Một số đặc trưng của đường cong trực đạc trong không gian lorentz minkowski 3 chiều
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (285.17 KB, 34 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
ĐẶNG HỒNG QUÂN
MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG
CỦA ĐƯỜNG CONG TRỰC ĐẠC
TRONG KHÔNG GIAN
LORENTZ - MINKOWSKI 3 CHIỀU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGHỆ AN - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
ĐẶNG HỒNG QUÂN
MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG
CỦA ĐƯỜNG CONG TRỰC ĐẠC
TRONG KHÔNG GIAN
LORENTZ - MINKOWSKI 3 CHIỀU
CHUYÊN NGÀNH : HÌNH HỌC TÔPÔ
MÃ SỐ : 60.46.01.05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Cán bộ hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN DUY BÌNH
NGHỆ AN - 2014
LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn đến các Thầy giáo, Cô giáo
khoa Sư phạm Toán học, khoa Sau đại học - Trường Đại học Vinh đã
giúp đỡ tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học và
luận văn.
Đặc biệt tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS.
Nguyễn Duy Bình đã tận tình giúp đỡ, dày công hướng dẫn, đóng góp
ý kiến giúp tác giả hoàn thành bài luận văn.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ chuyên
ngành Hình học - Tôpô đã dành nhiều tâm huyết truyền đạt những kiến
thức quý báu, cảm ơn tập thể học viên khóa 20 chuyên ngành Hình học
- Tôpô đã tạo mọi điều kiện giúp tác giả trong suốt quá trình học tập
và hoàn thành bài luận văn này.
Nghệ An, tháng 10 năm 2014
Tác giả luận văn
Mục lục
Lời nói đầu 1
1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 3
1.1 Không gian Minkowski 3 chiều E
3
1
. . . . . . . . . . . . 3
1.2 Đặc trưng của không gian con và của đường cong trong
không gian Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 ĐƯỜNG CONG TRỰC ĐẠC
TRONG KHÔNG GIAN E
3
1
8
2.1 Trường mục tiêu Frenet và các độ cong dọc đường cong
trong không gian E
3
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Một số đặc trưng của đường cong trực đạc có vận tốc đơn
vị là đường cong kiểu không gian hoặc thời gian trong
không gian E
3
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Một số đặc trưng của đường cong trực đạc có gia tốc đơn
vị là đường cong kiểu ánh sáng trong không gian E
3
1
. . 24
Kết luận 29
Tài liệu tham khảo 30
Lời nói đầu
Trong không gian Ơclit 3 chiều E
3
, với mỗi đường cong có vận tốc
đơn vị α : I → E
3
, có thể có 3 trường vectơ đơn vị trực giao với nhau T,
N và B, tương ứng được gọi là trường vectơ tiếp xúc, pháp tuyến chính
và trùng pháp tuyến. Không gian được sinh bởi trường vectơ {T, N},
{T, B} và {N, B}, tương ứng được gọi là không gian mật tiếp, không
gian trực đạc và không gian pháp. Trong gian ơclit đường cong có vectơ
vị trí luôn nằm trong mặt phẳng trực đạc, được gọi là đường cong trực
đạc.
Trong những năm gần đây thì đã có rất nhiều sự nghiên cứu về tính
chất của đường cong trực đạc trong không gian Ơclit , một trong những
đặc trưng quan trọng nhất của đường cong trực đạc là tỷ số của độ xoắn
và độ cong là hàm tuyến tuyến tính không hằng của tham số hóa độ dài
cung s.
Đường cong trực đạc trong không gian Minkowski 3 chiều E
3
1
có những
đặc trưng tương tự trong không gian Ơclit, nhằm mong muốn tìm hiểu
một số đặc trưng của đường cong trực đạc trong không gian Minkowski
3 chiều E
3
1
và dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Duy Bình chúng tôi
chọn đề tài luận văn là : " Một số đặc trưng của đường cong trực
đạc trong không gian Minkowski 3 chiều E
3
1
.
Luận văn được trình bày trong 2 chương :
Chương I : Kiến thức cơ sở
Trong chương này chúng tôi trình bày định nghĩa, các kiến thức cơ
bản của không gian Minkowski, tích Lorentz của các vectơ trong không
gian Minkowski, đặc trưng của không gian con và của đường cong trong
1
trong không gianE
3
1
Chương II : Đường cong trực đạc trong không gian E
3
1
Trong chương này chúng tôi trình bày về trường mục tiêu Frenet và
các độ cong dọc đường , định nghĩa và ví dụ về đường cong trực đạc,
một số đặc trưng của đường cong trực đạc trong không gian E
3
1
, cụ thể
trình bày một số đặc trưng của đường cong trực đạc có vận tốc đơn
vị là đường cong kiểu không gian hoặc thời gian và một số đặc trưng
của đường cong trực đạc có vận tốc đơn vị là đường cong kiểu ánh sáng
trong không gian E
3
1
.
Vì kiến thức còn nhiều hạn chế và thời gian có hạn nên luận văn còn
có nhiều thiếu sót trong cả nội dung lẫn hình thức, chúng tôi rất mong
nhận được sự chỉ bảo, góp ý của các Thầy Cô giáo và các bạn đọc để
luận văn được hoàn thiện hơn.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn !
Nghệ An, tháng 10 năm 2014
Đặng Hồng Quân
2
Chương 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1 Không gian Minkowski 3 chiều E
3
1
Cho R
3
là không gian véctơ thực với cấu trúc thông thường. Gọi B =
{E
1
, E
2
, E
3
} là cơ sở thông thường, với E
1
= (1, 0, 0), E
2
= (1, 0, 0),
E
3
= (0, 0, 1).
