Vành địa phương và vành các tự đồng cấu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
LÊ TẤN PHƯỚC
VÀNH ĐỊA PHƯƠNG
VÀ VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGHỆ AN - 2014
1
MỤC LỤC
Trang
Mục lục 1
Mở đầu………………………………………………………… ……… 2
Ký hiệu…………………………………………………………………… 4
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Các phần tử đặc biệt trong vành………………………….………….5
1.2. Vành các tự đồng cấu của môđun….……………………………… 7
Chương 2: VÀNH ĐỊA PHƯƠNG
2.1. Định nghĩa vành địa phương…………………………………… … 10
2.2. Đặc trưng của vành địa phương… … …………………………… 10
2.3 Ví dụ………………………………………………………………… 15
Chương 3 : VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU
3.1. Vành các tự đồng cấu của môđun không phân tích được… …….… 17
3.2. Vành các tự đồng cấu của môđun nội xạ…………………………… 24
Kết luận… …………………………………………………………….29
Tài liệu tham khảo…………………………………………………….…30
MỞ ĐẦU
2
Cho R là vành, A là tập tất cả các phần tử không khả nghịch của R.
Vành R được gọi là vành địa phương nếu A đóng kín đối với phép cộng.
Ký hiệu End(M) là vành các tự đồng cấu của môđun M. Trong tài
liệu [1] người ta đã chứng minh được kết quả sau: Nếu End(M) là vành địa

phương thì M không phân tích được. Từ đó một câu hỏi đặt ra là điều
ngược lại có đúng không? Cụ thể: Nếu M không phân tích được thì End(M)
có là vành địa phương không? Để trả lời cho câu hỏi này ta cần chỉ ra một
phản ví dụ để chứng tỏ điều này không đúng:
¢
môđun
¢
là không phân
tích được nhưng End(
¢
) không là vành địa phương.
Vậy khi nào End(M) là vành địa phương? Câu trả lời của câu hỏi này được
trình bày cụ thể trong luận văn : Nếu
0M ≠
là một môđun không phân tích
được và có độ dài hữu hạn thì End(M) là địa phương và các phần tử không
khả nghịch của End(M) là lũy linh.
Mục đích của luận văn này là tìm hiểu vành địa phương và vành các
tự đồng cấu, đặc biệt là vành tự đồng cấu của môđun không phân tích được
và vành tự đồng cấu của môđun nội xạ.
Luận văn ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo thì nội
dung luận văn được trình bày trong ba chương.
Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị như các phần tử đặc biệt trong
vành và vành các tự đồng cấu của môđun.
Chương 2: Trình bày định nghĩa, ví dụ vành địa phương và các đặc trưng
của vành địa phương.
Chương 3: Trình bày vành tự đồng cấu của môđun không phân tích được
và vành tự đồng cấu của môđun nội xạ.
Luận văn đã được hoàn thành dưới sự hướng dẫn giúp đỡ tận tình
của PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn

chân thành và sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng, các thầy cô
giáo trong bộ môn Đại số và Lý thuyết số, cùng các thầy cô giáo phản biện
3
đã quan tâm dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu, tạo mọi
điều kiện để giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn mặc dù đã cố
gắng nổ lực. Song vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận
văn còn nhiều thiếu sót. Kính mong sự góp ý chân thành của thầy cô và các
bạn để luận văn hoàn thiện hơn.
Nghệ An, tháng 09 năm 2014
LÊ TẤN PHƯỚC
4
CÁC KÝ HIỆU
¥
: tập hợp các số tự nhiên.
*
¥
: tập hợp các số tự nhiên khác 0.
¢
: tập hợp các số nguyên.
*
¢
: tập hợp các số nguyên khác 0.
¤
: tập hợp các số hữu tỉ.
*
¤
: tập hợp các số hữu tỉ khác 0.
¡
: tập hợp các số thực.

*
¡
: tập hợp các số thực khác 0.
£
: tập hợp các số phức.
*
£
: tập hợp các số phức khác 0.
5
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong toàn bộ luận văn, vành luôn được hiểu là vành có đơn vị, ký
hiệu 1 và các môđun là môđun phải unita.
1.1 CÁC PHẦN TỬ ĐẶC BIỆT TRONG VÀNH.
1.1.1 Các phần tử đặc biệt trong vành.
a. Định nghĩa 1.
Cho vành
R
và
r R
∈
Phần tử
r
được gọi là nghịch đảo trái nếu tồn tại
'r R∈
để
' 1r r =
.
Phần tử
r

được gọi là nghịch đảo phải nếu tồn tại
''r R
∈
để
'' 1rr
=
.
Phần tử
r
được gọi là khả nghịch nếu tồn tại
u R∈
để
1ur ru= =
.
Cho vành
R
, ký hiệu
( )U ¡
là tập tất cả các phần tử khả nghịch của
¡
. Khi đó:
Tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vành số nguyên
¢
là
{ }
( ) 1;1U = −¢
.
Tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vành các số hữu tỉ
¤
là

