Một số định lý điểm bất động đối với các ánh xạ thỏa mãn điều kiện co cyclic trong không gian mêtric riêng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
−−−−−−−−−−−
NGUYỄN DUY BÌNH
HÌNH THÀNH KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHỦ
ĐỀ “ GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG
CỦA ĐẠO HÀM CHO HỌC SINH CÁC LỚP
CUỐI CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG “
(Thể hiện qua giải tích 11 và 12)
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC
NGHỆ AN – 2014
1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
−−−−−−−−−−−
NGUYỄN DUY BÌNH
HÌNH THÀNH KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHỦ
ĐỀ “ GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG
CỦA ĐẠO HÀM CHO HỌC SINH CÁC LỚP
CUỐI CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG “
(Thể hiện qua giải tích 11 và 12)
Chuyên ngành : Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn
Toán
Mã số : 60.14.01.11
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Người hướng dẫn khoa học : TS. NGUYỄN VĂN THUẬN
NGHỆ AN – 2014
2
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc TS Nguyễn Văn Thuận, người thầy đã
trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Khoa Đào tạo sau Đại học trường ĐH
Vinh và các thầy cô giáo đã trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tôi trong quá
trình học tập và định hướng quan trọng trong việc hình thành ý tưởng nghiên
cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn BGH, BCH Công đoàn, Phòng Giáo vụ và các
cán bộ giáo viên trường THPT Bình Hưng Hòa đã động viên, giúp đỡ và tạo
điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng do thời gian có hạn và bản thân còn
những hạn chế nhất định nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Mong
nhận được các ý kiến phê bình, góp ý của các thầy cô giáo và đồng nghiệp để
luận văn được hoàn chỉnh hơn.
Vinh, tháng 5 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Duy Bình
3
MỤC LỤC
Trang
Mở đầu 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
4. Phương pháp nghiên cứu 3
5. Đóng góp của luận văn 3
6. Giả thuyết khoa học 3
7. Cấu trúc luận văn 4
Chương 1. Một số vấn đề cơ sở lí luận và thực tiễn 6
1.1. Những vấn đề chung về phương pháp dạy học môn toán và đổi
mới phương pháp dạy học
6
1.1.1. Phương pháp dạy học môn toán

6
1.1.2. Đổi mới phương pháp dạy học

7
1.2. Kỹ năng
9
1.2.1. Khái niệm kỹ năng

9
1.2.2. Sự hình thành kỹ năng

10
1.2.2.1. Phân loại kỹ năng trong môn Toán
12
1.2.2.2. Mối quan hệ giữa tư duy và kỹ năng
14
1.2.2.3 Rèn luyện kỹ năng liên quan đến năng lực của học sinh
16
1.2.2.4. Những sai lầm trong giải Toán của HS là một căn cứ để
xác định các kỹ năng cần rèn luyện

37
1.3. Chương trình môn toán và chủ đề “Giới hạn, Đạo hàm và ứng
dụng của đạo hàm” trong phân môn Giải tích ở bậc Trung học phổ
thông
39
1.3.1. Chương trình môn toán Giải tích ở THPT

39

4
1.3.2. Các nội dung rèn luyện kỹ năng giải toán chủ đề: “Giới hạn,
Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm”

39
1.4. Một số nét thực trạng trong việc hình thành cho học sinh kỹ năng
giải toán chủ đề “Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm”
40
1.5. Kết luận Chương 1
43
Chương 2: Hình thành kỹ năng giải toán chủ đề “
Giới hạn,
Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm” cho học sinh các lớp cuối cấp
44
2.1. Những căn cứ để xác định hệ thống các kỹ năng.
44
2.2. Hệ thống các kỹ năng
44
2.2.1.Thể hiện qua chương Giới hạn
44
2.2.1.1. Kỹ năng 1: Tính toán giới hạn và nắm vững bản chất của giới
hạn
45
2.2.1.2. Kỹ năng 2: Nhận dạng, thể hiện và vận dụng các tri thức
47
phương pháp phù hợp để giải quyết vấn đề giới hạn như
a. Kỹ năng ghi số hạng vắng

47
b. Kỹ năng biến đổi tương đương

49
c. Kỹ năng ứng dụng đạo hàm

50
d. Kỹ năng quy lạ về quen

53
e. Kỹ năng phát hiện và sửa chữa những sai lầm

55
2.2.2.Thể hiện qua chương Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm
57
2.2.2.1. Kỹ năng 1: Tính toán đạo hàm, nắm vững bản chất của đạo
hàm.
57
2.2.2.2. Kỹ năng 2: Nhận dạng, thể hiện và vận dụng các tri thức
phương pháp phù hợp để giải quyết vấn đề đạo hàm và ứng dụng.

62
a. Tri thức phương pháp

62
b. Thuật toán

63
c. Quy trình tìm đạo hàm cấp n của hàm số y=f(x)
64
5

d. Thuật giải trong các bài toán ứng dụng của đạo hàm

66
* Kỹ năng ứng dụng của đạo hàm của hàm số để tìm
GTLN, GTNN của hàm số

67
* Kỹ năng ứng dụng của đạo hàm của hàm số để giải
phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

72
* Kỹ năng ứng dụng đạo hàm của hàm số để chứng minh
bất đẳng thức.

82
2.2.2.3. Kỹ năng 3: Kỹ năng phát hiện và sửa chữa những sai lầm
trong giải quyết vấn đề đạo hàm và ứng dụng.

