Một số kết quả đánh giá ổn định và phương pháp lặp cho phương trình burgers

1
MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1: Các kết quả đánh giá ổn định cho phương trình Burgers
ngược thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.1. Hàm lồi logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Các kết quả đánh giá ổn định cho phương trình Burgers ngược thời
gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chương 2: Các phương pháp lặp cho phương trình Burgers . . . . .14
2.1. Bài toán cực tiểu hóa trong L
2
(Q
T
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Bài toán cực tiểu hóa trong W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
LỜI NÓI ĐẦU
Phương trình Burgers ngược thời gian thường xuyên xuất hiện trong ứng
dụng khi nghiên cứu về các quá trình sóng phi tuyến, trong lý thuyết về âm
học phi tuyến hay lý thuyết nổ, (xem [6]). Bài toán ngược kể trên đặt không
chỉnh theo nghĩa Hadamard (xem [7]). Một bài toán được gọi là đặt chỉnh nếu
nó thỏa mãn ba điều kiện: a) nó có nghiệm, b) nghiệm duy nhất, c) nghiệm
phụ thuộc liên tục (theo một tôpô nào đó) theo dữ kiện của bài toán. Nếu
như ít nhất một trong ba điều kiện này không thỏa mãn, thì ta nói rằng Bài
toán đặt không chỉnh. Đối với các bài toán đặt không chỉnh, vấn đề đánh giá
ổn định cũng như việc đề xuất các phương pháp lặp để giải bài toán được
rất nhiều nhà toán học quan tâm. Bởi tính ứng dụng cao của phương trình
Burgers trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học nên nó đã được nghiên

cứu từ những thập niên 70 của thế kỷ trước (xem [3]). Tuy nhiên, đây là
phương trình có độ phi tuyến cao nên rất khó xử lý. Cho đến nay vẫn chỉ có
rất ít kết quả dành cho bài toán này. Trong luận văn này, chúng tôi nghiên
cứu về đánh giá ổn định và các phương pháp lặp cho phương trình Burgers
ngược thời gian. Trên cơ sở các tài liệu [1], [3], [4], [5] và [6], chúng tôi lựa
chọn đề tài cho luận văn của mình là : "Một số kết quả đánh giá ổn
định và phương pháp lặp cho phương trình Burgers".
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn gồm có
hai chương.
Chương 1: Các kết quả đánh giá ổn định cho phương trình Burgers ngược
thời gian.
Chương 2: Các phương pháp lặp cho phương trình Burgers.
Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức về hàm lồi logarithm
2
3
và các kết quả đánh giá ổn định cho phương trình Burgers ngược thời gian.
Trong chương 2, chúng tôi trình bày chứng minh chi tiết các kết quả trong
tài liệu [5] và được chia làm 2 mục.
2.1. Bài toán cực tiểu hóa trong L
2
(Q
T
)
Mục này nhằm trình bày các kết quả về cực tiểu hàm của phương pháp tối
ưu liên hợp (adjoint optimization) trong L
2
(Q
T
) với Q
T

= (0, 1) × (0, T ).
2.2. Bài toán cực tiểu hóa trong W
Mục này nhằm trình bày các kết quả về cực tiểu hàm dựa trên phương pháp
cực tiểu theo chuẩn L
2
của gradient (L
2
- minimization of the gradient) trong
W . Trong đó W là không gian các hàm u(x, t) sao cho u
x
(x, t) ∈ L
2
(Q
T
)
và u(0, t) = u(1, t) = 0. Chuẩn trong không gian này được định nghĩa là
u
W
= u
x

L
2
(Q
T
)
.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
nhiệt tình, tận tâm của thầy giáo, TS. Nguyễn Văn Đức và sự giúp đỡ của
các thầy cô, gia đình, bạn bè. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy

đã dành cho tác giả sự quan tâm giúp đỡ tận tình và chu đáo trong suốt quá
trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm
Toán học, các thầy cô trong tổ Giải tích - khoa Sư phạm Toán học - Trường
Đại học Vinh đã giúp đỡ tác giả trong quá trình hoàn thành luận văn, xin
cảm ơn các bạn học viên cao học khóa 20 - Giải tích Toán học đã tạo điều
kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn của mình.
Vì thời gian không nhiều và khả năng của bản thân còn hạn chế nên luận
văn chắc hẳn không tránh khỏi thiếu sót. Tác giả kính mong nhận được sự
góp ý của quý thầy cô cùng toàn thể các bạn học viên cao học.
Nghệ An, tháng 10 năm 2014
Tác giả
Phạm Văn Sơn
CHƯƠNG 1
CÁC KẾT QUẢ ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH CHO PHƯƠNG TRÌNH
BURGERS NGƯỢC THỜI GIAN
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày tổng quan các kết quả đánh giá
ổn định cho phương trình Burgers ngược thời gian, sau đó chúng tôi đề xuất
một cải tiến nhỏ cho một trong số các kết quả đã có. Để tiện theo dõi, trước
hết chúng tôi trình bày về khái niệm hàm lồi logarithm.
1.1 Hàm lồi logarithm
Kiến thức trong phần này được chúng tôi tham khảo trong tài liệu [2]. Như
ta đã biết, với hàm số f(t) khả vi liên tục hai lần trên [t
1
; t
2
] thì điều kiện để
hàm f(t) là một hàm lồi theo t trên đoạn [t
1
; t

2
] là
f”(t) ≥ 0, ∀t ∈ [t
1
; t
2
]. (1.1)
Nếu f”(t) ≥ 0, ∀t ∈ [t
1
; t
2
] thì f

là hàm đơn điệu tăng nên ta có
t

t
1
f

(s)ds ≤ f

(t)(t − t
1
); ∀t ∈ (t
1
, t
2
)
và

t
2

t
f

(s)ds ≥ f

(t)(t
2
− t), ∀t ∈ (t
1
, t
2
).
Từ đó đạt được
1
t − t
1
t

t
1
f

(s)ds  f

(t) 
1
t

2
− t
t
2

t
f

(s)ds, ∀t ∈ (t
1
, t
2
)
4
5
hay
1
t − t
1
(f(t) − f(t
1
)) 
1
t
2
− t
(f(t
2
) − f(t)), ∀t ∈ (t
1

