Về lý thuyết nevanlinna p adic 1 chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN VIỆT HÙNG
VỀ LÝ THUYẾT
NEVANLINNA P-ADIC 1-CHIỀU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Nghệ An – 2014
1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN VIỆT HÙNG
VỀ LÝ THUYẾT
NEVANLINNA P-ADIC 1-CHIỀU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.01.04
Người hướng dẫn khoa học
TS. MAI VĂN TƯ
Nghệ An – 2014
2
MỤC LỤC
MỤC LỤC …………………………… ………………………………1
MỞ ĐẦU ……………………………… …………… ………… …………… 2
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị …………… …………… … ….…………4
1.1 Trường định chuẩn …………………………………….…….….… ….….4
1.2 Trường các số hữu tỷ phức p-adic …….………… …….… ….….… …6
1.3 Hàm chỉnh hình p-adic …………….……………….……….….….………11
Chương 2. Về lý thuyết Nevanlinna p-adic 1-chiều ……….… … ….14
2.1 Trường hợp phức …………………………………………….… …….……14
2.2 Công thức Poisson-Jensen p-adic ………… …………………… ………
15

2.3 Các hàm Nevanlinna ……………………………… ……………… ……18
2.4 Bất đẳng thức ABC …………………………………………… …….……29
2.5 Một số ứng dụng ………………………………………… …… ….…… 29
KẾT LUẬN ………………………………………………………….…… …….32
TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………… … ….……33
3
MỞ ĐẦU
Trong giải tích phức, lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình
(còn gọi là lý thuyết Nevanlinna) là một trong những nội dung quan trọng.
Bắt đầu từ những công trình của Polya, Nevanlinna vào những thập niên 30
của thế kỷ XX, lý thuyết này phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng
phong phú, kể cả trong số học và vật lý. Những tên tuổi lớn trong lý thuyết
Nevanlinna cũng đồng thời là những tên tuổi lớn trong toán học đó là: R.
Nevanlinna, H. Cartan, H. Weyl, L. Alhfors, Ph. Griffiths,…
Một trong những hệ quả quan trọng của lý thuyết Nevanlinna phức là
Định lý năm điểm nói rằng nếu hai hàm phân hình khác hằng trên mặt
phẳng phức có nghịch ảnh tại năm điểm trùng nhau thì hai hàm đó đồng
nhất bằng nhau. Năm 1971, Adams Straus thiết lập kết quả tương tự cho
các hàm phân hình phi Ácsimét. Tuy nhiên, sự tương tự phi Ácsimét của lý
thuyết Nevanlinna chỉ bắt đầu được xây dựng một cách có hệ thống trong
công trình của Hà Huy Khoái năm 1983. Mục đích chính của luận văn là
bước đầu tìm hiểu về lý thuyết Nevanlinna p-adic trong trường hợp một
chiều. Nội dung luận văn gồm 2 chương:
Chương 1. Trình bày một số kiến thức cơ bản về chuẩn, trường các số
phức p-adic, hàm chỉnh hình.
Chương 2. Trình bày một số kết quả về lý thuyết Nevanlinna trong
trường hợp một chiều.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Tiến sỹ Mai Văn
Tư. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến
thầy giáo hướng dẫn đã giành cho tác giả sự hướng dẫn tận tình, chu đáo và

nghiêm túc trong quá trình học tập, nghiên cứu.
4
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô trong khoa Toán, phòng
đào tạo sau Đại học Vinh đã giúp đỡ và tạo điều kiện để tôi hoàn thành
luận văn.
Mặc dù đã hết sức cố gắng, luận văn không tránh khỏi những thiếu
sót. Tác giả mong muốn nhận được sự chỉ bảo của quý thầy cô giáo và các
bạn học viên.
Nghệ An, tháng 4 năm 2014.
Tác giả
5
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Trường định chuẩn
1.1.1. Định nghĩa
Giả sử
K
là một trường, chuẩn
v
trên
K
là hàm số từ
K

vào
¡
thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau đây:
a.
( ) 0v x ≥
, với mọi
x∈K

và
( ) 0v x =
khi và chỉ khi
0x =
.
b.
( . ) ( ). ( )v x y v x v y=
với mọi
,x y∈K
.
c.
( ) ( ) ( )v x y v x v y+ ≤ +
với mọi
,x y∈K
.
Một chuẩn trên trường
K
được gọi là chuẩn phi Ácsimét
nếu thỏa mãn điều kiện:
c
’
.
{ }
( ) max ( ), ( )v x y v x v y+ ≤
với mọi
,x y∈K
.
1.1.2. Chú ý
- Khi làm việc với một chuẩn cố định, ta sẽ viết
x

(hoặc
v
x
) thay cho
( )v x
.
- Chuẩn trên trường
K
xác định một metric. Khoảng cách
giữa hai điểm
,x y∈K
trong metric đó bằng
x y−
. Như vậy chuẩn trên
trường
K
xác định một tôpô. Bộ (
,vK
) gồm trường
K
và hàm chuẩn
v
trên
K
được gọi là trường định chuẩn.
- Các trường số hữu tỉ
¤
, trường số thực
¡
là những trường