86
2.3. Kết luận Chương 2
100
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
102
3.1. Môc ®Ých thùc nghiÖm.
102
3.2. Tæ chøc vµ néi dung thùc nghiÖm.
102
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm. 104
Kết luận
108
Tài liệu tham khảo 109
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN
6
Viết tắt Viết đầy đủ
HS : Học sinh
THPT : Trung học phổ thông
SGK : Sách giáo khoa
H.D : Hướng dẫn
GTLN : Giá trị lớn nhất
GTNN : Giá trị nhỏ nhất
PT : Phương trình
HPT : Hệ phương trình
BPT : Bất phương trình
HBPT : Hệ bất phương trình
GV : Giáo viên
TN : Thực nghiệm
ĐC : Đối chứng
H : Hỏi
MỞ ĐẦU
7
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Điều 24 của Luật Giáo dục đã quy định “Phương pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động… , bồi dưỡng phương
pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến
tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.
1.2. Chương trình Toán trường trung học phổ thông chỉ rõ “Môn Toán phải
góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng
suy luận đặc trưng của toán học cần thiết cho cuộc sống…, rèn luyện kỹ năng
vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải các bài toán đơn giản của thực
tiễn, phát triển khả năng suy luận có lý, hợp lôgic trong những tình huống cụ
thể, khả năng tiếp cận và biểu đạt các vấn đề một cách chính xác…”

1.3. Đối với HS trung học phổ thông, kỹ năng giải Toán thường thể hiện ở khả
năng lựa chọn một phương pháp giải thích hợp cho mỗi bài toán. Việc lựa
chọn một cách giải hợp lí nhất, ngắn gọn và rõ ràng, trong sáng, không chỉ dựa
vào việc nắm vững các kiến thức đã học, mà một điều khá quan trọng là hiểu
sâu sắc mối liên hệ chặt chẽ giữa các phân môn toán học khác nhau trong
chương trình học, biết áp dụng nó vào việc tìm tòi phương pháp giải tốt nhất
cho bài toán đặt ra.
1.4. Dạy Toán ở trường phổ thông không chỉ là dạy kiến thức, mà còn dạy cả
kỹ năng, tư duy và tính cách. Trong các nhiệm vụ đó, việc hình thành và phát
triển cho HS các kỹ năng toán học là rất quan trọng, bởi vì không có kỹ năng
thì không phát triển được tư duy và cũng không đáp ứng được yêu cầu giải
quyết vấn đề. Tác giả Trần Khánh Hưng cho rằng: “Kỹ năng là một trong
những yêu cầu quan trọng đảm bảo mối quan hệ giữa học và hành. Dạy học
sẽ không có kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc các định nghĩa, định lí mà
không biết vận dụng giải toán”
1.5. Chủ đề “Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm” là một trong
những chủ đề rất quan trọng của chương trình Toán bậc trung học phổ thông,
nó chiếm một lượng kiến thức cũng như thời gian với tỷ lệ khá lớn so với
8
chương trình môn Giải tích, đồng thời đây là chủ đề được ứng dụng rộng rãi
trong toàn bộ chương trình Đại số và Giải tích, trong nhiều dạng toán, trong
khảo sát kết quả năng lực và kiến thức phổ thông.
1.6. Khảo sát thực tiễn dạy học Toán ở nhà trường phổ thông cho thấy, việc
rèn luyện kỹ năng giải Toán cho HS tuy cũng đã được chú ý, nhưng tính hệ
thống và đầy đủ trong việc rèn luyện kỹ năng là chưa cao. Giáo viên cho HS
giải nhiều bài toán, nhưng việc phân loại các kỹ năng mang tính đặc thù, cần
thiết và tương ứng với các dạng bài toán cụ thể là chưa được thực hiện một
cách hợp lí.
- Học sinh còn gặp những khó khăn và sai lầm khi giải quyết các bài toán
thuộc chủ đề Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong môn Giải

tích vì thiếu những kỹ năng cần thiết.
- Tuy đã có những đề tài nghiên cứu về kỹ năng, nhưng chưa có đề tài
nào nghiên cứu về kỹ năng giải toán Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng của đạo
hàm trong chương trình Toán bậc THPT.
Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là:
“Hình thành kỹ năng giải toán chủ để Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng của
đạo hàm cho học sinh các lớp cuối cấp Trung học phổ thông.”
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là nghiên cứu những vấn đề liên quan tới kỹ năng
giải các bài toán thuộc chủ đề “Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng của đạo
hàm” trong phân môn Giải tích của HS các lớp cuối cấp THPT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống hoá các cơ sở lý luận về kỹ năng; cơ chế hình thành kỹ năng
và vai trò quan trọng của kỹ năng.
- Đề xuất các căn cứ để xác định hệ thống những kỹ năng cơ bản và kỹ
năng đặc thù vận dụng trong quá trình giải toán chủ đề “Giới hạn, Đạo hàm và
ứng dụng của đạo hàm”.
9
- Làm sáng tỏ các kỹ năng cơ bản và kỹ năng đặc thù khi giải các bài toán
trong chủ đề Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm.
- Đề xuất các tư tưởng chủ đạo nhằm hình thành và phát triển kỹ năng
giải toán chủ đề Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm cho HS các lớp
cuối cấp THPT.
- Làm sáng tỏ những khó khăn, sai lầm của HS cuối cấp THPT khi giải
Toán Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm.
- Thực nghiệm sư phạm.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận
- Điều tra, quan sát.
- Thực nghiệm sư phạm.

