Một số định lý điểm bất động .pdf

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn





















Đại học tháI nguyên
Trường đại học sư phạm
----------------------------------





Trương thị hải yến

Một số định lý điểm bất động


Chuyên ngành : Giải tích
Mã số : 60.46.01



Luận văn thạc sỹ toán học



Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS TRNG XUN C H









Thái Nguyên - 2008

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


MỤC LỤC
Lời nói đầu…………………………………………………………………...2
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị……………………………………...4
1.1.Tính compact và tính đầy đủ……………………………………………...4
1.2. Tính bị chặn và tính liên tục của hàm số…………………………………5
1.3. Tập sắp thứ tự…………………………………………………………….5
1.4. Không gian điểm bất động……………………………………………….6
1.5. Tạo không gian điểm bất động mới từ không gian cũ……………………9
Chương 2: Một số định lí tồn tại điểm bất động trong không gian đầy đủ
và ứng dụng của định lí Banach…………………………………………...12
2.1. Nguyên lý ánh xạ co Banach……………………………………………12
2.2. Miền bất biến cơ sở……………………………………………………..15
2.3. Phương pháp liên tục cho ánh xạ co…………………………………….17
2.4. Luân phiên phi tuyến cho ánh xạ co…………………………………….20
2.5. Mở rộng nguyên lí ánh xạ co Banach…………………………………...23
2.6. Ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert…………………………...28
2.7. Ứng dụng nguyên lí Banach cho phương trình tích phân……………….36
Chương 3: M ột số định lí tồn tại điểm bất động trong không gian có thứ tự. .39
3.1. Định lí Knaster - Tarski………………………………………………....39
3.2. Tính thứ tự và tính đầy đủ. Định lí Bishop - Phelps…………………….42
3.3. Điểm bất động của ánh xạ co đa trị……………………………………..45
3.4. Ứng dụng vào nghiên cứu hình học của không gian Banach…………...47
3.5. Ứng dụng vào nghiên cứu điểm tới hạn………………………………...48
Chương 4: Một số định lí tồn tại điểm bất động dựa trên tính lồi………51
4.1. Nguyên lí ánh xạ KKM ………………….……………………………..51
4.2. Định lí của von Newmann và hệ bất đẳng thức………………………....56

4.3. Điểm bất động của ánh xạ Affine. Định lí Markoff – Kakutani………...60
Kết luận……………………………………………………………………..63
Tài liệu tham khảo………………………………………………………….64
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


LỜI NÓI ĐẦU
Cho
C
là một tập con của không gian
X
,
F
là một ánh xạ từ
C
vào
X
. Phải đặt những điều kiện nào trên
C
,
X
và
F
để có thể khẳng định sự
tồn tại của một điểm
0
x
trong
C
sao cho

00
Fx x=
? Điểm
0
x
như vậy gọi là
điểm bất động của ánh xạ
F
.
Lý thuyết điểm bất động là một nhánh của Toán học, có nhiều ứng
dụng trong lí thuyết tối ưu, lí thuyết trò chơi, các bao hàm thức vi phân và
trong nhiều nghiên cứu của Vật lí. Một số kết quả về tồn tại điểm bất động nổi
tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỉ XX, trong đó phải kể đến nguyên lí điểm bất
động Brouwer (1912) và nguyên lí ánh xạ co Banach (1922). Các kết quả kinh
điển này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ và không gian khác nhau.
Mục đích của luận văn này là trình bày một cách chi tiết hơn một số
định lí điểm bất động trong tài liệu

A.Granas, J.Dugundji. Fixed point
Theory. Springer – Verlag. NewYork, 2003. Chúng tôi chỉ hạn chế ở việc giới
thiệu những kết quả dựa trên tính đầy đủ, tính sắp thứ tự của không gian và
tính lồi.
Bố cục của luận văn gồm 4 chương với những nội dung chính sau đây:
Chương 1. Nhắc lại một số kiến thức chuẩn bị làm cơ sở để theo dõi
luận văn.
Chương 2. Nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động dựa trên tính đầy đủ
của không gian như Nguyên lí ánh xạ co Banach, các mở rộng và ứng dụng
của nó.
Chương 3. Trình bày sự tồn tại điểm bất động trong không gian có thứ
tự như Định lí Knaster - Tarski, Định lí Tarski - Kantorovitch. Xét mối liên hệ

giữa khái niệm thứ tự và tính đầy đủ ta thu được Định lí Bishop – Phelps,
Định lí điểm bất động Carsti, Định lí Ekeland. Trong chương này còn trình
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


bày điểm bất động của ánh xạ co đa trị, đồng thời xét một vài ứng dụng vào
nghiên cứu hình học của không gian Banach, vào nghiên cứu điểm tới hạn.
Chương 4. Nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động dựa trên tính lồi cụ thể
là dựa trên Nguyên lí ánh xạ KKM.
Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS
Trương Xuân Đức Hà, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và sự biết ơn sâu
sắc đến cô. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo phản biện đã đọc
và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn của tác giả; các thầy cô giáo
Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên; các thầy cô giáo ở Viện
Toán học cùng toàn thể bạn bè đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động viên tác giả
trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Cuối cùng, tác giả
xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, những người đã tạo điều
kiện thuận lợi và động viên tác giả hoàn thành luận văn này.
Do thời gian và kinh nghiệm còn nhiều hạn chế nên luận văn không
tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý từ thầy cô
và các bạn. Tác giả xin chân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 22 tháng 9 năm 2008.
Học viên


Trương Thị Hải Yến

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này ta nhắc lại một số khái niệm và một số định lí quan trọng
được dùng trong luận văn
[ ] [ ] [ ] [ ]
( )
1,2,4,5
.
1.1. Tính compact và tính đầy đủ
Định nghĩa 1.1.1. Cho
X
là một không gian mêtric với mêtric d. Một dãy
{ }
n
x
trong
X
được gọi là dãy Cauchy nếu
,
lim ( , ) 0
nm
nm
dx x
→∞
=
, tức là với mọi

0
ε
>
, tồn tại
0
n
sao cho với mọi
0
,nm n>
ta có
(, )
nm
dx x
ε
<
.
Định nghĩa 1.1.2. Không gian mêtric
X
gọi là đầy đủ (hay đầy) nếu mọi dãy
Cauchy trong nó đều hội tụ.
Ví dụ:
n

là không gian mêtric đầy đủ với khoảng cách Euclid.
Định nghĩa 1.1.3. Tập con
A
của không gian mêtric
X
được gọi là tập
compact nếu với mọi dãy

