕ
=
∑
= ϕ
∑
=
n
1i
X
(Y
i
). E
i
= ϕ.∇
X
Y.
Vậy ∇ là một liên thông tuyến tính trên
n
¡
.
Liên thông tuyến tính
∇
xác định trong ví dụ trên được gọi là liên thông

chính tắc trên
n
¡
.
1.8. Mệnh đề. (Xem [5]) Giả sử X,
X
~
, Y
∈

( )
n
¡B
,
n
p∈¡
thì
°
X
X
p
p
Y Y∇ = ∇
nếu X
p
=
X
~
p
.

Chứng minh
Với X,
X
~
∈
( )
n
¡B
, lúc đó ta có sự biểu diễn
X =
∑
=
ϕ
n
1i
ii
E
;
°
1
n
i i
i
X E
ψ
=
=
∑
;
trong đó ϕ

i
, ψ
i
∈
( )
n
¡F
,
i 1,n∀ =
.
Từ giả thiết: X
p
=
X
~
p
; ta suy ra ϕ
i
(p) = ψ
i
(p),
i 1,n∀ =
. Ta có:
9
(∇
X
Y)|
p
=
1

.
n
i i
i
E
p
Y
ϕ
=
∑
 
 ÷
∇
 ÷
 
=
( )
( )
1
.
i
n
i E
i
p
p Y
ϕ
=
∇
∑

=
( )
( )
1
i
n
i E
i
p
p Y
ψ
=
∇
∑
=
1
.
n
i i
i
E
p
Y
ψ
=
∑
 
 ÷
∇
 ÷

 
=
( )
X
p
Y∇
%
. 
Với mỗi vectơ
n
p p
T R
α
∈
uur
, ta luôn có trường vectơ X mà
p p
X
α
=
uuur uur
. Từ mệnh
đề trên, ta có thể xây dựng được định nghĩa đạo hàm của Y theo
p
α
uur
bằng cách
sau:
( )
p

X
p
Y
α
∇ Υ = ∇
uuur
, ở đây
p p
X
α
=
uuur uur
.
1.9. Mệnh đề. (Xem [5])
( )
p
X
Y∇
phụ thuộc các giá trị của trường vectơ Y trong
một lân cận của điểm p.
Chứng minh
Như ta đã biết, trong
n
¡
luôn tồn tại một hàm số khả vi ϕ thỏa mãn:
( )
( )
0;
\ 1
p

n
U
ϕ
ϕ
=



=


¡
+ Trước hết, ta xét trường vectơ Z thoả mãn: Z|
U
= 0. Khi đó, ϕ.Z = Z
nên ta có:
( )
X
p
Z∇
=
( )
X
p
Z
ϕ
∇
= X[ϕ].Z
p
+ ϕ(p)

( )
X
p
Z∇
= X
p
[ϕ]. 0 + 0.
( )
X
p
Z∇
; ∀p ∈ U
p
mở trong V
10
p V U∀ ∈ ⊂
, trong đó U là tập mở chứa tập đóng V
= 0.
+ Bây giờ, ta giả sử Y,
Y
~
∈
( )
n
¡B
, sao cho:
U U
Y Y
=
%

⇒
( )
0Y
~
Y
U
=−

⇒
0)Y
~
Y(
UX
=−∇
, (ở đây
°
( )
Y Y Z− =
).
Từ đó ta được:
( )
( )
X X
p
p
Y Y∇ = ∇
%
.
Giả sử ∇ là liên thông tuyến tính trên
n

¡
và
( )
n
ϕ
∈ ¡F
. Ta kí hiệu
( )
.
ϕ
∇
là ánh xạ thỏa mãn:
( )
( )
. , . ; ,
n
X
X Y Y X Y
ϕ ϕ
∇ = ∇ ∀ ∈ ¡B
.
Từ đó, ta có mệnh đề sau:
1.10. Mệnh đề. (Xem [1]) Giả sử
1 2
, , ,
n
∇ ∇ ∇
là các liên thông tuyến tính trên
n
¡

và
( )
1 2
, , ,
n
n
ϕ ϕ ϕ
∈ ¡F
. Khi đó,
1
n
i i
i
ϕ
=
∇ = ∇
∑
là liên thông tuyến tính trên
n
¡
khi và chỉ
khi
1
1
n
i
i
ϕ
=
=

