Góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm

B GIO DC V O TO
TRNG I HC VINH
===== & =====
Lấ TH THANH
GểP PHN PHT TRIN T DUY THUT GII CHO HC
SINH TRUNG HC PH THễNG TRONG DY HC NI
DUNG O HM V NG DNG O HM
luận văn thạc sĩ giáo dục học

NGHệ AN - 2013
Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học vinh
===== & =====
LÊ THỊ THANH
GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC
SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG DẠY HỌC NỘI
DUNG ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PPDH BỘ MÔN TOÁN
MÃ SỐ: 60.14.10
LUẬN VĂN THẠC SỸ GIÁO DỤC HỌC
LUẬN VĂN THẠC SỸ GIÁO DỤC HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. CHU TRỌNG THANH
NGHÖ AN - 2013
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn
khoa học của Thầy giáo TS. Chu Trọng Thanh. Nhân dịp này, tác giả xin bày
tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã trực tiếp giúp đỡ tác
giả hoàn thành Luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong chuyên
ngành Lý luận và Phương pháp giảng dạy bộ môn Toán, trường Đại Học
Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình thực hiện

Luận văn.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban chủ nhiệm cùng các thầy cô,
Khoa Toán, Phòng Đào tạo Sau đại học trường Đại Học Vinh. Sở Giáo dục và
Đào tạo Nghệ An, Ban Giám Hiệu cùng các thầy cô giáo và bạn bè đồng
nghiệp trường THPT Đặng Thúc Hứa đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong
quá trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin gửi tới tất cả người thân và các bạn bè lòng biết ơn sâu sắc.
Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ quý báu của các thầy, cô
và học sinh các lớp thực nghiệm đã cung cấp số liệu khảo sát thực tiễn và tiến
hành quá trình thực nghiệm sư phạm để có tư liệu đưa vào luận văn này.
Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được
và biết ơn các ý kiến đóng góp của quý thầy cô giáo và các bạn.
Nghệ An, tháng 9 năm 2013
Tác giả
Danh mục viết tắt
TT Viết tắt Tên đầy đủ
1 GV Giáo viên
2 HS Học sinh
3 PPDH Phương pháp dạy học
4 SGK Sách giáo khoa
5 SBT Sách bài tập
6 THPT Trung học phổ thông
7 TNSP Thực nghiệm sư phạm
8 GTLN Giá trị lớn nhất
9 GTNN Giá trị nhỏ nhất

MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU 1
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

i
1.1. Những định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn
toán 5
1.2. Một số vấn đề về tư
duy 7
1.2.1.Khái niệm 7
1.2.2. Đặc điểm của tư duy 8
1.2.3. Các thao tác tư duy 10
1.2.4. Một số loại hình tư duy toán học 18
1.3. Tư duy thuật giải 19
1.3.1. Thuật giải và quy tắc tựa thuật giải 19
1.3.2.Tư duy thuật giải 23
1.3.3. Sự cần thiết của việc phát triển tư duy thuật giải 26
1.4. Vấn đề rèn luyện và phát triển tư duy thuật giải 27
1.4.1. Vai trò của việc rèn luyện và phát triển tư duy thuật giải toán 27
1.4.2. Những tư tưởng chủ đạo để phát triển tư duy thuật giải 28
1.5. Thực trạng của vấn đề phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong dạy
học môn toán ở trường THPT 30
1.6. Kết luận chương 1 32
CHƯƠNG 2: GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO
HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG DẠY HỌC NỘI
DUNG ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 33
2.1. Phân tích nội dung chủ đề đạo hàm và ứng dụng đạo hàm trong chương
trình môn toán THPT 33
2.1.1. Nội dung chủ đề đạo hàm 33
2.1.2. Nội dung chủ đề ứng dụng đạo hàm 34
2.2. Một số kiến thức về đạo hàm và ứng dụng đạo hàm có tiềm năng phát triển
tư duy thuật giải 36
2.2.1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa 36
2.2.2. Tính đơn điệu của hàm số 39

ii
2.2.3. Tìm cực trị của hàm số 41
2.2.4. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 50
2.2.5. Sự tương giao của hai đồ thị hàm số 52
2.2.6. Chứng minh bất đẳng
thức 56
2.3. Đề xuất một số quan điểm chủ đạo nhằm phát triển tư duy thuật giải cho học
sinh trong dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm 57
2.3.1. Bồi dưỡng học sinh khả năng thực hiện các hoạt động đặc trưng của
tư duy thuật giải 57
2.3.2. Tận dụng khai thác các nội dung của chương có tiềm năng phát triển
tư duy thuật giải 78
2.3.3. Trong khi dạy học các nội dung của chương cần thực hiện quá trình
dạy học theo những bước lên lớp tương đối ổn định để tạo thói quen làm
việc cho học sinh phù hợp với tư duy thuật giải 89
2.4. Kết luận chương 2 102
CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 104
3.1. Mục đích thực nghiệm 104
3.2. Nhiệm vụ thực nghiệm 104
3.3. Tổ chức thực nghiệm 104
3.4. Nội dung thực nghiệm 105
3.5. Đánh giá kết quả thực nghiệm 105
3.6. Kết luận 106
KẾT LUẬN 107
TÀI LIỆU THAM KHẢO 108

iii
MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Để phục vụ cho sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước, ngành

