Sự tồn tại các điểm giả bất động, giả bất động chung trong không gian giả mêtric nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
ĐINH TIẾN DŨNG
SỰ TỒN TẠI CÁC ĐIỂM GIẢ BẤT
ĐỘNG, GIẢ BẤT ĐỘNG CHUNG TRONG
KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGHỆ AN - 2014
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
ĐINH TIẾN DŨNG
SỰ TỒN TẠI CÁC ĐIỂM GIẢ BẤT
ĐỘNG, GIẢ BẤT ĐỘNG CHUNG TRONG
KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Cán bộ hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. ĐINH HUY HOÀNG
NGHỆ AN - 2014
MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU 1
1 KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN 4
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Nón trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Không gian giả mêtric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM GIẢ BẤT ĐỘNG
TRONG KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN 19
2.1 Sự tồn tại điểm giả bất động của các ánh xạ co trong không gian
giả mêtric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Sự tồn tại điểm giả bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu
trong không gian giả mêtric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

KẾT LUẬN 37
TÀI LIỆU THAM KHẢO 38
LỜI MỞ ĐẦU
Lý thuyết điểm bất động là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng
của giải tích hàm, có nhiều ứng dụng trong lí thuyết tối ưu, lí thuyết xác suất, các
bao hàm thức vi phân và trong vật lí. Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động
nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỉ XX, trong đó phải kể đến nguyên lí điểm bất
động Brouwer (1912) và nguyên lý ánh xạ co Banach (1922). Sau đó, người ta đã
mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach cho nhiều loại ánh xạ và nhiều loại không
gian khác nhau.
Vào năm 2007, H. Long - Guang và Z. Xian [6] bằng cách thay tập số thực
trong định nghĩa mêtric bởi một không gian Banach có thứ tự và đã thu được lớp
các không gian rộng hơn lớp các không gian mêtric đó là lớp các không gian mêtric
nón. Một số tính chất tôpô và một số kết quả về điểm bất động của ánh xạ co
trong không gian mêtric nón đầy đủ cũng đã được chứng minh. Với mức độ ngày
càng tổng quát hơn, vấn đề về sự tồn tại điểm bất động và điểm bất động chung
trong không gian mêtric nón đã được nhiều người quan tâm nghiên cứu và thu
được nhiều kết quả ([6, 7, 8, 10]).
Vào năm 2013, dựa vào khái niệm không gian giả mêtric và không gian mêtric
nón, bằng cách thay giả thiết hàm giả mêtric nhận giá trị trong tập số thực không
âm bởi nhận giá trị trong một nón định hướng trong không gian Banach, Lê Thị
Dung [1] đã đưa ra khái niệm không gian giả mêtric nón đồng thời chứng minh
được một số kết quả về sự tồn tại điểm giả bất động của các ánh xạ co và ánh xạ
co suy rộng trong không gian này.
Trong luận văn này, chúng tôi sẽ tổng quát hóa một số kết quả về sự tồn tại
điểm bất động từ không gian mêtric và không gian mêtric nón đầy đủ sang không
gian giả mêtric nón đầy đủ. Sau đó, chúng tôi đưa ra và chứng minh một số kết
quả về sự tồn tại điểm giả bất động chung của hai cặp ánh xạ tương thích yếu
trong không gian giả mêtric nón.
Với mục đích đó, luận văn được chia làm hai chương.

1
Chương 1. Không gian giả mêtric nón
Trong chương này, đầu tiên chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản của
tôpô đại cương, giải tích hàm có liên quan đến nội dung của luận văn. Trình bày
khái niệm, ví dụ và các tính chất cơ bản của nón trong không gian Banach.
Sau đó, chúng tôi trình bày khái niệm, ví dụ về không gian giả mêtric nón và
một số tính chất tôpô của không gian giả mêtric nón mà chúng cần dùng trong
chương 2.
Chương 2. Một số định lý về sự tồn tại điểm giả bất động trong không
gian giả mêtric nón
Chương này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm giả bất động của ánh
xạ co, điểm giả bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu trong không gian
giả mêtric nón.
Đầu tiên, chúng tôi chứng minh kết quả tương tự như Định lý về sự tồn tại
điểm bất động của ánh xạ co, ánh xạ liên tục, dãy ánh xạ liên tục hội tụ đều trong
không gian mêtric nón đầy đủ vẫn đúng trong không gian giả mêtric nón đầy đủ.
Sau đó, chúng tôi đưa ra và chứng minh một định lý về sự tồn tại điểm giả bất
động chung của hai cặp ánh xạ tương thích yếu trong không gian giả mêtric nón
cùng một số hệ quả và chỉ ra một số kết quả trong [5, 9] được suy ra từ các kết
quả của chúng tôi.
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận
tình, chu đáo của PGS. TS. Đinh Huy Hoàng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc nhất của mình đến Thầy, người đã chỉ dạy tác giả những kiến thức, kinh
nghiệm trong học tập và nghiên cứu khoa học.
Tác giả chân thành cảm ơn Phòng đào tạo Sau đại học, Ban Chủ Nhiệm Khoa
Toán - Trường Đại học Vinh.
Tác giả xin chân thành cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo Tổ Giải tích - Khoa
Toán- Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt
thời gian học tập.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong

lớp Cao học giải tích - K20 đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt
quá trình học tập và nghiên cứu.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót.
2
Kính mong quý Thầy Cô và bạn bè đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện
hơn.
Thành phố Vinh, tháng 06 năm 2014
Tác giả
3
CHƯƠNG 1
KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN
Chương này trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của tôpô đại cương,
giải tích hàm, nón trong không gian Banach, không gian giả mêtric nón và một số
tính chất tôpô của không gian giả mêtric nón cần dùng trong luận văn.
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị
Mục này dành cho việc trình bày một số khái niệm cơ bản của tôpô đại cương
và giải tích hàm. Các kết quả này được lấy từ [1] và [2].
1.1.1 Định nghĩa. Cho tập hợp X. Họ T các tập con của X được gọi là tôpô
trên X nếu thỏa mãn các điều kiện
i) ∅ ∈ T và X ∈ T ;
ii) Nếu G
i
∈ T , i ∈ I thì

i∈I
G
i
∈ T ;
iii) Nếu G
1

, G
2
∈ T thì G
1
∩ G
2
∈ T .
Tập hợp X cùng với tôpô T trên nó được gọi là không gian tôpô và ký hiệu là
(X, T ) hoặc X.
Các phần tử của X được gọi là điểm của không gian tôpô.
Các phần tử thuộc T được gọi là tập mở.
Giả sử E ⊂ X. Tập E được gọi là tập đóng nếu X \ E là tập mở.
1.1.2 Định nghĩa. Cho không gian tôpô X, tập con A của X được gọi là lân cận
của điểm x ∈ X nếu tồn tại tập mở V ⊂ X sao cho x ∈ V ⊆ A.
Cho không gian tôpô X, x ∈ X, U(x) là họ tất cả các lân cận tại x. Họ
B(x) ⊂ U(x) được gọi là cơ sở lân cận của x nếu với mọi U ∈ U(x) tồn tại
V ∈ B(x) sao cho V ⊂ U.
4
Cho không gian tôpô X, A là tập con của X. Tập mở lớn nhất chứa trong A
được gọi là phần trong của A. Ký hiệu intA.
1.1.3 Định nghĩa. Dãy {x
n
} trong không gian tôpô X được gọi là hội tụ tới
x ∈ X nếu với mỗi lân cận U của x tồn tại n
0
∈ N sao cho
x
n
∈ U với mọi n ≥ n
0