1.1.1 Định nghĩa. Cho E là một không gian véctơ trong R
3
với tích vô
hướng: u, v = u
1
v
1
+ u
2
v
2
− u
3
v
3
, với u = (u
1
, u
2
, u
3
), v = (v
1
, v
2
, v
3
)
Khi đó E được gọi là không gian Lorentz - Minkowski. Ký hiệu E
3
1
.
Tích vô hướng , được gọi là tích vô hướng Lorentz – Minkowski. Người
ta thường gọi không gian Lorentz – Minkowski là không gian Minkowski
và tích vô hướng , cũng được gọi là tích vô hướng Minkowski.
1.1.2 Định nghĩa. Cho véctơ u ∈ E
3
1
. Khi đó số
|u, u| được gọi là
mô đun hay chuẩn của véctơ u. Ký hiệu |u|. Nếu |u| = 1 thì u được gọi
là véctơ đơn vị.
1.1.3 Định nghĩa. Cho u = (u
1
, u
2
, u
3
), v = (v
1
, v
2
, v
3
) ∈ E
3
1
. Khi đó,
toạ độ của tích Lorentz được tính như sau:
u ×v =
u
2
u
3
v
2
v
3
,
u
3
u
1
v
3
v
1
, −
u
1
u
2
v
1
v
2
1.1.4 Mệnh đề. Cho véctơ u, v ∈ E
3
1
,ta có :
• u × v = −v ×u
• u × v vuông góc với u, v.
• u × v = 0 khi và chỉ khi u, v tỉ lệ.
3
Trong không gian R
3
, ta có công thức mối liên hệ giữa tích có hướng
và tích vô hướng như sau:
(u ×v)(x ×y) =
ux uy
vx vy
Tương tự ta cũng xây dựng được mối liên hệ giữa tích và tích vô
hướng trong không gian E
3
1
(u ×v)(x ×y) = −
u, x u, y
v, x v, y
1.1.5 Định nghĩa. Cho vectơ v ∈ E
3
1
.
• v được gọi là vectơ kiểu không gian nếu v, v > 0 hoặc v=0
• v được gọi là vectơ kiểu thời gian nếu v, v < 0
• v được gọi là vectơ kiểu ánh sáng nếu v, v = 0 và v = 0
Nhận xét: véctơ v = 0 có v, v = 0 nhưng vẫn được xét là véctơ kiểu
không gian.
1.1.6 Ví dụ. Vectơ E
1
và E
2
là các vectơ kiểu không gian vì E
1
, E
1
=
1 > 0 và E
2
, E
2
> 0. Véctơ E
3
là vectơ kiểu thời gian vì E
3
, E
3
=
−1 < 0. Vectơ E
1
+ E
2
là vectơ kiểu ánh sáng vì E
1
+ E
2
, E
1
+ E
2
= 0
1.2 Đặc trưng của không gian con và của đường
cong trong không gian Minkowski
1.2.1 Định nghĩa (xem [3]).
Cho U là không gian vectơ con của không gian E
3
1
, khi đó :
• U được gọi là kiểu không gian nếu nó chỉ chứa các vectơ kiểu không
gian hoặc vectơ không.
4
• U được gọi là kiểu thời gian nếu nó có chứa ít nhất một vectơ kiểu
thời gian.
• U được gọi là kiểu ánh sáng nếu nó chứa ít nhất một vectơ kiểu ánh
sáng và không chứa vectơ kiểu thời gian nào.
1.2.2 Định lý (xem [3]).
Cho U là không gian vectơ con của không gian E
3
1
• U được gọi là kiểu không gian khi và chỉ khi , /U là xác định
dương.
• U được gọi là kiểu thời gian khi và chỉ khi , /U là không suy biến
và có chỉ số 1.
• U được gọi là kiểu ánh sáng khi và chỉ khi , /U là suy biến và
U = 0.
1.2.3 Định nghĩa (xem [3]).
Cho (V, , ) là không gian với tích vô hướng không suy biến và U ⊂ V
là không gian vectơ con của không gian V. Khi đó ta gọi
U
⊥
= {v ∈ V, u, v = 0, ∀u ∈ U} là không gian con trực giao với
không gian U.
1.2.4 Bổ đề (xem [3]).
Cho (V, , ) là không gian với tích vô hướng không suy biến .Khi đó
• Nếu U là không gian con của V thì dim(U
⊥
) = dim(V ) − dim(U).
• Nếu U là không gian con của V thì (U
⊥
)
⊥
= U.
• Nếu U là không gian con không suy biến của V thì U
⊥
cũng là không
gian con không suy biến.
1.2.5 Định nghĩa. Cho α là một đường cong trong E
3
1
. Ta nói rằng α
là một đường cong kiểu không gian (tương ứng: kiểu thời gian, kiểu ánh
sáng) tại t nếu vectơ α
(t) là vectơ kiểu không gian (tương ứng: kiểu
5
thời gian, kiểu ánh sáng).
Đường cong α được gọi là đường cong kiểu không gian(tương ứng:
kiểu thời gian, ánh sáng) nếu nó là đường cong kiểu không gian (tương
ứng: kiểu thời gian, kiểu ánh sáng) tại mọi điểm .
