Về sự tồn tại các điểm bất động và bất động chung của các ánh xạ tựa hầu co và tựa hầu co suy rộng trong không gian mêtric nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH




NGUYỄN ĐÌNH HƢNG





VỀ SỰ TỒN TẠI CÁC ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ
BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ TỰA HẦU CO VÀ
TỰA HẦU CO SUY RỘNG
TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN






LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An – 2014




BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH



NGUYỄN ĐÌNH HƢNG



VỀ SỰ TỒN TẠI CÁC ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ
BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ TỰA HẦU CO VÀ
TỰA HẦU CO SUY RỘNG
TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN


Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02


LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


Cán bộ hướng dẫn khoa học
PGS.TS.ĐINH HUY HOÀNG

Nghệ An – 2014






MỤC LỤC


Trang
MỤC LỤC 2
MỞ ĐẦU 3
Chƣơng 1. Không gian mêtric nón 5
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 5
1.2 Nón trong không gian Banach 8
1.3 Không gian mêtric nón 13
Chƣơng 2. Sự tồn tại các điểm bất động và bất động chung của các ánh
xạ tựa hầu co và tự hầu co suy rộng trong không gian mêtric nón 20
2.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ tựa hầu co 20
2.2 Sự tồn tại điểm bất động và điểm bất động chung của các ánh xạ T- tựa
co và T – tựa hầu co 24
KẾT LUẬN 33
TÀI LIỆU THAM KHẢO 34

MỞ ĐẦU
Lí thuyết về điểm bất động là một trong những hướng nghiên cứu quan
trọng của giải tích hàm, nó có nhiều ứng dụng trong giải tích và một số ngành
khoa học khác. Vì thế, chủ đề này đã và đang được nhiều nhà toán học trong
và ngoài nước quan tâm nghiên cứu và thu được nhiều kết quả. Nguyên lí ánh
xạ co Banach trong không gian mêtric đầy đủ (1922) là kết quả quan trọng
đầu tiên trong lý thuyết điểm bất động. Người ta đã mở rộng nguyên lý này
cho nhiều loại ánh xạ và nhiều loại không gian.
Trong [7], Ciric đã đưa ra khái niệm ánh xạ tựa co và chứng minh một
vài kết quả về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ này trong không gian
mêtric.
Trong [5], Berinde đã giới thiệu và nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động
của ánh xạ tựa hầu co trong không gian mêtric. Sau đó, Moradi và Omit[10]
đã đưa ra và nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T- co.
Vào năm 2007, Huang Long - Quang và Zhang Xian [9] đã thay tập hợp
số thực trong định nghĩa mêtric bởi một nón định hướng trong không gian
Banach và đã thu được khái niệm mới tổng quát hơn, đó là khái niệm không
gian mêtric nón. Sau đó nhiều nhà toán học đã nghiên cứu và đạt được nhiều
kết quả về sự tồn tại của điểm bất động của các ánh xạ trong không gian
mêtric nón.
Trong luận văn này, đưa vào các khái niệm về ánh xạ tựa co, tựa hầu co,
T- tựa co trong không gian mêtric chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại các điểm
bất động và bất động chung của các ánh xạ này trong không gian mêtric nón.
Với mục đích đó, luận văn của chúng tôi được trình bày hai chương.
Chƣơng 1 Trình bày về định nghĩa, ví dụ, tính chất của nón và không
gian mêtric nón mà chúng được dùng trong chương sau.


Chƣơng 2 Trình bày khái niệm ánh xạ tựa co, tựa hầu co, T- tựa co, T-
tựa hầu co trong không gian mêtric nón. Sau đó, chúng tôi đưa ra một số kết

quả về sự tồn tại các điểm bất động và bất động chung của các ánh xạ tựa hầu
co, T- tựa co, T- tựa hầu co trong không gian mêtric nón. Đó là các Định lí
2.1.3, các Hệ quả 2.1.4, 2.1.5, 2.1.6, Định lí 2.2.6 và các Hệ quả 2.2.7, 2.2.8
và 2.2.9. Các kết quả này là sự mở rộng một số kết quả trong không gian
mêtric.
Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
tận tình và nghiêm khắc của PGS.TS Đinh Huy Hoàng. Tác giả xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Thầy.
Tác giả xin được cảm ơn Phòng đào tạo Sau đại học, Ban Chủ nhiệm
Khoa Toán – Trường Đại học Vinh.
Tác giả xin được cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo Tổ Giải tích trong
Khoa Toán – Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả
trong suốt thời gian học tập.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn
trong lớp Cao học khóa 20 – Chuyên ngành Giải Tích đã cộng tác , giúp đỡ và
động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do còn nhiều hạn chế về mặt kiến
thức và thời gian nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong
quý Thầy Cô và bạn bè đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn.