, t
2
).
Điều này kéo theo rằng
f(t) ≤

t
2
− t
t
2
− t
1

f(t
1
) +

t − t
1
t
2
− t
1

f(t
2
).
Nếu hàm lồi f(t) có dạng f(t) = ln F (t) thì ta nói rằng F (t) là hàm lồi
logarithm theo t trên đoạn [t

1
, t
2
]. Trong trường hợp này, điều kiện (1.1) trở
thành
d
2
dt
2
ln F (t) ≥ 0, ∀t ∈ [t
1
; t
2
]. (1.2)
Với chú ý F (t) > 0, ∀t ∈ [t
1
; t
2
], điều kiện (1.2) được viết lại thành
F F” − (F

)
2
≥ 0, ∀t ∈ [t
1
; t
2
]. (1.3)
Vậy nếu F (t) thỏa mãn (1.3) thì ta có
ln F (t) ≤


t
2
− t
t
2
− t
1

[ln F (t
1
)] +

t − t
1
t
2
− t
1

[ln F (t
2
)].
Điều này tương đương với
F (t) ≤ [F (t
1
)]

t
2

−t
t
2
−t
1

[F (t
2
)]

t−t
1
t
2
−t
1

.
Bây giờ giả sử F (t) thỏa mãn
F F” − (F

)
2
≥ −kF
2
(1.4)
hoặc
F F” − (F

)

2
≥ −k
1
F F

− k
2
F
2
(1.5)
trong đó k, k
1
, k
2
là các hằng số và F (t) > 0 trên đoạn [t
1
, t
2
].
Từ (1.4) ta có
d
2
dt
2

ln

F.e
kt
2

2

≥ 0 (1.6)
6
và từ (1.5) ta có
d
2
dδ
2

ln

F (δ).δ
−k
2
k
2
1

≥ 0 (1.7)
với δ = e
−k
1
t
. Do đó điều kiện (1.4) kéo theo
ln F (t) ≤

t
2
− t

t
2
− t
1

[ln F (t
1
)] +

t − t
1
t
2
− t
1

[ln F (t
2
)] +
1
2
k(t − t
1
)(t
2
− t).
Bất đẳng thức trên tương đương với
F (t) ≤ exp

1

2
k(t − t
1
)(t
2
− t)

[F (t
1
)]

t
2
−t
t
2
−t
1

[F (t
2
)]

t−t
1
t
2
−t
1


, ∀t ∈ [t
1
; t
2
]. (1.8)
Tương tự, điều kiện (1.5) kéo theo
ln

F (δ).δ
−k
2
k
2
1

≤

δ
2
− δ
δ
2
− δ
1

ln

F (δ
1
).δ

−k
2
k
2
1
1

+

δ − δ
1
δ
2
− δ
1

ln

F (δ
1
).δ
−k
2
k
2
1
1

.
Bất đẳng thức này tương đương với

F (δ).δ
−k
2
k
2
1
≤

F (δ
1
).δ
−k
2
k
2
1
1

δ
2
−δ
δ
2
−δ
1

F (δ
1
).δ
−k

2
k
2
1
1

δ−δ
1
δ
2
−δ
1
, (1.9)
trong đó δ ∈ [δ
1
, δ
2
] và δ
1
= e
−k
1
t
, δ
2
= e
−k
1
t
.

1.2 Các kết quả đánh giá ổn định cho phương trình
Burgers ngược thời gian
Một trong những vấn đề cơ bản khi nghiên cứu các bài toán đặt không
chỉnh là việc tìm các đánh giá ổn định. Các đánh giá này cho ta biết bài toán
"xấu" đến mức nào, để từ đó có thể đưa ra các phương pháp số hữu hiệu.
Ngoài ra, các đánh giá ổn định cũng rất quan trọng trong việc chứng minh sự
hội tụ và các đánh giá sai số của các phương pháp chỉnh khi giải bài toán đặt
không chỉnh. Cho đến nay, các đánh giá ổn định cho phương trình parabolic
ngược thời gian nhận được chủ yếu cho phương trình tuyến tính, rất ít kết
quả nhận được cho các phương trình phi tuyến. Một trong những phương
trình phi tuyến có nhiều ứng dụng nhất là phương trình Burgers ngược thời
7
gian. Cho đến nay, các kết quả đánh giá ổn định cho loại phương trình này
vẫn còn hạn chế. Chúng tôi chỉ tìm thấy một số kết quả của Carasso ([3]),
Ponomarev ([6]), Đinh Nho Hào và cộng sự ([4]).
Vào năm 1977, Carasso ([3]) đã xem xét phương trình Burgers ngược thời
gian dạng



u
t
= νu
xx
− uu
x
+ f(x, t), (x, t) ∈ (0, 1) × (0, T )
u(0, t) = p(t), u(1, t) = q(t), 0  t  T
u(x, T ) = ϕ(x), x ∈ (0, 1),
(1.10)

trong đó ν là số thực dương, p, q, ϕ, f là các hàm đã cho với p, q, f là các hàm
trơn. Kí hiệu  ·  là chuẩn L
2
(0, 1) và D = {(x, t) : 0 < x < 1, 0 < t < T }.
Carasso đạt được đánh giá ổn định dạng H¨older cho nghiệm của phương trình
Burgers ngược thời gian như sau.
1.2.1 Định lý. ([3]) Nếu u
i
(x, t), i = 1, 2 là nghiệm của bài toán (1.10) với
hàm ϕ(x) được thay bởi ϕ
1
(x) và ϕ
2
(x) tương ứng, trong đó ϕ
1
, ϕ
2
∈ L
2
(0, 1)
sao cho ϕ
1
− ϕ
2
  δ (δ > 0) và
max {|u
i
|
(x,t)∈D
, |u

it
|, |u
ix
|, |u
itt
|, |u
ixt
| } ≤ N (1.11)
thì với mọi t ∈ [0, T ] ta có đánh giá
u
1
(·, t) − u
2
(·, t)  2 exp

4N + t(T − t)(N
2
+ (1 + 3ν)N)
4ν

N
(T −t)/T
δ
t/T
.
(1.12)
Đối với định lý này, chúng tôi đã có một cải tiến nhỏ bằng cách đề xuất
và chứng minh định lý sau đây.
1.2.2 Định lý. ([1]) Nếu u
i

