Một số quá trình ngẫu nhiên quan trọng nhận được từ chuyển động brown và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
- - - - - -  - - - - - -
NGUYỄN VŨ NGỌC THƯƠNG
MỘT SỐ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN QUAN TRỌNG
NHẬN ĐƯỢC TỪ CHUYỂN ĐỘNG BROWN
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Nghệ An - 2014
1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
- - - - - -  - - - - - -
NGUYỄN VŨ NGỌC THƯƠNG
MỘT SỐ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN QUAN TRỌNG
NHẬN ĐƯỢC TỪ CHUYỂN ĐỘNG BROWN
VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê Toán học
Mã số: 60.46.01.06
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. Nguyễn Thị Thế
Nghệ An - 2014
1
MỤC LỤC
Mục lục 1
Mở đầu 3
1 Các khái niệm cơ bản 5
1.1. Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Quá trình Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Quá trình Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Phân phối Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Quá trình Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Chuyển động Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5. Tích phân ngẫu nhiên Ito và phương trình vi phân ngẫu nhiên Ito 17
1.5.1 Tích phân ngẫu nhiên Ito . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.2 Công thức Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . 21
2 Một số quá trình ngẫu nhiên quan trọng nhận được từ chuyển
động Brown và ứng dụng 24
2.1. Một số quá trình ngẫu nhiên quan trọng nhận được từ chuyển động
Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1 Chuyển động Brown dịch chuyển . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2 Chuyển động Brown hình học . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.3 Chuyển động Brown tích phân . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.4 Cầu Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.5 Quá trình Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.6 Quá trình Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2
2.2. Phần ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.1 Mô tả thị trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.2 Mô hình giá trái phiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.3 Mô hình giá cổ phiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Kết luận chung và kiến nghị 41
Tài liệu tham khảo 41
3
MỞ ĐẦU
Theo quan điểm hiện đại thì Lý thuyết tài chính cần phải phân tích những
tính chất của các cấu trúc tài chính và tìm phương pháp thích hợp để quản
lý tài nguyên tài chính một cách thích hợp (chẳng hạn tiền phải trả cho các
yếu tố như thời gian, sự rủi ro và môi trường.)

Công nghệ cũ trong tài chính và kinh tế dựa vào kinh nghiệm và mô
hình hồi qui (trước những năm 1973) không còn phù hợp nữa. Năm 1973 thị
trường trao đổi quyền lựa chọn đầu tiên là CBOE (Chicago Board Option
Exchange) được thành lập ở Chicago, Mỹ. Cũng năm 1973 đã xuất hiện hai
công trình nền tảng về định giá quyền lựa chọn (kiểu Châu Âu - European
options) của Black- Scholes [5] và của Merton [13]. Các công trình này đã
tạo ra cuộc cách mạng trong phương pháp định giá tài sản trên thị trường
tài chính, đặt nền móng cho một hướng mới trong toán học là toán tài chính.
Mô hình đưa ra là một trong những ví dụ điển hình về ứng dụng của giải
tích ngẫu nhiên.
Quyền lựa chọn (option) là một hợp đồng được phát hành bởi một công
ty, ngân hàng, hay công ty tài chính mà nó cho phép người mua quyền mua
hay bán một tài sản có giá trị (cổ phần, trái phiếu, tiền tệ, ) theo các điều
khoản tại một thời điểm (hoặc khoảng thời gian) xác định trong tương lai.
Quyền lựa chọn đã được trao đổi mua bán từ rất lâu nhưng nó trở nên phổ
biến từ những năm 1973 khi chúng được giao dịch có tổ chức ở thị trường
chứng khoán CBOT và trở thành yếu tố kinh tế quan trọng từ thế kỷ 20.
Lý thuyết toán học về quyền lựa chọn là phần lý thuyết phát triển nhất
của toán tài chính. Do có số lượng mua bán trao đổi về quyền lựa chọn trên
thị trường rất lớn nên thực tế các mô hình này được kiểm chứng dễ dàng vì
số lượng thông tin thống kê lớn.
Hiện nay giải tích ngẫu nhiên tạo thành nền tảng toán học và là cơ sở
thích hợp cho các nhu cầu của lý thuyết tài chính. Nghiên cứu toán tài chính
trình độ cao cần phải có các hiểu biết sâu sắc về giải tích ngẫu nhiên nói
chung và lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên nói riêng. Tính bất định của
thị trường được mô tả như là tính ngẫu nhiên thông qua một không gian
xác suất (Ω, F, P) với lọc (F
t
)
t≥0

. Ở đây lọc (F
t
)
t≥0
được xem như là dòng
các thông tin: F
t
là thông tin truy cập được đến thời điểm t. Yếu tố ngẫu
4
nhiên được chọn tại thời điểm t là biến ngẫu nhiên chuẩn N(0, σ
2
t) với giá
trị σ > 0 nào đó. Thời gian thay đổi ta có quá trình chuyển động Brown.
Điều này được công nhận rộng rãi sau khi Kendall công bố các kết quả của
mình vào năm 1953 [12].
Từ chuyển động Brown ta có thể xây dựng được nhiều quá trình ngẫu
nhiên mô hình cho các hiện tượng thực tế quan trọng khác. Để hiểu sâu hơn
các quá trình này về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng, bước đầu làm quen
với toán tài chính, trong khuôn khổ của luận văn thạc sỹ, tôi chọn đề tài cho
luận văn là: “Một số quá trình ngẫu nhiên quan trọng nhận được
từ chuyển động Brown và ứng dụng.”
Nội dung của luận văn được chia thành hai chương.
Chương I. Các khái niệm cơ bản
Trong chương I, trình bày một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết xác
suất.
Chương II. Một số quá trình ngẫu nhiên quan trọng nhận
được từ chuyển động Brown và ứng dụng
Chương này là nội dung chính của luận văn. Trong chương này trình
bày định nghĩa, các tính chất của các quá trình ngẫu nhiên quan trọng
nhận được từ chuyển động Brown. Đó là, Chuyển động Brown dịch chuyển,