Vinh, tháng 05 năm 2014
Tác giả

Nguyễn Đình Hưng




CHƢƠNG 1
KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN

1.1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong luận
văn. Các kết quả trong mục này chủ yếu được trích từ [2].
1.1.1. Định nghĩa. Cho tập hợp X. Họ

các tập con của X được gọi là tôpô
trên X nếu thỏa mãn các điều kiện
(T
1
)  và X ;
(T
2
) Nếu G
i
 , i I thì
i
iI
G


;
(T
3
) Nếu G
1
, G
2
 thì G
1
G

2
 .
Tập hợp X cùng với tôpô  trên nó được gọi là không gian tôpô và ký hiệu
là (X, ) hay đơn giản hơn là X.
Các phần tử của X được gọi là điểm của không gian tôpô.
Các phần tử thuộc  được gọi là tập mở.
Giả sử A  X. Tập A được gọi là đóng nếu X \ A là mở.
1.1.2.Định nghĩa. Cho không gian tôpô X, tập con A của X được gọi là lân
cận của điểm x  X nếu tồn tại tập mở V  X sao cho x  V  A.
Cho không gian tôpô X, x  X và  là họ tất cả các lân cận của x. Họ




  được gọi là cơ sở lân cận tại x nếu với mọi U  



tồn tại V
 



sao cho V  U.
1.1.3. Định nghĩa. Dãy {x
n
} trong không gian tôpô X được gọi là hội tụ tới
x  X nếu với mỗi lân cận U của x tồn tại n
0
  sao cho

x
n
 U với mọi n ≥ n
0
.


Khi đó, ta viết x
n
 x hoặc 

x
n
= x.
1.1.4. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm
được thứ nhất nếu tại mỗi điểm x  X có một cơ sở lân cận 



có lực lượng
đếm được.
Không gian tôpô X được gọi là T
2
- không gian hay không gian Hausdorff
nếu hai điểm bất kỳ x, y  X, x ≠ y tồn tại các lân cận tương ứng U
x
, U
y
của x
và y sao cho U

x
 U
y
= .
Nếu X là không gian Hausdorff thì mỗi dãy hội tụ trong X sẽ hội tụ tới một
điểm duy nhất.
1.1.5. Định nghĩa. Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và f : X  Y. Ánh
xạ f được gọi là liên tục tại điểm x  X với mỗi lân cận V của f(x), tồn tại lân
cận U của x sao cho f(U)  V. Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X (nói gọn là
liên tục) nếu nó liên tục tại mọi điểm của X.
1.1.6. Định nghĩa. Giả sử X là tập khác rỗng và d : X × X . Hàm d
được gọi là mêtric trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) d(x,y) ≥ 0 với mọi x, y  X và d(x,y) = 0 khi và chỉ khi x = y;
(ii) d(x,y) = d(y, x) với mọi x, y  X;
(iii) d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) với mọi x, y, z  X.
Tập hợp X cùng với một mêtric trên nó được gọi là không gian mêtric và ký
hiệu (X, d) hay đơn giản hơn là X.
1.1.7. Định nghĩa. Cho X là không gian mêtric. Một dãy {x
n
} trong X được
gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại n
0
 sao cho với mọi n, m ≥ n
0
thì d(x
n ,
x
m
) < ε.
Không gian mêtric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều

hội tụ.


Tập con A  X gọi là tập đầy đủ nếu nó đầy đủ với mêtric cảm sinh, nói
cách khác mọi dãy Cauchy trong A đều hội tụ tới điểm thuộc A.
Mọi tập con đầy đủ trong không gian mêtric là tập đóng, mọi tập con đóng
của một không gian mêtric đầy đủ là tập đầy đủ.
Nhận xét rằng: Mọi dãy hội tụ là dãy Cauchy.
1.1.8. Định nghĩa. Giả sử E là không gian vectơ trên trường    hoặc
  . Hàm p : E  được gọi là chuẩn trên E nếu thỏa mãn các điều kiện
sau:
(i) p(x) ≥ 0, x  E và p(x) = 0  x = 0;
(ii) p(

x) =|

|p(x), x  E, 

;
(iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), x, y  E.
Số p(x) được gọi là chuẩn của vectơ x  E. Ta thường kí hiệu chuẩn của x
là ||x||. Không gian vectơ E cùng với một chuẩn xác định trên nó được gọi là
không gian định chuẩn.
1.1.9. Mệnh đề. Nếu E là không gian định chuẩn thì công thức
d(x,y) = ||x – y||, x,y  E,
xác định trên một mêtric trên E.
Ta gọi mêtric này là mêtric sinh bởi chuẩn hay mêtric chuẩn.
Một không gian định chuẩn và là không gian mêtric đầy đủ theo mêtric
sinh bởi chuẩn được gọi là không gian Banach.
1.1.10. Định lý. Nếu E là không gian định chuẩn thì

i) ánh xạ chuẩn: x  ||x||, x  E;
ii) phép cộng: (x, y)  x + y, (x, y)  E × E
iii) phép nhân vô hướng: (

, x) 

x, với mọi (

, x)  × E là các ánh xạ
liên tục.


