Một số vấn đề của lý thuyết xác suất trên không gian Banach

Mục lục
Lời mở đầu i
1 Kiến thức chuẩn bị 1
1.1 Biến ngẫu nhiên với giá trị trong không gian Banach . . 1
1.2 Biến Rademacher, nguyên lý Co . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Các bất đẳng thức đối với biến ngẫu nhiên thực và Mar-
tingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Bất đẳng thức đẳng chu của tích độ đo . . . . . . . . . 12
2 Tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập 13
2.1 Đối xứng hoá và một số bất đẳng thức của tổng các biến
ngẫu nhiên độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Tính khả tích của tổng đại lượng ngẫu nhiên độc lập . . 23
2.3 Sự tập trung và dáng điệu đuôi . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Luật mạnh số lớn 56
3.1 Phát biểu chung cho định lý giới hạn . . . . . . . . . . . 56
3.2 Các luật số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Kết luận 78
Tài liệu tham khảo 80
i
Lời nói đầu
Lý thuyết xác suất ra đời vào thế kỷ 17 bởi các nhà toán học Pháp.
Tuy nhiên, phải đến nửa đầu thế kỷ 20 mới thực sự có một cơ sở vững
chắc. Kể từ đó môn khoa học này không ngừng phát triển. Ngày nay nó
đã trở thành một ngành toán học lớn chiếm vị trí quan trọng, không chỉ
có nhiều ứng dụng mà còn là một ngành toán có tầm lý thuyết ở trình
độ cao.
Lý thuyết xác suất trong không gian Banach là một nhánh mới của
toán học, nhằm mở rộng để nghiên cứu vector ngẫu nhiên vô hạn chiều.
Đó là một sự khái quát tự nhiên của quá trình ngẫu nhiên, đã được
nhiều nhà toán học nghiên cứu như A. Beck, B. Maurey, G.Pisier, J-P.
Kahane, J. Hoffmanm-Jorgensen, với nhiều kết quả quan trọng được tìm

thấy . Do đó, tôi đã chon đề tài "Một số vấn đề của lý thuyết xác
suất trên không gian Banach" để làm đề tài luận văn tốt nghiệp
thạc sĩ của mình. Tìm hiểu vấn đề này, tôi mong muốn sẽ nắm bắt được
những kết quả cơ bản của thế hệ trước đã đạt được, và cố gắng rút ra
những kết luận, nhận xét của riêng mình. Từ đó trang bị cho mình vốn
kiến thức và phương pháp nghiên cứu để có thể đi sâu vào lĩnh vực đó.
Với khả năng và thời gian có hạn, nên tôi chỉ dừng lại ở việc nghiên
cứu tổng các biến ngẫu nhiên độc lập cùng luật số lớn trong không gian
Banach. Với lý do đó, bản luận văn được chia làm ba chương.
Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị của luận văn. Trong chương
này, tác giả nêu những khái niệm cơ bản về biến ngẫu nhiên trong không
gian Banach, chuổi biến Rademacher và bất đẳng thức đẳng chu. Đây là
những kết quả quan trọng nhất để nghiên cứu tổng các biến ngẫu nhiên
trong không gian Banach ở các chương sau.
Chương 2 Trình bày về tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập. Đây
là một trong hai chương chính của luận văn. Trong chương này, được
chia thành ba phần: Phần đầu xem xét phương pháp đối xứng hoá trong
ii
nghiên cứu các tính chất của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập, với các
bất đẳng thức quan trọng như bất đẳng thức co. Phần hai nghiên cứu
tính khả tích của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập với các định lý quan
trọng là định lý 2.11 và 2.11. Phần cuối, quan trọng nhất với việc sử
dụng bất đẳng thức đẳng chu để đánh giá biến cố đuôi, ở định lí 2.29.
Chương 3 Trình bày về luât mạnh số lớn của tổng các biến ngẫu
nhiên trong không gian Banach. Nghiên cứu sự hội tụ hầu chắc chắn của
tổng các biến ngẫu nhiên độc lập. Chương này được chia làm hai phần:
Phần đầu nêu phát biểu chung của định lý giới hạn với kết quả quan
trọng nhất là định lý 3.5; phần hai là áp dụng phát biểu chung đưa ra
các luật số lớn cụ thể.
Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người

hướng dẫn khoa học của mình là GS. TSKH Đặng Hùng Thắng. Người
đã đưa ra đề tài và hướng dẫn tận tình trong suốt quá trình nghiên cứu
của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong
khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học
Quốc gia Hà Nội, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về kiến thức, tài liệu
và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, năm 2009
Học viên
Tạ Công Sơn
iii
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Phần này, ta sẽ đưa ra một số khái niệm và kết quả cần dùng trong phần
tiếp theo như: Các khái niệm, tính chất cơ bản liên quan tới biến ngẫu
nhiên với giá trị trong không gian Banach; bất đẳng thức đẳng chu; bất
đẳng thức co; và dãy biến Rademacher với các tính chất của nó.
Với mục tiêu chính của luân văn là nghiên cứu về tổng các biến ngẫu
nhiên trong không gian Banach. Vì vậy, chương này chỉ chứng minh hai
bất đẳng thức về dãy tổng riêng là bất đẳng thức Levy và bất đẳng thức
Ottavani-Kolmogorov.
1.1 Biến ngẫu nhiên với giá trị trong không
gian Banach
Ở đây, trình bày một số khái niệm và tính chất liên quan tới biến ngẫu
nhiên nhận giá trị trong không gian Banach như: Khái niệm về biến
ngẫu nhiên với giá trị trong không gian Banach, các sự hội tụ trong của
biến ngẫu nhiên trong không gian Banach, tính khả tích.
Ký hiệu B là không gian Banach trên R với chuẩn ., B

là không
gian liên hợp của B.