Chuyển động Brown hình học, Cầu Brown, Chuyển động Brown tích phân,
Quá trình Ornstein-Uhlenbeck, Quá trình Bessel. Trong luận văn tôi không
nêu ứng dụng hết của các quá trình trên mà chỉ nêu ứng dụng của quá trình
chuyển động Brown hình học.
Nhân dịp này, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô: TS. Nguyễn
Thị Thế về sự tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình học tập và nghiên
cứu. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến thầy GS.TS. Nguyễn Văn Quảng và
thầy TS. Nguyễn Thanh Diệu đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu, giúp tôi
hoàn thành luận văn tốt hơn. Đồng thời, tôi cũng xin chân thành cảm ơn
các thầy cô giáo trong tổ Xác suất và Thống kê toán đã nhiệt tình giảng dạy
trong suốt quá trình học tập.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng do năng lực và thời gian có hạn chế
luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận
được những lời chỉ bảo, góp ý quý báu của các thầy cô và bạn bè để luận
văn được hoàn thiện hơn.
Vinh, tháng 10 năm 2014
Tác giả
5
CHƯƠNG 1
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1 Quá trình ngẫu nhiên
Đối tượng nghiên cứu của quá trình ngẫu nhiên là họ vô hạn các biến
ngẫu nhiên phụ thuộc tham số t ∈ T nào đó.
Định nghĩa 1.1.1. Cho không gian xác suất (Ω, F, P). Ánh xạ
X : T ×Ω → R
(t, ω) → X(t, ω),
được gọi là một quá trình ngẫu nhiên nếu với mọi t ∈ T thì X(t) : Ω → R
là biến ngẫu nhiên.
Khi đó với mọi ω ∈ Ω thì X(., ω) : T → R là hàm số xác định trên T và
X(., ω) được gọi là quỹ đạo của quá trình với thể hiện ω.

Ta dùng ký hiệu X = {X(t), t ∈ T } hoặc {X(t)} hay X để chỉ quá trình
ngẫu nhiên đang xét nếu T đã chỉ rõ.
Nếu T thuộc một trong các tập sau: (−∞, +∞), [a, +∞), (−∞, b], [a, b],
(a, b), [a, b), (a, b] thì X = {X(t), t ∈ T } được gọi là quá trình ngẫu nhiên
với tham số liên tục. Trong trường hợp này t đóng vai trò là thời gian. Trong
luận văn ta chỉ xét T ⊂ [0, +∞).
Định nghĩa 1.1.2 (Phân phối hữu hạn chiều). Giả sử X = {X(t), t ≥ 0} là
quá trình ngẫu nhiên và I = {t
1
, t
2
, . . . , t
n
} là tập con hữu hạn của [0, +∞).
Hàm phân phối đồng thời của X(t
1
), . . . , X(t
n
) là
F
I
(x
1
, . . . , x
n
) = F (x
1
, . . . , x
n
; t

1
, . . . , t
n
)
= P{X(t
1
) < x
1
, . . . , X(t
n
) < x
n
}
6
được gọi là phân phối hữu hạn chiều của X.
Phân phối hữu hạn chiều thỏa mãn các điều kiện sau
(i) Điều kiện đối xứng, tức là: F (x
1
, . . . , x
n
; t
1
, . . . , t
n
) không thay đổi khi
hoán vị các cặp (x
k
, t
k
).

(ii) Điều kiện nhất quán, theo nghĩa:
lim
n→∞
F (x
1
, . . . , x
n
; t
1
, . . . , t
n
) = F (x
1
, . . . , x
n−1
; t
1
, . . . , t
n−1
).
Hai quá trình trên cùng tập tham số (nhưng có thể xác định trên các
không gian xác suất khác nhau) được gọi là tương đương yếu, nếu chúng có
cùng họ phân phối hữu hạn chiều.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử X = {X(t), t ≥ 0} và Y = {Y (t), t ≥ 0} là hai
quá trình ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P). Khi
đó
(i) Y được gọi là tương đương ngẫu nhiên của X nếu với mọi t ≥ 0 ta có:
P[ω ∈ Ω : X(t, ω) = Y (t, ω)] = 1.
(ii) X và Y được gọi là cùng phân phối hữu hạn chiều nếu với bất kỳ số
nguyên n ≥ 1, các số thực 0 ≤ t

1
< t
2
< . . . < t
n
< ∞ và A ∈ B(R
d
) ta
có
P[(X(t
1
), X(t
2
), . . . , X(t
n
)) ∈ A] = P[(Y (t
1
), Y (t
2
), . . . , Y (t
n
)) ∈ A].
(iii) X và Y được gọi là bằng nhau nếu hầu hết các quỹ đạo của chúng trùng
nhau. Tức là
P[ω ∈ Ω : X(t, ω) = Y (t, ω); ∀ t  0] = 1.
Định nghĩa 1.1.4 (Quá trình đo được). Một quá trình ngẫu nhiên {X(t), t 
0} được gọi là đo được nếu nó đo được đối với σ-trường tích B(R
+
) ⊗ F.
Điều đó có nghĩa là với mọi tập Borel của R, tập hợp

{(t, ω) : X(t, ω) ∈ B},
thuộc về σ-trường tích B(R
+
) ⊗ F.
7
Định nghĩa 1.1.5 (Quá trình ngẫu nhiên có gia số độc lập). Quá trình
ngẫu nhiên {X(t), t  0} được gọi là có gia số độc lập, nếu các gia số của
nó trên các khoảng thời gian rời nhau là các biến ngẫu nhiên độc lập, tức là,
với mọi 0  t
0
< t
1
< < t
n
thì ta có các biến ngẫu nhiên sau là độc lập
X(t
0
), X(t
1
) − X(t
0
), X(t
2
) − X(t
1
), . . . , X(t
n
) − X(t
n−1
).