∑
.
Chứng minh
Điều kiện cần: Giả sử
1 2
, , ,
n
∇ ∇ ∇
là các liên thông tuyến tính trên
n
¡
,
( )
1 2
, , ,
n
n
ϕ ϕ ϕ
∈ ¡F
và
1
n
i i
i
ϕ
=
∇ = ∇
∑
là liên thông tuyến tính. Khi đó,
1

1
n
i
i
ϕ
=
=
∑
.
Thật vậy,
( )
,
n
X Y∀ ∈ ¡B
ta có:
( ) ( )
1
n
X i i
i
X
Y Y
ϕ ϕ ϕ
=
 
∇ = ∇
 ÷
 
∑

( ) ( )
( )
1
n
i i
X
i
Y
ϕ ϕ
=
= ∇
∑

[ ]
( )
( )
1
.
n
i i
X
i
X Y Y
ϕ ϕ ϕ
=
= + ∇
∑
11

[ ]

( )
1 1
. . .
n n
i i i
X
i i
X Y Y
ϕ ϕ ϕ ϕ
= =
 
= + ∇
 ÷
 
∑ ∑

[ ]
1
. . . . (1)
n
i X
i
X Y Y
ϕ ϕ ϕ
=
 
= + ∇
 ÷
 
∑

Mặt khác,
( )
[ ]
( )
( )
. . ; , . 2
n
X X
Y X Y Y X Y
ϕ ϕ ϕ
∇ = + ∇ ∀ ∈ ¡B
Từ (1) và (2), ta có:
1
1
n
i
i
ϕ
=
=
∑
.
Điều kiện đủ: Giả sử
1 2
, , ,
n
∇ ∇ ∇
là các liên thông tuyến tính trên
n
¡

và
( )
1 2
, , ,
n
n
ϕ ϕ ϕ
∈ ¡F
sao cho
1
1
n
i
i
ϕ
=
=
∑
. Khi đó,
1
n
i i
i
ϕ
=
∇ = ∇
∑
là liên thông tuyến tính.
Thật vậy,
( )

1 2 1 2
, , , , ,
n
X X X Y Y Y∀ ∈ ¡B
;
( )
1 2
, , ,
n
n
ϕ ϕ ϕ
∀ ∈ ¡F
mà
1
1
n
i
i
ϕ
=
=
∑
, ta có:
(T
1
)
( ) ( )
1 2 1 2
1
n

X i i
i
X
Y Y Y Y
ϕ
=
 
∇ + = ∇ +
 ÷
 
∑

( ) ( )
( )
( ) ( )
1 2
1
1 2
1 1
1 2
.
n
i i
X
i
n n
i i i i
X X
i i
X X

Y Y
Y Y
Y Y
ϕ
ϕ ϕ
=
= =
= ∇ +
= ∇ + ∇
= ∇ + ∇
∑
∑ ∑
(T
2
)
( ) ( )
1
n
X i i
i
X
Y Y
ϕ ϕ ϕ
=
 
∇ = ∇
 ÷
 
∑

( ) ( )
( )
[ ]
( )
( )
[ ]
( )
[ ]
1
1
1 1
. .
. .
. . .
n
i i
X
i
n
i i
X
i
n n
i i i
X
i i
X
Y
X Y Y
X Y Y

X Y Y
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
=
=
= =
= ∇
= + ∇
= + ∇
= + ∇
∑
∑
∑ ∑
12
(T
3
)
1 2
1 2
1
n
X X i i
i
X X
Y Y
ϕ
+
=

+
 
∇ = ∇
 ÷
 
∑

( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
1 2
1 2
1 2
1 2
1
1
1 1
.
n
i i
X X
i
n
i i i
X X
i
n n
i i i i

X X
i i
X X
Y
Y Y
Y Y
Y Y
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
+
=
=
= =
= ∇
= ∇ + ∇
= ∇ + ∇
= ∇ + ∇
∑
∑
∑ ∑
(T
4
)
1
n
X i i
i
X
Y Y