(x, t), i = 1, 2 là nghiệm của bài toán (1.10) với
hàm ϕ(x) được thay bởi ϕ
1
(x) và ϕ
2
(x) tương ứng, trong đó ϕ
1
, ϕ
2
∈ L
2
(0, 1)
sao cho ϕ
1
− ϕ
2
  δ (δ > 0) và
max {|u
i
|
(x,t)∈D
, |u
it
|, |u
ix
|, |u
itt
|, |u
ixt
| } ≤ N

8
thì với mọi t ∈ [0, T ] ta có đánh giá
u
1
(·, t) − u
2
(·, t)  2 exp

4N + t(T − t)(N
2
+ (1 + ν)N)
4ν

N
(T −t)/T
δ
t/T
.
(1.13)
Chú ý rằng ν, N, δ > 0 và t ∈ [0, T ] nên vế phải của (1.13) bé hơn vế phải
của (1.12). Do đó kết quả trong Định lý 1.2.2 tốt hơn kết quả trong Định
lý 1.2.1.
Vào năm 1986, Ponomarev ([6]) đã xét phương trình

u
t
= a(t)u
xx
+ b(x, t)uu
x

+ c(x, t)u
x
+ d(x, t)u + f(x, t), (x, t) ∈ D,
u(0, t) = 0, u(1, t) = 0, 0 < t < T,
với a(t) > 0. Tác giả này cũng đưa ra đánh giá ổn định dạng H¨older nhưng
với đòi hỏi
u(x, t)
C
2
(D)
 E, trong đó E là số thực dương. (1.14)
Dễ nhận thấy rằng các điều kiện (1.11) và (1.14) có đặc điểm chung là đòi
hỏi đạo hàm cấp hai của nghiệm bị chặn. Năm 2014, Đinh Nho Hào, Nguyễn
Văn Đức và Nguyễn Văn Thắng ([4]) đã đề xuất và chứng minh một số kết
quả đánh giá ổn định nghiệm của phương trình Burgers ngược thời gian. Các
tác giả này đã đưa ra đánh giá ổn định dạng H¨older chỉ với đòi hỏi đạo hàm
bậc nhất của nghiệm bị chặn. Cụ thể, họ đã đề xuất và chứng minh các kết
quả sau.
1.2.3 Định lý. ([4]) Giả sử u
1
(x, t) và u
2
(x, t) là các nghiệm trơn của phương
trình

u
t
= (a(x, t)u
x
)

x
− d(x, t)uu
x
+ f(x, t), (x, t) ∈ D,
u(0, t) = g
0
(t), u(1, t) = g
1
(t), 0  t  T,
(1.15)
trong đó a(x, t), d(x, t), g
0
(t), g
1
(t), f(x, t) là các hàm trơn, a(x, t)  a >
0, (x, t) ∈ D, a
t
(x, t), d(x, t) và d
x
(x, t) bị chặn trên tập D. Đặt
m = max
(x,t)∈D
a
t
(x, t) + 2(dE)
2
a(x, t)
9
và xác định hàm µ bởi:
µ(t) =

t
T
nếu m = 0, µ(t) =
e
mt
− 1
e
mT
− 1
nếu m = 0. (1.16)
Nếu u
1
(x, t) và u
2
(x, t) thỏa mãn
max
(x,t)∈D
{|u
i
|, |u
ix
|}  E, i = 1, 2, (1.17)
và u
1
(·, T ) − u
2
(·, T )
L
2
(0,1)

 δ, thì ta có đánh giá
u
1
(·, t) − u
2
(·, t)
L
2
(0,1)
 k
1
(t)δ
µ(t)
E
1−µ(t)
, ∀t ∈ [0, T ], (1.18)
trong đó
k
1
(t) =









2 exp


E
1
(T −t) +
1
2
E
2
t(T −t)

, nếu m = 0,
2 exp

1
2
E
2

e
mT
− 1

2
e
2|m|T
m
2
+ E
1


T −
t
2


, nếu m = 0,
E
1
= E max
(x,t)∈D
(|d| + |d
x
|) , E
2
= E
2
1
+ 4E
2
max
(x,t)∈D
d
2
.
1.2.4 Định lý. ([4]) Giả sử u
1
(x, t) và u
2
(x, t) là hai nghiệm trơn của bài
toán


u
t
= νu
xx
− αuu
x
+ f(x, t), (x, t) ∈ D,
u(0, t) = g
0
(t), u(1, t) = g
1
(t), 0  t  T,
(1.19)
trong đó ν > 0, α ∈ R, và g
0
, g
1
, f là các hàm trơn. Nếu u
1
, u
2
thỏa mãn
max
(x,t)∈D
{|u
i
|, |u
ix
|, |u

it
|}  E, i = 1, 2 (1.20)
và u
1
(·, T ) − u
2
(·, T )  δ, thì ta có đánh giá
u
1
(·, t) − u
2
(·, t)  k
1
(t)δ
t
T
E
1−
t
T
, t ∈ [0, T ], (1.21)
trong đó
k
1
(t) = 2 exp

|α|E
ν
+ 2E
1

t + E
2
1
t(T −t)

, E
1
=
α
2
E
2
+ 2|α|E
4ν
+
|α|E
2
.
10
Theo kỹ thuật chứng minh trong tài liệu [4], trong luận văn này chúng tôi
đưa ra một cải tiến nhỏ về hệ số k
1
(t) trong đánh giá ở Định lý 1.2.4. Cụ thể,
chúng tôi đề xuất và chứng minh định lý sau.
1.2.5 Định lý. Giả sử u
i
(x, t), i = 1, 2 là nghiệm của bài toán

u
t

= νu
xx
− αuu
x
+ f(x, t), (x, t) ∈ D,
u(0, t) = g
0
(t), u(1, t) = g
1
(t), 0  t  T,
(1.22)
trong đó ν > 0, α ∈ R, và g
0
, g
1
, f là các hàm trơn. Nếu
max
(x,t)∈D
{|u
i
|, |u
ix
|, |u
it
|}  E, i = 1, 2
và
u
1
(·, T ) − u
2

(·, T ) ≤ δ
thì với mọi t ∈ [0, T ] ta có đánh giá
u
1
(·, t) − u
2
(·, t) ≤ k(t)E
1−
t
T
δ
t
T
, ∀t ∈ [0, T ], (1.23)
trong đó k(t) = 2
1−
t
T
exp

|α|E
ν
+
1
4
E
2
1
(T −t)t + 2
E

1
t(T −t)
T

và
E
1
=
α
2
E
2
+ 2|α|E
4ν
+
|α|
2
E.
Chứng minh. Đặt z(x, t) = u
1
(x, t) − u
2
(x, t),
a(x, t) =
u
1
(x, t) + u
2
(x, t)
2

