Phương pháp tính giới hạn hàm số đầy đủ (đại học)

Giới hạn hàm một biến

Giới hạn của phần toán đại cương ở đại học sẽ có thêm nhiều công cụ mạnh mẽ giúp ta giải toán
nhanh hơn, tuy nhiên có nhiều bài toán khó nhận dạng và đòi hỏi kết hợp nhiều phương pháp.
Giới hạn hàm số là chương cơ bản nhất, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững để dễ dàng học tốt các
phần mới hơn đó là tích phân suy rộng, chuỗi số,… Trong tài liệu này, mình sẽ tổng hợp các
phương pháp giải toán, các ví dụ, bài tập cơ bản và hướng dẫn chi tiết. Có thể trong tài liệu có
nhiều phần sai sót, mong các bạn thông cảm.
Mình sẽ tóm tắt phương pháp tính giới hạn mới mẻ đó là qui tắc L’Hospitale để áp dụng vào
các bài toán giới hạn. Phần này sẽ học kĩ hơn ở phép tính vi phân.

Mục lục
1 Giới hạn hữu hạn 2
2 Giới hạn một phía
2
3 Các qui tắc tính giới hạn 2
3.1 Các phép toán trên giới hạn 2
3.2 Định lí kẹp giữa 4
3.3 Giới hạn của hàm hợp 5
4 Các dạng vô định 5
5 Giới hạn các hàm số sơ cấp 6
5.1 Giới hạn hàm lượng giác 6
5.2 Giới hạn của hàm số lũy thừa: 7
5.3 Giới hạn của hàm số mũ 7
5.4 Giới hạn của hàm số Logarith 8
5.5 Dạng vô định 1 8
¥
5.6 Một số dạng vô định mũ: 9
0
0,¥
0

6 Vô cùng bé và vô cùng lớn 9
6.1 Khái niệm vô cùng bé, vô cùng lớn 9
6.2 Vô cùng bé 10
6.2.1 So sánh các vô cùng bé
10
6.2.2 Các vô cùng bé tương đương 11
6.2.3 Nguyên lí thay vô cùng bé tương đương 11
6.2.4 Nguyên lí ngắt bỏ vô cùng bé bậc cao 12
7 Hàm số liên tục 12
7.1 Định nghĩa hàm số liên tục 13
7.2 Phân loại điểm gián đoạn
15
7.2.1 Điểm gián đoạn khử được 15
7.2.2 Điểm gián đoạn loại 1
15
7.2.3 Điểm gián đoạn loại 2 16
8 Khử các dạng vô định. Qui tắc Lôpitan (L’Hospitale) 16
8.1 Dạng vô định 0/0 16
8.2 Dạng vô định 16
/¥¥
8.3 Các dạng vô định khác 16
9 Bài tập cơ bản và lời giải
19

Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 1
1 Giới hạn hữu hạn
Trong phần này, ta sẽ không xét cách tính giới hạn bằng định nghĩa.
 Sự tồn tại của
(
)

lim
xx
f
x

0
và
(
)
f
x
0
là độc lập với nhau.
 Sự tồn tại của
(
)
lim
xx
f
x

0
chỉ phụ thuộc vào
()
f
x với những x khá gần x
0

()
x

¹
0

 Nếu
() ()
,
f
xgxx="¹a
thì
() ()
lim lim
xa x
f
xg

=
0
x
, với cac giới hạn trên đều tồn tại.
Ví dụ: xét hàm số Ta có trong khi đó

()
if 2
.
1 if 2
xx
gx
x
ì
¹

ï
ï
=
í
ï
=
ï
î
()
22
lim lim 2
xx
gx x

==
()
21g =
2 Giới hạn một phía
Ví dụ: Cho hàm số . Tính các giới hạn:
()
()
2
2
1if 1
1if 10
if 0
ì
ï
-£
ï

ï
ï
ï
=+ -<£
í
ï
ï
ï
+>
ï
ï
î
xx
fx x
xx
p
0
-
1.

() ( ) ( )
1
11
lim lim 1 lim 1 2
x
xx
fx x x

-
- -

=-=-=-

2.

()
() (
1
22
1
1
lim 1 l mm ii 1l
x
x
x
xxfx
++

-

= += +=
)
2
3.

() () ()
22
2
00 0
lim lim lim
+ + 

=+=+=
xx x
fx x xppp

4.

()
() ()
0
22
00
lim 1 lim 1 1lim
xxx
xfx x
 - -
+= +==
Định lí: Hàm số
()
f
x có giới hạn L tại
x
a= nếu và chỉ nếu các giới hạn một phía của nó tại đó
cũng bằng L. Tức là:
() () ()
lim lim lim
xa xa xa
f
xL fx fxL
+-
= = =

Ví dụ: Cho hàm số
()
4if 4
82 if 4
xx
fx
xx
ì
ï
->
ï
=
í
ï
-<
ï
î
. Tính .
()
4
lim
x
fx

Giải: Hàm
số
()
f
x có hai biểu thức khác nhau về hai phía của x=4 do đó để tính giới hạn ta cần
tính các giới hạn một phía

()
lim
x
f
x
+4
và
()
lim
x
f
x
-4
. Sau đó áp dụng định lí trên
Ta có:
() ()
() ( )
44 4
44
lim lim 4 lim 4 0
lim lim 8 2 0
xx x
xx
fx x x
fx x
+ + +
- -
=-= -=
=-=
.