*
( )U =¤ ¤
.
Tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vành các số thực
¡
là
*
( )U =¡ ¡
.
Tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vành các số phức
£
là
*
( )U =£ £
.
Tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vành đa thức
[ ]x¢
là
{ }
( [ ]) 1;1U x = −¢
.
Tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vành đa thức
[ ]K x
với
K
là trường là
*
( [ ])U K x K=
.
b. Định nghĩa 2. Phần tử

r
được gọi là luỹ linh nếu tồn tại
*
n∈¥
để
0
n
r =
6
Ví dụ: Trong vành
8
¢
các phần tử
2, 4, 6
là luỹ linh.
c. Định nghĩa 3. Phần tử
r
được gọi là luỹ đẳng nếu
2
r r=
.
Ví dụ:
Tập hợp các số nguyên
¢
cùng với phép cộng các số thông thường có tập
hợp các luỹ đẳng là:
{ }
0
( , )
E =

+¢
.
Tập hợp các số tự nhiên
¢
cùng với phép nhân thông thường có tập hợp
các luỹ đẳng là:
{ }
0;1
( , )
E =
•¢
.
1.1.2 Một số tính chất của các phần tử đặc biệt.
Cho vành R và
r R∈
1.
r
vừa khả nghịch trái,
r
vừa khả nghịch phải
⇔

r
khả nghịch.
2. Nếu
r
luỹ linh
⇒

r

không khả nghịch và
1 r−
khả nghịch.
3. Nếu
r
luỹ đẳng
⇒

1 r
−
luỹ đẳng.
4. Nếu
r
luỹ đẳng và
r
khả nghịch
1r⇒ =
.
Chứng minh 1.
( )⇒
Với mọi
r R
∈
. Giả sử r khả nghịch trái và khả nghịch phải. Khi đó
tồn tại duy nhất
' : ' 1r R r r∈ =
và tồn tại duy nhất
'' : '' 1r R rr∈ =
. Ta chứng
minh

' "r r=
. Thật vậy, ta có
' '.1 '( ") ( ' ) " " ' ".r r r rr r r r r r r= = = = ⇒ =

( )
⇐
Hiển nhiên (Theo định nghĩa về phần tử khả nghịch, phần tử r khả
nghịch thì r khả nghịch trái và r khả nghịch phải).
W
Chứng minh 2. Giả sử r khả nghịch khi đó
u R∃ ∈
sao cho:
1ur ru
= =
(1).
Do r luỹ linh nên đó tồn tại số tự nhiên n để
0.
n
r =
Nhân 2 vế của (1) cho
1n
r
−
ta được
1 1 1
1
n n n n
urr r ur r
− − −
= ⇒ =

1
0
n
r
−
⇒ =
.
7
Tip tc nhõn 2 v ca (1) cho
2n
r

ta c:
2
0
n
r

=
.
Tip tc thc hin cho n khi
0r =

(vụ lý).
Mt khỏc, do
0
n
r =
nờn

2 1
1 1 (1 )(1 )
n n
r r r r r

= = + + + +
1 r

kh nghch phi. Tng t ta cú
1 r
kh nghch trỏi. Vy
1 r

kh
nghch.
W
Chng minh 3. Gi s r lu ng
2
r r =
.Ta cú:
2
(1 )(1 ) 1 1 1r r r r r r r r r = + = + =
1 r
lu ng.
W

Chng minh 4. Gi s r va l lu ng va kh nghch. Khi ú:
2
r r=
v

tn ti
' : ' 1r R rr =
. Khi ú ta cú:
2
1 . ' ' ' 1.r r r rr r r rr= = = = =
Vy
1.r =

W

1.2 VNH CC T NG CU CA MễUN.
1.2.1 B : Cho M l mt mụun trờn vnh
R
, ta nh ngha
( ) : { : }End M f M M f
=
la ứ tửù ủong caỏu
, ( );f g End M x M

ta xỏc nh phộp toỏn cng +, v nhõn .
nh sau:

Phộp c ng
" ":
+

: f g M M
+

( )( ) ( ) ( )x f g x f x g x

+ = +
a
Phộp toỏn nhõn .:
: fg M M


( )( ) [ ( )]x fg x f g x
=
a
.
Khi ú End(M) l mt vnh.
Chng minh :
8
Ta chứng minh
( )f g End M
+ ∈
nghĩa là chứng minh f + g là tự đồng
cấu. Thật vậy,
, ( ), , , R.f g End M x y M r
∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈

• Ta có:
( )( ) ( ) ( )f g x y f x y g x y
+ + = + + +
do f và g là các tự đồng cấu
nên

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g x y f x f y g x g y
⇒ + + = + + +