, ∀(x, t) ∈ D,
B (x, t) = α
x

0
a (s, t)ds và ψ (x, t) = z (x, t) exp

−B(x,t)
2ν

. Tương tự như
trong chứng minh của Định lí 1.2.1, ta có



ψ
t
= νψ
xx
−

α
2
a
2
+ 2B
t
4ν
+
1

2
αa
x

ψ, ∀(x, t) ∈ D
ψ (0, t) = ψ (1, t) = 0; ∀t ∈ [0, T ] .
(1.24)
Đặt
Q(x, t) =
α
2
a
2
+ 2B
t
4ν
+
1
2
αa
x
.
11
Ta có |Q| ≤ E
1
, ∀(x, t) ∈ D và ψ
t
= νψ
xx
− Qψ. Đặt G(t) =


1
0
ψ
2
dx, ta có
G
t
= 2

1
0
ψψ
t
dx = −2

1
0
νψ
2
x
dx − 2

1
0
Qψ
2
dx.
Giả sử ψ(·, t) > 0, ∀t ∈ [0, T ]. Ta có
G

t
G
= H(t) + K(t),
trong đó H(t) = −2
ν

1
0
ψ
2
x
dx

1
0
ψ
2
dx
và K(t) = −2

1
0
Qψ
2
dx

1
0
ψ
2

dx
. Do đó ta đạt được

1 −
t
T

ln G(t) ≤

1 −
t
T

ln G(0)
+

1 −
t
T


t
0
H(s)ds +

1 −
t
T



t
0
K(s)ds (1.25)
và
t
T
ln G(t) ≤
t
T
ln G(T ) −
t
T

T
t
H(s)ds −
t
T

T
t
K(s)ds. (1.26)
Mà |K(t)| ≤ 2E
1
, ∀t ∈ [0, T ], ta có
ln G(t) ≤

1 −
t
T


ln G(0) +
t
T
ln G(T ) +

1 −
t
T


t
0
H(s)ds
−
t
T

T
t
H(s)ds + 4
E
1
t(T −t)
T
=

1 −
t
T


ln G(0) +
t
T
ln G(T ) +

t
0
H(s)ds
−
t
T

T
0
H(s)ds + 4
E
1
t(T −t)
T
. (1.27)
Đặt ϕ = −Qψ, ta có
1
2ν


1
0
ψ
2

dx

2
H
t
= −


1
0
ψ
2
dx

2
d
dt

1
0
ψ
2
x
dx

1
0
ψ
2
dx

= −2

1
0
ψ
2
dx

1
0
ψ
x
ψ
xt
dx + 2

1
0
ψ
2
x
dx

1
0
ψψ
t
dx
= 2


1
0
ψ
2
dx

1
0
ψ
xx
ψ
t
dx − 2

1
0
ψψ
xx
dx

1
0
ψψ
t
dx
12
= 2

1
0

ψ
2
dx

1
0
ψ
xx
(νψ
xx
+ ϕ)dx − 2

1
0
ψψ
xx
dx

1
0
ψ(νψ
xx
+ ϕ)dx
= 2

1
0
ψ
2
dx


1
0
ψ
xx
(νψ
xx
+ ϕ)dx
− 2

1
0
ψψ
xx
dx


1
0
νψψ
xx
dx +

1
0
ϕψdx

= 2

1

0
ψ
2
dx

1
0

√
νψ
xx
+
1
2
√
ν
ϕ

2
dx −
1
2ν

1
0
ψ
2
dx

1

0
ϕ
2
dx
− 2


1
0

√
νψ
xx
+
1
2
√
ν
ϕ

ψdx

2
+
1
2ν


1
0

ϕψdx

2
≥ −
1
2ν

1
0
ψ
2
dx

1
0
ϕ
2
dx (1.28)
hay


1
0
ψ
2
dx

H
t
≥ −


1
0
ϕ
2
dx ≥ −

1
0
Q
2
ψ
2
dx ≥ −E
2
1

1
0
ψ
2
dx. (1.29)
Từ (1.29), ta có hàm

t
0
H(s)ds +
1
2
E

2
1
t
2
là hàm lồi theo biến t. Do đó

t
0
H(s)ds ≤
1
2
E
2
1
(T −t)t +
t
T

T
t
H(s)ds. (1.30)
Từ (1.27) và (1.30), ta có
ln G(t) ≤

1 −
t
T

ln G(0) +
t

T
ln G(T ) +
1
2
E
2
1
(T −t)t + 4
E
1
t(T −t)
T
hay
ψ(·, t) ≤ ψ(·, 0)
1−
t
T
ψ(·, T )
t
T
exp

1
4
E
2
1
(T −t)t + 2
E
1

t(T −t)
T

.
Từ ψ (x, t) = z (x, t) exp

−B(x,t)
2ν

và |B (x, t) | ≤ |α|E , ta có
z(·, t) ≤ z(·, 0)
1−
t
T
z(·, T )
t
T
exp

|α|E
ν
+
1
4
E
2
1
(T −t)t + 2
E
1

t(T −t)
T

.
(1.31)
Mà
z(T ) = u
1
(T ) −u
2
(T )  δ, (1.32)
13
và
z(0) = u
1
(0) − u
2
(0)  u
1
(0) + u
2
(0)  2E. (1.33)
Ta đạt được
u
1
(·, t) − u
2
(·, t) ≤ k(t)E
1−
t