Định nghĩa 1.1.6 (Quá trình ngẫu nhiên có gia số không tương quan).
Giả sử {X(t), t  0} là quá trình cấp 2 (tức là E|X(t)|
2
< ∞, ∀t). Ta nói
rằng X là quá trình có gia số không tương quan nếu các gia số của nó trên
các khoảng thời gian rời nhau là các biến ngẫu nhiên không tương quan, tức
là, đối với mọi 0  t
0
< t
1
< t
2
< t
3
thì
Cov[X(t
3
) − X(t
2
), X(t
1
) − X(t
0
)] = 0.
Trong đó Cov[X, Y ] = E[XY ] −E[X]E[Y ].
Nhận xét 1.1.7. Nếu X là quá trình cấp 2 có gia số độc lập thì X có gia
số không tương quan.
1.2 Quá trình Markov
Quá trình Markov là những quá trình ngẫu nhiên mà tương lai và quá
khứ độc lập với nhau nếu biết hiện tại, được Markov đưa ra vào năm 1906.

Ví dụ như X(t) là dân số tại thời điểm t. Các hệ (sinh thái, vật lý, cơ học, )
không có nhớ hoặc sức ỳ lớn là quá trình Markov. Về phương diện xác suất,
ta phải dùng xác suất có điều kiện để diễn tả tính Markov. Cụ thể là, nếu
s là thời điểm hiện tại thì X(s) = x là trạng thái hiện tại; {X(q), q < s} là
quá khứ; {X(t), s < t} là tương lai. Ký hiệu
F
≥t
:= σ(X(q), t < q);
F
t
:= σ(X(q), q < t).
Khi đó, tính Markov có thể diễn đạt như sau
P[A
1
A
2
/X(s)] = P[A
1
/X(s)]P[A
2
/X(s)],
8
trong đó A
1
là biến cố thuộc tương lai, tức là, biến cố thuộc vào σ− trường
F
≥s
; A
2
là biến cố thuộc về quá khứ, tức là, biến cố thuộc vào σ− trường

F
s
.
Định nghĩa cụ thể của quá trình Markov như sau
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X = {X(t), t ≥ 0} là quá trình ngẫu nhiên
nhận giá trị trong R
d
tương thích với lọc {F
t
, t ≥ 0} đã cho trên không gian
xác suất (Ω, F, P). Ta nói rằng X là quá trình Markov (d - chiều) nếu với
mọi hàm f liên tục bị chặn trên R
d
và 0 ≤ s ≤ t < ∞,
E[f(X(t))/F
s
] = E[f(X(t))/X(s)], h.c.c. (1.1)
Sau đây là một số định nghĩa tương đương.
Định lý 1.2.2. Quá trình ngẫu nhiên d chiều X = {X(t), t ≥ 0} là quá
trình Markov nếu thỏa mãn một trong các tính chất sau đây
(i) P(B/F
t
) = P(B/X(t)), B ∈ F
≥t
;
(ii) P(A/F
≥t
) = P(A/X(t)), A ∈ F
t
;

(iii) P(X(t) ≤ x/F
t
) = P(X(t) ≤ x/X(t));
(iv) P(X(t) ≤ x/X(t
1
), . . . , X(t
n
)) = P(X(t) ≤ x/X(t
n
)), t
1
< t
2
< <
t
n
< t;
(v) P(X(t) ≤ x/X(t
1
) = x
1
, . . . , X(t
n
) = x
n
) = P(X(t) ≤ x/X(t
n
) =
x
n

), x, x
i
∈ R
d
;
(vi) P(X(t) ∈ B/X(t
1
), . . . , X(t
n
)) = P(X(t) ∈ B/X(t
n
)), với mọi B ∈
B(R
d
);
(vii) Với mọi hàm Borel bị chặn ϕ : R
d
→ R thì
E[ϕ(X(t))/F
t
] = E[ϕ(X(t))/X(t)].
9
1.3 Quá trình Gauss
1.3.1 Phân phối Gauss
Định nghĩa 1.3.1 (Phân phối Gauss chuẩn tắc). Biến ngẫu nhiên d chiều
Z = (Z
1
, Z
2
, . . . , Z

d
)

được gọi là có phân phối Gauss chuẩn tắc (hay phân phối chuẩn chuẩn
tắc) d− chiều nếu mỗi thành phần của nó là biến ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn tắc và chúng độc lập với nhau.
Từ tính chất độc lập, ta có hàm mật độ của Z là
ϕ(z) =
1
(2π)
d
2
e
−
1
2

d
i=1
z
2
i
.
Ký hiệu I
d
là ma trận đơn vị d chiều, ta có
EZ = 0, Cov(Z) = I
d
.
Định nghĩa 1.3.2 (Phân phối Gauss). Véc tơ ngẫu nhiên

X = (X
1
, X
2
, . . . , X
d
)

được gọi là có phân phối Gauss d chiều nếu tồn tại ma trận A cỡ d × d
không suy biến và véc tơ µ trong R
d
sao cho
X

