Chặn trên cho chỉ số chính quy Castelnuovo-mumford

Bộ giáo dục và đào tạo
Đại học Huế
Trờng Đại học s phạm Huế
Cao Huy Linh
Chặn trên cho chỉ số
chính quy Castelnuovo-Mumford
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
M số: 62.46.05.01
Tóm tắt Luận án tiến sĩ toán học
Huế-2006
Mở đầu
Trong toàn bộ luận án, mọi vành khảo sát đều là giao hoán.
Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford là một bất biến quan trọng
trong đại số giao hoán và hình học đại số. Nó cung cấp nhiều thông tin
về độ phức tạp của những cấu trúc đại số phân bậc. Chỉ số chính quy
Castelnuovo-Mumford ra đời từ những công trình về đờng cong xạ ảnh
của Castelnuovo và đợc Mumford phát biểu định nghĩa đầu tiên cho đa
tạp xạ ảnh. Bằng ngôn ngữ đối đồng điều địa phơng, khái niệm này đã
đợc tổng quát hóa cho môđun phân bậc hữu hạn sinh trên đại số phân
bậc chuẩn bất kỳ.
Mục đích của luận án là đa ra những chặn trên cho chỉ số chính quy
Castelnuovo-Mumford của môđun phân bậc liên kết.
Cho (A, m) là vành địa phơng, I là iđêan m-nguyên sơ và M là
A-môđun hữu hạn sinh. Ký hiệu
G
I
(M) =

n0
I
n

M/I
n+1
M.
Ngời ta gọi G
I
(M) là môđun phân bậc liên kết của M ứng với I. Đặc
biệt G
I
(A) là vành phân bậc chuẩn và đợc gọi là vành phân bậc liên
kết của A ứng với I. G
I
(M) là G
I
(A)-môđun phân bậc hữu hạn sinh.
Việc nghiên cứu chỉ số chính quy của (G
I
(M)) sẽ cho chúng ta biết
nhiều thông tin về cấu trúc của M. Ví dụ nh ta có thể ớc lợng đợc
kiểu quan hệ (relation type), số mũ rút gọn và chỉ số Hilbert (postulation
number) của M theo I.
Trớc tiên, chúng tôi sẽ chứng minh chỉ số chính quy của môđun phân
bậc liên kết G
I
(M) bị chặn bởi một hàm của chiều và bậc mở rộng của
M theo I.
Bậc mở rộng D(M) là một khái niệm đã đợc Doering, Gunston và
1
2
Vasconcelos đa ra nhằm đo độ phức tạp về cấu trúc của môđun. Đại
lợng này phản ánh tốt tính chất của các thành phần phân bậc so với bậc

cổ điển (số bội). Rossi, Trung và Valla đã thiết lập một chặn trên cho
chỉ số chính quy của G
m
(A) theo chiều của A và bậc mở rộng D(A).
Chúng tôi mở rộng kết quả này cho G
I
(M), trong đó M là A-môđun
hữu hạn sinh và I là iđêan m-nguyên sơ tùy ý. Kết quả chính chúng tôi
nhận đợc trong trờng hợp này là định lý sau.
Định lý 2.2.2 Cho M là A-môđun hữu hạn sinh với d = dim M 1 và
D(I, M) là bậc mở rộng bất kỳ của M. Khi đó
(i) reg G
I
(M) D(I, M) 1 nếu d = 1,
(ii) reg G
I
(M) 2
(d1)!
D(I, M)
3(d1)!1
1 nếu d 2.
Phơng pháp chủ đạo của chúng tôi là dựa theo ý tởng của Mumford,
ớc lợng chỉ số chính quy theo hàm Hilbert. Phơng pháp này đã
đợc Rossi, Trung và Valla đề xuất để nghiên cứu chỉ số chính quy
Castelnuovo-Mumford của vành và môđun phân bậc liên kết. Trở ngại
chính mà chúng tôi gặp phải là có những vấn đề về chỉ số chính quy
đã đợc thiết lập cho đại số trên một trờng nhng cha đợc phát triển
cho đại số trên một vành Artin.
Nh chúng tôi đã giới thiệu, chỉ số chính quy của môđun phân bậc
liên kết là một chặn trên cho chỉ số Hilbert. Một khi chặn đợc chỉ số

Hilbert thì có thể chặn đợc hệ số Hilbert bằng một phơng pháp đã
đợc đa ra bởi Vasconcelos. Dùng phơng pháp này, chúng tôi đa ra
đợc các chặn trên cho các hệ số Hilbert theo D(I, M).
Định lý 2.3.1 Cho M là A-môđun hữu hạn sinh với dim( M) 1 và
D(I, M) là bậc mở rộng bất kỳ của M. Khi đó
(i) |e
1
(I, M)| D(I, M)
2
1,
(ii) |e
i
(I, M)| 2
2(i+1)!1
D(I, M)
3i!1
1 nếu i 2.
Phối hợp Định lý 2.2.2 và Định lý 2.3.1, chúng tôi chứng minh đợc
chỉ tồn tại hữu hạn số các hàm Hilbert-Samuel của M theo I nếu cho
trớc chiều của M và bậc mở rộng D(I, M). Đây cũng là sự mở rộng
một kết quả khác của Rossi, Trung và Valla. Các tác giả này đã chặn
trên các hệ số Hilbert trong trờng hợp M = A và I = m. Trớc đó,
3
Srinivas và Trivedi đã thiết lập các chặn trên cho chỉ số Hilbert và các hệ
số Hilbert theo chiều và số bội trên lớp vành và môđun Cohen-Macaulay.
Sau đó, Trivedi đã mở rộng các kết quả này cho môđun Cohen-Macaulay
suy rộng. Chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng các kết quả của Trivedi đã
nói ở trên là hệ quả của Định lý 2.2.2 và Định lý 2.3.1. Hơn nữa, khi
quy về trờng hợp môđun Cohen-Macaulay thì chúng tôi nhận đợc kết
quả tốt hơn của Trivedi.

Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ giữa chỉ số chính quy và
bậc lũy linh. Bậc lũy linh n(I) của I đợc định nghĩa là số nguyên nhỏ
nhất n sao cho m
n
I. Đây là một bất biến đơn giản và dễ tính. Chúng
tôi thấy rằng bậc đồng điều hdeg( I, M), một trờng hợp đặc biệt của
bậc mở rộng, có thể ớc lợng đợc thông qua hdeg(M) = hdeg(m, M)
và n(I). Từ đó chúng tôi chặn đợc chỉ số chính quy của của G
I
(M)
và các hệ số Hilbert của M ứng với I theo n(I).
Định lý 2.4.3 Cho M là A-môđun hữu hạn sinh với d = dim M 1.
Khi đó
(i) reg(G
I
(M)) n(I) hdeg(M) 1 nếu d = 1,
(ii) reg(G
I
(M)) 2
(d1)!
hdeg(M)
3(d1)!1
n(I)
3d!d
1 nếu d 2.
Định lý 2.4.7 Cho M là A-môđun hữu sinh với d = dim M 1. Khi
đó,
(i) e(I, M) e(M)n(I)
d
,

(ii) |e
1
(I, M)| hdeg(M)
2
n(I)
2d
1,
(iii) |e
i
(I, M)| 2
2(i+1)!1
hdeg(M)
3i!1
n(I)
3di!d
1 nếu i 2.
Từ kết quả của Định lý 2.4.3, chúng tôi thu đợc một chặn trên tờng
minh cho chỉ số Hilbert của M ứng với I theo n(I). Trớc đó, Schwartz
đã chứng minh tồn tại một chặn trên nh thế cho M = A trong trờng
hợp đặc số của trờng thặng d bằng 0. Phơng pháp của Schwartz là
dùng cơ sở Grăobner. Phơng pháp này khá phức tạp và không áp dụng
đợc cho trờng hợp tổng quát. Từ kết quả của Định lý 2.4.3, chúng tôi
cũng đa ra đợc các chặn trên cho kiểu quan hệ và số mũ rút gọn của
I theo n(I). Trong vành địa phơng A có đặc số của trờng thặng d
bằng 0, Schwartz đã chứng minh rằng chỉ tồn tại hữu hạn số các hàm
Hilbert-Samuel của A theo I nếu cố định bậc lũy linh của I. Kết quả
4
này cũng đợc chúng tôi mở rộng cho môđun bất kỳ.
Cuối cùng, chúng tôi sẽ dùng phơng pháp nghiên cứu tơng tự để
đa ra một chặn phổ dụng (uniform bound) cho chỉ số chính quy của

vành phân bậc liên kết. Chặn phổ dụng ở đây có nghĩa là chặn trên
không phụ thuộc vào lớp iđêan đợc xét.
Vấn đề chặn phổ dụng có xuất xứ từ giả thiết sau đây của Huneke.
Giả thuyết Huneke về kiểu quan hệ. Giả sử A là vành địa phơng
Noether đẳng chiều. Liệu có tồn tại một số nguyên s 1 sao cho với
mọi iđêan tham số q của A, kiểu quan hệ của q đợc chặn bởi s?
Lai đã chứng tỏ giả thuyết đúng cho lớp vành Cohen-Macaulay suy
rộng với giả thiết trờng thặng d hữu hạn. Bằng một phơng khác,
Wang đã chứng tỏ giả thiết đúng với mọi vành Cohen-Macaulay suy
rộng. Ngoài ra, Wang đã chứng minh giả thuyết cũng đúng cho lớp vành
địa phơng có chiều bằng 2. Gần đây, Aberbach đã đa ra một phản ví
dụ cho giả thuyết trên.
Bằng cách chặn đều cho đại lợng I(A/q
n+1
), trong đó q là iđêan
sinh bởi một phần hệ tham số bất kỳ của A, chúng tôi đã đa ra đợc
một chặn phổ dụng cho vành phân bậc liên kết.
Định lý 3.2.1 Giả sử (A, m) là vành Cohen-Macaulay suy rộng với
dim(A) = d 1. Với mọi iđêan tham số Q của A ta có
(i) reg G
Q
(A) max{I(A) 1, 0} nếu d = 1,
(ii) reg G
Q
(A) max{(4I(A))
(d1)!
I(A) 1, 0} nếu d 2.
Từ kết quả này chúng tôi cũng suy ra đợc rằng kiểu quan hệ của
iđêan tham số trong vành Cohen-Macaulay suy rộng đợc chặn phổ dụng.
Điều này suy ra kết quả của Wang mà chúng tôi đã giới thiệu ở trên.

Hơn nữa chặn trên mà chúng tôi thu đợc tốt hơn và tờng minh hơn của
Wang. Không những thế chúng tôi còn chỉ ra rằng trong vành Cohen-
Macaulay suy rộng A chỉ số Hilbert của A ứng với iđêan tham số cũng
đợc chặn phổ dụng.
Đến đây ta có thể đặt ra câu hỏi rằng với những lớp vành nào thì
tồn tại chặn phổ dụng cho chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết?
Chúng tôi nhận đợc kết quả sau.
5
Định lý 3.2.4 Cho A là vành địa phơng với dim(A) 1. Khi đó, các
điều kiện sau tơng đơng:
(i) A là vành Cohen-Macaulay suy rộng.
(ii) Tồn tại một số nguyên r sao cho với mọi iđêan q sinh bởi một
phần hệ tham số của A, chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết
của A/q ứng với iđêan tham số bất kỳ của A/q bị chặn bởi r.
(iii) Tồn tại một số nguyên r sao cho với mọi iđêan q sinh bởi một
phần hệ tham số của A, kiểu quan hệ của iđêan tham số bất kỳ của A/q
bị chặn bởi r.
Định lý trên chứng tỏ rằng nếu tồn tại một chặn phổ dụng cho kiểu
quan hệ trên lớp các iđêan tham số thì chặn trên nh thế phải phụ thuộc
vào các bất biến mà khi chuyển qua vành thơng của các iđêan sinh bởi
hệ tham số con thì các bất biến này có thể tăng lên. Việc xác định những
bất biến đó là một vấn đề rất khó. Điều này giải thích tại sao cho đến
nay ngời ta vẫn cha đa ra đợc đặc trng của lớp vành có tính chất
chặn phổ dụng cho kiểu quan hệ.
Chơng 1
Chỉ số chính quy
Castelnuovo-Mumford
Trong chơng này, chúng tôi sẽ giới thiệu các khái niệm và một số đặc
trng liên quan đến chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của môđun
phân bậc nói chung và môđun phân bậc liên kết. Định lý Mumford về

chỉ số chính quy hình học sẽ đợc chứng minh dới ngôn ngữ của đại
số giao hoán. Trong chơng này, chúng ta cũng sẽ thấy chỉ số chính
quy Castelnuovo-Mumford của môđun phân bậc liên kết là chặn trên của
một số bất biến khác, chẳng hạn nh kiểu quan hệ (relation type), chỉ số
Hilbert (postulation number) và số mũ rút gọn.
1.1 Các đặc trng của chỉ số chính quy
Trong luận án này, nếu không nói gì khác, R =
i0
R
i
là đại số phân
bậc chuẩn trên vành địa phơng R
0
. Ta ký hiệu R
+
=
i>0
R
i
là iđêan
thuần nhất cực đại của R. Cho E là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh.
Ta ký hiệu H
i
R
+
(E) là đối đồng điều địa phơng của E với giá R
+
.
Định nghĩa 1.1.1. Ta nói E là m-chính quy nếu H
i