( )( ) ( )( ) ( )( )f g x y f g x f g y
⇒ + + = + + +

• Mặt khác
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )]f g xr f xr g xr f x r g x r f x g x r
+ = + = + = +

( )( ) [( )( )] [( )( )].f g xr f g x r r f g x
⇒ + = + = +

d( )f g En M
⇒ + ∈
Dễ dàng kiểm tra được
( ( ), )End M
+
là một nhóm Abel.
• Phần tử không của
( ( ), )End M
+
là đồng cấu 0 được xác định như sau:
0: M M
→
0x
M
a
• Phần tử đối của
( ( ), )f End M
∈ +
là đồng cấu –f được xác định như sau:
: f M M

− →

( )( ) ( )x f x f x
− = −
a
Ta chứng minh
( )fg End M
∈
nghĩa là chứng minh fg là tự đồng cấu.
Thật vậy,
, ( ), , .f g End M x y M
∀ ∈ ∀ ∈

• Ta có:
( )( ) [ ( )]fg x y f g x y
+ = +
do g là tự đồng cấu nên
( )( ) [ ( ) ( )]= [ ( )] [ ( )]fg x y f g x g y f g x f g y
⇒ + = + +
(do f là đồng cấu vành)
( )( ) ( )( ) ( )( )fg x y fg x fg y
⇒ + = +
• Mặt khác
( ) [ ( )] [ ( ) ] [ ( )] [ ( )]fg xr f g xr f g x r f g x r fg x r
⇒ = = = =
d( ).fg En M⇒ ∈
Dễ dàng kiểm tra được
( ( ),.)End M
là một nửa nhóm.
• Phần tử đơn vị của

( ( ),.)End M
là đồng cấu đồng nhất
1 :
M
M M
→
9
x xa
Phộp nhõn phõn phi i vi phộp cng:
, , ( ), .f g h End M x M

Ta chng minh
( ) .f g h fg fh
+ = +

Tht vy,
[ ( )]( ) [( )( )]f g h x f g h x
+ = +
[ ( ) ( )]f g x h x
= +
[ ( )] [ ( )]f g x f h x
= +
( )( ) ( )( )fg x fh x
= +
( )( )fg fh x
= +
( ) .f g h fg fh
+ = +
Ta chng minh
( )f g h fh gh

+ = +
hon ton tng t.
W
Kt lun:
( ) : { : }End M f M M f
=
la ứ tửù ủong caỏu
cựng vi hai phộp
toỏn cng v nhõn c xỏc nh nh trờn l mt vnh cú n v.
1.2.2 nh ngha. Vnh
( ) : { : }End M f M M f
=
la ứ R - tửù ủong caỏu
vi
cỏc phộp toỏn nh trong b 1.2.1 c gi l vnh cỏc t ng cu ca
mụun M.
10
CHƯƠNG 2
VÀNH ĐỊA PHƯƠNG
2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀNH ĐỊA PHƯƠNG.
Cho
R
là một vành. Đặt
{A r R r
= ∈
không khả nghịch}.
Khi đó vành
R
được gọi là vành địa phương nếu
A

đóng kín đối
với phép cộng, tức là:
,
1 2
a a A∀ ∈
thì
1 2
a a A+ ∈
.
2.2 ĐẶC TRƯNG CỦA VÀNH ĐỊA PHƯƠNG.
2.2.1 Bổ đề. Nếu
R
địa phương, khi đó phần tử khả nghịch một phía thì
khả nghịch.
Chứng minh:
Cho b khả nghịch phải tức
': ' 1b bb∃ =
.
Ta chứng minh
' 1bb
=
Trường hợp 1: Giả sử
'bb A
∉
. Khi đó sẽ
: ' 1s R sb b
∃ ∈ =
' ' ' ' 'sb bb b sb b
⇒ = ⇒ =
(do

' 1bb
=
)
' ' 1sb b b b
⇒ = =
Trường hợp 2: Giả sử
' 1 'bb A b b A
∈ ⇒ − ∉
vì nếu
1 'b b A
− ∈
mà
A
đóng kín phép cộng
' (1 ' )b b b b A
⇒ + − ∈
1 A
⇒ ∈
(vô lí)
1s ,1 (1 ' )R s b b
⇒ ∈ = −
' (1 ' ) ' ( ' ' ') ( ' ') 0b s b b b s b b bb s b b
⇒ = − = − = − =
' 0b
⇒ =
vô lí vì
' 1b b
=
Vậy trường hợp 2 không xảy ra
11

Do đó chỉ có trường hợp 1 xảy ra
' 1b b
⇒ =
W
2.2.2 Định lí. Cho vành
R
và
A
={các phần tử không khả nghịch của
R
}.
Các phát biểu sau là tương đương:
(1)
R
là địa phương (đóng kín với phép cộng).
(2)
A
là một iđêan 2 phía.
(3)
A
là iđêan phải thực sự lớn nhất.
(3’)
A
là iđêan trái thực sự lớn nhất.
(4) Trong
R
tồn tại 1 iđêan phải thực sự lớn nhất.
(4’) Trong
R
tồn tại 1 iđêan trái thực sự lớn nhất.