Giả thiết không gian xác suất (Ω,A, P) là đầy đủ, và không gian B
thoả mãn điều kiện: tồn tại tập đếm được D là tập con của hình cầu
1
đơn vị trong không gian liên hợp B

sao cho :
x = sup
f∈D
|f(x)| (với x ∈ B).
Một biến ngẫu nhiên hoặc véc tơ ngẫu nhiên với giá trị trong không gian
Banach B là một ánh xạ đo được X từ không gian xác suất (Ω,A, P)
vào B, với B được trang bị trên đó một σ đại số sinh bởi các tập mở
của B.
Biến ngẫu nhiên X với giá trị trong B được gọi là Radon, nếu mỗi
ε > 0, tồn tại tập compac K(ε) trong B sao cho
P{X ∈ K} ≥ 1 − ε.
Nói cách khác, độ đo ảnh của P qua X là một độ đo Radon trên (B,B).
Hay tương đương với X nhận hầu hết các giá trị trong một không gian
tuyến tính đóng, tách được. Hơn nữa, điều này lại tương đương với tính
chất: X là giới hạn hầu chắc chắn của dãy hàm đơn giản:

i
x
i
I
A
i
với x
i
∈ B, A

i
∈ A.
Đối với biến ngẫu nhiên X, khi đó độ đo xác suất ảnh trên B µ = µ
X
của P qua X được gọi là phân phối xác suất của X.
Khi đó phân phối của biến ngẫu nhiên Radon là hoàn toàn được xác
định bởi hình chiếu của nó; chính xác hơn, nếu X,Y là các biến ngẫu
nhiên Radon sao cho mọi f ∈ B

: f(X) và f(Y ) (như là biến ngẫu nhiên
thực) có cùng phân phối thì µ
X
= µ
Y
.
Kết hợp với định lý trong trường hợp thực, thì ta có : các phiếm hàm
đặc trưng trên B

:
E exp{if(X)} =

B
exp{if(x)}dµ(x) f ∈ B

xác định hoàn toàn phân phối của X.
Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối thoả mãn µ
X
= µ
(−X)
thì ta

nói biến ngẫu nhiên X là đối xứng.
Ta nói, µ
n
hội tụ yếu tới µ và ký hiệu µ
n
⇒ µ nếu và chỉ nếu
lim
n→∞

ϕdµ
n
=

ϕdµ
2
với mọi ϕ liên tục và bị chặn trên B.
Không gian tất cả các độ đo xác suất Radon trên (B, P(B)) cùng
với tô pô yếu xác định từ sự hôi tụ yếu ở trên là không gian metric đủ.
Vì vậy để kiểm tra dãy µ
n
hội tụ yếu ta cần chỉ ra (µ
n
) compac yếu đồng
thời tất cả các giới hạn có thể là như nhau.
Đối với điều kiện đầu, một tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra là định
lý Prokhonov:
Tập (µ
i
)
i∈I

trong P(B) là compac tương đối với tô pô yếu khi và chỉ khi
mọi ε > 0, tồn tại tập compac K trong B để
µ
i
(K) ≥ 1 − ε với mọi i ∈ I.
Dãy (X
n
) các biến ngẫu nhiên Radon với giá trị trong B gọi là hội
tụ đến X nếu dãy phân phối µ
X
n
⇒ µ
X
. Để kiểm tra (X
n
) hội tụ yếu
đến X ta cần kiển tra f(X
n
) hôi tụ yếu tới f(X) với mọi f ∈ B

và dãy
(X
n
) là chặt theo nghĩa:
Mọi ε > 0, tồn tại tập compac K trong B với
P(X
n
 > ε) ≥ 1 − ε
với mọi n hoặc n đủ lớn.
Dãy (X

n
) gọi là hội tụ theo xác suất tới X nếu với mọi ε > 0
lim
n→∞
P{X
n
− X > ε} = 0.
Dãy được gọi là bị chặn theo xác suất ( hay bi chặn ngẫu nhiên) nếu với
mỗi ε > 0 tồn tại A > 0 sao cho
sup P{X
n
 > A} < ε.
Ta có, nếu (X
n
) hội tụ theo xác suất thì nó hội tụ yếu. Điều ngược lại
đúng nếu phân phối giới han tập trung tại một điểm. Do đó, muốn kiểm
tra (X
n
) hội tụ theo xác suất về 0 thì chỉ cần kiểm tra (X
n
) là chặt và
tất cả các giới hạn có thể bằng 0.
Nếu 0 < p ≤ ∞, kí hiệu
L
p
(B) = L
p
(Ω,A, P, B)
là không gian tất cả các biến ngẫu nhiên X (trên (Ω,A, P)) nhận giá trị
trong B, sao choX

p
khả tích
EX
p
=

X
p
dP < ∞, p < ∞.
3
và
X
∞
= esssupX < ∞, p = ∞.
Khi đó L
p
(B) cùng với X
p
= (EX
p
)
1/p
là một không gian Banach
với 1 ≤ p ≤ ∞ (và là không gian vector metric với 0 < p < 1 ).
Nếu (X
n
) hội tụ tới X trong L
p
(B), thì ta nói (X
n

) hội tụ trung bình
tới X. Và khi (X
n
) hội tụ trung bình tới X thì nó cũng hội tụ theo xác
suất tới X.
Dãy (X
n
) hội tụ hầu chắc chắn tới X nếu
P{ lim
n→∞
X
n
= X} = 1.
Dãy (X
n
) là bị chặn hầu chắc chắn nếu
P{sup
n
X
n
< ∞} = 1.
Khác với sự hội tụ theo xác suất, hội tụ hầu chắc chắn không metric hoá
được, và rõ ràng hội tụ hầu chắc chắn kéo theo hội tụ theo xác suất.
Ở phần tiếp theo, ta nêu một số định nghĩa và tính chất liên quan
đến tính khả tích.
Một biến ngẫu nhiên Radon X với giá trị trong B gọi là khả tích
mạnh nếu X khả tích (tức thuộc L
1
(B)).
Bây giờ, ta định nghĩa một loại khả tích khác đó là khả tích yếu (khả

tích Pettis):
Giả sử, biến ngẫu nhiên Radon X thoã mãn: với mỗi f ∈ B

, biến
ngẫu nhiên thực f(X) khả tích. Nếu ta xét toán tử
T : B

−→ L
1
(Ω,A, P)
định nghĩa bởi T (f) = f(X) thì T là toán tử bị chặn, vì vậy xác định
một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên B