5. Đóng góp của luận văn
Làm sáng tỏ các kỹ năng cơ bản và kỹ năng đặc thù, mang tính đầy đủ và
hệ thống trong quá trình giải các bài toán về Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng
của đạo hàm; đề xuất các tư tưởng chủ đạo nhằm hình thành và rèn luyện cho
HS cuối cấp THPT các kỹ năng này.
6. Giả thuyết khoa học
Cần thiết làm sáng tỏ hệ thống các kỹ năng cơ bản, kỹ năng đặc thù vận
dụng trong quá trình giải toán chủ đề Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng của đạo
hàm. Trên cơ sở đó, có thể đề xuất các tư tưởng chủ đạo để hình thành và phát
triển các kỹ năng này, nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán ở
trường THPT.
10
CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN:
Chương 1. Một số vấn đề cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1. Những vấn đề chung về phương pháp dạy học môn toán và đổi mới
phương pháp dạy học
1.1.3. Phương pháp dạy học môn toán.
1.1.4. Đổi mới phương pháp dạy học.
1.2. Kỹ năng. Cơ chế hình thành kỹ năng.
1.2.1. Khái niệm kỹ năng.
1.2.2. Sự hình thành kỹ năng.
1.3. Chương trình môn toán và chủ đề “Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng
của đạo hàm” trong phân môn Giải tích ở bậc Trung học phổ thông.
1.3.1. Chương trình môn toán Giải tích ở THPT.
1.3.2. Các nội dung rèn luyện kỹ năng giải toán chủ đề: “Giới hạn, Đạo hàm
và ứng dụng của đạo hàm”.
1.4. Một số nét thực trạng trong việc hình thành cho học sinh kỹ năng giải toán
chủ đề “Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm”.
1.5. Kết luận Chương 1.
Chương 2: Hình thành kỹ năng giải toán chủ đề “Giới

hạn, Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm” cho học sinh các lớp
cuối cấp Trung học phổ thông
2.1. Những căn cứ để xác định hệ thống các kỹ năng.
2.2 Hệ thống các kỹ năng
2.2.1.Thể hiệnqua chương Giới hạn :
2.2.1.1. Kỹ năng 1: Tính toán giới hạn và nắm vững bản chất của giới hạn.
2.2.1.2. Kỹ năng 2: Nhận dạng, thể hiện và vận dụng các tri thức phương pháp
phù hợp để giải quyết vấn đề giới hạn như :
a. Kỹ năng ghi số hạng vắng.
b. Kỹ năng biến đổi tương đương.
11
c. K nng ng dng o hm.
d. K nng phỏt hin v sa cha nhng sai lm.
2.2.2.Th hin qua chng o hm v ng dng ca o hm :
2.2.2.1. K nng 1: Tớnh toỏn o hm, nm vng bn cht ca o hm.
2.2.2.2. K nng 2: Nhn dng, th hin v vn dng cỏc tri thc phng phỏp
phự hp gii quyt vn o hm v ng dng.
2.2.2.3. K nng 3: K nng phỏt hin v sa cha nhng sai lm trong gii
quyt vn o hm v ng dng.
2.3. Kt lun Chng 2
Chng 3: Thc nghim s phm
3.1. Mục đích thực nghiệm.
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm.
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm.

12
CHƯƠNG 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ VÀ THỰC TIỄN
1.1. Những vấn đề chung về phương pháp dạy học môn Toán và đổi mới
phương pháp dạy học

1.1.1. Phương pháp dạy học môn Toán
Môn Toán trong nhà trường phổ thông giữ một vị trí hết sức quan trọng
vị nó là môn học công cụ có tính trừu tượng và tính thực tiễn phổ dụng. Những
tri thức và kỹ năng toán học trở thành công cụ để học tập các môn học khác,
đồng thời nó cũng là công cụ để nghiên cứu nhiều nghành khoa học khác, là
công cụ để tiến hành các hoạt động trong cuộc sống. Cùng với tri thức, môn
Toán cung cấp cho học sinh những kỹ năng như vẽ hình, kỹ năng tính toán, kỹ
năng đọc và vẽ biểu đồ, kỹ năng đo đạc ước lượng kỹ năng sử dụng các công
cụ toán học và máy tính điện tử.
Môn Toán còn hình thành cho sự phát triển những phương pháp,
phương thức tư duy hoạt động như toán học hóa tình huống thực tế, thực hiện
và xây dựng thuật toán phát triển, phát hiện và giải quyết vấn đề.
Ngoài việc cung cấp cho học sinh những kiến thức và kỹ năng toán học
cần thiết, môn toán còn góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như phân
tích tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa… Rèn luyện những đức tính
phẩm chất người lao động mới đó là tính cẩn thận, tính chính xác, tính kỷ luật,
tính phê phán, tính sáng tạo. Bồi dưỡng óc thẩm mỹ…
Từ những đặc điểm và vị trí của môn toán, trong quá trình dạy học, người
thầy cần xác định rõ nhiệm vụ của việc dạy học toán đó là:
- Truyền thụ khiến thức, kỹ năng vận dung toán học vào thực tiễn. Cụ thể là
cung cấp cho học sinh một hệ thống vững chắc những tri thức, kỹ năng,
phương pháp toán học phổ thong, cơ bản và hiện đại sát với thực tiễn. Theo
tinh thần giáo dụ tổng hợp, đồng thời trau dồi cho học sinh khả năng vận dụng
13
những hiểu biết toán học vào việc học tập các môn học khác, vận dụng vào đời
sống lao động sản xuất, chiến đấu tạo tiềm lực tiếp thu khóa học kỉ thuật.
- Phát triển năng lực trí tuệ chung.
- Giáo dục tư tưởng chính trị, phẩm chất đạo đức và tính thẩm mỹ.
- Bảo đảm chất lượng phổ thông, đồng thời chủ trọng phát hiện và bồi dưỡng
năng khiếu toán cho học sinh.

