gioi han ham so day du

Chuyªn ®Ò : Giíi h¹n
I) Giíi h¹n d·y sè
Bµi 1. T×m c¸c giíi h¹n sau
1)
2 1
lim
3
n
n
+
+
2)
2
2
2
lim
2 4
n n
n n
+
+ +
3)
2 2
lim( 2)n n n+ − +
4)
2
2
7
lim
5 2
n n

n
+
+
5)
2 1
lim
2
n
n
+
+
6)
2
2
3 1
lim
4
n
n
+
+
7)
3
3
6 3 1
lim
7 2
n n
n n
+ −

+
8)
2
3
2 4
lim
7 2 9
n n
n n
+ −
− +
9)
2
2
2
lim
4 2
n
n
+
−
10)
3
3
8 1
lim
2 5
n
n
+

−
11)
(
)
2
lim 2 3n n n+ − −
12)
( )
lim 1n n+ −
13)
2 2
3 1 1
lim
n n
n
+ − −
14)
(
)
2 2
lim 1 2n n+ − −
15)
2 2
3 1 1
lim
n n
n
+ − −
16)
(

)
3 2
3
lim 2n n n− −
17)
( ) ( )
( ) ( )
2 1 3
lim
1 2
n n n
n n
+ +
+ +
18)
2 2
1
lim
2 4n n+ − +
19)
(
)
3 2
3
lim n n n n
 
+ −
 
 
20)

2
lim( 2 1)n n n+ − −
21)
3
2
3
lim
5 1
n n
n
−
+
22)
3
2 1
lim
( 1)(2 3)(3 4)
n
n n n
+
+ + +
23)
2 6
3
4 2
1
lim
1
n n
n n

+ −
+ −
24)
( ) ( )
( ) ( )
2 1 3
lim
1 2
n n n
n n
+ +
+ +
Bµi 2: T×m c¸c giíi h¹n sau
1)
2
2
1 ......
lim
1 .......
n
n
a a a
b b b
+ + + +
+ + + +
(v i ớ
1, 1a b< <
)
1)
1

lim
3 4
n
+
2)
2
3 4
lim
2 5
n n
n n
+
+
+
2)
2
1 2 3 .....
lim
3 2
n n
n n
+ + + +
+ −
3)
1 2 3 4 .... (2 1) 2
lim
2 1
n n
n
− + − + + − −

+
4)
2 2 2
3 3 3
1 3 (2 1)
lim ......
n
n n n
 
−
+ + +
 ÷
 
5)
2 2 2 2
1 1 1 1
lim 1 1 1 ... 1
2 3 4 n
     
− − − −
 ÷ ÷ ÷  ÷
     
6)
2 2 2
1 1 1
lim ...
1 2n n n n
 
+ + +
 ÷

+ + +
 
3)
1
1
5 3
lim
5 1
n n
n
+
+
−
+
4)
1
2 3
lim
2 5.3
n n
n n
+
+
+
5)
3 7
lim
3 7
n n
n n

−
+
6)
1 1
( 2) 3
lim
( 2) 3
n n
n n+ +
− +
− +
7)
2
3 4
lim
2 5
n n
n n
+
+
+

Bµi 3: TÝnh tæng
1) 1 + 0,3 + (0,3)
2
+ . . . . . .. +(0,3)
n
+ . . . .. .
2) x
2

– x
3
+ x
4
– x
5
+ . . . . .. + (-1)
n
.x
n
+ . . . . . (víi
x
<1 v nà
≥
2, n∈N)
¸p dông gi¶i ph¬ng tr×nh : 2x+1 + x
2
– x
3
+ x
4
– x
5
+ . . . . .. + (-1)
n
.x
n
+ . . . . . =
13
6

(
x
<1)
3)
...)
2
1
(...)
8
1
(
4
1
)
2
1
(1
1
+−++−++−+
−
n
II) Giíi h¹n hµm sè
Bµi 1: TÝnh c¸c giíi h¹n
1.
1
5²
lim
1
+
+

→
x
x
x
2.
3
1²
lim
3
−
+
→
x
x
x
3.
3
65²
lim
3
−
+−
→
x
xx
x
4.
34²
1
lim

1
−−−
+
−→
xx
x
x
5.
1²
13²2
lim
1
−
++
−→
x
xx
x
6.
54²
23²
lim
1
−+
+−
→
xx
xx
x
7.

2
16
lim
4
2
−
−
→
x
x
x
8.
1
1
lim
5
7
1
−
−
→
x
x
x
9.
)²2(
23²
lim
2
−

+−
→
x
xx
x
10.
4²
8³
lim
2
−
−
→
x
x
x
1.
x
xxx
x
1²1
lim
0
++−+
→

2.
2
321
lim

4
−
−+
→
x
x
x
3.
314
2
lim
2
−+
+−
→
x
xx
x
4.
x
x
x
−−
→
11
lim
0
5.
23²
1

lim
1
−+
−
→
x
x
x
6.
x
x
x
3
11
lim
3
0
−−
→
7.
23²
1
lim
3
1
−+
+
−→
x
x

x
8.
1
21
lim
3
1
−
−+
→
x
x
x
11.
12²
1³
lim
1
+−
−
→
xx
x
x
12.
xx
xx
x
2²
42³

lim
2
+
+−
−→
13.
4 4
lim
x a
x a
x a
→
−
−
14.
2
7
3 3
lim
2
x
x x
x
→
− −
+
15.
2
3 2
1

2 3 1
lim
1
x
x x
x x x
→
− +
− − +
16.
3
0
1 1
lim
3
x
x
x
→
− −
17.
3
2
1
1
lim
3 2
x
x
x

→−
+
+ −

18.
( )
2
2
2
3 2
lim
2
x
x x
x
→
− +
−
19.
2
7
3 3
lim
2
x
x x
x
→
− −
+

20.
( )
6 5
2
1
4 5
lim
1
x
x x x
x
→
− +
−
21.
1
lim
x→−

2
2
2x x
x x
+ +
−
22.
2
lim
>−
x

23
8
2
3
+−
−
xx
x
23.
3
2
4
2
2
132
lim
+−
++
−→
xx
xx
x
9.
2
3
2 15
lim
3
x
x x

x
→
+ −
−
10.
2
2
1
2 3 1
lim
1
x
x x
x
→−
+ +
−
11.
3 2
1
1
lim
1
x
x x x
x
→
− + −
−
12.