, nó là một phần tử trong
B

. Nếu phần tử này thực sự thuộc B thì ta ký hiệu phần tử đó là EX
và khi đó ta nói X là khả tích yếu (hay khả tích Pettis). Nói cách khác,
nếu tồn tại a ∈ B sao cho với mọi f ∈ B

, ta có Ef(X) = f(a) thì X là
khả tích yếu, và viết EX = a.
Nếu biến ngẫu nhiên Radon X khả tích mạnh thì khả tích yếu. Đồng
thời ta có
EX ≤ EX
4
Ở đây ta cũng nhắc lại một tính chất quan trọng được thiết lập từ
bất đẳng thức Jensen và tính độc lập. Nếu X là biến ngẫu nhiên Radon
với giá tri trong B mà EX = 0 ( tức Ef(X) = 0 với mọi f ∈ D) ta nói
X có kỳ vọng không hay X là quy tâm.

Với F là một hàm lồi trong R
+
, X, Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập
lấy giá trị trong B sao cho EF (X) < ∞ và nếu Y có kì vọng 0.
Ta có:
EF (X + Y ) ≥ EF (X). (1.1)
Tiếp theo ta sẽ chứng minh hai bất đẳng thức quan trọng của dãy
tổng riêng của dãy biến ngẫu nhiên độc lập (có thể tham khảo các chứng
minh này trong [1])
Định lý 1.1. (Bất đẳng thức Levy) Cho(X
i
) là biến ngẫu nhiên đối xứng
nhận giá trị trong B. Với mọi k, đặt S
k
=
k

i=1
X
i
. Thì với mọi số nguyên
N và t > 0 ta có:
P{max
k≤N
S
k
 > t} ≤ 2P{S
N
 > t}
và

P{max
i≤N
X
i
 > t} ≤ 2P{S
N
 > t}.
Nếu (S
k
) hội tụ theo xác suất tới S, thì ta có bất đẳng thức mở rộng sau
P{max
k
S
k
 > t} ≤ 2P{S > t}
và tương tự, khi thay S
i
bởi X
i
.
Hơn nữa, nếu tính khả tích đươc đảm bảo thì với mỗi p: 0 < p < ∞
E max
k≤N
S
k

p
≤ 2ES
N


p
và tương tự, khi thay S
k
bởi X
k
.
Chứng minh. Ta chỉ chứng minh khẳng định đầu, các khẳng định khác
chứng minh tương tự.
Đặt
τ = inf{k ≤ N : S
k
 > t}
5
Khi đó
N

k=1
{τ = k} = {max
k≤N
S
k
 > t}.
Vậy
P{S
N
 > t} =
N

k=1
P{S

n
 > t, τ = k}. (∗)
Lại do, với mọi k thì (−X
1
, ...,−X
k
, X
k+1
, ..., X
N
) cùng phân phối với
(X
1
, ..., X
N
) và {τ = k} chỉ phụ thuộc vào X
1
, ..., X
k
nên ta cũng có:
P{S
N
 > t} =
N

k=1
P{S
k
− R
k

 > t, τ = k} (∗∗)
ở đây R
k
= S
N
− S
k
. Cộng vế với vế (*) và (**) và dùng bất đẳng thức
tam giác, ta có:
2P{S
N
 > t} =
N

k=1
P{τ = k} = P{max
k≥N
S
k
 > t}.
Được điều phải chứng minh.
Bất đẳng thức tiếp theo được đề cập tới là bất đẳng thức Ottavani-
Kolmogorov. Chứng minh của nó được suy ra theo kiểu chứng minh của
bất đẳng thức Levy.
Định lý 1.2. Cho {X
i
}
i≤N
là dãy biến ngẫu nhiên Borel độc lập với các
giá trị trong không gian Banach tách được B. Xét S

k
=
k

i=1
X
i
(k ≤ N)
thì với mọi s, t > 0
P{max
k≤N
S
k
 > s + t} ≤
P{S
N
 > t}
1 − max
k≤N
P(S
N
− S
k
 > s)
Chứng minh. Xét
τ =






inf{k ≤ N : S
k
 > s + t} nếu tồn tại k như thế
+∞ nếu không tồn tại k như vậy
6
Khi đó {τ = k} chỉ phụ thuộc vào X
1
, X
2
, . . . , X
k
và
N

k=1
{τ = k} = {max
k≤N
S
k
 > s + t}
nên
N

k=1
P{τ = k} = P{max
k≤N
S
k
 > s + t}.

Ta thấy, khi
S
k
 > s + t ⇒ S
N
 ≥ S
k
 − S
N
− S
k
 > t.
Vậy nên, khi τ = k và S
N
− S
k
 ≤ s thì S
N
 > t.
Cùng với tính độc lập của {τ = k} và S
N
− S
k
nên:
P{S
N
 > t} = P({S
N
 > t}


N

k=1
{τ = k})
=
N

k=1
P{τ = k,S
N
 > t} ≥
N

k=1
P{τ = k,S
N
− S
k
 > s}
=
N

k=1
P{S
N
− S
k
 > s}P{τ = k} ≥ inf P{S
N
−S

k
 ≤ s}
N

k=1
P{τ = k}
= (1 − max P{S
N
− S
k
 > s})P{maxS
N
 > s + t}
⇒ đpcm
1.2 Biến Rademacher, nguyên lý Co
Việc nghiên cứu trực tiếp chuỗi ngẫu nhiên trong không gian Banach là
khó khăn. Vì vậy, như một bước trung gian ta sẽ nghiên cứu các kết quả
cho trường hợp chuỗi đặc biệt dạng

i
x
i
ε
i
, với ε
i
là các biến ngẫu nhiên
thực nào đó. Như là một phép nhúng biến ngẫu nhiên thực vào không
gian các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach. Dưới
đây, ta xem xét các tính chất của chuổi dạng trên.