Do
() () ()
lim lim lim
xx x
fx fx fx
+ - 
=
44 4
0=
3 Các qui tắc tính giới hạn
3.1 Các phép toán trên giới hạn
Nếu
lim ( ) ,lim ( )
xa xa
f
xL gxM


và k là một hằng số, m,n là các số nguyên thì
Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 2
a.
Phép cộng đại số:



]lim[
xa
f
x


gx LM

b.
Phép nhân:
 
lim[ . ]
xa
f
xgx

LM



c.
Phép chia:

lim
xa
gx

fx
L
M

(nếu
0M

)


m
m
n
n
d.
Lũy thừa: lim
xa
f
xL



nếu n chẵn,


0L  nếu n lẻ 0L

e.
Thứ tự: Nếu
 
f
xgx thì
LM





44
lim 2,lim 3

xx
fx gx


Ví dụ 1: Giả sử rằng

tính các giới hạn sau:


a.
 
444
3 lim


 

lim lim 3 3 3 0
xxx
gx gx





b.
 
444
lim )xg x x g x


lim .lim 4.( 3 12
xxx


c.
 


2
2
2
44
lim lim 3 9
xx
gx gx









4
4
44
lim
3
lim 3

1lim lim121
x
x
xx
gx
gx
fx fx







d.


Ví dụ 2:
Cho a.


2
5
lim 3
2
x
fx
x





tìm


2
lim
x
f
x





2
5
lim 3
2
x
fx
gx gx
x





Giải: Đặt






25gx x f x Vậy ta có
   
222 2
lim lim lim 2 lim5 3.0 5 5
xxx x
fx gx x
 
  

2
và


0
lim
x
f
x
x

2
fx
x
 tính



0
lim
x
f
x

b. Cho
0x
lim



2
0
lim 2
x
fx
gx gx
x


 Giải: Đặt 
ó:Vậy ta c






,

2
fx
f
xxg x
x

Do đó:
x gx
 


2
000
000
lim fxlim .lim 0
lim .lim 0
xxx
x
x gx
xgx




Ví dụ 3 c giới hạn:
a.

l
im
fx


xx
x

: Tính cá


22
2
2
00 0
22
93 1 1
lim lim lim
6
93
93
xx x
xx
x
x
xx
 






Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 3

b.


44
22
lim 2 6 lim 2 6 18
xx
xx xx
 
 








3.2 Định lí kẹp giữa
Giả sử bất đ
ới


Px


lim
xa
Px


vĐể tính giới hạn của hàm số chứa căn thức là một đa thức:
- có nghĩa
-
Áp dụng:

Px





lim lim
xa xa
Px Px Pa


ẳng thức
 


f
xgxhx thỏa mãn với mọi a (có thể x thuộc một khoảng chứa
không thỏa mãn tại
x
a ). Khi đó:
  
lim lim lim
 xa xa xa

f

xhxL gxL
T
Ví dụ :
a. Giả sử

3xux ính
22
3,xx .0


0
lim
x
ux


Giải: Ta có
22
33,xu xx 

x 0
. Mặt khác:

iới hạn



22
00
lim 3 lim 3 3

3
xx
xx
x

 

0
li
m
x
u


b.
Tính g
2
0
1
lim sin
x
x
x


Giải: Ta có
1
1sin 1, 0x
x
 ác vế của bấ  . Nhân c t đẳng thức với x

2
>0 ta được:
22
1
sin
2
x
xx
x
 . Vì



22
00
lim lim 0
xx
xx

 
2
0
1
lim sin 0
x
x
x



Để tính giới hạn của hàm số chứa căn thức dạng


lim
xa
Px A
Qx


với ột a
0:
một lượng liên hợp :

 
,Px Qxlà m đ
thức và
 
,Pa AQa
- Nhân tử và mẫu với


Px A


-
Đơn giản các đa thức giống nhau ở tử và mẫu, áp dụng phép thế.
Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 4

Áp dụng: Tính giới hạn
2

0
1
lim sin
x
x
x


Giải: Ta có
2
1
sin 1, 0x
x
 nên:
22
0
sin
11
sin
x
xx
xx


ì


V
00
lim 0 lim 0

xx
x

 nên:
22
00
11
lim sin 0 lim sin 0
xx
xx
xx




ạn của hàm hợp
Ví dụ: Vì
3.3 Giới h
2
2
2
lim
4
x
x



 và
2

4
2
11
lim sin lim sin
22
u
x
ux




 
4 Các dạng vô định
Loại Ví dụ
0
0









0.




0



0
0
0
sin
lim
x
x
x



2
0
1
ln
lim
cot
x
x
x


0
1

lim ln
x
x
x



2
1
lim tan
2
x
x
x












cos2
2
lim tan
x

x
x




0
lim
x
x
x




Nếu

xa
lim
f
xL thì



lim
xa
f
xL



: Nếu

lim 0
xa
fx

 thì


lim 0
xa
fx


(chỉ đúng duy nhất cho trường hợp này) Hệ quả
Nếu và

0
lim
o
xx
ux u




0
lim
uu

f
uL


thì




lim
o
xx
f
ux L



Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 5

1
¥

1
lim 1
x
x
x
¥
æö
÷

ç
+
÷
ç
÷
ç
èø


5 Giới hạn các hàm
5.1 Giới hạn hàm lượng giác
số sơ cấp
0
sin
lim 1
x
x
x



Mở rộng, nếu thì:

lim 0
o
xx
ux





sin
lim 1


o
xx
ux
ux

Ví dụ 1:
a) Vì
2
2
sin
lim 0 lim
x
x

2
00
1
xx
x


b)
Vì
222
2

2
0
x
x
 0
0
sin sin
lim 0 lim lim . 1.0 0
xx
xxx
x
xx

   
c)
Vì nên:

2
1
lim 2 0
x
xx

 
 



22 2
2

2
.
xx

22
11
sin 2 sin sin 2
2
lim lim lim . lim 2 3
1212
xx
xx xx xx
x
xxxxxx
  
  



11
xx
d)
Vì

1
lim 1 0
x
x



nên:
 




11 11
sin 1 sin 1 sin 1
11
lim lim lim .lim
12
1
11 1
x
x
x xx
xxx
x
xx x
 

 


 

: Tính giới hạn
1.