định chuẩn với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường (chuẩn giá trị
tuyệt đối thông thường được ký hiệu
.
∞
).
1.1.3. Định nghĩa
Hai chuẩn trên một trường
K
được gọi là phụ thuộc (còn gọi là
tương đương) nếu chúng xác định một tôpô. Trong trường hợp trái lại,
chúng được gọi là độc lập (còn gọi là không tương đương).
6
Định lý sau đây nêu lên tiêu chuẩn cần và đủ để hai chuẩn trên
một trường
K
là phụ thuộc lẫn nhau (hay chúng tương đương với
nhau).
1.1.4. Định lý
Giả sử
1
1
. .
v
=
và
2
2
. .
v
=

là hai chuẩn không tầm thường
trên trường
K
. Khi đó, chúng phụ thuộc lẫn nhau khi và chỉ khi từ hệ
thức
1
1x <
suy ra
2
1x <
. Nếu chúng phụ thuộc thì tồn tại số thực
0
λ
>
sao cho
1 2
x x
λ
=
với mọi
x
∈
K
.
1.1.5. Mệnh đề
Cho
p
là một số nguyên tố cố định. Với mỗi số hữu tỷ
0 x≠ ∈¤
,

khi đó
x
được viết dưới dạng:
; , , , 0
n
a
x p a b n b
b
= ∈ ≠¢
, với
,a b
không chia hết cho
p
. Ta định nghĩa:
(0) 0 0; ( )
n
p p
p p
v v x x p
−
= = = =
. Hàm
.
p
xác định như trên là một
chuẩn phi Ácsimét, trong đó p là số nguyên tố bất kỳ.
Chứng minh. Tính chất đầu của định nghĩa được nghiệm đúng
một cách dễ dàng. Ta chứng minh hai tính chất còn lại.
Ta kiểm tra
p

v
là chuẩn phi Ácsimét trên trường số hữu tỷ hay
{ }
( ) max ( ), ( ) , ,v x y v x v y x y+ ≤ ∀ ∈¤
.
Thật vậy, giả sử
; , , ,
m
c
y p c d m
d
= ∈¢
với
,c d
không chia hết cho
p
.
Không mất tính tổng quát giả sử
n m≥
khi đó ta có:
, ,
n m
n m m k
a c adp bc
x y p p p p k m
b d bd
α
β
−
+

+ = + = = ≥
Trong đó các số nguyên
,
α β
không chia hết cho
p
,
0
β
≠
. Từ đó
7
( ) max( , ) max( ( ), ( )).
k m n m
p p p
v x y p p p p v x v y
− − − −
+ = ≤ = =
Ngoài ra, ta có:
( )
( . ) ( ) . ( ). ( ).
n m n m n m
p p p p
ac
v x y v p p p p v x v y
bd
+ − + − −
= = = =
1.2 Trường các số hữu tỷ phức p-adic
Xuất phát từ trường số hữu tỷ

¤
với chuẩn là giá trị tuyệt đối thông
thường, ta có thể mở rộng
¤
thành một trường đóng đại số và đầy đủ. Đó
là trường số phức
£
. Như vậy từ trường định chuẩn Ácsimét
( )
, .
∞
¤

chúng ta thu được trường đóng đại số và đầy đủ
£
. Vấn đề đặt ra là từ
trường định chuẩn phi Ácsimét
(
)
, .
p
¤
có thể mở rộng thành một trường
đóng đại số và đầy đủ như trường số phức được hay không?
1.2.1. Dãy Cauchy (Dãy cơ bản)
Giả sử
p
là một số nguyên tố cố định. Dãy
{ }
n

x
các số hữu tỷ được
gọi là dãy cơ bản theo chuẩn
p
- adic
.
p
nếu
0
0, n
ε
∀ > ∃ ∈ ¥
sao cho
0
,m n n∀ >
ta có:
.
m n
p
x x
ε
− <

1.2.2. Quan hệ tương tương đương
Gọi
X
là tập hợp các dãy cơ bản các số hữu tỷ theo chuẩn
p
- adic
.

p
. Ta xác định một quan hệ hai ngôi trên
X
như sau:
{ }
{ }
;
n j
a a b b= ∈ = ∈X X

lim 0
j j
j
a b a b
→∞
⇔ − =:
.
Rõ ràng
'' '':
là quan hệ tương đương trên
X
.
Đặt
{ }
{ }
/
p j
a a= = =¤ :X
, trong đó
{ }

{ }
: lim 0
j j j
j
a b a b
→∞
= ∈ − =X
.
8
Đặc biệt, với
x∈¤
ta kí hiệu
{ }
x
là Cauchy hằng và
{ } { }
x x
′
:
khi và chỉ khi
x x
′
=
. Chuẩn trên
p
¤
được cảm sinh bởi chuẩn
p
- adic
.

p
trên
¤
.
Nếu
{ }
j
a a=
, ta định nghĩa
lim
j
p
p
j
a a
→∞
=
, trong đó
{ }
j
a
là phần tử đại diện
của lớp tương đương
a
.
Mệnh đề sau đây khẳng định rằng định nghĩa chuẩn trên
p
¤
như trên là
hợp lý.

1.2.3. Mệnh đề
Tồn tại giới hạn của dãy
{ }
j
p
a
trong đó
{ }
j
a
là dãy cơ bản các số
hữu tỷ.
Chứng minh. Nếu
0a =
thì
lim 0
j
p
j
a
→∞
=
. Nếu
0a ≠
, với mỗi
0
ε
>
nhỏ
tùy ý luôn tồn tại

N
j
sao cho
N
j
p
a
ε
≥
với
N
lớn tùy ý, vì
{ }
j
a
là dãy cơ
bản nên với
N
đủ lớn ta có
i j
a a
ε
− <
,
với mọi
j N>
, vì
{ }
max ,
N N N

j j j j j j j
p
p p p
a a a a a a a= − + ≤ −
. Kết hợp với bất
đẳng thức trên, ta suy ra
N
j j
p
p
a a≤
do
N
j
p
a
ε
≥
và
N
j j
a a
ε
− <
.
Tương tự từ
{ }
max ,
N N N N
j j j j j j j

p
p p p
a a a a a a a= − + ≤ −
ta có
N
j j
p
p
a a=
,
với mọi
j N>
.
Chứng tỏ
j
p
a
là hằng số với mọi
j N>
nghĩa là
lim
N
j j
p
p
j
a a
→∞
=
. Mệnh đề