giáo dục và đào tạo phải đổi mới phương pháp dạy học một cách mạnh mẽ
nhằm đào tạo những người lao động thích ứng với nền sản xuất tự động hóa.
Nghị quyết của Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam nhiều
khóa đã nêu rõ: "Mục tiêu đào tạo-giáo dục phải hướng vào việc đào tạo
những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn
đề thường gặp, qua đó mà góp phần thể hiện mục tiêu lớn của đất nước"
Luật giáo dục năm 2005 quy định:" Phương pháp giáo dục phổ thông
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp
với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, khả
năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỷ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn
tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh" .
Cho thấy việc tích cực, chủ động trong học tập là rất cần thiết giúp rèn luyện
kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Muốn chủ động cần phải định
hướng, tìm ra phương pháp hoạt động thích hợp để giải quyết vấn đề.
1.2. Kiến thức môn toán có tính lôgic chặt chẽ, có tính trìu tượng cao độ và có
ứng dụng rỗng rãi trong thực tiễn. Quá trình nhận thức trong học tập môn toán
có tính đặc thù. Người học sinh muốn tiếp thu một cách có hiệu qủa tri thức
môn toán cần phải nắm được những phương pháp nhận thức, phương pháp
học tập thích hợp. Môn toán có vai trò rất quan trọng trong việc tạo nên cơ sở
để học sinh học tốt các môn học khác. Vì vậy việc dạy học toán có hiệu quả
vừa có ý nghĩa đối với dạy học môn Toán, vừa có ý nghĩa tác động đến nâng
cao chất lượng đào tạo chung của ngành giáo dục. Toán học là khoa học suy
diễn, mang tính trừu tượng cao. Do vậy, bên cạnh việc rèn luyện cho học sinh
tính tự giác, tích cực, sáng tạo cần rèn luyện cho học sinh những thao tác cách
thức giải quyết vấn đề theo quy trình có tính thuật giải là rất cần thiết.
1
1.3. Trong trường phổ thông việc phát triển tư duy học sinh trong quá trình
dạy học có vai trò rất quan trọng. Đối với môn Toán, có nhiều dạng toán giải
quyết được nhờ thuật giải, và các quy tắc tựa thuật giải. Tư duy thuật giải tạo
điều kiện tốt để học sinh tiếp thu kiến thức, rèn luyện các kỹ năng toán học.

Qua việc tìm tòi thuật giải, quy tắc tựa thuật giải để giải từng bài toán, từng
dạng toán sẽ góp phần thúc đẩy sự phát triển các thao tác trí tuệ khác cho học
sinh như: phân tích, tổng hợp, so sánh, trìu tượng hóa, khái quát hóa… Hơn
nữa còn hình thành cho học sinh những phẩm chất, trí tuệ như: tính cẩn thận,
chi tiết, tính độc lập, sáng tạo, kích thích sự ham muốn khám phá… Tư duy
thuật giải giúp học sinh hình dung được quá trình tự động hóa diễn ra trong
những lĩnh vực khác nhau của con người, trong đó có lĩnh vực xử lý thông tin,
điều này làm cho con người thích nghi với xã hội tự động hóa, góp phần làm
giảm ngăn cách giữa nhà trường và xã hội.
1.4. Trong những năm qua đã có những công trình nghiên cứu về phát triển tư
duy thuật giải cho học sinh như luận án tiến sĩ của Vương Dương Minh, Bùi
Văn Nghị, luận văn thạc sĩ của Dương Văn Kha, Chu Hương Ly,… Những
luận án và luận văn trên đã đề cập đến vấn đề phát triển tư duy thuật giải cho
học sinh trong quá trình dạy học các nội dung kiến thức về: Hệ thống số, hình
học không gian, phương trình, … Tuy nhiên, vấn đề phát triển tư duy thuật
giải cho học sinh trong quá trình dạy học môn Toán là một vấn đề lớn, có ý
nghĩa khoa học giáo dục và thực tiễn còn có nhu cầu tiếp tục nghiên cứu. Vì
những lí do được phân tích trên đây, chúng tôi chọn đề tài luận văn thạc sỹ
của mình là: "Góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trung học
phổ thông trong dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm"
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm kiếm giải pháp phát triển tư duy
thuật giải cho học sinh khi dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm,
thông qua đó góp phần đổi mới phương pháp dạy học và nâng cao chất lượng
dạy học môn toán ở trường phổ thông.
2
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Luận văn có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi nghiên cứu sau:
3.1. Tư duy thuật giải là gì? Tại sao cần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh?
3.2. Để phát triển tư duy thuật giải cho học sinh cần dựa trên những cơ sở lý luận

nào?
3.3. Tiềm năng phát triển tư duy thuật giải của chủ đề đạo hàm và ứng dụng đạo
hàm thể hiện ở những điểm nào? Có thể tổ chức quá trình dạy học chủ đề đạo
hàm và ứng dụng đạo hàm như thế nào để phát triển tư duy thuật giải cho học
sinh?
3.4. Bằng chứng thực nghiệm nào để kiểm chứng các đề xuất được nêu ra trong
kết quả nghiên cứu?
4. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
4.1. Đối tượng nghiên cứu: Lí luận về phát triển tư duy; quá trình nhận thức của
học sinh Trung học phổ thông lớp 11, 12.
4.2. Phạm vi nghiên cứu:
- Phạm vi kiến thức: tư duy thuật giải; kiến thức đạo hàm và ứng dụng đạo
hàm;
- Phạm vi khảo sát thực tiễn: các trường THPT ở tỉnh Nghệ An
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
5.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận.
5.2. Phương pháp điều tra, khảo sát thực tiễn.
5.3. Phương pháp thực nghiệm.
5.4. Xử lý số liệu bằng phương pháp thống kê toán.
6. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh là cần thiết và nếu quan tâm
đúng mức và sử dụng các biện pháp sư phạm hợp lý thì việc rèn luyện tư duy
thuật giải cho học sinh khi dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm sẽ
từng bước phát triển năng lực học toán cho học sinh, thông qua đó góp phần
nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông.
3
7. CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn có 3 chương
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Một số vấn đề về định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán.