- Để hoàn thành nhiệm vụ dạy học môn toán người thầy cần chú trọng phối
hợp nhiều phương pháp dạy học, nhiều hình thức truyền thụ kiến thức để đạt
được những mục đích đề ra.
1.1.2. Đổi mới phương pháp dạy học.
Trong nghị quyết số 40/TW/QH10 ngày 9/12/2008 Quốc hội khoá X về
đổi mới chương trình giáo dục phổ thông đã khẳng định mục tiêu của đổi mới
chương trình giáo dục phổ thông: “Xây dựng nội dung, chương trình phổ
thông giáo dục nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện thế hệ trẻ đáp
ứng yêu cầu phát triển nguồn nhân lực phục vụ CNH – HĐH đất nước, phù
hợp với thực tiễn và truyền thống Việt Nam, tiếp cận trình độ giáo dục phổ
thông ở các nước phát triển trong khu vực và trên thế giới”.
Nghị Quyết số 29-NQ/TW ngày 04 tháng 11 năm 2013 Hội nghị lần thứ
tám Ban chấp hành trung ương khóa XI: “ Về đổi mới căn bản, toàn diện giáo
dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều
kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế ”.
Để đáp ứng được điều kiện trên thì việc dạy và học cần chủ trọng nhiều
đến đổi mới phương dạy và phương pháp học, cũng như đổi mới chương trình
sao cho phù hợp cho giai đoạn hiện nay.
Đối với chương trình cần chủ trọng và quan tâm đến đối tượng giáo dục,
tức là phù hợi với trình độ, tâm sinh lý, từng giai đoạn thay đổi của xã hội,
từng vùng, miền…
Trong giai đoạn hiện nay, xã hội xã hội đòi hỏi con người có học vấn
không chỉ chỉ có khả năng lấy từ trí nhớ các tri thức dưới dạng có sẵn đã lĩnh
14
hội được ở trường phổ thông mà còn phải có năng lực chiếm lĩnh, sử dụng các
tri thức mới một cách độc lập, khả năng đánh giá các sự kiện, các tư tưởng,
các hiện tượng một cách thông minh sáng suốt khi gặp trong cuốc sống, trong
lao động, quan hệ với mọi người. Nội dung học vấn trong nhà trường góp
phần quan trọng để phát triển hứng thú và năng lực nhận thức của học sinh,
cung cấp cho học sinh những kỹ năng cần thiết trong việc tự học sau này.

Trong hướng dẫn thực hiện chương trình SGK lớp 12 môn Toán ghi rõ:
“Cách dạy truyền thống, thầy giảng dạy trò nghe, tiếp thu thụ động đã hạn
chế hiệu quả của quá trình dạy và học. Nếu tự tìm hiểu và phát hiện ra những
đặc trương, các quy luật thì kiến thức thu được sâu sắc và ứng dụng hiệu quả
hơn nhiều cho việc học tập tiếp và cho việc ứng dụng thực tiễn. Tìm kiếm các
phương pháp học tập chủ động sáng tạo từ lâu đã là mong muốn của các nhà
giáo dục trên thế giới…”
Tóm lại việc đổi mới phương pháp dạy học là hết sức cần thiết và cần
phải quan tâm, nhất là đối với những người làm giáo dục. Đổi mới thực hiện
theo các xu thế sau:
- Đáp ứng được nhu cầu của sự phát triển kinh tế xã hội và cạnh tranh quốc tế
trong tương lai.
- Quan tâm nhiều hơn nữa trong việc rèn luyện sự phát triển tri thức cơ bản,
hình thành và phát triển tri thức phê phán và tri thức phương pháp. Rèn luyện
các kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề. Trong đó kỹ năng cơ bản, thói
quen và năng lực tự học năng lực vân dung kiến thức vào cuộc sống được đặt
lên hàng đầu. Quá trình thực hiện đổi mới phương pháp dạy học nói chung và
phương pháp dạy học toán nói riêng việc rèn luyên kỹ năng là hết sức quan
trọng. Bởi vì trong cuộc sống hàng ngày, trong từng vần đề cụ thể đòi hỏi con
người phải có những kỹ năng làm việc, kỹ năng giải quyết các vấn đề đặt ra.
15
1.2. Kỹ năng.
1.2.1. Khái niệm kỹ năng.
Theo Từ điển tiếng Việt: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến
thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế”.
Tâm lý học cho rằng: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dự liệu, các tri
thức hay khái niệm đã có. Năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc
tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay
thực hành”
Dù phát biểu ở góc độ nào đi chăng nữa thì ta vẫn phải hiểu rằng kỹ