được chứng minh.
1.2.4. Phép toán trên
p
¤
Giả sử
{ } { }
,
j j p
a a b b= = ∈¤
Ta xây dựng hai phép toán sau:
{ } { }
,
j j j j
a b a b ab a b+ = + =
.
1.2.5. Mệnh đề
9
Các phép toán trên không phụ thuộc vào phần tử đại diện.
Chứng minh. Giả sử
{ } { } { } { }
,
j j j j
a a b b
′ ′
: :
.
Từ quan hệ tương đương chúng ta có:
lim lim 0
j j j j
p p

j j
a a b b
→∞ →∞
′ ′
− = − =
.
Suy ra:
( ) ( )
j j j j j j j j j j
p p
a b a b a b b b a a
′ ′ ′ ′ ′
− = − + −
{ }
max ,
j j j j j j
p p p p
a b b b a a
′ ′ ′
≤ − −
.
Vì
lim ,lim
j j
p p
p p
j j
a a b b
→∞ →∞
′ ′

= =
và
lim lim 0
j j j j
p p
j j
a a b b
→∞ →∞
′ ′
− = − =
,
ta suy ra
{ } { }
.
j j j j
a b a b
′ ′
:
Mặt khác xuất phát từ bất đẳng thức:
{ }
( ) ( ) max ,
j j j j j j j j
p p p
a b a b a a b b
′ ′ ′ ′
+ − + ≤ − −
,
ta suy ra rằng
{ } { }
.

j j j j
a b a b
′ ′
+ +: W
1.2.6. Định lý
p
¤
cùng với hai phép toán được xây dựng như trên lập thành một
trường gọi là trường các số hữu tỷ
p −
adic và
p
¤
là trường mở rộng của
trường các số hữu tỷ
¤
.
Chứng minh. Dễ dàng chứng minh được rằng các phép toán trên
p
¤
Có tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối, phần tử 0 =
{ }
0
, phần tử đơn vị
1 =
{ }
1
. Chúng ta cần chứng tỏ rằng mọi phần tử khác 0 của
p
¤

đều khả
nghịch. Thực vậy, nếu 0
{ }
j p
a a≠ = ∈¤
. Suy ra tồn tại số tự nhiên
0
N
sao
cho
0
n N∀ >
thì
0
n
a ≠
và trong dãy Cauchy
{ }
j
a
nếu
j
a
triệt tiêu, ta thay
bởi
j
j
a p
′
=

trong đó
0
0 .j N≤ <

10
Đặt
0j j
a a j N
′
= ∀ ≥
rõ ràng
lim 0
j j
j
a a
→∞
′
− =
hay
{ } { }
j j
a a a
′
= =
.
Từ đó
1
1
j
a

a
−
 
 
=
 
′
 
 
là phần tử ghịch đảo của
.a

1.2.7. Mở rộng đóng đại số đầy đủ
p
£
của trường các số
p
¤

Trong trường hợp thực, bao đóng đại số của trường số thực
¡
là
trường số phức
£
. Có thể xem
£
là không gian vectơ 2 chiều trên
¡
. Vấn
đề được đặt ra là từ

p
¤
, bằng phương pháp tương tự có thể mở rộng nó
thành một trường đóng đại số và đầy đủ hay không? Câu trả lời là khẳng
định có, song có những điểm khác nhau, chẳng hạn chuẩn trên
¡
và trên
p
¤
khác nhau nên tôpô trên chúng cũng khác nhau. Mặt khác, bao đóng đại
số của
¡
là một trường đầy đủ, còn bao đóng đại số của
p
¤
không có tính
chất đó. Trong mục này nêu ra một số kết quả của quá trình xây dựng bao
đóng đại số, đầy đủ của trường
p
¤
.
Ký hiệu
p
¤
là bao đóng đại số của
p
¤
. Nếu
p
α

∈¤
, thì
α
là nghiệm của
đa thức bất khả quy
[ ]
( )
p
f x x∈¤
:
1
1 1
( )
n n
n n
f x x a x a x a
−
−
= + + + +
.
Khi đó chuẩn của
α
trên
p
¤
được xác định bởi hệ thức:
n
p p
a
α

=
Rõ ràng đây là một hàm mở rộng của hàm chuẩn trên
p
¤
.
Giả sử
X
là tập hợp các dãy cơ bản gồm các phần tử của
p
¤
, dãy
{ }
n
x
được gọi là dãy không nếu
lim 0
n
p
n
x
→∞
=
.
Hai dãy cơ bản
{ }
n
x
và
{ }
n

y
được gọi là tương đương nếu và chỉ nếu
{ }
n n
x y−
là dãy không.
11
Đặt
/
p
X= :£
, rõ ràng
p
£
cùng với hai phép toán +, . các dãy thông
thường (Cộng, nhân thành phần) lập thành một trường.
Khi làm đầy bao đóng đại số của trường số
p
-adic để được không
gian đầy đủ thì tính đóng đại số được bảo toàn.
1.2.8. Định lý
p
¤
là trường không đầy đủ.
1.2.9. Định lý
p
£
là trường đóng đại số.
Chứng minh. Giả sử
1 1