1.2. Một số vấn đề lí luận về tư duy và phát triển tư duy cho học sinh trong dạy
học môn Toán.
1.3. Vấn đề phát triển tư duy thuật giải trong môn toán ở trường phổ thông.
1.4. Vấn đề rèn luyện và phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong dạy học
môn toán hiện nay (khảo sát tại một số trường THPT ở Nghệ An)
1.5. Thực trạng của vấn đề phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong dạy
học môn toán ở trường trung học phổ thông.
1.6. Kết luận chương 1.
Chương 2: Góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh Trung học
phổ thông trong dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm.
2.1. Phân tích nội dung chủ đề đạo hàm và ứng dụng đạo hàm trong chương
trình môn toán THPT.
2.2. Một số kiến thức về đạo hàm và ứng dụng đạo hàm có tiềm năng phát triển
tư duy thuật giải.
2.3. Đề xuất một số quan điểm chủ đạo nhằm phát triển tư duy thuật giải cho học
sinh trong dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Nhiệm vụ thực nghiệm
3.3. Tổ chức thực nghiệm
3.4. Nội dung thực nghiệm
3.5. Đánh giá kết quả thực nghiệm
3.6. Kết luận chung về thực nghiệm
Kết luận.
4
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
CỦA VIỆC PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN
1.1. Những định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán

Ở nước ta, tư tưởng chỉ đạo công cuộc đổi mới phương pháp dạy học
trong những năm gần đây được phát biểu với nhiều thuật ngữ như: Tích cực
hoá hoạt động học tập, hoạt động hoá người học, lấy người học làm trung
tâm Với tư tưởng đó, định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay là
tổ chức cho người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực,
sáng tạo.
Định hướng đó bao hàm các ý tưởng đặc trưng sau:
- Xác lập vị trí chủ thể của người học, bảo đảm tính tự giác, tích cực,
chủ động và sáng tạo của hoạt động học tập được thực hiện độc lập hoặc
trong giao lưu.
Người học là chủ thể kiến tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành
thái độ chứ không phải là nhân vật bị động hoàn toàn làm theo lệnh của thầy
giáo. Với định hướng “hoạt động hoá người học”, vai trò chủ thể của người
học được khẳng định trong quá trình họ học tập trong hoạt động và bằng hoạt
động của bản thân mình .
- Tri thức được cài đặt trong những tình huống có dụng ý sư phạm
Theo chủ nghĩa kiến tạo trong tâm lý học, học tập là một quá trình
trong đó người học xây dựng kiến thức cho mình bằng cách thích nghi với
môi trường sinh ra những mâu thuẫn, những khó khăn và những sự mất cân
bằng.
Tuy nhiên, như nhiều nhà lý luận dạy học của pháp khẳng định, một
môi trường không có dụng ý sư phạm là không đủ để chủ thể (học sinh) kiến
tạo được tri thức theo yêu cầu mà xã hội mong muốn. Vì vậy, điều quan trọng
5
là thiết lập những tình huống có dụng ý sư phạm để người học học tập trong
hoạt động, học tập bằng thích nghi .
- Dạy việc học, dạy tự học thông qua toàn bộ quá trình dạy học.
Mục đích dạy học không phải chỉ ở những kết quả cụ thể của quá trình
học tập, ở tri thức và kỹ năng bộ môn, mà điều quan trọng hơn là ở bản thân
việc học, ở cách học, ở khả năng đảm nhiệm, tổ chức và thực hiện những quá

trình học tập một cách hiệu quả .
- Chế tạo và khai thác những phương tiện dạy học để tiếp nối và gia
tăng sức mạnh của con người
Phương tiện dạy học, từ tài liệu in ấn và những đồ dùng dạy học đơn
giản tới những phương tiện kĩ thuật tinh vi như thiết bị nghe nhìn, công nghệ
thông tin và truyền thông, giúp thiết lập những tình huống có dụng ý sư
phạm, tổ chức những hoạt động và giao lưu của thầy và trò .
- Tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của bản
thân người học
Hoạt động học tập tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo một mặt đòi hỏi
và mặt khác tạo ra niềm vui. Niềm vui này có được bằng nhiều cách khác
nhau như động viên, khen thưởng v.v , nhưng quan trọng nhất vẫn là niềm
lạc quan dựa trên lao động và thành quả lao động và thành quả học tập của
bản thân người học. Giải được một bài tập, phát hiện ra một điều mới khơi
nguồn cảm hứng cho học sinh. Cho nên tổ chức cho học sinh học tập tự giác,
tích cực, chủ động và sáng tạo gắn liền với việc tạo niềm lạc quan học tập
dựa trên lao động và thành quả của bản thân người học.
- Xác định vai trò mới của người thầy với tư cách người thiết kế, uỷ
thác, điều khiển và thể chế hoá.
Hoạt động hoá người học dễ dẫn tới việc ngộ nhận về sự giảm sút vai
trò của người thầy.
6
Một mặt, cần phải hiểu rằng hoạt động hoá người học, sự xác lập vị trí
chủ thể của người học không hề làm suy giảm, mà ngược lại còn nhằm nâng
cao vai trò, trách nhiệm của người thầy.
Mặt khác, sẽ là bảo thủ nếu cho rằng tính chất, vai trò của người thầy
vẫn như xưa. Trong khi khẳng định vai trò của thầy không suy giảm, cần phải
thấy rằng tính chất của vai trò này đã thay đổi: Thầy không phải là nguồn phát
tin duy nhất, thầy không phải là người ra lệnh một cách khiên cưỡng, thầy
không phải là người hoạt động chủ yếu ở hiện trường. Vai trò, trách nhiệm