R
+
(E)
n
= 0 với mọi
n m i +1 và i 0. Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford reg(E)
của E là số nguyên nhỏ nhất m sao cho E là m-chính quy, nghĩa là
reg(E) := min{m | E là m-chính quy}.
Để đơn giản ta thờng nói chỉ số chính quy thay cho chỉ số chính quy
6
7
Castelnuovo-Mumford. Nếu đặt
a
i
(E) =

max{n| H
i
R
+
(E)
n
= 0} nếu H
i
R
+
(E) = 0,
nếu H
i
R

+
(E) = 0
thì
reg(E) := max{a
i
(E) + i| i 0}.
Nếu E là m-chính quy thì H
i
R
+
(E)
mi+1
= 0 với mọi i 0. Một
môđun E thỏa mãn H
i
R
+
(E)
mi+1
= 0 với mọi i 0 thì ta nói E là
m-chính quy yếu.
Từ định nghĩa ta thấy rằng nếu E là m-chính quy thì E là m- chính
quy yếu. Tuy nhiên, điều ngợc lại không đúng. Chúng tôi cho một ví
dụ đơn giản để minh họa điều này.
Ví dụ. Giả sử E = R = k là một trờng. Khi đó, H
i
R
+
(E) = 0 với
i 1 và H

0
R
+
(E) = E. Giả sử m 2. Lúc đó, H
i
R
+
(E)
mi+1
= 0 với
i 0. Suy ra E là m-chính quy yếu nhng không là m-chính quy.
Liên quan đến chỉ số chính quy của đa tạp, ngời ta thờng quan tâm
đến khái niệm m-chính quy hình học.
Định nghĩa 1.1.7. Môđun E đợc gọi là m-chính quy hình học nếu
H
i
R
+
(E)
n
= 0 với mọi n m i + 1 và i 1. Chỉ số chính quy hình
học g-reg E của E, là số nguyên nhỏ nhất m sao cho E là m-chính quy
hình học.
Từ định nghĩa ta có mối quan hệ sau đây:
E là m-chính quy = E là m-chính quy yếu = E là m-chính quy
hình học.
1.2 Hàm Hilbert và chỉ số chính quy
Trong mục này , R =
i0
R

i
là vành phân bậc Noether với R
0
là
vành địa phơng Artin. Giả sử E =
nZ
E
n
là R-môđun phân bậc hữu
hạn sinh với dim(E) = d.
Hàm Hilbert của E là một hàm h
E
: Z Z đợc xác định bởi
h
E
(n) = (E
n
).
8
Hilbert đã chứng minh đợc rằng nếu E là R-môđun hữu hạn sinh
có chiều d 1 thì tồn tại duy nhất một đa thức p
E
(X) Q[X] có bậc
d 1 sao cho h
E
(n) = p
E
(n) với n đủ lớn. Đa thức p
E
(X) ở trên đợc

gọi là đa thức Hilbert của E. Nếu ta viết p
E
(X) dới dạng:
p
E
(X) =
d1

i=0
(1)
i
e
i
(E)

X + d i 1
d i 1

,
thì số bội e(E) của E đợc định nghĩa nh sau:
e(E) =

e
0
(E) nếu d > 0,
(E) nếu d = 0.
Bây giờ cho z R
1
là phần tử E-chính quy. Ta có reg(E) =
reg(E/zE). Tuy nhiên phần tử E-chính quy không phải bao giờ cũng

tồn tại. Do đó ngời ta thờng quan tâm đến khái niệm sau đây.
Định nghĩa 1.2.4. Phần tử thuần nhất z R đợc gọi là phần tử E-lọc
chính quy nếu (0
E
: z)
n
= 0 với n 0.
Chú ý rằng nếu R
0
là vành địa phơng có trờng thặng d vô hạn thì
luôn tồn tại phần tử E-lọc chính quy.
Nếu R là đại số phân bậc chuẩn trên trờng k và m 0 thì Rossi,
Trung và Valla đã chứng minh rằng R là m-chính quy khi và chỉ khi R
là m-chính quy yếu. Điều này vẫn còn đúng trên môđun phân bậc E bất
kỳ nhng ta phải chú đến điều kiện của bậc cực đại của hệ sinh tối tiểu
d(E) của E.
Bổ đề 1.2.6. Giả sử m Z. Khi đó, E là m-chính quy khi và chỉ khi E
là m-chính quy yếu và d(E) m.
Ta thấy rằng nếu E là m-chính quy hình học thì E/zE là m-chính
quy hình học. Điều ngợc lại không đúng. Tuy nhiên, nếu R là đại số
phân bậc chuẩn trên vành Artin R
0
và g-reg(R/zR) m thì ta có thể
ớc lợng g-reg(R) thông qua hàm Hilbert của nó. Đó là một kỹ thuật
đợc đa ra bởi Mumford. Kết quả sau đây đã đợc Rossi, Trung và
Valla chứng minh cho trờng hợp E = R.
Định lý 1.2.7. Cho dim(E) 1. Giả sử z R
1
là phần tử E-lọc chính
quy sao cho d(E/zE) m. Nếu E/zE là m-chính quy hình học thì