= AZ + µ,
trong đó Z là véc tơ Gauss chuẩn tắc d chiều.
Ta có,
EX = µ, cov(X) = AA

=: Σ.
Hàm mật độ của X là
f
X
(x) =
1
(2π)
d
2
(det Σ)
1

2
e
−
1
2
(x−µ)Σ
−1
(x−µ)

.
Véc tơ Gauss này ký hiệu là X ∼ N(µ, Σ).
Định nghĩa trên tương đương
10
Định nghĩa 1.3.3. Véc tơ X = (X
1
, X
2
, . . . , X
d
)

gọi là có phân phối
Gauss nếu với mọi v = (v
1
, v
2
, . . . , v
n
) ∈ R
d

thì
(v, X) :=
d

i=1
v
i
X
i
có phân phối chuẩn.
Phân phối Gauss được xác định qua kỳ vọng và ma trận covarian thể
hiện qua mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.3.4. Nếu X, Y là các véc tơ ngẫu nhiên Gauss d chiều;
EX = EY, cov(X) = cov(Y ) thì X, Y có cùng phân phối. Từ đó suy ra
một véc tơ Gauss có các thành phần độc lập khi và chỉ khi ma trận tương
quan là ma trận chéo. Nói cách khác, các thành phần của véc tơ Gauss
là độc lập khi và chỉ khi chúng không tương quan.
Mệnh đề 1.3.5. Giả sử {X
n
} là dãy các véc tơ ngẫu nhiên Gauss và
lim
n→∞
X
n
= X hầu chắc chắn. Nếu tồn tại
µ := lim
n→∞
EX
n
, Σ := lim

n→∞
cov(X
n
),
thì X là véc tơ Gauss với kỳ vọng µ và covarian Σ.
1.3.2 Quá trình Gauss
Định nghĩa 1.3.6. Quá trình {X(t), t  0} được gọi là quá trình Gauss,
nếu phân phối hữu hạn chiều của nó là Gauss, tức là, phân phối của véc
tơ ngẫu nhiên (X(t
1
), . . . , X(t
n
)) là Gauss đối với mọi tập con hữu hạn
I = (t
1
, . . . , t
n
) ⊂ R
+
.
Như vậy, quá trình {X(t), t ≥ 0} là Gauss khi và chỉ khi tổ hợp tuyến
tính (hữu hạn) là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.
Đặc biệt ta có
E|X(t)|
2
< ∞, ∀t ≥ 0.
11
Với mỗi t, s ≥ 0, ký hiệu
m(t) = E[X(t)]; K(t, s) = Cov[X(t), X(s)].
Khi đó m(t) gọi là hàm trung bình, K(t, s) gọi là hàm tương quan của X.

Nếu m(t) = m, và K(t, s) = K(t − s), tức hàm trung bình là hằng số còn
hàm tương quan chỉ phụ thuộc vào t −s thì X được gọi là quá trình Gauss
dừng.
Mệnh đề 1.3.7. Một quá trình Gauss có gia số độc lập khi và chỉ khi
có gia số không tương quan.
1.4 Chuyển động Brown
Định nghĩa 1.4.1 (Chuyển động Brown 1 chiều). Một quá trình ngẫu
nhiên 1 chiều W = {W (t), t  0} xác định trên không gian xác suất đầy đủ
(Ω, F, P) được gọi là chuyển động Brown (1 chiều) với tham số σ
2
nếu nó
thỏa mãn các tính chất sau
(i) W (0) = 0 hầu chắc chắn;
(ii) W (t) có gia số độc lập, tức là đối với mọi 0 < t
1
< t
2
< . . . < t
n
, các
biến ngẫu nhiên sau là độc lập
W (t
1
), W(t
2
) − W (t
1
), . . . , W (t
n
) − W (t

n−1
);
(iii) Với mọi 0 ≤ s < t thì W (t) −W (s) có phân phối chuẩn N(0, σ
2
(t −s));
(iv) Với hầu hết ω, các quỹ đạo của W (t) là liên tục.
Theo định nghĩa thì với t  s  0 ta có
D[W (t) −W(s)] = σ
2
(t − s).
Do đó σ
2
là bình phương trung bình sự dịch chuyển của hạt chuyển động
Brown trong mỗi đơn vị thời gian (khi |t − s| = 1). Năm 1905, Einstein đã
chỉ ra
σ
2
=
4RT
Nf
, (1.2)
12
trong đó R là hằng số Universal gas; N là hằng số Avogadro; T là nhiệt độ
tuyệt đối; f là hệ số ma sát của môi trường xung quanh. Từ (1.2) có thể xác
định được hằng số Avogadro bằng thí nghiệm chuyển động Brown, kết quả
đạt được này đã giúp Porrin đạt giải Nobel năm 1926 [15].
Nếu σ
2
= 1, thì ta nói W (t) là chuyển động Brown tiêu chuẩn. Chú ý
rằng nếu W (t) là chuyển động Brown với tham số σ thì

W (t)
σ
là chuyển động
Brown tiêu chuẩn. Từ nay về sau, nếu không nói gì khác thì ta xét σ
2
= 1
và gọi W (t) là chuyển động Brown thay cho chuyển động Brown tiêu chuẩn.
Đặt
W
∗
(t) := W (t) + c, với c là hằng số dương.
Khi đó quá trình {W
∗
(t), t  0} được gọi là chuyển động Brown xuất phát
từ c. Dễ thấy
W
∗
(t) ∼ N(c, σ
2
t), t  0.
Ta cũng có thể xét trường hợp c là biến ngẫu nhiên độc lập với W(t), t  0.
Khi đó
E[W
∗
(t)] = E[c] và D[W
∗
(t)] = σ
2
t + D[c].
Bổ đề 1.4.2. Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với tham

số (µ, σ
2
) thì E(X − µ)
2
= σ
2
, E(X −µ)
4
= 3σ
4
.
Mệnh đề 1.4.3 ([3]). Hầu chắc chắn các quĩ đạo của chuyển động Brown
liên tục nhưng có biến phân không bị chặn trên mọi đoạn hữu hạn.
Chứng minh. Ta chứng minh
v(W (ω)) := sup
τ
n

i=1
|W (t
i
) − W (t
i−1
)|,
không bị chặn hầu chắc chắn. Trong đó sup lấy theo mọi phân hoạch:
τ : 0 = t
0
< ··· < t
n
= T.