{ }
n
x
trong
A
, tồn tại dãy con
{}
k
n
x
hội tụ đến một
phần tử của
A
. Tập
A
gọi là compact tương đối nếu bao đóng
A
của
A
trong
X
là compact.
Ví dụ: Mọi tập đóng và bị chặn trong
n

là tập compact.
Định nghĩa 1.1.4. Cho
X
và
Y

là hai không gian Banach. Toán tử
: ()T DT X Y⊆→
được gọi là toán tử compact nếu
T
là liên tục và
T
biến
một tập bị chặn thành một tập compact tương đối.
Định lí 1.1.5 (Nguyên lí Cantor). Trong không gian mêtric đầy đủ mọi dãy
hình cầu đóng thắt dần đều có một điểm chung duy nhất. Ta nhắc lại, dãy hình
cầu
{ }
n
B
(với dãy bán kính tương ứng
{ }
n
r
) được gọi là thắt dần nếu
1nn
BB
+
⊆
, với mọi
1n ≥
và
lim 0
n
n
r

→∞
=
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


Định lí 1.1.6 (Định lí điểm bất động Schauder). Cho M là một tập không
rỗng, lồi, đóng, bị chặn của không gian Banach
X
, và giả sử
:TM M→
là
toán tử compact. Khi đó,
T
có một điểm bất động.
1.2. Tính bị chặn và tính liên tục của hàm số
Cho
X
là không gian mêtric. Giả sử
AX∅≠ ⊂
,
:fA→ 
và
0
xA∈
.
Định nghĩa 1.2.1. Hàm
f
bị chặn dưới trên
A

nếu tồn tại
: ()h fx h∈≥

với mọi
xA∈
. Hàm
f
bị chặn trên trên
A
nếu tồn tại
: ()h fx h∈≤
với
mọi
xA∈
.
Định nghĩa 1.2.2. Hàm
f
là nửa liên tục dưới tại
0
xA∈
nếu với mọi
0
ε
>
,
tồn tại
0
δ
>
sao cho

0
( ) ()fx fx
ε
−<
với mọi
0
( ,)x Bx
δ
∈
, tức là
0
0
liminf ( ) ( )
xx
fx fx
→
≥
. Trong đó,
{ }
0
0
liminf ( ) inf : ( ) , ( )
nn
xx
fx u x x fx u
→
= ∃→ →
.
Nếu
f

là nửa liên tục dưới tại mọi điểm
xA∈
thì
f
được gọi là nửa liên tục
dưới trên
A
. Hàm
f
được gọi là nửa liên tục trên trên
A
nếu hàm
f−
là
nửa liên tục dưới trên
A
.
1.3. Tập sắp thứ tự
Định nghĩa 1.3.1. Tập
X
cùng với quan hệ
°
thoả mãn
i)
xx°
với mọi
xX∈
(tính phản xạ).
ii)
xy°

,
yx°
kéo theo
xy=
(tính phản đối xứng).
iii)
xy°
,
yz°
kéo theo
xz°
(tính bắc cầu).
được gọi là tập sắp thứ tự bộ phận với quan hệ thứ tự “
°
”.
Định nghĩa 1.3.2. Tập con
AX⊂
được gọi là tập sắp thứ tự tuyến tính (hay
xích) nếu với
,xy A∈
bất kì thì hoặc
xy°
hoặc
yx°
.
Giả sử
X
là một tập sắp thứ tự với quan hệ thứ tự
°
và

A
là một tập
con khác rỗng của
X
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


Định nghĩa 1.3.3. Một phần tử
aX∈
gọi là phần tử cực đại của
X
nếu quan
hệ
ax°
kéo theo
xa=
, với mọi
xX∈
. Một phần tử
aX∈
gọi là phần tử
cực tiểu của
X
nếu quan hệ
xa°
kéo theo
xa=
, với mọi
xX∈

.
Định nghĩa 1.3.4. Phần tử
aX∈
gọi là cận trên của tập
A
nếu
xa°
với mọi
xA∈
.Nếu
aA∈
và
a
là một cận trên của
A
thì
a
gọi là phần tử lớn nhất
của
A
và kí hiệu là
max A
. Phần tử
aX∈
gọi là cận dưới của tập
A
nếu
ax°
với mọi
xA∈

. Nếu
aA∈
và
a
là một cận dưới của
A
thì
a
gọi là
phần tử nhỏ nhất của
A
và kí hiệu là
min A
.
Định nghĩa 1.3.5. Phần tử
aX∈
gọi là supremum của
A
(hay cận trên đúng
của
A
) nếu nó là phần tử nhỏ nhất (nếu có) của tập hợp các cận trên của
A
,
và kí hiệu là
supA
. Phần tử
aX∈
gọi là infimum của
A

(hay cận dưới đúng
của
A
) nếu nó là phần tử lớn nhất (nếu có) của tập hợp các cận dưới của
A
,
và kí hiệu là
inf A
.
Định nghĩa 1.3.6. Tập hợp
A
được gọi là bị chặn trên nếu nó có một cận
trên. Tập hợp
A
được gọi là bị chặn dưới nếu nó có một cận dưới. Tập hợp
A

được gọi là bị chặn nếu nó bị chặn trên và bị chặn dưới.
Bổ đề 1.3.7 (Bổ đề Zorn). Giả sử
X ≠∅
là tập sắp thứ tự bộ phận. Nếu mọi
xích của
X
đều có cận trên thì
X
có phần tử cực đại.
1.4. Không gian điểm bất động
Định nghĩa 1.4.1. Cho
X
là một không gian tôpô (Hausdorff ) và

f
là một
ánh xạ liên tục của X, hoặc của một tập con của
X
, vào
X
. Một điểm
xX∈
được gọi là một điểm bất động đối với f nếu
()x fx=
. Tập tất cả các
điểm bất động của
f
ký hiệu là
()Fix f
.
Người ta có thể thấy được trong định nghĩa này, dạng điển hình của các
định lí về tồn tại trong giải tích. Ví dụ: tìm một nghiệm của phương trình
() 0Pz =
, trong đó
P
là một đa thức phức, tương đương với việc tìm một
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


điểm bất động của ánh xạ
()z z Pz−
. Tổng quát hơn, nếu
D
là toán tử bất

kỳ trên một tập con của một không gian tuyến tính, việc chỉ ra phương trình
0Du =
(tương ứng
0u Du
λ
=
) có nghiệm tương đương với việc chỉ ra ánh
xạ
u u Du−
(tương ứng
u Du
λ