T
δ
t
T
, ∀t ∈ [0, T ].
Nếu ψ(·, 0) = 0 thì ψ(·, t) = 0, ∀t ∈ [0, T ]. Nếu ψ(·, 0) > 0 thì chứng
minh tương tự như trong Định lí 1.2.1 ta có ψ(·, t) > 0, ∀t ∈ [0, T ].
Định lí được chứng minh.
Chú ý rằng
k(t) = 2
1−
t
T
exp

|α|E
ν
+
1
4
E
2
1
(T −t)t + 2
E
1
t(T −t)
T

và

k
1
(t) = 2 exp

|α|E
ν
+ 2E
1
t + E
2
1
t(T −t)

nên k(t) < k
1
(t), ∀t ∈ [0, T ]. Do đó vế phải của (1.23) bé hơn vế phải của
(1.21). Điều này dẫn đến kết quả trong Định lý 1.2.5 tốt hơn kết quả trong
Định lý 1.2.4.
CHƯƠNG 2
CÁC PHƯƠNG PHÁP LẶP CHO PHƯƠNG TRÌNH BURGERS
Bài toán đặt ra trong chương này là như sau: giả sử ta đã biết u
δ
và muốn
tìm hàm u là nghiệm của phương trình Burgers

u
t
= µu
xx
− uu

x
, (x, t) ∈ Q
T
,
u (0, t) = u (1, t) = 0, 0  t  T,
(2.1)
trong đó Q
T
= (0, 1) × (0, T ), µ là số thực dương sao cho u gần với u
δ
. Về
mặt toán học, ta nên cực tiểu hóa độ lệch u − u
δ
theo một chuẩn thích hợp
trên tập nghiệm của phương trình Burgers. Các phương pháp lặp được sử
dụng cho mục đích cực tiểu hóa độ lệch u −u
δ
là phương pháp tối ưu liên hợp
(adjoint optimization) và phương pháp cực tiểu theo chuẩn L
2
của gradient
(L
2
- minimization of the gradient). Các kết quả trong chương này được chúng
tôi tham khảo trong tài liệu [5].
2.1 Bài toán cực tiểu hóa trong L
2
(Q
T
)

Trong mục này, chúng tôi trình bày bài toán cực tiểu hàm
I =

Q
T

u − u
δ

2
dxdt, (2.2)
trong đó u
δ
∈ L
2
(Q
T
) là hàm đã cho và hàm u = u(x, t) là nghiệm của bài
toán (2.1). Nghiệm u(x, t) của bài toán (2.1) được xác định duy nhất nếu biết
dữ kiện ban đầu của nó u(x, 0) = v(x). Do đó bài toán trên tương đương với
việc tìm dữ kiện ban đầu v(x) để cực tiểu (2.2).
Ta tính gradient cho I là một hàm theo dữ kiện ban đầu v. Ta có
δI (v) =

Q
T

u − u
δ


δu dx dt,
14
15
trong đó u thỏa mãn (2.1), u|
t=0
= v và δu là nghiệm của bài toán



(δu)
t
= µ(δu)
xx
− (uδu)
x
, (x, t) ∈ Q
T
δu (0, t) = δu (1, t) = 0, 0  t  T
δu(x, 0) = δv(x), x ∈ (0, 1).
(2.3)
Ta sẽ sử dụng kỹ thuật liên hợp để có được công thức cụ thể hơn cho δI (v) .
Ký hiệu ψ (x, t) là nghiệm của bài toán



ψ
t
+ uψ
x
+ µψ

xx
= u − u
δ
, (x, t) ∈ Q
T
ψ (0, t) = ψ (1, t) = 0, 0  t  T
ψ (x, T ) = 0, x ∈ (0, 1),
(2.4)
thì
δI (v) =

Q
T
(ψ
t
+ uψ
x
+ µψ
xx
) δu dx dt.
Sử dụng công thức Green và (2.3) ta đạt được
δI (v) = −

1
0
ψ (x, 0) δv dx. (2.5)
Do đó gradient của I được đưa ra bởi (2.5).
Bây giờ ta có thể áp dụng phương pháp gradient cho hàm I. Điều này dẫn
đến phương pháp lặp sau. Với v
0

cho trước, ta định nghĩa
v
k+1
= v
k
+ αψ
k
(x, 0) , k = 0, 1, , (2.6)
trong đó α > 0 là tham số và ψ
k
là nghiệm của (2.4) với u = u
k
.
2.1.1 Định nghĩa.
(i) Không gian các hàm u(x, t) sao cho t → u(·, t) xác định và liên tục trên
[0, T ] nhận giá trị trong L
2
(0, 1) và
sup
0≤t≤T
u (·, t)
L
2
(0,1)
< ∞
được gọi là không gian C(0, T ; L
2
(0, 1)).
(ii) Không gian các hàm u(x, t) sao cho u
x

∈ L
2
(Q
T
) và u(0, t) = u(1, t) = 0
được gọi là không gian W . Chuẩn trong không gian này được định nghĩa là
u
W
= u
x

L
2
(Q
T
)
.
16
Ta sẽ sử dụng các kí hiệu
B (v
0
, ρ) =

v ∈ L
2
(0, 1) : v −v
0

L
2

(0,1)
≤ ρ

và (f, g) =

1
0
f (x) g (x) dx.
2.1.2 Bổ đề. Giả sử v ∈ L
2
(0, 1). Khi đó bài toán



u
t
= µu
xx
− uu
x
, (x, t) ∈ Q
T
u (0, t) = u (1, t) = 0, 0  t  T
u(x, 0) = v(x)
(2.7)
luôn có nghiệm u ∈ C(0, T ; L
2
(0, 1)) ∩ W.
Chứng minh Bổ đề 2.1.2 có thể xem trong [8].
2.1.3 Mệnh đề. (i) Giả sử v ∈ L

2
(0, 1). Nếu u ∈ C(0, T ; L
2
(0, 1)) ∩ W là
nghiệm của bài toán (2.7) thì ta có đánh giá
u (·, t)
L
2
(0,1)
≤ e
−µπ
2
t
v
L
2
(0,1)
và u
x

L
2
(Q
T
)
≤
1
√
2µ
v

L
2
(0,1)
. (2.8)
(ii) Giả sử v
0
∈ L
2
(0, 1) và ρ là một số dương. Nếu v, ˜v ∈ B(v
0
, ρ) và
u, ˜u ∈ C(0, T ; L
2
(0, 1)) ∩W là nghiệm của bài toán (2.7) với dữ kiện ban đầu
là v và ˜v khi đó
sup
0≤t≤T
u − ˜u
L
2
(0,1)
≤ Λ v − ˜v
L
2
(0,1)
, (2.9)
trong đó
Λ = exp




