Chỉ số chính quy Castelnuovo - Mumford của môđun chính tắc và môđun khuyết

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN HUỲNH NGỌC TÚ
CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO –
MUMFORD CỦA MÔĐUN CHÍNH TẮC VÀ
MÔĐUN KHUYẾT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGHỆ AN - 2014
1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN HUỲNH NGỌC TÚ
CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO –
MUMFORD CỦA MÔĐUN CHÍNH TẮC VÀ
MÔĐUN KHUYẾT
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60 46 01 04
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS. ĐÀO THỊ THANH HÀ
NGHỆ AN - 2014
2
MỤC LỤC
MỤC LỤC 1
MỞ ĐẦU 2
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5
1.1. Vành và môđun phân bậc 5
1.2. Độ dài môđun 7
1.3. Chiều Krull 9
1.4. Dãy chính qui 10
1.5. Iđêan nguyên tố liên kết 11

1.6. Môđun đối đồng điều địa phương 13
CHƯƠNG 2. CHỈ SỐ CHÍNH QUI CASTELNUOVO – MUMFORD CỦA
MÔĐUN CHÍNH TẮC VÀ MÔĐUN KHUYẾT 15
2.1. Các khái niệm và tính chất cơ sở của chỉ số chính qui Castelnuovo–Mumford
15
2.2. So sánh chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford của môđun chính tắc và
môđun khuyết với bậc đồng điều 18
KẾT LUẬN 26
TÀI LIỆU THAM KHẢO 27
3
MỞ ĐẦU
Giả sử
[ ]
1
, ,
n
R k x x=
là vành đa thức phân bậc chuẩn, và giả sử M là R môđun
phân bậc hữu hạn sinh có chiều d. Môđun chính tắc
( ) ( ) ( )
,
d n d
R
K M Ext M R n
−
= −
của M được đưa ra bởi Grothendieck đóng một vai trò quan trọng trong Đại số
giao hoán và Hình học Đại số (Xem, chẳng hạn [3]). Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là
có thể chặn trên cho chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford
( )

( )
d
reg K M
của
( )
d
K M
theo các bất biến khác của M hay không. Bên cạnh môđun chính tắc,
người ta cũng quan tâm đến môđun khuyết
( ) ( ) ( )
, ,
i n i
R
K M Ext M R n i d
−
= − <
Các môđun này có thể xem là độ đo cho sự lệch của môđun M với tính chất
Cohen-Macaulay. Hơn nữa, ngay cả trong trường hợp đơn giản hơn đó là mối quan
hệ giữa
( )
( )
d
reg K M
và
( )
( )
i
reg K M
, i < d. Người ta có thể nói rằng chỉ số chính
qui Castelnuovo-Mumford reg(M) điều khiển thành phần phân bậc dương của tất

cả các môđun đối đồng điều địa phương
( )
i
m
H M
của M, chúng triệt tiêu trên mức
( )
reg M
. Mặc dù thành phần phân bậc âm
( )
i
m
H M
không nhất thiết triệt tiêu
nhưng hàm số
( )
( )
i
m
j
l H M
sẽ trở thành đa thức với
( )
( )
i
j reg K M< −
. Từ điều
này ta có thể nói
( )
( )

i
reg K M
kiểm soát dáng điệu của l(H
i
m
(M)
j
) ở các thành phần
âm. Chú ý rằng trong các bài báo của M. Brodmann và một số nhà Toán học khác
đã xét đến vấn đề khi nào
( )
( )
i
m
j
l H M
trở thành đa thức (xem, chẳng hạn [2]). Trên
thực tế, một kết quả của [2] sẽ đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu
4
các kết quả của [8]. Trong [8] đưa ra hai loại chăn trên cho
( )
( )
i
reg K M
. Trong
phần 2 ([8]) chứng minh rằng có thể dùng bậc đồng điều để chặn cho
( )
( )
i
reg K M

.
Bậc đồng điều đã được đưa ra bởi Vasconcelos [11] và người ta có thể dùng
nó để chặn
( )
reg M
(xem [4], Định lý 2.4). Đối với trường hợp vành có chặn đơn
giản:
( ) ( )
degreg S h S<
trong đó S là vành thương của R. Định lý 2.2.3 ([8]) nói
rằng
( )
( )
( )
. deg
i
reg K M d h S≤
, với mọi i. Kết quả này bổ sung mối quan hệ giữa
chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford và bậc đồng điều.
Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại chi tiết các vấn đề trong
bài báo [8] của Lê Tuấn Hoa và E. Hyry.
Ngoài lời mở đầu, mục lục, tài liệu tham khảo và kết luận, luận văn sẽ được
chia thành 2 chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số
khái niệm cơ sở cuả Đại số giao hoán có sử dụng trong luận văn như: Vành và
môđun phân bậc, chiều, độ sâu của môđun, hàm và đa thức Hilbert,
Chương 2. Chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford của môđun chính tắc và
môđun khuyết
2.1. Các khái niệm và tính chất cơ sở của chỉ số chính qui Castelnuovo-
Mumford.