ϕ
ϕ
ϕ
=
 
∇ = ∇
 ÷
 
∑

( )
( )
( )
( )
( )
1
1
1
.
n
i i
X
i
n
i i
X
i
n
i i
X

i
X
Y
Y
Y
Y
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ
=
=
=
= ∇
= ∇
= ∇
= ∇
∑
∑
∑
Từ mệnh đề trên ta thấy rằng, tổng của các liên thông tuyến tính không phải
là một liên thông tuyến tính.
1.11. Nhận xét. Giả sử
∇
là liên thông tuyến tính trên
3
¡
. Ta đặt:
°

( )
.
X
X
Y Y X Y
ψ
∇ = ∇ + ∧
,
( )
n
ψ
∈
¡F
.
Khi đó,
∇
~
là liên thông tuyến tính trên
3
¡
.
Chứng minh
Ta kiểm tra các điều kiện của liên thông tuyến tính:
(T
1
)
∇
~
X
(Y

1
+ Y
2
) =
∇
X
(Y
1
+ Y
2
) +
ψ
(X∧(Y
1
+ Y
2
))
=
∇
X
Y
1
+
∇
X
Y
2
+
ψ
(X∧Y

1
) +
ψ
(X∧Y
2
)
= (
∇
X
Y
1
+
ψ
(X∧Y
1
)) + (
∇
X
Y
2
+
ψ
(X∧Y
2
))
13
=
∇
~
X

Y
1
+
∇
~
X
Y
2
; ∀ X, Y
1
, Y
2
∈
( )
3
¡B
.
(T
2
)
∇
~
X
(ϕY) =
∇
X
(ϕY) +
ψ
(X ∧ (ϕY))
= X[ϕ].Y + ϕ.

∇
X
Y + ϕ.
ψ
(X∧Y)
= X[ϕ]. Y + ϕ.(
∇
X
Y +
ψ
(X ∧ Y))
= X[ϕ].Y + ϕ.
∇
~
X
Y ; ∀ X, Y ∈
( )
3
¡B
, ϕ ∈
( )
3
¡F
.
(T
3
)
°
( )
( )

1
1
1
X X
X X
Y Y X X Y
ψ
+
+
∇ =∇ + + ∧
=
1
1
( ) ( )
X X
Y Y X Y X Y
ψ ψ
∇ + ∇ + ∧ + ∧
=
( )
( )
1
1
( ) ( )
X X
Y X Y Y X Y
ψ ψ
∇ + ∧ + ∇ + ∧
=
∇

~
X
Y +
Y
~
1
X
∇
; ∀ X, X
1
, Y ∈
( )
3
¡B
.
(T
4
)
∇
~
ϕ
X
Y =
∇
ϕ
X
Y +
ψ
((ϕX) ∧ Y)
= ϕ

∇
X
Y + ϕ.
ψ
(X∧Y)
= ϕ(
∇
X
Y +
ψ
(X ∧ Y))
= ϕ.
∇
~
X
Y ;
( ) ( )
, ;
n n
X Y
ϕ
∀ ∈ ∀ ∈¡ ¡B F
.
Vậy
∇
~
là một liên thông tuyến tính trên
3
¡
.

1.12. Định nghĩa. Giả sử
:
n n
f →¡ ¡
là vi phôi và
∇
là một liên thông tuyến tính
trên
n
¡
. Khi đó, f được gọi là bảo toàn
∇
nếu và chỉ nếu
( )
( )
*
* *
; ,
n
X f X
f Y f Y X Y∇ = ∇ ∀ ∈ ¡B
.
1.13. Mệnh đề. (Xem [6]) f là vi phôi bảo toàn
D∇ =
nếu và chỉ nếu f là phép
Afin.
Chứng minh. Để chứng minh mệnh đề 1.13 ta cần bổ đề sau:
Bổ đề. X là trường vectơ song song khi và chỉ khi D
Z
X = 0;

∀
Z
∈

( )
n
¡B
.
Thật vậy, giả sử
( )
1
n
i
i
X X
=
=
là trường vectơ song song.
14
Khi đó, X
i
là hàm hằng, ∀ i =
n,1
.
Ta có:
D
Z
X =
∑
=

n
1i
ii
E]X[Z
, vì X
i
là hàm hằng nên Z[X
i
] = 0, ∀ i =
n,1
.
Do đó:
D
Z
X = 0; ∀Z ∈
( )
n
¡B
.
Ngược lại, nếu D
Z
X = 0; ∀ Z ∈
( )
n
¡B
, ta có:
∑
=
=
n