.
Khi đó, ta viết x
n
→ x hoặc lim
n→∞
x
n
= x.
1.1.4 Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được
thứ nhất nếu tại mỗi điểm x ∈ X có một cơ sở lân cận B(x) có lực lượng đếm được.
Không gian tôpô X được gọi là T
1
− không gian nếu với mọi x, y ∈ X, x = y tồn
tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho y /∈ U và x /∈ V .
1.1.5 Định nghĩa. Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và f : X → Y. Ánh xạ
f được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu với mỗi lân cận V của f(x), tồn tại lân cận
U của x sao cho f(U) ⊂ V . Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X (nói gọn là liên
tục) nếu nó liên tục tại mọi điểm của X.
1.1.6 Định lý. Giả sử X và Y là các không gian tôpô, f : X → Y. Khi đó, các
điều kiện sau đây tương đương
1) f liên tục trên X;
2) Nếu E là tập mở trong Y thì f
−1
(E) mở trong X;
3) Nếu E là tập đóng trong Y thì f
−1
(E) đóng trong X.
1.1.7 Định nghĩa. Giả sử X là tập khác rỗng và d : X × X → R. Hàm d được
gọi là một mêtric trên X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
i) 0 ≤ d(x, y) với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;

ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X;
iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y, z ∈ X.
Tập X cùng với một mêtric trên nó được gọi là không gian mêtric và ký hiệu là
(X, d) hoặc X.
1.1.8 Định nghĩa. Cho tập X khác rỗng và ánh xạ
d :X × X → R
(x, y) −→ d(x, y).
Khi đó, ánh xạ d được gọi là giả khoảng cách hay là giả mêtric trên X nếu d thỏa
mãn 3 tiên đề sau đây với bất kỳ x, y, z thuộc X.
5
i) 0 ≤ d(x, y) và nếu x = y thì d(x, y) = 0;
ii) d(x, y) = d(y, x);
iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Tập X cùng với giả khoảng cách d được gọi là không gian giả mêtric và ký hiệu
là (X, d).
1.1.9 Định nghĩa. Giả sử E là không gian vectơ trên trường K = R hoặc K = C.
Hàm p : E → R thỏa mãn các điều kiện
i) p(x) ≥ 0 ∀x ∈ E và p(x) = 0 khi và chỉ khi x = 0;
ii) p(λx) = |λ|p(x) ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K;
iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) ∀x, y ∈ E.
được gọi là chuẩn trên không gian vectơ E. Số p(x) được gọi là chuẩn của vectơ
x ∈ E. Ta thường ký hiệu chuẩn của x là x. Không gian vectơ E cùng với một
chuẩn xác định trên nó được gọi là không gian định chuẩn.
1.1.10 Mệnh đề. Nếu E là không gian định chuẩn thì công thức
d(x, y) = x − y ∀x, y ∈ E
xác định một mêtric trên E. Ta gọi mêtric này là mêtric sinh bởi chuẩn hay mêtric
chuẩn.
1.1.11 Định nghĩa. Một không gian định chuẩn và là không gian mêtric đầy đủ
theo mêtric sinh bởi chuẩn thì được gọi là không gian Banach.
1.1.12 Định lý. Nếu E là không gian định chuẩn thì các ánh xạ

x −→ x, ∀x ∈ E,
(x, y) −→ x + y, ∀(x, y) ∈ E × E,
(λ, x) −→ λx, ∀(λ, x) ∈ K × E
là các ánh xạ liên tục.
1.1.13 Định lý. Giả sử E là không gian định chuẩn. Khi đó, với mỗi a ∈ E và
mỗi λ ∈ K, λ = 0 các ánh xạ
x −→ x + a, ∀x ∈ E,
x −→ λx, ∀x ∈ E
là phép đồng phôi từ E lên E.
6
1.1.14 Định nghĩa. Cho tập hợp X và ≤ là một quan hệ hai ngôi trên X. Quan
hệ ≤ được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau
i) x ≤ x với mọi x ∈ X;
ii) Từ x ≤ y và y ≤ x suy ra x = y với mọi x, y ∈ X;
iii) x ≤ y; y ≤ z suy ra x ≤ z với mọi x, y, z ∈ X.
Tập hợp X cùng với một thứ tự bộ phận trên nó được gọi là tập sắp thứ tự bộ
phận và ký hiệu (X, ≤) hoặc X.
1.1.15 Định nghĩa. Giả sử "≤" là một quan hệ hai ngôi trên X và A ⊆ X.
a) Phần tử x ∈ X được gọi là cận trên (tương ứng cận dưới) của A nếu a ≤ x
(tương ứng x ≤ a) với mọi phần tử a ∈ A.
b) Phần tử x ∈ X được gọi là cận trên đúng (tương ứng cận dưới đúng) của
A nếu x là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A và nếu y cũng là một cận
trên (tương ứng cận dưới) của A thì x ≤ y (tương ứng y ≤ x). Khi đó, ta kí hiệu
x = sup A (tương ứng x = inf A).
1.2 Nón trong không gian Banach
Mục này trình bày một số vấn đề cơ bản về nón trong không gian Banach.
1.2.1 Định nghĩa ([6]). Cho E là không gian Banach trên trường số thực R. Tập
con P của E được gọi là nón nếu thỏa mãn các điều kiện sau
i) P là tập đóng, P = ∅ và P = {0};
ii) Với mọi x, y ∈ P, mọi a, b ∈ R, a, b ≥ 0 ta có ax + by ∈ P;