Ví dụ 2 :
2
0
1cos
lim
x
x
x



2
1cos2
sin
x
Giải: Ta có
2
x


, áp dụng:

2
2
22
00 0
2sin sin
1cos 1 1
22
lim lim 2lim .1

22
2.
2
xx x
xx
x
x
xx
 



 





0
1cos
lim
x
x
x


2.

Giải: Tương tự ta có:
Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 6

2
00 0
2sin sin
1cos 1
22
li
xx

m lim 2lim .sin 2. .0 0
22
2.
2
x
xx
xx
x
xx
 

 

Ta thừa nhận hai kết quả giới hạn trên mà không cần tính lại:
00
2
1cos 1 1cos
*lim *lim 0
2
xx
xx
xx





5.2 Giới hạn của hàm số lũy thừa:

00xx
xx
11
11
1
lim lim





n
x
x
n

Nếu thì:

0
lim 0


xx
ux






0
li
m
0
11
11
1
lim





xx
ux
ux
ux n

Ví dụ: Tính các giới hạn:
1.


n



xx
ux
32
23
0
11
lim



x
x
x
x

Giải:
32 32
23 2
00
11 1111
lim li
1
. .1
133
xx
xx
xx x x

 




2.

m
2
0x
1si
lim
xxn1
x


i:



2
00
1sin1 1sin1sin 1 1
lim lim . .1
sin 2 2
xx
xx xx x
xxxx

 
 Giả 
5
0

112
x
3.

li
m
x
x
x
 


55 5
00 00
00
5
0
112 1 12 1111
lim lim lim lim
112 121 1
lim 2lim 2. 1
22
11216
lim
55
11
1
xx xx
xx
x

2
x
xx xx
xxx
xx
xx
xx
x
 


       

 


 


Giải:
x
x
5.3 Giới hạn của hàm số mũ
00
11
*lim ln *lim 1
xx
xx
ae
a

xx




Nếu thì:

0
lim 0
xx
ux


Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 7




00
11
*lim *lim 1
xx xx
ux ux
ae
ux
a
ux






Ví h các giới hạn:
1.

dụ: Tín
2
0
lim
x
x
x
ee
x




2
Giải:
00x
1
lim lim 1
xx x
x
ee e
e
x




2.

x
x

2
cos
x
ex
2
0
li
m
x
x


iải:
22 2
G
2
xx
222
00 00
cos
lim lim lim lim 1
22
xx
xx xx

ex
xx
 


5.4 Giới hạn của hàm số Logarith
cos 1 1 cos 1 311
x
e xe x

0
ln 1
lim 1
x
x
x




Nếu

li
x
thì:
0
m 0
x
ux





0
ln 1
lim 1
xx
ux
ux




các giới hạn:
1.

Ví dụ: Tính

0
ln 1 4
lim
x
x
x


Giải:









00x
ln 1 4
ln 1 4
lim lim 4 . 4
4
x
x
x






2.

x
x


0
ln 1 sin
lim
x
x

x



Giải:

00 00
ln 1 sin x
xx

ln(1 sin ) sin ln(1 sin ) sin
lim lim . lim .lim 1
sin sin
xx xx
xx
x x
xxx
 



3.



2
0
ln cos
lim
ln 1

x
x
x



Giải:







2
2
2
0
ln cos
lim
1x
1cos
11
. . 1.1.
1 2 2
ln 1
1
x
x
x

x
x



co
s x







5.5 g vô định
Nếu và thì:

1
¥
Dạn

0
lim 1
xx
ux


()
0
lim

xx
vx

=¥
Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 8
()
()
() ()
0
0
1lim .
lim
xx
xx
u vx
vx
x
eux

ộự
-
ờỳ
ởỷ

=

Vớ d: Tớnh gii hn:
1
sin
1tan

x
1.

0
1s
in
x



li
m
x
x

Gii: Ta cú dng vụ nh , ỏp dng cụng thc:
1
Ơ
0
lim 1
1tan
1sin
1
1
sin
1t
s
.
0
in

1s
in
x
x
x
an
lim
x
e
x



x
x
x











Ta cú:

000
1
1
1tan an sin
cos
lim 1 lim 0
1 sin .sin 1 si
xxx
xxx
x
x xx x









1 t
. lim
sin 1 sinx




n
1

sin
0
0
1tan
lim
x


Vy
1
1sin
x
x
e
x





2.