2.2. So sánh chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford của môđun chính tắc và
môđun khuyết với bậc đồng điều.
Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của TS.
Đào Thị Thanh Hà - Trường Đại học Vinh. Từ đáy lòng mình, em xin được bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự hướng dẫn của cô. Em
5
xin trân trọng cảm ơn tới ban giám hiệu cùng quí Thầy Cô khoa Toán của Trường
Đại Học Vinh đã tạo điều kiện để em hoàn thành luận văn này.
Do đây là lần đầu tiên thực hiện công việc nghiên cứu, nên trong luận văn
không tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong được sự đóng góp ý kiến của các
Thầy, Cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện.
Đồng Tháp, ngày 09 tháng 09 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Huỳnh Ngọc Tú
6
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Vành và môđun phân bậc
1.1.1. Định nghĩa (i) Vành
R
được gọi là
¢
-phân bậc nếu
i
R R
∈
= ⊕
¢
xét như nhóm
cộng, và
i j i j

R R R
+
⊆
, với mọi
, i j ∈¢
. Hơn nữa, nếu
0
i
R =
với mọi
0i <
thì gọi
R
là vành phân bậc dương hay
¥
-phân bậc.
(ii) Môđun M trên vành
¥
-phân bậc
¡
được gọi là môđun
¢
-phân bậc nếu
i
i
M M
∈
= ⊕
¢
xét như nhóm cộng, và

i j i j
R M M
+
⊆
, với mọi
, i j ∈¢
(iii) Nếu M là môđun phân bậc trên vành phân bậc
R
, thì mọi phân tử x của
i
R

(hoặc
i
M
) là phần tử thuần nhất bậc i. Kí hiệu
( )
deg x = i
. Ta qui ước bậc của
phần tử 0 là một số nguyên tuỳ ý. Như vậy, nếu
, x Ma R∈ ∈
là các phần tử thuần
nhất thì
( ) ( ) ( )
deg ax = deg a + deg x
, hoặc
0ax =
Từ định nghĩa ta suy ra
0
R

là một vành con của
R
và mỗi thành phần phân bậc
i
M

là
0
R
-môđun. Nếu
x M∈
và
1
;
i i j
x x x x
+
= + + +L
Với
, ; ,
k k
x M i k j i j∈ ≤ ≤ ∈¢
Thì
k
x
(có thể
0
k
x =
) được gọi là thành phần thuần nhất hoặc thành phần phân bậc

k của x. Mỗi phần tử chỉ có một biểu diễn duy nhất thành tổng các thành phần phân
bậc.
Cho S là vành con của vành
R
(không nhất thiết phân bậc). Khi đó người ta gọi
R

là
S
-đại số. Nếu
1
, ,
n
a a R∈K
, kí hiệu
[ ]
1
, ,
n
S a aK
là tập hợp các tổ hợp tuyến tính
7
trên S của các phần tử
1
1
, ,
n
p
p
n

a aK
với
( )
1
, ,
n
n
p p ∈K ¥
. Tập hợp này rõ ràng là vành
con của
R
. Có thể xem nó như vành các đa thức, nhưng
1
, ,
n
a aK
ở đây không phải
là các biến độc lập. Nếu tồn tại
1
, ,
n
a a R∈K
để
[ ]
1
, ,
n
R S a a= K
thì
R

được gọi là
S -đại số hữu hạn sinh.
1.1.2. Định nghĩa. Vành phân bậc dương
0i
R R
≥
= ⊕
được gọi là vành phân bậc
chuẩn trên
0
R
nếu
[ ]
0 1
R R R=
.
1.1.3. Ví dụ. Xét vành đa thức n biến
[ ]
1
, ,
n
R k x x= K
. Gọi R
t
là tập hợp các đa
thức thuần nhất bậc t, khi đó
0
t
t
R R

≥
= ⊕
và tích của hai đa thức thuần nhất bậc t và s
là đa thức thuần nhất bậc t + s. Do đó
[ ]
1
, ,
n
k x xK
là vành phân bậc. Hơn nữa
[ ]
1
, ,
n
k x xK
là vành phân bậc chuẩn vì
[ ]
0 1
R R R=
, ở đây
0
R k=
,
1
R
là tập hợp tất
cả các đa thức thuần nhất bậc nhất.
1.1.4. Định nghĩa. Môđun con
N M⊆
được gọi là môđun con thuần nhất, hay

môđun con phân bậc nếu nó thoã mãn một trong ba điều kiện tương đương sau.
(i) N sinh bởi các phần tử thuần nhất
(ii) Với mỗi
x N∈
, mọi thành phần thuần nhất của nó thuộc N.
(iii)
( )
i
i
N N M
∈
= ⊕ ∩
¢
.
1.1.5. Chú ý. Nếu I là iđêan thuần nhất của R, thì
R
I
là vành phân bậc. Cũng vậy,
nếu
N M⊆
là môđun con thuần nhất, thì môđun thương
M
N
là R-môđun phân
bậc.
1.1.6. Ví dụ. (i)
[ ]
1
, ,
n

k x xK
là vành phân bậc chuẩn, mọi iđêan đơn thức là iđêan
thuần nhất, vì vậy chẳng hạn
[ ]
( )
2 5
, , ,
, z
k x y z t
x y x t
là vành phân bậc chuẩn.
8
(ii)
( )
4 3 3 4 2 2
, 4xx yz x yz y z y z− − +
là iđêan thuần nhất của vành
[ ]
, ,k x y z
. Khi đó
[ ]
( )
4 3 3 4 2 2
, ,
, 4x
k x y z
x yz x yz y z y z− − +
là vành phân bậc chuẩn.
1.1.7. Ví dụ. Cho M là môđun phân bậc trên vành phân bậc R. Cho
p∈¢

. Kí hiệu
( )
M p
là môđun M nhưng với phân bậc
( )
p i
i
M p M
+
=
.
Khi đó
( )
M p
cũng là môđun phân bậc trên R. Ta nói
( )
M p
là môđun dịch
chuyển của M với p là số dịch chuyển.
1.1.8. Định nghĩa. Cho M và N là hai môđun phân bậc trên vành phân bậc R. Đồng
cấu môđun
:f M N→
được gọi là đồng cấu thuần nhất (hay phân bậc) nếu với
mọi
i∈¢
ta có
( )
i i
f M N⊆
.