iii) Nếu x ∈ P và −x ∈ P thì x = 0.
1.2.2 Ví dụ ([6]). 1) Trong không gian các số thực R với chuẩn thông thường,
tập P = {x ∈ R : x ≥ 0} là một nón.
2) Giả sử E = R
2
, P = {(x, y) ∈ E : x, y ≥ 0} ⊂ R
2
. Khi đó, P thỏa mãn ba điều
kiện:
i) P là tập đóng, P = ∅ và P = {0};
ii) Với mọi (x, y), (u, v) ∈ P và mọi a, b ∈ R, a, b ≥ 0, ta có
a(x, y) + b(u, v) ∈ P ;
iii) Với (x, y) ∈ P và (−x, −y) ∈ P ta có (x, y) = (0, 0).
Vậy, P là một nón trên E.
7
3) Giả sử C
[a,b]
là tập tất cả các hàm số nhận giá trị thực, liên tục trên [a, b].
Ta đã biết C
[a,b]
là không gian Banach với chuẩn
f = sup
x∈[a,b]
|f(x)| ∀f ∈ C
[a,b]
.
Trên C
[a,b]
có quan hệ thứ tự bộ phận thông thường ≤ được xác định bởi f, g ∈ C
[a,b]

f ≤ g khi và chỉ khi f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a, b].
Đặt
P = {f ∈ C
[a,b]
: 0 ≤ f}.
Khi đó, P thỏa mãn 3 điều kiện
i) P là tập đóng, P = ∅, P = {0};
ii) Với mọi a, b ∈ R, a, b ≥ 0 và với mọi f, g ∈ P ta có 0 ≤ af(x) + bg(x) với
mọi x ∈ [a, b]. Do đó af + bg ∈ P ;
iii) Với f ∈ P và −f ∈ P ta có f = 0.
Vậy, P là một nón trên E.
Cho P là một nón trong không gian Banach E. Khi đó, trên E xét quan hệ thứ
tự ≤ xác định bởi P như sau x ≤ y nếu và chỉ nếu y − x ∈ P. Chúng ta quy ước
x < y nếu x ≤ y và x = y, còn x  y nếu y − x ∈ intP với intP là phần trong
của P .
1.2.3 Định nghĩa ([6]). Cho P là một nón trong không gian Banach E.
1) Nón P được gọi là nón chuẩn tắc nếu tồn tại số thực K > 0 sao cho với mọi
x, y ∈ E và 0 ≤ x ≤ y ta có x ≤ Ky. Số thực dương K nhỏ nhất thỏa mãn
điều kiện này được gọi là hằng số chuẩn tắc của P.
2) Nón P được gọi là nón chính quy nếu mọi dãy tăng và bị chặn trên trong E
đều hội tụ. Nghĩa là, nếu {x
n
} là dãy trong E sao cho
x
1
≤ x
2
≤ · · · ≤ x
n
≤ · · · ≤ y với y ∈ E

thì tồn tại x ∈ E sao cho x
n
− x → 0 khi n → ∞.
1.2.4 Ví dụ. Trong không gian Banach R
k
với nón
P =

(x
1
, x
2
, , x
k
) ∈ R
k
: x
i
 0, ∀i = 1, 2, , k

.
Khi đó,
a) P là nón thỏa điều kiện:
∀x = (x
1
, x
2
, , x
k
) ∈ R

k
, ∀y = (y
1
, y
2
, , y
k
) ∈ R
k
và 0  x  y ta suy ra
8
0  x
i
 y
i
, ∀i = 1, 2, k, do đó ||x||  ||y||.
Vậy, P là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K = 1.
b) Giả sử dãy {x
n
} = (x
n
1
, x
n
2
, , x
n
k
) ∈ R
k

, ∀n = 1, 2, và y = (y
1
, y
2
, , y
k
) ∈
R
k
sao cho
x
1
 x
2
  x
n
  y.
Khi đó, với mỗi i = 1, 2, , k ta có
x
1
i
 x
2
i
  x
n
i
  y
i
.

Do đây là các dãy số thực tăng và bị chặn trong R nên chúng hội tụ. Tức là, với
mỗi i = 1, 2, , k tồn tại x
i
∈ R sao cho x
n
i
→ x
i
. Đặt x = (x
1
, x
2
, , x
n
) thì rõ
ràng x
n
→ x ∈ R
k
khi n → ∞.Vậy P là nón chính quy.
Định lý sau nói về mối quan hệ giữa nón chính quy và nón chuẩn tắc.
1.2.5 Định lý ([6]). Mọi nón chính quy trong không gian Banach là nón chuẩn
tắc.
1.2.6 Nhận xét ([6]). Điều ngược lại của Định lý 1.2.5 là không đúng, tức là có
những nón chuẩn tắc nhưng không chính quy. Thật vậy, xét không gian Banach
E = C
[0,1]
với chuẩn sup: f = sup
x∈[0,1]
|f(x)|.

Đặt P = {f ∈ E : f ≥ 0}. Khi đó, P là một nón với hằng số chuẩn tắc K = 1.
Thật vậy, giả sử f, g ∈ E và 0 ≤ f ≤ g. Khi đó, 0 ≤ f(x) ≤ g(x) với mọi x ∈ [0, 1]
và ta có
f = sup
x∈[0,1]
|f(x)| = sup
x∈[0,1]
f(x) ≤ sup
x∈[0,1]
g(x)
= sup
x∈[0,1]
|g(x)| = g,
chứng tỏ P là nón chuẩn tắc.
Bây giờ, ta chứng minh P không phải là nón chính quy. Thật vậy, lấy dãy {f
n
}
trong E cho bởi f
n
(x) = x
n
với mọi x ∈ [0, 1]. Rõ ràng dãy {f
n
} giảm và bị chặn
dưới nhưng {f
n
} không hội tụ trong E. Vậy P không phải là nón chính quy.
1.2.7 Bổ đề ([6]). Giả sử P là nón trong không gian Banach E, a, b, c ∈ E và α
là số thực dương. Khi đó,
i) Nếu a  b và b  c thì a  c;

ii) Nếu a ≤ b và b  c thì a  c;
iii) Nếu a  b, c  d thì a + c  b + d;
9
iv) αintP ⊂ intP ;
v) Với mỗi δ > 0 và x ∈ intP tồn tại 0 < γ < 1 sao cho γx < δ;
vi) Với mỗi c
1
∈ intP và c
2
∈ P tồn tại d ∈ intP sao cho c
1
 d và c
2
 d;
vii) Với mọi c
1
, c
2
∈ intP tồn tại e ∈ intP sao cho e  c
1
và e  c
2
;
viii) Nếu a ∈ P và a ≤ x với mọi x ∈ intP thì a = 0;
ix) Nếu a ≤ εa với a ∈ P , 0  ε < 1 thì a = 0;
x) Nếu 0 ≤ x
n
≤ y
n
với mỗi n ∈ N và lim