1i
ii
0E]X[Z
; ∀Z ∈
( )
n
¡B
.
Do đó, lấy Z = E
j
, ∀j =
n,1
thì

∑
=
=
n
1i
iij
0E]X[E
; ∀ j =
n,1
⇒
1
0
n
i
i
i

j
X
E
x=
∂
=
∂
∑
; ∀ j =
n,1
⇒
0
x
X
j
i
=
∂
∂
; ∀ i, j =
n,1
⇒ X
i
là hàm hằng, ∀ i =
n,1
. Vậy X là trường vectơ song song.
+) Bây giờ ta trở lại với việc chứng minh mệnh đề 1.13.
Điều kiện cần: Giả thiết f vi phôi và bảo toàn D, ta chứng minh f là phép Afin.
Giả sử X là trường vectơ song song. Khi đó, D
Z

X = 0, ∀ Z ∈
( )
n
¡B
⇒ f
*
(D
Z
X) = 0 (vì f
*
là ánh xạ tuyến tính)
⇒
0XfD
*Zf
*
=
; ∀ Z (vì f vi phôi và bảo toàn D)
⇒ f
*
X là trường vectơ song song.
⇒ J
f
là ma trận hằng
15
⇒
i
j
x
f
∂

∂
là hằng số. ∀ i, j =
n,1
.
Giả sử x' = f(x) hay (x'
1
, , x'
n
) = f(x
1
, , x
m
), ta có

1 11 1 1m m 1
n n1 1 nm m n
x' a x a x b
x' a x a x b
= + + +




= + + +

M
Vậy f là phép Afin.
Điều kiện đủ: Giả thiết f Afin, ta chứng minh f vi phôi bảo toàn D.
Thật vậy, ta có:
+) Mọi phép Afin là vi phôi.

+) Giả sử
{ }
1
n
i
i
U
=
là trường mục tiêu song song trong
n
¡
, thỏa mãn:
( )
* *
: , 1,2, ,
i i i i
f U E f U E i n→ = =
Giả sử Y =
( ) ( ) ( ) ( )
n n
i i * *p i i
i 1 i 1
U f Y f (p) f p .U p
= =
 
ϕ ⇒ = ϕ
 ÷
 
∑ ∑
=

( ) ( )
n
i *p i
i 1
p .f U (p)
=
ϕ
∑
=
( ) ( ) ( )
n
i * i
i 1
p . f U f (p)
=
ϕ
∑
=
( ) ( )
n
i i
i 1
p .E f(p)
=
ϕ
∑
=
( )
( )
n

1
i i
i 1
f . E f(p)
−
=
ϕ
∑
o
⇒ f
*
Y =
( )
∑
=
−
ϕ
n
1i
i
1
i
E.f
Do đó
YfD
*Xf
*
=
( )
*

n
1
f X i i
i 1
D f .E
−
=
 
ϕ
 ÷
 
∑
o
16
=
[ ]
∑
=
−
ϕ
n
1i
i
1
i*
E.fXf 
=
[ ]
( )
∑

=
−
ϕ
n
1i
i*
1
i
Uf.fX 
=
[ ]








ϕ
∑
=
n
1i
ii*
UXf 
= f
*
D
X

Y .
1.14. Chú ý. Giả sử
∇
là một liên thông tuyến tính và
{ }
n
1i
i
E
=
là trường mục tiêu
tự nhiên trong
n
¡
. Khi đó, ta có sự biểu diễn:
j
E
∇
E
i
=
∑
=
n
1k
k
k
ij
EC
ở đây

k
ij
C
∈
( )
n
¡F
. Các hằng số
k
ij
C
được gọi là hằng số cấu trúc của
∇
. Trong trường hợp
∇
= D thì ta có:
k
ij
C
= 0; ∀ i, j, k =
n,1
.
17
CHƯƠNG II. ĐẠO HÀM LIÊN KẾT CỦA k – DẠNG VI PHÂN
VỚI LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH(k = 1, k = 2)
Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm về 1– dạng, 2 – dạng
vi phân lấy giá trị trên
( )
n
¡B