1.1.9. Mệnh đề. (i) Nếu f là đồng cấu thuần nhất thì hạch (hạt nhân) Kerf và ảnh
Imf của nó là các môđun con thuần nhất.
(ii) Nếu có dãy khớp
M N P→ → →K K
Các môđun phân bậc với các đồng cấu phân bậc, thì ta cũng có dãy khớp sau với
mọi
i∈¢
i i i
M N P→ → →K K
1.1.10. Định nghĩa. Một tập sinh của R-môđun phân bậc bao gồm các phần tử
thuần nhất được gọi là tập sinh thuần nhất.
Đối với iđêan thuần nhất cũng như môđun phân bậc, số phần tử sinh của mọi tập
sinh thuần nhất tối tiểu nói chung là như nhau. Cụ thể ta có:
1.1.11. Định lý (
[ ]
1
, Định lý 6.5) Giả sử
i 0
i
R R
≥
= ⊕
với
0
R
là vành chỉ có một iđêan
cực đại duy nhất m và M là R-môdun phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó mọi tập sinh
thuần nhất tối tiểu của M có số phần tử như nhau. Nói riêng nếu
0
R k=

là một
trường số thì mọi tập sinh thuần nhất tối tiểu của M có số phần tử như nhau.
9
1.2. Độ dài môđun
1.2.1. Định nghĩa. Một R-môđun M khác môđun không được gọi là một môđun
đơn, nếu M chỉ có đúng hai môđun con là môđun không và chính nó.
1.2.2. Định nghĩa. Một dãy hợp thành của R-môđun M là một dãy giảm gồm một
số hữu hạn các R-môđun M
{ }
0 1
0
n
M M M M= ⊃ ⊃ ⊃ =K
Sao cho
1i
i
M
M
−
là một môđun đơn,
1, , .i n= K
Khi đó số n được gọi là độ dài của
dãy hợp thành này.
1.2.3. Ví dụ. (i) Một không gian véc tơ có dãy hợp thành khi và chỉ khi nó có chiều
dài hữu hạn. Một không gian véc tơ có dãy hợp thành với độ dài d khi và chỉ khi nó
có chiều d.
(ii) Vành số nguyên
¢
là một
¢

-môđun không có dãy hợp thành.
1.2.4. Định lý (Jordan-Holder). Nếu R-môđun M có một dãy hợp thành với độ dài
n, thì tất cả các dãy hợp thành của M cũng có độ dài n. Hơn thế nữa, mỗi dãy tăng
hoặc giảm thật sự các môđun con của M đều có độ dài không vượt quá độ dài của
các dãy hợp thành, và đều có thể mở rộng thành một dãy hợp thành.
Từ Định lý 1.2.4 ta có định nghĩa sau.
1.2.5. Định nghĩa. Độ dài của các dãy hợp thành tuỳ ý của R-môđun M được gọi là
độ dài của môđun M và ký hiệu là
( )
R
l M
hoặc đơn giản là
( )
l M
. Nếu R-môđun M
không có dãy hợp thành thì ta qui ước độ dài
( )
R
l M = ∞
và gọi nó là môđun có độ
dài vô hạn.
1.2.6. Ví dụ.
(i) Độ dài của một không gian véc tơ chính là số chiều của không gian véc tơ đó.
(ii)
( )
1l =
¤
¤
(iii)
( )

3
18
l =
¢
¢
¢
vì
18
¢
¢
có 3 dãy hợp thành là
10
6
2
0
18 18 18
6 3
0
18 18 18
9 3
0
18 18 18
⊂ ⊂ ⊂
⊂ ⊂ ⊂
⊂ ⊂ ⊂
¢
¢ ¢
¢ ¢ ¢
¢ ¢
¢

¢ ¢ ¢
¢ ¢
¢
¢ ¢ ¢
(iv)
( )
l = ∞
¢
¢
1.2.7. Mệnh đề Cho R là một vành giao hoán và
0 0
f g
L M N→ → → →
là một dãy khớp ngắn của các R-môđun và R-đồng cấu. Khi đó
(i) R-môđun M có độ dài hữu hạn nếu và chỉ nếu cả L và N đều có độ dài hữu
hạn.
(ii)Khi tất cả L, M, N đều có độ dài hữu hạn thì
( ) ( ) ( )
l M l L l N= +
1.3. Chiều Krull
1.3.1. Định nghĩa Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R
0 1 n
p p p⊃ ⊃K
được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n.
Cho
( )
p Spec R∈
, cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với
0
p p=

được gọi là độ cao của p và kí hiệu là
( )
ht p
. Nghĩa là
( ) {
supht p =
độ dài các xích nguyên tố với
0
p p=
}
Cho I là một iđêan của R, khi đó độ cao của I được định nghĩa
( ) ( ) ( )
{ }
inf / ,ht I ht p p Spec R p I= ∈ ⊇
Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R được gọi là chiều
Krull của vành R, kí hiệu là
dim
k
R
hoặc đơn giản là dimR.
Cho M là một R-môđun, kí hiệu
11
( ) { }
{ }
/ 0
= / 0,
R
Ann M a R aM
a R ax x M