) có một điểm bất động. Như vậy, những
điều kiện lên một toán tử hay miền xác định ở định nghĩa để đảm bảo tồn tại
một điểm bất động diễn giải như các định lí về tồn tại trong giải tích.
Cho một không gian
X
và ánh xạ liên tục
:fX X→
. Sự tồn tại một
điểm bất động đối với
f
có thể phụ thuộc hoàn toàn vào tính chất của không
gian
X
, hơn là vào tính chất của ánh xạ
f
.
Định nghĩa 1.4.2. Một không gian tôpô (Hausdorff ) X được gọi là không

gian điểm bất động nếu mọi ánh xạ liên tục
:fX X→
đều có một điểm bất
động.
Ví dụ 1.4.3.
(i) Một khoảng đóng bị chặn
,J ab


= ⊂ 
bất kỳ là một không gian điểm
bất động. Thật vậy, cho
:fJ J→
ta có
() 0a fa−≤
và
() 0b fb−≥
, theo
định lý giá trị trung bình phương trình
() 0x fx−=
có một nghiệm trong J,
do đó
f
có một điểm bất động.
(ii) Tập số thực

không là không gian điểm bất động, vì ánh xạ
1xx+
không có điểm bất động.
Trong trường hợp tổng quát, rất khó để kiểm định là một không gian có

là không gian điểm bất động hay không, những kết quả thuộc loại đó thường
có rất nhiều hệ quả tôpô quan trọng. Một ví dụ là định lí điểm bất động
Brouwer chỉ ra rằng: Mọi tập compact lồi trong
n

đều là không gian điểm
bất động.
Tính chất là không gian điểm bất động là một bất biến tôpô: nếu
X
là
không gian điểm bất động và
:hX Y→
là đồng phôi thì với bất kì ánh xạ liên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


tục
:gY Y→
, ánh xạ
1
:h ghX X
−
→
có một điểm bất động
0
x
nên
00
() ()g hx hx=
và

0
()hx
là một điểm bất động đối với g.
Ví dụ 1.4.4. Đồ thị của hàm liên tục
:,f ab


→ 
, cho bởi
= 0
1
sin 0 1
( )
0
x khi x
fx
x
khi x








<≤
=

là đồng phôi vào

[ ]
,ab
, vì thế nó là một không gian điểm bất động.
Nếu
X
không là một không gian điểm bất động, vẫn có thể đúng rằng
một số ánh xạ với các tính chất tốt sẽ có điểm bất động. Để hợp thức hoá khái
niệm này, chúng ta mở rộng phát biểu của Định nghĩa 1.4.2:
Định nghĩa 1.4.5. Cho
X
là một không gian tôpô (Hausdorff ) và
M

là một
lớp các ánh xạ liên tục
:fX X→
. Nếu mọi
f ∈M
có điểm bất động thì X
được gọi là không gian điểm bất động tương ứng với
M
.
Chẳng hạn, nguyên lý ánh xạ co Banach khẳng định rằng: Mọi không
gian mêtric đầy đủ đều là không gian điểm bất động đối với các ánh xạ co.
Khái niệm trên là đặc biệt quan trọng khi
M
là lớp các ánh xạ
compact, nghĩa là những ánh xạ liên tục
:fX X→
với bao đóng

()fX
của
()fX
là compact, các ánh xạ thuộc loại này xuất hiện một cách tự nhiên
trong các vấn đề của giải tích phi tuyến.
Ví dụ 1.4.6.
(i) Ta đã biết

không là không gian điểm bất động. Trong thực tế,


là một không gian điểm bất động tương ứng với lớp ánh xạ compact. Nếu ánh
xạ
:f →
là compact thì
()f 
chứa trong đoạn hữu hạn
,ab


nào đó;
khi đó tự ánh xạ
:, ,f ab ab


→
có một điểm bất động.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

(ii) Định lí điểm bất động Schauder có nhiều ứng dụng trong giải tích
đã khẳng định rằng: Mọi tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn là
không gian điểm bất động đối với các ánh xạ compact.
Do ảnh liên tục của một tập compact là một tập compact, có thể sử
dụng các kỹ thuật tương tự để chỉ ra rằng tính chất là không gian điểm bất
động là một bất biến tôpô. Chẳng hạn, một tập mở bất kì
( )
,ab ⊂ 
, cũng như
đồ thị của
1
sin , 0 1x
x



<<
, là một không gian điểm bất động đối với các
ánh xạ compact.
1.5. Tạo không gian điểm bất động mới từ không gian cũ
Nói chung, một không gian con của một không gian điểm bất động
không nhất thiết là một không gian điểm bất động: chẳng hạn
{ }
,,ab ab


⊂

không có tính chất điểm bất động. Tuy nhiên, một số không gian con có thể
thừa kế tính chất điểm bất động.

Định nghĩa 1.5.1. Một tập con
AX⊂
được gọi là tập co rút của
X
nếu có
một ánh xạ liên tục
:rX A→
sao cho
()ra a=
với mỗi
aA∈
; ánh xạ
r
được
gọi là ánh xạ co rút của
X
đến A.
Ta lưu ý rằng một tập co rút của một không gian Hausdorff nhất thiết là
một tập đóng, vì
{ }
:() ()A x r x id x= =
, trong đó
( )
.id
là ánh xạ đồng nhất.
Chẳng hạn, nếu
E
là một không gian định chuẩn và
{ }
:K xEx=∈≤

ñ
ñ
là một hình cầu đóng trong
E
có tâm O và bán kính
ñ
,
thì
:rE K→
ñ
được cho bởi


( )

y khi y
ry
y
khi y
y





≤
=
>
ñ
ññ

(1.1)
là ánh xạ co rút chuẩn tắc từ
E
đến
K
ñ
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


Tầm quan trọng của khái niệm này trong lý thuyết điểm bất động bắt
nguồn từ kết quả sau:
Định lí 1.5.2. Nếu
X
là một không gian điểm bất động (tương ứng , một
không gian điểm bất động đối với các ánh xạ compact) thì
X
cũng là không
gian điểm bất động với mọi tập co rút của
X
.
Chứng minh. Giả sử
:rX A→
là ánh xạ co rút và
:iA X→
là ánh xạ
nhúng, ta có
A
r i id=
. Xét ánh xạ liên tục bất kì