1
23
lim
21
x
x
x
Ơ

ỗ
ữ
ỗ
ốứ
+
x
ổử
+
ữ
ỗ
ữ

ng nờn:
+
Gii: Ta cú d vụ nh
1
Ơ
()
(
)
123
m
23
lim
21
x
x
x
+
Ơ

ổử
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
+
21
li
1 . 1
lim
1
21
21
x
x
xx
x
x
x
x
ee
ee
Ơ
Ơ
ổử
+
+
ữ

ỗ
-+
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ốứ
+
+
+
ữ
==
==

5.6 dng vụ nh m:
i vi dng ny ta ỏp dng cụng thc:
00
0,Ơ Mt s
()
()
() ()
0
0
lim .ln
lim
xx
vx
vx
u

x
x
x
eux


=

Sau ú ỏp dng cỏc gii hn ó bit.
6 g
õy l khỏi nim quan trng giỳp ta gii quyt cỏc bi toỏn gii hn phc tp
6.1 Khỏi nim vụ cựng bộ, vụ cựng ln
Vụ cựng bộ v vụ cựn ln
nu
()
0
lim 0
xx
x


= Hm s
()
x

c gi l ụ c nv ự g bộ khi
0
x
x
()

Hm s
()
x

c gi l vụ cựng ln khi nu
0
lim
xx
0
x
x
x

=+Ơ

Nghch o ca mt vụ cựng bộ khỏc 0 l mt vụ cựng ln v nghch o ca mt vụ cựng
ln l mt vụ cựng bộ.
Vớ d
1. sin
x
l mt vụ cựng bộ khi vỡ
0
lim sin 0
x
x

= 0x
Phúng to hn hoc dựng Foxit Reader hin th tt cụng thc 9
2.

ln cos
x
là một vô cùng bé khi vì 0x 
0x
3.

()
arctan 2x + là một vô cùng bé khi 2x - vì lim arctan 0x =
lim ln cos 0x =
2x-
4.

1
2
x
là một vô cùng lớn khi
0x 
vì
2
0x
x

1
lim
=+¥
1
5.
sin
x
là một vô cùng bé khi 0x  nên

sin
x
là một vô khi 0x cùng lớn

Tính
1.


6.2 Vô cùng bé

Tích của một vô cùng bé và mộ l ợn bị t đại ư g chặn là một vô cùng bé.


Ví dụ: giới hạn:
sin
lim
x
x
x
¥
Giải: Ta khô
ng thể áp dụng giới hạn lượng giác vì không tiến về 0.

x

Nhận thấy:
1
lim 0
x
x

¥
= nên
1
là vô cùng bé khi
¥

x
x
 sin x£1, x"Î nên sin
x
là một đại lượng bị chặn
 Do đó,
1
.sin
x
x
là tích của một vô cùng bé và một đại lượng bị chặn nên
1
.sin
x
x
là
một vô cùng bé khi
x
¥
Kết luận:
si
lim
n
0

x
x
¥
=
x
2.

1
0
li
m .sin
x
x
x


Giải:
Nhận thấy:
 m 0x = nên
0
li
x
x
là vô cùng bé khi
0x


1
sin 1


, 0x nên
x
£"¹
1
sin
là một đại lượng bị chặn
x
1 1
sinx
x
 Do đó,
sinx
x
là tích của một vô cùng bé và một đại lượng bị chặn nên là
cùng bé khi
Kết luận:
một vô
x

0
0
1
lim .sin 0
x
x
x

=
6.2 sánh các vô cùng bé.1 So
Cho

() ()
,
x
x

là hai vô cùng bé khi . Khi đó:
x 0
Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 10
 Nếu
()
()
0
lim 0
x
x
x



= thì
() ()
()
x
ox

= (
()
x

là vô cùng bé bậc cao hơn

()
x

)
 Nếu
()
()
lim
x
x
x



=¥
0
thì
() ()
()
x
ox

=
(
()
x

là vô cùng bé bậc cao hơn
()
x


)
()
 Nếu
()
lim
x

0
x

A
x
= (A hữu hạn khác 0) thì
() ()
()
x
Ox

= (hai vô cùng bé đồng bậc).
 Nếu
(
)
(
)
0
lim 1
x
x




= thì ta nói
() ()
,
x
x

x
là hai vô cùng bé tương đương. Ký hiệu:
() ()
~
x
x


6.2.2 Các vô cùng bé tương đương
~ x khi
khi
3.
khi
x
1. sin x 0x 
2.
tan x 0x  ~ x
()
ln 1 ~+ xx 0x 
4.
1~
x

e- khi 0x 
1
1 ~.
n
1
x
x
n
+ khi 0x  5. -
6.

()
11~
x
x


+- khi
7.

0x 
2
1cos~
x
2
x khi
Nguyên lí thay vô cùng bé tương đương
- 0x 
6.2.3
(

)
(
)
(
)
(
)
trong đó
() ()
~
x
x

, Cho ,,,
x
xxx

là các vô cùng bé khi
x
x
0
() ()
~
x
x

. Khi đó:
()
()
()

()
lim lim
xx xx
x
x
x
x




=
00

Ví dụ: Tính giới hạn:
0
12 1x+-
1.
li
m
tan3
x
x

 Khi
Giải:
0x2 0xdo đó
()
12
.2

xxx+- =
1
1~
2

 do đó
 Theo nguyên lí thay vô cùng bé tương đương ta được:
Khi
x03 0x  tan 3 ~ 3xx
00
12 1 1
lim lim
tan3 3 3
xx
xx
xx

+-
==

Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 11
sin
0
1
lim
ln cos
xx
x
e
x


-
2.
Giải:
 Khi
0
. H
0sinxxx 
ơn nữa sin ~ .
x
xxx x=
2
, suy ra:
sin 2
1~ sin ~
xx
exx- x
2
 Khi 0x  ta có cos 1 0x- và cos 1 ~
2
x
x , suy ra:
()
2
ln cos ln 1 cos 1 ~ cos 1
x
~
2
xxx
-

éù
=+ - -
ëû

 Theo nguyên lí thay vô cùng bé tương đương ta có:
sin 2
2
00
1
lim lim 2
ln cos
2
xx
xx
ex
x
x

-
==
-

-
6.2.4 Nguyên lí ngắt bỏ vô cùng bé bậc cao
Cho:
trong đó
() () () ()
rx x x x
 
=+++

() () ()
,,,
x
xx
 
 . Giả sử
()
x

là các vô cùng bé khi
x
x
0
là vô cùng bé bậc
thấp nhất so với
() ()
,,
x
x


. Khi đó
(
)
rx
cũng là một vô cùng b quá trìnhé trong
x
x
0
và

() ()
~rx x


Ví dụ: tính giới hạn:
25
1.