Đặt
∆
i
W := W (t
i
) − W (t
i−1
); σ
2
i
:= t
i
− t
i−1
; Q
n
:=
n

i=1
(∆
i
W )
2
.
13
Ta có EQ
n
= T. Mặt khác, từ tính chất gia số độc lập của chuyển động
Brown và Bổ đề 1.4.2, ta có

DQ
n
=
n

i=1
D(∆
i
W )
2
=
n

i=1
{E(∆
i
W )
4
− (E(∆
i
W )
2
)
2
}
=
n

i=1
{3σ

4
i
− σ
4
i
} = 2
n

i=1
σ
4
i
≤ 2 max
i
σ
2
i
n

i=1
σ
2
i
= 2T max
i
σ
2
i
= 2T max
i

(t
i
− t
i−1
)
n→+∞
−→ 0.
Mà DQ
n
= E(Q
n
− EQ
n
)
2
= E(Q
n
− T)
2
. Như vậy, Q
n
hội tụ theo trung
bình bình phương tới T . Suy ra Q
n
P
−→ T . Do đó tồn tại dãy con của Q
n
hội tụ hầu chắc chắn tới T . Bây giờ giả sử có một tập con A của Ω với xác
suất dương mà biến phân của W là v(W (ω)) giới nội trên đó. Ta có,
Q

n
≤ max
i
|∆
i
W |
n

i=1
|W (t
i
) − W (t
i−1
)| = max
i
|∆
i
W |v(W (ω)).
Do quĩ đạo của W liên tục nên liên tục đều trên đoạn đóng. Vì vậy, với
ω ∈ A mà quĩ đạo của W liên tục, cho n → ∞, ta có max
i
|∆
i
W | → 0 và
v(W (ω)) bị chặn. Suy ra, Q
n
n→+∞
−→ 0. Như vậy, Q
n
n→+∞

−→ 0 trên tập có xác
suất dương. Điều này là vô lí vì Q
n
n→+∞
−→ T hầu chắc chắn với phân hoạch
này.
Như vậy chuyển động Brown cho ta một ví dụ thú vị về hàm liên tục
nhưng không đâu khả vi.
Tính chất Markov của chuyển động Brown được chứng minh trong định
lý sau.
Định lý 1.4.4. Chuyển động Brown W (t) là quá trình Markov.
Để chứng minh Định lý trên, ta có Bổ đề sau
Bổ đề 1.4.5. Nếu X ∼ N(µ, σ
2
) thì E[e
uX
] = e
µu+
(σu)
2
2
.
Chứng minh. Ta có X ∼ N(µ, σ
2
) nên
Z :=
X −µ
σ
∼ N(0, 1).
14

Do đó suy ra
X = σZ + µ với Z ∼ N(0, 1).
Mặt khác, với mọi u ∈ R,
E[e
uX
] = E[e
u(σZ+µ)
] = e
uµ
E[e
uσZ
]
= e
uµ

∞
−∞
e
uσx
1
√
2π
e
−
x
2
2
dx
= e
uµ+

(σu)
2
2
.
Trở lại với chứng minh Định lý (1.4.4).
Chứng minh. Ta có, với mọi s, t  0; u ∈ R
E[e
uW (t+s)
/F
t
] = E[e
u(W (t+s)−W (t)+W (t))
/F
t
]
= e
uW (t)
E[e
u(W (t+s)−W (t))
/F
t
]
= e
uW (t)
E[e
u(W (t+s)−W (t))
]
= e
uW (t)
e

u
2
s
2
= e
uW (t)
E[e
u(W (t+s)−W (t))
/W (t)]
= E[e
uW (t+s)
/W (t)].
Mặt khác ta có:
Hàm sinh moment của W (t + s) với điều kiện F
t
là E[e
uW (t+s)
/F
t
];
Hàm sinh moment của W (t + s) với điều kiện W (t) là E[e
uW (t+s)
/W (t)];
Hàm sinh moment xác định duy nhất hàm phân phối. Do đó phân phối
có điều kiện của W (t + s) với điều kiện F
t
trùng với phân phối của W(t + s)
với điều kiện W (t). Tức là, với mọi y ∈ R:
P[W (t + s)  y/F
t

] = P[W (t + s)  y/W (t)].
Đối với quá trình ngẫu nhiên thì ta khó tính toán được mật độ n chiều
của nó. Tuy nhiên, với chuyển động Brown thì do có gia số độc lập và dừng
15
nên ta có, với mọi t
0
= 0 < t
1
< t
2
< . . . < t
n
, x
0
= 0, x
1
, x
2
, . . . , x
n
∈ R,
mật độ n chiều là:
f
W (t
1
),W (t
2
), ,W (t
n
)

(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) =
n

i=1

1

2π(t
i
− t
i−1
)
e
−
(x
i
−x
i−1
)
2
2(t
i
−t
i−1

)

=
n

i=1
1

2π(t
i
− t
i−1
)
e
−

n
i=1
(x
i
−x
i−1
)
2
2(t
i
−t
i−1
)
.