:fA A→
khi đó
:i f rX X→
có một điểm bất động, giả sử đó là
0
x
. Từ
00
()i f rx x=

suy ra
0 0 00
() () () ()
A
rx r i f rx id f rx f rx


= = = 
,
do đó
0
()rx
là một điểm bất động của
f
.
Tương tự ta cũng chứng minh được không gian điểm bất động đối với các
ánh xạ compact cũng là không gian điểm bất động với mọi tập co rút của
X
. □
Mặt khác, nếu X có một tập co rút là một không gian điểm bất động thì

chắc chắn rằng
X
là không gian điểm bất động. Thật vậy, mọi tập con
{ }
a
là
không gian điểm bất động và là tập co rút của không gian bất kì.
Ta minh hoạ thêm kỹ thuật co rút bằng cách suy ra từ định lí điểm bất
động Schauder kết quả cơ bản dưới đây:
Định lí 1.5.3 (Thay phiên phi tuyến). Cho E là một không gian tuyến tính
định chuẩn và
K
ñ
là hình cầu đóng trong E có tâm O và bán kính
ñ
. Khi đó
mỗi ánh xạ compact
:FK E→
ñ
có ít nhất một trong các tính chất sau thoả
mãn:
(a)
F
có điểm bất động,
(b) Tồn tại
xK∈∂
ñ
và
( )
0,1

λ
∈
sao cho
()x Fx
λ
=
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


Chứng minh. Cho
:rE K→
ñ
là ánh xạ co rút chuẩn tắc. Theo định lí
Schauder, ánh xạ hợp compact
:rFK K→
ññ
có một điểm bất động
()x rF x=
.
Theo công thức (1.1), nếu
()Fx K∈
ñ
thì
()Fx ≤ñ
, ta có
() ()x rFx Fx= =
,
vì thế F có điểm bất động. Nếu
()Fx K∉

ñ
thì
()Fx >ñ
, ta tìm thấy
()
()
()
Fx
x rF x
Fx
= =ñ

suy ra
()
()
Fx
x
Fx
= =ññ
, do đó
xK∈∂
ñ
và ta có thể lấy
1
()Fx
λ
= <
ñ
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


Chương 2
MỘT SỐ ĐỊNH LÍ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG KHÔNG GIAN ĐẦY ĐỦ VÀ ỨNG DỤNG
CỦA ĐỊNH LÍ BANACH
Chương này nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động dựa trên tính chất đầy
đủ. Chúng ta trình bày Nguyên lí ánh xạ co Banach, và các mở rộng của nó,
một số định lí điểm bất động cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert
và một số ứng dụng của Định lí Banach
[ ]
( )
4

2.1. Nguyên lí ánh xạ co Banach
Định lí điểm bất động đơn giản nhất và được sử dụng rộng rãi nhất là
nguyên lí ánh xạ co Banach. Dựa trên quá trình lặp, nó có thể được thực hiện
trên máy tính để tìm điểm bất động của một ánh xạ co với mức độ chính xác
tuỳ ý.
Cho
(,)Xd
,
(,)Y ñ
là hai không gian mêtric và ánh xạ
:FX Y→
của
những không gian mêtric. Nếu

F
thoả mãn

( , ) (,)Fx Fz Md x z≤ñ

với M là hằng số cố định và mọi
, xz X∈
thì
F
được gọi là ánh xạ Lipschitz.
Giá trị M nhỏ nhất được gọi là hằng số Lipschitz
()LF
của F. Nếu
()1LF <
,
ánh xạ
F
được gọi là ánh xạ co với hằng số co
()LF
. Nếu
()1LF ≤
, ánh xạ F
được gọi là ánh xạ không giãn.
Lưu ý rằng ánh xạ Lipschitz là ánh xạ liên tục. Thật vậy, lấy
0
xX∈
bất
kì, cho
0
ε

>
, với mọi
xX∈
, theo định nghĩa ánh xạ Lipschitz ta có

00
( , ) (, )Fx Fx Md x x≤ñ

nên
0
(, )dxx
M
ε
δ
<=
. Như vậy,
F
liên tục tại
0
x
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


Ánh xạ co là trường hợp riêng của ánh xạ Lipschitz khi
()1LF <
nên
ánh xạ co cũng là ánh xạ liên tục.
Cho
Y

là một tập bất kì và cho ánh xạ
:FY Y→
. Lấy
yY∈
bất kì, ta
định nghĩa
()
n
Fy
bằng quy nạp như sau: đặt
0
()yFy=
ta có
0
()Fy F F y=
,
2
()F y F Fy=
,…. Cứ tiếp tục quá trình đó ta được
1
()
nn
F y FFy
+
=
. Ta gọi
n
Fy
là bước lặp thứ
n

của
Fy
, và tập
{ }
: 0,1,...
n
Fyn=
là quỹ đạo của
y

bởi F.
Định lí 2.1.1 (Nguyên lí ánh xạ co Banach). Cho
(,)Yd
là một không gian
mêtric đầy đủ và
:FY Y→
là ánh xạ co. Khi đó F có duy nhất một điểm bất
động u và
n
Fy u→
với mỗi
yY∈
.
Chứng minh. Cho
1
α
<
là hằng số co của
F
. Trước tiên ta chứng minh

F

có nhiều nhất một điểm bất động: giả sử
00
xy≠
và
00 00
, Fx x Fy y= =
, ta có
( )
00 0 0 00 00
(,) , (,) (,)dx y dFx Fy dx y dx y
α
= ≤<
,
điều này vô lí.
Để chứng minh tính tồn tại, ta phải chỉ ra rằng cho
yY∈
bất kì, dãy
{ }
n
Fy
hội tụ đến điểm bất động
u
. Đầu tiên ta có
2
( , ) (, )d Fy F y d y Fy
α
≤
và

do quy nạp
11
( , ) ( , ) (, )
nn n n n
dFyF y dF yFy dyFy
αα
+−
≤ ≤≤

Như vậy, cho
n
bất kì và
0p >
, ta thu được
1
11 1
(, )(, ) ( , ) (, )
np
n np n n np np i i
in
dFyF y dFyF y dF yF y dFyF y
+−
+ + +− + +
=
≤ ++ =
∑



