Định lý điểm bất động trong không gian metric nón và ứng dụng

Định lý điểm bất động trong không gian metric
nón và ứng dụng

Vũ Hồng Quân

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
Luận văn Thạc sĩ ngành: Toán học tính toán; Mã số: 60 46 30
Người hướng dẫn: PGS. TS. Nguyễn Hữu Điển
Năm bảo vệ: 2011

Abstract: Trình bày định nghĩa không gian metric, các tính chất không gian metric,
nguyên lý ánh xạ co Đưa ra định nghĩa không gian metric nón. Không gian metric
nón đầy đủ và sự hội tụ theo metric nón. Qua đó thấy được kết quả về sự tồn tại và
duy nhất điểm bất động ánh xạ co trong không gian này. Mở rộng ánh xạ co và tìm
hiểu điểm bất động chung của các hàm. Ứng dụng điểm bất động trong không gian
metric nón : điểm bất động ánh xạ trong không gian kiểu metric nón, ánh xạ suy rộng,
kiểu tích phân co và điểm bất động đôi.

Keywords: Toán học tính toán; Toán học ứng dụng; Không gian Metric

Content
Lời nói đầu
Lý thuyết điểm bất động là một nhánh của Toán học, có nhiều ứng dụng trong lí thuyết tối ưu,
lí thuyết trò chơi, các bao hàm thức vi phân và trong nhiều nghiên cứu của Vật lí. Một số kết
quả về tồn tại điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỉ XX, trong đó phải kể đến
nguyên lí điểm bất động Brouwer (1912) và ánh xạ co Banach (1922).
Nhằm tìm hiểu một cách chi tiết và có hệ thống các định lý điểm bất động cho các ánh xạ co
trên không gian metric nón, chúng tôi lựa chọn đề tài sau cho luận văn của mình:
Định lý điểm bất động trong không gian metric nón và ứng dụng
Bố cục luận văn chia làm 3 chương:
Chương 1: Các khái niệm cơ bản.

Chương 2: Điểm bất động trong không gian metric nón.
Chương 3: Ứng dụng điểm bất động trong không gian metric nón.
Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên dưới sự hướng dẫn tận tình
và nghiêm khắc của thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Hữu Điển. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc của mình đến thầy.
Chương 1: Các khái niệm cơ bản

2
1.1 . Không gian metric
Định nghĩa 1.1.1
Định nghĩa 1.1.2
Ví dụ 1.1.3
1.2 . Nguyên lý ánh xạ co
Định nghĩa 1.3.1.
Định lý 1.3.2.
Định lý 1.3.3.
Định lý 1.3.4.
 
Picard Lindelof

.
1.3. Nón lồi
Định nghĩa 1.4.1.
Định lý 1.4.3.
Chương 2: Điểm bất động trong không gian metric nón
2.1. Không gian metric nón
Định nghĩa 2.1.1
Bổ đề 2.1.2.
Định nghĩa 2.1.3.
Định nghĩa 2.1.4.

Mệnh đề 2.1.5.
2.2. Điểm bất động ánh xạ co
Định nghĩa 2.2.1
Định lý 2.2.2
2.3. Mở rộng ánh xạ co.
Định lý 2.3.1.
Hệ quả 2.3.3
Hệ quả 2.3.4.
2.4. Điểm bất động chung của các ánh xạ
Định lý 2.4.2.
Hệ quả 2.4.3.
Định nghĩa 2.4.8.
Định lý 2.4.9.
Hệ quả 2.4.10.
Định lý 2.4.14.

3
Hệ quả 2.4.16.
Ứng dụng:
2.5. Điểm bất động ánh xạ đa trị
Định nghĩa 2.5.1.
Bổ đề 2.5.2.
Định lý 2.5.3.
Hệ quả 2.5.4.
Chương 3: Ứng dụng của điểm bất động trong không gian metric nón
3.1. Điểm bất động ánh xạ trong không gian kiểu metric nón
Định nghĩa 3.1.1.
Định nghĩa 3.1.2.
Định lý 3.1.3.
Hệ quả 3.1.4.