1.1.11. Định lý. Giả sử E là không gian định chuẩn. Khi đó, với mỗi a  E
và mỗi

 ,

≠ 0 các ánh xạ
x  x + a, x 

x,x  E
là các phép đồng phôi E lên E.
1.1.12. Định nghĩa. Cho tập hợp X và ≤ là một quan hệ hai ngôi trên X.
Quan hệ ≤ được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận trên X nếu thỏa mãn các điều
kiện sau:
(i) x ≤ x với mọi x  X;
(ii) Từ x ≤ y và y ≤ x suy ra x = y với mọi x, y  X;
(iii) x ≤ y ; y ≤ z suy ra x ≤ z với mọi x, y, z  X.
Tập hợp X cùng với một thứ tự bộ phận trên nó được gọi là tập sắp thứ tự
bộ phận và ký hiệu (X, ≤) hoặc X.

1.1.13. Định nghĩa. Giả sử “ ≤ ” là một quan hệ hai ngôi trên X và A  X.
1) Phần tử x  X được gọi là cận trên (tương ứng cận dưới) của A nếu a ≤
x (tương ứng x ≤ a) với mọi phần tử a  A.
2) Phần tử x  X được gọi là cận trên đúng (tương ứng cận dưới đúng) của
A nếu x là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A và nếu y cũng là một cận
trên (tương ứng cận dưới) của A thì x ≤ y (tương ứng y ≤ x). Khi đó, ta kí hiệu
x = sup A (tương ứng x = inf A).
1.2. NÓN TRONG KHÔNG GIAN BANACH
Trong mục này sẽ trình bày một số vấn đề cơ bản về nón trong không gian
Banach.
1.2.1. Định nghĩa([9]). Cho E là không gian Banach trên trường số thực .
Một tập con P của E được gọi là nón trong E nếu:
(i) P là đóng, P ≠ , P ≠ {0};
(ii) Với a, b , a, b ≥ 0 và x, y  P thì ax + by  P;


(iii) Nếu x  P và –x  P thì x = 0.
1.2.2. Ví dụ ([9]). 1) Trong không gian Banach các số thực  với chuẩn
thông thường, tập P = {x  : x ≥ 0} là một nón.
2) Giả sử E = 
2
, P = { (x, y)  E : x, y ≥ 0 }  
2
. Khi đó, P thỏa mãn ba
điều kiện
(i) P là tập đóng, P ≠ , P ≠ {0};
(ii) Với mọi (x, y), (u, v)  P và mọi a, b  , a, b ≥ 0 ta có a(x, y) +
b(u, v)  P;
(iii) Với (x , y)  P và (–x, –y)  P ta có (x, y) = (0, 0).
Vậy P là một nón trên E.

3) Giả sử C
[a,b]
là tập tất cả các hàm số nhận giá trị thực liên tục trên [a, b].
Ta đã biết C
[a,b]
là không gian Banach với chuẩn
|| f || =
[ , ]
sup
x a b
|f(x)| , f  C
[a,b]
.
Trên C
[a,b]
có quan hệ thứ tự bộ phận thông thường ≤ được xác định như sau:
với f, g  C
[a,b]
,
f ≤ g  f(x) ≤ g(x) x  [a, b].
Đặt
P = { f  C
[a,b]
: 0 ≤ f }.
Khi đó, P thỏa mãn ba điều kiện
(i) P là tập đóng, P ≠ , P≠ {0};
(ii) Với mọi a, b  , a, b ≥ 0 và mọi f, g  P ta có
0 ≤ af(x) + bg(x) x  [a, b].
Do đó af + bg  P.
(iii) Với f  P và –f  P ta có f = 0.

Vậy P là một nón trên E.
Cho P là một nón trong không gian Banach E. Trên E, ta định nghĩa quan
hệ thứ tự “≤” xác định bởi P như sau x ≤ y nếu và chỉ nếu y - x  P. Ta viết x
< y nếu x ≤ y và x ≠ y và viết x y nếu y – x  intP, trong đó intP là phần
trong P.
1.2.3. Định nghĩa([9]). Cho P là một nón trong không gian Banach E.
Nón P được gọi là nón chuẩn tắc nếu tồn tại số thực K > 0 sao cho với mọi
x, y  E và 0 ≤ x ≤ y ta có ||x|| ≤ K||y||. Số thực dương K nhỏ nhất thỏa mãn
điều kiện này được gọi là hằng số chuẩn tắc của P.
1.2.4. Bổ đề([9]). Giả sử P là nón trong không gian Banach E ; a, b, c  E;
{x
n
}, {y
n
} là các dãy số trong E và α là số thực dương. Khi đó,
(i) Nếu a

b và b

c thì a

c;
(ii) Nếu a ≤ b và b

c thì a

c;
(iii) Nếu a


b, c

d thì a + c

b + d;
(iv) αintP  intP;
(v) Với mỗi δ > 0 và x

intP tồn tại 0 < γ < 1 sao cho ||γx|| < δ;
(vi) Với mỗi c
1
 intP và c
2
 P tồn tại d  intP sao cho c
1

d và
c
2

d;
(vii) Với mỗi c
1
, c
2
 intP tồn tại e  intP sao cho e

c
1

và e

c
2
;
(viii) Nếu a  P và a ≤ x với mọi x  intP thì a = 0;
(ix) Nếu a ≤

a với a  P, 0 <

< 1 thì a = 0;
(x) Nếu 0 ≤ x
n
≤ y
n
với mỗi n và

x
n
= x, 

y
n
= y. thì
Chứng minh. (i) Vì phép cộng liên tục nên intP + intP  intP. Nếu a

b
và b

c thì b – a  intP và c – b  intP. Suy ra c – a = c– b + b – a  intP

+ intP  intP. Vậy a

c.
(ii) Để ý rằng
intP + P =
( int )
xP
xP



là tập mở và P là nón nên suy ra x + intP  P. Do đó
P + intP  intP.