11 1

( )(, ) (1 )(, )
n n np n p
d y Fy d y Fy
αα α α α α
+ +− −
≤ + ++ ≤ +++


1
(1 )(, ) (, )
1
n
np
d y Fy d y Fy
α
αα α
α
−
≤ ++ + + =
−

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


Vì
1
α
<
nên

0
n
α
→
, điều này chỉ ra rằng
{ }
n
Fy
là dãy Cauchy. Do d là đầy
đủ vì thế
n
Fy u→
với
uY∈
. Vì
F
liên tục, ta có
1
()
nn
F y F F y Fu
+
= →
;
nhưng
{ }
1n
Fy
+
là một dãy con của dãy

{ }
n
Fy
nên
Fu u=
, tức là
F
có điểm
bất động
u
. Ta thấy rằng với mỗi
yY∈
, giới hạn của dãy
{ }
n
Fy
tồn tại và có
một điểm bất động mà
F
có nhiều nhất một điểm bất động nên mọi dãy
{ }
n
Fy
đều hội tụ đến cùng một điểm. □
Ta thấy rằng từ
( , ) (, )
1
n
n np
dFyF y dyFy

α
α
+
≤
−
với mọi
0p >

tìm được
(,)lim (, ) (,)
1
n
n n np
p
dFyu dFyF y dyFy
α
α
+
→∞
= ≤
−
,
sai số của bước lặp thứ
n
khi xuất phát từ
yY∈
được hoàn toàn xác định bởi
hằng số co
α
và khoảng cách ban đầu

(, )d y Fy
.
Nguyên lí Banach có một dạng địa phương hữu ích liên quan tới hình
cầu mở B trong một không gian mêtric đầy đủ
Y
và một ánh xạ co từ B đến
Y

sao cho nó không dịch chuyển tâm của hình cầu quá xa.
Hệ quả 2.1.2. Cho
(,)Yd
là không gian mêtric đầy đủ và
{ }
00
( ,) : (, )B By r ydyy r= = <
.
Cho
:FB Y→
là một ánh xạ co với hằng số
1
α
<
. Nếu
00
( , ) (1 )d Fy y r
α
<−

thì F có một điểm bất động.
Chứng minh. Nếu

00
( , ) (1 )d Fy y r
α
<−
, chọn
r
ε
<
ta có

00
( , ) (1 ) (1 )d Fy y r
αε α
≤− <−
.
Giả sử
{ }
0
: (, )K ydyy
ε
= ≤
là hình cầu đóng. Xét ánh xạ
:FK K→
. Nếu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


yK∈
thì

0 0 00
(,) (, ) ( ,)d Fy y d Fy Fy d Fy y≤+


0
( , ) (1 ) . (1 )dyy
α αε αε αε ε
≤ +− ≤ +− =
,
vì thế
()FK K⊆
. Khi đó
:FK K→
là ánh xạ co. Do K là hình cầu đóng nên
K là đầy đủ. Theo nguyên lí ánh xạ co Banach,
:FK K→
có duy nhất một
điểm bất động. Vậy
:FB Y→
có điểm bất động. □
2.2. Miền bất biến cơ sở
Trong hầu hết các ứng dụng, không gian mêtric đầy đủ
Y
là một không
gian Banach. Định lí ánh xạ co Banach dẫn đến một kết quả đặc biệt có ích
trong ứng dụng.
Cho
X
là một tập con của không gian Banach
E

. Cho một ánh xạ
:FX E→
, ánh xạ
x x Fx−
của
X
vào
E
được gọi là trường gắn với F
và kí hiệu là
()f x x Fx= −
. Trường
:fX E→
xác định bởi ánh xạ co
:FX E→
được gọi là trường co.
Định lí 2.2.1 (Miền bất biến của trường co). Cho E là một không gian
Banach,
UE⊂
mở, và
:FU E→
là ánh xạ co với hằng số co
1
α
<
. Cho
:fU E→
là một trường gắn với F,
()f x x Fx= −
. Khi đó:

(a)
:fU E→
là một ánh xạ mở; trong trường hợp riêng,
()fU E⊂
là mở,
(b)
: ()f U fU→
là một đồng phôi.
Chứng minh.
(a) Ta chứng minh
:fU E→
là một ánh xạ mở. Cho
uU∈
bất kì, nếu
(,)Bur U⊂
thì
[ ] [ ]
( ), (1 ) ( , )B f u r f Bur
α
−⊂
. Chọn
[ ]
0
( ), (1 )y Bfu r
α
∈−

bất kì. Giả sử
: (,)G Bur E→
là ánh xạ xác định bởi

0
Gy y Fy= +
. Ta có với
mọi
12
, ( , )y y Bur∈

1 2 0 1 0 2 1 2 12
( )( )Gy Gy y Fy y Fy Fy Fy y y
α
− = + −+ = − ≤ −
với
1
α
<
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


nên G cũng là ánh xạ co với hằng số co
1
α
<
và
00
( ) (1 )Guu y Fuu y fu r
α
−= + −= − ≤−
.
Theo Hệ quả 2.1.2, tồn tại một điểm

0
(,)u Bur∈
sao cho
00
Gu u=
và
00 0
Gu y Fu= +
, vì thế
0 0000 0
()y Gu Fu u Fu f x=−=−=
,
ta được
[ ]
0
(,)y f Bur∈
và
[ ] [ ]
( ), (1 ) ( , )B f u r f Bur
α
−⊂
.
(b) Ta thấy rằng nếu
,uU∈u
thì

() () ( )( ) ( )( )f u f u Fu F u Fu F− = − −− = −− −u uu u u


(1 )u Fu F u u u

αα
≥−− − ≥−− −=− −u uu u u
.
Nếu
() () 0fu f−=u
thì từ nhận xét trên ta có
0u −=u
, vì thế
u = u
và
f
là
một đơn ánh. Vì với mọi
() ( )fx fU∈
tồn tại
xU∈
sao cho
()f x x Fx= −

do đó
f
là một toàn ánh. Như vậy,
: ()f U fU→
là một song ánh, mở, liên
tục nên nó là một đồng phôi. □
Hệ quả 2.2.2. Cho E là một không gian Banach và
:FE E→
là ánh xạ co.
Khi đó trường tương ứng
f IF= −

là một phép đồng phôi từ
E
lên
E
.
Chứng minh. Theo Định lí 2.2.1, ta chỉ cần chỉ ra
()fE E=
. Lấy
0
,yE∈
giả
sử
:GE E→
xác định bởi
0
()x y Fx+
. Ta có với mọi
12
,xx E∈