Đây là mật độ của phân phối Gauss n chiều. Như vậy phân phối hữu hạn
chiều của chuyển động Brown là phân phối Gauss. Do đó chuyển động Brown
{W (t), t  0} là quá trình Gauss.
Mệnh đề 1.4.6 (Tính chất của chuyển động Brown). Cho W = {W (t), t 
0} là chuyển động Brown. Khi đó
1. Với mọi t  0 thì W (t) ∼ N(0, 1);
2. Mọi s ≥ 0, kí hiệu
∼
W (t) := W (t) − W (s) thì {
∼
W (t), t  s} cũng là
chuyển động Brown;
3. Với mọi λ > 0 đặt
∼
W (t) :=
W (λt)
√
t
thì {
∼
W (t), t  0} cũng là chuyển
động Brown;
4. (i) Hàm đặc trưng của gia số W(t + h) − W (t) là:
ϕ(z) = E[e
iz(W (t+h)−W (t))
] = e
−
z
2
h

2
, z ∈ R;
(ii) Hàm sinh moment:
m(z) = E[e
z(W (t+h)−W (t))
] = e
z
2
h
2
, z ∈ R;
5. Với mọi a > 0 thì quá trình {X(t), t  0} được xác định bởi X(t) =
1
a
W (a
2
t) cũng là chuyển động Brown;
6. Hầu chắc chắn lim
t→∞
W (t)
t
→ 0.
16
Định lý 1.4.7. Cho W = {W (t), t  0} là chuyển động Brown. Ký hiệu:
M(t) := max
0st
W (s); m(t) := min
0st
W (s).
Khi đó

P[M(t)  x] = 2P[W (t)  x)] = 2(1 − Φ(
x
√
t
));
P[m(t)  x] = 2P[W (t)  −x] = 2Φ(x);
trong đó Φ là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn tắc
N(0, 1), x ∈ R.
Sau đây là một ví dụ áp dụng định lý trên.
Ví dụ 1.4.8. Tính xác suất P(W (t)  0, 0  t  1).
Ta thấy {W (t)  0, 0  t  1} là họ không đếm được các biến ngẫu
nhiên. Do đó ta không áp dụng trực tiếp được các tính chất của phép toán
đếm được về biến cố. Ta có thể tính toán bằng cách xét n giá trị của quá
trình trên rồi lấy giới hạn. Tuy nhiên, theo định lý trên ta có:
P[W (t)  0, 0  t  1] = P[ max
0t1
W (t)  0]
= 1 − P[ max
0t1
W (t) > 0]
= 1 − 2P[W (t) > 0] = 1 − 1 = 0.
Tính chất sau đặc trưng chuyển động Brown như là một quá trình Gauss
đặc biệt.
Định lý 1.4.9. Chuyển động Brown là một quá trình Gauss với hàm
trung bình bằng không và hàm tự tương quan là min(s, t). Ngược lại, một
quá trình Gauss với hàm trung bình bằng không và hàm tự tương quan
là min(s, t) là chuyển động Brown.
Định nghĩa 1.4.10 (Chuyển động Brown nhiều chiều). Quá trình ngẫu
nhiên W(t) = (W
1

(t), . . . , W
m
(t))

được gọi là chuyển động Brown m−chiều
nếu mỗi thành phần W
i
(t), i = 1, . . . , m, là chuyển động Brown một chiều
và chúng là các quá trình ngẫu nhiên độc lập với nhau.
17
1.5 Tích phân ngẫu nhiên Ito và phương trình
vi phân ngẫu nhiên Ito
1.5.1 Tích phân ngẫu nhiên Ito
Trong phần này ta định nghĩa tích phân

T
0
f(t)dW (t), (1.3)
trong đó, f là hàm ngẫu nhiên trên không gian xác suất (Ω, F, P) đã cho với
lọc tự nhiên (F
t
)
0≤t≤T
.
Do chuyển động Brown có biến phân không bị chặn trên mọi đoạn hữu
hạn nên tích phân (1.3) không thể xét như tích phân Lebesgue -Stieltjes được.
Năm 1944, Itô đã đưa ra định nghĩa tích phân (1.3). Để cho thuận tiện, ta
ký hiệu lớp hàm mà tích phân ngẫu nhiên Itô sẽ được xác định là N
T
, được

định nghĩa như sau
Kí hiệu 1.5.1. Ký hiệu N
T
là không gian gồm các quá trình ngẫu nhiên
đo được f : [0, T ] ×Ω → R , thỏa mãn hai điều kiện sau
(i) f(t, ·) là F
t
−đo được với mọi t ∈ [0, T];
(ii)

T
0
E(|f(t)|
2
)dt < ∞.
Đầu tiên định nghĩa tích phân (1.3) cho các hàm đơn giản.
Định nghĩa 1.5.2. Một quá trình f ∈ N
T
được gọi là quá trình đơn giản
nếu có dạng
f(t, ω) =
n

i=1
Z
i−1
1
[t
i−1
, t

i
)
+ Z
n
1
{T }
, (1.4)
trong đó
0 = t
0
< t
1
< ··· < t
n
= T,
và Z
i
, i = 1, . . . , n là dãy các biến ngẫu nhiên thỏa mãn
Z
i
∈ F
t
i
, EZ
2
i
< ∞, i = 1, . . . , n −1.
Ký hiệu S là tập tất cả các hàm đơn giản trong N
T
.