1 1 0
( )
n n
n
f X X a X a X a
−
−
= + + + +
trong đó
,
i p
a i∈ ∀£
. Ta chỉ cần chỉ ra rằng
( )f X
có nghiệm trong
p
£
.
Với
i
= 1,2,…,
n
, giả sử
{ }
ij
j
a
là dãy các phần tử của
p
¤

hội tụ đến
i
a
.
Đặt
1 1
1, 1, 0,
( )
n n
j n j j j
g X X a X a X a
−
−
= + + + +
.
Giả sử
ij
r
là các nghiệm của
( )( 1,2, , ).
j
g X i n=
Ta sẽ chỉ ra rằng có thể tìm
được
(1 )
j j
i i n≤ ≤
với
1,2, j =
sao cho dãy

{ }
,
j
i j
r
là dãy Cauchy.
Giả sử đã có
,
j
i j
r
, ta sẽ chỉ ra cách tìm
1
, 1
j
i j
r
+
+
Đặt
{ }
1 , , 1
max
j j j i j i j
g g a a
ε
+ +
= − = −

(đại lượng này dần đến 0 khi

j → ∞
). Giả sử
{ }
,
max 1,
j
n
j i j
p
A r=
. Rõ ràng tồn
tại hằng số
A
sao cho
,
j
A A j≤ ∀
. Khi đó ta có:
, , 1 1 , 1
( )
j j
i j i j j i j
p
p
r r g r
+ + +
− =
∏
=
1 , 1 1 ,

( ) ( )
j
j i j j i j
p
g r g r
+ + +
−
j
A
ε
≤
.
Như vậy, có ít nhất một nhân tử
1j j
i i
r r
+
−
không vượt quá
j
ε
.
Giả sử
1
, 1
j
i j
r
+
+

là phần tử bất kỳ nào đó có tính chất đó. Khi đó rõ ràng dãy
{ }
ij
r
là dãy Cauchy.
12
Bây giờ ta giả thiết rằng
,
lim
j
i j p
j
r r
→∞
= ∈£
. Khi đó
, ,
( ) lim ( ) lim ( ) 0
j j
i j i j
j j
f r f r g r
→∞ →∞
= = =
. Định lý được chứng minh.
Như vậy mỗi phần tử của
p
£
là giới hạn của một dãy cơ bản các phần tử
của

p
¤
. Nếu
lim
n
n
x
α
→∞
=
thì chuẩn trên
p
£
được định nghĩa như sau:
lim
n
p p
n
x
α
→∞
=
.
1.3 Hàm chỉnh hình p-adic
Nói chung, các nội dung được chứng minh trong mục này đều đúng
cho trường hàm chỉnh hình và phân hình tùy ý với chuẩn phi Ácsimét. Vì
thế, Trường cơ sở được ký hiệu
F
(có thể là trường số hữu tỷ
p

-adic
p
¤

hoặc trường số phức
p
-adic
p
£
).
1.3.1. Hàm chỉnh hình
Ta định nghĩa hình cầu mở bán kính
R
bởi
{ }
:
R
z F z R
<
= ∈ <B
Ta cũng sử dụng ký hiệu
∞
=B F
cho trường hợp toàn bộ trường. Hình cầu
đóng bán kính
R
được định nghĩa bởi
{ }
:
R

z z R
≤
= ∈ ≤:B F
Nếu
R
> 0 thì cả
R<
B
,
R≤
B
đều là những tập hợp vừa mở vừa đóng trong
tôpô
F
.
Vành hàm chỉnh hình trong
R≤
B
, ký hiệu
[ ]
RA
, được định nghĩa bởi
[ ] [ ]
0
: lim 0
n n
n n
n
n
R a z z a R

∞
→∞
=
 
 
= ∈ =
 
 
 
∑
A F
Tương tự, vành các hàm chỉnh hình trong
R<
B
, ký hiệu
( )RA
, được định
nghĩa như sau:
[ ]
0
( ) : lim 0,
n n
n n
n
n
R a z z a r r R
∞
→∞
=
 

 
= ∈ = ∀ <
 
 
 
∑
A F
13
Các phần tử của
( )∞A
, tức là các chuổi lũy thừa bán kính hội tụ bằng vô
cùng, được gọi là các hàm nguyên. Những định nghĩa trên đây có thể dễ
dàng chuyển sang cho các chuổi Laurent. Cụ thể là ta có thể xét những kiểu
vành khăn như sau:
[ ]
{ }
1 2 1 2
, :A r r z r z r= ∈ ≤ ≤F
,
{ }
1 2 1 2
( , ] :A r r z r z r= ∈ < ≤F
,
{ }
1 2 1 2
A[ , ) :r r z r z r= ∈ ≤ <F
,
{ }
1 2 1 2
( , ) :A r r z r z r= ∈ < <F

Và những vành hàm chỉnh hình trên đó:
[ ]
1 2 1 2
0
[r , ] :lim 0, .
n n
n n
n
n
r a z z a r r r r
∞
→∞
=
 
 
= ∈ = ∀ ≤ ≤
 
 
 
∑
A F
[ ]
1 2 1 2
0
(r , ] : lim 0, .
n n
n n
n
n
r a z z a r r r r

∞
→∞
=
 
 
= ∈ = ∀ < ≤
 
 
 
∑
A F
[ ]
1 2 1 2
0
[r , ) : lim 0, .
n n
n n
n
n
r a z z a r r r r
∞
→∞
=
 
 
= ∈ = ∀ ≤ <
 
 
 
∑

A F
[ ]
1 2 1 2
0
(r , ) : lim 0, .
n n
n n
n
n
r a z z a r r r r
∞
→∞
=
 
 
= ∈ = ∀ < <
 
 
 
∑
A F
Chú ý rằng tất cả các vành hàm chỉnh hình trên đây đều là các miền
nguyên. Phần tử của trường các thương của những vành này gọi là hàm
phân hình. Ta dùng ký hiệu
1 2
( , ]r rM
để chỉ trường các thương của vành
1 2
( , ]r rA
, tức là trường các hàm phân hình.