Nhận xét: Một đường cong bất kỳ α trong E
3
1
thì với mỗi t ∈ I ,
α
(t) có thể là kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng, nhưng
tính chất này sẽ không đúng trên toàn khoảng I.
1.2.6 Ví dụ. Xét đường cong α cho bởi tham số hoá: α(t) = (cosh(t), t
2
, sinh(t)).
Khi đó, α
(t), α
(t) = 4t
2
− 1.
Do đó, đường cong này là kiểu không gian trong khoảng (−∞, −
1
2
), kiểu
thời gian trong khoảng (−
1
2
,
1
2
) và kiểu ánh sáng tại −
1
2
và
1
2
.
1.2.7 Định nghĩa. Cho α là đường cong trong E
3
1
xác định trên khoảng
I. Khi đó α được gọi là chính quy tại t
o
∈ I nếu α
(t) = 0. Nếu α
chính quy tại mọi điểm t ∈ I thì α được gọi là chính quy.
1.2.8 Mệnh đề (xem [3]).
Mọi đường cong kiểu thời gian và kiểu ánh sáng đều chính quy.
Chứng minh. Giả sử rằng đường cong α là kiểu thời gian. Ta viết α(t) =
(x(t), y(t), z(t)), trong đó các hàm x, y và z là các hàm khả vi theo t.
Ta có: α
(t), α
(t) = x
(t)
2
+ y
(t)
2
−z
(t)
2
< 0, suy ra z
(t) = 0 vì nếu
z
(t) = 0 thì α không phải là kiểu thời gian. Từ đó suy ra α là chính
quy.
Trong trường hợp α là kiểu ánh sáng, giả sử z
(t) = 0, suy ra x
(t) =
y
(t) = 0 và α
(t) = 0. Khi đó α là kiểu không gian. Mâu thuẫn, vậy
z
(t) = 0. Từ đó suy ra α là chính quy.
1.2.9 Định nghĩa (xem [3]).
Cho α là một đường cong chính quy kiểu không gian hoặc thời gian trong
E
3
1
. Khi đó, tồn tại các tham số lại của α là β sao cho |β
(t)| = 1.Ta gọi
tham số hóa này là tham số hóa độ dài cung.
Trong trường hợp này ta gọi β là đường cong có vận tốc đơn vị.
1.2.10 Định nghĩa (xem [3]).
Cho α là một đường cong chính quy kiểu ánh sáng trong E
3
1
.Khi đó
6
tồn tại một tham số hóa lại của α cho bởi β(s) = α(θ(s)) sao cho
|β”(s)| = 1. Ta gọi tham số hóa này là tham số hóa giả độ dài cung.
Trong trường hợp này ta gọi β là đường cong có gia tốc đơn vị.
7
Chương 2
ĐƯỜNG CONG TRỰC ĐẠC
TRONG KHÔNG GIAN E
3
1
2.1 Trường mục tiêu Frenet và các độ cong dọc
đường cong trong không gian E
3
1
Ta xét đường cong α chính quy biểu diễn bằng tham số độ dài cung
hoặc giả độ dài cung. Ta gọi T (s) = α
(s) là vectơ tiếp xúc tại s. Nói
riêng T(s), T
(s) = 0, ta giả sử T
(s) = 0 và T’(s) không tỷ lệ với T(s)
đối với mỗi s. Điều này tránh trường hợp đường cong là đường thẳng.
Bây giờ ta xét 3 trường hợp xảy ra đối với đường cong :
Trường hợp 1: Trường hợp đường cong kiểu thời gian. Giả sử α là
đường cong kiểu thời gian. Ta định nghĩa độ cong của α tại s là hàm
κ(s) = |T
(s)|. vectơ pháp tuyến N(s) được định nghĩa bởi:
N(s) =
T
(s)
κ(s)
=
α
(s)
|α
(s)|
.
Hơn nữa, κ(s) = T
(s), N(s). Ta gọi vectơ trùng pháp tuyến B(s) là
vectơ
B(s) = T(s) ×N(s)
Khi đó, vectơ B(s) là vectơ đơn vị kiểu không gian. Với mỗi s, {T,N,B}
là một cơ sở trực chuẩn của E
3
1
, và được gọi là trường mục tiêu Frenet
của α.
Ta định nghĩa độ xoắn của α hàm:
τ(s) = N
(s), B(s)
Ta có: |N| = 1 ⇒ N(s), N(s) = 1 ⇒ N(s), N
(s) = 0 ⇒ N ⊥ N
⇒ N
= αT + βB.
8
Nhân hai vế của biểu thức trên với T ta có: N
, T = −α (vì T là
véctơ kiểu thời gian nên T, T = −1. Ta lại có: T
= κN ⇒ T
, N =
κN, N = κ.
Mặt khác: T, N = 0 ⇒ T, N
+ T
, N = 0 ⇒ α = κ
Tương tự, ta tính được β = τ. Từ đó ta suy ra: N
= κT + τ B.
Bằng các phép tính toán tương tự, ta suy ra: B
= −τN. Từ đó chúng
ta có được phương trình Frenet như sau:
T
N
B
=
0 κ 0
κ 0 τ
0 −τ 0
T
N
B
(2.1)
Trường hợp 2 : Trường hợp đường cong kiểu không gian.