năng là khả năng vận dụng kiến thức đã có (Khái niệm, cách thức, phương
pháp) vào việc giải quyết nhiệm vụ được giao.
Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học ta thấy việc vận dụng kiến thức đã
học vào vào nhiệm vụ cụ thể học sinh thường gặp nhiều khó khăn bởi vì các
em không phát hiện được mối liên hệ giữa cái bản chất tri thức và đối tượng.
Đối với HS trung học phổ thông, kỹ năng giải Toán thường thể hiện ở
khả năng lựa chọn một phương pháp giải thích hợp cho mỗi bài toán. Việc lựa
chọn một cách giải hợp lí nhất, ngắn gọn và rõ ràng, không chỉ dựa vào việc
nắm vững các kiến thức đã học, mà một điều khá quan trọng là hiểu sâu sắc
mối liên hệ chặt chẽ giữa các phân môn toán học khác nhau trong chương trình
học, biết áp dụng nó vào việc tìm tòi phương pháp giải tốt nhất cho bài toán
đặt ra.
Ví dụ 1.1:
Cho hàm số
3 2
4 6 1y x x= − +
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số, biết rằng tiếp tuyến này đi qua điểm M(-1; -9).
Nhiều học sinh nhận xét: Vì điểm M thuộc đồ thị hàm số nên đã vận
dụng phương pháp viết phương trình tiếp tuyến bởi công thức: y - y
0
= y’(x
0
) (x
- x
0
). Với x
0
= -1 và y
0

= -9, y’(-1) = 24. Phương trình tiếp tuyến tìm được là
y = 24x + 15.
16
Như vậy HS đã hiểu sai bản chất của bài toán, mặc dù điểm M nằm trên
đồ thị hàm số nhưng yếu cầu bài toán
là viết phương trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số đi qua điểm M chứ không
phải là tiếp tuyến tại điểm M.
Để giải quyết bài toán này yêu
cầu các em phải có kỹ năng phân tích.
Muốn tìm phương trình tiếp tuyến rõ
ràng là phải tìm tiếp điểm? Ở đây điểm M thuộc đồ thị chỉ gợi cho ta một tiếp
điểm, liệu còn tiếp điểm nào nữa không?
1.2.2. Sự hình thành kỹ năng
Sự hình thành các kỹ năng đó là sự nắm vững cả một hệ thống phức tạp
các thao tác phát hiện và cải biến thông tin chứa đựng trong các tri thức và tiếp
thu được từ đối tượng, đối chiếu và xác lập quan hệ của thông tin với các hành
động.
Sự hình thành các kỹ năng xuất hiện trước hết như là những sản phẩm
của những tri thức ngày càng được đào sâu. Các kỹ năng được hình thành trên
cơ sở lĩnh hội các khái niệm về các mặt và các thuộc tính khác nhau của đối
tượng đang được nghiên cứu. Con đường chính của sự hình thành các kỹ năng
đó là dạy học sinh nhìn thấy những mặt khác nhau trong đối tượng, vận dụng
vào đối tượng những khái niệm muôn hình, muôn vẻ diễn đạt các quan hệ đa
dạng của đối tượng này trong khái niệm.
Trong dạy học hiện nay có thể dạy các kỹ năng cho học sinh bằng nhiều
con đường khác nhau. Chẳng hạn: Con đường dạy học nêu vấn đề, con đường
dạy học Algôrithm hoá hay dạy học trên cơ sở định hướng đầy đủ, dạy học
sinh chính là hoạt động tâm lý cần thiết đối với việc vận dụng tri thức. Thông
qua giải bài tập, thông qua nhiều hoạt động giáo dục khác…

17
y
x
0
Ví dụ 1.2: Tìm giới hạn sau :
3 3 2
2
x 1
5 x x 7
A lim
x 1
→
− − +
=
−
,
Giải : Đặt
( )
3 3 2
2
5 x x 7
F x
x 1
− − +
=
−
Ta có :
2 3 2
2 2
x 1

5 x 2 x 7 2
A lim( )
x 1 x 1
→
− − + −
= −
− −
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2 3 2 3 2 3 2
2
x 1
2 2
2 3 2 3 2
5 x 2 5 x 2 x 7 2 x 7 2. x 7 4
lim
x 1 5 x 2
x 1 x 7 2. x 7 4
→
 
− − − + + − + + + +
 
= −

 
− − +
− + + + +
 
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2
x 1
2 2
2 3 2 3 2
1 x x 1
lim
x 1 5 x 2
x 1 x 7 2. x 7 4
→
 
− −
= −
 
− − +
 
− + + + +
 
( )
2
2

x 1
3 2 3 2
1 1 1
lim
3
5 x 2
x 7 2. x 7 4
→
−
 
= − = −
 
− +
+ + + +
 
 
Trong lời giải trên, giáo viên đã thêm bớt 2 vào tử thức của
)(xF
và có
3 câu hỏi đặt ra là:
1/ Tại sao phải có số 2 ?
2/ Tại sao phải là số 2 ?
3/ Tìm số 2 như thế nào ?
+Trả lời câu hỏi 3: Để tìm số 2, ta đưa ra thuật toán ghi số hạng vắng.
Bước 1:
Rc
∈∀
, ta có :
1
7

1
5
2
3
2
2
2
−
−+
−
−
−−
x
cx
x
cx
Bước 2: Trong các số
c
đó , ta tìm số c sao cho x
2
- 1 cùng nhân tử với
cxxf −−=
2
1
5)(
và
cxxf −+=
3
2
2