18
Định nghĩa 1.5.3. Tích phân Itô của hàm đơn giản f ∈ S trên đoạn
[0, T] có dạng (1.4) được định nghĩa
I(f) :=
n

i=1
Z
t
i−1
[W (t
i
) − W (t
i−1
)]. (1.5)
Dễ thấy trong trường hợp này I(f) là một biến ngẫu nhiên và tích phân
này có tính chất tuyến tính, nghĩa là với mọi f, g ∈ S, α, β ∈ R thì
I(αf + βg) = αI(f) + βI(g).
Ngoài ra tích phân này còn có tính chất sau gọi là tính chất "Đẳng cự
Itô”
E(|I(f)|
2
) =

T
0
E(|f(t)|
2
)dt. (1.6)
Tiếp theo mỗi hàm f ∈ N

T
được Itô xấp xỉ bởi một dãy hàm đơn giản
{f
n
(t), n ≥ 1} ⊂ S theo nghĩa
Bổ đề 1.5.4. Cho f ∈ N
T
. Khi đó luôn tồn tại dãy các hàm đơn giản
{f
n
(t), n ≥ 1} ⊂ S sao cho

T
0
E{|f(t) − f
n
(t)|
2
}dt
n→+∞
−→ 0. (1.7)
Bây giờ với {f
n
(t), n ≥ 1} là dãy hàm như trong Bổ đề 1.5.4, theo tính
chất "Đẳng cự Itô” trong công thức (1.6), ta có
E(|I(f
n
) − I(f
m
)|

2
) =

T
0
E(|I(f
n
) − I(f
m
)|
2
)dt
n,m→∞
−→ 0.
Do đó {I(f
n
), n ≥ 1} là dãy Cauchy trong L
2
(Ω), với L
2
(Ω) là không gian
các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích. Đây là không gian định chuẩn
đầy đủ với chuẩn X
2
:=

E(X)
2
. Suy ra tồn tại giới hạn
I(f) := lim

n→∞
I(f
n
), trong L
2
(Ω). (1.8)
Hơn nữa có thể chứng mình được rằng I(f) xác định như ở (1.8) không phụ
thuộc vào cách chọn dãy {f
n
, n ≥ 1} trong Bổ đề 1.5.4. Từ đây ta có định
nghĩa
19
Định nghĩa 1.5.5. Giới hạn I(f) trong phương trình (1.8) được gọi là tích
phân Itô của hàm ngẫu nhiên f và được ký hiệu bởi

T
0
f(t)dW (t).
Như vậy I(f) được xác định cho mọi f ∈ N
T
. Bây giờ với mỗi f ∈ N
T
và t
1
< t
2
∈ [0, T ], ký hiệu 1
[t
1
,t

2
]
là hàm chỉ tiêu của đoạn [t
1
, t
2
], tức là
1
[t
1
,t
2
]
(s) :=



1 nếu s ∈ [t
1
, t
2
]
0 nếu s /∈ [t
1
, t
2
].
(1.9)
Ta định nghĩa


t
2
t
1
f(s)dW (s) :=

T
0
f1
[t
1
,t
2
]
.
Ký hiệu
X(t) :=

t
0
f(s)dW (s), 0 ≤ t ≤ T.
Khi đó {X(t)} là một quá trình ngẫu nhiên, thường được gọi là quá
trình ngẫu nhiên tích hợp. Rõ ràng nếu f là hàm đơn giản thì X(t) là liên
tục hầu chắc chắn vì W (t) liên tục hầu chắc chắn.
Tích phân ngẫu nhiên Itô của các hàm trong N
T
có đầy đủ các tính chất
của tích phân thường, như là tính tuyến tính, tính cộng tính, ngoài ra nó còn
có các tính chất sau
Mệnh đề 1.5.6. Tích phân ngẫu nhiên của f ∈ N

T
có các tính chất
sau:
(i) E

T
0
f(t)dW (t) = 0;
(ii) Đẳng cự Itô: E(|I(f)|
2
) =

T
0
E(|f(t)|
2
)dt;
(iii) Quá trình ngẫu nhiên tích hợp {X(t)} là tương thích với lọc (F
t
),
sinh bởi chuyển động Brown;
(iv) Quá trình ngẫu nhiên tích hợp {X(t)} là Martingale đối với lọc của
chuyển động Brown;
(v) Quá trình ngẫu nhiên tích hợp {X(t)} có quĩ đạo mẫu liên tục;
20
(vi) Quá trình {X(t)} có gia số không tương quan.
Chứng minh các tính chất trên có thể xem trong ([3]).
Sau đây ta đưa ra ví dụ

t

0
W (s)dW (s) =
1
2
[W
2
(t) − t].
Tích phân ngẫu nhiên Itô cũng được mở rộng cho lớp hàm M
T
gồm
các quá trình ngẫu nhiên đo được f : [0, T ] × Ω → R tương thích với lọc
(F)
t≥0
và hầu chắc chắn

T
0
|f(t)|
2
dt < ∞. Khi đó tính chất (i), (ii), (iv)
trong Mệnh đề 1.5.6 nói chung không thỏa mãn nhưng quá trình ngẫu nhiên
{X(t)} là Martingale địa phương.
1.5.2 Công thức Ito
Công thức Newton-Leibniz đóng vai trò quan trọng trong phép tính vi
tích phân cổ điển, được Newton và Leibniz xây dựng từ thế kỷ 17. Nội dung
được phát biểu như sau: nếu f là hàm khả vi liên tục và X : [0, ∞) → R liên
tục có biến phân bị chặn thì
f[X(t)] − f[X(0)] =

t

0
f

[X(s)]dX(s).
Qui tắc này không còn đúng trong tính toán ngẫu nhiên nữa. Thay vào đó
Itô [10] đã đưa ra một công thức, ngày nay gọi là công thức Itô, có vai trò
như công thức Newton-Leibniz nhưng cho giải tích ngẫu nhiên. Sau đây ta
sẽ giới thiệu công thức này.
Định lý 1.5.7 (Công thức Itô). Giả sử U(t, x) là hàm liên tục xác định
trên J × R
n
nhận giá trị trong R
d
với các đạo hàm riêng liên tục
∂
∂t
U(t, x) =: U
t
;
∂
∂x
i
U(t, x) =: U
x
i
, x = (x
1
, . . . , x
n
)