7
Ta gọi dãy (ε
i
) các biến ngẫu nhiên Bernulli độc lập nhận giá trị
±1với xác suất bằng nhau và bằng 1/2 là dãy Rademacher, và chuỗi
dạng

ε
i
α
i
(với α
i
∈ B) là chuỗi Rademacher.
Cho (X
i
) là một dãy các biến ngẫu nhiên trong B, gọi (ε
i
) là dãy
Rademacher độc lâp của (X
i
), khi đó: (X
i
) là đối xứng nếu và chỉ nếu
(X
i
) cùng phân phối với (ε
i
X
i

).
Ở đây, ta nêu một số tính chất (chứng minh được trình bày ở [5] và
[7]) của chuỗi Rademacher.
Định lý 1.3. Với 0 < p < ∞ khi đó tồn tại các hằng số dương A
p
và
B
p
phụ thuộc vào p sao cho với mọi dãy số thực hữu hạn (α
i
) Ta có
A
p
(

α
2
i
)
1/2
≤ 

ε
i
α
i

p
≤ B
p

(

α
2
i
)
1/2
.
Đặc biệt, p = 1 thì
(

α
2
i
)
1/2
≤
√
2

ε
i
α
i

1
.
Định lý 1.4. (Bất đẳng thức Co) Cho F : R
+
→ R

+
là lồi, không giảm.
Mỗi dãy hữu hạn (x
i
) trong không gian Banach B và mỗi dãy số thực
(α
i
) sao cho với mọi i, α
i
 ≤ 1 với mọi i. Ta có:
EF (

i
α
i
ε
i
x
i
) ≤ EF (

i
ε
i
x
i
) (1.2)
P(

i

α
i
ε
i
x
i
 > t) ≤ 2P(

i
ε
i
x
i
 > t). (1.3)
Cho ánh xạ ϕ : R → R là ánh xạ co khi |ϕ(s) − ϕ(t)| ≤ |s − t| với
mọi s, t ∈ R. Nếu h là một ánh trên tập T, chúng ta đặt:
h(t)
T
= h
T
= sup
t∈T
h(t).
Ta có định lý sau:
Định lý 1.5. Cho hàm số F : R
+
→ R
+
là lồi và tăng. Hơn nữa
ϕ

i
: R → R, i ≤ N
8
là ánh xạ co, sao cho ϕ
i
(0) = 0. Thì với mọi tập T trong R
N
EF (
1
2

N

i=1
ε
i
ϕ
i
(t
i
)
T
) ≤ EF (
N

i=1
ε
i
t
i


T
).
Nếu (x
i
)
i≤N
là các điểm trong không gian Banach, thì
E( sup
f≤1
|
N

i=1
ε
i
f
2
(x
i
)|) ≤ 4E






N

i=1

ε
i
x
i
x
i






. (1.4)
Gọi X là một chuỗi Rademacher trong B ta có một bất đẳng thức
đuôi sau:
P{X ≥ M + t} ≤ 2exp(−t/8σ
2
). (1.5)
Ở đây M = M(X) là ký hiệu median của X , σ = sup
f≤1
(Ef
2
(X))
1/2
.
Ta cũng có đánh giá:
M ≤ 2EX và σ
2
≤ EX
2

.
(Đánh giá đầu tiên là từ bất đẳng thức Markov
P{X ≥ 2EX} ≤
EX
2EX
=
1
2
.
đánh giá thứ hai là hiển nhiên).
1.3 Các bất đẳng thức đối với biến ngẫu
nhiên thực và Martingale
Mục tiêu của ta là nghiên cứu các tính chất của tổng các biến ngẫu nhiên
với giá trị trong không gian Banach. Tuy nhiên, hầu hết đều dẫn đến
việc đánh giá các biến cố đuôi dạng:
{|S
N
 − ES
N
| > t}.
Mặt khác, nếu đặt
d
i
= E(S
N
|A
i
)
9
thì d

i
là hiệu martingale thực, và
N

i=1
d
i
= S
N
 − ES
N
.
Vì vậy, vấn đề lại chính là việc nghiên cứu biến cố đuôi của các martingale
thực.
Phần này, ta sẽ xem xét những đánh giá đuôi của các martingale
thực (chứng minh có trong [5]) để phục vụ cho chương sau, cụ thể:
Cho L
1
= L
1
(Ω,A, P) là không gian tất cả các hàm đo được f trong
Ω sao cho E|f| < ∞ giả sử ta xét họ các σ đại số:
{∅, Ω} = A
o
⊂ A
1
⊂ ... ⊂ A
N
= A
và E(f|A

i
) là kì vong có điều kiện đối với A
i
cho f trong L
1
đặt
d
i
= E(f|A
i
) − E(f|A
i−1
)
gọi là hiệu martingale (vì E(d
i
|A
i−1
) = 0) ta có:
f − Ef =
N

i=1
d
i
.
Khi đó, ta có một số bất đẳng thức về ước lượng đuôi cho martingale
thực sau:
Định lý 1.6. Cho f ∈ L
1
, f − Ef =

N

i=1
d
i
là tổng của hiệu martingale
tương ứng đối với (A
i
)
i≤N
. Giả sử d
i

∞
< ∞ đăt a = (
N

i=1
d
i

2
∞
)
1
2
thì
với mọi t > 0:
P{|f − Ef| > t} ≤ 2exp{−t
2

/2a
2
}.
Định lý 1.7. Cho f trong L
1
và f − Ef =
N

i=1
d
i
là tổng của hiệu
martingale tương ứng đối với (A
i
)
i≤N
, đặt a = max
i≤N
d
i

∞
và
b ≥ (
N

i=1
E(d
2
i

|A
i−1
)
∞
)
1/2
10
thì ∀t > 0:
P{|f − Ef| > t} ≤ 2exp{
−t
2
2b
2
(1 − exp(at/b
2
))}.
Định lý 1.8. Cho 1 < p < 2 và q =
p
p − 1
, lấy f sao cho
f − Ef =
N

i=1
d
i
và đặt
a = max
i≤N
i

1/p
d
i

∞
.
Thì ∀t > 0
P{|f − Ef| > t} ≤ 2exp{−t
2
/C
q
a
2
}
C
p
> 0 chỉ phụ thuộc vào q.
Định lý 1.9. Cho (X
i
) là dãy hữu hạn của các biến ngẫu nhiên thực độc
lập có kì vọng không, sao cho X
i