34
0
li
sin 3 2 tan
xx x++
i: Khi ta có
m
36
x
xx
x

++


x  0 sin ,3
x
x
Giả lần lượt là các vô cùng bé có bậc thấp nhất và duy nhất của
tử thức và mẫu thức.
ng nguyên lý bỏ q
uaÁp dụ các vô cùng bé bậc cao ta được:

25
34
00
sin 2tan sin 1
m lim
36 33
xx x x
xx x x
++
==
++

3
li
xx
()
22
22
0
li
m
x
xx

+
sin 5 tan ln 1
arcsin
xx x
x
+++

+

i: Khi ta có
2.

x  0 sin5 ,
x
x
Giả lần lượt là các vô cùng bé có bậc thấp nhất và duy nhất của
tử thức và mẫu thức.
guyên
ua các Áp dụng n lý bỏ q vô cùng bé bậc cao ta được:
()
22
22
00
li
m lim
arcsin
xx
xx
x

=
++
sin 5 tan ln 1
sin5
5
xx x
x

x
+++
=

7 Hàm số liên tục
Sự tồn tại của
(
)
0
lim
xx
f
x

()
f
x với những x khá gần x
0

()
0
x
¹ chỉ phụ thuộc vào những 
Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 12
(
)
 Sự tồn a tại củ
0
lim
xx

f
x

()
0
và
f
x là độc lập với nhau.
7.1
1. Ta nói hàm số f liên tục tại x
0
nếu
Định nghĩa hàm số liên tục
() ( )
0
0
lim
xx
f
xfx

=
()
lim2. Nếu
0
xx
f
x

3. Ta nói hàm số

không tồn tại hoặc tồn tại nhưng khác f (x
0
) thì ta nói f gián đoạn tại x
0
.
f
nếu
(
)
(
)
liên tục phải tại
0
x
0
0
xx
lim
f
xfx=
+
nếu
() ( )
0
limliên tục trái tại 4. Ta nói hàm số
f
0
x
f
xfx=

0
xx-
ềĐi u kiện liên tục:


í dụ: Xét sự liên tục của hàm số tại điểm
.

()
f
xHàm số
f
liên tục tại















V
0

x

1.

()
1sin 1
i 0
ï
+-
ï
¹
ï
ï
ï
x
xf
0
ì
ï
ï
ï
î
0
0x = .
Giải:
 Ta có
1
=
í
ï

ï
x
fx
tại
if
2
=x
() ()
0
0
1
2
x
fx fx
=
==

()
00 0
1 sin 1
lim lim li
x
fx
+-
=
1 1 sin 1sin
sin
m.
2
xx x

x
x
x
xx
 
+-
= =

 Suy ra
() ( )
0
2
fx . Do đó
0
1
lim
x
fx

==
()
f
x liên tục tại
0
0x =
0
x
nếu và chỉ nếu liên tục trái và liên tục phải
Mộ hàm số liên tục tại nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây: t
1.

(
)
0
f
x
tồn tại (
0
x
thuộc
()
Df
)
()
lim tồn tại ( f có giới hạn tại x
0
) 2.
0
xx
f
x

3.
0
lim
xx
() ( )
0
f
xfx= (giới hạn bằng giá trị của hàm số)


Hàm số f gián đoạn tạ
0
x
nếu một trong ba điều kiện sau xảy ra: i
1.

(
)
không xác định tại
0
f
x
0
x

2.

()
lim
0
xx
f
x không tồn tại

3.
(
)
0
f

x xác định tại x
0
và
()
0
lim
xx
f
x

tồn tại nhưng
(
)
(
)
0
0
lim
xx
f
xfx

¹
Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 13
2. tại
4
nên
()
2
if 2

if 2
xx
gx
x
ì
ï
£
ï
=
í
>x
ï
ï
î
0
2x =
()
()
lim lim
lim lim
2
2- 2-
2+ 2+
==
==
xx
xx
gx x
gx x 2

() ()
lim lim
2- 2+
¹
xx
gx gx
(
)
li
Giải: Ta có
m
2x
gxkhông tồn tại. Vậy
3.

=2x hàm
số gián đoạn tại
()
x
x
x
hx x
x
x
ì
ï
1
ï
<0
ï

ï
ï
ï
ï
ï
=>
í
ï
ï
ï
1=
ï
ï
ï
ï
ï
î
if
sin
if
if
0
0
tại
0
=0x
Giải: Ta thấy
()
xx
hx

x
0- 0-
1
=¥=-
lim lim không hữu hạn nên hàm số
(
)
hx gián đoạn tại
.
Các hàm số sau đ iền xác định của nó (nếu là đ
iểm biên
liên tục tại một phía).
1.
Hàm đa thức
2.
Hàm hữu tỉ
3.
Hàm lũy thừa
x =0
Định lí: ây liên tục tại mọi điểm thuộc m
thì chỉ
yx

= với

là hằng số
và hàm số logarith
5.
Các hàm lượng giác và hàm lượng giác ngược.
4.