Nếu a ≤ b và b

c thì b – a  P và c – b  intP.
Suy ra
c – a = c – b + b – a  intP + intP  intP
hay c – a  intP. Vậy a

c.
(iii) Ta có a

b và c

d nên c – a  intP và d – c  intP
suy ra
b – a + d – c  intP

hay
(b + d) – (a + c)  intP do đó a + c

b + d.
(iv) Vì phép nhân vô hướng liên tục nên αintP  intP.
(v) Với mỗi δ > 0 và x  intP chọn số tự nhiên n > 1 sao cho







 . Khi đó, với 






 thỏa mãn: 0 < γ < 1 và
||γx|| ≤ ||γ|| ||x|| ≤





||x|| ≤



< δ.
(vi) Chọn δ > 0 sao cho c
1
+ B(0, δ)  intP, trong đó
B(0, δ) = { x  E : ||x|| < δ }.
Do tính hút của B(0, δ) tồn tại m > 1 sao cho c
2
 mB(0, δ)
suy ra
–c
2
 mB(0, δ) và mc
1
– c
2
 intP. Đặt d = mc
1
– c
2
.
Khi đó, d thỏa mãn (vi).
(vii) Chọn δ’ > 0 sao cho
c
1
+ B(0, δ’)  intP, c
2
+ B(0, δ’)  intP, trong đó
B(0, δ’) = { x  E : ||x|| < δ’}.

Do tính hút của B(0, δ’) tồn tại m > 0 sao cho c
1
 mB(0, δ’), c
2
 mB(0, δ’)
suy ra
–c
1
 mB(0, δ’), –c
2
 mB(0, δ’) và mc
1
– c
1
 intP, mc
2
– c
2
 intP.
Đặt e = mc
1
– c
1
+ mc
2
– c
2
. Khi đó, e thỏa mãn (vii).
(viii) Giả sử x  intP. Từ giả thiết suy ra  



với mọi n = 1, 2,… do
đó


    với mọi n = 1, 2,… Vì 


 




 0 nên 


 0. Do đó


  . Mặt khác, vì dãy




 

 P và P đóng trong E nên –a  P.
Như vậy, a và –a  P. Vì P là nón nên a = 0.
(ix) Vì a ≤


a nên

a – a  P hay (

– 1)a  P. Do 0 <

< 1 nên
1 –

> 0. Từ đó suy ra –a =


  P hay –a  P. Như vậy, a và –a  P. Vì
P là nón nên a = 0.
(x) Ta có x
n
≤ y
n
suy ra y
n
– x
n
 P. Do đó P đóng nên 









 P. Mặt khác, 



 , 



  nên 




 


   . Từ
đó suy ra y – x  P do đó x ≤ y. Hoàn toàn tương tự như trên, ta chứng minh
được từ 0 ≤ x
n
suy ra 0 ≤ x. Vậy 0 ≤ x ≤ y. □
1.2.5. Bổ đề([9]). Giả sử P là nón trong không gian Banach E và {x
n
} là
dãy trong P. Khi đó, nếu x
n
 0 thì với mỗi c  intP tồn tại n
0
 sao cho x

n

c với mọi n ≥ n
0
.
Chứng minh. Giả sử {x
n
} là dãy trong P và x
n
 0. Với mọi c  intP, vì
intP là tập mở nên tồn tại δ > 0 sao cho c + B
E
(0, δ)  intP, trong đó
B
E
(0, δ) là hình cầu mở tâm 0, bán kính δ trong E. Do đó, nếu x  E mà
||x|| < δ thì c – x  intP. Với δ > 0 xác định như trên tồn tại n
0
 sao cho
||x
n
|| < δ, n > n
0
.