1.3.2. Định nghĩa
Giả sử
1n ≥
là một số nguyên với
p
n
= 1. Ký hiệu qua
( ) ( ) ( )
1 2
, , ,
n n n
n
ξ ξ ξ

là các căn bậc
n
của đơn vị trong trường
F
. Giả sử
,a r
là những phần tử
của
F
, đồng thời hàm
f
xác định tại mọi điểm có dạng
( )
, 1
n
k

a r n
ξ
+ ∀ ≥
và
mọi
1 .k n
≤ ≤

14
Ta định nghĩa tích phân Shnirelman của hàm
f
trên vòng tròn
z a r− =
là
giới hạn sau đây, nếu nó tồn tại:
( ) ( )
1
1
( ) lim ( ) .
n
n n
k k
n
k
z a r
n
r
f z dz f a r
n
ξ ξ

→∞
=
− =
=
= +
∑
∫
Trong trường hợp giới hạn trên là tồn tại, hàm
f
được gọi là khả tích
Shnirelman trên vòng tròn
z a r− =
.
1.3.3. Chuẩn phi Ácsimét trong vành các hàm chỉnh hình
Giả sử
1 2
r r≤
, kí hiệu qua
1 2
[ , ]r r
∗
A
vành các hàm chỉnh hình trên vành
khăn
1 2
A[ , ]r r
. Các phần tử của
1 2
[ , ]r r
∗

A
là các chuổi Laurent có dạng
( )
n
n
n
f z c z
∞
=−∞
=
∑
sao cho
1 2
lim 0,
n
n
n
c r r r r
→∞
= ∀ ≤ ≤
.
Với mỗi
r
nằm giữa
1
r
và
2
r
ta định nghĩa

sup
n
n
r
f c r=
Nhận xét 1: Với mỗi hàm
f
cố định, dễ thấy rằng
.
r
là một hàm
liên tục của
r
. Nếu
1
0r =
, thì trong chuổi Laurent sẽ không có số hạng lũy
thừa âm và
r
f
là hàm không giảm của
r
.
Nhận xét 2: Ta thấy rằng
.
r
là một chuẩn phi Ácsimét trên trường
các hàm phân hình trong vành khăn.
15
Chương 2. VỀ LÝ THUYẾT NEVANLINNA P-ADIC 1-CHIỀU

2.1 Trường hợp phức
Trước tiên, ta nhắc lại một vài khái niệm của lý thuyết
Nevanlinna trong trường hợp phức.
Cho hàm phân hình
f
,
a
là giá trị nào đó trong
1
( )£P
, và cho
bán kính r. Hàm đếm
( , , )N f a r
được dùng đếm số lần
f
nhận giá trị
a

trong đĩa đơn vị bán kính
r
, chính xác hơn, được định nghĩa bởi công
thức:
( , , )N f a r
=
0
( )
log log ,
z r
f z a
r

m r
z
< <
=
+
∑
ở đây các giá trị
z
lấy tại
( )f z a=
và được tính một số lần bằng bội
của chúng,
m
là cấp không điểm của
( )f z a−
tại gốc, hoặc của
1/ ( )f z

nếu
a = ∞
.
Người ta cũng định nghĩa hàm đếm cắt cụt
(1)
( , , )N f a r
, trong đó
mỗi không điểm chỉ được tính một lần, không phụ thuộc số bội.
Hàm xấp xỉ
( , , )m f a r
đo mức độ xấp xỉ của hàm
f

đối với giá trị
a
trên đường tròn với bán kính
r
, chính xác hơn, được định nghĩa bởi
công thức:
2
0
1
( , , ) log
( ) 2
i
d
m f a r
f re a
π
θ
θ
π
+
=
−
∫
,
ở đây
log x
+
kí hiệu
{ }
max 0,log x

.
Nếu
a = ∞
thì
2
0
( , , ) log ( )
2
i
d
m f r f re
π
θ
θ
π
+
∞ =
∫
.
16
Hàm đặc trưng Nevanlinna
( , , ) ( , , ) ( , , )T f a r m f a r N f a r= +
là tổng của
hàm đếm và hàm xấp xỉ.
2.1.1. Định lý ( Định lý cơ bản thứ nhất của Nevanlinna)
Giả sử
f
là hàm phân hình khác hằng trên
£
và

a
là một điểm
trong
£
. Khi đó
( , , ) ( , , )T f a r T f r− ∞
bị chặn khi
r → ∞
.
Nhận xét: Như vậy định lý cơ bản thứ nhất của Nevanlinna cho
thấy rằng, hàm
( , , )T f a r
với những giá trị
a
khác nhau có thể xem là
chỉ sai khác một đại lượng giới nội. Nói cách khác, hàm phân hình
f

nhận mọi giá trị
a
với một số lần như nhau. Điều này hoàn toàn tương
tự như định lý cơ bản của đại số nói rằng, đa thức tùy ý nhận mọi giá
trị một số lần bằng bậc của nó. Tuy nhiên, trong định lý cơ bản thứ
nhất, ngoài hàm đếm
N
, ta còn phải thêm vào hàm xấp xỉ
m
. Vì thế,
sự tương tự của nó với định lý cơ bản của đại số chỉ thực sự có ý nghĩa
nếu hàm xấp xỉ là “rất nhỏ”. Điều này được thể hiện trong Định lý cơ