9
E là (m + p
E
(m) h
E/L
(m))-chính quy hình học, ở đây L ký hiệu là
môđun con lớn nhất của E có độ dài hữu hạn.
1.3 Môđun phân bậc liên kết
Cho (A, m) là vành địa phơng, I là iđêan m-nguyên sơ và M là
A-môđun hữu hạn sinh. Ký hiệu
G
I
(M) =
n0
I
n
M/I
n+1
M.
Ngời ta gọi G
I
(M) là môđun phân bậc liên kết của M ứng với I. Đặc
biệt, G
I
(A) là vành phân bậc chuẩn trên vành địa phơng artin A/I và
đợc gọi là vành phân bậc liên kết của A ứng với I. Chú ý rằng G
I
(M)
là G
I

(A)-môđun phân bậc hữu hạn sinh với dim(G
I
(M)) = dim(M).
Ký hiệu R
I
(A) =
n0
I
n
là đại số Rees của A ứng với iđêan I.
Ooishi đã chứng minh rằng
reg(R
I
(A)) = reg(G
I
(A)).
Ta có thể biểu diễn R
I
(A)

=
A[T ]/J, trong đó J là iđêan thuần
nhất của vành đa thức A[T ]. Ta định nghĩa kiểu quan hệ (relation type)
reltyp e( I) của I là bậc cực đại của hệ sinh tối tiểu thuần nhất bất kỳ
của J, nghĩa là reltype(I) = d(J). Bổ đề sau đây cho chúng ta biết mối
quan hệ giữa reltype(I) và reg(G
I
(A)).
Bổ đề 1.3.1. reltype(I) reg(G
I

(A)) + 1.
Qua bổ đề trên ta thấy rằng để ớc lợng reltype(I) ta chỉ cần ớc
lợng reg( G
I
(A)). Đó cũng là một phơng pháp để nghiên cứu kiểu
quan hệ.
Ta thờng ký hiệu H
M
(n) := (M/I
n+1
M) là hàm Hilbert-Samuel
của M ứng với iđêan I. Samuel đã chứng tỏ rằng khi n đủ lớn hàm này
là một đa thức bậc d với hệ số thuộc Q. Đa thức này đợc gọi là đa thức
Hilbert-Samuel và đợc ký hiệu là P
M
(n). Số nguyên nhỏ nhất n
0
sao
cho H
M
(n) = P
M
(n) với mọi n n
0
đợc gọi là chỉ số Hilbert của M
ứng với I, ta ký hiệu
M
(I) cho số nguyên này. Bổ đề sau đây cho một
chặn trên của
M

(I).
10
Bổ đề 1.3.2. Giả sử (A, m) là vành địa phơng Noether, I là iđêan
m-nguyên sơ và M là A-môđun hữu hạn sinh. Khi đó,

M
(I) reg(G
I
(M)).
Bổ đề 1.3.2 nói rằng chỉ số chính quy của G
I
(M) cho ta một chặn
trên của chỉ số Hilbert
M
(I). Kết quả này đem lại một phơng pháp
ớc lợng
M
(I) thông qua việc ớc lợng reg(G
I
(M)).
Iđêan J I đợc gọi là rút gọn của I nếu có một số nguyên không
âm n sao cho I
n+1
= JI
n
. Một rút gọn của I đợc gọi là rút gọn tối
tiểu nếu nó không thực sự chứa một rút gọn nào khác của I. Nếu J là
một rút gọn tối tiểu của I thì số mũ rút gọn của I đối với J đợc định
nghĩa là:
r

J
(I) = min{n 0 : I
n+1
= JI
n
}.
Số mũ rút gọn của I là
r(I) = min{r
J
(I) 0 : J là rút gọn tối tiểu của I}.
Ngô Việt Trung đã chứng minh rằng
Bổ đề 1.3.4. Cho J là một rút gọn tối tiểu của I. Khi đó
r
J
(I) reg(G
I
(A)).
1.4 Phần tử G
I
(M)-lọc chính quy
Nh chúng ta đã thấy, phần tử lọc chính quy có một vai trò đặc biệt,
khi chúng ta sử dụng ý tởng của Mumford. Trong mục này chúng tôi
nghiên cứu một số tính chất của phần tử G
I
(M)-lọc chính quy liên quan
đến chỉ số chính quy của G
I
(M).
Ta biết rằng chỉ số chính quy của G
I

(M)/x

G
I
(M) và G
I
(M/xM)
nói chung là khác nhau. Tuy nhiên, chỉ số chính quy hình học của chúng
là bằng nhau.
Bổ đề 1.4.3. Cho x I\mI sao cho dạng khởi đầu x

của x trong G
là phần tử G
I
(M)-lọc chính quy. Khi đó
g-reg(G
I
(M)/x

G
I
(M)) = g-reg(G
I
(M/xM)).
11
Chúng ta biết rằng g-reg(G
I
(M)) reg(G
I
(M)). Tuy nhiên, nếu có

thêm giả thiết depth(M) > 0 thì xảy ra dấu bằng trong bất đẳng thức
trên.
Bổ đề 1.4.4. Nếu depth M > 0 thì
reg(G
I
(M)) = g-reg(G
I
(M)).
Tính chất trên sẽ giúp chúng ta nghiên cứu chỉ số chính quy của
G
I
(M) một cách thuận lợi hơn. Ngời đầu tiên phát hiện ra tính chất
này là L.T. Hoa.
Giả sử L là môđun con cực đại của M có chiều dài hữu hạn. Đặt
M = M/L. Khi đó, depth(M) > 0. Theo Bổ đề 1.4.4, reg(G
I
(M)) =
g-reg(G
I
(M)). Trong lúc đó mối quan hệ giữa reg(G
I
(M)) và reg(G
I
(M))
đợc cho bởi bổ đề sau đây.
Bổ đề 1.4.5 Cho L là môđun con cực đại của M có chiều dài hữu hạn
và M = M/L. Khi đó,
reg(G
I
(M)) reg(G

I
(M)) + (L).
Bổ đề sau đây cho biết đa thức Hilbert của môđun phân bậc G
I
(M)
bị chặn trên bởi hàm Hilbert-Samuel H
M/xM
(n) của M/xM.
Bổ đề 1.4.6. Cho x I\mI sao cho dạng khởi đầu x

của x trong G
là phần tử G
I
(M)-lọc chính quy. Khi đó
p
G
I
(M)
(n) H
M/xM
(n)
với n > reg(G
I
(M/xM)).
Chơng 2
Chặn trên cho chỉ số chính quy
Trong chơng này, (A, m) là vành Noether địa phơng, I là iđêan
m-nguyên sơ và M là A-môđun hữu hạn sinh với dim(M) = d. Mục
đích chính của chơng này là thiết lập các chặn trên cho chỉ số chính quy
Castelnuovo-Mumford của G