Suy ra c – x
n
 intP với mọi n > n
0

. Do đó x
n

c với mọi n ≥ n
0
. □
1.3. KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN
Trong mục này, ta luôn giả thiết P là nón trong không gian Banach E sao
cho intP ≠ {0} và ≤ là quan hệ thứ tự bộ phận trên E xác định bởi P.
1.3.1. Định nghĩa([10]). Cho X là tập khác rỗng, và d : X × X  E. Hàm d
được gọi là mêtric nón trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) 0 ≤ d(x, y), x;y  X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;
(ii) d(x, y) = d(y, x), x, y  X;
(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), với mọi x, y, z  X.
Tập hợp X cùng với một mêtric nón d trên X được gọi là không gian mêtric
nón và ký hiệu (X, d) hoặc X.
Từ định nghĩa trên ta nhận thấy, khái niệm của không gian mêtric nón tổng
quát hơn khái niệm của không gian mêtric, bởi vì mỗi một không gian mêtric
là một không gian mêtric nón trong trường hợp E = , và P = {x  : x ≥ 0}.
1.3.2. Ví dụ([10]). 1) Cho E = 

và P = { (x, y) 

: x, y ≥ 0}. Xét X =
 và ánh xạ d : X × XE xác định bởi
d(x, y) = (α |x – y|, β |x – y|), x, y  X,
trong đó α, β là các hằng số không âm cho trước.
Khi đó, ta dễ dàng kiểm tra được d là một mêtric nón, do đó (X, d) là một
không gian mêtric nón.
2) Giả sử E = C

[a,b]
và P là nón trong ví dụ (1.2.3). Ta xác định hàm
d : E × EE bởi
d(f, g) = |f – g| f, g  E,
trong đó
|f – g|(x) = |f(x) – g(x)|


với mọi x  [a, b]. Khi đó, d thỏa mãn ba điều kiện
(i) 0 ≤ d(f, g) với mọi f, g  E và d(f, g) = 0 khi và chỉ khi f(x) = g(x) ,
với mọi x  [a, b] nghĩa là f = g.
(ii) Ta có
d(f, g) = d(g, f) = |f – g|,
với mọi f, g  E.
(iii) Ta có
|f – g| = |f – h + h – g| ≤ |f – h| + |h – g| ,
với mọi f, g, h  E nên
d(f, g) ≤ d(f, h) + d(h, g), f, h, g  E.
Vậy d là một mêtric nón trên E.
1.3.3. Định nghĩa([1]). Cho (X, d) là không gian mêtric nón, a  X, c 
intP. Đặt
B(a, c) = { x  X : d(x, a)  c }
và gọi B(a, c) là hình cầu mở tâm a, bán kính c. Đặt
 

         



 



1.3.4. Mệnh đề([1]). Cho (X, d) là không gian mêtric nón vàxác định ở
Định nghĩa 1.3.3. Khi đó,
1) là một tôpô trên X;
2) B(x, c) với mọi x  X, c  intP;
3) (X,) là T
2
– không gian;
4) (X, ) thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất.
Chứng minh.  

         



 


1) Ta có  , X .


Giả sử U
i
 với mọi i  I, ta sẽ chứng minh
i
iI
U



. Thật vậy, với mọi
i
iI
xU


thì tồn tại i = i
0
 I sao cho x 


 suy ra tồn tại c  intP sao cho
B(x, c) 


nên B(x, c) 
i
iI
U

, hay
i
iI
U


.
Với U,V , ta sẽ chứng minh U ∩ V  . Thật vậy, với mọi x U ∩ V
suy ra x  U và x V do đó tồn tại c
1

, c
2
 intP sao cho B(x, c
1
)  U và
B(x, c
2
)  V, theo (vii) ở Bổ đề 1.2.4 c
1
 intP, c
2
 intP suy ra tồn tại c  intP
sao cho c  c
1
và c

c
2
. Do đó ta được B(x, c)  U ∩ V.
Từ đó ta có U ∩ V .
Vậy ta có  thỏa mãn 3 điều kiện trong định nghĩa tôpô nên  là một tôpô
trên X hay (X, ) là một không gian tôpô.
2) Giả sử y  B(x, c). Khi đó, vì d(y, x)  c nên c – d(y, x)  intP. Đặt
c’ = c – d(y, x), ta sẽ chứng minh (B(y, c’)  B(x, c). Thật vậy, với mọi z 
B(y, c’) ta có d(z, y)  c’ nên d(z, y)  c – d(y, x). Do đó theo Bổ đề
(1.2.4.iii) ta có d(z, y) + d(y, x)  c. Theo Định nghĩa 1.3.1 ta suy ra d(z, x)
 c hay z  B(x, c). Vậy B(y, c’)  B(x, c) hay B(x, c) .
3) Giả sử x, y  X mà x ≠ y. Từ 2) suy ra rằng, để chứng minh (X, ) là T
2
–

không gian chỉ cần chứng tỏ tồn tại c
1
, c
2
 intP sao cho B(x, c
1
) ∩ B(x, c
2
) =
. Giả sử điều này không đúng, tức là với mọi c
1
, c
2
 intP ta có B(x, c
1
) ∩
B(x, c
2
) = . Khi đó, với mỗi c  intP ta có






 






    
Từ đó suy ra tồn tại dãy {z
n
}  X sao cho


 





 





   
Do đó ta có


d(x, y) ≤ d(x, z
n
) + d(z
n
, y) 