T

v
0

L
2
(0,1)
+ ρ

4
2µ
3



. (2.10)
Chứng minh. (i) Nhân vào hai vế phương trình
u
t
= µu
xx
− uu
x
, (x, t) ∈ Q
T
,
với u và lấy tích phân trên khoảng (0, 1) ta đạt được
d

dt

1
0
u
2
dx = −2µ

1
0
u
2
x
dx. (2.11)
17
Từ đó ta suy ra (2.8).
(ii) Đặt U = u − ˜u. Khi đó U thỏa mãn bài toán
U
t
= µU
xx
− (
u + ˜u
2
U)
x
, (2.12)
U (0, t) = U (1, t) = 0, (2.13)
U (x, 0) = v − ˜v. (2.14)
Nhân vào (2.12) với U và lấy tích phân trên khoảng (0, 1). Sau đó sử dụng

công thức tích phân từng phần ta đạt được
(U, U
t
) = −µ (U
x
, U
x
) +
1
2
(U
x
, U (u + ˜u)) . (2.15)
Mặt khác, ta có
1
2
(U
x
, U (u + ˜u)) ≤
ε
2
(U
x
, U
x
) +
1
8ε

U

2
, (u + ˜u)
2

, ∀ε > 0. (2.16)
Vì
(u + ˜u)
2
=
d
dx

x
0
(u + ˜u)
2
dξ,
nên

U
2
, (u + ˜u)
2

= −2

UU
x
,


x
0
(u + ˜u)
2
dξ

≤ u + ˜u
2
L
2
(0,1)

ε

U
x

2
L
2
(0,1)
+
1
ε

U
2
L
2
(0,1)


. (2.17)
Từ (2.15)–(2.17) ta đạt được
(U, U
t
) ≤

ε
2
− µ +
ε

8ε
u + ˜u
2
L
2
(0,1)

U
x

2
L
2
(0,1)
+
1
8εε


u + ˜u
2
L
2
(0,1)
U
2
L
2
(0,1)
. (2.18)
Ta chọn ε = µ và
ε

=
µ
2

v
0

L
2
(0,1)
+ ρ

2
. (2.19)
18
Khi đó

ε
2
− µ +
ε

8ε
u + ˜u
2
L
2
(0,1)
≤
µ
2



−1 +
u (., t)
2
L
2
(0,1)
+ ˜u (., t)
2
L
2
(0,1)
2


v
0

L
2
(0,1)
+ ρ

2



.(2.20)
Từ (2.8) ta có
u (., t)
2
L
2
(0,1)
+ ˜u (., t)
2
L
2
(0,1)
≤ 2 v
2
L
2
(0,1)
≤ 2


v
0

L
2
(0,1)
+ ρ

2
.
Điều này dẫn đến vế phải của (2.20) nhận giá trị không dương. Do đó (2.18)
trở thành
(U, U
t
) ≤

v
0

L
2
(0,1)
+ ρ

4
2µ
3
(U, U) .
Từ đó ta có được (2.9).

2.1.4 Nhận xét. Mệnh đề 2.1.3 cho phép ta đưa vào toán tử F : L
2
(0, 1) →
L
2
(Q
T
) xác định như sau: với v ∈ L
2
(0, 1) thì F(v) = u là nghiệm của bài
toán (2.7). Từ (2.9) dẫn đến F là toán tử liên tục Lipschitz địa phương.
Sử dụng toán tử F , bài toán cực tiểu hóa (2.2) được chuyển thành bài toán
inf
v∈L
2
(0,1)


F (v) − u
δ


L
2
(Q
T
)
, (2.21)
trong đó u
δ

là hàm đã cho.
2.1.5 Định lý. Với ϕ ∈ L
2
(0, 1), khi đó y = F

(v)ϕ là nghiệm của bài toán



y
t
= µy
xx
− (uy)
x
, (x, t) ∈ Q
T
y (0, t) = y (1, t) = 0, 0  t  T
y(x, 0) = ϕ(x), x ∈ (0, 1),
(2.22)
trong đó u = F (v) và F

(v) là đạo hàm Fréchet của F tại điểm v. Bài toán
(2.22) có một nghiệm duy nhất y ∈ C(0, T ; L
2
(0, 1)) với y
x
∈ L
2
(Q

T
) khi
ϕ ∈ L
2
(0, 1).
Chứng minh Định lý 2.1.5 có thể xem trong [8].
Mệnh đề sau cho thấy toán tử tuyến tính F

(v) : L
2
(0, 1) → C(0, T ; L
2
(0, 1))
bị chặn.
19
2.1.6 Mệnh đề. ([5]) Giả sử v
0
∈ L
2
(0, 1) và ρ là một số dương. Nếu v ∈
B(v
0
, ρ), ϕ ∈ L
2
(0, 1) thì
sup
0≤t≤T
y (·, t)
L
2

(0,1)
≤ Λ ϕ
L
2
(0,1)
, (2.23)
trong đó y = F

(v)ϕ và Λ đã cho ở (2.10).
2.1.7 Bổ đề. Giả sử u ∈ C(0, T ; L
2
(0, 1)) và δ > 0. Khi đó u có thể được
biểu diễn u = u
1
+ u
2
sao cho

sup
0≤t≤T
u
1
(·, t)
L
2
(0,1)
≤ δ
|u
2
| ≤ m,

(2.24)
với m = m(δ) phụ thuộc vào u và δ.
Chứng minh. Ta chọn một cơ sở trực chuẩn {ψ
n
}
∞
n=1
⊂ L
2
(0, 1) sao cho
ψ
n
∈ C([0, 1]). Khi đó ta có thể viết u như sau
u (x, t) =
∞

n=1
d
n
(t) ψ
n
(x) , d
n
(t) =

1
0
u (x, t) ψ
n
(x) dx.