I
(M) theo một số bất biến của M ứng với
iđêan I. Từ đó suy ra rằng chỉ tồn tại hữu hạn số hàm Hilbert-Samuel
của M ứng với I nếu cho trớc một số bất biến của M.
2.1
Bậc mở rộng
Nh chúng tôi đã giới thiệu trong Chơng 1, nếu n đủ lớn thì hàm
Hilbert-Samuel H
M
(n) := (M/I
n+1
M) là một đa thức P
M
(n) bậc d
với hệ số thuộc Q. Đa thức này đợc gọi là đa thức Hilbert-Samuel của
M và đợc viết dới dạng:
P
M
(n) =
d

i=0
(1)
i
e
i
(I, M)

n + d i
d i

.
Các số nguyên e
i
(I; M) đợc gọi là các hệ số Hilbert của M ứng với
I. Đặc biệt, e
0
(I; M) đợc gọi là số bội M ứng với I và đợc ký hiệu
e(I, M). Chú ý rằng e(I, M) = e(G
I
(M)) và e(m, M) = e(M).
Chúng ta biết rằng số bội là một đại lợng dùng để đánh giá độ
phức tạp về cấu trúc của môđun. Nhằm kiểm soát tốt hơn độ phức tạp
này, Doering, Gunston và Vasconcelos đã đa ra khái niệm bậc mở rộng
D(M) của môđun M. Chúng tôi tổng quát hóa khái niệm này nh sau:
12
13
Định nghĩa 2.1.2. Bậc mở rộng trên M(A) ứng với iđêan I là một
hàm D(I, ã) trên M(A) sao cho các tính chất sau đây đúng với mọi
M M(A):
(i) D(I, M) = D(I, M/L) + (L), với L là môđun con cực đại của M
có độ dài hữu hạn.
(ii) D(I, M) D(I, M/xM) với x là phần tử tổng quát của M ứng
với I
(iii) D(I, M) = e(I, M) nếu M là A môđun Cohen-Macaulay.
Nhận xét. Bậc mở rộng D(I, M) trong định nghĩa trên là sự tổng
quát hóa khái niệm bậc mở rộng D(M) của Vasconselos. Đặc biệt,
D(m, M) = D(M).
Ví dụ. Nếu A là ảnh đồng cấu của một vành Gorenstein S chiều n và
M M(A) với dim M = d, thì bậc đồng điều của M liên kết với iđêan

I, ký hiệu là hdeg(I, M), đợc định nghĩa bằng quy nạp theo d nh sau:
Khi d = 0 thì hdeg(I, M) = (M). Khi d > 0, vì dim Ext
ni
S
(M, S) i,
hdeg(I, M) := e(I, M) +
d1

i=0

d 1
i

hdeg(I, Ext
ni
S
(M, S)).
Nếu A không là ảnh đồng cấu của vành Gorenstein thì ta đặt
hdeg(
I, M
) := hdeg(
I, M

A

A
)
,
trong đó

A là ký hiệu vành m-adic đầy đủ của A. Tơng tự [?], chúng ta
có thể kiểm tra đợc rằng hdeg(I, M) là một bậc mở rộng của M ứng
với iđêan I. Chú ý rằng hdeg(m, M) = hdeg( M), với hdeg(M) là bậc
đồng điều của M đã đợc Vasconcelos [?] xây dựng trớc đó.
Trờng hợp đặc biệt khi M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng thì
hdeg(I, M) = e(I, M) +
d1

i=0

d 1
i

(H
i
m
(M)).
Nếu R là đại số phân bậc chuẩn và E là R-môđun phân bậc hữu hạn
sinh thì ta định nghĩa D(E) = D(m, E
m
), trong đó m := R
+
và E
m
là
địa phơng hóa của môđun E tại m (E
m
đợc xem nh là R
m
-môđun).

14
2.2 Chặn trên cho chỉ số chính quy theo bậc mở
rộng
Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng trờng thặng d của A là
vô hạn. Gọi q là iđêan rút gọn tối tiểu của I và nếu M là A- môđun
Cohen-Macaulay thì ta có một chặn trên cho hàm Hilbert-Samuel:
(M/I
n+1
M) (M/q
n+1
M)
= e(q, M)

n + d
d

= e(I, M)

n + d
d

.
Trong trờng hợp tổng quát ta cũng có một chặn trên tơng tự cho
hàm Hilbert-Samuel.
Định lý 2.2.1. Nếu dim(M) = d 1 thì
(M/I
n+1
M) D(I, M)

n + d

d

.
Nh chúng tôi đã giới thiệu trong phần mở đầu, chỉ số chính quy có
thể ớc lợng đợc thông qua hàm Hilbert. Rossi, Trung và Valla đã
dùng phơng pháp này để thiết lập một chặn trên cho reg(G
m
(A)). Định
lý sau đây là sự mở rộng kết quả của Rossi, Trung và Valla.
Định lý 2.2.2. Giả sử (A, m) là vành địa phơng Noether, I là iđêan
m-nguyên sơ. Giả sử M là A-môđun hữu hạn sinh với d = dim M 1.
Giả sử D(I, M) là bậc mở rộng bất kỳ của M ứng với I. Khi đó,
(i) reg G
I
(M) D(I, M) 1 nếu d = 1,
(ii) reg G
I
(M) 2
(d1)!
D(I, M)
3(d1)!1
1 nếu d 2.
Hệ quả 2.2.3. Giả sử (A, m) là vành địa phơng Noether, I là iđêan
m-nguyên sơ. Giả sử M là A-môđun hữu hạn sinh với d = dim M 1.
Giả sử D(I, M) là bậc mở rộng bất kỳ của M ứng với I. Khi đó,
(i)
M
(I) D(I, M) 1 nếu d = 1,
(ii)
M

(I) 2
(d1)!
D(I, M)
3(d1)!1
1 nếu d 2.
Đặc biệt, nếu M là A-môđun Cohen-Macaulay thì ta thu đợc hệ quả
sau đây.
15
hệ quả 2.2.4. Cho M là A-môđun Cohen-Macaulay với d = dim(M)
1. Khi đó,
(i)
M
(I) e(I, M) 1 nếu d = 1,
(ii)
M
(I) 2
(d1)!
e(I, M)
3(d1)!1
1 nếu d 2.
Nhận xét. Trong trờng hợp M là A-môđun Cohen-Macaulay thì
Trivedi đã cho một kết quả