   
Vì


≤ c với mọi n = 1, 2, … nên d(x, y)  c. Do c là phần tử bất kì trong
intP nên theo Bổ đề 1.2.4. viii ta có d(x, y) = 0, tức là x = y. Điều này mâu
thuẫn với giả thiết x ≠ y. Vậy (X, ) là T
2
– không gian.
4) Giả sử x  X. Ta cần chứng minh tại x có một cơ sở lân cận đếm được.
Lấy c  intP và đặt
 







   


Hiển nhiên . Giả sử V là một lân cận bất kỳ của x. Khi đó, tồn tại y 
intP sao cho B(x, y)  V. Vì y  intP nên tồn tại ε > 0 sao cho B
E
(y, ε)  P,
ở đây B
E
(y, ε) là hình cầu mở trong E với tâm y bán kinh ε. Lấy n  sao cho
 





. Ta có
   


 




 ,
tức là  


 B
E
(y, ε)  P. Vì B
E
(y, ε) là tập mở trong E nên  


 intP.
Do đó


 y. Từ đó suy ra







 B(x, y)  V.
Như vậy,  là cơ sở lân cận tại x (đối với tôpô ). Hiển nhiên  đếm được.
Vậy (X, ) là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. □
Từ đây về sau, nếu không giải thích gì thêm thì tôpô trên không gian mêtric
nón được hiểu là tôpô . Như vậy, các hình cầu B(x, c) là các tập mở trong
không gian mêtric nón (X, d).
Từ Định lý 1.3.4 ta có hệ quả sau
1.3.5. Hệ quả([1]). Cho (X, d) là một không gian mêtric nón. Nếu dãy {x
n
}
 X hội tụ tới x và y thì x = y.


1.3.6. Định lý([1]). Cho (X, d) là không gian mêtric nón, dãy {x
n
}  X.
Khi đó, x
n
 x  X khi và chỉ khi với mỗi c  intP tồn tại số tự nhiên n
c
sao
cho d(x, x
n
)  c với mọi n ≥ n
c

.
Chứng minh. Giả sử x
n
 x  X. Khi đó, với mọi c  intP, vì B(x, c) là lân
cận của x (theo Mệnh đề 1.3.4) nên tồn tại số tự nhiên n
c
sao cho x
n
 B(x, c)
với mọi n ≥ n
c
, tức là d(x, x
n
)

c với mọi n ≥ n
c
.
Ngược lại, giả sử với mỗi c  intP tồn tại số tự nhiên n
c
sao cho d(x, x
n
) 
c với mọi n ≥ n
c
. Giả sử U là một lân cận của x. Khi đó, tồn tại c
0
 intP sao
cho B(x, x
0

)  U. Từ đó suy ra tồn tại 


  sao cho
x
n
 B(x, x
0
)  U n ≥ 


.
Như vậy x
n
 x. □
1.3.7. Định nghĩa([10]). Cho (X, d) là không gian mêtric nón. Dãy {x
n
}  X
được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi c  intP, tồn tại số tự nhiên N sao cho
d(x
m
, x
n
)  c với mọi m, n > N.
1.3.8. Mệnh đề([10]). Cho (X, d) là không gian mêtric nón. Khi đó, nếu
{x
n
} là dãy hội tụ trong (X, d) thì đó là dãy Cauchy.
Chứng minh. Giả sử {x
n

} là dãy trong X và x
n
 x  X. Khi đó, với
mọi 0  c  E tồn tại N sao cho d(x
n
, x) 


với mọi n > N. Từ đó, với mọi
m, n > N ta có
d(x
m
, x
n
) ≤ d(x
n
, x) +d(x, x
m
) 


+


= c.
Suy ra {x
n
} là dãy Cauchy. □
1.3.9. Bổ đề([1]). Giả sử {x
n

} là dãy Cauchy trong không gian mêtric nón
X. Khi đó, nếu {x
n
} có dãy con





hội tụ tới x  X thì {x
n
} tội tụ tới x.
Chứng minh. Giả sử c  intP. Khi đó, từ {x
n
} là dãy Cauchy và





hội tụ
tới x suy ra tồn tại số tự nhiên n
0
sao cho


d(x
n
, x
m

) 


n, m ≥ n
0

và



 


n
k
, m ≥ n
0
.
Do đó ta có
d(x
n
, x) ≤ 




 + 


 c n, n

k
≥ n
0
.
Từ đó suy ra x
n
 x. □
1.3.10. Định nghĩa([10]). Không gian mêtric nón (X, d) được gọi là đầy đủ
nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.
1.3.11. Định lý([1]). Giả sử (X, d), (Y, d) là hai không gian mêtric nón và f
: XY. Khi đó, f liên tục tại a  X khi và chỉ khi {x
n
} là dãy trong X, x
n
 a
kéo theo f(x
n
)  f(a).
Chứng minh. Giả sử f liên tục tại a và {x
n
} là dãy trong X sao cho x
n
 a.
Ta cần chứng tỏ f(x
n
)  f(a). Giả sử V là lân cận của f(a) trong Y. Khi đó, vì
f liên tục tại a nên theo Định nghĩa 1.1.5, tồn tại lân cận U của a trong X sao
cho f(U) V. Vì x
n
 a nên theo Định nghĩa 1.1.3, tồn tại số tự nhiên n

0
sao
cho x
n
 U với mọi n ≥ n
0
. Từ đó suy ra
f(x
n
)  f(U)  V n ≥ n
0
.
Do đó f(x
n
)  f(a).
Ngược lại, giả sử từ {x
n
} là dãy trong X, x
n
 a kéo theo f(x
n
)f(a). Ta
cần chứng tỏ f liên tục tại a.
Giả sử f không liên tục tại a. Khi đó, từ Mệnh đề 1.3.4 và Định nghĩa 1.1.5
suy ra tồn tại y
0
 intP sao cho với mọi c  intP đều có
f (B(a, c))  B(f(a), y
0
).