Hàm số mũ với a là hằng số dương và khác 1.
a
xlog
6.
Hàm số giá trị tuyệt đối x
Ví d Xét s của cácụ: ự liên tục hàm số trên


if
if
1.
()
x
fx
ì
ï
ï
ï
=
x
3£
cấp. Do đó,
xx
í
ï
>3
î
ï
ï

Giải:
 Với x £3ta có
()
fx x= là hàm số sơ
(
)
fx liên tục trên khoảng
 Với ta có
()
,-¥ 3
x >3
()
fx x x
1
2
== là hàm số sơ cấp. Do đó,
(
)
fx liên tục trên
 Tại ta có:
khoảng
,
()
3+¥
x =3
()
()
() ()
xx
xx

xx
fx x
fx
==3
==
lim lim
l
fx
fx
x
3- 3-
3- 3+
3+ 3+
¹
3
lim
lim
lim im
. Do đó, không tồn
()
x
fx
3
lim
tại.
 hàm số gián đoạn tại
 Vậy
(
x =3
)

fx
không liên tục trên


Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 14
()
if
if
sin x
x
ì
ï
ï
¹0
2.

gx
x
x
ï
ï
=
í
ï
ï
1=
0
ï
ï
î

Giải:
 Với x ¹0 ta có
()
sin x
gx
x
=
là hàm
(
)
gx số sơ cấp nên liên tục trên mỗi
và .
 Tại =0 ta có
khoảng
-¥
()
, 0
()
,0+¥
x
()
sin
lim
x
x
g
x
0
=1= 0 . Suy ra

(
)
gx liên tục tại =0
 Vậy
x
(
)
gx liên tục trên
Ví d tục trên
1.

là hàm số sơ cấp nên nó liên tục trên
là đa thức bậc nhất nên liên tục trên
 Theo đề bài,

ụ: Tìm a để hàm số sau liên  :
()
if.
x
x
fx
ì
ï
43 <0
ï
ï
=
í

if

ax
x³0
ï
2+
ï
ï
î
Giải:
 Với x <0 ta có
()
.fx=
x
43
()
,-¥ 0
 Với x >0 ta có
()
fx a x=2 +
()
,0+¥

(
)
fx liên tục trên . Nên 
(
)
fx liên tục tại hay
=2
ần
7.2 Phân loại điểm gián đoạn

7.2.1 Điểm gián đoạn khử đượ
x =0
() () ()
lim lim
xx
fx fx f a a
0- 0+
==04=2
Vậy
a =2 là giá trị c tìm.
cos ,xx
ì
ï
0£
2.

()
()
,
x
x
f
ax
ï
ï
=
í
ï
-1 >0
ï

î
ï
Giải:
tương tự câu trên ta tìm được
a =-1
c
Điểm gián đoạn kh c của hàm số
(
)
fx
nếu tồn tại nhưng hoặc
()
lim
xx
fx b
0

=
ử đượ
(
)
fx không xác định tại x
0
hoặc fx
0
()
b¹
Nếu bổ sung giá trị
()

fx
0
b= thì hàm
(
)
fx trở nên liên tục tại , tức là gián đoạn có
7.2.2 Đ
x
0
thể khử được.
iểm gián đoạn loại 1
gián đoạn loại 1 của hàm
(
)
Điểm fx nếu cùng tồn tại nhưng
() ()
lim , lim
xx xx
fx fx
00
+ -
()
lim lim
xx xx
fx fx
00
+ -
¹
()

Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 15
7.2.3 Điểm gián đoạn loại 2
Điểm gián đoạn loại 2 của hàm
(
)
fx
không tồn tại.
nếu t hai giới hạn ại điểm một trong
hay

x
0
()
lim
xx
fx
0
+
()
lim
xx
fx
0
-
8 Khử các dạng vô định. Qui tắc Lôpitan (L’Hospitale)
8.1 Dạ
Giả sử hai hàm thỏa m :
1.

trong lân cận đó,

điểm
3.
Tồn tại giới hạn hữu hạn hoặc vô cùng của
ng vô định 0/0
) (
,gx ãn các điều kiện
( )
fx
() ()
lim ; limfx gx=0 =0
xa xa
2.

() ()
,fx gx khả vi trong lân cận nào đó của điểm xa= và
()
'gx¹0
có thể trừ ra
chính
xa=
()
()
'
lim
'
xa
fx
gx


Khi đó:
()
()
()
()
'
lim im
xa
fx f x
gx

=
l
'
xa
g x

Giả sử thỏa mãn các điều kiện 2. và 3. phía trên và thỏa mãn thêm điều kiện:
8.2 Dạng vô định /¥¥
() ()
,fx gx
1.
lim f
() ()
; lim
xa xa
x gx

=¥ =¥
()

()
()
()
'
lim lim
'
xa xa
fx f x
gx g x

= Khi đó:

(
)
(
)
'
'
fx
gx
Chú ý: Nếu thương lại có dạng vô định 0/0 hay /¥¥ tại xa= và ', 'fg tiếp tục
c điều kiện của qui tắc thì ta có thể tiếp tục đạo hàm cấp 2 hoặc nhiều hơn nữa.
8.3 Các dạng vô định khác
ịch đả
thỏa m
ãn ác
1.
Dạng .0¥: ngh o một trong hai số hạng để xuất hiện dạng vô định hoặc
/¥¥ và áp dụng qui tắc Lôpitan.
2.