n→∞
x
n
= x, lim
n→∞
y
n
= y thì
0 ≤ x ≤ y.
Chứng minh.
i) Vì phép cộng liên tục nên intP + intP ⊂ intP . Nếu a  b và b  c thì
a − b ∈ intP và c − b ∈ intP. Suy ra c − a = c − b + b − a ∈ intP + intP .
Vậy a ≤ c.
ii) Để ý rằng intP + P = ∪
x∈P
(x + intP ) là tập mở và P là nón nên suy ra
x + intP ⊂ P . Do đó P + intP ⊂ intP . Nếu a  b và b  c thì b − a ∈ P và
c − b ∈ intP. Suy ra c − a = c − b + b − a ∈ intP + P ⊂ intP hay a − c ∈ intP.
Vậy a  c.
iii) Ta có a  b và c  d nên b −a ∈ intP và d −c ∈ intP suy ra b − a + d− c ∈
intP hay (b + d) − (a + c) ∈ intP do đó a = c  b + d.
iv) Vì phép nhân vô hướng liên tục nên αintP ⊂ intP.
v) Với mỗi δ > 0 và x ∈ intP chọn số tự nhiên n > 1 sao cho
δ
nx
< 1. Khi
đó, với mỗi γ =
δ
nx
< 1 thỏa mãn: 0 < γ < 1 và

γx ≤ γx ≤
δ
nx
x ≤
δ
n
< δ.
vi) Do c
1
∈ intP nên mc
1
∈ intP với mọi m > 1 cho trước. Đặt d = mc
1
+ c
2
.
Do mc
1
∈ intP và c
2
∈ P nên d ∈ intP + P =

x∈P
(x + intP ) ⊂ ontP ⇒ d ∈ intP.
Rõ ràng d − c
2
= mc
1
∈ intP ⇒ c
2

 d. Mặt khác d − c
1
= (m − 1)c
1
+ c
2
∈
intP + P ⊂ P ⇒ c
1
 d.
vii) Do c
1
∈ intP nên tồn tại hình cầu mở B(0, r) trong không gian định chuẩn
E sao cho c
1
+ B(0, r) ⊂ P . Do B(0, r) là tập hút nên nó hút c
2
tức là tồn tại số
10
dương m < 1 thỏa mãn
mc
2
∈ B(0, r) ⇒ −mc
2
∈ B(0, r) ⇒ c
1
+ (−mc
2
) ∈ c
1

+ B(0, r) ⊂ P
Đặt e = mc
2
thì do c
2
∈ intP và m > 0 nên theo (iv) ta có e ∈ intP . Rõ ràng khi
đó c
1
− e = c
1
+ (−mc
2
) ⊂ intP ⇒ e  c
1
.
Tương tự c
2
− e = c
2
− mc
2
= (1 − m)c
2
∈ intP do 1 − m > 0 và c
2
∈ intP . Suy
ra e  c
2
.
viii) Giả sử x ∈ intP . Từ giả thiết suy ra a ≤

x
n
với mọi n = 1, 2, . . . do đó
x
n
−a ∈ P với mọi n = 1, 2, . . . Vì



x
n



=
x
n
→ 0 nên
x
n
→ 0. Do đó
x
n
−a → −a.
Mặt khác, vì dãy {
x
n
− a} ⊂ P và P đóng trong E nên −a ∈ P . Như vậy, a và
−a ∈ P. Vì P là nón nên a = 0.
ix) Vì a ≤ εa nên εa − a ∈ P hay (ε − 1)a ∈ P . Do 0  ε < 1 nên 1 − ε > 0.

Từ đó suy ra −a =
ε − 1
1 − ε
a ∈ P hay −a ∈ P . Như vậy, a và −a ∈ P . Vì P là nón
nên a = 0.
x) Ta có x
n
≤ y
n
suy ra y
n
−x
n
∈ P . Từ giả thiết ta có lim
n→∞
(y
n
−x
n
) = y−x
mà P đóng nên suy ra y − x ∈ P do đó x ≤ y. Hoàn toàn tương tự như trên, ta
chứng minh được từ 0 ≤ x
n
suy ra 0 ≤ x. Vậy 0 ≤ x ≤ y. 
1.2.8 Bổ đề ([1]). Giả sử P là nón trong không gian Banach E và {x
n
} là dãy
trong P . Khi đó, nếu x
n
→ 0 thì với mỗi c ∈ intP tồn tại n

0
∈ N sao cho x
n

c với mọi n ≥ n
0
. Hơn nữa nếu P chuẩn tắc thì khẳng định ngược lại cũng đúng.
Chứng minh. Giả sử {x
n
} là dãy trong P và x
n
→ 0. Với mọi c ∈ intP, vì intP
là tập mở nên tồn tại δ > 0 sao cho c + B
E
(0, δ) ⊂ intP . Do đó, nếu x ∈ E mà
x < δ thì c − x ∈ intP . Với δ > 0 xác định như trên tồn tại n
0
∈ N sao cho
x
n
 < δ ∀n > n
0
.
Suy ra c − x
n
∈ intP với mọi n ≥ n
0
. Do đó x
n
 c với mọi n ≥ n

0
.
Ngược lại, giả sử P chuẩn tắc và với mọi c ∈ intP tồn tại n ≥ n
0
sao cho
x
n
 c. Gọi K là hằng số chuẩn tắc của P . Với mỗi ε > 0, chọn c ∈ intP sao cho
Kc < ε. Khi đó, từ giả thiết tồn tại n
0
∈ N sao cho
x
n
 c với mọi n ≥ n
0
.
Vì P là chuẩn tắc với hằng số K nên x
n
 ≤ Kc < ε với mọi n ≥ n
0
. Do đó
x
n
 → 0.
11
Vậy x
n
→ 0. 
1.2.9 Hệ quả ([1]). Giả sử P là nón chuẩn tắc trong không gian Banach E, {b
n

}
và dãy {c
n
} là hai dãy trong P. Khi đó, nếu 0 ≤ b
n
≤ c
n
với mọi n và c
n
→ 0 thì
b
n
→ 0.
Chứng minh. Vì c
n
→ 0 nên theo Bổ đề 1.2.8, thì với mỗi c ∈ intP tồn tại
n
0
∈ N sao cho c
n
 c với mọi n ≥ n
0
.
Mặt khác, vì 0 ≤ b
n
≤ c
n
nên b
n
 c với mọi n  n

0
. Như vậy, với mỗi c ∈ intP
tồn tại n
0
∈ N sao cho
b
n
 c với mọi n ≥ n
0
.
Theo Bổ đề 1.2.8, thì b
n
→ 0. 
1.2.10 Mệnh đề ([1]). Giả sử P là nón chuẩn tắc trong không gian Banach E,
{a
n
}, {b
n
}, {c
n
} là ba dãy trong E. Khi đó, nếu
a
n
≤ b
n
≤ c
n
với mọi n
và lim
n→∞

a
n
= lim
n→∞
c
n
= d thì tồn tại lim
n→∞
b
n
và lim
n→∞
b
n
= d
Chứng minh. Từ a
n
≤ b
n
≤ c
n
với mọi n suy ra
0 ≤ b
n
− a
n
≤ c
n
− a
n

với mọi n.
Vì lim
n→∞
c
n
= lim
n→∞
a
n
nên lim
n→∞
(c
n
− a
n
) = 0. Do đó theo Hệ quả 1.2.9, ta
có
lim
n→∞
(b
n
− a
n
) = 0.
Mặt khác, theo giả thiết tồn tại lim
n→∞
a
n
= d nên tồn tại
lim

n→∞
b
n
và lim
n→∞
b
n
= d.