, đạo hàm liên kết của 1 - dạng, 2 - dạng vi phân với
liên thông tuyến tính trên
n
¡
và trình bày các tính chất cở bản của nó.
Trong chương này, ta luôn kí hiệu:
∇ là một liên thông tuyến tính trên
n
¡
.
( )
n
¡B
={X: X khả vi trong
n
¡
}.
( )
n
¡F
= {
ϕ ϕ
hàm số khả vi từ
n
→¡ ¡
}.
I. ĐẠO HÀM LIÊN KẾT 1 – DẠNG VI PHÂN LẤY GIÁ TRỊ VECTƠ
2.1. Định nghĩa.
1 – dạng vi phân trên
( )

n
¡B
lấy giá trị trên
( )
n
¡B
đó là ánh xạ
( ) ( )
( )
:
n n
X X
θ
θ
→¡ ¡
a
B B
thỏa mãn:
T
1
:
( ) ( ) ( )
( )
; ,
n
X Y X Y X Y
θ θ θ
+ = + ∀ ∈ ¡B
.
T

2
:
( ) ( )
( ) ( )
. . ; ,
n n
X X X
θ ϕ ϕ θ ϕ
= ∀ ∈ ∀ ∈¡ ¡B F
.
Thực chất, ánh xạ
θ
xác định như trên là một ánh xạ tuyến tính từ môđun
( )
n
¡B
đến môđun
( )
n
¡B
.
Ví dụ. Ánh xạ
18
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 1 2 1
:
, , , , , ,
n n
n n

X X X X X X X X
θ
→
+ +
¡ ¡
a
B B
là 1 – dạng vi phân trên
( )
n
¡B
lấy giá trị trên
( )
n
¡B
. Thật vậy,
với mọi
( )
( )
( )
( )
1 2 1 2
, , , ; , , ,
n n
n n
X X X X Y Y Y Y= ∈ = ∈¡ ¡B B
, ta có:
( )
( ) ( )
( ) ( )

1 1 1 1 2 2 1 1
1 1 2 1 1 1 2 1
) ( ) , , ,
, , , , , ,
n n
n n
X Y X Y X Y X Y X Y X Y
X X X X X Y Y Y Y Y
X Y
θ
θ θ
+ + = + + + + + + +
= + + + + +
= +
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1 1 2 1
1 1 2 1
) ( ) , , ,
, , ,
;
n
n
n
X X X X X X
X X X X X
X

θ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ
ϕθ ϕ
+ = + +
= + +
= ∀ ∈ ¡F
Bây giờ ta kí hiệu:
( )
( )
1
,
n n
Ω
¡ ¡B
={
θ θ
là 1 – dạng vi phân trên
n
¡
với giá trị
trong
( )
n
¡B
} và trang bị cho
( )
( )
1
,
n n

Ω
¡ ¡B
hai phép toán sau:
+) Phép cộng:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1
1 2 1 2 1 2
; , , ;
n n n
X X X X
θ θ θ θ θ θ
+ = + ∀ ∈Ω ∈
¡ ¡ ¡B B
+) Phép nhân với một hàm:

( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1
. . ; ; , ;
n n n n
X X X
ϕ θ ϕθ ϕ θ
= ∈ ∈Ω ∈¡ ¡ ¡ ¡F B B
2.2. Mệnh đề. (Xem [7])
( )

( )
1
,
n n
Ω ¡ ¡B
cùng với hai phép toán trên lập thành
một môđun trên vành
( )
n
¡F
.
Chứng minh
Ta kiểm tra 8 tiên đề của môđun.
1) Kết hợp:
( )
( )
( )
1
1 2 3
, , , ;
n n n
X
θ θ θ
∀ ∈Ω ∀ ∈¡ ¡ ¡B B
. Ta có:
19
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 2
X X X
X X X
X X
X
θ θ θ θ θ θ
θ θ θ
θ θ θ
θ θ θ
+ + = + +
= + +
= + +
= + +
( )
( )
1 2 3 1 2 3
.
θ θ θ θ θ θ
⇒ + + = + +
2) Giao hoán:
( )
( )
( )