2
0
1 1
lim
x
x x x
x
→
+ − + +
13.
2
2
lim
4 1 3
x
x x
x
→
− +
+ −
14.
3
0
1 1
lim
3
x
x
x
→

− −
15/
3
2
1
1
lim
3 2
x
x
x
→−
+
+ −
16.
( )
2
2
2
3 2
lim
2
x
x x
x
→
− +
−
17.
3

2
2
8 11 7
lim
3 2
x
x x
x x
→
+ − +
− +
18
(
)
2
lim 4
x
x x x
→∞
− −
19.
( ) ( )
2
sin 2 2 cos
lim
1
x
x x
x x
→∞

+
+ +
20.
2
7
3 3
lim
2
x
x x
x
→
− −
+
21.
1
lim
>−
x
13
)2)(13(
3
2
−
++
x
xx
Bµi 2 : TÝnh c¸c giíi h¹n
1.
2

2
3 5 1
lim
2
x
x x
x
→∞
− +
−
2.
( ) ( )
( )
2 2
4
1 . 7 2
lim
2 1
x
x x
x
→∞
− +
+
1)
(
)
2
lim 3 1
x

x x x
→+∞
− − +
2)
12
5
lim
2
−
+−
−∞→
x
xx
x
3)
x
xx
x
25
1
lim
2
+
−+
∞−→
3.
( )
( )
( )
( )

2
3
2 1 5 3
lim
2 1 1
x
x x
x x
→∞
+ +
− +
4.
2²
15²3
lim
−
+−
∞→
x
xx
x
5.
)5)(2(
1²
lim
−+
−
∞→
xx
x

x
6.
2²
1³
lim
−
++−
∞→
x
xx
x
7.
)1).(1³2(
)35).(1²3(
lim
+−
++
∞→
xx
xx
x
8.
35²2
17²3
lim
+−
+−
∞→
xx
xx

x
9.
3²5
²22²3
lim
4
+
+−+
∞→
x
xxx
x

10.
72
1²
lim
3 5
+
−+
∞→
x
xx
x
11.
xx
xx
x
−+
++

+∞→
1²4
32²
lim
12.
xx
xx
x
−+
++
−∞→
1²4
32²
lim
13..
)234²4(lim xxx
x
−+−
+∞→
14.
)234²4(lim xxx
x
−+−
−∞→
15.
(
)
2
lim 4
x

x x x
→∞
− −
16.
3 2
1
lim
2 3
x
x x x
→−∞
+ − +
4)
( )
( )
2
3
2 1 1
lim
1
x
x x
x
→+∞
+ +
+
5)
−∞>−
x
lim

(
)1
2
xx
++

6)
6
2
3
lim
2 1
x
x x
x
→−∞
−
+

7)
( )
lim 1
x
x x
→+∞
+ −

8)
2
lim 3 5

x
x x
→−∞
−
9)
)10(lim xx
x
−−
∞+→
10)
11.
1²
4²1²
lim
+−
−++
∞→
xx
xxx
x
12.
)3²(lim xxx
x
++−
−∞→
13.
)4²(lim xxx
x
−−
+∞→

14.
1
²
lim
+
−
−∞→
x
xx
x
15.
1
²
lim
+
−
+∞→
x
xx
x
16.
)4²).(3(lim xxx
x
−++
+∞→

17.
[ ]
xxx
x

27²4lim
++
−∞→
Bµi 3: TÝnh c¸c giíi h¹n sau:
1)
+
>−
0
lim
x
xx
xx
−
+
2)
2
2
lim
2
−
+
+
→
x
x
x
3)
2
228
lim

)2(
+
−+
+
−→
x
x
x
4)
( )
( )
2
2
3
2 5 3
lim
3
x
x x
x
−
→ −
+ −
−
5)
( )
2
2
lim 2
4

x
x
x
x
+
→
−
−
III. Hµm sè liªn tôc
Bµi 1 XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè t¹i c¸c ®iÓm ®· chØ ra
a)
( )
( )
( )
1 2 3
x 2
2
1 x 2
x
f x
x

− −
≠

=
−


=


t¹i x
0
= 2
b)
( )
( )
( )
3 2
-x +2x-2
x 1
1
4 x 1
x
f x
x

≠

=
−


=

t¹i x
0
= 1.
c) f(x) =
.

1
1
1
1
2





=+
≠
−
−
xkhiax
xkhi
x
x
t¹i x=1
d) f(x) =
.
2xkhim
2xkhi
2x
2xx
2






−=
−≠
+
−+
t¹i x=2
e)f(x)=





≤+
>
−
−−
132
1
1
12²3
xkhix
xkhi
x
xx
t¹ix=1
.f)f(. f(x) =






≠
−
−+−
=
1
1
22²³
14
xkhi
x
xxx
xkhi
k) f(x)=





≠
+−
−
=
2
23²
)2(2
22
xkhi
xx
x

xkhi
t¹ix=2
m).f(x)=





>
−
≤+
1
3²
1
11
xkhi
xx
xkhix
t¹ix=1