∞
≤ a ∀i. Thì mọi ν > 0 , tồn tại số
thực dương K(ν)(đủ lớn), và ε(ν)sao cho mọi t thoả mãn: t ≥ K(ν)b,
ta ≤ ε(ν)b
2
với b = (


i
EX
2
i
)
1/2
ta có:
P{

i
X
i
> t} ≥ exp{−(1 + ν)t
2
/2b
2
}.
Định lý 1.10. Cho (Z
i
)i ≤ N là biến ngẫu nhiên thực dương thì ∀t > 0
P{max
k≤N
Z
i
> t} ≥
N

i=1
(Z
i

> t)/(1 +
N

i=1
(Z
i
> t)).
Đặc biệt, với P{max
k≤N
Z
i
> t} ≤ 1/2 thì:
N

i=1
(Z
i
> t) ≤ 2P{max
i≤N
Z
i
> t}.
11
1.4 Bất đẳng thức đẳng chu của tích độ đo
Phần cuối của chương này, ta đề cập đến một bất đẳng thức rất quan
trọng để nghiên cứu tổng đại lượng ngẫu nhiên. Đó là bất đẳng thức
đẳng chu cho tích độ đo.
Cho một không gian xác suất (E, Σ, µ) và một số nguyên N > 1.
Ký hiệu P là tích độ đo µ
⊗

N trên E
N
một điểm x trong E
N
có hệ số
x = (x
1
, ..., x
N
) với x
i
∈ E, A là một tập con của E
N
. Chúng ta đặt:
H(A, q, k) =
{x ∈ E
N
: ∃x
1
, ..., x
q
∈ A sao cho card{i ≤ N : x
i
/∈ {x
1
i
, ..., x
q
i
}} ≤ k}

Khi đó, ta có bất đẳng thức đẳng chu để ước lượng cỡ của H(A, q, k) với
độ đo P (Chứng minh có trong [6]).
Định lý 1.11. Với A là tập đo được với độ đo tích trong không gian E
N
.
Khi đó, có hằng số K để:
P
∗
(H(A, q, k)) ≥ 1 − [K(
ln(
1
P(A)
)
k
+
1
q
)]
k
.
với P
∗
là độ đo xác suất ngoài.
Đặc biệt, với P(A) ≥
1
2
và k ≥ q ta có:
P
∗
(H(A, q, k)) ≥ 1 − (

K
o
q
)
k
. (1.6)
Khi đó, với dãy biến ngẫu nhiên (X
n
)
n≤N
độc lập nhận giá trị trong
không gian đo được E, thì tồn tại không gian xác suất tích Ω
N
sao cho
với ω = (ω
n
)
n≤N
trong Ω
N
, X
n
(ω) chỉ phụ thuộc vào ω
n
. Vậy (1.6) suy
ra:
Khi P(X ∈ A) ≥
1
2
và k ≥ q ta có:

P
∗
(X ∈ H(A, q, k)) ≥ 1 − (
K
o
q
)
k
. (1.7)
Ở chương sau, ta sẽ áp dụng nhận xét quan trọng này để đánh giá biến
cố đuôi của tổng biến ngẫu nhiên độc lập.
12
Chương 2
Tổng của các biến ngẫu
nhiên độc lập
Chương này, ta tìm cách mở rộng các kết quả của tổng các biến ngẫu
nhiên thực, cho trường hợp biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không
gian Banach. Chẳng hạn về sự hội tụ, về tính khả tích, về các đánh giá
của biến cố đuôi.
Tuy nhiên, chúng ta cần nhấn mạnh rằng trong không gian Banach
tổng quát, thiếu hẳn giả thiết trực giao E(

X
i
)
2
=

EX
2

i
; với (X
i
) là
dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có kì vọng không. Vì vậy việc mở rộng
này sẽ là công việc tương đối khó khăn. Do đó ta cần có những phương
pháp khác để nghiên cứu. Phương pháp đầu tiên được nói đến là phương
pháp đối xứng hoá, được trình bày trong phần một; phương pháp thứ
hai là phương pháp dùng dãy Rademacher cũng được trình bày ở phần
một và phần ba; phương pháp thứ ba là phương pháp nghiên cứu thông
qua dãy martigale thực ở phần ba; và cuối cùng và cũng là quan trọng
nhất là sử dụng bất đẳng thức đẳng chu, được chỉ rõ ở phần ba.
Với ý tưởng như trên, chương này được chia làm ba phần: Phần một
nghiên cứu phương pháp đối xứng hoá, và áp dụng nó để chứng minh
định lí Lévy- Itô-Nisio, bất đẳng thức co. Phần hai nghiên cứu tính khả
tích của tổng các đại lượng ngẫu nhiên, bất đầu bằng bất đẳng thức
Hoffmana-Jorgensen, sau đó là bất đẳng thức momen của tổng các biến
ngẫu nhiên độc lập, và nhưng kết luận về tính khả tích. Phần ba với áp
13
dụng của bất đẳng thức đẳng chu, để đánh giá ước lượng đuôi của tổng
các biến ngẫu nhiên độc lập và định lí mở rộng về tính khả tích.
Các kết quả ở chương này dùng để nghiên cứu chương sau về các
định lí giới hạn.
2.1 Đối xứng hoá và một số bất đẳng thức
của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập
Ý tưởng cơ bản trong nghiên cứu tổng các biến ngẫu nhiên độc lập là
khái niệm đối xứng hoá. Nếu X là biến ngẫu nhiên bất kỳ xác định trên
(Ω,A, P); ta có thể xây dựng một biến ngẫu nhiên đối xứng theo nghĩa

X = X − X


, xác định trên (Ω × Ω

,A × A

, P × P

) và được gọi là đối
xứng hoá của X. Với X’ là bản sao độc lập với X (xây dựng trên không
gian xác suất khác (Ω