bản thứ hai của Nevanlinna.
2.1.2. Định lý (Định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna)
Giả sử
1
, ,
q
a a
là
q
điểm phân biệt trong
1
( )£P
và giả sử
f
là
hàm phân hình khác hằng trên
£
. Khi đó ta có
(1)
1
( 2) ( , , ) ( , , ) 0(log ( , ))
q
j
j
q T f r N f a r T f r
=
− ∞ − ≤
∑
khi
r → ∞

ngoài một tập loại trừ các giá trị của bán kính có độ đo
Lesbesgue hữu hạn.
Nhận xét: Khi
2q >
, bất đẳng thức trong định lý cơ bản thứ hai
cho ta một cận dưới của tổng các hàm đếm, tức là
f
không thể nhận
quá nhiều giá trị với một số lần nhỏ hơn số lần trung bình.
2.2 Công thức Poisson-Jensen p-adic
17
Cũng giống trong trường hợp phức, chúng ta sẽ bắt đầu từ công
thức Poisson-Jensen. Công thức này cho ta mối liên hệ giữa cấp tăng
của hàm với số không điểm và cực điểm của nó.
Giả sử
f
là hàm chỉnh hình trên
[ ]
1 2
,A r r
, không đồng nhất bằng
không.
2.2.1. Định nghĩa
Hàm đếm
( ,0, )N f r
được cho bởi công thức:
[ ]
1
0 ,
( ) 0

( ,0, ) log
z A r r
f z
r
N f r
z
≠ ∈
=
=
∑
.
Trong tổng trên đây, mỗi không điểm của
( )f z
được tính một số
lần bằng bội của nó. Khi
1
0r =
, để thuận lợi ta thêm số hạng
( ,0)logK f r
vào định nghĩa của
( ,0, )N f r
. Từ định lý duy nhất suy ra
rằng tổng trong công thức xác định
N
là một tổng hữu hạn nếu
1 2
[ , ]r r r∈
.
Chú ý rằng
N

phụ thuộc vào bán kính nhỏ
1
r
của vành khăn.
2.2.2. Định lý (công thức Poisson-Jensen)
Giả sử
f
là hàm chỉnh hình khác hằng trên
[ ]
1 2
,A r r
, với
2
r ≤ ∞
. Giả sử
( )
n
n
n
f z a z
∈
=
∑
¢
là khai triển chuỗi laurent của
f
. Khi đó, với mọi
1 2
[ , )r r r∈
, ta có

1
1 ( , )
( ,0, ) ( , )log log log
k f r
r
N f r k f r r a f+ + =
nếu
1
0r >
hoặc
( ,0)
( ,0, ) log log
k f
r
N f r a f+ =
nếu
1
0r =
Nhận xét: Nếu
1
0r =
hoặc
2
r < ∞
, thì định lý nói rằng hiệu giữa
( ,0, )N f r
và
log
r
f

bị chặn khi
2
r r→
. Nếu
1
0r >
và
2
r = ∞
, thì hiệu bị
chặn bởi
0(log )r
khi
r → ∞
.
18
Chứng minh. Chứng minh hoàn toàn dựa vào đa giác định chuẩn.
Nhắc lại rằng, chỉ có hữu hạn điểm tới hạn trong
1
[ , ]r r
nếu
2
r r<
.
Trong trường hợp
1
0r =
, giả sử
r
′

là điểm tới hạn dương nhỏ
nhất, hàm
f
không có không điểm với chuẩn giữa 0 và
r
′
. Do đó, với
0 r r
′
< ≤
,
( , ) ( ,0)
( ,0, ) ( ,0)log ( , )log log log log log ,
K f r K f
r r
N f r K f r K f r r f a f a= = = − = −
ở đây ta sử dụng
( , ) ( ,0).K f r K f=
Trong trường hợp
1
0r >
, giả sử
r
′
là điểm tới hạn nhỏ nhất lớn
hơn
1
r
. Lý luận như trên chỉ ra rằng
f

không có không điểm với
chuẩn nằm giữa
1
r
và
r
′
. Do đó, với
1
r r r
′
≤ ≤
, lại sử dụng
1
( , ) ( , )K f r K f r=
và quan hệ
1 1
1
( , ) 1 1 ( , ) 1 1
log ( , )log log log ( , )log
k f r K f r
r
a k f r r f a K f r r+ = = +
(1)
Ta có
1
( ) 0
( ,0, ) log
z r
f z

r
N f r
z
=
=
=
∑
=
1 1
1
[K( , ) ( , )]log
r
f r k f r
r
− =
1 1 1 1 1 1
( , )log ( , )log ( , )log ( , )logK f r r k f r r k f r r K f r r− + −
1 1
1 1
1
1 ( , ) ( , )
( , ) 1 ( , ) ( , )
1 ( , )
( , )log ( , )log log log
log log ( , )log log log
log ( , )log log .
K f r k f r
K f r K f r k f r
r
k f r

r
K f r r k f r r a a
f a k f r r a a
f k f r r a
= − + −
= − − + −
= − −
.
Như vậy, trong cả hai trường hợp, ta thấy rằng công thức đòi hỏi
là đúng với r nằm giữa
1
r
và điểm tới hạn đầu tiên lớn hơn
1
r
. Do đó ta
chỉ cần kiểm tra khi đi qua mỗi điểm tới hạn. Giả sử
r
′
là điểm tới
hạn.
Giả thiết công thức của định lý là đúng với
r r
′
≤
. Giả sử
r
′′
là
điểm tới hạn nhỏ nhất lớn hơn

r
′
. Bởi vì có cùng lắm là hữu hạn điểm
tới hạn giữa
1
r
và
2
r r<
tùy ý, ta chỉ cần chứng tỏ công thức đúng với
19
mọi giá trị
r
mà
r r r
′ ′′
< ≤
, khi đó định lý được chứng minh suy ra
bằng quy nạp. Thực vậy, như trên ta có:
( ) 0
( ,0, ) ( ,0, ) log
[ ( , ) ( , )]log
z r
f z
r
N f r N f r
r
r
K f r k f r
r