của thầy bây giờ quan trọng hơn, nặng nề hơn, nhưng tế nhị hơn, cụ thể là:
+) Thiết kế: Lập kế hoạch, chuẩn bị quá trình dạy học về mặt mục tiêu,
nội dung, phương pháp, phương tiện và hình thức tổ chức.
+) Uỷ thác: phải biến được ý đồ dạy của thầy thành nhiệm vụ tự
nguyện, tự giác của trò, là chuyển giao cho trò không phải những tri thức dưới
dạng có sẵn mà là những tình huống để trò hoạt động và thích nghi.
+) Điều khiển: Động viên, hướng dẫn trợ giúp và đánh giá.
+) Thể chế hoá: đánh giá hoạt động học tập của học sinh, xác định vị trí
kiến thức trong hệ thống tri thức đã có và hướng dẫn khả năng vận dụng kiến
thức đó.
1.2. Một số vấn đề về tư duy
1.2.1. Khái niệm
“Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những bản chất, những mối
quan hệ có tính chất qui luật của sự vật hiện tượng mà trước đó chủ thể chưa
biết” (Trần Thúc Trình 1998, tr.1).
Ở mức độ nhận thức cảm tính, con người chỉ phản ánh các thuộc tính ở
góc độ trực quan, cụ thể, bề ngoài, các mối quan hệ về mặt không gian, thời
gian và trạng thái vận động của sự vật hiện tượng, phản ánh trực tiếp bằng
giác quan cái đang tác động. Còn tư duy thường bắt đầu từ nhận thức lí tính,
trên cơ sở của nhận thức cảm tính. Tư duy phản ánh những thuộc tính bên
trong, những mối quan hệ có tính chất qui luật của hàng loạt sự vật hiện
7
tượng, những điều mà con người chưa biết cần phải tìm tòi, khám phá và giải
quyết.
1.2.2. Đặc điểm của tư duy
Tư duy thuộc mức độ nhận thức lý tính, nó có những đặc điểm cơ bản
sau:
- Tính “có vấn đề” của tư duy:
Tư duy chỉ xuất hiện khi gặp những hoàn cảnh, những tình huống “có
vấn đề”. Tức là những tình huống chứa đựng một mục đích một vấn đề mới

mà những hiểu biết cũ, phương pháp hành động cũ không đủ sức giải quyết.
Để đạt được mục đích mới đó con người phải tìm cách thức mới để giải quyết
nghĩa là phải tư duy. Nhưng hoàn cảnh có vấn đề đó phải được cá nhân nhận
thức một cách đầy đủ, chuyển thành nhiệm vụ của cá nhân, tức là cá nhân
phải xác định cái gì đã cho, cái gì cần tìm và phải có động cơ tìm kiếm các
yếu tố đó.
- Tính gián tiếp của tư duy:
Con người sử dụng ngôn ngữ để tư duy, nhờ ngôn ngữ mà con người sử
dụng các kết quả nhận thức (quy tắc công thức, quy luật, khái niệm,…) vào
quá trình tư duy (phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát,…) để nhận thức
được cái bên trong, bản chất của sự vật hiện tượng. Nhờ đó mở rộng không
giới hạn những khả năng nhận thức của con người.
- Tính trừu tượng và khái quát của tư duy:
Tư duy không phản ánh sự vật hiện tượng một cách cụ thể, riêng lẻ mà
có khả năng trừu xuất khỏi sự vật, hiện tượng những thuộc tính, những dấu
hiệu cá biệt cụ thể chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất chung cho nhiều sự
vật và hiện tượng. Từ đó khái quát những sự vật, hiện tượng riêng lẻ có những
thuộc tính bản chất chung thành một nhóm, một loại, một phạm trù. Tính trừu
tượng và khái quát của tư duy giúp con người không những giải quyết được
nhiệm vụ ở hiện tại mà còn có thể giải quyết được nhiệm vụ ở tương lai.
- Tư duy liên hệ mật thiết với ngôn ngữ:
8
Tư duy và ngôn ngữ có mối quan hệ mật thiết với nhau. Nếu không có
ngôn ngữ thì quá trình tư duy ở con người không thể diễn ra được. Ngôn ngữ
cố định lại các kết quả của tư duy, là phương tiện biểu đạt kết quả của tư duy.
Ngược lại nếu không có tư duy thì ngôn ngữ chỉ là những chuỗi âm thanh vô
nghĩa. Muốn phát triển tư duy phải gắn với trao dồi ngôn ngữ. Tuy nhiên
ngôn ngữ không phải là tư duy, ngôn ngữ chỉ là phương tiện của tư duy.
- Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính:
X.L.Rubinstein khẳng định “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong

tư duy trừu tượng, tựa hồ như làm thành chỗ dựa cho tư duy” (dẫn theo
Nguyễn Văn Thuận 2004, tr. 9). Tư duy thường bắt đầu từ nhận thức cảm
tính, trên cơ sở đó mà nảy sinh “tình huống có vấn đề”.
Tư duy và những kết quả của nó ảnh hưởng mạnh mẽ, chi phối khả năng
phản ánh của nhận thức cảm tính, làm cho con người nhạy bén hơn, tri giác
mang tính lựa chọn, tính ý nghĩa. Ph.Angghen đã viết: “Nhập vào với con mắt
của chúng ta chẳng những có các cảm giác khác mà còn có cả hoạt động tư
duy của ta nữa”.
- Tư duy là một quá trình: Tư duy được xét như một quá trình, nghĩa là
tư duy có nảy sinh, diễn biến và kết thúc. Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai
đoạn kế tiếp nhau được minh hoạ bởi sơ đồ (do K. K. Plantônôv đưa ra):
9
Sơ đồ 1
(Dẫn theo Nguyễn Văn Thuận 2004, tr. 10)
- Quá trình tư duy là một hành động trí tuệ:
Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành những thao tác
trí tuệ nhất định. Có rất nhiều thao tác trí tuệ tham gia vào một quá trình tư
duy cụ thể với tư cách một hành động trí tuệ: phân tích, tổng hợp, so sánh,
trừu tượng hoá, khái quát hoá,
1.2.3. Các thao tác tư duy
1.2.3.1. Phân tích và tổng hợp
Theo tâm lí học các quá trình phân tích và tổng hợp là những thao tác
tư duy cơ bản, tất cả những cái tạo thành hoạt động trí tuệ đều là những dạng
khác nhau của các quá trình đó. Vì vậy, để phát triển trí tuệ cho học sinh qua
10
bộ môn Toán, giáo viên cần phải coi trọng việc rèn luyện cho học sinh khả
năng phân tích và tổng hợp.
Theo Nguyễn Cảnh Toàn: Phân tích là chia một chỉnh thể ra thành
nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận. Tổng hợp là nhìn
bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tìm các mối liên hệ giữa các

bộ phận của chỉnh thể và của chính chỉnh thể đó với môi trường xung quanh.
Theo ông, phân tích tạo điều kiện cho tổng hợp, tổng hợp lại chỉ ra phương
hướng cho sự phân tích tiếp theo.
Như vậy, phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược
nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất. Chúng là hai hoạt động trí
tụê cơ bản của quá trình tư duy. Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên
nền tảng của phân tích và tổng hợp. Có thể nói không một vấn đề tổng hợp
(không tầm thường) nào lại chẳng cần dùng đến phân tích trong quá trình phát
hiện và giải quyết vấn đề.
Ví dụ 1.1: Chứng minh rằng nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác thì:
cosA + cosB + cosC
2
3
≤
(1)
- Hoạt động phân tích: cosB + cosC = 2cos
2
B C
+
cos
2
B C
−
Sự phân tích này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức
cosB + cosC với công thức cosa + cosb = 2cos
2
a b
+
cos
2

a b−
.
2
B C
+
=
2
A
π
−

⇒
cos
2
B C
+
= sin
2
A
cosA = cos2
2
A
= 1 - 2sin
2

2
A
.
Hoạt động phân tích này lại dựa trên cơ sở tổng hợp, liên tưởng tới
công thức cos2a = 1- 2sin

2
a.
- Hoạt động tổng hợp, ta có lời giải:
11
(1)
⇔
1 - 2sin
2

2
A
+ 2cos
2
B C
+
cos
2
B C
−

3
2
≤
⇔
4 sin
2

2
A
- 4 sin

2
A
cos
2
B C
−
+ 1
≥
0
⇔
(2 sin
2
A
- cos
2
B C
−
)
2
+ sin
2
2
B C
−
≥
0 (2)
Bất đẳng thức (2) luôn đúng, nên (1) đúng.
Khi bài toán cần giải đã được hiểu trên toàn bộ (theo nghĩa xác định rõ
giả thiết kết luận), đã tìm hiểu được mục đích, ý chủ đạo, thì cần phải đi vào
chi tiết. Đặc biệt nếu bài toán khá khó khăn thì đôi khi cần thiết phải thực hiện

xa hơn nữa việc phân chia và khảo sát chi tiết nhỏ hơn.
1.2.3.2. Khái quát hoá và đặc biệt hoá
a. Khái quát hoá:
Theo G. Pôlia, “Khái quát hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập
hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả
tập hợp ban đầu”.
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp
đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật
một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát”.
Ví dụ 1.2: Khái quát hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu tam thức sang việc
nghiên cứu những đa thức bậc tuỳ ý. Hoặc khái quát hoá khi chuyển từ việc
nghiên cứu hệ thức lượng trong tam giác vuông sang việc nghiên cứu những
hệ thức lượng trong tam giác thường.
Như vậy, khái quát hoá là thao tác tư duy nhằm phát hiện những quy
luật phổ biến của một lớp các đối tượng hoặc hiện tượng từ một số các trường
hợp riêng lẻ. Với nghĩa đó, khái quát hoá thuộc về các phép suy luận có lý
nên các kết luận được rút ra từ khái quát hoá thường mang tính chất giả
thuyết, dự đoán. Bởi nếu khẳng định chắc chắn thì đã là chứng minh rồi.
Chúng ta thường khái quát hoá bằng cách chuyển từ chỗ chỉ xét một đối
tượng sang việc xét toàn thể một lớp bao gồm cả đối tượng đó. Tổng quát hoá
một bài toán thông thường là sự mở rộng bài toán đó. Chẳng hạn từ những kết
12
quả cụ thể: Hình chữ nhật có giao của 2 đường chéo là trung điểm của mỗi
đường. Hình vuông cũng có 2 đường chéo giao nhau tại trung điểm của mỗi
đường. Hình thoi cũng có kết quả tương tự. Tất cả 3 hình kể trên đều là hình
bình hành. Từ đó ta có thể tách một đặc điểm chung của các hình trên và có
mệnh đề khái quát sau: “Trong một hình bình hành các đường chéo giao
nhau tại trung điểm của mỗi đường”.
Ví dụ 1.3. Xuất phát từ bài toán “Chứng minh rằng nếu A, B, C là 3 góc của
một tam giác thì: cosA + cosB + cosC