(5)
r R∀ ∈
hoặc r hoặc 1 – r khả nghịch phải.
(5’)
r R
∀ ∈
hoặc r hoặc 1 – r khả nghịch trái.
(6)
r R
∀ ∈
hoặc r hoặc 1 – r khả nghịch.
Chứng minh:
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (1)
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
tương tự
(1) (2) (3') (4') (5') (6) (1)
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
(1) (2)
⇒
: Ta chỉ cần chứng minh
,a A r R
∀ ∈ ∈
thì
ar A
ra A
∈


∈


Giả sử
ar : (ar) 1; (ar) 1A s s s
∉ ⇒ ∃ = =
( s)=1a r
⇒
⇒
a khả nghịch phải
Dựa vào bổ đề 2.2.1
⇒
a khả nghịch.
a A
⇒ ∉
(vô lí)
ar .A
⇒ ∈
Tương tự ta chứng minh được
ra A
∈
W
(2) (3)
⇒
: Vì
R
A R
⊂
nên ta có
R
A R
⊂
.

Vì
1 ,A A R
∉ ≠
nên giả sử
,
R
B R b B⊂ ∈
thì
R
R
b B R⊂ ⊂
.
Bởi vì b không khả nghịch phải, do đó b không khả nghịch. Khi đó
12

b A
∈
,
b A
⊂
(3) (4)
⇒
: Hiển nhiên
(4) (5)
⇒
: Giả sử C là một iđêan phải thực sự lớn nhất
Giả sử
r R∈
, dễ thấy r và 1 – r không khả nghịch phải.
Khi đó

rR , (1 )
R R
R r R R⊂ − ⊂
Do đó
rR , (1 )C r R C
⊂ − ⊂
và vì
1 R (1 )r r R C C R
∈ + − ⊂ ⇒ =
.
(5) (6) :
⇒
Dễ thấy rằng mỗi phần tử khả nghịch phải là khả nghịch.
Do đó
' 1.bb
=
Trường hợp 1:
'b b
khả nghịch phải. Khi đó
s R: 1=b'bs
∃ ∈
vì
' s sb bb b b
= =
nên
1 ' .b b
=
Trường hợp 2:
1 'b b
−

khả nghịch phải. Khi đó
s R: 1=(1-b'b)s
∃ ∈
vì
(1 ' ) s ' s 0b b b b s b bb b
= − = − =
, mâu thuẩn
Do đó
' 1b b
=
.
(6) (1):
⇒
Giả sử cho
1 2
,a a A
∈
và
1 2
a a
+
khả nghịch.
Do đó
1 2
: ( ) 1s R a a s∃ ∈ + =
Khí đó
1 2
a 1s a s= −
Từ kết quả của
(6) (5)

⇒
(chứng minh như
(5) (6)⇒
). Ta có mỗi phần tử
khả nghịch phải là khả nghịch.
Khi đó từ
a , arA r R A
∈ ∈ ⇒ ∈
(vì nếu
ar A
∉
thì ar khả nghịch
phải và vì a khả nghịch phải nên
a A
∉
) nên
,
1 2
a s A a s A
∈ ∈
. Trong
mâu thuẩn đó ta có
2
a s A∈
.
Theo (6) ta có
1 2
1a s a s A= − ∉
.
Tương tự ta nhận được điều còn lại.

13
2.2.3 Hệ quả.
Ảnh toàn cấu của một vành địa phương là một vành địa phương.
Chứng minh. Giả sử
:f R S→
là một toàn cấu vành với R là một vành địa
phương và
s S
∈
. Vì
f
là một toàn cấu nên tồn tại một
r R∈
sao cho
s ( )f r
=
.
Nhưng do r là một vành địa phương nên r hoặc 1 – r khả nghịch. Nếu
r khả nghịch thì tồn tại
'r R
∈
sao cho
rr ' 1
=
.
Do đó
1 (1) ( r') ( ) ( ') ( ');f f r f r f r sf r
= = = =
tức là s khả nghịch. Tương tự nếu 1 – r khả nghịch thì 1 – s khả nghịch.
Vậy S là một vành địa phương.