7)(
. Điều đó xảy ra khi chỉ khi c là
nghiệm của hệ sau :
2
2
2
6
0)1(
0)1(
2
1
=⇔





=



=
=
⇔



=±
=±
c

c
c
c
f
f
Đáp số: c = 2 là câu trả lời cho câu hỏi 1 và 2 .
18
Như vậy thầy giáo có thể mô tả cho HS qua phương pháp tìm số hạng
vắng một cách tổng quát :
Giả sử
)(
)(
)(
xg
xf
xF =
Bước 1: Phân tích
)(
)(
)(
)(
)(
21
xg
cxf
xg
cxf
xF
−
+

+
=
.
Bước 2: Tìm c . Gọi x
1
, x
2
là ngiệm của g(x)=0, khi đó c là nghiệm của hệ:




=+
=+
0)(
0)(
21
11
cxf
cxf




=−
=−
0)(
0)(
22
12

cxf
cxf
.
Với c tìm được thì:
)(
)(
lim
1
0
xg
cxf
xx
+
→
;
)(
)(
lim
2
0
xg
cxf
xx
−
→
giải quyết dễ dàng .
Lúc này chúng ta lại trang bị cho các em có kỹ năng ghi số hạng vắng
1.2.2.1. Phân loại kỹ năng trong môn Toán
Có nhiều cách phân loại kỹ năng.
Theo tâm lý giáo dục, người ta thường chia kỹ năng học tập cơ bản

thành 4 nhóm:
a) Kỹ năng nhận thức:
Kỹ năng nhận thức trong môn toán bao gồm nhiều khía cạnh đó là: Kỹ
năng nắm một khái niệm, định lý; kỹ năng áp dụng thành thạo mỗi quy tắc,
trong đó có yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc,…
Ví dụ 1.3: Khi tìm giới hạn :
( )
( )
0
lim
→
x x
f x
g x
có dạng vô định
0
0
 
 ÷
 
giáo viên cần
hiểu đây là dạng toán thường gặp của học sinh lớp 11 rất đa dạng và sử dụng
nhiều kỹ năng như: Nhân lương liên hợp, chia đa thức, thêm số hạng vắng,….
b) Kỹ năng thực hành:
Trong môn toán bao gồm kỹ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải
bài toán, kỹ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn (Trong bài toán hoặc
trong đời sống), kỹ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực tế.
19
Ví dụ 1.4: Khi có định nghĩa đạo hàm thì học sinh sẽ rút ra được các bước
tính đạo hàm từ đó xây dựng quy tắc tính, qua quy tắc tính rút ra được công

thức đạo hàm các hàm số cơ bản. hoặc từ những công thức đã có.
Từ (cosx)’ = - sinx, (f(u))’ = f’
u
.u’
x
ta có thể tính đạo hàm của tất cả các
hàm số mà biến đổi về dạng cosu. Tính đạo hàm hàm số y = sinx (Khi học sinh
quên đạo hàm của hàm số y = sinx) bằng cách biến đổi sinx = cos( - x)
c) Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức
Chẳng hạn khi biết đồ thị hàm số bậc ba có tâm đối xứng hay đồ thị
hàm số bậc bốn trùng phương có trục đối xứng thì khi vẽ các đồ thị này nếu
không có tính chất trên thì khẳng định ngay là chắc chắn đã tính sai và phải
kiểm tra lại khâu tính toán.
Ví dụ 1.5: Tìm m để hệ phương trình:
( )
2 2
2 2
2
4
x y x y
m x y x y

− + =

+ − =

có ba nghiệm
phân biệt.
Gặp bài toán này các em cần phải huy động mọi kiến thức về giải hệ
phương trình mà các em đã có rồi phân tích, nhận dạng, dự đoán và tiến hành

tìm phương pháp giải thích hợp.
Trước hết các em phải làm gì ?
Từ phương trình:
2 2
2x y x y
− + =
ta biến đổi y theo x:
( )
2 2
1 2y x x
+ − =
2
2
2
1
x
y
x
+
⇔ =
+
Thay vào pt:
( )
2 2
4m x y x y
+ − =
4 2
( 1) 2( 3) 2 4 0 (1)m x m x m
⇔ − + − + − =
Hệ PT ⇔

4 2
2
2
( 1) 2( 3) 2 4 0 (1)
2
1
m x m x m
x
y
x

− + − + − =


+
=

+

.
• Khi m = 1: Hệ PT ⇔
2
2
2
2 1 0
( )
2
1

+ =



+
=

+

x
VN
x
y
x
20
• Khi m ≠ 1. Đặt t = x
2
,
0≥t
. Xét:
2
( ) ( 1) 2( 3) 2 4 0 (2)
= − + − + − =
f t m t m t m
Hệ PT có 3 nghiệm phân biệt ⇔ (1) có ba nghiệm x phân biệt
⇔ (2) có một nghiệm t = 0 và 1 nghiệm t > 0
⇔
( )
(0) 0
2
2 3
0