12 01 02
( )( )Gx Gx y Fx y Fx− = + −+


1 2 12
Fx Fx x x
α
=−≤−
với

1
α
<
,
nên G là ánh xạ co với hằng số co
1
α
<
. Theo Định lí 2.1.1, tồn tại điểm
0
xE∈
thoả mãn
00
Gx x=
và
00 0
Gx y Fx= +
nên
0 0000 0
()y Gx Fx x Fx f x=−=−=

vì thế
()fE E=
. Như vậy,
f IF= −
là một phép đồng phôi từ
E
lên
E
. □

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


2.3. Phương pháp liên tục cho ánh xạ co
Cho
(,)Yd
là một không gian mêtric đầy đủ và
X
là một tập con đóng
trong
Y
với phần trong U khác rỗng và biên
AX= ∂
. Ký hiệu
(,)XYC
là tập
tất cả các ánh xạ co từ
X
lên Y.
Cho ánh xạ co
:FX Y→
, ta quan tâm tới sự tồn tại nghiệm của
phương trình
()x Fx=
. Một phương pháp để xác định phương trình có
nghiệm hay không bắt đầu bằng việc nhúng
F
trong họ tham số hoá
{ }
H

λ

của các ánh xạ nối
F
với một ánh xạ
G
đơn giản hơn, và cố gắng biến đổi về
bài toán tìm nghiệm của phương trình
()x Gx=
. Về mặt hình học, ta biến đổi
đồ thị của
F
về đồ thị của
G
và rút ra kết luận từ phép biến đổi rằng: nếu đồ
thị của
G
cắt đường chéo
XY YY∆⊂ × ⊂ ×
thì đồ thị của
F
cũng cắt đường
chéo
∆
.
Kết quả chính của chúng ta trong phần này là đưa ra điều kiện sao cho
điều kiện kết luận trên là hợp lý. Cho
(,)Λ ñ
là một không gian tham số với
khoảng cách

ñ
, một họ
{ }
:H
λ
λ
∈Λ
nào đó của các ánh xạ trong
(,)XYC

phụ thuộc vào tham số
λ
∈Λ
.
Định nghĩa 2.3.1. Một họ
{ }
:H
λ
λ
∈Λ
của các ánh xạ trong
(,)XYC
được
gọi là
α
-co, trong đó
01
α
≤<
,

0M >
,
01<≤ù
, nếu ta có:

[ ]
1 2 12
( ), ( ) ( , )dHxHx dxx
λλ
α
≤
với mọi
λ
∈Λ
và
12
,xx X∈
, (2.1)

[ ]
(), () (, )dH xH x M
λµ
λµ

≤

ù
ñ
với mọi
xX∈

và
,
λµ
∈Λ
. (2.2)
Ta thấy rằng:
(i) Nếu
{ }
H
λ
là
α
-co thì ánh xạ
:H XYΛ× →
xác định bởi

(,) (,) ()x H x Hx
λ
λλ
=

là liên tục;
(ii) Ánh xạ
H
xác định họ
{ }
H
λ
và ngược lại;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

(iii) Cho tham số
λ
∈Λ
, tập điểm bất động
()Fix H
λ
hoặc là rỗng hoặc
chỉ có một điểm bất động là
x
λ
;
(iv) Đặt
( )
x Hx
λ λλ
=
và
( )
x Hx
µ µµ
=
, theo (2.1) và (2.2) ta có

(,) (), () (), () (), ()dxx dHx Hx dHx Hx dHx Hx
λµ λλµµ λλµλ µλµµ
   
=≤+
   

[ ]
(,) ( , )M dx x
λµ
λµ α
≤+
ù
ñ
,
vì thế
[ ]
(1 ) ( , ) ( , )dx x M
λµ
α λµ
−≤
ù
ñ
và do đó
[ ]
( , ) (,)
1
M
dx x
λµ
λµ
α
≤
−
ù

ñ
. (2.3)
Cho
(,)XY
A
C
là tập tất cả các ánh xạ
F
trong
(,)XYC
sao cho hạn
chế
:
A
FAY→
không có điểm bất động trên biên A của X. Bây giờ ta có thể
trình bày kết quả chính:
Định lí 2.3.2 (Định lí hàm ẩn cơ bản). Cho
Λ
là tập li ên thông và
{ }
:H
λ
λ
∈Λ
là một họ
α
-co trong
(,)XY
A

C
. Khi đó:
(i) Nếu phương trình
()Hx x
λ
=
có một nghiệm với
λ
∈Λ
thì nó có duy
nhất một nghiệm
x
λ
với mỗi
λ
∈Λ
,
(ii) Nếu
()x Hx
λ λλ
=
với
λ
∈Λ
thì ánh xạ
x
λ
λ

từ

Λ
vào U là Hölder
liên tục.
Chứng minh.
(i) Xét tập
{ }
: ( ),Q x Hx x U
λ λλ λ
λ
= ∈Λ = ∈
,
ta thấy rằng
Q ⊂Λ
, và
Q
khác rỗng vì theo giả thiết phương trình
()Hx x
λ
=

có một nghiệm với
λ
∈Λ
.
(a)
Q
là tập đóng trong
Λ
: Thật vậy, giả sử
{ }

n
λ
là một dãy trong
Q
sao cho
0n
λλ
→
với
()
n nn
x Hx
λ λλ
=
và
()
m mm
x Hx
λ λλ
=
. Theo (2.3) ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


[ ]
( , ) (, )
1
nm
nm
M

dx x
λλ
λλ
α
≤
−
ù
ñ
,
điều này chỉ ra rằng dãy
{ }
n
x
λ
là một dãy Cauchy. Ta có d đầy đủ nên
0
n
xx
λ
→
với
0
xX∈
và
H
liên tục, vì thế
0 00
() ()
n nn
x Hx x Hx

λ λλ λ λλ
= →=
,
kết quả này dẫn đến
0
00
()x Hx
λ
=
. Như vậy,
0
Q
λ
∈
.
(b)
Q
là tập mở trong
Λ
: Thật vậy, cho
0
Q
λ
∈
với
0 00
()x Hx
λ λλ
=
, ta cố định

một hình cầu mở
{ }
00
( ,) : (, ) Bx r x X dxx r U
λλ
= ∈ <⊆
, và chọn
0
ε
>
sao
cho
(1 )
r
M
εα
≤−
ù
, trong đó hằng số
M
và
ù
lấy ở công thức (2.2). Bây giờ,
nếu
λ
là một điểm bất kì của hình cầu mở
{ }
00
(,) :(,)B
λε λ λλ ε