Cho α là đường cong kiểu không gian. Khi đó, có 3 trường hợp xảy
ra:
a. Trường hợp vectơ T
(s) là kiểu không gian
Ta định nghĩa hàm độ cong của α là: κ = | T’(s) |. Khi đó, tương tự
trường hợp trên, ta định nghĩa:
N(s) =
T
(s)
κ(s)
và B(s) = T (s) ×N(s)
Ta cũng định nghĩa hàm độ xoắn:
τ(s) = −N
(s), B(s)
Chứng minh tương tự trường hợp α là đường cong kiểu thời gian, ta có
phương trình Frenet:
T
N
B
=
0 κ 0
−κ 0 τ
0 τ 0
T
N
B
(2.2)
b.Trường hợp vectơ T
(s) là kiểu thời gian
Ta định nghĩa hàm độ cong của α là:
κ = |T
(s)| =
−T
(s), T
(s)
Khi đó, tương tự trường hợp trên, ta định nghĩa:
N(s) =
T
(s)
κ(s)
và B(s) = T (s) ×N(s)
9
Ta định nghĩa hàm độ xoắn:
τ(s) = N
(s), B(s)
Vectơ trùng pháp tuyến cũng được định nghĩa tương tự mục trên:
B(s) = T(s) ×N(s)
Dễ thấy vectơ này là vectơ kiểu không gian.
Từ đó ta lập được phương trình Frenet:
T
N
B
=
0 κ 0
κ 0 τ
0 τ 0
T
N
B
(2.3)
c.Trường hợp vectơ T
(s) là kiểu ánh sáng với mọi s
Ta định nghĩa véctơ pháp tuyến N(s) = T
(s), độc lập tuyến tính với
T (s). Khi đó, với mỗi điểm s cho trước, tồn tại duy nhất một vectơ kiểu
ánh sáng B(s) sao cho: T(s), B(s) = 1 và vuông góc với N(s). Véctơ
B(s) được gọi là vectơ trùng pháp tuyến của α tại s.
Ta có phương trình Frenet:
T
N
B
=
0 1 0
0 τ 0
−1 0 −τ
T
N
B
(2.4)
Trong đó τ được gọi là độ xoắn của α. Ở đây ta không định nghĩa độ
cong của α.
Trường hợp 3 : Trường hợp đường cong kiểu ánh sáng
• Đường tham số chính quy α kiểu ánh sáng được gọi là đường đường
tham số giả độ dài cung nếu |α”(s)| = 1, ∀s ∈ I và α”(s) là vectơ
kiểu không gian.
• Vectơ tiếp xúc T(s) = α
(s), ∀s ∈ I.
• Vectơ pháp tuyến N(s) = T
(s), |N| = 1
• Vectơ trùng pháp tuyến B(s) duy nhất kiểu ánh sáng trực giao với
N(s) sao cho T (s), B(s) = 1, ∀s ∈ I
10
Ta có phương trình Frenet là :
T
N
B
=
0 1 0
τ 0 −1
0 −τ 0
T
N
B
(2.5)
Trong đó τ được gọi là độ xoắn của α. Ở đây ta không định nghĩa độ
cong của α.
2.1.1 Ví dụ. Tính độ cong, đọ xoắn, và mục tiêu Frenet của đường
cong cho bởi
α(s) = (b.
s
c
, a.cos
s
c
, a.sin
s
c
) với c
2
= a
2
− b
2
; a = 0, b = 0
Giải : Ta có
T (s) = α
(s) = (
b
c
, −
a
c
.sin
s
c
,
a
c
.cos
s
c
)
α
(s), α
(s) = −
b
2
c
2
+
a
2
c
2
=
a
2
− b
2
c
2
=
c
2
c
2
= 1 > 0 ⇒ |α
(s)| = 1
Suy ra α là đường cong kiểu không gian chính quy với tham số hóa độ
dài cung. Ta có :
T
(s) = (0, −
a
c
2
.cos
s
c
, −
a
c
2
.sin
s
c
⇒ T
(s), T
(s) =
a
2
c
4
. cos
2
s
c
+
a
2
c
4
. sin
2
s
c
⇒ T
(s), T
(s) =
a
2
c
4
(sin
2
s
c
+ cos
2
s
c
)
⇒ T
(s), T
(s) =
a
2
c
4
> 0
Suy ra T
(s) là vectơ kiểu không gian. Vậy áp dụng trường hợp đường
cong kiểu không gian và vectơ T
(s) là kiểu không gian ta tính độ cong
và độ xoắn của đường cong như sau :
Ta có độ cong của đường cong α là :
k(s) = |T
(s)| =
a
c
2
Mặt khác ta có :
11
N(s) =
T
(s)
k(s)
= (0, −cos
s
c
, −sin
s
c
) = 0
B(s) = T(s) ×N(s) = (−
a
c
,
b
c
sin
s
c
, −
b
c
cos
s
c
)
B
(s) = (0,
b
c
2
cos
s
c
,
b
c
2
sin
s
c
)
Vậy độ xoắn của đường cong α là :
τ = −N
(s), B(s) = B
(s), N(s) = (−
b
c
2
cos
2
s
c
−
b
c
2
sin
2
s
c
) = −
b
c
2
và khi đó phương trình Frenet được tính theo công thức :
T
N
B
=
0 k 0
−k o τ
0 τ 0
T
N
B
Trong đó τ, k được xác định ở trên.
2.2 Một số đặc trưng của đường cong trực đạc có
vận tốc đơn vị là đường cong kiểu không gian
hoặc thời gian trong không gian E
3
1
2.2.1 Định nghĩa. Trong không gian E
3
1
, không gian được sinh bởi hệ
vectơ {T, B} được gọi là không gian trực đạc.