= ∈ =
∈ = ∀ ∈
là một iđêan của R và được gọi là linh hoá tử của môđun M.
Khi đó
( )
dim
R
R
Ann M
được gọi là chiều Krull của môđun M, kí hiệu
dim
k
M
hay
dimM.
1.3.2. Ví dụ. a) Nếu K là một trường thì chiều Krull của K là 0 vì K chỉ có hai
iđêan là (0) và K, và (0) là iđêan nguyên tố duy nhất của K. Vậy chiều Krull của K
là
dim 0.
K
K =
b)
dim 1
K
=¢
, vì mọi iđêan nguyên tố của vành các số nguyên
¢
hoặc là (0) hoặc
là
p¢

với p là số nguyên tố. Hơn nữa mọi iđêan
p¢
với p nguyên tố là iđêan cực
đại. Từ đó xích nguyên tố của
¢
có độ dài lớn nhất có dạng
( )
0 p⊂ ¢
c) Xét vành đa thức 4 biến
[ ]
, , ,k x y z t
. Ta có
[ ]
( ) ( )
2 3
, , ,
dim 2
, ,
k x y z t
x z x y
=
∩
1.4. Dãy chính qui
1.4.1. Định nghĩa Cho M là R-môđun.
(i) Phần tử
, 0x R x∈ ≠
được gọi là ước của 0 đối với M nếu tồn tại phần tử
, 0m M m∈ ≠
sao cho
0.xm =

(ii) Phần tử
x R∈
được gọi là M-chính qui nếu
M xM≠
và x không là ước của
0 đối với M.
12
(iii) Một dãy
{ }
1
, ,
t
x xK
các phần tử của R được gọi là dãy chính qui của M hay M-
dãy nếu
( )
1
0
, ,
t
M
x x M
≠
K
và
i
x
không là ước của 0 của môđun
( )
1 1

, 1,2, .
, ,
i
M
i t
x x M
−
∀ = K
K
1.4.2. Định nghĩa. Cho
I R⊆
là một iđêan. Nếu
{ }
1
, ,
t
x x I∈K
và là dãy chính qui
thì dãy
{ }
1
, ,
t
x xK
được gọi là dãy M-chính qui cực đại nếu không tồn tại
y I∈
để
{ }
1
, , ,

t
x x yK
là một dãy M-chính qui và t được gọi là độ dài của dãy trên. Cho R là
một vành địa phương và
I R⊆
là một iđêan. Khi đó độ dài của hai dãy M-chính
qui cực đại nằm trong iđêan I luôn như nhau. Vì vậy ta có định nghĩa sau.
1.4.3. Định nghĩa. Cho
( )
,R m
là vành địa phương Noether. Khi đó độ dài của dãy
chính qui cực đại trong m kí hiệu là
( )
,depth m M
hay
( )
depth M
và được gọi là độ
sâu của môđun M.
1.4.4. Chú ý. Cho M là R-môđun, ta luôn có
( )
depth M dimM≤
1.4.5. Định nghĩa. Cho
( )
,R m
là một vành địa phương Noether, M là R-môđun
phần tử
x m∈
được gọi là m-lọc chính qui nếu
{ }

0: 0
M
x m M xm= ∈ =
là môđun có độ dài hữu hạn, kí hiệu
( )
0:
M
l x < ∞
1.5. Iđêan nguyên tố liên kết
1.5.1. Định nghĩa. Cho M là R-môđun. Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là
iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại một phần tử
x M∈
để
( )
0:
R
p x Ann x= =
. Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là
( )
s
R
As M
hoặc
( )
sAs M
. Như vậy
13
( ) ( ) ( )
{
s |As M p spec R p Ann x= ∈ =

với
x M∈
nào đó
}
1.5.2. Mệnh đề.
(i) Nếu N là một môđun con của M thì
( ) ( )
Ass N Ass M⊆
(ii) Nếu M là một R - môđun Noether thì
( )
sAs M
là tập hữu hạn.
1.5.3. Định nghĩa. Môđun con N cuả M được gọi là môđun con nguyên sơ nếu
( )
s
M
As
N
chỉ gồm một phần tử. Tức là tồn tại một iđêan nguyên tố
p
sao cho
( )
{ }
s
M
As p
N
=
. Khi đó ta nói N là môđun con
p

-nguyên sơ.
1.5.4. Định nghĩa. Cho N là môđun con của M. N được gọi là có phân tích nguyên
sơ nếu N được biểu diễn dưới dạng
1 r
N N N= ∩ ∩K
(*)
Trong đó
i
N
là môđun con
i
p
-nguyên sơ,
1,2, ,i r= K
. Phân tích nguyên sơ
( )
*

được gọi là phân tích nguyên sơ thu gọn nếu
i
p
từng đôi một phân biệt và không
thể bỏ đi môđun
i
N
nào trong phân tích trên.
1.5.5. Định lý. Nếu N là một môđun con của môđun Noether M thì N có phân tích
nguyên sơ, và do đó có một phân tích nguyên sơ thu gọn.
1.5.6. Định Lý. Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R. Khi đó
nếu môđun con N của M có dạng phân tích nguyên sơ thu gọn

1
r
i
i
N N
=
= ∩
, trong đó
i
N
là môđun con
i
p
-nguyên sơ với
1, ,i r= K
, thì các
i
p
là duy nhất xác định bởi
N. Và ta có
( )
{ }
1 s
M
Ass = p ,…,p
N
1.5.7. Ví dụ. Trong Ví dụ 1.3.2 c) ta có
14
( )
( ) ( )