1
1 2
, , ;
n n n
X
θ θ
∀ ∈Ω ∀ ∈¡ ¡ ¡B B
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2
2 1
2 1
X X X
X X
X
θ θ θ θ
θ θ
θ θ
+ = +
= +
= +
1 2 2 1
.
θ θ θ θ
⇒ + = +
3) Phần tử không.
( ) ( )
0:
n n

→¡ ¡B B
( )
0 0X X =a
Rõ ràng
( )
( )
1
0 ,
n n
∈Ω ¡ ¡B
và với
( )
( )
1
,
n n
θ
∀ ∈Ω ¡ ¡B
, ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
0 0X X X
θ θ
+ = +
( ) ( ) ( )
( )
0 ;
n
X X X X
θ θ
= + = ∀ ∈ ¡B

.
0 0 .
θ θ θ
⇒ + = + =
4) Tồn tại phần tử đối.
( )
( )
1
,
n n
θ
∀ ∈Ω
¡ ¡B
, lúc đó luôn tại ánh xạ tuyến tính
( ) ( )
:
n n
θ
− →¡ ¡B B

( )
X X
θ
−a
sao cho
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )

( )
( )
( )
1
0 ; , , ;
n n n
X X X
X X
X X
θ θ θ θ
θ θ
θ θ
+ − = + −
= −
= ∀ ∈Ω ∀ ∈¡ ¡ ¡B B
( )
0.
θ θ
⇒ + − =
20
5)
( )
( )
( ) ( )
1
1 2
, , ; ;
n n n n
X
θ θ ϕ

∀ ∈Ω ∈ ∈¡ ¡ ¡ ¡B F B
. Ta có:
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2
1 2
1 2
X X
X X
X
ϕ θ θ ϕ θ θ
ϕθ ϕθ
ϕθ ϕθ
+ = +
= +
= +
( )
1 2 1 2
.
ϕ θ θ ϕθ ϕθ
⇒ + = +
6)
( )
( )
( ) ( )
1
, ; , ;

n n n n
X
θ ϕ φ
∀ ∈Ω ∀ ∈ ∈¡ ¡ ¡ ¡B F B
. Ta có:
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
X X
X X
X
ϕ φ θ ϕ φ θ
ϕθ φθ
ϕθ φθ
+ = +
= +
= +
( )
.
ϕ φ θ ϕθ φθ
⇒ + = +
7)
( )
( )
( ) ( )
1
, ; , ;
n n n n

X
θ ϕ φ
∀ ∈Ω ∀ ∈ ∀ ∈¡ ¡ ¡ ¡B F B
. Ta có:
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
X X X X
ϕ φθ ϕ φθ ϕφθ ϕφ θ
= = =
( ) ( )
.
ϕ φθ ϕφ θ
⇒ =
8) Ta xét hàm số
1:
n
→¡ ¡

1p a
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1
1. 1.
; , ;

n n n
X X
X X
θ θ
θ θ
=
= ∀ ∈Ω ∀ ∈¡ ¡ ¡B B
1.
θ θ
⇒ =
.
2.3. Định nghĩa. Giả sử ∇ là một liên thông tuyến tính trên
n
¡
. Đạo hàm hiệp biến
của
( )
( )
1
,
n n
θ
∈Ω ¡ ¡B
theo hướng
( )
n
X ∈ ¡B
liên kết với ∇ được kí hiệu
X
θ

∇
và được xác định bởi:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
;
n
X X X
Y Y Y Y
θ θ θ
∇ = ∇ − ∇ ∀ ∈ ¡B
.
2.4. Các ví dụ.
21
a) Trong
2
¡
, ta lấy
D∇ =
;
( ) ( )
2 2
:
θ
→¡ ¡B B
với:
( ) ( ) ( )
1 2 1 1 2
, ,X X X X X X X

θ
= +a
;
( )
( ) ( )
2 2
1,0 ; ,Y Z x y ∈ ¡B
. Khi đó, ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
Y Y Y Y
Z D Z D Z D Z
θ θ θ θ
∇ = = −
( )
( )
2
,Z x x y
θ
= +
( )
( )
[ ]
( )
( )
2
, 1,1
Y