W
2.2.4 Vành chuỗi:
a. Bổ đề. Cho
R
là một vành giao hoán, có đơn vị là 1.
Ta kí hiệu:
0
i
i=0
[[x]]={ = a / , 1}
i
i
R x a R x
α
∞
∈ =
∑
Trên
[[x]]R
ta xác định hai phép toán như sau:
Phép cộng:
0
i
i
i
a x
α
∞
=
=

∑
,
0
i
i
i
b x
β
∞
=
=
∑
thì
0
( )
i
i i
i
a b x
α β
∞
=
+ = +
∑
Phép nhân:
0
i
i
i
a x

α
∞
=
=
∑
,
0
i
i
i
b x
β
∞
=
=
∑
thì
0
.
i
i
i
c x
α β
∞
=
=
∑
, trong đó
, 0,1, ,

k i j
i j
c a b k
+
= = ∞
∑
14
Khi đó
[[x]]R
là vành có đơn vị
e
với
0
1. 0. 1e x x
= + + =
Phần tử không của vành là
0
0 0. 0. x x
= + +
b. Định nghĩa. Vành
[[x]]R
được gọi là vành chuỗi. Và mỗi phần tử của
[[x]]R

0 1
0 1

n
n
a x a x a x

α
= + + + +
được gọi là chuỗi.
c. Tính chất. Phần tử
0
[[ ]]
i
i
i
a x R x
α
∞
=
= ∈
∑
khả nghịch khi và chỉ khi thành
phần đầu
0
a
khả nghịch.
Chứng minh.
( )⇒
Giả sử
α
khả nghịch khi đó tồn tại
0
i
i
i
b x

β
∞
=
=
∑
sao cho
1
αβ
=
mà
0
k
k
k
c x
αβ
∞
=
=
∑
trong đó
k i j
i j k
c a b
+ =
=
∑
0 0
0 1
1 1 1

k k
k k
k k
c x c c x c
∞ ∞
= =
⇒ = ⇒ + = ⇒ =
∑ ∑

0 0
1a b⇒ =
hay
0
a
khả nghịch trong R.

( )⇐
Ngược lại giả sử
0
a
khả nghịch trong R khi đó tồn tại duy nhất
0
b R∈
sao cho
0 0
1.a b =
Ta sẽ tìm
2
0 1 2

n
n
b b x b x b x
β
= + + + + +
để
1
αβ
=
, mà
0
k
c x
k
k
αβ
∞
=
∑
=
trong đó
k i j
i j k
c a b
+ =
=
∑
để
1
αβ

=
thì
0
1c =
và
các
0
k
c =
với
1,2,3, k =
từ đây ta có:
0 0 0
1c a b= =
1
1 0 1 1 0 1 0 1 0
0 ( )c a b a b b a a b
−
= + = ⇒ = −
1
2 0 2 1 1 2 0 2 0 1 1 2 0
0 ( )c a b a b a b b a a b a b
−
= + + = ⇒ = − +
……
1
0 1 1 0 0 1 1 0
0 ( )
k k k k k k k
c a b a b a b b a a b a b

−
− −
= + + + = ⇒ = − + +
……
α
⇒
khả nghịch.
W
d. Mệnh đề.
Vành R[[x]] là vành địa phương khi và chỉ khi R là vành địa phương.
15
Chứng minh.
+ Ta đã biết phần tử
§ ¨
0
i
a x R x
i
α
∞
= ∈
∑
khả nghịch trong
§ ¨
R x
0
a⇔
khả nghịch trong R
+ R là vành địa phương
r R⇔ ∀ ∈

hoặc r hoặc 1 – r khả nghịch.
( )⇒
Cho R[[x]] là vành địa phương ta chứng minh R địa phương. Thật
vậy, lấy bất kỳ
r R
∈
, giả sử r không khả nghịch, ta chứng minh 1 – r khả
nghịch.
Do r không khả nghịch nên
§ ¨
2
r x x R x
α
= + + + + ∈
không khả nghịch
trong
§ ¨
R x

Do R[[x]] địa phương nên
1
α
−
khả nghịch trong
§ ¨
R x
mà
2
1 (1 ) ( ) ( ) ( )
n

r x x x
α
− = − + − + − + + − +
nên
1 r−
khả nghịch trong
§ ¨
R x
Do đó R là vành địa phương.
( )⇐
Cho R là vành địa phương, ta cần chứng minh
§ ¨
R x
địa phương.
Lấy bất kỳ
0
i
a x
i
i
α
∞
=
∑
=

[[ ]]R x∈
Giả sử
α
không khả nghịch ta chứng minh

1
α
−
khả nghịch
Do
α
không khả nghịch nên
0
a
không khả nghịch trong R

1
0
a⇒ −
khả nghịch trong R (do R địa phương)
Suy ra
2
1 (1 )
0 1 2
n
a a x a x a x
n
α
− = − + + + + +
là khả nghịch trong R[[x]]
Do đó R[[x]] là vành địa phương.
W
2.3 VÍ DỤ.
1.
∀

trường là vành địa phương.
vì A = {phần tử không khả nghịch của trường}
= {0}
mà 0 + 0 = 0 đóng kín.
2. Vành các số nguyên
¢
không địa phương
16
vì 2, (-3) không khả nghịch nhưng 2 + (-3) = - 1 là khả nghịch.
⇒
A không đóng kín.
3. Vành đa thức
[ ]x¡
(hệ số thực) không địa phương
vì
( ) 1 , ( )f x x g x x
= − =
là không khả nghịch (tức thuộc A) mà
( ) ( ) 1f x g x
+ =
khả nghịch
∉
A. Do đó A không đóng kín.