Đường cong α được gọi là đường cong trực đạc nếu vectơ ví trí luôn
nằm trong không gian trực đạc
2.2.2 Ví dụ. Mệnh đề sau đây cho ta ví dụ về một đường cong trực
đạc được xác định từ một đường cong cho trước :
Mệnh đề (xem [6]) .
Cho α = α(s) là đường cong có vận tốc đơn vị trong E
3
1
với độ cong
hằng k
α
(s) = 0, độ xoắn τ
α
(s) không hằng và α”(s), α”(s) = 0. Khi
đó ta có đường sau
β(s) = −e
0
e
1
τ
α
(s)T
α
(s) −e
0
e
1
k
α
(s)B
α
(s)
là đường cong trực đạc, (trong đó {T
α
, N
α
, B
α
} là trường mục tiêu của
đường cong α và e
0
= T, T , e
1
= N, N).
12
Chứng minh. Giả sử α(s) là đường cong có vận tốc đơn vị trong E
3
1
với
độ cong hằng k
α
(s) = 0, độ xoắn τ
α
(s) không hằng và α”(s), α”(s) =
0.Khi đó có đường :
β(s) = −e
0
e
1
τ
α
(s)T
α
(s) −e
0
e
1
k
α
(s)B
α
(s)
Đạo hàm β(s) theo s ta có :
β
(s) = −e
0
e
1
{τ
α
(s)T
α
(s) + τ
α
(s)T
α
(s) + k
α
(s)B
α
(s)
Áp dụng công thức Frenet :
T
(s) = e
1
k(s)N(s)
N
= −e
0
k(s)T (s) − e
0
e
1
τ(s)B(s)
B
= −e
1
τ(s)N(s)
Suy ra β
(s) = −e
0
e
1
{τ
α
(s)T
α
(s)+τ
α
(s)k
α
(s)N
α
(s)−τ
α
(s)k
α
(s)N
α
(s)}
⇔ β
(s) = −e
0
e
1
τ
α
(s)T
α
(s)
⇒ β
(s), β
(s) = 0, có nghĩa là β(s)không là đường cong ánh sáng.
Ký hiệu {T
β
, N
β
, B
β
} là trường mục tiêu của β. Khi đó T
β
=
β
(s)
|β
(s)|
⇒
T
β
= ±T
α
⇒ T
β
= ±T
α
, có nghĩa là N
β
và N
α
là 2 vectơ song song.Điều
này có nghĩa B
β
và B
α
cũng là 2 vectơ song song.Do đó, β nằm trong
mặt phẳng {T
β
, B
β
}, vì vậy β là đường cong trực đạc.
2.2.3 Định lý. (xem [4])
Cho α = α(s) là 1 đường cong có vận tốc đơn vị với mặt phẳng kiểu
không gian hoặc thời gian, độ cong k(s) > 0 và T, T = e
0
= ±1.Khi
đó α là đường cong trực đạc khi và chỉ khi thỏa mãn một trong những
mệnh đề sau :
(i) Hàm khoảng cách ρ = α thỏa mãn : ρ
2
= |e
0
s
2
+ c
1
s + c
2
|, ở đây
c
1
∈ R, c
2
∈ R
0
(ii) Thành phần tiếp xúc của vectơ vị trí của α được cho bởi α, T =
e
0
s + c, ở đây c ∈ R
(iii) Thành phần pháp tuyến α
N
của vectơ vectơ vị trí của đường cong
có độ dài hằng số và hàm khoảng cách ρ không là hằng số.
(iv) Độ xoắn τ (s) = 0 và thành phần trùng pháp tuyến của vectơ vị trí
của đường cong là hằng số, α, B là hằng số.
Chứng minh. Giả sử α = α(s) là 1 đường cong trực đạc có vận tốc đơn
vị . Khi đó vectơ vị trí α của đường cong thỏa mãn đẳng thức :
13
α(s) = λ(s)T (s) + µ(s)B(s) (2.6)
Ở đây α(s) và µ(s) là những hàm số khác nhau của tham số hóa giả độ
dài cung s.