( ) ( )
{ }
2 3
1 2
k x,y,z,t
Ass = p = x,z , p = x,y
x ,z x,y
 
 ÷
∩
 
Trong đó
( )
( ) ( )
2 3
, , ,
, ,
k x y z t
x z x y∩
là
( )
, , ,k x y z t
- môđun
1.6. Môđun đối đồng điều địa phương
Khái niệm đối đồng điều địa phương được đưa ra bởi Grothendieck. Giả sử R là
vành giao hoán địa phương Noether, I là iđêan của R và M là R-môđun.
Ta có
2
0: 0: 0:
n

M M M
I I I⊆ ⊆ ⊆ ⊆K K
Là dãy các môđun con lồng nhau của M nên
( )
0:
n
M
n
I
∈
∪
¥
cũng là môđun con của M
và kí hiệu
( )
I
MΓ
.
1.6.1. Định nghĩa Môđun
( )
I
MΓ
xác định ở trên được gọi là môđun con I-
xoắn của M.
Xét đồng cấu R-môđun
:f M N→
Khi đó
( )
( )
( )

I I
f M MΓ ⊆ Γ
Kí hiệu
( )
I
fΓ
hay f
*
là ánh xạ hạn chế của f trên
( )
I
MΓ
.
( )
( )
( )
I
f
I I
M N
Γ
Γ →Γ
( )
( )
( )
( )
( )
( )
:
I

f
f
I I I
M N M N
Γ
Γ • → Γ →Γa
( )
I
Γ •
là hàm tử hiệp biến, cộng tính, khớp trái.
1.6.2. Định nghĩa Hàm tử
( )
I
Γ •
xác định ở trên được gọi là I-xoắn.
1.6.3. Định nghĩa Xét giải nội xạ của môđun M
0 1 1
0 1 1
:0
i i
i i
d d d d
M E E E E
E
−
•
+
→ → → → → → →L L
15
Khi đó ta có dãy phức

( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
0 1 1
0 1
1
:0
i
I I I
i
I
d d d
I I I I
d
i i
I I
E M E E
E E
−
Γ Γ Γ
•
Γ
+
Γ → Γ → Γ →Γ → →

Γ →Γ →
L
L
Ta đặt
( )
( )
( ) ( )
1
er / Im
i i i
I I I
H E K d d
• −
Γ = Γ Γ
và gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M với giá là iđêan I.
1.6.4. Định nghĩa. Hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử I-xoắn
( )
I
Γ •
được gọi
là hàm tử đối đồng điều địa phương với giá là I và kí hiệu là
( )
i
I
H −
.
1.6.5. Mệnh đề. Giả sử
1
, ,
r

x x I∈K
là dãy M-chính qui. Khi đó
( )
0, .
i
I
H M i < r= ∀
.
1.6.6. Hệ quả.
( ) ( )
0,
i
I
H M i < depth M= ∀
.
1.6.7. Định lý. (Định lý triệt tiêu của Grothendieck). Cho I la iđêan của vành giao
hoán Noether R và M là R - môđun hữu hạn sinh chiều d. Khi đó
( )
0,
i
I
H M i d= ∀ >
1.6.8. Định lý. (Định lý dãy khớp dài). Cho dãy khớp ngắn các R - môđun
0 0
f g
M N P→ → → →
Khi đó ta sẽ có dãy khớp dài
( )
( )
( )

( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
0 0 1
0
1
1 1
0 0 0 1 1
1 2 1
0
I I I
n
n
I I
n
I
H f H g H f
I I I I I
H g H f
n n n
I I I I I
H g
n

I
H M H N H p H M H N
H p H M H p H M H N
H p
−
∂
−
∂ ∂
→ → → → →
→ → → → → →
→ →
L
L
Trong đó
0 1
, ,∂ ∂ K
là các đồng cấu nối.
16
Chương 2. CHỈ SỐ CHÍNH QUI CASTELNUOVO-MUMFORD
CỦA MÔĐUN CHÍNH TẮC VÀ MÔĐUN KHUYẾT
2.1. Các khái niệm và tính chất cơ sở của chỉ số chính qui Castelnuovo–
Mumford
Trong suốt luận văn ta cho
[ ]
1
, ,
n
R k x x=
là vành đa thức phân bậc chuẩn, trong
đó k là trường vô hạn, và cho

( )
1
, ,
n
m x x=
. Với R-môđun phân bậc tuỳ ý N, đặt
( )
[ ]
{ }
inf / 0
i
beg N i N= ∈ ≠¢
,
và
( )
[ ]
{ }
e d sup / 0 .
i
n N i N
= ∈ ≠
¢
(chúng ta qui ước
( )
beg N = +∞
và
( )
den N = −∞
nếu N = 0.)
2.1.1. Định nghĩa. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh. Số