3.2. Điểm bất động chung của ánh xạ suy rộng
Định nghĩa 3.2.1.
Định nghĩa 3.2.2.
Định nghĩa 3.2.3


Định lý 3.2.4.
Hệ quả 3.2.6.
3.3. Điểm bất động của kiểu tích phân co
Định nghĩa 3.3.1.
Định nghĩa 3.3.2.
Định nghĩa 3.3.3.
Định lý 3.3.4.
Hệ quả 3.3.5.
Định lý 3.3.6.
3.4. Điểm bất động đôi
Định nghĩa 3.4.1.
Định lý 3.4.2.
Hệ quả 3.4.3.
Định lý 3.4.8.
Kết luận

4
Luận văn trình bày hợp lý các kết quả đã đạt được. Trong luận văn chúng tôi tập trung
chủ yếu vào chứng minh sự tồn tại và duy nhất của điểm bất động lớp ánh xạ trong không
gian metric nón. Ngoài ra điểm bất động chung của các ánh xạ cũng được nghiên cứu chi tiết.

References
[1] L-G. Huang and X.Zang, Cone metric spaces and fixed poin theorems of contractive
mapping, Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 332, no.2, pp.1468-1476,

2007.
[2] Nguyen Huu Dien, Some remarks on common fixed poin theorems, Journal of
Mathematical Analysis and Applications, vol. 187, no.1, october 1, 1994.
[3] Mohamed A. Khamsi, Remarks on cone metric spaces and fixed poin theorems of
contractive mappings, fixed point theory and Applications, vol.2010, Article ID 315398, 7
pages, doi: 10.1155/ 2010/ 315398.
[4] M. Abbas and G. Jungck, Common fixed poin results for noncommuting mappings
without continuity in cone metric spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications,
vol. 341, no.1, pp.416-420, 2008.
. [5] S.Rezapour and R. Hamlbarani, Some notes on the paper: Cone metric spaces and fixed
poin theorems of contractive mapping, Journal of Mathematical Analysis and Applications,
vol. 345, no.2, pp.719-724, 2008.
[6] D. Ilíc and V. Racocevi, Common fixed points for maps on the cone metric space,
Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 341, no.2, pp.876-882, 2008.
[7] M. Abbas , A. Azam and P.Vetro, some common fixed poin results in cone metric
spaces, fixed point theory and Applications, vol.2009, Article ID 493965, 11 pages, 2009.
[8] A. Azam, M.Arshad and P.I.Beg, Common fixed poin in cone metric spaces, Journal of
Nonlinear Science and Its Applications, vol. 2, no. 4, pp.204-213,2009.
[9] V. Vetro, Common fixed poin results in cone metric spaces, Rendiconti del Cricolo
Matematico di Palermo, vol. 56, no 3, pp. 464-468, 2007.
[10] M.Jleli and B.Samet, The Kannan’s fixed point theorem in a cone rectangular metric
space, Journal of Nonlinear Science and Its Applications, vol. 2, no. 3, pp.161-167,2009.
[11] C.Di bari and P.vetro,

-pairs and common fixed point in cone metric spaces,
Rendiconti del Cricolo Matematico di Palermo, vol. 57, no 2, pp. 279-285, 2007.
[12] R.P.Agarawal, D.O’Regan, and Rrecup, Domain invariance theory for contractive type
maps, Dynamic Systems and Applications, vol. 16, no. 3, pp.579-586,2007.

5

[13] Thabet Abdeljawad and Erdal Karapinar, Quasicone metric spaces and Generalizations
of Caristi Kirk’s theorem, fixed point theory and Applications, vol.2009, Article ID 574387, 9
pages, doi: 10.1155/ 2009/ 574387.
[14] L.B.Ciric, Generalized contractions and fixed point theorems, Publicationsde
l'Institut
Mathematical, Nouvelle Serie, vol. 12, no.26, pp.19-26, 1971.
[15] Abdul Latif and Fawzia Y. Shaddad, Fixed point results for multivalued maps in cone
metric spaces, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and Applications, vol.2010,
Article ID 941371, 11 pages, doi: 10.1155/ 2010/ 941371.
[16] G. Jungck, S.
Radenovi'c, Radojevi'c
, and
V.Rakocevic


, Common fixed point
theorems for weakly compatible pairs on metric spaces, Hindawi Publishing Corporation
fixed point theory and Applications, vol.2009, Article ID 643840, 13 pages, doi: 10.1155/
2009/ 643840.
[17] B.E. Rhoades, A comparison of various definition of contractive mappings, transactions
of the American Mathematical Society, vol. 226, pp.257-290, 1977.
[18] Sh. Rezapour, Areview on topogical properties of cone metric space, in Analysis,
Topology and Applicatons, Vrnjacka Banja, Serbia, Many-June 2008.
[19] D.
Ilic'
and
V.Rakocevic