Từ đó suy ra rằng với mỗi n = 1, 2,… tồn tại x
n
 


 sao cho f(x
n
) 
B(f(a), y
0
). Từ x
n
 


 với mọi n = 1, 2,… và


 0 khi n ∞, sử dụng


Bổ đề 1.2.5 và Định lý 1.3.6 suy ra x
n
 a. Theo giả thiết của điều kiện đủ
f(x
n
)

f(a). Điều này mâu thuẫn với f(x
n

)B(f(a), y
0
) với mọi n = 1, 2,….
Vậy liên tục tại a. □



CHƢƠNG 2
SỰ TỒN TẠI CÁC ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ BẤT ĐỘNG CHUNG
CỦA CÁC ÁNH XẠ TỰA HẦU CO VÀ TỰA HẦU CO SUY RỘNG
TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN

Chương này trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động và bất
động chung của các ánh xạ tựa hầu co suy rộng trên không gian mêtric nón
đầy đủ.
2.1. SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ TỰA HẦU CO.
Mục này trình bày một số kết quả sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ tựa
hầu co kiểu Ciric của Berinde trong không gian mêtric nón.
2.1.1. Định nghĩa([7]). Cho (X, d) là không gian mêtric nón và
ánh xạ f : X  X. Ánh xạ f được gọi là tựa co nếu tồn tại h  [0,


) sao cho
d(fx, fy) ≤ hM
f
(x, y)
với mọi x, y  X, trong đó
M
f
(x, y) = sup{ d(x, y), d(x, fx), d(y, fy), d(x, fy), d(y, fx) }.

2.1.2. Định nghĩa([5]). Cho (X, d) là không gian mêtric nón và ánh xạ f : X
 X. Ánh xạ f được gọi là tựa hầu co nếu tồn tại α  [0,


) và L ≥ 0 sao cho
d(fx, fy) ≤ αM
f
(x, y) + Ld(y, fx) (2.1)
với mọi x, y  X, trong đó
M
f
(x, y) = sup{ d(x, y), d(x, fx), d(y, fy), d(x, fy), d(y, fx) }.
2.1.3. Định lý. Nếu (X, d) là không gian mêtric nón đầy đủ và f : X  X là
ánh xạ tựa hầu co thì f có ít nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Lấy x  X và xét dãy {x
n
}  X xác định bởi
x
n
= fx
n-1
, n = 1, 2, …
Khi đó, áp dụng (2.1) ta có


d(x
n
, x
n+1
) = d(fx

n-1
, fx
n
) ≤ αM
f
(x
n–1
, x
n
) + Ld(x
n
, fx
n-1
)
= αM
f
(x
n–1
, x
n
) + Ld(x
n
, x
n
)
= αM
f
(x
n–1
, x

n
)

 
1 1 1 1 1
11
sup ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )
[ ( , ) ( , )], 1,2,
n n n n n n n n n n
n n n n
d x x d x x d x x d x x d x x
d x x d x x n


    


   


Do đó ta có

11
( , ) ( , ), 1,2
1
n n n n
d x x d x x n




  


Từ đó suy ra

2
1 1 2 1
01
( , ) ( , ) ( , )
( , ), 1,2
n n n n n n
n
d x x qd x x q d x x
q d x x n
   

   
(2.2)
trong đó
:.
1
q





Từ bất đẳng thức tam giác và (2.2), với mọi
1n 
và mọi p = 0,1,2,… ta có

1 1 2 1
11
01
01
01
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( ) ( , )
1
. ( , )
1
( , ).
1
n n p n n n n n p n p
n n n p
p
n
n
n
d x x d x x d x x d x x
q q q d x x
q
q d x x
q
q
d x x
q
      
  


   
   





(2.3)


Vì
1
[0, )
2


nên
[0,1).
1
q




Do đó

01
lim ( , ) 0.
1
n

n
q
d x x
q




Theo Bổ đề 1.2.5 thì với mọi
intcP
tồn tại số tự nhiên
0
n
sao cho

01
( , )
1
n
q
d x x c
q

0
.nn



Kết hợp với (2.3) suy ra

( , )
n n p
d x x c


0
, 0,1,2,3, n n p   

Theo định nghĩa 1.3.7 thì
 
n
x
là dãy Cauchy trong X. Vì X đầy đủ nên tồn
tại
xX
sao cho
.
n
xx

Bây giờ, ta chứng minh x

là điểm bất động của f. Ta có

11
( , ) ( , ) ( , )
nn
d x fx d x x d x fx



 
1
1 1 1
11
( , ) ( , )
( , ) sup ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )
( , ) [ ( , ) ( , ) ( , )], 1,2,
nn
n n n n n n
n n n
d x x d fx fx
d x x d x x d x x d x fx d x fx d x x
d x x d x x d x fx d x x n