,A

, P

)). Phân phối của X và X-X’ là thực sự liên
quan; chẳng hạn, ta có một số bất đẳng thức sau:
Định lý 2.1. Với mọi t; a > 0; ta có
P{X ≤ a}P{X > t + a} ≤ P{

X > t}.
Chứng minh. Từ X − X

 ≥ X− X

 suy ra
{X

 ≤ a} ∩ {X > t + a} ⊂ {X − X


 > t}
cùng với tính độc lập, và cùng phân phối của X và X

ta có đpcm.
Đặc biệt, khi ta chon a sao cho P(X ≤ a) ≥
1
2
thì ta có
P{X > t + a} ≤ 2P{

X > t}.
Điều này cũng suy ra một kết luận quan trọng về mối liên hệ của
tính khả tích giữa X và

X rằng:
Hệ quả 2.2.
EX
p
< ∞ ⇔ E

X
p
< ∞ (2.1)
với mọi p > 0.
14
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức:
EX − X


p

≤ E | X + X

 |
p
≤ C
p
(EX
p
+ EX


p
)
ta có ngay
EX
p
< ∞ ⇒ EX − X


p
< ∞.
Ngược lại, từ EX − X


p
< ∞ ⇔
+∞

0
px

p−1
P(X − X

 ≥ x)dx < ∞
⇒
+∞

0
x
p−1
P(X ≥ x)dx < ∞
(theo bất đẳng thức trên). Vậy ta được điều phải chứng minh.
Nhận xét 2.3. Ta có thể tổng quát khẳng định trên (với việc chứng minh
tương tự) cho hàm f là hàm khả vi, lồi, tăng thì
Ef(X) < ∞ ⇔ Ef(

X) < ∞.
Phương trình (2.1) là chưa thực sự tốt cho nhiều áp dụng khác, vì
vậy nó được cải tiến như sau:
Định lý 2.4. Với mọi a, t > 0
inf
f∈D
P{| f(X) |≤ a}P{X > t + a} ≤ P{X − X

 > t}. (2.2)
Chứng minh. Thật vậy, lấy ω sao cho X(ω) > t + a, khi đó tồn tại
h ∈ D để cho: |h(X(ω))| > t + a (do trong B thì x = sup
f∈D
f(x)).
Từ đó suy ra với |h(X


(ω

))| ≤ a thì
X(ω) − X

(ω

) ≥ |h(X(ω) − X

(ω

))|
= |h(X(ω)) − h(X

(ω

))| > t + a − a = t.
Vì vậy mà
{ω

: |h(X

(ω

))| ≤ a} ⊂ {ω

: X(ω) − X

(ω


) > t}.
Do đó; với X(ω) > t + a
inf
f∈D
P

{|f(X

)| ≤ a} ≤ P{X − X

 > t}.
15
Suy ra
I
{X(ω)>t+a}
inf
f∈D
P
ω

{|f(X

)| ≤ a} ≤ P
ω

{X(ω) − X

 > t}.
Lấy tích phân theo ω, áp dụng định lý Fubini và vì X, X


cùng phân
phối nên
inf
f∈D
P{|f(X)| ≤ a}P{X > t + a}
= inf
f∈D
P

{|f(X

)| ≤ a}P{X > t + a} ≤ P{X − X

 > t}.
Nhận xét 2.5. Tương tự, ta chứng minh được rằng t, a > 0 thì
P{X > t + a} ≤ P{X − X

 > t} + sup
f∈D
P{|f(X)| > a}.
Chứng minh. Thật vậy, với ω sao cho X(ω) > t + a thì tồn tại h ∈ D
để h(X(ω)) > t + a, từ đó suy ra với ω

mà X(ω)− X

(ω

) < t thì với
mọi f ∈ D ta có f(X(ω) − X


(ω

)) < t. Vậy
|h(X

(ω

))| ≥ h(X(ω)) − h(X(ω) − X

(ω

)) > a.
Nên
{X(ω) − X

 > t} ∪ {|f(X

)| > a} = Ω

.
Vì thế mà
I
{X(ω)>t+a}
≤ P
ω

{X(ω) − X

 > t} + sup

f∈D
P
ω

{|f(X

)| > a}.
Sau đó lấy tích phân hai vế theo ω ta được điều phải chứng minh.
Thực tế, dãy đối xứng (

X
i
) xây dựng từ (X
i
) là rất tiên lợi cho việc
nghiên cứu (X
i
). Để làm rõ điều đó, ta bắt đầu bằng định lí Levy-Ito-
Nisio cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập không nhất thiết đối xứng (có thể
chứng minh trực tiếp định lí này bằng cách áp dụng tiêu chuẩn ε − K
của Prokhorov và bất đẳng thức Ottavani-Kolmogorov, được trình bày
trong [2] và [7]).
16
Định lý 2.6. Cho {X
i
} là dãy biến ngẫu nhiên Borel độc lập với các giá
trị trong không gian Banach tách được B. Xét S
n
=
n


i=1
X
i
(n ≥ 1). Các
điều sau là tương đương
i) (S
n
) hội tụ h.c.c.
ii) (S
n
) hội tụ theo xác suất.
iii) (S
n
) hội tụ yếu.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh cho trường hợp đối xứng:
Ta thấy (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) là hiển nhiên.
Ta sẽ chứng minh (iii) ⇒ (ii). Để chứng minh điều này ta chứng minh
X
i
P
−→ 0.
Do (X
i
) là compắc tương đối yếu, nên tồn tại dãy con (X
i
k
) để X
i
k

yếu
−−→ X
vì vậy suy ra mọi hàm tuyến tính f thì f(X
i
k
)
yếu
−−→ f(X). Nhưng f(S
n
)
hội tụ theo phân phối tới biến ngẫu nhiên thực, nên với mọi ε > 0 và
tôn tại M > 0 sao cho
sup P{|f(S
n
)| > M} < ε
2
.
Do tính đối xứng nên
sup
n
P
X
P
ε
{|
n

i=1
ε
i

f(X
i
)| > M}
= sup
n
P{|f(
n

i=1
ε
i
X
i
)| > M}
= sup
n
P{|f(S
n
)| > M} < ε
2
với (ε
i
) là dãy Rademacher độc lập của (X
i
); với mọi n ta đặt
A = {ω : P
ε
{|
n


i=1
ε
i
f(X
i
)| > M} < ε}
suy ra
P(A) = P
X
(A) > 1 − ε
vì vậy với ε ≤
1
8
thì
n

i=1
f
2
(X
i
(ω)) ≤ 8M
2
.
17
từ đó ta có:
sup
n
P{
n


i=1
f
2
(X
i
) ≤ 8M
2
} < ε
suy ra

i
f
2
(X
i
) < ∞ h.c.c.
Vậy f(X
i
)
h.c.c
−−→ 0.
Lại vì (X
i
) là dãy chặt với giới hạn duy nhất là 0, suy ra X
i
P
−→ 0.
Khi đó ta có (ii), vì nếu không thì (S
n