Đạo hàm công thức ( 2.6 ) theo s ta có :
α
(s) = λ
(s)T (s) + T
(s)λ(s) + µ
(s)B(s) + B
(s)µ(s)
⇔ T (s) = λ
(s)T (s) + T
(s)λ(s) + µ
(s)B(s) + B
(s)µ(s) (2.7)
Áp dụng công thức Frenet :
T
= kN
N
= −e
0
e
1
kT + τB
B
= −e
1
e
2
τN
Ở đây e
1
= N, N = ±1, e
2
= B, B = ±1
Thế vào ( 2.7 ) ta có :
T (s) = λ
(s)T (s) + k(s)N(s)λ(s) + µ
(s)B(s) −e
1
e
2
τ(s)N(s)µ(s)
⇔ T (s) = λ
(s)T (s) + N(s)[k(s)λ(s) −e
1
e
2
τ(s)µ(s)] + µ
(s)B(s)
⇔
λ
(s) = 1
k(s)λ(s)e
1
− e
2
τ(s)µ(s) = 0
µ
(s) = 0
⇒
λ(s) = s + j, j ∈ R
µ(s) = l, l ∈ R
τ(s)µ(s) = k(s)λ(s) = 0
(2.8)
Từ ( 2.6), ta có :
α, α = λT + µB, λT + µB
= λT, λT + µB + µB, λT + µB
= λT, λT + λT, µB + µB, λT + µB, µB
= λ
2
T, T + µ
2
B, B
= e
0
λ
2
+ e
2
µ
2
⇒ ρ
2
= |α, α| = |e
0
λ
2
+ e
2
µ
2
|. (2.9)
Từ ( 2.8) và (2.9) ta có :
ρ
2
= |e
0
λ
2
+ e
2
µ
2
| = |e
0
(s + j)
2
+ e
2
l
2
| = |e
0
s
2
+ 2e
0
sj + e
0
j
2
+ e
2
l
2
|
Đặt c
1
= 2e
0
j, c
2
= e
0
j
2
+ e
2
l
2
, c
1
∈ R, c
2
∈ R
0
⇒ ρ
2
= |e
0
s
2
+ c
1
s + c
2
|
Từ ( 2.6 ) Ta có :
α, T = λT + µB, T = λT, T + µB, T = λT, T + µB, T =
e
0
λ = e
0
(s + j) = e
0
s + e
0
j
14
Đặt e
0
j = c
⇒ α, T = e
0
s + c
Mệnh đề ( ii ) được chứng minh
Tiếp theo từ hệ thức ( 2.6 ) ta suy ra thành phần pháp tuyến α
N
của
vectơ vị trí α được cho bởi α
N
= µB
Do đó :α
N
= |l| = 0
Do vậy, ta chứng minh được mệnh đề ( iii )
Cuối cùng từ ( 2.6 ) ta có :
α, B = λT + µB, B = λT, B + µB, B = µe
2
= hằng số.
Và vì τ(s) = 0 nên mệnh đề ( iv ) được chứng minh .
Ngược lại, giả sử rằng mệnh đề ( i ) hoặc ( ii ) đúng. Khi đó ta có
công thức : α(s), T (s) = s + c, c ∈ R
Đạo hàm công thức này theo s ta nhận được :
α
, T + α, T
= 1
⇔ T, T + α, T
= 1 ⇔ α, T
= 0 ⇔ α, kN = 0
Vì k(s) > 0 ⇒ α, N = 0
Suy ra α là đường cong trực đạc.
Tiếp theo giả sử mệnh đề ( iii ) đúng
Đặt α(s) = m(s)T(s) + α
N
, m(s) ∈ R
Khi đó ta có :
α
N
, α
N
= c = hằng số = α, α −
1
e
0
α, T
2
Lấy đạo hàm 2 vế công thức này theo s ta có :
0 = 2α, T −
2
e
0
α, T (α
, T + α, T
)
⇔ α, T =
1
e
0
α, T (T, T + α, kN
⇔ α, T =
1
e
0
α, T (e
0
+ α, kN
⇔ α, T = α, T +
k
e
0
α, T α, N
Vì ρ = hằng số ⇒ α, T = 0
Mặt khác k(s) > 0 nên suy ra α, N = 0
⇒ α là đường cong trực đạc
Cuối cùng giả sử ( iv ) đúng,tức α, B = hằng số
Lấy đạo hàm 2 vế theo s ta có :
15
0 = α
, B + α, B
= T, B + α, −e
1
e
2
τN = −e
1
e
2
τα, N
Vì τ(s) = 0 ⇒ α, N = 0
Suy ra α là đường cong trực đạc.
2.2.4 Định lý. (xem [4])
Cho α = α(s) là đường cong trực đạc có vận tốc đơn vị trong E
3
1
cùng
với mặt phẳng trực đạc kiểu không gian hoặc kiểu thời gian và với độ
cong k(s) > 0.Khi đó sai khác 1 đẳng cự của E
3
1
, α là đường cong trực
đạc khi và chỉ khi có :
τ(s)
k(s)
= c
1
s + c
2
, ở đây c
1
∈ R
0
, c
2
∈ R.
Chứng minh. Đầu tiên giả sử rằng α(s) là đường cong trực đạc cùng với
mặt phẳng trực đạc kiểu không gian hoặc kiểu thời gian và với độ cong
k(s) > 0 .
Theo như chứng minh ở định lí ( 2.2.3) ta có :
λ(s)τ(s) − e
1
e
2
µ(s)τ(s) = 0
λ(s) = s + j
µ(s) = l.
⇒
τ(s)
k(s)
=
λ(s)
e
1
e
2
µ(s)
=
s + j
e
1
e
2
l
.
ở đây j ∈ R, l ∈ R
0
Đặt c
1
=
1
e
1
e
2
l
; c
2
=
j
e
1
e
2
⇒
τ(s)
k(s)
= c
1
(s) + c
2
.
Ở đây c
1
∈ R
0
, c
2
∈ R
Ngược lại, giả sử
τ(s)
k(s)
= c
1
(s) + c
2
, ở đây c
1
∈ R
0
, c
2
∈ R
Khi đó chúng ta có thể chọn c
1
=
1
e
1
e
2
l
; c
2
=
j
e
1
e
2
Ở đây j ∈ R, l ∈ R
0
, e
1
= ±1, e
2
= ±1
⇒
τ(s)
k(s)
=
s + j
e
1
e
2
l
.
Áp dụng công thức Frenet :
T
= kN
N
= −e
0
e
1
kT + τB
B
= −e
1
e
2
τN
Chúng ta dễ dàng tìm thấy :
16
d
ds
[α(s) −(s + j)T (s) − lB(s)] = 0
⇒ α(s) −(s + j)T (s) − lB(s) = m
⇔ α(s) + m = (s + j)T (s) + lB(s), có nghĩa là sai khác một đẳng cự
của E
3
1
α là đường cong trực đạc.