( ) ( )
( )
{ }
ax d / 0
i
m
reg M m i en H M i
= + ≥
được gọi là chỉ số chính qui Castelnuovo–Mumford của M.
Chú ý rằng nếu
I R⊂
là iđêan thuần nhất khác 0, thì
( )
( )
r 1.
R
eg I reg
I
= +
Chúng ta cũng xét
( ) ( )
( )
{ }
1
ax d / 1 ,
i
m
reg M m i en H M i
= + ≥
đôi khi gọi là chỉ số chính qui Castelnuovo–Mumford ở mức 1. Định nghĩa trên

ngay lập tức cho

( ) ( ) ( )
( )
{ }
( )
0
1
ax , d . 1
m
reg M m reg M en H M
=
Kết quả sau là một điểm xuất phát cho sự nghiên cứu về chỉ số chính quy
Castelnuovo–Mumford.
17
2.1.2. Bổ đề. (
[ ]
6
, Mệnh đề 1.1 và Định lý 1.2)
( ) ( )
( )
{ }
r ax d or , / 0 .
R
i
eg M m en T k M i i
= − ≥
Dãy khớp dài của đối đồng điều địa phương được sinh ra từ dãy khớp ngắn của
môđun cho ta bổ đề sau:
2.1.3. Bổ đề. (

[ ]
5
, Hệ quả 20.19) Giả sử
0 0A B C→ → → →
là dãy khớp ngắn các R-môđun phân bậc. Khi đó
(i)
( ) ( ) ( )
{ }
r ax , ,eg B m reg A reg C≤
(ii)
( ) ( ) ( )
{ }
ax , 1 .reg A m reg B reg C≤ +
Chú ý rằng một phần tử thuần nhất
x m∈
được gọi là M–lọc chính qui nếu
( ) { }
x s \ .p p As M m∉ ∀ ∈
Điều này tương đương với điều kiện môđun
0:
M
x
có độ dài hữu hạn. Từ giả thiết
trường k là vô hạn, luôn tồn tại phần tử lọc chính qui đối với hữu hạn các môđun
hữu hạn sinh.
Giả sử x là phần tử M-lọc chính qui tuyến tính. Khi đó
( ) ( )
/ 0 : 1.
i i
m M m

H M x H M i≅ ∀ ≥
Do đó dãy khớp ngắn được cảm sinh bởi phép nhân với x
( ) ( )
0 / 0: 1 / 0
x
M
M x M M xM
×
→ − → → →
Cho ta dãy khớp
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0
1 1
1 1
1
0 0: /
/
M m m m
j j j j
i i i i
m m m m
j j j j
x H M H M H M xM
H M H M xM H M H M
− −
+ +
−
→ → → → →
→ → → → →

Từ đây ta có bổ đề sau (xem
[ ]
6
, Mệnh đề 20.20 và
[ ]
8
, Bổ đề 2).
2.1.4. Bổ đề. Cho x là phần tử M-lọc chính qui tuyến tính
( ) ( )
1
r / .eg M reg M xM regM≤ ≤
18
Cuối cùng chúng ta hãy nhớ lại khái niệm của chỉ số chính qui (của hàm Hilbert).
Hàm Hilbert của M là hàm số
( ) ( )
dim
M k t
h t M=
và đa thức Hilbert
( )
M
p M
của M là đa thức có bậc d - 1 sao cho
( ) ( )
0
M M
h t p t t= ∀ ?
trong đó d là số chiều của môđun M.
Hàm Hilbert
( )

M
h n
và đa thức Hilbert
( )
M
p n
có quan hệ bởi công thức
( ) ( )

M M
h n p n=
với
( )
.n reg M>
Công thức này là một hệ quả của công thức Grothendieck - Serre sẽ nói ở trong
phần chứng minh của Bổ đề 2.1.6.
2.1.5. Định nghĩa. Cho
( )
M
h t
và
( )
M
p t
tương ứng là hàm Hilbert và đa thức
Hilbert của M, số
( ) ( ) ( )
{ }
ax /
M M

ri M m j h j p j= ∈ ≠¢
Được gọi là chỉ số chính qui của M.
2.1.6. Bổ đề. Cho x là phần tử M-lọc chính qui tuyến tính. Khi đó
(i) (cf. [5], Mệnh đề 20.20)
( ) ( ) ( )
( )
{ }
0
r ax / , d ,
m
eg M m reg M xM en H M
=
(ii)
( ) ( ) ( )
{ }
max / , ,reg M reg M xM ri M=
(iii) Nếu M là một môđun Cohen-Macaulay có chiều d thì
( ) ( )
.reg M ri M d= +
Chứng minh.
(i) Dựa theo Bổ đề 2.1.4 và (1).
(ii) Từ công thức Grothendieck-Serre
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
0
1 , 2
d
i
i

M M m
j
i
H j P j l H M
=
− = −
∑
Cho nên
( )
r .egM ri M≥
Từ Bổ đề 2.1.4 ta có
19
( ) ( ) ( )
{ }
ax / , .reg M m reg M xM ri M≥
Giả sử
( )
/ .j reg M xM≥
Từ
( )
1
,reg M j≤
cho bởi (2)
( ) ( ) ( )
( )
0
.
M M m
j
H j P j l H M− =

Do đó
( )
( )
( ) ( )
{ }
0
d ax / , .
m
en H M m reg M xM ri M≤
Cùng với (i) chúng ta được
( ) ( ) ( )
{ }
ax / , .reg M m reg M xM ri M≤
(iii) Từ (2) và từ
( )
0 .
i
m
H M i d= ∀ <
2.2. So sánh chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford của môđun chính tắc và
môđun khuyết với bậc đồng điều
Từ đây trở về sau cho M là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh chiều d. Bậc đồng điều
của R-môđun phân bậc M được đưa ra bởi Vasconcelos. Nó được định nghĩa một
cách đệ quy theo chiều như sau:
2.2.1. Định nghĩa. (
[ ]
11
và
[ ]
12

, Định nghĩa 9.4.1) Bậc đồng điều của M là số
( ) ( ) ( )
( )
1
1
0
1
deg deg deg Ex ,

d
n i d
R
i
d
h M M h t M R
i
−
+ + −
=
−
 
= +
 ÷
 
∑
Lưu ý rằng

( ) ( ) ( )
deg dega h M M≥
, và đẳng thức đúng khi và chỉ khi M là một môđun

Cohen-Macaulay.