= ∈Λ <ñ
,
ta tìm được

0 0 0 00
(), (), ()dH x x dH x H x
λλ λ λλ λ λ
  
=
  
[ ]
0
(, )M
λλ
≤
ù
ñ


(1 ) (1 )
r
MM r
M
εαα
< ≤− =−
ù
.
Theo Hệ quả 2.1.2,
H
λ

có một điểm bất động
0
( ,)x Bx r
λλ
∈
với mỗi
λ
∈Λ

thoả mãn
()Hx x
λλ λ
=
, do đó
Q
λ
∈
. Vì vậy
0
( ,)BQ
λε
⊂
và ta kết luận
0
IntQ
λ
∈
.
Ta có
Q

là tập con thực sự khác rỗng vừa đóng, vừa mở trong
Λ
và do
tính liên thông của
Λ
, như vậy
Q = Λ
. Vì
H
λ
là ánh xạ co của không gian
mêtric đầy đủ nên
H
λ
có duy nhất một điểm bất động, hơn nữa phương trình
()Hx x
λ
=
có nghiệm
x
λ
với mọi
λ
∈Λ
, vì thế nó có duy nhất một nghiệm
x
λ
với mọi
λ
∈Λ

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


(ii) Giả sử
()x Hx
λ λλ
=
với
λ
∈Λ
, ta chứng minh ánh xạ
:pUΛ→

xác định bởi
x
λ
λ
→
là Hölder liên tục. Theo (2.3), ta có
[ ] [ ]
( ), ( ) ( , ) ( ), ( ) ( , )
1
M
dp p dx x d H x H x
λµ λλ µµ
λ µ λµ
α

= = ≤


−
ù
ñ

với mọi
,
λµ
∈Λ
thoả mãn điều kiện Hölder bậc
(
]
0,1∈ù
. □
2.4. Luân phiên phi tuyến cho ánh xạ co
Trong mục này, ta giả thiết rằng không gian mêtric
Y
là một tập con lồi
đóng C của một không gian Banach
E
và không gian tham số
Λ
là
[ ]
0,1
. Ta
có kết quả sau:
Định lí 2.4.1 (Luân phiên phi tuyến ). Cho U là một tập con lồi mở (tương
đối) của C với
0 U∈

. Khi đó ánh xạ co bị chặn
:FU C→
có ít nhất một
trong các tính chất sau:
(i) F có duy nhất một điểm bất động,
(ii) Tồn tại
0
yU∈∂
và
(0,1)
λ
∈
sao cho
00
()y Fy
λ
=
.
Chứng minh. Cho
[ ]
( , ) 0,1xU
λ
∈×
và đặt
() ()H x Fx
λ
λ
=
. Dễ thấy
[ ]

{ }
: 0,1H
λ
λ
∈
là một họ
α
-co trong
(,)UCC
với
1=ù
. Thật vậy, ta có
12 12
() () () ()H x H x Fx Fx
λλ
λλ
−=−
12
() ()Fx Fx
λ
= −


12
xx
αλ
≤−
với mọi
12
,xx U∈

và
[ ]
0,1
λ
∈
,
() () () ()H x H x Fx Fx
λµ
λµ
−=−


()Fx
λµ
= −
với
[ ]
, 0,1
λµ
∈
và mọi
xU∈
.
Nếu
{ }
H
λ
không có điểm bất động trên biên
U∂
, ta có

0
(0) 0H =
. Theo Định
lí 2.3.2,
1
HF=
cũng có một điểm bất động trong U. Nếu
{ }
U
H (,)UC
λ
∂
⊄ C

thì
F
λ
phải có một điểm bất động
0
x
trên biên
U∂
với
[ ]
0,1
λ
∈
nên
0 00
() ()H x Fx x

λ
λ
= =
. Nếu
0
λ
=
thì
00
() 0Fx x
λ
= =
, điều này mâu thuẫn với
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


giả thiết
0 U∈
, vì thế
0
λ
≠
. Nếu
1
λ
=
thì
10 0 0
() ()H x Fx x= =
, do đó

0
x
là
điểm bất động của
F
trên
U∂
, hoặc tính chất (ii) đúng. Hơn nữa,
H
λ
là ánh
xạ co nên điểm bất động nếu có là duy nhất. □
Từ Định lí 2.4.1 có thể suy ra định lí điểm bất động đối với ánh xạ co
khi ta đặt điều kiện mạnh để không cho khả năng thứ hai trong Định lí 2.4.1
xảy ra:
Hệ quả 2.4.2. Cho U là một tập con lồi mở (tương đối) của C với
0 U∈
và
cho
||
là một chuẩn bất kì trong không gian Banach E, tập lồi C chứa trong
không gian Banach E. Giả sử
:FU C→
là ánh xạ co bị chặn sao cho với
mọi
xU∈∂
, một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
(i)
()

Fx x≤
| | ||
,
(ii)
() ()

Fx x Fx≤−
| || |
,
(iii)
22 2
() ()Fx x x Fx≤ +−
| | || | |
,
(iv)
( ), ,Fx x xx≤
, trong đó
,
là một tích vô hướng trong E.
Khi đó F có duy nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Giả sử
F
không có điểm bất động,
F
có một điểm
zU∈∂
với
()z Fz
λ
=

,
01
λ
<<
, trong trường hợp riêng
() 0Fz≠
.
(i) Từ giả thiết (i), ta có
() () ()

Fz Fz Fz
λλ
=
≤
| | | | | |

và do đó
1
λ
≤
, điều này trái với
01
λ
<<
nên không tồn tại
zU∈∂
và
01
λ
<<

sao cho
()z Fz
λ
=
. Theo Định lí 2.4.1,
F
có duy nhất một điểm bất
động.
(ii) Từ giả thiết (ii), ta có
() () () 1 ()Fz Fz Fz Fz
λλ
≤ −=−
| | | | | |

vì thế
11
λ
≤−
, điều này trái với
01
λ
<<
do đó không tồn tại
zU∈∂
và
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


01
λ

<<
sao cho
()z Fz
λ
=
. Theo Định lí 2.4.1,
F
có duy nhất một điểm bất
động.
(iii) Từ giả thiết (iii), ta có
2 2 222 22
() () () () () ( 1) ()Fz Fz Fz Fz Fz Fz
λλ λ λ
≤ + − = +−
||| || ||| ||

và do đó
22
1 (1 ) (1 ) 1
λ λλ λ
≤ +− <+− =
,
điều này vô lí, vì thế không tồn tại
zU∈∂
và
01
λ
<<
sao cho
()z Fz