2
3
≤
”. Ta có thể phát biểu bài toán
tổng quát: “Chứng minh rằng nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác thì:
cos
mA nB
m n
+
+
+ cos
mB nC
m n
+
+
+ cos
mC nA
m n
+
+

2
3
≤
”
Hoặc ta mở rộng công thức:
2
a b
ab
+

≥
(
;a o b o
∀ ≥ ∀ ≥
) thành công
thức:
1 2
1 2


n
n
n
a a a
a a a
n
+ + +
≥
(
;
i
a o
≥
với mọi i = 1,2,…,n).
b. Đặc biệt hoá
Theo G. Pôlia: “Đặc biệt hoá là chuyển từ việc nghiên cứu từ một tập
hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong
tập hợp đã cho”.
Chẳng hạn, chúng ta đặc biệt hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu đa
giác sang việc nghiên cứu đa giác đều và tiếp tục đặc biệt hoá khi chuyển

từ việc nghiên cứu đa giác đều n cạnh (n
≥
3) sang việc nghiên cứu tam giác
đều (n = 3).
Trong hoạt động giải Toán đặc biệt hoá là chuyển việc nghiên cứu từ trường
hợp chung sang trường hợp riêng. Chẳng hạn, ở ví dụ 1.3 từ bài toán xuất phát:
“Chứng minh rằng nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác thì: cosA + cosB +
cosC
2
3
≤
”. Đặc biệt hoá nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác đều thì
13
cosA + cosB + cosC
3
2
=
.
Một bài toán khó thường dễ giải hơn nếu ta xét nó trong một trường
hợp đặc biệt vì khi đó ta đã bổ sung thêm giả thiết, tăng thêm dữ kiện cho bài
toán. Sau khi giải quyết các bài toán đặc biệt chúng ta có thể rút ra được các
kết luận, tìm được cái “chốt” giúp cho việc giải quyết các bài toán tổng quát.
Các trường hợp riêng đôi lúc gợi ý cho các chứng minh tổng quát. Chẳng hạn,
trước khi học sinh được học khảo sát hàm số y = ax
2
+ bx + c (a khác 0), họ
đã được nghiên cứu về hàm số y = ax
2
(a khác 0). Do đó, để khảo sát hàm số
bậc hai đầy đủ, ta tìm cách đưa về trường hợp đặc biệt Y = aX

2
(bằng phép
đổi trục tọa độ).
1.2.3.3. Trừu tượng hoá và cụ thể hóa:
a. Trừu tượng hoá:
Theo Nguyễn Bá Kim: “Trừu tượng hoá là sự nêu bật và tách những
đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất”. Chẳng hạn trừu
tượng hoá số 2 (bình phương) trong mệnh đề: “Bình phương của một số âm là
một số dương” học sinh phải tách đặc điểm “chia hết cho 2” của số 2 để được
khái niệm “số chẵn” . Sự kết hợp giữa quá trình trừu tượng hóa này với thao
tác khái quát hóa mệnh đề trên ta có mệnh đề: “luỹ thừa bậc chẵn của một số
âm là một số dương”.
Không có khái quát hoá và trừu tượng hoá thì không thể có kiến thức
và tri thức lí thuyết được. Khi trừu tượng hoá, chúng ta tách ra cái chung
trong các đối tượng nghiên cứu, chỉ khảo sát cái chung này, gạt qua một bên
những cái riêng phân biệt đối tượng này với đối tượng khác, không chú ý tới
những cái riêng này. Có thể xem sự khái quát hóa ở mức độ cao đến mức lý
tưởng, đến mức không còn giữ lại những thuộc tính riêng, cá biệt, cụ thể về
chất liệu, về hình dạng, kích thước mà chỉ còn là các thuộc tính hay hình ảnh
lý tưởng là sự trừu tượng hóa. Thông thường, trong toán học, khái quát hóa
một kết quả nghiên cứu là việc đưa ra những kết luận, những mệnh đề khẳng
định về một lớp đối tượng rộng hơn lớp đối tượng đã biết. Trừu tượng hóa
14
không hướng tới việc đưa ra các kết luận, mệnh đề như vậy mà là chuyển
sang nghiên cứu những thuộc tính có trong đối tượng.
Học sinh cũng thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức vào những
điều kiện cụ thể mới, thường là do phải chuyển từ tư duy cụ thể sang tư duy
trừu tượng, tìm cái chung trong cái riêng, mà cái cụ thể, cái không bản chất
làm mờ nhạt, che lấp cái chung, tạo ra cái hố ngăn cánh giữa cái cụ thể và cái
trừu tượng. Có thể giúp học sinh khắc phục khó khăn đó bằng cách dùng sơ