Dạng
¥-¥
: ta có thể phân tích
/00

() () ()()
()
()
é
ù
11
ê
fx gx f xgx
gx fx
ú
-

-=
ê
ú
ê
ú
ë
û
) (
()

( )
()
()

fx
fx
fx
=1-
êú
êú
ëû

gx
gx
éù
êú
-
Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 16
Để xuất hiện dạng vô định
ạng : có thể đưa về dạng Một số dạng vô định
.0¥
3.
D bằng công thức đã nêu ở ,
00
0¥ .0¥
mũ:
Mặc dù qui tắc Lôpitan là một công cụ mạnh để tính giới hạn nhưng không thể thay
ác.
Ví dụ: Tính giới hạn
thế toàn bộ các phương pháp tính giới hạn kh
1)

lnxx
2

-1+

lim
x
x
ee
1
-
Giải: ta có dạng vô định 0/0. Áp dụng qui tắc Lôpitan:
()
()
/
ln
ln
lim lim
x
xx
2
2
1
2+
-1+
-1+
=
/ x
x
x
x
lim
x

x
ee
1
=
-
xx
x
e
e
ee
1 1
3
=
-

2)

lim
x
x
e
+¥

n
x
Giai: Ta có dạng vô định . Áp dụng qui tắc Lôpitan:
/¥¥
lim lim
nn
xx

xx
xn
ee
-1
+¥ +¥
=
x
ằ g khi đạo hàm

-1 lần thì ta được n
!
x
nx
e
Nhận thấy r n vẫn còn dạng vô định
/¥¥.
Áp dụng qui tắc Lôpitan
n
lần ta được:
() ()
.
lim lim lim lim
!
lim
n
nn
-2
-1
xx x x
xx x x

nn x nn
xnx
ee e e
n

+¥ +¥ +¥ +¥
-1 -1 2 1
== ==

Giải: Ta có dạng vô định , nghịch đảo một trong hai thừa số (ở đây nghịch đảo sẽ
đơn giản hơn)
x
x
e
+
¥
==
0
3)
lim ln
x
xx
0+

.0¥
x
ln
ln
x
xx

x
=
1
có dạng /¥¥.Áp dụng qui tắc Lôpitan:
()
/
ln (ln )
lim ln lim lim lim lim
xx
xx
x
xx x
0+ 
==
= =-=0

/
x xx0+ 0+ 0+ 0+
1
11
æö
1
÷
-
ç
4)

Giải: Ta có dạng vô định . Biến đổi
Giới hạn đã tính ở câu 3 : . Vậy:
x

x
x
2
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
lim
x
x
x
0+

0
0
ln ln
x
xx xx
eex ==
lnxx
lim ln
x
xx
0+
=0
Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 17
lim ln

ln
lim lim
x
xx
xxx
xx
xee e
0+
0
0+ 0+
=== =1

5)

()
cos
lim tan
x
x
x

2
p

Giải Ta có d: ạng vô định . Biến đổi :
0
¥
()
co
cos

cos ta
lim
l nn
x
x
x
x
e

2
p
s tanx
22

+
lnx
lim limtan
xx
x e

==
pp

lim cos ln tan
x
xx

2
p
có dạng vô định .0¥. Nghịch đảo cosx

+
()
/
/
ln tan
ln tan
li ln tanxxm cos lim lim
cos
xxx
x
x
x

222
==
1
æö
1
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ppp

cosx
1
cos
cos .tan
lim lim
sin
sin
x
x

2
co
s
x
x
xx
x
x
2
2

2
2
==
=0
pp

Vậy:
()
lim ln

ln
tan
tan
cos
cos
cos
lim litan m
x
x
x
x
x
x
x
x
eex e

2
0

22
====1
p
pp

6)
Chứng minh rằng giới hạn:
a.

sin

lim
sin
x
x
x
x
2
0
1

sin
lim
sin
x
xx
xx
¥
-
+
b.
không thể tính được bằng qui tắc Lôp
ải:
a.

itan. Tính các giới hạn đó:
Gi
()
/
/
sin

sin
x
x
x
2
1
÷
ç
1
÷
ç
÷2
-
ç
÷
ç
èø
cos
cos
si
xx
x
æö
1
=
. Giới hạn này không tồn tại khi x 0. Nên qui
tắc Lôpitan không thể áp dụng. Áp dụng giới hạn lượng giác và vô cùng bé, ta có:
n x
sin
lim lim .lim sin .

sin sin
xxx
x
xx
x
0
0 0
==
10=
x
x
x
2
1
1
0

b.

()
()
/
/
sin
cos
tan
cos
sin
xx
xx

x
xx
2
-
1-
==
1+ 2
+
. Giới hạn này không tồn tại khi
x ¥
.
Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 18
sin
sin
lim ,
in
x
x
Ơ
=
1
vỡ
lim
sin s
x
x
xx
x
xx
x

Ơ
1-
-
=
+
1+
sin x Ê1
9 Bi tp c bn v li gii
1. Tớnh cỏc gii hn sau:
lim . lim
. lim . li
.
m
xx
xx
xx
c
xx
x
bd
x
xx x
a
2
-4 2
0 2
+9-5 4 +1-3
+4 -2
ổử
611

ữ
ữ
ỗ
-
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ốứ
1+ 3- -1
Gii:
2
ỗ

()
()
()
()
()
()
lim lim lim

.
lim lim
x
b
0
ổử
11

1
ữ
ỗ
ữ
ỗ
-=
ữ
ỗ
ữ
lim
.
lim
. lim lim lim
.
xx x
x
x
xx x
xx x
x
x
xx
xx
xx
xx x
xx
xx
a
x
x

c
x
x
22
-4 -4 -4
2
2
0
0
2 2 2
+9-5 -4 4
===-
+4 5
+9+5
+4 +9+5
-1+ -
=
1+
1+ 1+ 1+
-1 1
==-
2
1+ 1+ 1+
4+1-3 4-8 4 2
===
-2
+1
3
4+3
-2 + +314

-16
x
x
xx
0
ữ
ỗ
ốứ
1+
. lim lim .
xx
xxx
d
x
xx
2 2
6- -2 2- 3- +1 1
==
2- 2
3- -1 6- +2