′
=
=
′
− =
′
′ ′
= −
′
∑
( , )
log ( , )log log log log
k f r
r r r
f k f r r a f f
′
′
′
= − − = −
.
2.3 Các hàm Nevanlinna
Như đã trình bày trước đây, một trong những điểm khác nhau cơ
bản giữa các hàm chỉnh hình phức và hàm chỉnh hình
p −
adic là sự
phân bố không điểm. Nói chính xác hơn, sự phân bố không điểm của
các hàm chỉnh hình
p −
adic được mô tả đầy đủ dựa vào đa giác định
chuẩn của nó, điều mà trong trường hợp phức là không thể làm được.

Vì thế, ta sẽ bắt đầu với việc xem xét không điểm của hàm chỉnh hình
phi Ácsimét.
2.3.1. Không điểm của hàm chỉnh hình
Trước tiên ta nhắc lại một số kết quả quen biết trong trường hợp
các hàm chỉnh hình phức.
Định lý (Mittag-Lefler)
Giả sử
D
là miền trong
£
, giả sử
n
z
là dãy các điểm phân biệt
rời rạc trong
D
, và giả sử
1
n
m ≥
là dãy các số nguyên dương. Khi đó
tồn tại hàm giải tích trên
D
sao cho với mỗi
,n f
có không điểm bội
n
m
tại
n

z
và
f
không có không điểm khác.
Bây giờ ta tìm hiểu một số tương tự phi Ácsimét của định lý này.
Trước tiên, nếu
f
chỉnh hình trong
1 2
[ , ]A r r
thì
f
chỉ có hữu hạn
không điểm trong
1 2
[ , ]A r r
. Ngược lại, khi cho hữu hạn điểm trong
1 2
[ , ]A r r
và những số bội tương ứng, ta có thể xây dựng hàm
f
chỉnh
20
hình trên với các không điểm và bội đã cho (chẳng hạn lấy các đa thức
thích hợp). Trong trường hợp dãy đã cho là vô hạn, ta có định lý sau.
2.3.2. Định lý
Giả sử
n
z
là dãy phân biệt các số khác không trong

F
sao cho
n
z → ∞
. Giả sử
n
m
là dãy các số nguyên dương,
0
m
là số nguyên
không âm.
Khi đó,
0
1
( ) 1
n
m
m
n
n
z
f z z
z
∞
=
 
= −
 ÷
 

∏
hội tụ tới hàm chỉnh hình
f
trên
F
với không điểm tại 0 bội
0
m
, các
không điểm tại
n
z
bội
n
m
, và không còn không điểm nào khác.
Trước hết ta chứng minh bổ đề sau.
2.3.3. Bổ đề
Giả sử
n
f
là các hàm chỉnh hình trên
1 2
[ , ]A r r
. Khi đó
n
f
∏
hội tụ
nếu và chỉ nếu

lim 1
n
f =
.
Chứng minh. Xét các tích riêng
1
N
N n
n
P f
=
=
∏
.
Ta cần kiểm tra rằng
0
N M
r
P P− →
khi min
{ }
,N M → ∞
.
Không mất tính tổng quát, giả thiết rằng
N M
≥
. Khi đó,
1 1
1
M N

M N n n
r
n n M
r r
P P f f
= = +
− = −
∏ ∏
.
Vì
1 0
n
r
f− →
, tồn tại
0
N
sao cho
0
, 1
n
r
n N f∀ ≥ =
. Bởi vậy với
0
M N≥
,
0
1 1
N

M
n n
n n
r
r
f f
= =
=
∏ ∏
.
Mặt khác, nếu
0
M N≥
, thì
21
1 1
1 1 (1 (1 )) sup 1
N N
n n n
r
n M
n M n M
r r
f f f
>
= + = +
− = − − − ≤ −
∏ ∏
.
Theo giả thiết vế phải hội tụ tới không khi

M → ∞
. Bổ đề được chứng
minh.
Chứng minh Định lý. Theo Bổ đề 2.3.3 tích trong phát biểu định
lý hội tụ đến một hàm nguyên. Rõ ràng tích này có các không điểm
với bội tương ứng đã mô tả. Cố định giá trị
0r >
. Tích lấy theo mọi
n
z

với
n
z r>
hội tụ đến một hàm khả nghịch trong
[ ]rA
. Do đó hàm
f

chỉ có các không điểm đã mô tả trong tích.
2.3.4. Các hàm Nevanlinna
Cũng giống như trường hợp phức, định lý cơ bản thứ nhất trong
trường hợp phi Ácsimét thực chất chỉ là công thức Poisson – Jensen
được phát biểu lại.
Hàm đếm phi Ácsimét được định nghĩa hoàn toàn như trong
trường hợp phức.
Hàm xấp xỉ được định nghĩa bởi công thức sau:
1
( , , ) log
r

m f a r
f a
+
=
−
và
( , , ) log
r
m f r f
+
∞ =
.
Hàm đặc trưng cũng được định nghĩa như trong trường hợp phức:
( , , ) ( , , ) ( , , ).T f a r m f a r N f a r= +
2.3.5. Định lý (Định lý cơ bản thứ nhất)
Nếu
f
là hàm phân hình khác hằng trên
F
thì
( , , ) ( , , )T f a r T f r− ∞
bị chặn khi
r → ∞
.
Chứng minh. Trước tiên ta xét trường hợp
0a
=
. Ta có thể viết
hàm phân hình dưới dạng
/f g h=