1
=


⇔ ⇔ =
−

= >

−

f
m
m
S
m
.
⇒ Hệ có nghiệm duy nhất x =
1
2
và y = 2
Qua bài toàn hình thành cho học sinh kỹ năng tổ chức hoạt động nhận
thức
d) Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá.
Theo các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thuỵ, lại xem xét kỹ
năng toán học trên 3 bình diện: Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn
toán, kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác, kỹ năng
vận dụng toán học vào đời sống. Đây là bước cuối cùng của nhận thức, của kết
quả của một quá trình học tập một vấn đề nào đó.
1.2.2.2. Mối quan hệ giữa tư duy và kỹ năng:

Kỹ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết các
nhiệm vụ đặt ra. Khi tiến hành tư duy sự vật thì chủ thể thường biến đổi, phân
tích đối tượng để tách ra những khía cạnh, những thuộc tính mới. Tất cả những
điều này được ghi lại trong tri thức của chủ thể tư duy và được biểu hiện bằng
các từ. Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích – tổng hợp, trừu
tượng hóa – khái quát hóa cho tới khi hình thành được mô hình về một mặt
nào đó của đối tượng có ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán đã cho. ở
đây mỗi bước, nhờ khám phá ra những khía cạnh mới của đối tượng, thúc đẩy
tư duy tiến lên, đồng thời quyết định bước tiếp theo sau của tư duy. Vì các
khía cạnh mới của đối tượng được phản ánh trong các khái niệm mới, tư duy
diễn ra như là một sự diễn đạt lại bài toán nhiều lần.
21
Có kỹ năng giải các bài toán là một trong những cơ hội tốt nhất để rèn luyện
các thao tác tư duy như: Phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt
hóa và phát triển các phẩm chất tư duy như: Tính linh hoạt, tính độc lập, tính
sáng tạo, tính phê phán Ngoài các chức năng nêu trên, việc giải các bài toán
còn là cơ hội hình thành ở HS thế giới quan duy vật biện chứng, các phẩm chất
đạo đức, thẩm mĩ. Nó cũng là công cụ cho phép kiểm tra đánh giá kết quả học
tập của học sinh.
Mỗi bài toán cụ thể được đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy
học nói chung, trong một bài học nào đó nói riêng đều chứa đựng một cách
tường minh hay ngầm ẩn những chức năng khác nhau. Các chức năng này
không bộc lộ một cách riêng lẻ, tách rời nhau mà trong mối quan hệ mật thiết
với nhau. Khi nhấn mạnh một chức năng cụ thể nào đó, ta muốn nói rằng, ở
thời điểm đang xét chức năng này có vị trí trung tâm hơn so với các chức năng
khác.
Kỹ năng và tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhau: Kỹ năng là cơ sở
để tiến hành các thao tác tư duy và kỹ năng chỉ được hình hành thông qua quá
trình tư duy để giải quyết nhiệm vụ đặt ra
Tính chất của các thao tác và của các quá trình tư duy giải các bài toán

phụ thuộc vào mục đích mà các thao tác nói trên hướng tới và vào nội dung
của bài toán. Bản thân hoạt động tư duy khi giải bất kỳ bài toán nào thể hiện
trong những biến đổi đối tượng của tư duy, tách ra trong đối tượng những khía
cạnh và những thuộc tính ngày càng mới được ghi lại trong các khái niệm và
được biểu thị bằng các từ.
Tuy nhiên, chủ thể phải nhận thấy cách diễn đạt nào phù hợp với đối
tượng để tiến hành giải bài toán. Ở mỗi cách diễn đạt mới là kết quả phân tích
và tổng hợp những dữ kiện của giai đoạn trước và được thể hiện trong các
khái niệm. Nhưng các khái niệm là sản phẩm của kinh nghiệm xã hội. Khi
nghiên cứu đối tượng thì trong tri thức của chủ thể, tư duy sẽ ghi lại những
thuộc tính bản chất của đối tượng. Chính từ các cách diễn đạt mới khai thác
22
được những tri thức về đối tượng đồng thời thúc đẩy tư duy tiến lên.
S.L.Rubinstein đã chứng minh: Trong quá trình tư duy nhờ phân tích, tổng
hợp, đối tượng tham gia vào những mỗi liên hệ ngày càng mới và do đó thể
hiện qua các phẩm chất ngày càng mới, những phẩm chất này được ghi lại
trong khái niệm mới. Như vậy, từ đối tượng dường như có thể khai thác được
nội dung ngày càng mới, nó dường như mỗi lần quay lại một mặt khác và
trong nó lại xuất hiện những thuộc tính mới.
1.2.2.3 Rèn luyện kỹ năng liên quan đến năng lực của học sinh
Năng lực là một vấn đề khá trừu tượng của Tâm lý học. Khái niệm này
cho đến ngày nay vẫn có nhiều cách tiếp cận và cách diễn đạt khác nhau,
chẳng hạn. Theo Nguyễn Huy Tú: “…Năng lực tự nhiên là loại năng lực được
nảy sinh trên cơ sở những tư chất bẩm sinh di truyền, không cần đến tác động
của giáo dục và đào tạo. Nó cho phép con người giải quyết được những yêu
cầu tối thiểu, quen thuộc đặt ra cho mình trong cuộc sống”.
Từ đó ta thấy rằng, trong cuộc sống nói chung, trong việc giải Toán nói
riêng, sự đáp ứng yêu cầu của các năng lực tự nhiên rất hạn hẹp. Chính vì lẽ đó
đã hình thành ở con người những loại năng lực mới bằng con đường giáo dục
vào đào tạo, gọi là Năng lực được đào tạo hay Năng lực tự tạo.