M
(I) (12e(I, M)
5
)
(d1)!1
.
Rõ ràng chặn trên cho

M
(I) trong Hệ quả 2.2.4 tốt hơn chặn trên của
Trivedi.
Hệ quả 2.2.5. Giả sử (A, m) là vành địa phơng Noether với dim(A) 1
và I là iđêan m-nguyên sơ. Giả sử D(I, A) là bậc mở rộng bất kỳ của
A ứng với I. Khi đó,
(i) reltype(I) D(I, A) nếu d = 1,
(ii) reltyp e(I) 2
(d1)!
D(I, A)
3(d1)!1
nếu d 2.
Hệ quả 2.2.6. Giả sử (A, m) là vành địa phơng Noether với dim(A) 1
và I là iđêan m-nguyên sơ. Giả sử D(I, A) là bậc mở rộng bất kỳ của
A ứng với I. Khi đó,
(i) r(I) D(I, A) 1 nếu d = 1 ,
(ii) r(I) 2
(d1)!
D(I, A)
3(d1)!1
1 nếu d 2.
2.3 Sự hữu hạn của các hàm Hilbert
Chỉ số Hilbert của M ứng với I có quan hệ mật thiết với các hệ số
Hilbert tơng ứng. Một khi ta đã chặn đợc chỉ số Hilbert thì ta có thể
chặn đợc các hệ số Hilbert bằng một phơng pháp đã đợc đa ra bởi
Vasconcelos. Rossi, Trung và Valla cũng đã dùng phơng pháp này để
chặn trên cho các hệ số Hilbert theo D(A) trong trờng hợp M = A
và I = m. Định lý sau đây là sự mở rộng kết quả của Rossi, Trung và
Valla.
Định lý 2.3.1. Giả sử (A, m) là vành địa phơng Noether và I là

iđêan m-nguyên sơ của A. Giả sử M là A-môđun hữu hạn sinh với
dim(M) 1 và D(I, M) là bậc mở rộng bất kỳ của M. Khi đó
16
(i) |e
1
(I, M)| D(I, M)[D(I, M) 1],
(ii) |e
i
(I, M)| (i + 1)2
i!+2
D(I, M)
3i!i+1
1 nếu i 2.
Từ định lý trên ta thu nhận đợc hệ quả sau:
Hệ quả 2.3.2. Cho trớc hai số nguyên dơng d và q. Chỉ tồn tại
một số hữu hạn các hàm Hilbert-Samuel của A-môđun M ứng với iđêan
m-nguyên sơ I của vành địa phơng (A, m) sao cho dim M = d và
D(I, M) q.
2.4 Chặn trên cho chỉ số chính quy theo bậc lũy
linh
Trong mục này (A, m) là vành địa phơng Noether, I là iđêan m-
nguyên sơ của A và M là A-môđun hữu hạn sinh có chiều d. Bậc lũy
linh n(I) của I đợc định nghĩa là một số nguyên nhỏ nhất n sao cho
m
n
I. Đây là một bất biến đơn giản và dễ tính. Mục đích chính của
mục này là chặn trên cho reg(G
I
(M)) theo n(I).
Trong Mục 2.2, chúng tôi đã cho một chặn trên của reg(G

I
(M)) theo
bậc mở rộng D(I, M). Nh chúng ta đã biết bậc đồng điều hdeg(I, M)
cũng là một bậc mở rộng. Theo định nghĩa, bậc đồng điều có quan hệ
mật thiết với số bội. Trớc hết, chúng ta để ý giữa số bội e(I, M) và
e(M) có mối quan hệ sau đây.
Bổ đề 2.4.1. Giả sử M là A-môđun hữu hạn sinh với d = dim M 1.
Khi đó,
e(M) e(I, M) n(I)
d
e(M).
Tơng tự nh số bội, ta có thể thiết lập đợc một bất đẳng thức về
mối quan hệ giữa hdeg(M) và hdeg(I, M).
Bổ đề 2.4.2. Giả sử M là A-môđun hữu hạn sinh. Khi đó,
hdeg(M) hdeg(I, M) n(I)
d
hdeg(M).
Đến đây cho phép ta phát biểu định lý chính của mục này.
17
Định lý 2.4.3. Giả sử (A, m) là vành địa phơng noether, I là iđêan
m-nguyên sơ của A và M là A-môđun hữu hạn sinh với d = dim M 1.
Khi đó,
(i) reg(G
I
(M)) n(I) hdeg(M) 1 nếu d = 1,
(ii) reg(G
I
(M)) 2
(d1)!
hdeg(M)

3(d1)!1
n(I)
3d!d
1 nếu d 2.
Hệ quả 2.4.4. Giả sử M là A-module hữu hạn sinh bất kỳ với d =
dim(M) 1. Khi đó,
(i)
M
(I) n(I) hdeg(M) nếu d = 1,
(ii)
M
(I) 2
(d1)!
hdeg(M)
3(d1)!1
n(I)
3d!d
nếu d 2.
Nhận xét. Trớc đó, Schwartz đã chứng minh sự tồn tại chặn trên cho

A
(I) theo n(I) trong trờng hợp trờng thặng d của A có đặc số 0.
Hệ quả 2.4.4 là sự mở rộng kết quả của Schwartz. Hơn nữa, chặn trên
của chúng tôi đa ra là một công thức tờng minh hơn.
Hệ quả 2.4.5. Giả sử (A, m) là vành địa phơng Noether với d =
dim(A) 1 và I là iđêan m-nguyên sơ của A. Khi đó,
(i) reltype(I) n(I) hdeg(A) nếu d = 1,
(ii) reltype(I) 2
(d1)!
hdeg(A)