1.2.11 Định nghĩa ([2]). Giả sử X là tập khác rỗng, P là nón trong không gian
Banach thực E và
d : X × X → P
(x, y) −→ d(x, y).
Khi đó, ánh xạ d được gọi là khoảng cách nón hay là mêtric nón trên X nếu thỏa
mãn các điều kiện sau
12
i) 0 ≤ d(x, y) với mọi x, y ∈ X, d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;
ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X;
iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y, z ∈ X.
Tập X cùng với khoảng cách nón d trên X được gọi là không gian mêtric nón
và được kí hiệu là (X, d) hoặc X.
1.3 Không gian giả mêtric nón
Từ đây về sau, ta quy ước P là một nón trong không gian Banach thực E sao
cho intP = ∅, ≤,  là các thứ tự trên E được xác định bởi P.
1.3.1 Định nghĩa ([1]). Giả sử X là tập khác rỗng và
d : X × X → P
(x, y) −→ d(x, y).
Khi đó, ánh xạ d được gọi là giả khoảng cách nón hay là giả mêtric nón trên X
nếu thỏa mãn các điều kiện sau
i) 0 ≤ d(x, y) với mọi x, y ∈ X, nếu x = y thì d(x, y) = 0;

ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X;
iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y, z ∈ X.
Tập X cùng với giả khoảng cách nón d trên X được gọi là không gian giả mêtric
nón và được kí hiệu là (X, d) hoặc X.
1.3.2 Ví dụ 1). Giả sử L
[a,b]
là tập các hàm nhận giá trị thực, khả tích Lebesgue
trên đoạn [a, b] và d : L
[a,b]
× L
[a,b]
→ R là hàm được cho bởi
d(f, g) =

b
a
|f(x) − g(x)|dx ∀f, g ∈ L
[a,b]
.
Khi đó, d là giả mêtric nón trên L
[a,b]
và do đó L
[a,b]
là không gian giả mêtric nón.
Chứng minh. Đặt P = [0, ∞). Khi đó, P là nón trong không gian Banach các
số thực R. Hơn nữa thứ tự bộ phận ≤ trên R được xác định bởi P chính là thứ tự
nhỏ hơn hoặc bằng thông thường trên R.
Rõ ràng d(f, g) ≥ 0, d(f, g) = 0 nếu f = g và d(f, g) = d(g, f) với mọi f, g ∈
13
L

[a,b]
. Giả sử f, g, h ∈ L
[a,b]
. Ta có
d(f, g) =

b
a
|f(x) − g(x)|dx =

b
a
|f(x) − h(x) + h(x) − g(x)|dx
≤

b
a
|f(x) − h(x)|dx +

b
a
|h(x) − g(x)|dx = d(f, h) + d(h, g).
Vậy d là giả mêtric nón trên L
[a,b]
.
Chú ý.1) Nếu d là giả mêtric trên X và thỏa mãn điều kiện d(x, y) = 0 kéo
theo x = y thì d là mêtric nón trên X. Như vậy, không gian mêtric nón là trường
hợp đặc biệt của không gian giả mêtric nón.
2) Trong ví dụ trên, d không phải là mêtric nón trên L
[a,b]

. Thật vậy, lấy f và
g với
f(x) =



1 nếu a ≤ x < b
0 nếu x = b
g(x) = 1, ∀x ∈ [a, b].
Khi đó f, g khả tích trên [a, b], nghĩa là f và g ∈ L
[a,b]
. Rõ ràng f = g nhưng
d(f, g) =

b
a
|f(x) − g(x)|dx = 0.
3) Trong R, xét nón P như trong Ví dụ 1) thì ta thấy rằng mọi không gian giả
mêtric là giả mêtric nón.
Ví dụ 2). Ta đã biết P = {f ∈ C
[a,b]
: f ≥ 0} là nón trong không gian Banach
C
[a,b]
các hàm liên tục trên [a, b], nhận giá trị trong R. Hơn nữa quan hệ ≤ trên
C
[a,b]
được xác định bởi P trùng với quan hệ ≤ thông thường trên [a, b]. Ta kí hiệu
X = {f ∈ C
[a,b]

: f có đạo hàm liên tục trên [a, b]}
và xác định hàm d : X × X → P bởi công thức d(f, g) = |f

−g

| với mọi f, g ∈ X,
tức là d(f, g)(x) = |f

(x) − g

(x)|, ∀f, g ∈ X, ∀x ∈ [a, b]. Khi đó, d thỏa mãn các
điều kiện của Định nghĩa 1.3.1, tức d là giả mêtric nón trên X.
Ta thấy rằng d không là mêtric nón. Thật vậy, nếu ta xét các hàm f, g ∈ X với
f(x) = x, g(x) = x + 1 với mọi x ∈ [a, b] thì f = g nhưng d(f, g) = 0.
Từ đây về sau, ta giả thiết (X, d) là không gian giả mêtric nón với d nhận giá
trị trong nón P.
1.3.3 Định nghĩa ([1]). Giả sử (X, d) là không gian giả mêtric nón, với bất kỳ
a ∈ X và c ∈ intP . Đặt
B(a, c) = {x ∈ X : d(a, x)  c}.
14
Tập B(a, c) được gọi là hình cầu mở tâm a, bán kính c.
1.3.4 Mệnh đề ([1]). Đặt
T = {G ⊂ X : ∀x ∈ G, ∃c ∈ intP, B(x, c) ⊂ G}.
Khi đó,
a) T là một tôpô trên X;
b) Với mọi a ∈ X và mọi c ∈ intP , hình cầu mở B(a, c) là lân cận của mỗi
điểm thuộc B(a, c);
c) (X, T ) không là T
1
− không gian.

Chứng minh.
a) ∅ ∈ T và X ∈ T vì với mỗi x ∈ X và c ∈ intP ta có B(a, c) ⊂ X. Giả sử
{A
i
: i ∈ I} là các họ phần tử thuộc T . Khi đó A
i
∈ T , với mọi i ∈ I. Ta cần
chứng minh
∪{A
i
: i ∈ I} ∈ T .
Giả sử x ∈ ∪{A
i
: i ∈ I}. Khi đó, tồn tại i ∈ I sao cho x ∈ A
i
. Vì A
i
∈ T nên tồn
tại c ∈ intP sao cho B(x, c) ⊂ A
i
. Suy ra
B(x, c) ⊂ A
i
⊂ ∪{A
i
: i ∈ I}.
Do đó
∪{A
i
: i ∈ I} ∈ T .