D Z Y x Y x y
θ
⇒ = + =
 
 
[ ]
( )
( )
2
, 1,0
Y
D Z Y x Y y
= =
 
 
( ) ( )
1,1
Y
D Z
θ
⇒ =
( )
0
Y
D Z
θ
⇒ =
.
b) Giả sử
( ) ( )

3 3
:
θ
→¡ ¡B B

( ) ( ) ( )
1 2 3 1
, , ,0,0X X X X X X
θ
=a
; và
X X
Y D Y X Y∇ = + ∧
;
( ) ( )
( )
3
1 2
1,0,0 , , ,Z Z x y x z+ ∈ ¡B
. Khi đó, ta có:
( )
( ) ( )
( )
( )
1 1 1
2 2 2Z Z Z
Z Z Z
θ θ θ
∇ = ∇ − ∇
+)

( )
( )
( ) ( )
1 1
2 1 1 2Z Z
Z D Z Z Z
θ θ θ
∇ = + ∧
Mà
( ) ( )
2
,0,0Z x
θ
=
( ) ( ) ( ) ( )
1
2 1 2
1,0,0 ; 0,0,0
Z
D Z Z Z
θ θ
⇒ = ∧ =
( )
( )
( )
1
2
1,0,0
Z
Z

θ
⇒ ∇ =
+) Ta có:
1 1
2 2 1 2Z Z
Z D Z Z Z∇ = + ∧
Mà
( ) ( )
1
1 2 2
0, , ; 1,0,1
Z
Z Z x z y D Z∧ = − − =
nên
( )
1
2
1,1 ,1
Z
Z x z y∇ = − − +
( )
( )
1
2
1,0,0
Z
Z
θ
∇ =
Vậy

( )
( )
1
2
0
Z
Z
θ
∇ =
.
2.5. Mệnh đề. Với
∇
là một liên thông tuyến tính trên
n
¡
. Khi đó, ta có:
22
i)
( ) ( )
( )
1
; , ; ,
n n n
X Y X Y
X Y
θ θ θ θ
+
∇ = ∇ + ∇ ∀ ∈ ∈Ω¡ ¡ ¡B B
.
ii)

( ) ( )
( )
( )
1
; ; , ;
n n n n
X X
X
ϕ
θ ϕ θ θ ϕ
∇ = ∇ ∀ ∈ ∈Ω ∈¡ ¡ ¡ ¡B B F
.
iii)
( )
( ) ( )
( )
1
1 2 1 2 1 2
; ; , ,
n n n
X X X
X
θ θ θ θ θ θ
∇ + = ∇ + ∇ ∀ ∈ ∈Ω¡ ¡ ¡B B
.
Chứng minh
i)
( )
n
Z∀ ∈ ¡B

. Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
X Y X Y X Y
X Y X Y
X X Y Y
X Y
Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z
θ θ θ
θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ
+ + +
∇ = ∇ − ∇
= ∇ + ∇ − ∇ + ∇

   
= ∇ − ∇ + ∇ − ∇
   
= ∇ + ∇
X Y X Y
θ θ θ
+
⇒ ∇ = ∇ + ∇
.
ii)
( )
n
Z∀ ∈ ¡B
. Ta có:
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
.
X X X

X X
X X
X X
X
Z Z Z
Z Z
Z Z
Z Z
Z
ϕ ϕ ϕ
θ θ θ
ϕ θ θ ϕ
ϕ θ ϕθ
ϕ θ θ
ϕ θ
∇ = ∇ − ∇
= ∇ − ∇
= ∇ − ∇
 
= ∇ − ∇
 
= ∇
.
X X
ϕ
θ ϕ θ
⇒ ∇ = ∇
.
iii)
( )

n
Z∀ ∈ ¡B
. Ta có:
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2 2
1 2

X X X
X X X
X X X X
X X X X
X X
Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z
θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ
∇ + = ∇ + − + ∇
= ∇ + − ∇ − ∇
= ∇ +∇ − ∇ − ∇
= ∇ − ∇ + ∇ − ∇
= ∇ + ∇
23
( )
1 2 1 2X X X
θ θ θ θ
⇒ ∇ + = ∇ + ∇
.
2.6. Định lý. Với
∇
là một liên thông tuyến tính trên
n