CHƯƠNG 3
VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU
3.1 VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU CỦA MÔĐUN
KHÔNG PHÂN TÍCH ĐƯỢC.
17
3.1.1 Định lý. Cho

R i
i I
R A
∈
=
⊕
là sự phân tích R_môđun phải R theo các
iđêan phải
,
i
A i I∀ ∈
(a) Khi đó ta có:
(1) Tồn tại
0
I
hữu hạn
0
I I⊂
để
0
, 0
i
i I A∀ ∈ ≠
và
0
R i
i I
R A
∈
=

⊕
trong
đó
{ }
0
1, , .I n=
(2) Tồn tại họ luỹ đẳng trực giao
{ }
0i
e i I∈
, tức là
1,
0 .
i i i
i j
e e e i n
e e i j

= ∀ =


= ∀ ≠


với
1
1
n
i
e=

∑
và
1,A e R i n
i i
= ∀ =
(3) Nếu
A
i
,
0
i I∈
là iđêan hai phía của
R
thì
i
e
thuộc tâm của
R
.
(b) Ngược lại: Nếu
R
có một họ luỹ đẳng trực giao
{ }
1
n
i
e
và
1
1

n
i
i
e
=
=
∑
thì
(1)
1
n
R i
i
R e R
=
= ⊕
(2) Nếu
i
e
,
1,i n∀ =
thuộc tâm của
R
thì
i
A
là iđêan hai phía của
R
.
Chứng minh.

(a)
(1) *) Do
R
có đơn vị ký hiệu 1 và
1
i
i I
A
∈
∈
⊕
nên ta có sự biểu thị
1 , , 1, (1')
1 2
a a a a A i n
n
i i
= + + + ∈ =
r R
∀ ∈
ta có

1 2 1 2
r a r a r a r a R a R a R
n n
= + + + ∈ + + +
1 2
(2')
n
R a R a R a R⇒ = + + +

*) Ta chứng minh
i i
a R A=
18
- Do
a A a R A
i i i i
∈ ⇒ ⊆
- Lấy
i i
b A∈
, nhân với
(1')
ta được:

1 2
b a b a b a b a b
n
i i i i i i
= + + + + +
Mà
, , , ,
1 1 2 2
b A a b A a b A a b A a b A
n n
i i i i i i i i
∈ ∈ ∈ ∈ ∈
Và do
i
i I

A
∈
⊕
trực tiếp nên biểu thị duy nhất
0, 0, , 0,
1 2
a b a b a b b a b a R
n
i i i i i i i
⇒ = = = = ∈
i i
b a R⇒ ∈
i i
A a R⇒ ⊆
Vậy
a R A
i i
=
Từ
(2')
do
i i
A a R=
nên ta có
1 2

n
R A A A= ⊕ ⊕ ⊕
⇒
Lấy

{ }
0
1; 2; ;I n=

⇒
ta có
0
I
hữu hạn
0
I I⊂
để
0
, 0
i
i I A∀ ∈ ≠
và
0
R i
i I
R A
∈
=
⊕
trong đó
{ }
0
1, , .I n=
(2) Trong
(1')

ký hiệu
, 1,
i i
e a i n= =
. Khi đó ta có:
1 2
1 (3')
n
e e e= + + +
i
e∀
nhân
(3')
với
, 1,
i
e i n=

1 2

i i i i i n i
e e e e e e e e e⇒ = + + + + +
Mà
1 1
, , ,
i i i i i i n i n
e A e e A e e A e e A∈ ∈ ∈ ∈
Do biểu thị duy nhất
1
0, 0

i n i
e e e e⇒ = =
còn
i i i
e e e=
Vậy:
2
0,
i i
i j
e e
e e i j

=


= ≠


{ }
1
n
i
e
⇒
là họ luỹ đẳng trực giao.
19
Vậy có:
1
1

n
i
e=
∑
và
1,
i i
A e R i n= ∀ =
Tức là tồn tại họ luỹ đẳng trực giao
{ }
1
n
i
e