λ
=
.
Theo Định lí 2.4.1,
F
có duy nhất một điểm bất động.
(iv) Từ giả thiết (iv), ta có
2
(), () (), () (), () (), ()Fz Fz Fz Fz Fz Fz Fz Fz
λλ λλλ
=≤=
,
vì thế
2
λλ
≤
kéo theo
0
λ
≤
hoặc
1
λ
≥
, điều này trái với
01
λ
<<
nên không
tồn tại

zU∈∂
và
01
λ
<<
sao cho
()z Fz
λ
=
. Theo Định lí 2.4.1,
F
có duy
nhất một điểm bất động.
□

Kết qủa tiếp theo trình bày một dạng cơ bản của định lí xuyên tâm đối
của Borsuk.
Hệ quả 2.4.3 (Định lý xuyên tâm đối). Cho U là một tập con mở của một
không gian Banach
(, )E
, U đối xứng qua gốc và
0 U∈
, cho
:FU E→
là
một ánh xạ co bị chặn sao cho
() ( )Fx F x=−−
với mọi
xU∈∂
. Khi đó

F
có
duy nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Vì
U
đối xứng qua gốc và
0 U∈
nên nếu
xU∈∂
thì
xU− ∈∂
,
và
F
là ánh xạ co bị chặn thoả mãn
() ( )Fx F x=−−
với mọi
xU∈∂
, do đó
() () ()Fx F x x x
α
− − ≤ −−
,
vì thế
()Fx x x
α
≤<
với
01
α

≤<
là hằng số co của ánh xạ
F
. Như vậy,
()Fx x<
với mọi
xU∈∂
. Theo Định lí 2.4.2(i),
F
có duy nhất một điểm
bất động. □
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


2.5. Mở rộng của định lí Banach
Có nhiều cách mở rộng định lí Banach trong một không gian mêtric
đầy đủ tuỳ ý, ở đó tính co của ánh xạ có thể được làm yếu đi. Các kết quả đều
dựa trên một nguyên lý chung liên quan tới ảnh của các hình cầu khi tâm của
chúng không chuyển dịch quá nhiều.
Định lí 2.5.1. Cho
(,)Xd
là một không gian mêtric đầy đủ và
:FX X→
là
một ánh xạ (không nhất thiết phải liên tục). Giả sử
Với mỗi
0
ε
>
có một

() 0
δε
>
sao cho nếu
(, ) ()d x Fx
δε
<
thì

[ ]
(,) (,)FBx Bx
εε
⊂
. (2.4)
Khi đó, nếu
1
( , )0
nn
dFuF u
+
→
với
uX∈
bất kì thì dãy
{ }
n
Fu
hội tụ đến một
điểm bất động của F.
Chứng minh. Đặt

n
n
Fu u=
.
Trước tiên ta phải chứng minh dãy
{ }
n
Fu
hội tụ đến
zX∈
. Ta sẽ chỉ
ra
{ }
n
u
là một dãy Cauchy. Lấy
0
ε
>
, chọn N đủ lớn để
1
( , ) ()
nn
du u
δε
+
<
với mọi
nN≥
.

Với
nN=
, ta có
1
(, ) (, ) ()
NN N N
du u du Fu
δε
+
= <
thì
[ ]
( ,) ( ,)
NN
F Bu Bu
εε
⊂

(theo giả thiết) nên
1
( ,)
NN N
Fu u B u
ε
+
= ∈
, vì thế
1
(, )
NN

du u
ε
+
<
. Ta thấy rằng
21 32
( ,), ( ,)
N N NN N N
u Fu B u u Fu B u
εε
++ ++
=∈=∈
,….
Cứ tiếp tục quá trình đó, ta được
( ,)
k
N Nk N
Fu u Bu
ε
+
= ∈
với mọi
0k ≥

nên
(, )
N Nk
du u
ε
+

<
. Như vậy,
(,) (, ) (,) 2
ks kN Ns
du u du u du u
εε ε
≤ + <+=
với mọi
,sk N≥

vì thế
{ }
n
u
là một dãy Cauchy. Do
d
đầy đủ nên dãy
{ }
n
u
hội tụ đến
zX∈
.
Ta còn phải chứng minh
z
là điểm bất động đối với
F
: Thật vậy, giả
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

sử
(, ) 0d z Fz a= >
, ta có thể chọn
,
3
n
a
u Bz

∈


sao cho
1
(, )
nn
du u
+
=
( )
( )
,( ) ,()
3
n
n nn
a
du FFu du Fu
δ


= <


.
Theo giả thiết, ta có
,,
33
nn
aa
FBu Bu

 
⊂
 

 

.
Do cách chọn
n
u
nên
,
3
n
a
z Bu

∈



, vì thế
,
3
n
a
Fz B u

∈


, điều này vô lí vì
nếu
( , ) ( ,) ( ,) 2
33
nn
aa
d Fz u d Fz z d u z a≥ − ≥− =
thì
,
3
n
a
Fz B u

∉


. Như vậy,
(, ) 0d z Fz =

, tức là
Fz z=
. □
Để minh hoạ ta phát biểu hai định lí mở rộng nguyên lý Banach.
Định lí 2.5.2. Cho
(,)Xd
là không gian mêtric đầy đủ và cho
:FX X→
là
một ánh xạ thoả mãn

[ ]
( , ) (,)d Fx Fy d x y
ϕ
≤
,
trong đó
:
ϕ
++
→
là hàm không giảm (không nhất thiết phải liên tục) sao
cho
() 0
n
t
ϕ
→
với mỗi t > 0 cố định. Khi đó F có duy nhất một điểm bất
động u và

n
Fx u→
với mỗi
xX∈
.
Chứng minh. Trước hết ta nhận xét rằng
()tt
ϕ
<
với mỗi
0t >
. Thật vậy, giả
sử
()tt
ϕ
<
với
0t >
, do tính đơn điệu của
ϕ
, ta có
[ ]
2
() () ()t tt
ϕ ϕϕ ϕ
≤=
,….
Cứ tiếp tục quá trình trên, ta được
2
() () ()

n
tt t t
ϕϕ ϕ
≤ ≤ ≤≤
với mọi
0n >
,
điều này trái với giả thiết
() 0
n
t
ϕ
→
với mỗi
0t >
cố định. Vậy
()tt
ϕ
<
với
mỗi
0t >
. Với nhận xét này ta bắt đầu chứng minh định lí:
Theo giả thiết và nhận xét trên, ta có