Theo Nguyễn Huy Tú: “…Năng lực được đào tạo là những phẩm chất
của quá trình hoạt động tâm lý tương đối ổn định và khái quát của con người,
nhờ nó chúng ta giải quyết được (ở mức độ này hay mức độ khác) một hoặc
một vài yêu cầu mới nào đó của cuộc sống”
X. L. Rubinxtein cho rằng: “Năng lực là toàn bộ các thuộc tính tâm lý
làm cho con người thích hợp với một hoạt động có lợi ích xã hội nhất định”.
Theo X. Roegiers “Năng lực là sự thích hợp các kỹ năng tác động một cách tự
nhiên lên các nội dung trong loại tình huống cho trước để giải quyết những
vấn đề do tình huống đặt ra”.
23
- Phạm Minh Hạc [ Phạm Minh Hạc (1992), Một số vấn đề Tâm lí học, Nxb Giáo
dục, Hà Nội. tr.145] cho rằng: “Năng lực là một tổ hợp đặc điểm tâm lý của
một người, tổ hợp này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết quả
của một hoạt động nào đấy”
“Năng lực của con người thường được phân ra thành các năng lực chung như
hoạt động tổ chức - quản lý, hoạt động khoa học - công nghệ, hoạt động giáo
dục dạy học, hoạt động kinh doanh… và năng lực chuyên biệt như ca hát, thể
thao, hội họa Năng lực biểu lộ ở tính nhanh, tính dễ dàng, chất lượng tiếp
nhận và thực hiện hoạt động, ở bề rộng của sự di chuyển, tính mới mẻ, tính
độc đáo của hoạt động giải quyết những vấn đề mới…”.
Từ sự nghiên cứu của các tác giả ở trên chúng ta có thể nhận thấy rằng:
Năng lực là tổ hợp các thuộc tính tâm lý hoặc kỹ năng của con người để thực
hiện thành công một hoạt động nào đó. Năng lực gắn với khả năng hoàn thành
một hoạt động cụ thể, chỉ nảy sinh và quan sát được trong giải quyết những
yêu cầu mới mẻ và do đó nó gắn liền với tính sáng tạo tuy khác nhau về mức
độ. Năng lực có thể rèn luyện để phát triển được, với các cá nhân khác nhau thì
năng lực cũng khác nhau.
a) Rèn luyện kỹ năng nhằm phát triển năng lực phát hiện phương pháp giải
Toán của HS THPT
- Năng lực phát hiện phương pháp giải Toán: Là năng lực năng lực hoạt

động trí tuệ của HS khi đứng trước những bài toán cụ thể, có mục tiêu và tính
hướng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng tư duy tích cực và sáng tạo, nhằm
tìm ra lời giải của bài toán sau một số bước thực hiện.
Mối quan hệ biện chứng xét từ góc độ năng lực giữa phát hiện phương
pháp giải Toán - giải quyết bài toán được cấu thành một cách hữu cơ, hài hoà
với nhau. Một tiến trình giải Toán được gọi là có kết quả tối ưu khi hình thành,
phát triển được năng lực phát hiện phương pháp giải Toán trên cơ sở sáng tạo.
24
Trong phương pháp luận duy vật biện chứng với việc dạy học, nghiên cứu
Toán học nói chung - giải Toán nói riêng, Nguyễn Cảnh Toàn nói: "Người có
óc sáng tạo là người có kinh nghiệm về phát hiện và giải quyết vấn đề đã đặt
ra". Năng lực phát hiện phương pháp giải Toán đòi hỏi tư duy sáng tạo ở
những mức độ khác nhau. Tư duy sáng tạo sẽ nảy sinh và trở thành thành tố
của năng lực phát hiện phương pháp giải Toán khi HS đứng trước một bài
Toán hàm chứa trong nội dung một tình huống có vấn đề và tìm phương thức
giải quyết. Trong quá trình phát triển năng lực phát hiện phương pháp giải
Toán cần chú ý khai thác tiềm năng sáng tạo và rèn luyện khả năng đó qua
việc tìm kiếm các hướng giải khác nhau của cùng một bài Toán nhất định. Ta
thấy rằng:
Khi giải Toán được xem như một quá trình thì chiến lược, các phương
pháp, quy trình thủ thuật mà HS sử dụng để giải Toán sẽ là những điều quan
trọng. Chúng là những bộ phận cơ bản của quá trình giải Toán, được đặc biệt
chú ý trong chương trình môn Toán.
Khi giải Toán được xem như một kỹ năng cơ bản thì khả năng lựa chọn
các phương pháp giải và các kỹ thuật giải là những vấn đề then chốt mà HS
phải học khi giải quyết vấn đề.
Ví dụ 1.6 : Giải phương trình: 2009
x
+ 2010
x

= 4017x + 2
Để giải phương trình này trước hết học sinh phải nhìn nhận dạng, suy
nghĩ phương pháp giải?
Đây là dạng không mẫu mực vì vậy thông thường có những cách giải:
Như sử dụng phương pháp đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất. Khi
chứng minh nghiệm duy nhất thì có nhiều phương pháp, phương pháp dùng
bất đẳng thức, phương pháp hàm số…
Các em thử đoán xem có nghiệm nào? Xem x = 0, x = 1 có phải là
nghiệm không? Có cách nào chứng minh phương trình không có nghiệm nào
nữa .
25