, Quasi-contraction on a cone metric spacestar, open,

Applied Mathematics Letters, vol. 22, no. 5, pp.728-731, 2009.
[20] R. Sumitra, V. Rhymend Uthariaraj, R. Hemavathy, Common Fixed point theorem for
non-self mappings satisfiyng generalized
C iri c

type contraction condition in cone metric
space, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and Applications, vol.2010, Article
ID 408086, 17 pages, doi: 10.1155/ 2010/ 408086.
[21] Zoran Kadelburg, Stojan Radenov
ic

, and Vladimir Radenov
ic

, Topological vector
space-valued cone metric space and fixed point theorems, Hindawi Publishing Corporation
fixed point theory and Applications, vol.2010, Article ID 170253, 17 pages, doi: 10.1155/
2010/ 170253.
[22] Z. Kadelburg, S. Radenov
ic

, and B.
Rosi'c
, Strict contractive conditions and
common fixed point theorems in cone metric spaces, Hindawi Publishing Corporation fixed
point theory and Applications, vol.2009, Article ID 173838, 14 pages, doi: 10.1155/ 2009/
173838.
[23] F. Sabetghadam and H. P. Masiha, Common fixed point for generalized

pair

mappings on cone metric spaces, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and
Applications, vol.2010, Article ID 718340, 8 pages, doi: 10.1155/ 2010/ 718340.

6
[24] Erdal Karapinal, Some nonunique fixed point theorems of
''C iri c
type on cone metric
space, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and Applications, vol.2010, Article
ID 123094, 14 pages, doi: 10.1155/ 2010/ 123094.
[25] Muhammad Arshad, Akbar Aram, and Pasquale Vetro, Some common fixed results in
cone metric spaces, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and Applications,
vol.2009, Article ID 493965, 11 pages, doi: 10.1155/ 2009/493965.
[26] M. Asadi, H. Soleimani and S. M. Vaezpour, An order on subsets of cone metric spaces
and fixed point of set-valued contractions, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory
and Applications, vol.2009, Article ID 723203, 8 pages, doi: 10.1155/ 2009/723203.
[27] Akbar azam, Ismat Beg, and Muhammad Arshad, Fixed point in topological vector
space-valued cone metric spaces, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and
Applications, vol.2010, Article ID 604084, 9 pages, doi: 10.1155/ 2010/ 604084.
[28] M. Asadi, H. Soleimani, S. M. Vaezpour, and B. E. Roades, On T-stability of Picard
iteration in cone metric spaces, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and
Applications, vol.2009, Article ID 751090, 6 pages, doi: 10.1155/ 2009/ 751090.
[29] Farshid Khojateh, Zahra Goodarzi, and Abdolrahman Razani, Some fixed point
theorems of Integral type contraction in cone metric spaces, Hindawi Publishing Corporation
fixed point theory and Applications, vol.2010, Article ID 189684, 13 pages, doi: 10.1155/
2010/ 189684.
[30] J. O. Olaleru, Some generalizations of fixed point theorems in cone metric spaces,
Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and Applications, vol.2009, Article ID
657914, 10 pages, doi: 10.1155/ 2009/657914.
[31] P. Raja and S. M. Vaezpour, Some extensions oof Banach’s cotraction principle in
cone metric spaces, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and Applications,

vol.2008, Article ID 768294, 11 pages, doi: 10.1155/ 2008/ 768294.
[32] F. Sabetghadam, H. P. Masiha, and A. H. Sanatpour, Some coupled fixed point
theorems in metric spaces, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and
Applications, vol.2009, Article ID 125426, 8 pages, doi: 10.1155/ 2009/ 125426.
[33] Ismat Beg, Akbar Azam, and Muhammad Arshad, Common fixed point for maps on
topological vetor space valued cone metric spaces, Hindawi Publishing Corporation,
international Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, vol.2009, Article ID
560264, 8 pages, doi: 10.1155/ 2009/ 560264.

7
[34] A. Branciari, A pixed point theorems for mapping satisfying a genenal contractive
condition of intergal type, International Journal of Mathematics anh Mathematical Sciences,
vol. 29, no.9, pp.531-536, 2002.
[35] D. H. Tan and N. A. Minh, Some pixed point theorems for of contractive condition
type, Acta Math. Vietnam. 1(1978), 24-42.