Rõ ràng d
n
(t) là các hàm liên tục. Với mỗi t, ta có
u (·, t)
2
L
2
(0,1)
=
∞

n=1
d
2
n
(t) < ∞. (2.25)
Ta hãy chứng tỏ rằng tồn tại một số N sao cho sup
0≤t≤T
u
1
(·, t)
L
2
(0,1)
≤ δ,
trong đó u
1
(x, t) =
∞


n=N+1
d
n
(t) ψ
n
(x). Thật vậy, nếu điều này không xảy
ra. Khi đó với mỗi N ∈ N
∗
, tồn tại t
N
∈ [0, T ] sao cho
∞

n=N+1
d
2
n
(t
N
) > δ. Vì
[0, T ] là tập compact nên ta có thể trích từ dãy (t
N
) một dãy con hội tụ. Để
đơn giản, ta vẫn ký hiệu dãy con đó là (t
N
). Khi đó ta có t
N
→ t
∗
. Do u là

hàm liên tục trên [0, T ] và nhận giá trị trong L
2
(0, 1) nên với mỗi số ε > 0,
tồn tại σ > 0 sao cho
|t
1
− t
2
| ≤ σ ⇒ u (·, t
1
) − u (·, t
2
)
L
2
(0,1)
≤ ε. (2.26)
20
Bây giờ ta có





∞

n=N+1

d
2

n
(t
∗
) − d
2
n
(t
N
)






≤

∞

n=N+1
(d
n
(t
∗
) + d
n
(t
N
))
2


1/2

∞

n=N+1
(d
n
(t
∗
) − d
n
(t
N
))
2

1/2
.
Từ (2.25) ta thấy nhân tử thứ nhất ở vế phải của bất đẳng thức trên bị chặn
bởi 2 sup
t
u (·, t)
L
2
(0,1)
và từ (2.26) ta thấy nhân tử thứ hai ở vế phải của bất
đẳng thức trên bị chặn trên bởi ε với N đủ lớn. Do đó
∞


n=N+1
d
2
n
(t
∗
) =
∞

n=N+1
d
2
n
(t
N
) +
∞

n=N+1

d
2
n
(t
∗
) − d
2
n
(t
N

)

≥
∞

n=N+1
d
2
n
(t
N
) − Cε > δ − Cε
với mọi N đủ lớn. Chọn ε đủ bé ta đạt được
∞

n=N+1
d
2
n
(t
∗
) >
δ
2
. Điều này mâu
thuẫn với sự hội tụ trong (2.25) khi t = t
∗
. Sự tồn tại của u
1
thỏa mãn (2.24)

được chứng minh. Hàm
u
2
(x, t) = u (x, t) − u
1
(x, t) =
N

n=1
d
n
(t) ψ
n
(x) ,
rõ ràng bị chặn vì nó là tổng hữu hạn của các hàm liên tục.
2.1.8 Định lý. Giả sử v
0
∈ L
2
(0, 1) và ρ là một số cho trước thỏa mãn
exp



T

v
0

L

2
(0,1)
+ ρ

4
2µ
3



ρ ≤ µ/4. (2.27)
Cho v, ˜v ∈ B(v
0
, ρ), khi đó ta có đánh giá
F (v) − F (˜v) − F

(v) (v − ˜v)
L
2
(Q
T
)
≤ C F (v) − F (˜v)
L
2
(Q
T
)
, (2.28)
với

C = Γρ exp



T

v
0

L
2
(0,1)
+ ρ

4
2µ
3



, (2.29)
21
trong đó Γ = Γ(T, µ, v
0
) là một hằng số chỉ phụ thuộc vào T, µ và v
0
, xem
(2.42).
Chứng minh. Đặt w = F (v) −F (˜v) −F


(v) (v − ˜v) . Khi đó w là nghiệm
của bài toán
w
t
= µw
xx
− (uw)
x
+
1
2
((u − ˜u)
2
)
x
, (x, t) ∈ Q
T
, (2.30)
w (0, t) = w (1, t) = 0, 0  t  T, (2.31)
w(x, 0) = 0, x ∈ (0, 1). (2.32)
Giả sử K : L
2
(0, 1) → H
2
(0, 1) là ánh xạ được xác định bởi
K φ =

1
0
G (x, ξ) φ (ξ) dξ,

trong đó G(x, ξ) là hàm Green
G (x, ξ) =

ξ(1−x), ξ ≤ x
(1−ξ)x, ξ > x.
(2.33)
Khi đó K có tính chất: K
xx
φ = −φ, Kφ (0) = Kφ (1) = 0, K đối xứng
và xác định dương. Ta dễ thấy rằng sup
x
|K
x
φ| ≤ φ
L
2
(0,1)
. Nhân vào hai
vế phương trình (2.30) với Kwe
−γt
, γ > 0 và lấy tích phân trên Q
T
ta đạt
được

T
0
(w
t
, Kw) e

−γt
dt − µ

T
0
(w
xx
, Kw) e
−γt
dt
+

T
0
((uw)
x
, Kw) e
−γt
dt =
1
2

T
0

∂
x
(u − ˜u)
2
, Kw


e
−γt
dt. (2.34)
Với hạng tử thứ nhất trong (2.34) ta có đánh giá

T
0
(w
t
, Kw) e
−γt
dt
=
1
2
(w (·, T ) , Kw (·, T )) e
−γT
+
γ
2

T
0
(w, Kw) e
−γt
dt
≥
γ
2


T
0
(w, Kw) e
−γt
dt (2.35)
22
vì K xác định dương. Với hạng tử thứ hai trong (2.34) ta có đánh giá
− µ

T
0
(w
xx
, Kw) e
−γt
dt = −µ

T
0
(w, K
xx
w) e
−γt
dt
= µ

T
0
(w, w) e

−γt
dt. (2.36)
Để đánh giá hạng tử thứ ba trong (2.34) ta viết u = (u − u
0
) + u
0
, ở đây
u
0
= F (v
0
). Phân tích u
0
thành hai hàm u
1
và u
2
như trong Bổ đề 2.1.7 ta
nhận được
u = (u −u
0
) + u
1
+ u
2
, (2.37)
ở đây

sup
0≤t≤T

u
1
(·, t)
L
2
(0,1)
≤ δ, ∀δ > 0
|u
2
| ≤ m.
(2.38)
Khi đó ta có





T
0
(uw, K
x
w) e
−γt
dt




≤


T
0
|((u − u
0
+ u
1
) w, K
x
w)|e
−γt
dt
+

T
0
|(u
2
w, K
x
w)|e
−γt
dt.
Sử dụng bất đẳng thức H¨older trong tích phân đầu ở vế phải và bất đẳng
thức Cauchy trong tích phân thứ hai ta đạt được