¡
. Khi đó, ta có:
( )
[ ]
( ) ( ) ( )
( )
1
. . . ; , , ,
n n n n
X X
X X
ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ
∇ = + ∇ ∈ ∈ ∈Ω
¡ ¡ ¡ ¡B F B
.
Chứng minh
( )
n
Y∀ ∈ ¡B
. Ta có:
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
[ ]
( ) ( )

( )
( )
[ ]
( ) ( )
( )
( )
( )
[ ]
( ) ( ) ( )
. .
. . .
.
.
X X X
X X
X X
X X
X
Y Y Y
Y Y
X Y Y Y
X Y Y Y
X Y Y
ϕθ ϕθ ϕθ
ϕ θ ϕ θ
ϕ θ ϕ θ ϕθ
ϕ θ ϕ θ θ
ϕ θ ϕ θ
∇ = ∇ − ∇
= ∇ − ∇

= + ∇ − ∇
= + ∇ − ∇
= + ∇
( )
[ ]
. . .
X X
X
ϕ θ ϕ θ ϕ θ
⇒ ∇ = + ∇
. 
2.7. Định nghĩa. Giả sử
f
là vi phôi từ
n n
→¡ ¡
. Khi đó, ánh xạ đối tiếp xúc của
f
là ánh xạ
( )
( )
( )
( )
* 1 1
: , ,
n n n n
f Ω → Ω¡ ¡ ¡ ¡B B

*
f

θ θ
a
,
ở đây
( ) ( )
( )
*
*
,
n
f X f X X
θ θ
= ∀ ∈ ¡B
.
2.8. Ví dụ. Cho
3 3
:f →¡ ¡

( )
w
, ,w
.
x u
u v y v
z u v
= +


=



=

a
( )
( )
1 3 3
,
θ
∈Ω ¡ ¡B
mà
( ) ( ) ( )
( )
3
1 2 1 3 1 2 3
, , ; , ,Y Y Y Y Y Y Y Y Y
θ
= + ∀ ∈ ¡B
.
Khi đó,
( )
3
X∀ ∈ ¡B
ta có:
24
( ) ( )
[ ]
( )
( )
( )

( )
*
*
1
2
3
1 3 2 1 2
1 3 2 1 2 3
1 0 1
0 1 0
0
, ,
, , 1 .
f
f X f X
J X
X
X
v u X
X X X vX uX
X X X v X uX X
θ θ
θ
θ
θ
=
=
 
  
 ÷

  
=
 ÷
  
 ÷
  
  
 
= + +
= + + + +
2.9. Mệnh đề. Giả sử
:
n n
f →¡ ¡
là vi phôi. Khi đó, ta có:
i)
( ) ( ) ( )
( )
( )
* * * 1
1 2 1 2 1 2
, , ,
n
n
f f f
θ θ θ θ θ θ
+ = + ∀ ∈Ω ¡ ¡B
.
ii)
( ) ( )

( )
( )
( )
* * 1
, , ,
n
n n
f f
ϕθ ϕ θ θ ϕ
= ∀ ∈Ω ∈¡ ¡ ¡B F
.
iii) Giả sử
g
cũng là vi phôi từ
n n
→¡ ¡
. Khi đó, ta có:
( )
*
* *
g f f g=o o
.
Chứng minh
i)
( )
n
X∀ ∈ ¡B
,
( )
( )

1
1 2
, ,
n
n
θ θ
∀ ∈Ω ¡ ¡B
. Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
*
1 2 1 2 *
1 * 2 *
* *
1 2
f X f X
f X f X
f X f X
θ θ θ θ
θ θ
θ θ
+ = +
= +
= +
( ) ( ) ( )
* * *
1 2 1 2
f f f
θ θ θ θ

⇒ + = +
.
ii)
( )
n
X∀ ∈ ¡B
,
( )
( )
( )
1
, ,
n
n n
θ ϕ
∀ ∈Ω ∈¡ ¡ ¡B F
. Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
*
*
*
*
f X f X
f X
f X
ϕθ ϕθ
ϕθ
ϕ θ

=
=
=
( ) ( )
* *
f f
ϕθ ϕ θ
⇒ =
.
25