;
∂
2
∂x
i
∂x
j
U(t, x) =: U
x
i
x
j
, 1 ≤ i, j ≤ n.
21
Nếu X(t) là quá trình Itô n−chiều xác định trên J có vi phân Itô
dX(t) = a(t)dt + b(t)dW (t),
trong đó W (t) là chuyển động Brown m-chiều.
Khi đó Y (t) := U(t, X(t)) là quá trình Itô d-chiều xác định trên J và
có vi phân Itô cho bởi
dY (t) =

U
t
(t, X(t)) + U
x
(t, X(t))a(t)+
1
2
n


i,j=1
U
x
i
x
j
(t, X(t))(bb
∗
)
ij

dt
+U
x
(t, X(t))b(t)dW (t).
Ở đây ta hiểu: U
x
là d×n ma trận, U
x
i
x
j
là n-véc tơ cột và U
xx
:= (U
x
i
x
j

)
là n × n ma trận mà mỗi phần tử của nó là n−véc tơ cột U
x
i
x
j
.
Như vậy, đối với vi phân ngẫu nhiên xuất hiện thêm số hạng
1
2
n

i,j=1
U
x
i
x
j
(t, X(t))(bb
∗
)
ij
.
Ví dụ 1.5.8. Áp dụng công thức Itô cho hàm U(t, x) = e
x−
t
2
. Ta có
de
W (t)−

t
2
= e
W (t)−
t
2
dW (t).
Quá trình e
W (t)−
t
2
, t > 0, gọi là quá trình mũ.
1.5.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên
Cho W (t) = (W (t)
1
, . . . , W (t)
m
)

là chuyển động Brown m−chiều trên
không gian xác suất đầy đủ (Ω, F, P) với lọc tự nhiên F
t
.
Định nghĩa 1.5.9. Phương trình vi phân ngẫu nhiên là phương trình có
dạng
dX(t) = f(t, x)dt + G(t, x)dW (t), t ∈ J, (1.10)
hay viết dưới dạng tích phân
X(t) − X
0
=


t
0
f(s, X(s))ds +

t
0
G(s, X(s))dW (s), t ∈ J, (1.11)
22
trong đó X
0
là R
n
−biến ngẫu nhiên, độc lập với W (t), gọi là giá trị ban đầu;
f(·, ·) : [0, T ] ×R
n
→ R
n
, G(·, ·) : [0, T ] ×R
n
→ R
n×m
là các hàm đo được;
tích phân đầu của vế phải trong (1.11) là tích phân Rieman còn tích phân
thứ hai là tích phân Itô.
Nghiệm của (1.10), (1.11) trên J là quá trình {X(t)}
t∈J
với quỹ đạo liên
tục thỏa mãn các điều kiện sau
(i) X(t) là thích nghi của bộ lọc (F)

t∈J
;
(ii) Với xác suất 1, ta có

T
0
|f(s, X(s))|ds < ∞ và

T
0
|G(s, X(s))ds|
2
< ∞;
(iii) (1.11) thỏa mãn với t ∈ J với xác suất 1.
Nghiệm {X(t)} được gọi là duy nhất nếu với bất kỳ nghiệm {
¯
X(t)} khác thì
ta có
P{X(t) =
¯
X(t) với mọi t ∈ J} = 1.
Định lý 1.5.10. Giả sử phương trình vi phân ngẫu nhiên (1.10) thỏa
mãn điều kiện tồn tại hằng số K > 0 sao cho
(i) (Điều kiện Lipschitz): ∀t ∈ J, x, y ∈ R
n
|f(t, x) −f(t, y)|+ |G(t, x) −G(t, y)| ≤ K
2
|x − y|,
(ii) (Điều kiện tăng tuyến tính) ∀t ∈ J, x ∈ R
n

|f(t, x)|
2
+ |G(t, x)|
2
≤ K
2
(1 + |x|
2
).
Khi đó, với mọi biến ngẫu nhiên X
0
độc lập với W (t), phương trình (1.10)
có nghiệm duy nhất X(t), liên tục với xác suất 1, thỏa mãn điều kiện ban
đầu X
0
.
Định nghĩa 1.5.11. Một quá trình Ito là quá trình ngẫu nhiên (X(t))
t∈J
có dạng
X(t) − X(t
0
) =

t
t
0
f(s)ds +

t
t

0
G(s)dW (s), t ∈ J, (1.12)
23
trong đó X(t
0
) là R
n
−biến ngẫu nhiên độc lập với chuyển động Brown W (t);
f(t) ∈ R
n
, G(t) ∈ R
n×m
có các thành phần là các quá trình ngẫu nhiên
F
t
−tương thích mà hầu chắc chắn thỏa mãn

T
0
|f(t)|dt < ∞,

T
0
|G(t)|
2
dt < ∞.
Khi đó ta nói quá trình ngẫu nhiên X(t) có vi phân ngẫu nhiên và viết
dX(t) = f(t)dt + G(t)dW (t), t ∈ J. (1.13)