T

0
(uw, K
x
w) e
−γt
dt




≤

T
0
|K
x
w|

u − u
0
+ u
1

L
2
(0,1)

w
L
2

(0,1)
e
−γt
dt
+

T
0
m

1
0

1
4ε
(K
x
w)
2
+ εw
2

e
−γt
dx dt.
Vì

1
0
(K

x
w)
2
dx = −

1
0
K
xx
wKw dx =

1
0
wKw dx, nên ta có





T
0
(uw, K
x
w) e
−γt
dt





≤

T
0
m
4ε
(w, Kw) e
−γt
dt
+

sup
0≤t≤T
u − u
0

L
2
(0,1)
+ δ + mε


T
0
w
2
L
2
(0,1)
e

−γt
dt. (2.39)
23
Sử dụng (2.34)-(2.36) và (2.39) ta đạt được

T
0
e
−γt

γ
2
−
m
4ε

(w, Kw) dt
+

T
0
e
−γt

µ − mε − δ − sup
0≤t≤T
u − u
0

L

2
(0,1)

w
L
2
(0,1)
dt
≤ −
1
2

T
0

(u − ˜u)
2
, K
x
w

e
−γt
dt. (2.40)
Từ giả thiết (2.27) và Mệnh đề 2.1.3 (ii) ta có sup
t
u − u
0
 ≤ µ/4. Khi đó
ta chọn δ = µ/4, và xác định m sao cho điều kiện (2.38) thỏa mãn. Ta lấy ε

sao cho εm = µ/4. Với m và ε đã có ta lấy γ đủ lớn để γ/2 − m/4ε ≥ 0, ta
có thể lấy γ = 2m
2
/µ. Vế phải của (2.40) được đánh giá
−
1
2

T
0

(u − ˜u)
2
, K
x
w

e
−γt
dt ≤
1
2
u − ˜u
L
2
(Q
T
)
(u − ˜u) K
x

w
L
2
(Q
T
)
≤
1
2
u − ˜u
L
2
(Q
T
)


T
0
|K
x
w|
2

1
0
|u − ˜u|
2
dx dt


1/2
≤
1
2
u − ˜u
L
2
(Q
T
)
sup
0≤t≤T
u − ˜u
L
2
(0,1)
w
L
2
(Q
T
)
.
Đánh giá đó cùng với (2.40) cho ta
w
L
2
(Q
T
)

≤
e
γT
sup
0≤t≤T
u − ˜u
L
2
(0,1)
2µ/4
u − ˜u
L
2
(Q
T
)
. (2.41)
Sử dụng kết quả của Mệnh đề 2.1.3 (ii) cho (2.41) ta được
w
L
2
(Q
T
)
≤ C u − ˜u
L
2
(Q
T
)

,
trong đó
C =
4e
γT
µ
exp



T

v
0

L
2
(0,1)
+ ρ

4
2µ
3



ρ. (2.42)
Từ đó ta có được (2.28) với C cho bởi (2.29) và Γ = 4e
γT
/µ. 

24
2.2 Bài toán cực tiểu hóa trong W
Trong mục này, chúng tôi trình bày bài toán cực tiểu hóa
min

Q
T
((u − u
δ
)
x
)
2
dx dt, (2.43)
trong đó u
δ
là hàm đã cho và hàm u = u(x, t) là nghiệm của bài toán (2.7).
Mục này ta sẽ xét toán tử F : L
2
(0, 1) → W , với W là không gian được
nói trong Định nghĩa 2.1.1. Ta biểu thị toán tử này bởi F. Bài toán (2.43)
tương đương với bài toán
min
v∈L
2
(0,1)

J (v) =



F (v) − u
δ


2
W

, (2.44)
với F(v) = u thỏa mãn (2.7). Một trong những kết quả chính của phần này
là việc chứng minh bài toán (2.44) luôn có nghiệm.
2.2.1 Bổ đề. Giả sử v
0
∈ L
2
(0, 1) và ρ là một số dương. Nếu v, ˜v ∈ B(v
0
, ρ)
thì
u − ˜u
W
≤ C v − ˜v
L
2
(0,1)
,
trong đó u = F(v), ˜u = F(˜v) và C là một hằng số chỉ phụ thuộc vào
v
0

L

2
(0,1)
, ρ, T và µ.
Chứng minh. Giả sử U = u − ˜u và
˜
U = (u + ˜u)/2 thì U thỏa mãn
U
t
= µU
xx
− (
˜
UU)
x
, (x, t) ∈ Q
T
. (2.45)
Ta nhân (2.45) với U và lấy tích phân trên Q
T
ta đạt được

T
0
(U, U
t
) dt + µ U
2
W
=


T
0

U
x
,
˜
UU

dt.
Từ U(x, 0) = 0 số hạng đầu tiên bằng (1/2) U(., T )
2
L
2
(0,1)
, khi đó
µ U
2
W
≤

T
0

U
x
,
˜
UU


dt.
25
Sử dụng bất đẳng thức H¨older để đánh giá vế phải ta được
µ U
2
W
≤

T
0
U
x
(·, t)
L
2
(0,1)




˜
UU

(·, t)



L
2
(0,1)

dt. (2.46)
Từ



˜
UU



2
L
2
(0,1)
=

1
0
˜
U
2

d
dx

x
0
U
2
dξ


dx
≤ 2 U
2
L
2
(0,1)



˜
U



L
2
(0,1)



˜
U
x



L
2
(0,1)

,
ta có
µ U
2
W
≤
√
2

T
0
U
x

L
2
(0,1)
U
L
2
(0,1)




˜
U




L
2
(0,1)



˜
U
x



L
2
(0,1)
dt,
tiếp tục sử dụng bất đẳng thức H¨older ta được
µ U
2
W
≤
√
2 sup
0≤t≤T
U (·, t)
L
2
(0,1)
U
W




˜
U
x



L
2
(Q
T
)
. (2.47)
Ta chia (2.47) cho µ U
W
và có đánh giá
U
W
≤

v
0

L
2
(0,1)
+ ρ


µ
3/2
exp



T

v
0

L
2
(0,1)
+ ρ

4
2µ
3



v − ˜v
L
2
(0,1)
.
Điều này tương đương với u − ˜u
W
≤ Cv − ˜v

L
2
(0,1)
, trong đó
C =

v
0

L
2
(0,1)
+ ρ

µ
3/2
exp



T

v
0

L
2
(0,1)
+ ρ


4
2µ
3



.
Bổ đề được chứng minh.
2.2.2 Bổ đề. Giả sử u(x, t) là nghiệm của (2.7). Khi đó với mọi t ∈ [0, T )
ta có đánh giá
u (·, t)
L
2
(0,1)
≤

2µ +
1
T −t

1/2
u
x

L
2
(Q
T
)
.