Giả sử A ∈ T , B ∈ T . Lấy bất kỳ x ∈ A ∩ B. Khi đó, x ∈ A, x ∈ B. Do
A ∈ T , B ∈ T nên tồn tại c
1
và c
2
∈ intP sao cho B(x, c
1
) ⊂ A và B(x, c
2
) ⊂ B.
Theo Bổ đề 1.2.7.vii) tồn tại c ∈ intP sao cho c  c
1
và c  c
2
. Từ đó suy ra
B(x, c) ⊂ B(x, c
1
) ∩ B(x, c
2
) ⊂ A ∩ B. Do đó, A ∩ B ∈ T .
Vậy T là một tôpô trên X.
b) Giả sử x ∈ B(a, c). Khi đó, 0 ≤ d(x, a)  c. Đặt c

= c − d(x, a). Vì
d(x, a)  c nên ta có c

∈ intP . Với mọi y ∈ B(x, c

) ta có d(y, x)  c


. Do đó từ
điều kiện c) của Định nghĩa 1.3.1, suy ra
d(y, a) ≤ d(y, x) + d(a, x)  c

+ d(x, a) = c − d(x, a) + d(x, a) = c.
Từ đó y ∈ B(a, c) và do đó B(x, c

) ⊂ B(a, c).
Vậy B(a, c) ∈ T .
15
c) Lấy x, y ∈ X sao cho x = y và d(x, y) = 0. Khi đó, mọi hình cầu B(x, c) đều
chứa y. Từ đó suy ra X không là T
1
− không gian. 
Chú ý. Nếu X là không gian giả mêtric nón mà d(x, y) > 0 với mọi x = y thì
X là không gian mêtric nón. Do đó, X là T
2
−không gian.
Từ đây về sau, khi nói tới không gian giả mêtric nón X ta hiểu tôpô trên X là
tôpô T nói ở Mệnh đề 1.3.4.
1.3.5 Hệ quả ([1]). Mọi hình cầu mở trong X là tập mở trong X.
Chứng minh. Từ chứng minh Mệnh đề 1.3.4. b) suy ra B(a, c) là tập mở. 
1.3.6 Định lý ([1]). Giả sử (X, d) là không gian giả mêtric nón, {x
n
} ⊂ X, a ∈ X.
Khi đó,
1) {x
n
} hội tụ tới a khi và chỉ khi với mỗi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên n
c

sao
cho d(x
n
, a)  c với mọi n ≥ n
c
.
2) Nếu P là nón chuẩn tắc thì x
n
→ a khi và chỉ khi d(x
n
, a) → 0.
Chứng minh. 1) Giả sử x
n
→ a. Khi đó, với mỗi c ∈ intP . Vì B(a, c) ∈ T nên
tồn tại số tự nhiên n
c
sao cho x
n
∈ B(a, c) với mọi n ≥ n
c
. Do đó, d(a, x
n
)  c
vói mọi n ≥ n
c
. Ngược lại, giả sử với mỗi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên n
c
sao cho
d(a, x
n

)  c với mọi n ≥ n
c
. Với mỗi lân cận U của a tồn tại c ∈ intP sao cho
B(a, c) ⊂ U. Từ đó suy ra tồn tại số tự nhiên n
c
sao cho x
n
∈ B(a,c)⊂ U với mọi
n ≥ n
c
. Do đó, x
n
→ a.
2) Từ 1) và Bổ đề 1.2.8, suy ra điều cần chứng minh. 
1.3.7 Mệnh đề ([1]). Giả sử {x
n
} là dãy trong X, a và b ∈ X. Khi đó,
a) Nếu x
n
→ a và x
n
→ b thì d(a, b) = 0;
b) x
n
→ a khi và chỉ khi x
n
→ x với mọi x ∈ F
a
và F
a

={x ∈ X : d(a, x) = 0}.
Chứng minh. a) Với mọi n ta có
0 ≤ d(a, b) ≤ d(a, x
n
) + d(x
n
, b). (1)
Vì x
n
→ a và x
n
→ b nên từ Định lý 1.3.6. 1) suy ra với mỗi c ∈ intP tồn tại số
tự nhiên n
c
sao cho d(a, x
n
) 
c
2
và d(b, x
n
) 
c
2
với mọi n ≥ n
c
. Kết hợp với (1)
suy ra d(a, b)  c với mọi c ∈ intP . Theo Bổ đề 1.2.7.viii), thì d(a, b) = 0.
16
b) Điều kiện cần. Giả sử x

n
→ a. Ta cần chứng minh x
n
→ x, với mọi x ∈ F
a
.
Thật vậy, từ x
n
→ a suy ra với mọi c ∈ intP tồn tại n
c
∈ N sao cho d(a, x
n
)  c
với mọi n ≥ n
c
.Với mọi x ∈ F
a
ta có d(x, a) = 0. Do đó
0 ≤ d(x
n
, x) ≤ d(x
n
, a) + d(a, x)  c ∀n ≥ n
c
.
Từ đó suy ra x
n
→ x.
Điều kiện đủ. Vì a ∈ F
a

nên điều cần chứng minh là hiển nhiên. 
1.3.8 Mệnh đề ([1]). Giả sử (X, d) là không giả mêtric nón, a ∈ X và c ∈ intP.
Khi đó, họ U = {B(a,
c
n
) : n = 1, 2, . . .} là một cơ sở lân cận tại điểm a, do đó X
là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất.
Chứng minh. Giả sử U là lân cận bất kỳ của điểm a. Khi đó, tồn tại r ∈ intP
sao cho B(a, r) ⊂ U. Vì
c
n
→ 0 khi n → ∞ và r ∈ intP nên Bổ đề 1.2.7, suy ra
tồn tại n sao cho
c
n
 r. Do đó, B(a,
c
n
) ⊂ B(a, r) ⊂ U. Suy ra U là cơ sở lân cận
tại điểm a.
Hiển nhiên U là tập đếm được. Do đó X là không gian thỏa mãn tiên đề đếm
được thứ nhất. 
1.3.9 Mệnh đề ([1]). Giả sử (X, d) là không gian giả mêtric nón và a ∈ X. Đặt
F
a
= {x ∈ X : d(x, a) = 0}.
Khi đó, các khẳng định sau đây là đúng
a) Với mọi b và b