2
1,
0
i i i
i j
e e e i n
e e i j
 

= ∀ =

 ÷

 ÷
= ∀ ≠



 
Mà
1
1
n
i
e=
∑
và
1,
i i
A e R i n= ∀ =
(3) Ta chứng minh
, , 1,
i i
e r re r R i n= ∀ ∈ =
.
Do
i i
e A∈
mà
i
A R<
là iđêan hai phía của
R
.
i i
e r A⇒ ∈

i i
re A∈
Từ
(3')
nhân với
r
, ta có:
1 2

i n
r e r e r e r e r= + + + + +

1 2

i n
re re re re= + + + + +
Do biểu diễn duy nhất suy ra:
e r re
i i
=
Từ đó ta có: Nếu
i
A
,
0
i I∈
là iđêan hai phía của
R
thì
i

e
thuộc tâm của
R
.
(b) Ngược lại:
(1) Do
1
1 2
e e e
n
= + + +
r R
∀ ∈
nhân hai vế với
r
, ta có:
1 2

i n
r e r e r e r e r= + + + + +
1 2
( ')
n
R e R e R e R a⇒ = + + +
Ta chứng minh:
0, 1,
1
n
e R e R k n
i

k
i
i k
∩ = ∀ =
∑
=
≠
Nếu
1
n
k i
i
i k
x e R e R
=
≠
∈ ∩
∑
20
1
k
n
i
i
i k
x e r
x e R
=
≠
=



⇒

∈


∑


=

⇒

= + + +


1 1 2 2
(khoâng coùt haønh phaàn )
k
n n
x e r
x e r e r e r k
2
1 1 2 2

k k k
k k k k n n
e x e r e r x
e x e e r e e r e e r


= = =
⇒

= + + +

(
1 1 2 2
0; 0; 0
k k k n n
e e r e e r e e r= = =
(do
0,
i j
e e i j= ≠
))

= = =

⇒

= + + + =


2
1 1 2 2
0 (do khoâng coùthaønh phaàn )
k k k
k k k k n n
e x e r e r x

e x e e r e e r e e r k
0 0
k
e x x⇒ = ⇒ =
1
0, 1, ( ')
n
k i
i
i k
e R e R k n b
=
≠
⇒ ∩ = ∀ =
∑
Từ
( ')a
và
( ')b
ta suy ra
1 2

n
R e R e R e R= ⊕ ⊕ ⊕
. Vậy ta có
1
n
R i
i
R e R

=
= ⊕
.
(2) Cho
( )
i
e Z R∈
. Ta chứng minh
i
e R R<
+) Hiển nhiên ta có: nhóm con
( ) ( )
i
e R R+ ⊆ +
.
+)
,
i i
x R e r e R∀ ∈ ∀ ∈
, ta có:
( ) ( )
i i i
x e r e xr e R= ∈
( ) ( )
i i i
e r x e rx e R= ∈
.
Vậy
i
e R R<

.
W
3.1.2 Định nghĩa. Môđun
R
M
được gọi là không phân tích được nếu
M A B= ⊕

, 0
0, .
A M B
A B M
= =

⇒

= =

3.1.3 Hệ quả.
Các mệnh đề sau tương đương đối với vành
R
:
(1)
R
R
không phân tích được.
(2)
R
R
không phân tích được.

21
(3)
R
chỉ có hai lũy đẳng là 0 và 1.
Chứng minh.
Ta chỉ cần chứng minh
(1) (3)⇔
, (
(2) (3)⇔
tương tự)
(1) (3)⇒

Giả sử
e
là lũy đẳng bất kỳ của
R
, suy ra họ
{ }
,1e e−
lũy đẳng trực giao
vì
( )
( )
2
2
1 1
1 0
e e
e e e e
− = −

− = − =
Và
1 1e e= + −
Suy ra theo định lý phân tích vành (chiều ngược lại), có
( )
1R eR e R= ⊕ −
Do giả thiết (1)
R
R
không phân tích được suy ra:
( )
0 0
1 0 1 0 1
eR e
e R e e
= ⇒ =


− = ⇒ − = ⇒ =

.
Suy ra
R
chỉ có hai lũy đẳng là 0 và 1.
(3) (1)⇒
Giả sử
R
R A B= ⊕
, (
,

R
A B R<
)
Theo định lý phân tích vành tổng quát
,A B
sinh bởi các lũy đẳng,
do đó
2
,A eR e e= =
Do giả thiết (3) suy ra
0 0,
1 , 0
e A B R
e A R B
= ⇒ = =


= ⇒ = =

Suy ra
R
R
không phân tích được.
Vậy có (1).
W
3.1.4 Định lý. Cho môđun
R
M
hay
M

và
: ( )
R
S End M=
khi đó các phát
biểu sau là tương đương:
(1)
R
M
không phân tích được.
(2)
S
S
không phân tích được.
22
(3)
S
S
không phân tích được.
(4)
S
chỉ có hai lũy đẳng là 0 và 1.
Chứng minh.
Theo Hệ quả 7.4.2 trong [1] thì
(2) (3) (4)⇔ ⇔
Ta chỉ cần chứng minh
(1) (4)⇔
+)
(1) (4)⇒
Giả sử

e
là phần tử lũy đẳng của
S
(
2
e e=
), suy ra
1 e−
cũng là phần tử
lũy đẳng của
S
.
• Khi đó có
( ) (1 )M e M e M= ⊕ −
. Bởi vì
- Mọi
x M∀ ∈
có
( ) ( ) ( ) (1 )( )x e x x e x e x e x= + − = + −
,
mà
( ) ( ), (1 )( ) (1 )( )e x e M e x e M∈ − ∈ −
.
- Nếu
( ) (1 )( )x e M e M∈ ∩ −