( ) ( )
( )
( )
( )
0 0
( ) deg deg / .
m m
b h M h M H M l H M= +
Cho
( )
gen M
là bậc cực đại của các phần tử trong tập sinh thuần nhất tối tiểu của
M. Có nghĩa là
( ) ( )
d / .gen M en M mM=
Bậc đồng điều cho chặn trên của chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford
20
2.2.2. Bổ đề. (
[ ]
4 ,
Định lý 2.4)
( ) ( ) ( )
deg 1.reg M gen M h M≤ + −
Giả sử
( ) ( ) ( )
, .
i n i
R

K M Ext M R n
−
= −
Môđun
( )
d
K M
là môđun chính tắc của M. Theo Schenzel (
[ ]
9 ,
phần 3.1) người ta
gọi môđun
( )
, ,
i
K M i d<
là môđun số khuyết của M. Lưu ý rằng
( )
0
i
K M =
với i
< 0 và i > d. Tất cả môđun
( )
i
K M
là hữu hạn sinh và từ
[ ]
9
, phần 3.1 ( xem Bổ đề

3.1.1 và trang 63) chúng ta có:
( )
( )
( )
( )
{ }
dim , ,
dim ,và
depth min 2,dim .
i
d
d
K M i i d
K M d
K M M
≤ <
=
≥
Theo định lý đối ngẫu địa phương ( xem ví dụ
[ ]
3
, Định lý 3.6.19), có phép đẳng
cấu chính tắc sau đây của môđun phân bậc
( ) ( )
( )
( )
, . 3
i i
m
K M Hom H M k≅

Từ điều này và Bổ đề 2.1.6 (ii) chúng ta có
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
.
i
i i
m
t
K M
l H M P t t reg K M= − ∀ < −
Từ Bổ đề 2.2.2, một câu hỏi tự nhiên đặt ra là có thể dùng bậc đồng điều để chặn
trên cho chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford của môđun
( )
i
K M
hay không.
Định lý sau đây trả lời cho câu hỏi này và cũng là kết quả chính của phần này.
2.2.3. Định lý. (i) với mọi
1i d≤ −
ta có
( )
( )
( ) ( ) ( )
r deg deg .
i
eg K M d h M M beg M i≤ − − −
 

 
(ii)
( )
( )
( ) ( ) ( )
1 deg deg .
d
reg K M d h M M beg M≤ + − −
 
 
21
Chú ý khi M là môđun Cohen-Macaulay,
( )
d
K M
cũng là một môđun Cohen-
Macaulay. Trong
[ ]
7 ,
Mệnh đề 2.2.3 đã chứng minh
( )
( )
( ) ( )
r . 4
d
eg K M d beg M= −
Điều này dễ dàng suy ra từ Bổ đề 2.1.6 (iii) và công thức Grothendieck-Serre (2) áp
dụng cho
( )
,

d
K M
hoặc từ tính đối ngẫu. Do đó trong trường hợp này chúng ta có
đẳng thức (ii) của định lý trên.
Để chứng minh Định lí 2.2.3 ta cần một vài kết quả bổ trợ.
2.2.4. Bổ đề. (
[ ]
10 ,
Mệnh đề 2.4) Cho x là một phần tử M - lọc chính qui tuyến tính.
Thì có dãy khớp ngắn các môđun phân bậc
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1 1
0 / 1 / 0: 0,
i
i i i
K M
K M xK M K M xM x
+ +
→ → → →
với mọi số nguyên
0i ≥
.
Để ngắn gọn hơn, trong chứng minh chúng ta thường dùng kí hiệu sau
( )
: .
i i
K K M=

2.2.5. Bổ đề .
( )
( )
( )
0
.reg K M beg M≤ −
Chứng minh. Chú ý rằng
( )
0
m
H M M⊆
là một môđun con có độ dài hữu hạn. Do
đó, từ (3) chúng ta có
( )
( )
( )
( )
0 0
r .

m
eg K beg H M beg M= − ≤ −
W
Trong phần tiếp theo luôn giả thiết x là phần tử tuyến tính tồng quát, ở đây ta hiểu x
là phần tử lọc chính qui đối với M, tất cả các môđun
( )
i
K M
và tất cả các môđun
khuyết được nhắc lại trong [11], Định nghĩa 2.12. Đây là tập hữu hạn các môđun

mà các phần tử như thế luôn tồn tại
2.2.6. Bổ đề. Giả sử
( ) 0depth M >
và
r i d≤ <
. Khi đó
22
( )
( )
( ) ( )
( )
1
deg
i
i j
j
reg K M beg M h K M i
=
≤ − + −
∑
Chứng minh. Cho
x R∈
là phần tử tuyến tính tổng quát và
0j ≥
. Từ Bổ đề 2.2.4 ta
có dãy khớp
( )
( ) ( )
1 1
0 / 1 / 0: 0.

j
j j j
K
K xK K M xM x
+ +
→ → → →
Lấy tích tenxơ với k chúng ta được dãy khớp
( ) ( )
( )
( )
( )
1 1
1
/ / / / 1 or ,0: .
j
j j j j R
K
K M xM mK M xM K mK T k x
+ +
¬ ¬
Điều này kéo theo
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
{ }
1 1 1
1
d / ax / , d or , : 1.