2.2.5 Định lý. (xem [4])
Cho α = α(s) là đường cong trực đạc có vận tốc đơn vị trong E
3
1
. Khi
đó các mệnh đề sau được thỏa mãn :
(i) α là đường cong trực đạc với mặt phẳng trực đạc kiểu không gian
khi và chỉ khi, bằng một phép biến đổi tham số, α được cho bởi :
α(t) = y(t)
l
cost
, l ∈ R
+
0
, (2.10)
ở đây, y(t) là đường cong kiểu không gian có vận tốc đơn vị nằm trong
giả cầu S
2
1
(1)
(ii) α là đường cong trực đạc kiểu không gian (kiểu thời gian) với mặt
phẳng trực đạc kiểu thời gian và vectơ vị trí kiểu không gian (kiểu thời
gian), bằng một phép biến đổi tham số, α được cho bởi :
α(t) = y(t)
l
sinht
, l ∈ R
+
0
, (2.11)
ở đây, y(t) là đường cong kiểu thời gian (kiểu không gian) có vận tốc
đơn vị nằm trong giả cầu S
2
1
(1) (giả không gian hyperbolic H
2
0
(1)).
( S
2
1
(1) = {v ∈ E
3
1
: v, v = 1}
H
2
0
(1) = {w ∈ E
3
1
: w, w = −1}).
(iii) α là đường cong trực đạc kiểu không gian (kiểu thời gian) với mặt
phẳng trực đạc kiểu thời gian và vectơ vị trí kiểu thời gian (kiểu không
gian), bằng một phép biến đổi tham số, α được cho bởi :
α(t) = y(t)
l
cosht
, l ∈ R
+
0
, (2.12)
ở đây, y(t) là đường cong kiểu không gian (kiểu thời gian) có vận tốc
đơn vị nằm trong giả cầu S
2
1
(1) (giả không gian hyperbolic H
2
0
(1)).
Chứng minh. (i) Đầu tiên chúng ta giả sử rằng α(s) là đường cong trực
đạc có vận tốc đơn vị với mặt phẳng trực đạc kiểu không gian trong E
3
1
Vì vectơ vị trí nằm trong mặt phẳng trực đạc kiểu không gian nên ta có
17
α, α > 0, T, T = e
0
= 1 và B, B = e
2
= 1. Như trong chứng minh
của định lí (2.2.3) , suy ra ρ
2
= α
2
= (s + j)
2
+ l
2
, j ∈ R, l ∈ R
0
.
Chúng ta có thể chọn l ∈ R
+
0
. Vì vậy, chúng ta có thể áp dụng phép
tịnh tiến theo s sao cho ρ
2
= s
2
+ l
2
. Tiếp theo, chúng ta có thể xác
đường cong y nằm trong giả mặt cầu S
2
1
(1) bởi :
y(s) =
α(s)
ρ(s)
(2.13)
Do đó ta có :
α(s) = y(s)
√
s
2
+ l
2
(2.14)
Đạo hàm 2 vế công thức trên theo s ta nhận được
T (s) = y(s)
s
√
s
2
+ l
2
+ y
(s)
√
s
2
+ l
2
(2.15)
Suy ra T, T = y
s
√
s
2
+l
2
+ y
√
s
2
+ l
2
= y
s
√
s
2
+ l
2
+y
s
√
s
2
+ l
2
, y
s
√
s
2
+ l
2
+y
s
√
s
2
+ l
2
+y
s
√
s
2
+ l
2
, y
√
s
2
+ l
2
=
s
2
s
2
+ l
2
y, y + sy
, y + sy, y
+ (s
2
+ l
2
)y
, y
Vìy, y = 1 ⇒ y, y
= 0
⇒ 1 = T, T = y
, y
(s
2
+ l
2
) +
s
2
s
2
+ l
2
Do đó :
y
, y
=
l
2
(s
2
+ l
2
)
2
(2.16)
Có nghĩa là y là đường cong kiểu không gian. Từ công thức ( 2.16 ) ta
nhận được y
(s) =
l
s
2
+ l
2
Cho t =
s
o
y
(u)du là tham số giả độ dài cung của đường cong y. Khi
đó ta có :
t =
s
0
l
s
2
+ l
2
du ,
Và do đó s = l tan t, thay vào công thức ( 2.14) ta có :
18
α(s) = y(s)
√
l
2
tan
2
t + l
2
= y(s)
l
cos t
Ngược lại giả sử rằng α là đường cong được định nghĩa ở ( 2.10), ở
đây y(t) là đường cong kiểu không gian có vận tốc đơn vị nằm trong giả
cầu S
2
1
(1). Đạo hàm công thức ( 2.10 ) theo s, ta có :
α
(t) =
l
cos
2
t
(y(t) sin t + y
(t) cos t).
Theo giả thiết ta có y
, y
= 1, y, y = 1 ⇒ y, y
= 0.