( )
(1 )( )
x e y
x e z

=

⇒

= −

2
2
( ) ( ) ( )
( ) (1 )( ) ( ) ( ) 0
e x e y e y x
e x e e z e z e z

= = =

⇒

= − = − =


(do
2
e e=
)
Suy ra
0x =
• Do giả thiết (1),
R
M
không phân tích được

suy ra
( ) 0 0
(1 )( ) 0 1 0 1
e M e
e M e e
= ⇒ =


− = ⇒ − = ⇒ =

Ta có (4)
+)
(4) (1)⇒
Giả sử
R
M A B= ⊕
Xét phép chiếu
:e M A B M A B
a b a
= ⊕ → = ⊕
+ a
Suy ra :
23
• e là đồng cấu
( )M M e End M→ ⇒ ∈
•
2
e e=
vì
( ) ( )

2
( ) ( ) ( )e a b e e a b e a a e a b+ = + = = = +
Vậy e là lũy đẳng của
( )S End M=
Theo giả thiết (4) suy ra
0 0
1
e A
e A M
= ⇒ =


= ⇒ =

Vậy suy ra M không phân tích được. Hay ta có (1). 
3.1.5 Hệ quả. Nếu vành
( )
R
End M
là vành địa phương thì
R
M
không phân
tích được.
Chứng minh.
Đặt
( )
R
S End M=
Để chứng minh

R
M
không phân tích được ta chỉ cần chứng minh S chỉ có
hai lũy đẳng là 0 và 1.
Ta lấy
e
là phần tử luỹ đẳng của
S
, suy ra
1 e−
cũng là phần tử luỹ đẳng
của
S
.
Giả sử
0, 1 1 0e e e≠ ≠ ⇒ − ≠
1 1e− ≠
Theo Hệ quả 7.2.2 trong [1] ta suy ra
e
và
1 e−
không khả nghịch.
Mà
,1 ( )
R
e e S End M− ∈ =
là vành địa phương nên tập A = {các phần tử không khả nghịch của R}
khép kín đối với phép cộng.
Do đó
( )

1e e+ −
không khả nghịch.
Suy ra 1 không khả nghịch (điều này vô lý).
Vậy ta phải có
0e =
hoặc
1e =
. Hay
R
M
không phân tích được.
W
24
3.1.6 Định lý. Cho
0M ≠
là một môđun có độ dài hữu hạn và không phân
tích được, khi đó
( )End M
là vành địa phương và các phần tử không khả
nghịch trong
( )End M
là lũy linh.
Chứng minh.
( )End M
ϕ
∀ ∈
khi đó tồn tại số tự nhiên n sao cho:
n n
M im ker
ϕ ϕ

= ⊕
(do M hữu hạn),
vì M không phân tích được nên
0
n
ker
ϕ
=
hoặc
0
n
im
ϕ
=
.
Trường hợp 1:
0 0
n
ker ker
ϕ ϕ ϕ
= ⇒ = ⇒
là đơn cấu
ϕ
⇒
tự đẳng cấu
ϕ
⇒
khả nghịch.
Trường hợp 2:
0 0

n n
im
ϕ ϕ ϕ
= ⇒ = ⇒
là phần tử lũy linh
1
ϕ
⇒ −
khả
nghịch (theo Hệ quả 7.2.2 trong [1]).
( )End M
ϕ
⇒ ∀ ∈
thì
ϕ
khả nghịch hoặc
1
ϕ
−
khả nghịch. Do đó
( )End M
là vành địa phương (theo Định lý 7.1.1 trong [1])
•
( )End M
ϕ
∀ ∈
giả sử
ϕ
không khả nghịch
ϕ

⇒
lũy linh (trường hợp 2).
Ngược lại nếu
ϕ
lũy linh thì (theo Hệ quả 7.2.2 trong [1])
ϕ
không khả
nghịch. 
3.2 VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU CỦA MÔĐUN NỘI XẠ.
3.2.1 Định nghĩa. Môđun
¤
được gọi là môđun nội xạ nếu với mọi môđun
M, với mọi môđun X con M, với mọi đồng cấu
:f X → ¤
luôn tồn tại
đồng cấu
:f M
∗
→ ¤
để biểu đồ sau giao hoán:

i
X M
⊂

f

f
∗

¤
tức là
f i f
∗
=
trong đó
i
là nhúng đồng nhất.
3.2.2 Định lí (Tiêu chuẩn Baer).
25