j j j j R
Ki
gen K en K mK m gen K M xM en T k x
+ + +
= ≤ −
Từ đó
0:
j
K
x
có độ dài hữu hạn,
( )
0
0: .
j
j
m
K
x H K⊆
Do đó, theo Bổ đề 2.1.2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
1
d or ,0: 1 0 : d .
j j

R j j
m
K K
en T k x reg x en H K reg K− ≤ ≤ ≤
Kết hợp điều này với
( )
( )
( )
( )
/ /
j j
gen K M xM reg K M xM≤
( xem lại Bổ đề 2.1.2), ta có
( )
( )
( )
( )
{ }
( )
( )
( )
{ }
( )
1
ax / , 1 1
ax / , . 5
j j j
j j
gen K m reg K M xM reg K
m reg K M xM reg K

+
≤ + −
≤
Chú ý rằng
( ) ( )
/ .beg M xM beg M≥
Giờ chúng ta chứng minh điều này bằng phép quy nạp trên i. Với i = 1. Áp dụng
(5) cho trường hợp j = 0 cùng với Bổ đề 2.2.5 cho ta
( ) ( )
{ }
( )
1
ax / , .genK m beg M xM beg M beg M≤ − − = −
Theo Bổ đề 2.2.2, chúng ta được
23
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1 1 1 1
1
deg 1 deg 1
. deg 1.
reg K gen K h K h K beg M
d h K beg M
≤ + − ≤ − −
≤ − −
Do đó đúng cho
1
.K

Với
2 1.i d≤ ≤ −
Bằng giả thiết quy nạp chúng ta có
( )
( )
( )
( )
1
1
1
deg 1. 6
i
i j
j
d
reg K beg M h K i
j
−
−
=
 
≤ − + − +
 ÷
 
∑
Cho N là môđun phân bậc Noether trên S, gọi
N
là môđun
( )
0

m
N
H N
: lưu ý rằng
( )
d 0epth N >
nếu
dim 0N >
, và với mọi j > 0 ta có
( )
( )
.
j j
K N K N≅
(7)
Từ
dim / 1M xM d= −
và
0 1 1,i d< − < −
một lần nữa áp dụng giả thiết qui nạp
cho
/ ,M xM
ta có
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )

( )
( )
1 1
1
1
1
1
/ /
1
-beg / deg / 1

1
-beg / deg / 1.

i i
i
j
j
i
j
j
reg K M xM reg K M xM
d
M xM h K M xM i
j
d
M xM h K M xM i
j
− −
−

=
−
=
=
−
 
≤ + − +
 ÷
 
−
 
≤ + − +
 ÷
 
∑
∑
Từ
( )
0,depth M >
theo bất đẳng thức (10) trong
[ ]
11
( )
( )
1
deg / deg deg .
j j j
h K M xM h K h K
+
≤ +

Vì vậy
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
1
1
1
1
1
1
/
1
deg deg 1

1
deg deg 1.
1
i
i
j j
j
i
j j
j
reg K M xM
d

beg M h K h K i
j
d d
beg M h K h K i
j i
−
−
+
=
−
=
≤
−
 
≤ − + + − +
 ÷
 
−
 
   
≤ − + + − +
 ÷
 ÷  ÷
−
   
 
∑
∑
24
Từ (5) và (6) ta được

( )
( )
( ) ( )
1
1
1
deg deg 1.
1
i
i j i
j
d d
gen K beg M h K h K i
j i
−
=
−
   
≤ − + + − +
 ÷  ÷
−
   
∑
Do đó, từ Bổ đề 2.2.2
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1

1
1
1
deg 1
1
+ deg deg 1 deg 1
1
1 1
+ deg deg deg
1
= d
i i i
i
j i i
j
i
j i i
j
reg K gen K h K
d d
beg M h K h K i h K
j i
d d d
beg M h K h K i h K
j i i
d
h
j
−
=

−
=
≤ + −
−
   
≤ − + − + + −
 ÷  ÷
−
   
− −
     
≤ − + − +
 ÷  ÷  ÷
−
     
 
 ÷
 
∑
∑
( )
( )
1
eg .
i
j
j
K beg M i
=
− −

∑
Bổ đề 2.2.6 được chứng minh hoàn chỉnh.
W
Chứng minh Định lý 2.2.3. Từ
( ) ( )
deg deg ,h M M≥
và Bổ đề 2.2.5 chúng ta giả sử
rằng
1d ≥
và
1.i ≥
Đặt
( )
0
/ .
m
M M H M=
(i) Với
1 .i d≤ <
Từ
( )
0,depth M >
công thức của
( )
degh M
trong Định nghĩa
2.2.1 có thể viết lại như sau
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )

( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1
1
1
1
1
1
1
1
deg deg deg

1
= deg deg

1
deg deg

1
deg deg .
d
d j
j
d
j
j
i

j
j
i
j
j
d
h M M h K M
j
d
M h K M
j
d
M h K M
j
d
M h K M
j
d
−
− −
=
−
=
=
=
−
 
= +
 ÷
 

−
 
+
 ÷
 
−
 
≥ +
 ÷
 
 
≥ +
 ÷
 
∑
∑
∑
∑
Vì vậy, Bổ đề 2.2.6 và (7) được
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
deg deg .
i i
reg K reg K M d h M M beg M i= ≤ − − −
25