3(d1)!1
n(I)
3d!d
nếu d 2.
Hệ quả 2.4.6. Giả sử (A, m) là vành địa phơng Noether với d =
dim A 1 và I là iđêan m-nguyên sơ của A. Khi đó,
(i) r(I) n(I) hdeg(A) 1 nếu d = 1,
(ii) r(I) 2
(d1)!
hdeg(A)
3(d1)!1
n(I)
3d!d
1 nếu d 2.
Nhận xét. Nếu A là vành Cohen-Macaulay thì Schwartz đã chỉ ra sự
tồn tại một chặn trên cho số mũ rút gọn của I theo bậc lũy linh n(I).
Tuy nhiên, chặn trên của Schwartz không tờng minh.
Từ Định lý 2.4.3 và Định lý 2.3.1, ta thu đợc một chặn trên cho các
hệ số Hilbert e
i
(I, A) theo bậc lũy linh.
Định lý 2.4.7. Cho (A, m) là vành địa phơng Noether, I là iđêan
m-nguyên sơ của A và M là A-môđun hữu sinh với dim M 1. Khi
đó,
(i) e(I, M) e(M)n(I)
d
,
(ii) |e
1
(I, M)| hdeg(M)n(I)

d
[hdeg(M)n(I)
d
1],
(iii) |e
i
(I, M)| (i + 1)2
2i!+2
hdeg(M)
3i!i+1
n(I)
3di!di+d
1 nếu
i 2.
18
Hệ quả 2.4.8. Cho trớc hai số nguyên dơng d, r và A-môđun M.
Chỉ tồn tại hữu hạn số các hàm Hilbert-Samuel của M ứng với iđêan
m-nguyên sơ I sao cho dim M = d và n(I) r.
Nhận xét. Cho (A, m) là vành địa phơng. Trớc đó, Schwartz cũng
đã chứng minh chỉ tồn tại hữu hạn các hàm Hilbert-Samuel của vành A
ứng với các iđêan m-nguyên sơ I nếu cho trớc bậc lũy linh của I với
giả thiết đặc số của trờng thặng d của A bằng 0. Kết quả này hạn chế
hơn Hệ quả 2.4.8 của chúng tôi.
Chơng 3
Chặn phổ dụng cho chỉ số chính quy
Trong Chơng 2, chúng tôi đã thiết lập các chặn trên cho reg(G
I
(M))
theo một số bất biến của M ứng với I. Chúng ta thấy rằng các chặn
trên đó phụ thuộc vào iđêan I. Mục đích của chơng này là nghiên cứu

chặn phổ dụng (uniform bound) cho reg(G
I
(A)), với I là iđêan tham số.
Chặn phổ dụng có nghĩa là chặn trên không phụ thuộc vào iđêan tham
số đợc xét.
3.1 Vành Cohen-Macaulay suy rộng
Cho (A, m) là vành địa phơng Noether và M là A-môđun hữu hạn
sinh với dim(M) = d. Môđun M đợc gọi là A-môđun Cohen-Macaulay
suy rộng nếu (H
i
m
(M)) < với mọi i < d. Vành A đợc gọi là vành
Cohen-Macaulay suy rộng nếu A đợc xem là môđun Cohen-Macaulay
suy rộng trên chính nó.
Lớp vành Cohen-Macaulay suy rộng lần đầu tiên đợc đa ra bởi
Cuong, Schenzel và Trung. Lớp vành này có nhiều tính chất khá tốt.
Trong mục này, chúng tôi trình bày một số đặc trng của vành Cohen-
Macaulay suy rộng và một số kết quả hổ trợ cho cho việc chứng minh
định lý chính của chơng này ở mục sau.
Giả sử x
1
, , x
d
là hệ tham số của A và Q = (x
1
, , x
d
). Ta đặt
I(Q, A) := (A/Q) e(Q, A)
và

I(A) := sup{I(Q, A) : Q là iđêan tham số củaA}.
19
20
Cuong, Schenzel và Trung đã đa ra một công thức tờng minh cho
đại lợng I(A).
Bổ đề 3.1.4. Giả sử A là vành Cohen-Macaulay suy rộng với dim(A) =
d. Khi đó
I(A) =
d1

i=0

d 1
i

(H
i
m
(A)).
Trong Định lý 2.1.4, chúng tôi đã thiết lập một chặn trên cho hàm
Hilbert-Samuel theo bậc mở rộng. Nếu A là vành Cohen-Macaulay suy
rộng thì bổ đề sau đây cho một chặn trên của hàm Hilbert-Samuel của
A tốt hơn chặn trên trong Định lý 2.1.4
Bổ đề 3.1.5. Cho A là vành Cohen-Macaulay suy rộng với dim(A) =
d 1. Giả sử Q là iđêan tham số bất kỳ của A. Với mọi n 0, ta có
(A/Q
n+1
)

n + d

d

e(Q, A) +

n + d 1
d 1

I(A).
Nếu q là iđêan sinh bởi một một phần hệ tham số của vành Cohen-
Macaulay suy rộng A thì A/q
n+1
cũng là vành Cohen-Macaulay suy
rộng. Từ các bổ đề trên, chúng tôi chứng minh đợc rằng tồn tại một
chặn trên cho I(A/q
n+1
) không phụ thuộc vào q.
Định lý 3.1.7. Cho A là vành Cohen-Macaulay suy rộng với dim(A) =
d. Giả sử x
1
, , x
i
là một phần hệ tham số của A và q = (x
1
, , x
i
),
0 < i < d. Khi đó A/q
n+1
là vành Cohen-Macaulay suy rộng và
I(A/q

n+1
)

n + i 1
i 1

I(A).
Kết quả trên nói lên rằng đại lợng I(A/q
n+1
) có tính chất bị chặn
đều với mọi iđêan sinh bởi một phần hệ tham số của A. Đây là một tính
chất rất đặc biệt của vành Cohen-Macaulay suy rộng và đóng một vai
trò quan trọng cho việc chứng minh định lý chính đợc trình bày ở mục
sau.
21
3.2 Chặn phổ dụng cho chỉ số chính quy
Từ những gì chuẩn bị trong Mục 3.1, chúng tôi thu đợc định lý chính
của chơng này.
Định lý 3.2.1. Giả sử (A, m) là vành Cohen-Macaulay suy rộng với
dim(A) = d 1. Với mọi iđêan tham số Q của A ta có
(i) reg G
Q
(A) max{I(A) 1, 0} nếu d = 1,
(ii) reg G
Q
(A) max{(4I(A))
(d1)!
I(A) 1, 0} nếu d 2.
Theo Bổ đề 1.3.1, reltype(Q) reg(G
Q