Do đó, suy ra :
α, α
= y
l
cos t
,
l
cos
2
t
(y(t) sin t+y
(t) cos t) = y
l
cos t
,
l
cos
2
t
(y(t) sin t+
y
l
cos t
, y
(t) cos t) = l
2
sin t
cos
3
t
y, y
+ ly, y
= l
2
sin t
cos
3
t
Tương tự : α
, α
=
l
2
cos
4
t
⇒ α
(t) =
l
2
cos
2
t
Chúng ta đặt α(t) = m(t)α
(t) + α
N
, ở đây m(t) =∈ R và α
N
là một
thành phần pháp tuyến của vectơ vị trí α.Khi đó ta có m(t) =
α, α
α
, α
và đo đó :
α
N
, α
N
= α, α −
α, α
2
α
, α
Vìα, α =
l
2
cos
2
t
và α, α
= l
2
sin t
cos
3
t
, α
, α
=
l
2
cos
4
t
Suy ra α
N
, α
N
= l
2
= hằng số.
Do đó α
N
= hằng số và vì ρ =
l
cos t
= hằng số nên theo định lí
(2.2.3) α là đường cong trực đạc.
(ii) Giả sử rằng α là đường cong trực đạc kiểu không gian với mặt
phẳng trực đạc kiểu thời gian và vectơ vị trí kiểu không gian. Khi đó ta
có α, α > 0, T, T = e
0
= 1 và B
2
, B
2
= e
2
= −1. Theo như chứng
minh ở định lí ( 2.2.3), ta có ρ
2
= α, α = α, α = (s + j)
2
−l
2
, ở đây
j ∈ R, l ∈ R
0
.
Chúng ta có thể chọn l ∈ R
+
0
. Vì vậy, chúng ta có thể áp dụng phép
19
tịnh tiến theo s sao cho ρ
2
= s
2
− l
2
. Tiếp theo, chúng ta có thể xác
định đường cong y nằm trong giả mặt cầu S
2
1
(1) bởi :
y(s) =
α(s)
ρ(s)
(2.17)
suy ra
α(s) = y(s)
s
2
− l
2
(2.18)
và đạo hàm công thức này theo s có :
T (s) = y(s)
s
2
− l
2
+ y(s)
s
√
s
2
− l
2
(2.19)
Vì y, y = 1 ⇒ y, y
= 0
⇒ T, T = y
, y
(s
2
− l
2
) +
s
2
s
2
+ l
2
= 1
Suy ra
y
, y
= −
l
2
s
2
− l
2
< 0 (2.20)
Có nghĩa y là đường cong kiểu ánh sáng.
Từ ( 2.20 ) ta có :
y
(s) =
l
s
2
− l
2
, l ∈ R
+
0
, |s| > l
Cho t =
s
0
y
(u)du là tham số hóa giả độ dài cung của đường cong y.
Khi đó ta có :
t =
s
0
l
s
2
− l
2
du,
Và do đó t = −coth
−1
(
s
l
) ⇒ s = −l coth t, thay vào công thức ( 2.18),
ta thu được công thức ( 2.11 ).
Ngược lại, giả sử rằng α là đường cong được định nghĩa ở (2.11), ở
đây y(t) là đường cong kiểu ánh sáng có vận tốc đơn vị nằm trong giả
mặt cầu S
2
1
(1) . Đạo hàm công thức ( 2.11 ) theo t ta có :
α
(t) =
l
sinh
2
t
(y
(t) sinh t −y(t) cosh t). (2.21)
Vì y
, y
= −1, y, y = 1 nên y, y
= 0
⇒ α, α
= −
l
2
cosh t
sinh
3
t
, α
, α
=
l
2
sinh
4
t
20
Và do đó α
(t) =
l
sinh
2
t
. Đặt α(t) = m(t)α
(t)+α
N
, ở đây m(t) ∈ R
và α
N
là thành phần pháp tuyến của vectơ vị trí α. Khi đó ta có
m =
α
, α
α, α
và do đó :
α
N
, α
N
= α, α −
α, α
2
α
, α
. (2.22)
Vì α, α =
l
2
sinh
2
t
nên từ (2.21), (2.22) suy ra α
N
, α
N
= −l
2
= hằng
số .Vì α
N
= hằng số và vì ρ =
l
sinh t
= hằng số, do đó áp dụng định
lí (2.2.3) suy ra α là đường cong trực đạc.
Chứng minh tương tự trong trường hợp α là đường cong trực đạc kiểu
thời gian với mặt phẳng trực đạc kiểu thời gian và vectơ vị trí kiểu thời
gian.
(iii) Giả sử rằng α là đường cong trực đạc kiểu không gian với mặt
phẳng trực đạc kiểu thời gian và vectơ vị trí kiểu không gian. Khi đó
ta có α, α > 0, T, T = e
0
= 1 và B, B = e
1
= 1. Theo như chứng
minh ở định lí (2.2.3), ta có ρ
2
= α, α = α, α = (s + j)
2
+ l
2
, ở đây
j ∈ R, l ∈ R
0
.
Chúng ta có thể chọn l ∈ R
+
0
. Vì vậy, chúng ta có thể áp dụng phép
tịnh tiến theo s sao cho ρ
2
= s
2
+ l
2
. Tiếp theo, chúng ta có thể định
nghĩa đường cong y nằm trong giả mặt cầu S
2
1
(1) bởi :
y(s) =
α(s)
ρ(s)
(2.23)
α(s) = y(s)
√
s
2
+ l
2
(2.24)
và đạo hàm công thức này theo s có :
T (s) = y(s)
√
s
2
+ l
2
+ y(s)
s
√
s
2
+ l
2
(2.25)
Vì y, y = 1 ⇒ y, y
= 0
⇒ T, T = y
, y
(s
2
+ l
2
) +
s
2
s
2
+ l
2
= 1
Suy ra
y
, y
=
l
2
s
2
+ l
2
(2.26)
21