đồ, hình vẽ. Nhờ sự kết hợp được cả hai mặt cụ thể và trừu tượng trong bản
thân nó, sơ đồ có thể giúp làm “cầu nối” khi chuyển từ tư duy cụ thể sang tư
duy trừu tượng và ngược lại.
Ví dụ 1.4. Từ mệnh đề: “Tích (m+1) (m+2) (m+3)… (3m-1)3m với m
∈
N
*
chia hết cho 3
m
nhưng không chia hết cho 3
m+1
”, muốn khái quát hoá thành
mệnh đề tổng quát hơn: “Tích (m+1) (m+2) (m+3)… (pm-1)pm với m
∈
N
*
và
p là số nguyên tố, chia hết cho 3
p
nhưng không chia hết cho 3
p+1
”, học sinh
phải tách đặc điểm số nguyên tố (đặc điểm bản chất) ra khỏi các đặc điểm
khác của số 3 như “là số lẻ”, “là bội số của 3”, “là số có dạng 4k-1”, (đặc
điểm không bản chất), tức là tiến hành quá trình trừu tượng hoá.
Chú ý rằng trong ví dụ trên có cả quá trình trừu tượng hóa (từ số 3 dẫn
tới thuộc tính số nguyên tố) và quá trình khái quát hóa (từ khẳng định biểu
thức đã cho trước chia hết cho 3
n
nhưng không chia hết cho 3

n+1
đến khẳng
định về biểu thức (m+1) (m+2) (m+3)… (pm-1)pm, với m
∈
N
*
và p là số
nguyên tố, chia hết cho 3
p
nhưng không chia hết cho 3
p+1
.
b. Cụ thể hóa:
Đây là thao tác tư duy có tính đối lập với thao tác trừu tượng hóa. Quan
hệ giữa thao tác tư duy này với thao tác trừu tượng hóa có phần giống với
quan hệ giữa thao tác đặc biệt hóa đối với thao tác khái quát hóa. Khi cụ thể
hóa một thuộc tính nào đó ta gắn nó với mộ đối tượng cụ thể. Ví dụ: Từ khái
niệm trừu tượng “phẳng”, ta gắn vào các hình hình học cụ thể để có “hình
tròn”, “hình tam giác”, “hình vuông”,
15
Khi lấy ví dụ về một đối tượng cụ thể để thể hiện một khái niệm là ta
đã thực hiện một thao tác cụ thể hóa.
1.2.3.4. So sánh, tương tự hóa
a. So sánh
So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật và hiện
tượng. Muốn so sánh hai sự vật (hiện tượng) ta phải phân tích các dấu hiệu,
các thuộc tính của chúng, đối chiếu các dấu hiệu, các thuộc tính đó với nhau
rồi tổng hợp lại xem hai sự vật (hiện tượng) có cái gì giống và khác nhau.
Trong giảng dạy và học tập, so sánh luôn luôn phục vụ một nhận thức nào đó,
nó luôn luôn có mục đích. Do đó các sự vật và hiện tượng có thể giống nhau

theo quan điểm này và khác nhau theo quan điểm khác. Chẳng hạn khi dạy về
các phép biến đổi tương đương của bất phương trình, chúng ta có định lý:
“Cho bất phương trình f (x) > g (x) (1) có tập xác định D, y = h (x) là một
hàm số xác định trên D. Khi đó, trên D bất phương trình (1) tương đương với
bất phương trình f (x)+h (x) > g (x)+ h (x) (2)”.
Để học sinh nắm chắc định lí này giáo viên có thể cho học sinh so sánh với
một định lí tương tự trong phần phương trình đó là: “Cho phương trình f (x)
= g (x) (1) có tập xác định D, y = h (x) là một hàm số xác định trên D. Khi
đó, trên D phương trình (1) tương đương với phương trình
f (x)+h (x) = g (x)+ h (x) (2)”. Giáo viên có thể chỉ cho học sinh thấy:
Định nghĩa hai phương trình tương đương và hai bất phương trình tương
đương giống nhau ở chỗ: Chúng tương đương khi tập nghiệm trùng nhau.
Từ tính chất này của phương trình và bất phương trình đều suy ra được một
hệ quả cho phép có một phép biến đổi tương đương rất hay dùng trong biến
đổi phương trình và bất phương trình đó là: có thể chuyển một biểu thức từ vế
này sang vế kia và khi đã đổi dấu của nó.
Việc chứng minh hai định lí đều sử dụng định nghĩa: Nghĩa là lấy
x
0

∈
D là nghiệm của phương trình (1) chứng minh được x
0
là nghiệm của (2)
và ngược lại.
16
Giáo viên có thể phân tích cho học sinh rõ hơn: Việc tìm nghiệm của
phương trình f (x) = g (x) là tìm các giá trị của x
0
để giá trị của hàm f (x) tại

x
0
bằng giá trị của hàm g (x) tại x
0
. Còn tìm nghiệm của bất phương trình
f (x) > g (x) là tìm các giá trị x
0
để f (x
0
) > g (x
0
). (Tức các giá trị của x để giá
trị của hàm f (x) lớn hơn giá trị của hàm g (x)).
Hoặc có thể dùng đồ thị để giải thích: Nghiệm của phương trình
f (x) = g (x) là hoành độ giao điểm của đồ thị y
1 =
f (x) và y
2
= g (x). Còn
nghiệm của bất phương trình f (x)> g (x) là tập hợp các giá trị của x để đồ thị
của hàm số y
1
= f (x) nằm phía trên đồ thị hàm số y
2
= g (x).
Bằng cách so sánh như vậy sẽ làm cho học sinh nắm chắc bản chất về
định nghĩa các nghiệm của phương trình và bất phương trình hơn. Chỉ khi
nắm vững kiến thức cơ bản học sinh mới có thể tư duy một cách linh hoạt,
sáng tạo khi giải quyết vấn đề.
b. Tương tự hóa

Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó. Có thể nói tương tự là giống
nhau nhưng ở mức độ xác định nào đó, và mức độ đó được phản ánh bằng
cách xem xét các đối tượng theo những tiêu chí nhất định.
Chẳng hạn, xét các Mệnh đề:
"Trung bình cộng của hai số không âm không nhỏ hơn trung bình
nhân của chúng, tức là:
21
21
.
2
aa
aa
≥
+
(a); Nếu a
1
, a
2
, a
3
không âm thì
3
321
321

3
aaa
aaa
≥
++

(trung bình cộng của ba số không âm lớn hơn hoặc
bằng trung bình nhân của chúng) (b); Trung bình cộng của n số không âm lớn
hơn hoặc bằng trung bình nhân của nó (c)".
Việc chuyển từ mệnh đề (a) hay (b) sang (c) là khái quát hoá; việc
chuyển từ (a) sang (b) là một phép tương tự. Phép tương tự ở đây rất gần với
khái quát hoá; phép tương tự có thể xem là tiền thân của khái quát hoá, bởi vì,
việc chuyển từ một trường hợp riêng này sang một trường hợp riêng khác của
17
cùng một cái tổng quát là một bước để đi tới những trường hợp riêng bất kỳ
của cái tổng quát đó.
Đối với học sinh, tương tự đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện
tư duy sáng tạo của người học. Để giải một bài toán, chúng ta thường nghĩ về
một bài toán tương tự dễ hơn và tìm cách giải bài toán ấy. Sau đó, để giải bài
toán ban đầu, ta lại dùng bài toán tương tự dễ hơn đó làm mô hình.
1.2.4. Một số loại hình tư duy toán học
Hoạt động tư duy phụ thuộc vào đối tượng tư duy. Trong toán học có
nhiều loại hình tư duy. Tùy theo quan điểm nghiên cứu mà người ta đưa ra
những loại hình tư duy khác nhau. Có thể kể đến một số cách tiếp cận vấn đề
tư duy và các loại hình tư duy toán học được phân ra như sau:
a) Căn cứ vào sự cố gắng, tính độc lập của người nghiên cứu và tính
mới của sản phẩm trong quá trình tư duy ta có các loại hình tư duy: Tư duy
tích cực; Tư duy độc lập; Tư duy phê phán; Tư duy sáng tạo.
b) Căn cứ vào cấu trúc hình thức của quá trình tư duy ta có các loại
hình tư duy: Tư duy lô gic; Tư duy theo các lược đồ hình thức; Tư duy biện
chứng.
c) Căn cứu vào cách xem xét các hoạt động đặc trưng của quá trình tư
duy theo quan điểm toán học ta có các loại hình tư duy: Tư duy hàm; Tư duy
thuật giải; Tư duy thống kê.
d) Căn cứ vào các lĩnh vực ứng dụng của quá trình tư duy ta có các loại
hình tư duy: Tư duy kinh tế; Tư duy kỹ thuật; Tư duy quản lý.

Sự phân chia các loại hình tư duy toán học chỉ mang tính tương đối. Hiện
nay chưa có sự phân loại nào triệt để và thống nhất. Mặc dù mỗi loại hình tư
duy có những đặc điểm, đặc trưng khác nhau nhưng chúng không hoàn toàn độc
lập với nhau, giữa chúng cũng có sự liên hệ, hỗ trợ nhau. Tư duy thuật giải là
một trong những thành phần quan trọng của tư duy toán học. Rèn luyện tư duy
thuật giải trong môn toán sẽ góp phần phát triển tư duy toán học cho học sinh.
18
1.3. Tư duy thuật giải
1.3.1. Thuật giải và quy tắc tựa thuật giải
1.3.1.1.Thuật giải
Hàng ngày con người tiếp xúc với rất nhiều bài toán từ đơn giản đến
phức tạp. Đối với một số bài toán tồn tại những quy tắc xác định nhằm mô tả
quá trình giải. Từ việc mô tả quá trình giải ấy, người ta đi đến khái niệm trực
giác về thuật giải.
“Thuật giải theo nghĩa trực giác được hiểu như một dãy hữu hạn những
chỉ dẫn thực hiện được một cách đơn trị, kết thúc sau một số hữu hạn bước và
đem lại kết quả là biến đổi thông tin vào (INPUT) của một lớp bài toán thành
thông tin ra (OUTPUT) mô tả lời giải của lớp bài toán đó”
(Nguyễn Bá Kim 2009, tr. 376 - 377).
Còn theo (Vương Dương Minh 1996, tr. 12) thì: “Thuật giải là một quy
tắc chính xác và đơn trị quy định một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo
một trình tự xác định trên những đối tượng sao cho sau một số hữu hạn những
thao tác đó ta thu được kết quả mong muốn”
Những khái niệm trên đều thống nhất rằng mỗi thuật giải đều có những
tính chất cơ bản và quan trọng sau:
* Tính đơn trị
Tính đơn trị của thuật giải đòi hỏi rằng các thao tác trong thuật giải phải
đơn trị. Nghĩa là hai phần tử cùng một cơ cấu thực hiện cùng một thao tác trên
cùng một đối tượng thì phải cho cùng một kết quả. Tính chất này nói lên tính
hình thức hoá của thuật giải nhờ đó ta có thể lập trình giao cho các thiết bị tự

động thực hiện thuật giải thay thế con người.
Xét ví dụ sau:
Ví dụ 1.5. Quy trình 4 bước để giải một bài toán.
Bước 1. Tìm hiểu nội dung bài toán.
Bước 2. Tìm đường lối giải toán.
Bước 3. Thực hiện chương trình giải toán.
19