) là dãy cauchy theo xác suất nên
tồn tại ε > 0 và dãy tăng (n
k
) để T
k
= S
n
k+1
− S
n
k
không hội tụ theo xác
suất tới 0, nhưng vì

k
T
k
=

i
X
i
hội tụ yếu nên ta lại áp dụng lý luận
trên cho

k
T
k
thì dẫn đến T
k

P
−→ 0, điều này là vô lý. Vây ta đã chứng
minh được (ii).
Ta chứng minh (ii) ⇒ (i)
Do S
n
P
−→ S, khi đó tồn tại dãy con (n
k
) sao cho

k
P{S
n
K
− S > 2
−k
} < ∞.
Sử dụng bất đẳng thức Levy ta có
P{ max
n
k−1
≤n≤n
k
S
n
− S
n
k−1
 > 2

−k+1
} ≤ 2P{S
n
k
− S
n
k−1
 > 2
−k+1
}
2(P{S
n
k
− S > 2
−k
} + P{S
n
k−1
− S > 2
−k−1
}).
Theo bổ đề Borel-Cantelli ta có, dãy (S
n
) là dãy cơ bản hầu chắc chắn
nên cũng hội tụ hầu chắc chắn, vậy ta có (i).
Tiếp theo ta chứng minh cho trường hợp tổng quát.
Tất nhiên ta chỉ cần chứng minh (iii) suy ra (i) là đủ.
Giả sử (S
n
) hội tụ yếu tới biến ngẫu nhiên S, trên không gian xác

suất khác (Ω

,A

, P

); ta xét bản sao (X

i
) của (X
i
) và xét S

n
=

n
i=1
X

n
.
Khi đó (S

n
) hội tụ yếu tới S

, là biến ngẫu nhiên có cùng phân phối với
S.
Đặt


S
n
= S
n
− S

n
;

S = S − S

định nghĩa trên Ω× Ω, vậy (

S
n
) là đối
xứng. Lại do tính liên tục của tích chập nên

S
n
yếu
−−→

S, theo chứng minh
18
trên thì

S
n

h.c.c
−−→

S. Khi đó tồn tại ω

trong Ω

sao cho
S
n
− S

n
(ω

)
h.c.c
−−→ S − S

(ω

) (∗).
(vì nếu ngược lại thì tồn tại  < 1 để P
ω

(A

) > 1/2 với
A
ε

= {ω

: P
ω
{S
n
− S

n
(ω

)hội tụ } < }
nhưng theo định lí Fubini thì P{S
n
− S

n
hội tụ } < 1).
Ta thấy rằng (S

n
(ω

)) là dãy compact tương đối trong B, hơn nữa có
hàm đặc trưng , với mỗi f trong B

thoả mãn:
exp{if(S

n

(ω

))} −→ exp{if(S

(ω

))}
Suy ra f(S

n
(ω

)) −→ f(S

(ω

)) và vì vậy S

n
(ω

) hội tụ trong B đến
S

(ω

), cùng với (*) ta có điều phải chứng minh.
Phương pháp đối xứng hoá được minh hoạ rõ hơn trong mệnh đề sau
đây.
Định lý 2.7. Cho F : R

+
−→ R
+
là lồi, thì mọi dãy hữu hạn (X
i
) các
bnn độc lập có kì vọng 0 trong B, sao cho EF (X
i
) < ∞ ∀i :
EF (
1
2


i
ε
i
X
i
) ≤ EF (

i
X
i
) ≤ EF (2

i
ε
i
X

i
)
với (ε
i
) là dãy Rademecher độc lập của (X
i
).
Chứng minh. Xét

X = X − X

và lấy (ε
i
) là dãy Rademecher độc lập từ
(X
i
) và (X

i
). Khi đó vì

i
X
i
với kì vọng 0, theo bất đẳng thức (1.1) ta
có
EF (

i
X

i
) ≤ EF (

i

X
i
).
Lại định lý Frubini với chú ý (X
i
) và (ε
i
X
i
) cùng phân phối nên ta có
EF (

i


X
i
) = EF (

i
ε
i

X
i

).
Sử dụng bất đẳng thức (1.1) cùng với tính chất lồi và

i
ε
i
(X
i
+ X

i
) có
kỳ vọng không, ta có:
EF (

i
ε
i

X
i
) ≤ EF (2

i
ε
i
X
i
).
19

Vậy
F (

i
X
i
) ≤ EF (2

i
ε
i
X
i
).
Bất đẳng thức còn lại được chứng minh tương tự
EF (
1
2


i
ε
i
X
i
) ≤ EF (
1
2



i
ε
i

X
i
) = EF (
1
2


i

X
i
) ≤ EF (

i
X
i
).
Phương pháp đối xứng hoá và các đánh giá ở trên chỉ ra rằng hầu
hết các kết quả đối với biến ngẫu nhiên đối xứng, có thể di truyền cho
trường hợp chung. Với lý do này, trong các phần sau ta chủ yếu xét với
các biến ngẫu nhiên đối xứng.
Phần tiếp theo, ta sử dụng các kết quả đã biết của tổng các biến
Rademecher để thu được các kết quả cho tổng các biến ngẫu nhiên độc
lập tổng quát. Với tư tưởng tổng quát như sau:
Xuất phát từ kết quả của dãy Rademecher, chẳng han dạng
Ef(x