∈ F

a
, x ∈ X\F
a
ta có d(x, b) = d(x, b

);
b) F
a
là tập đóng;
c) Với mọi a, b ∈ X ta có d(x, y) = d(a, b) ∀x ∈ F
a
, ∀y ∈ F
b
.
Chứng minh. a) Với mọi b và b

∈ F
a
ta có
0 ≤ d(b, b

) ≤ d(b, a) + d(a, b

) = 0.
Do đó d(b, b

) = 0. Với mọi x ∈ X\F
a
ta có
d(x, b) ≤ d(x, b


) + d(b

, b) = d(x, b

) (1)
và
d(x, b

) ≤ d(x, b) + d(b, b

) = d(x, b). (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra d(x, b) = d(x, b

).
17
b) Giả sử {x
n
} ⊂ F
a
và x
n
→ x ∈ X. Vì X thỏa mãn tiên đề đếm được thứ
nhất nên để chứng minh F
a
đóng ta chỉ cần chứng minh x ∈ F
a
. Vì x
n
→ x nên

với mọi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên n
c
sao cho d(x
n
, x)  c với mọi n ≥ n
c
. Vì
x
n
∈ F
a
với mọi n nên d(x
n
, a) = 0 với mọi n = 1, 2, . . . Do đó
d(x, a) ≤ d(x, x
n
) + d(x
n
, a) = d(x, x
n
)  c ∀n ≥ n
c
.
Từ đó suy ra d(x, a)  c với mọi c ∈ intP . Do đó theo Bổ đề 1.2.7 thì d(x, a) = 0,
tức x ∈ F
a
. Vậy F
a
là tập đóng.
c) Từ bất đẳng thức tam giác suy ra

d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, b) + d(b, y) = d(a, b)
và
d(a, b) ≤ d(a, x) + d(x, y) + d(y, b) = d(x, y).
Do đó d(a, b) = d(x, y). .
18
CHƯƠNG 2
MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM GIẢ
BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC
NÓN
Chương này trình bày một số tính chất của ánh xạ liên tục, điểm giả bất động
của ánh xạ co và điểm giả bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu trong
không gian giả mêtric nón cùng các hệ quả của nó.
2.1 Sự tồn tại điểm giả bất động của các ánh xạ co
trong không gian giả mêtric nón
Trong mục này, ta sẽ chứng minh một số tính chất của ánh xạ liên tục, nguyên
lý ánh xạ co và các định lý về điểm giả bất động của ánh xạ co trong không gian
giả mêtric nón. Các kết quả này có được bằng cách tổng quát từ những kết quả
trong không gian mêtric nón và không gian giả mêtric. Trong các định lý sau, ta
giả sử các giả mêtric nón nhận giá trị trong nón P, trong đó P là nón trong không
gian Banach thực E, intP = ∅, ≤ và  là hai thứ tự trên E được xác định bởi P.
2.1.1 Định lý ([1]). Cho các không gian giả mêtric nón (X, d), (Y, d) và tập hợp
không rỗng E ⊂ X. Hàm f : E → Y liên tục tại điểm x
0
∈ E khi và chỉ khi với
mọi dãy {x
n
} ⊂ E sao cho x
n
→ x
0

thì f(x
n
) → f(x
0
).
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử hàm f liên tục tại x
0
. Cho dãy {x
n
} ⊂ E
mà x
n
→ x
0
.
Khi đó, với mọi c ∈ intP tồn tại t ∈ intP sao cho f(B(x
0
, t)) ⊂ B(f(x
0
), c). Vì
x
n
→ x
0
nên tồn tại số tự nhiên n
0
sao cho x
n
∈ B(x
0

, t) với mọi n ≥ n
0
. Do đó
f(x
n
) ∈ B(f(x
0
), c) với mọi n ≥ n
0
.
19
Như vậy f(x
n
) → f(x
0
).
Điều kiện đủ. Giả sử x
0
là điểm thuộc E và với mỗi dãy {x
n
} ⊂ E mà x
n
→ x
0
đều có f(x
n
) → f(x
0
).
Ta giả sử rằng f không liên tục tại điểm x

0
. Khi đó, từ Định nghĩa 1.1.5 suy
ra tồn tại c ∈ intP sao cho với mỗi t ∈ intP đều có f(B(x
0
, t))  B(f(x
0
), c). Từ
đó suy ra với mỗi n = 1, 2, . . . tồn tại x
n
∈ B(x
0
,
c
n
) sao cho f(x
n
) /∈ B(f(x
0
), c).
Vì x
n
∈ B(x
0
,
c
n
) với mọi n và
c
n
→ 0 nên x

n
→ x
0
. Trong khi đó, từ f(x
n
) /∈
B(f(x
0
), c) với mọi n suy ra f(x
n
) không dần tới f(x
0
). Điều này mâu thuẫn với
giả thiết của điều kiện đủ. Do đó, f liên tục tại điểm x
0
. 
2.1.2 Định nghĩa ([1]). Cho các không gian giả mêtric nón (X, d) và (Y, d). Ánh
xạ f : X → Y được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại 0 ≤ α < 1 sao cho
d(f(x), f(y)) ≤ αd(x, y) ∀x, y ∈ X.
2.1.3 Định nghĩa. Giả sử (X, d) là không gian giả mêtric nón, điểm x
0
∈ X và
f : X → X.
Điểm x
0
được gọi là điểm bất động của ánh xạ f nếu f(x
0
) = x
0
.

Điểm x
0
được gọi là điểm giả bất động của ánh xạ f nếu d(f(x
0
), x
0
) = 0.
Ta ký hiệu F ixf là tập tất cả các điểm giả bất động của f trong X và đặt
d(F ixf) = sup {d(x, y) : x, y ∈ F ixf} .
2.1.4 Nhận xét. Nếu f : X → Y là ánh xạ co thì f liên tục và d(Fixf) = 0.
2.1.5 Định nghĩa ([1]). Dãy {x
n
} trong không gian giả mêtric nón (X, d) được
gọi là dãy Cauchy nếu với mỗi c ∈ inP tồn tại số tự nhiên n
c
sao cho
d(x
n
, x
n+p
)  c với mọi n  n
c
, với mọi p = 0, 1,
Không gian giả mêtric nón (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong
X đều hội tụ.
Tập con Y của không gian giả mêtric nón (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi
dãy Cauchy trong Y đều hội tụ tới điểm thuộc Y .
2.1.6 Bổ đề ([1]). Giả sử {x
n
} là dãy Cauchy trong không gian giả mêtric nón