(A)) + 1. Định lý 3.2.1 cho
chúng ta một chặn phổ dụng của reltype(Q).
Hệ quả 3.2.2. Cho A là vành Cohen-Macaulay suy rộng với dim(A) 1.
Với mọi iđêan tham số Q của A ta có
(i) reltype(Q) max{I(A), 1} nếu d = 1,
(ii) reltyp e(Q) max{(4I(A))
(d1)!
I(A), 1} nếu d 2.
Nhận xét. Vấn đề chặn phổ dụng cho kiểu quan hệ đợc đặt ra bởi giả
thuyết Huneke mà chúng tôi đã giới thiệu trong phần mở đầu và đợc
nhiều ngời quan tâm. Wang đã chứng minh giả thuyết đúng trên vành
Cohen-Macaulay suy rộng bất kỳ bằng cách thiết lập một chặn trên cho
reltyp e( Q) theo (H
i
m
(A)). Tuy nhiên, phơng pháp chứng minh của
Wang khá dài và phức tạp. Chặn trên của Wang cho bởi một công thức
cũng không tờng minh. Ngay cả khi d = 3 công thức của Wang cũng
không thể viết ra một cách rõ ràng. Điều này cho thấy tính u việt khi sử
dụng phơng pháp mà Rossi, Trung và Valla đề xuất để nghiên cứu chỉ
số chính quy của vành và môđun phân bậc liên kết. Gần đây, Aberbach
đã đa ra một phản ví dụ cho giả thuyết Huneke và đa ra một chặn phổ
dụng cho kiểu quan hệ của iđêan tham số trên lớp vành mới.
Từ Định lý trên, ta cũng thu đợc một chặn phổ dụng cho chỉ số
Hilbert của iđêan tham số.
Hệ quả 3.2.3. Cho A là vành Cohen-Macaulay suy rộng với dim(A) 1.
Với mọi iđêan tham số Q của A ta có
(i)
A
(Q) max{I(A) 1, 1} nếu d = 1,

(ii)
A
(Q) max{(4I(A))
(d1)!
I(A) 1, 1} nếu d 2.
Đến đây ta có thể đặt ra một câu hỏi rằng với những lớp vành nào thì
22
tồn tại chặn phổ dụng cho chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết?
Chúng tôi nhận đợc kết quả sau đây.
Định lý 3.2.4. Cho A là vành địa phơng với dim(A) 1. Khi đó, các
điều kiện sau tơng đơng.
(i) A là vành Cohen-Macaulay suy rộng.
(ii) Tồn tại một số nguyên r sao cho, với mọi iđêan q sinh bởi một
phần hệ tham số của A, chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết
của A/q ứng với iđêan tham số bất kỳ của A/q bị chặn bởi r.
(iii) Tồn tại một số nguyên r sao cho, với mọi iđêan q sinh bởi một
phần hệ tham số của A, kiểu quan hệ của iđêan tham số bất kỳ của A/q
bị chặn bởi r.
Định lý trên chứng tỏ rằng nếu tồn tại một chặn phổ dụng cho kiểu
quan hệ trên lớp các iđêan tham số thì chặn trên nh thế phải phụ thuộc
vào các bất biến mà khi chuyển qua vành thơng của các iđêan sinh bởi
một phần hệ tham số thì các bất biến này có thể tăng lên. Việc xác định
những bất biến đó là một vấn đề rất khó. Điều này giải thích tại sao cho
đến nay ngời ta vẫn cha đa ra đợc đặc trng của lớp vành có tính
chất chặn phổ dụng cho kiểu quan hệ.
23
Kết luận
Tóm lại, trong luận án này chúng tôi đã thu đợc những kết quả sau
đây:
- Thiết lập đợc một chặn trên cho chỉ số chính quy của môđun phân

bậc liên kết theo chiều và bậc mở rộng của M. Từ đó suy ra chỉ số
Hilbert, kiểu quan hệ, số mũ rút gọn đợc chặn trên bởi một hàm
của chiều và bậc mở rộng của M.
- Đa ra đợc các chặn trên cho hệ số Hilbert của M ứng với iđêan
nguyên sơ theo chiều và bậc mở rộng của M. Từ đó chứng minh
đợc rằng chỉ tồn tại hữu hạn số các hàm Hilbert-Samuel của môđun
nếu cho trớc chiều và bậc mở rộng.
- Thiết lập đợc một chặn trên tờng minh cho chỉ số chính quy của
môđun phân bậc liên kết theo bậc lũy linh của iđêan nguyên sơ I
và một số bất biến khác của M. Từ đó đa ra đợc các chặn trên
cho chỉ số Hilbert, kiểu quan hệ và số mũ rút gọn theo bậc lũy linh
và một số bất biến khác của M.
- Đa ra một chặn phổ dụng cho chỉ số chính quy của vành phân
bậc liên kết của vành Cohen-Macaulay suy rộng. Từ đó thu đợc
một chặn phổ dụng cho kiểu quan hệ, chỉ số Hilbert trong vành
Cohen-Macaulay suy rộng.
- Đa ra một đặc trng của vành Cohen-Macaulay suy rộng liên quan
đến chặn phổ dụng cho chỉ số chính quy của vành phân bậc liên
kết và kiểu quan hệ.
24
Các công trình liên quan
đến đề tài luận án
[1 ] 2005, Upper bound for Castelnuovo-Mumford regularity of asso-
ciated graded modules, Comm. Algebra, 33, 1817-1831.
[2 ] 2006, Uniform bounds in generalized Cohen-Macaulay rings, J.
Algebra, 304(2), 1147-1159.
[3 ] Castelnuovo-Mumford regularity and nilpotency degree, Math.
Proc. Cam. Phil. Soc., to appear.
[4 ] 2006, Uniform bound for Castelnuovo-Mumford regularity, Tạp
chí Khoa Học Đại Học Huế, 32, 29-34.

Các kết quả trong luận án
đã đợc báo cáo tại:
1. Xemina của Phòng Đại số và Lý thuyết số, viện Toán học Hà Nội.
2. Xemina của bộ môn Đại số-Hình học, khoa Toán, ĐHSP Huế.
3. Hội nghị Đại số - Tô pô - Hình học, Đà lạt, 11/2003.
4. Hội nghị Đại số - Tô pô - Hình học, Hồ Chí Minh, 11/2005.
5. Hội nghị quốc tế về Đại số giao hoán, Hà Nội 01/ 2006.
6. Hội Thảo liên kết Nhật Bản-Việt Nam về Đại số giao hoán, Tokio, Nhật
Bản 3/ 2006.