, trong đó
,g h
là các hàm nguyên
không có không điểm chung.
Công thức Poisson–Jensen cho ta:
( , , ) ( ,0, ) log 0(1)
r
N f r N h r h∞ = = +
22
và
( ,0, ) ( ,0, ) log 0(1)
r
N f r N g r g= = +
như vậy
( , , ) ( ,0, ) log log 0(1)
r r
N f r N f r h g∞ − = − +
.
Mặt khác,
{ }
( , , ) max 0,log log
r r
m f r g h∞ = −
và
{ }
( ,0, ) max 0,log log
r r
m f r h g= −
.
Do đó,

( , , ) ( ,0, ) log log
r r
m f r m f r g h∞ − = −
,
điều này chứng minh định lý khi
0a
=
.
Nếu
0a
≠
, thì
( , , ) ( ,0, )N f a r N f a r= −
và
( , , ) ( , , )N f r N f a r∞ = − ∞
Như vậy ta cũng có
( , , ) ( ,0, )m f a r m f a r= −

và
( , , ) ( , , ) 0(1).m f r m f a r∞ = − ∞ +
2.3.6. Các đạo hàm Hasse
Bây giờ ta tìm hiểu khái niệm đạo hàm Hasse. Trước tiên chú ý
rằng nếu
n
là số nguyên không âm và
k
là số nguyên không nằm
trong đoạn
[0, 1]n −
thì hệ số nhị thức:

( 1)( 2) ( 1)
!
k
k k k k n
n
n
 
− − − +
=
 ÷
 

xác định và khác không. Do đó, ta có thể mở rộng khái niệm đạo hàm
Hasse đối với chuỗi Laurent như sau:
Giả sử
23
( )
k
k
k
f z a z
∞
=−∞
=
∑
Khi đó ta định nghĩa
, [0, 1]
( )
n k n
k

k k n
k
D f z a z
n
−
∈ ∉ −
 
=
 ÷
 
∑
¢
.
Nếu
F
có đặc số 0, ta lại có
( )
/ !
n
n
D f f n=
.
Theo quy ước
k
n
 
 ÷
 
bằng không nếu
0 1k n≤ ≤ −

, ta có thể viết đơn giản:
( )
n k n
k
k
k
D f z a z
n
∞
−
=−∞
 
=
 ÷
 
∑
.
2.3.7. Mệnh đề
Các đạo hàm Hasse của các hàm chỉnh hình trong hình vành
khăn thỏa mãn các tính chất cơ sở sau:
(i).
[ ]
k k k
D f g D f D g+ = +
,
(ii)
[ g] ,
k i j
i j k
D f D fD g

+ =
=
∑
(iii)
,
i j i j
i j
D D f D f
j
+
+
 
=
 ÷
 

(iv). Nếu
F
có đặc số dương
p
và
0s ≥
là số nguyên thì
1
( )
s s s
p p p
D f D f=
.
Chứng minh. Tính chất (i) là rõ ràng. Để kiểm tra tính chất (ii), ta

khai triển cả hai vế và so sánh các lũy thừa như nhau của
z
. Để có
đẳng thức, chỉ cần với
l
và
m
nguyên đồng thời
i
và
j
nguyên không
âm, ta cần có
.
i j k
l m
l m
k
i j
+ =
+
 
  
=
 ÷
 ÷ ÷
 ÷
  
 
∑

Đó chính là đồng nhất thức Vandermonde. Để kiểm tra tính chất (iii),
ta cần đồng nhất thức sơ cấp sau:
24
k j
i j
k
k
j
j
i j i
−
   
+
 
 
=
 ÷  ÷
 ÷
 ÷
 ÷  ÷
+
 
 
   
.
Đối với (iv), ta cần có đồng nhất thức sau đối với số nguyên
j
tùy ý:
(mod )
s

s
jp
j p
p
 
≡
 ÷
 ÷
 
.
Như vậy (iv) suy ra định lý Lucas.
Tính chất (ii) trong mệnh đề cho phép ta mở rộng
n
D f
đến trường hợp
các hàm phân hình
f
bằng cách quy nạp. Chẳng hạn,
1 1 1 1
( ) ,
f f f
D f D g gD D g
g g g
   
= = +
 ÷
 
   

và do đó

1 1
1
2
f gD f fD g
D
g g
 
−
=
 ÷
 
.
2.3.8. Bổ đề đạo hàm lôgarít
Trong trường hợp phức, chứng minh định lý cơ bản thứ hai của
Nevanlinna dựa trên những tính chất rất sâu sắc của đạo hàm lôgarít,
nói rằng nếu
f
là hàm phân hình trên
£
thì
( / , , )m f f r
′
∞
là nhỏ so với
( , , )T f r∞
, ngoài một tập loại trừ nhỏ bán kính
r
.
Tương tự phi Ácsimét của bổ đề đạo hàm lôgarít lại dễ chứng
minh, nhưng là một nhận xét rất có ích.

2.3.9. Bổ đề (Bổ đề đạo hàm lôgarít)
Giả sử
f
là hàm phân hình phi Ácsimét trên hình vành khăn
{ }
1 2
:z r z r≤ ≤
. Khi đó, với
1 2
r r r≤ ≤
ta có
1
n
n
r
D f
f r
≤
, ở đây
n
D f
ký
hiệu đạo hàm Hasse bậc n của
f
.
Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh định lý trong trường hợp
f
là chỉnh hình. Khai triển
f
dưới dạng chuổi Laurent

25