2.
Bit rng
()
lim
x
fx
x

1
-8
=10
-1
. Hóy tỡm .
Gii: t

()
lim
x
fx
1
()
()
()
lim
x
fx
gx gx
x
1
-8
=
-1
=10
.
Vi cỏch t trờn ta cú
+8
() ()( )
fx gx x=-1

() ()( ) () ( )
lim lim lim .lim lim .
xx xx x
fx gx x gx x
1 1 1 1 1
ộ
ự
= -1+8= -1+8=010+8=8
ờ
ỳ
ở
ỷ

3.
Bit rng . Tớnh
Gii: Ta cú:
Theo nh lớ kp gia
2
()
gxxxx cos ,
2
2ÊÊ2 "-ẻ
()
x
gxlim
0


()
lim lim cos

xx
xx
2
0 0
2- = 2 =2

()
lim
x
gx
0
=
Phúng to hn hoc dựng Foxit Reader hin th tt cụng thc 19
()
,
sin , xx
fx
x
xx
2
ì
ï
1
ï
ï
ï
=
í
ï
ï

ï
ï
î
<0
>0
4.
Cho hàm số: . Tính các giới hạn một phía từ đó suy ra
()
lim fx.
Giải:
a có
x 0

sin s
 T
inxx
22
0£ £
mà
xx
11
£
£10
lim lim lim in lim sins
xx0
0x x
xx x
xx
22 2
0  0

11
0= =0 =0 =0
. Vậy
()
lim lim sin lim sin
xx x
fx x x
xx
22
0- 0- 0
11
==

=0
ó
()
lim lim
xx
fx x
0+ 0+
= Ta c =0
 Vậy =0
5.
() () ()
lim lim lim
xx x
fx fx fx
0 0+ 0-
==
Tính các giới hạn

cos tanxx x+3-tan sin
.lim .lim .lim
sin cos sin
xxx
x x x
abc
xx x
x
3
0 0 0
8

Giải:

()
cos
cos cos
. lim lim lim .
sin cos sin cos sin cos
tan sin sin
. lim lim lim . .
sin
xx
x
b
x
x
0
==
8

sin .cos sin cos
xx x
xx
xx x x x
a
xx xx x
xxxx
x xxx
0 0 0
0 0
1+
+1+
== =2
333833
=
8338838

x
sin
cos
tan sin
. lim
xx
xx
c
3
0
-
sin cos
lim lim . .

cos
x
x
x
x x
xx
xx x
3 2
0 0
æö
1
÷
ç
÷
-1
ç
÷
ç
÷
ç
1-1
èø
==
1
=

6.
ác giới hạn:

2

Tính c
()
sin cos
.lim .lim
sin
tan
. lim . lim
arctan
sin
. lim
xx
xx
x
ad
xx
be
x
x
xx x
c
x
0 0
2
0 0
2
0
21
22
2-
+2

++
2
jj
jj

-
4

Giải:

sin
. lim lia
0
2
=
2
jj
j
j
sin
m .
0
211
=
22
2
j
j

Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 20

()
()
()
()
tan tan
. lim lim .
sin sin
. lim lim .
cos cos
. lim lim . .
sin sin
.lim
x
e
-
2
lim .
arctan arctan
xx
xx
x
xx
b
xx
xx x x x
c
xx
d
x
x

x
xx
0 0
2
0 0
0 0
2
-2
22
=2=2
2
æö
++ 1 1
÷
ç
÷
=++ =1
ç
÷
ç
÷
ç
2222
èø
1- 1- 2 1 1
==
2222
+2
-4
=-2=-4

+2 +2
jj
jjj
jjj

Chú ý: Ta có thể chứng minh
arctan
lim
x
x
x
0
bằng phương pháp đổi biến.
Đặt
t
Ta có:
arctan tantxx==
()
tan
lim
x
t
t
0
=1 *
Thay
= vào arctantx
(
)
* ta có

()
tan arctan
lim lim
arctan arctan
xx
x
x
xx
0 0
==1
hay
arctan x
x
=1
lim
x 0
(đpcm

7.
Tính các giới hạn
)
() ()
()
sin
sin cos in
()
()
sin s
lim . lim . lim
sin

sin
sin
m . lim . lim
sin
. li

.

xxx
xxx
ce
xx
x
x
xx
x
df
xx
x
a

0 0 0
2
0+ 0 0
4
-2
-3
+
-9

Giả
x
xx
2
-
1-
b
i:
() ()
() ()
() ()
()
sin cos sin cos
cos
lim = lim
0

. =1.0=0
cos
sin sin
m . . . .
sin
sin sin sin sin
sin
. lim lim .
sin
sin sin
. lim lim
.
.

xx
xx
xx
xx
x
xxx
xxx
x
x
x
xx
x
c
xxx
xx xx
dx
x
x
a
x
0
0+
0 0
22
2
0 0
1- 1-
1-
1-
=110=0

==1
++
=1+=2
+


.
lim li
sin
xx
b
x
0
+ 
=
() ()
()
() ()
sin sin
. lim
xx
e
lim .
sin sin
. lim lim .
xx
xx
x
x
x

xx
f
x
xx
22
2
2 2
9 9
-4 -4
=+2=4
-2
-4
-3 -3
11
==
-9 6
-3 +3

Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 21
Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 22


Tài liệu tham khảo.
1. Thầy Lê Hoài Nhân – Slide Vi tích phân A1. Hàm số và giới hạn – ĐH Cần Thơ.
.
Nguyễn Thủy Thanh – Bài tập Toán cao cấp tập 2 – ĐH KHTN Hà Nội. 2