1
ε
1
, ..., x
N
ε
N
) ≤ Eg(x
1
ε
1
, ..., x
N
ε
N
) với mọi x
1
, ..., x
N
∈ B
suy ra
E
ε
f(X
1
(ω)ε
1
, ..., X
N
(ω)ε

N
) ≤ E
ε
g(X
1
(ω)ε
1
, ..., X
N
(ω)ε
N
) với mọi ω ∈ Ω.
Vì vậy, lấy kỳ vọng hai vế ta được
Ef(X
1
ε
1
, ..., X
N
ε
N
) ≤ Eg(X
1
ε
1
, ..., X
N
ε
N
)

Khi đó, nếu thêm giả thiết (X
i
) đối xứng thì ta được kết quả đối với các
biến (X
i
):
Ef(X
1
, ..., X
N
) ≤ Eg(X
1
, ..., X
N
).
Với tư tưởng trên, ta bắt đầu với việc mở rộng bất đẳng thức co cho
trường hợp tổng quát.
Định lý 2.8. Cho (X
i
) là dãy hữu hạn các biến ngẫu nhiên đối xứng
nhận giá trị trong B, lấy ξ
i
và ζ
i
là hai biến ngẫu nhiên thực sao cho:
ξ
i
= ϕ
i
(X

i
) với ϕ
i
: R −→ R là đối xứng, và tương tự đối với
ζ
i
. Khi đó, nếu |ξ
i
| ≤ |ζ
i
| a.s với mọi i, cho mọi hàm lồi, không giảm
F : R
+
−→ R
+
khả tích thì
EF (

i
ξ
i
X
i
) ≤ EF (

i
ζ
i
X
i

).
20
Chúng ta cũng có, với ∀ t > 0
P(

i
ξ
i
X
i
 > t) ≤ 2P(

i
ζ
i
X
i
 > t).
Bất đẳng thức trong trường hơp đặc biệt áp dụng khi ξ
i
= 1
{X
i
∈A
i
}
≤
1 ≡ ζ
i
với A

i
độc lập, đối xứng trong B ( trong trường hợp cụ thể
A
i
= {x ≤ a
i
}) ta được:
EF (

i
X
i
1
{X
i
≤a
i
}
) ≤ EF (

i
X
i
).
Chứng minh. Dãy (X
i
) cùng phân phối như (ε
i
X
i

) và bởi giả thiết đối
xứng của ϕ
i
nên (ξ
i
X
i
) và (ε
i
ξ
i
X
i
) cùng phân phối, sau đó theo định lý
Fubini ta có:
EF (

i
ξ
i
X
i
) = E
X
E
ε
F (

i
ε

i
ξ
i
X
i
).
Tương tự , ta cũng có
EF (

i
ζ
i
X
i
) = E
X
E
ε
F (

i
ε
i
ζ
i
X
i
).
Với mỗi ω ∈ Ω bởi nguyên lý co (Định lý 1.4 ) thì
E

ω
F (

i
ε
i
ξ
i
(ω)X
i
(ω)) ≤ E
ε
F (

i
ε
i
ζ
i
(ω)X
i
(ω)).
Lấy kì vọng theo X thì
E
X
E
ω
F (

i

ε
i
ξ
i
X
i
) ≤ E
X
E
ε
F (

i
ε
i
ζ
i
X
i
).
Cùng với hai đẳng thức trên, ta có bất đẳng thức đầu.
Bất đẳng thức thứ hai đựợc thiết lập tương tự với việc áp dụng bất đẳng
thức (1.3).
Thật vậy, do tính chất cùng phân phối và định lý Fubini ta có
P(

i
ξ
i
X

i
 > t) = P
X
Pε(

i
ε
i
ξ
i
X
i
 > t).
Và
P(

i
ζ
i
X
i
 > t) = P
X
Pε(

i
ε
i
ζ
i

X
i
 > t).
21
Với mỗi ω, theo bất đẳng thức (1.3) thì
Pε(

i
ε
i
ξ
i
(ω)X
i
(ω) > t) ≤ 2Pε(

i
ε
i
ζ
i
(ω)X
i
(ω) > t).
Sau đó lấy tích phân hai vế theo ω ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét 2.9. Với X, Y là hai biến ngẫu nhiên đối xứng, độc lập và hàm
F là hàm lồi, tăng; áp dụng với ξ
1
= 1, ξ
2

= 0 và ζ
1
= 1, ζ
2
= 1 thì ta có:
EFX + Y  ≥ EFX.
Từ bất đẳng thức thứ hai của định lý cùng với biểu diễn tích phân
của kỳ vọng ta suy ra tính chất sau:
Nếu F là hàm không giảm, và khả vi thì ta có:
EF (

i
ξ
i
X
i
) ≤ 2EF (

i
ζ
i
X
i
).
Nhận xét cuối cùng là xuất phát từ câu hỏi nếu (X
i
) không đối xứng
thì bất đẳng thức của định lý còn đúng không? Ta có kết quả như sau:
Nếu (X
i

) không nhất thiết đối xứng nhưng có kỳ vọng không cùng
với các giả thiết khác như trên định lý thì
EF (

i
ξ
i
X
i
) ≤ EF (2

i
ζ
i
X
i
).
Chứng minh. Vì
EF (

i
ξ
i
X
i
) ≤ EF (

i
ξ
i


X
i
) ≤ EF (

i
ζ
i

X
i
) ≤ EF (2

i
ζ
i
X
i
).
Định lý 2.10. Cho F : R
+
−→ R
+
là lồi và tăng, với dãy (X
i
) các biến
ngẫu nhiên tùy ý EF (X
i
) < ∞ ∀i.
EF


1
2
sup
f∈D






i
ε
i
|f(X
i
)|






≤ EF (

i
ε
i
X
i

). (2.3)
Khi X
i
là biến ngẫu nhiên đối xứng và độc lập trong L
2
(B), chúng ta có:
E

sup
f∈D


i
f
2
(X
i
)

≤ sup
f∈D

i
Ef
2
(X
i
) + 8E

i

X
i
X
i
. (2.4)
22