(X, d). Khi đó, nếu tồn tại dãy con {x
n
k
} của {x
n
} sao cho x
n
k
→ x ∈ X thì
x
n
→ x.
20
Chứng minh. Từ giả thiết {x
n
} là dãy Cauchy và x
n
k
→ x ∈ X suy ra rằng với
mỗi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên n
c
sao cho
d(x
n
, x
m
) 
c
2
với mọi n, m  n

c
và
d(x
n
k
, x) 
c
2
với mọi k  n
c
.
Do đó d(x
n
, x)  d(x
n
, x
n
k
) + d(x
n
k
, x)  c với mọi n  n
c
. Vậy x
n
→ x.
2.1.7 Định lý (Nguyên lý ánh xạ co [1]). Giả sử X là không gian giả mêtric
nón đầy đủ, f : X → X là ánh xạ co. Khi đó, f có điểm giả bất động x
0
. Hơn

nữa, điểm giả bất động x
0
của f là duy nhất theo nghĩa nếu y
0
cũng là điểm giả
bất động của f thì d(x
0
, y
0
) = 0.
Chứng minh. Lấy x ∈ X và đặt f(x) = x
1
, f(x
1
) = x
2
, . . . . Ta sẽ chứng minh
dãy {x
n
} hội tụ, muốn vậy ta chứng minh dãy {x
n
} là dãy Cauchy. Thật vậy, vì f
là ánh xạ co nên tồn tại α ∈ [0, 1) sao cho
d(x
n
, x
n+1
) = d(f(x
n−1
, f(x

n
)) ≤ αd(x
n−1
, x
n
)
= αd(f(x
n−2
), f(x
n−1
))
≤ α
2
d(x
n−2
, x
n−1
) ≤ · · · ≤ α
n
d(x, x
1
), ∀n ≥ 1.
Do đó, với mọi n và với mọi m = n + p, p ∈ N ta có
d(x
n
, x
m
) ≤ d(x
n
, x

n+1
) + d(x
n+1
, x
m
)
≤ d(x
n
, x
n+1
) + d(x
n+1
, x
n+2
) + + d(x
m−1
, x
m
)
≤ α
n
d(x, x
1
) + α
n+1
d(x, x
1
) + + α
n+p−1
d(x, x

1
)
= [α
n
+ α
n+1
+ · · · + α
n+p−1
]d(x, x
1
) ≤
α
n
1 − α
d(x, x
1
).
Vì α ∈ [0, 1) nên
α
n
1 − α
d(x, x
1
) → 0 khi n → ∞. Do đó với mọi c ∈ intP tồn tại n
0
sao cho
α
n
1 − α
d(x, x

1
)  c với mọi n ≥ n
0
. Từ đó suy ra d(x
n
, x
n+p
)  c ∀n ≥
n
0
, ∀p = 0, 1 Do đó {x
n
} là dãy Cauchy. Do X đầy đủ nên x
n
→ x
0
∈ X.
Bây giờ, ta chứng minh x
0
là điểm giả bất động của f. Thật vậy, vì f là ánh
xạ co nên f liên tục. Do đó, từ x
n
→ x
0
ta có f(x
n
) → f(x
0
). Từ đó suy ra rằng
với mọi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên n

c
sao cho
0 ≤ d(x
0
, f(x
0
)) ≤ d(x
0
, x
n+1
) + d(x
n+1
, f(x
0
))
= d(x
0
, x
n+1
) + d(f(x
n
), f(x
0
))  c ∀n ≥ n
c
.
21
Do đó d(x
0
, f(x

0
))  c với mọi c ∈ intP . Theo Bổ đề 1.2.7.viii) thì d(x
0
, f(x
0
)) = 0.
Như vậy x
0
là điểm giả bất động của f.
Cuối cùng, giả sử y
0
cũng là điểm giả bất động của f, nghĩa là d(y
0
, f(y
0
)) = 0.
Khi đó, ta có
d(x
0
, y
0
)  d(x
0
, fx
0
) + d(fx
0
, fy
0
) + d(f(y

0
), y
0
) = αd(x
0
, y
0
).
Vì α ∈ [0, 1) nên theo Bổ đề 1.2.7.x) thì d(x
0
, y
0
) = 0. Định lý đã được chứng
minh. 
2.1.8 Định lý. Giả sử X là không gian giả mêtric nón đầy đủ, g : X → X là ánh
xạ co và n
0
là số tự nhiên nào đó. Khi đó, g
n
0
cũng là ánh xạ co và F ixg = F ixg
n
0
.
Chứng minh. Giả sử g là ánh xạ co, khi đó tồn tại α ∈ [0, 1) sao cho với mọi
x, y ∈ X ta có d(gx, gy)  αd(x, y). Từ đó suy ra
d(g
n
0
x, g

n
0
y)  αd(g
n
0
−1
x, g
n
0
−1
y)   α
n
0
d(x, y) ∀x, y ∈ X.
Do α
n
0
∈ [0, 1) nên ta suy ra g
n
0
là ánh xạ co.
Vì g
n
0
là ánh xạ co nên g
n
0
có điểm giả bất động. Suy ra F ixg
n
0

= ∅. Giả sử
a ∈ Fixg
n
0
. Khi đó, d(g
n
0
a, a) = 0. Do đó
d(ga, a)  d(ga, g
n
0
+1
a) + d(g
n
0
+1
a, g
n
0
a) + d(g
n
0
a, a)
 αd(a, g
n
0
a) + α
n
0
d(ga, a) = α

n
0
d(ga, a).
Vì α
n
0
∈ [0, 1) nên theo Bổ đề 1.2.7.ix) ta có d(ga, a) = 0. Như vậy a ∈ F ixg. Do
đó F ixg
n
0
⊂ F ixg.
Mặt khác, nếu b ∈ Fixg thì d(gb, b) = 0. Do đó
d(g
n
0
b, b)  d(g
n
0
b, g
n
0
+1
b) + d(g
n
0
+1
b, gb) + d(gb, b)
 α
n
0

d(b, gb) + αd(g
n
0
b, b) = αd(g
n
0
b, b)
Vì α
n
0
∈ [0, 1) nên theo Bổ đề 1.2.7.ix) ta có d(g
n
0
b, b) = 0, tức là b ∈ Fixg
n
0
. Do
đó F ixg ⊂ Fixg
n
0
. Tóm lại ta có F ixg = F ixg
n
0
.
2.1.9 Định nghĩa. Giả sử f và {f
n
} là dãy các ánh xạ từ không gian giả mêtric
nón X vào không gian giả mêtric nón Y. Ta nói {f
n
} hội tụ đều tới f trên X nếu

với mọi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên n
c
, sao cho với mọi n ≥ n
c
và với mọi x ∈ X
ta có d(f
n
x, fx)  c.
2.1.10 Định lý. Giả sử X là không gian giả mêtric nón đầy đủ, F : X → X. Cho
F
n
: X → X là dãy các ánh xạ liên tục sao cho mỗi F
n
có điểm giả bất động là
x
n
, n = 1, 2, và {F
n
} hội tụ đều tới F trên X. Khi đó,
22