  



     

Từ đó suy ra

11
1
( , ) [ ( , ) ( ( , ) ( , )]
1

n n n
d x fx d x x d x x d x x



  

(2.4)
với mọi n = 1,2,…
Vì
n
xx
nên với mọi
intcP
tồn tại số tự nhiên
c
n
sao cho

11
1
[ ( , ) ( ( , ) ( , ))] ,
1
n n n
d x x d x x d x x c






với mọi
.
c
nn

Kết hợp với (2.4) ta có

( , )d x fx c

int .cP


Theo Định lí 1.2.4(viii) thì
( , ) 0d x fx 
, tức là x = fx .Vậy x là điểm bất động
của f. □
Định lý trên chưa khẳng định được tính duy nhất điểm bất động. Với điều
kiện chặt hơn thì kết quả sau khẳng định được tính duy nhất điểm bất động
của ánh xạ tựa hầu co.


2.1.4. Hệ quả. Nếu (X, d) là không gian mêtric nón đầy đủ và f : X  X là
ánh xạ tựa hầu co với L < 1 – α thì f có duy nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Rõ ràng theo Định lý 2.1.5 thì f có điểm bất động. Bây giờ,
giả sử x, y là các điểm bất động của f. Khi đó,
M
f
(x, y) = max{ d(x, y), d(x, fx), (y, fy), d(x, fy), d(y, fx) } = d(x, y)
và vì thế từ điều kiện tựa hầu co ta có

0 ≤ d(x, y) ≤ αd(x, y) + Ld(x, y)
= (L + α )d(x, y). (2.4)
Vì L < 1 – α nên L + α < 1. Do đó từ bất đẳng thức (2.4) suy ra
d(x, y) = 1, tức x = y. Vậy f có duy nhất một điểm bất động. □
2.1.5. Hệ quả. Giả sử (X, d) là không gian mêtric nón đầy đủ và ánh xạ f :
X  X thỏa mãn
d(fx, fy) ≤ αm
f
(x, y) + Ld(y, Tx) (2.5)
với mọi x, y  X, trong đó α  [0,
1
2
), L ≥ 0 và
m
f
(x, y) = { d(x, y), d(x, fx), d(y, fy),






}.
Khi đó f có ít nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Từ m
f
(x, y) ≤ M
f
(x, y) với mọi x, y  X nên theo Định lý 2.1.3
f có ít nhất một điểm bất động. □

2.1.6. Hệ quả. Giả sử (X, d) là không gian mêtric nón đầy đủ và ánh xạ f :
X  X thỏa mãn
d(fx, fy) ≤ αM
f
(x, y) + Lmin{ d(y, fx), d(x, fy) } (2.6)
với mọi x, y  X, trong đó α  [0,
1
2
) và L ≥ 0.
Khi đó f có ít nhất một điểm bất động.


Chứng minh. Vì
min{ d(y, fx), d(x, fy) } ≤ d(y, fx)
nên từ (2.6) suy ra (2.1).
Do đó điều phải chứng minh được suy từ Định lý 2.1.3. □
2.2. SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG
CỦA ÁNH XẠ T – TỰA CO VÀ T – TỰA HẦU CO
Mục này đưa ra khái niệm các ánh xạ T – tựa co, T – tựa hầu co và một số
kết quả về sự tồn tại điểm bất động và điểm bất động chung của các ánh xạ
này trong không gian mêtric nón.
2.2.1.Định nghĩa. Giả sử (X,d) là không gian mêtric nón ,
T
và
:.f X X

1) f được gọi là T – co ([10]) nếu tồn tại
[0,1)



sao cho

( , ) ( , )d Tfx Tfy d Tx Ty



với mọi x,y X.
2) f được gọi là T –tựa co nếu tồn tại
[0,1)


sao cho

 
( , ) sup ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )d Tfx Tfy d x y d x fx d x fy d y fx d y fy



với mọi x,y  X.
3) f được gọi là T- tựa hầu co nếu tồn tại
[0,1), 0


sao cho

 
( , ) sup ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) { ( , )}d Tfx Tfy d x y d x fx d x fy d y fx d y fy d y fx



với mọi
,.x y X

2.2.2. Chú ý. Từ định nghĩa trên cho thấy rằng
3) 2) 1)
.
Trong định nghĩa trên nếu lấy T là ánh xạ đồng nhất thì ta thấy rằng các
khái niệm ánh xạ co, ánh xạ tựa co và ánh xạ tựa hầu co lần lượt là trường
hợp đặc biệt của ánh xạ T – co, ánh xạ T – tựa co, và ánh xạ T – tựa hầu co
tương ứng.